Variáveis_aleatórias

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Variáveis aleatórias (v. a.) 
Definição: Seja Ω o espaço amostral associado ao experimento aleatório. Uma variável aleatória, X, é uma função 
que associa a cada ponto amostral, wi, um número real. Ou seja, uma variável aleatória é uma função que tem 
como domínio Ω e como contradomínio um subconjunto dos números reais, Rx  R. 
 
 
 Ω X(w) Rx 
 
 w1 x1 
 w2 x2 
 . . 
 . . 
 . . 
 wn xn 
 
 
 
As variáveis aleatórias, usualmente, são representadas por letras maiúsculas e seus respectivos valores por letras 
minúsculas. 
 
Ex.: Retira-se, ao acaso, um artigo de um lote com 6 artigos e define-se as variáveis; 
X :Número de falhas que o artigo sorteado tem 
Y : Tempo de vida do artigo sorteado 
Ω = {a1, a2, a3, a4, a5, a6}, ai = i-ésimo artigo 
Os possíveis valores da variável X são 0, 1, ..., e os de Y são os números reais não negativos. Ou seja, o 
contradomínio de X e Y são: 
Rx : {x; x = 0, 1, 2, ...} 
Ry : {y; y  0, y R} 
 
As variáveis aleatórias podem ser classificadas, segundo o contradomínio, em 2 tipos: 
• Variável aleatória discreta: Seu contradomínio é um conjunto finito ou infinito enumerável, isto é, os possíveis 
valores que a variável pode assumir constitui um conjunto finito ou infinito enumerável. 
Ex.1: Seja X o número de sessões de fisioterapia que um paciente necessita até o desaparecimento de uma dor 
lambar em um tratamento que exige no máximo 10 sessões. 
Rx = { 1, 2, 3, 4, ..., 10}  Rx = conjunto dos possíveis valores de X. 
 
Ex.2: No exemplo da retirada de um artigo, a v.a. X : número de falhas que o artigo sorteado tem é discreta, pois 
Rx : {x; x = 0, 1, 2, ...} é um conjunto infinito enumerável. 
 
• Variável aleatória contínua: Seu contradomínio é um conjunto infinito não enumerável, isto é, os possíveis 
valores que a variável pode assumir constitui um conjunto infinito não enumerável. 
 
 Ex.: No exemplo da retirada de um artigo, a v. a. Y: Tempo de vida do artigo sorteado é contínua, pois Ry : {y; y 
 0, y R} é um conjunto infinito não enumerável. Y pode assumir qualquer valor real positivo. 
 
 2
1) Variáveis aleatórias discretas 
1.1) Função de probabilidade (distribuição de probabilidade) de uma variável aleatória discreta - fdp 
Se X é uma v.a. discreta que tem como contradomínio Rx, uma função f(x) é chamada função de probabilidade da 
v.a X se tem como domínio Rx e como contradomínio um conjunto de números reais P(X = xi) = f(xi), que satisfaz 
as seguintes condições: 
a) xiii RxxfxXP  se , )()( 
b) xii Rxxf  se ,1)(0 
c) 1)()( 


xixxi Rx
i
Rx
i xXPxf 
Ou seja, a função de probabilidade de uma v.a. discreta, X, é a função que atribui a cada valor xi de X sua 
probabilidade de ocorrência, f (xi) = P (X = xi). 
 
Ex.1: Seja X o número de crianças do sexo masculino numa família com dois filhos. Considere os eventos F1 = { a 
1ª criança é do sexo feminino } e F2 = { a 2ª criança é do sexo feminino }. Esses eventos são independentes, pois 
P( F2 | F1 ) = P( F2 ). Analogamente, M1 e M2 são os eventos a 1ª criança e a 2ª criança, respectivamente, são do 
sexo masculino e também são independentes. 
 
Ω = { F1 F2 , F1 M2 , M1 F2 , M1 M2 } A variável aleatória X atribui a cada ponto de Ω um valor numérico 
 
 Ω X Rx 
 
 w1 = F1 F2 x1 = 0 
 w2 = F1 M2 x2 = 1 
 w3 = M1 F2 x3 = 2 
 
 w1 = M1 M2 
 
P(X=0) = P(F1 ∩ F2 ) = P(F1)P(F2) = 
4
1
2
1
2
1
 
P(X=1) = P(F1 ∩ M2 ) + P(M1 ∩ F2) = P(F1)P(M2) + P(M1)P(F2) = 
4
2
2
1
2
1
2
1
2
1
 
 
P(X=2) = P(M1 ∩ M2 ) = P(M1)P(M2) = 
4
1
2
1
2
1
 
 
A função (distribuição) de probabilidade da variável aleatória X será: 
 
X 0 1 3 
f (x) = P (X = x) 1/4 2/4 1/4 
 
 
 3
Ex. 2: Suponha que 3 artigos são retirados, ao acaso, um a um, com reposição, de uma caixa que contém 10 
artigos, dos quais 2 são defeituosos. Seja a variável aleatória X: número de artigos perfeitos sorteados. 
Determinar a função de probabilidade de X. 
Ω = {D1D2D3, D1D2P3, D1P2D3, P1D2D3, D1P2P3, P1D2P3, P1P2D3, P1P2P3}, onde Pi = i-ésimo artigo perfeito e 
Di = i-ésimo artigo defeituoso, i = 1, 2, 3. 
Como o sorteio é feito com reposição, os eventos Pi e Di são independentes. 
Rx : {x; x = 0, 1, 2, 3}. As probabilidades associadas aos valores da v.a. X são: 
 
      
     
      
51200
10
8
10
8
10
8
10
833
38400
10
2
10
8322
10
2
10
8
10
8
10
8
10
2
10
8
10
8
10
8
10
222
09600
10
2
10
8311
10
2
10
2
10
8
10
2
10
8
10
2
10
8
10
2
10
211
11
00800
10
2
10
2
10
2
10
200
3
321
2
321321221
2
321321321
321321321
3
321321
,)()()(
,)()(
)()(
,)()(
)()(
)()(
,)()()()()(






























 
PPPPXPf
XPf
DPPPDPPPDPXPf
XPf
DDPPDPDPPDDPXPf
DDPDPDPDDPXPf
DPDPDPDDDPXPf
ind
 
 
A fdp da v.a. X é dada por: 









































 contrário caso , 
 se , ,
 se , ,
 se , ,
 se , ,
)()(
0
351200
10
8
238400
10
2
10
83
109600
10
2
10
83
000800
10
2
3
2
2
3
x
x
x
x
xXPxf 
A f(x) é uma fdp, pois   110 )( e )( xfRxxf x . 
 
1.2) Função de distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta - FDA 
 



xx
i
xx
i
ii
xXPxfxXPxF )()()()( onde xi Rx  . 
Exemplo: Determine a função de distribuição acumulada da v.a. X : número de artigos perfeitos. 
 
 4


























31
3248800
2110400
1000800
00
1512004880032321033
4880038400104002121022
104000960000800101011
00800000
3
2
1
0
x
x
x
x
x
xF
fFffffxfXPF
fFfffxfXPF
fFffxfXPF
fxfXPF
i
i
i
i
x
i
x
i
x
i
x
i
 ,
 ,,
 ,,
 ,,
,
)(
,,)()()()()()()()()(
,,,)()()()()()()()(
,,,)()()()()()()(
,)()()()(
 
 
2) Variáveis aleatórias contínuas 
2.1) Função de probabilidade de uma variável aleatória contínua - fdp 
Uma função f(x) é chamada função de probabilidade ou função de densidade da variável aleatória contínua X, se 
satisfaz as seguintes condições: 
1) xRxxf  se ,0)( 
2) 


1)( dxxf 
3) Seja o evento:  ;| bxaxA  logo,       .)(
b
a
dxxfbxaPAxPAP 
Exemplo: Suponha que o tempo de produção de um artigo, em minutos, é uma v.a. X que tem como função de 
probabilidade: 
 



 


contrário caso, 0 
42,
4
5
)( x
x
xf 
Verificar se f(x) é uma fdp e calcular a probabilidade de que o tempo de produção de um artigo escolhido ao acaso 
seja menor que 3 minutos. 
Solução: Para confirmar se a f(x) é uma fdp temos que verificar (através do gráfico da f(x)) se a f(x)  0 para 
xRx e se 


1)( dxxf . (feito em sala) 
 


3
2 8
5
4
5)3( dxxXP . 
 
 
 
 
 
 
Observação: Se X é uma v. a. contínua, então: 
)()(
)()()(
0)(
aXPaXP
bXaPbXaPbXaP
xXP



 
 5
2.2) Função de distribuição acumulada de uma variável aleatóriacontínua - FDA 
Seja X uma v.a. contínua com fdp f(x). A FDA da v.a. X será: 



x
dxxfxXPxF )()()( , para todo xRx . 
Exemplo: Feito em sala 
 
Propriedades da FDA: 
F(x) satisfaz as seguintes propriedades: 
1) Para todo .1)(0 ,R  xFx 
2) )(xF é uma função não decrescente. 
3) 0)(lim 

xF
x
 e .1)(lim 

xF
x
 
4) )(xF é uma função contínua para todo xRx . 
5) )()( xF
dx
dxf  . 
 
VALOR ESPERADO E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X 
a) Valor esperado 
Seja X uma v.a. com função de probabilidade f(x). O valor esperado, ou esperança matemática, ou média da 
v.a. X, denotado por E(X) = , é definida como: 
1) Se X é uma v.a. discreta, 



xRx
xxfXE )()( 
2) Se X é uma v.a. contínua, 



 dxxxfxE )()( . 
b) Variância 
Seja X uma v.a. com função de probabilidade, f(x), e valor esperado, E(X), a variância de X é definida como: 
   2222 )()()()( XEXEXEXEXVar  (demonstrado em sala) 
1) Se X é uma v.a. discreta, 
2
2 )()()( 



 
 xx RxRx
xxfxfxXVar 
 
2) Se X é uma v.a. contínua, 
2
2 )()()( 


 




dxxxfdxxfxXVar . 
 
(Exemplo feito em sala) 
 6
Propriedades de E(X) e Var(X): 
Sejam X e Y variáveis aleatórias definidas no mesmo espaço amostral e a e b constantes quaisquer. 
1. E(a) = a 
2. E(aX) = aE(X) 
3. E(aX + b) = aE(X) + b 
4. E(aX - b) = aE(X) - b 
5. E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) 
6. E(aX - bY) = aE(X) – bE(Y) 
7. Var(a) = 0 
8. Var(aX) = a2Var(X) 
9. Var(aX + b) = a2Var(X) 
10. Var(aX - b) = a2Var(X) 
11. Se X e Y são v. a. independentes, Var(aX + bY) = a2Var(X) + b2Var(Y) 
12. Se X e Y são v. a. independentes, Var(aX - bY) = a2Var(X) + (-b2)Var(Y) = a2Var(X) + b2Var(Y). 
 
(Exemplo feito em sala)