na09 reflexao em dupla interface

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Reflexão de Ondas Planas em Dupla Interface 
 
Considere um arranjo no qual uma onda plana incidente encontra duas sucessivas 
interfaces dielétrico-dielétrico, em incidência normal, conforme mostra a figura 1. 
Neste arranjo, além da onda incidente, teremos uma onda refletida no meio 1, duas 
ondas propagando-se em sentidos opostos no meio 2 resultantes de múltiplas 
reflexões e uma onda transmitida no meio 3. 
 
 
 
Meio 1 Meio 2 Meio 3
Er 
Ei 
ε1,µ1,σ1=0 ε2,µ2,σ2=0 ε3,µ3,σ3=0 
Figura 1 – Onda Plana com Incidência Normal em Duas Sucessivas 
 Interfaces Dielétrico-Dielétrico 
 
 
Como a onda total resultante no meio 1 e também no meio 2 é a somatória de duas 
ondas propagando-se em sentidos opostos, fica claro que η≠yx HE . É possível, 
então, considerar que a razão entre o campo E total e o campo H total daqueles 
meios seja vista como uma impedância equivalente. Assim, no meio 1, temos que 
 
 
zjxmzjxm
zj
xm
zj
xm
yy
xx
y
x
eq
eEeE
eEeE
HH
EE
H
E
11
11
11
11
11
1
1
1
ββ
ββ
ηη
η
+−
+−
−+
−+
Γ−
Γ+=+
+== 
 ( ) (( ) ( ))


−++
−++=
+
−−
+
−+
= +−+−
+−+−
+−
+−
zjzjzjzj
zjzjzjzj
zjzj
zjzj
eq eeee
eeee
ee
ee
1111
1111
11
11
21
12
1
12
12
12
12
11 ββββ
ββββ
ββ
ββ
ηη
ηηη
ηη
ηη
ηη
ηη
ηη 
 
Dividindo numera zj 1β−
 
 
 
Da mesma forma
 
 
dor e denomin
eq1η
, no meio 2 tem
=eq2 ηη
ador por (e


−
−=
j
j
21
12
1 tan
tan
ηη
ηηη
os 
[
[

−
−
j
j
32
23
2 tan
tan
βηη
βηη
zj 1β+
 )e+ podemos chegar a 
( )
( )

z
z
1
1
β
β [Ω] (1) 
( )]
( )]

−
−
dz
dz
2
2 [Ω] (2) 
1
 
Assim, no lado 2 da interface entre os meios 1 e 2, a impedância vista pelo lado 1 
será 
 
 [ ][ ]


+
+=−+ dj
dj
eq
232
223
221 tan
tan
βηη
βηηηη [Ω] (3) 
 
 
Caso acontecesse que , então não haveria reflexão na interface 1-2 e o 
meio 1 pareceria estar conectado a outro meio de mesma impedância intrínseca. 
121
ηη =−+eq
 
Fazendo 121 ηη =−+eq
 [ ][ ] 0tan
tan
1
232
223
21 jdj
dj +=


+
+= ηβηη
βηηηη (4) 
 
uma vez que 1η é real (assumimos dielétricos sem perdas). 
 
Existem 2 maneiras para a qual a equação (4) seja verdadeira. Caso ( ) 0tan 2 =dβ e 
13 ηη = , então a equação (4) torna-se 11 ηη = . Neste caso, o meio 3 deve ser igual ao 
meio 1 e d deve ser um múltiplo inteiro de 2λ . Este é o caso das coberturas 
utilizadas em antenas (radome), onde o meio dos dois lados da cobertura é o ar. 
 
A outra maneira na qual (4) torna-se verdadeira é para ( ) ∞→d2tan β e neste caso, a 
equação (4) seria escrita como 
 
3
2
2
32
23
2
tan
1
2 η
η
ηη
ηηηη
β
=


∞+
∞+=
∞→ j
j
d
 
 
onde etcd ,25,23,22 πππβ = ou etcd ,45,43,4 222 λλλ= . 
 
Assim, para que não haja reflexão na interface 1-2, 
 
 d = múltiplo ímpar de 42λ 
e 
 312 ηηη = 
 
Um exemplo seria o revestimento de lentes para evitar reflexão. Um revestimento de 
espessura 4λ com um material de impedância intrínseca igual a vidroarηη , aplicado 
a cada lado da lente eliminaria (teoricamente) reflexões na interface ar-vidro. 
 
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