AULA ATIVIDADE 1gabarito

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FORMULÁRIO DA AULA ATIVIDADE 
 
AULA ATIVIDADE 
Curso: Engenharias 
Professor(a): Daiany Cristiny Ramos 
Semestre: 3º Flex / 4º Semestre 
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral III 
Unidade de Ensino: 1 
Competência(s): Conhecer e ser capaz de aplicar na engenharia e na área 
de exatas, os cálculos referentes às integrais múltiplas. 
Conteúdos: Equação de plano e equação de plano tangente; Integrais triplas; 
Volume e centro de massa; Área de superfícies. 
Teleaula: 1 
 
 
Título: Integrais múltiplas 
 
Prezado (a) tutor (a), 
 
Segue a Aula Atividade proposta aos alunos: 
 
A aula atividade tem a finalidade de promover o auto estudo das competências 
e conteúdos relacionados à Unidade de Ensino 1: “Integrais múltiplas”. 
 
Ela terá a duração total de 1 hora e está organizada em duas etapas de 30 
minutos cada: “Análise da Situação-Problema”, em que o aluno resolverá 
problemas envolvendo conceitos abordados na SGA dessa unidade de ensino, 
e “Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão”, em que 
retornamos às discussões relativas à questão proposta no fórum da disciplina. 
 
Oriente os alunos a seguirem todas as orientações indicadas e a contarem 
sempre com a mediação do tutor e a interatividade com a professora no Chat 
Atividade e Fórum de Discussão. 
 
Bom trabalho! 
 
___________________**__________________ 
 
 
 
Análise da Situação-Problema 
Questão 1 
Considere a superfície P definida pela equação 
�� + �� + � = 1 
cuja representação gráfica pode ser observada na figura seguinte: 
 
Assinale a alternativa que indica corretamente a equação do plano tangente à 
superfície P contendo o ponto de coordenadas �	1; 0,5; −0,25�: 
a) 4� + 2� − � = 0 
b) 8� + 4� + 4� − 9 = 0 
c) 8� + 4� − 4� = 0 
d) 2� + � − � − 2 = 0 
e) 5� + 3� + � − 10 = 0 
Resolução: 
Temos que P é a superfície definida por 
�� + �� + � = 1 
ou 
�	�, �, �� = �� + �� + � − 1 
Para a determinação do plano tangente, é preciso identificar as componentes do 
vetor gradiente à superfície no ponto A. Temos que 
∇�	�, �, �� = 	2�, 2�, 1� → ∇�	1; 0,5; −0,25� = 	2, 1, 1� 
 
Assim, a equação do plano com vetor normal ∇�	1; 0,5; −0,25� = 	2, 1, 1�, 
contendo o ponto �	1; 0,5; −0,25� é dada por 
2	� − 1� + 1	� − 0,5� + 1�� − 	−0,25�� = 0 
2� − 2 + � − 0,5 + � + 0,25 = 0 
2� + � + � − 2,25 = 0 
Multiplicando a equação por 4 obtemos 
8� + 4� + 4� − 9 = 0 
a qual corresponde à equação do plano solicitado. 
 
 
Questão 2 
Considere o sólido S limitado pelo paraboloide elíptico dado pela equação 
�� + 2�� + � = 16 
pelos planos � = 2, � = 2 e pelos três planos coordenados, cuja representação 
gráfica é apresentada na sequência: 
 
Empregando o cálculo de integrais triplas, qual é o volume do sólido S descrito 
anteriormente? 
a) 14 u.v. 
b) 32 u.v. 
c) 36 u.v. 
d) 48 u.v. 
 
e) 60 u.v. 
Resolução: 
Temos que S é o sólido limitado superiormente pela superfície de equação 
�� + 2�� + � = 16 ⟺ � = 16 − �� − 2�� 
e inferiormente pelo quadrado � = �0,2� × �0,2� no plano � = 0 (plano �!�). 
Sendo assim, para a determinação do volume de S por integrais triplas devemos 
calcular 
" = # $"
%
 
cujos limites de integração são dados por 
0 ≤ � ≤ 2 
0 ≤ � ≤ 2 
0 ≤ � ≤ 16 − �� − 2�� 
Logo, o volume de S é dado por 
" = # $"
%
= ' ' ' $�
()*+,*�-,
.
$�
�
.
$�
�
.
= ' '���.()*+,*�-,$�
�
.
$�
�
.
= ' '	16 − �� − 2���
�
.
$�
�
.
$� = ' /16� − ��� − 23 �01.
��
.
$�
= ' 2803 − 2��3
�
.
$� = /803 � − 23 �01.
� = 1603 − 163 = 48 
Portanto, o volume de S é igual a 48 u.v. 
 
 
Questão 3 
Considere um sólido C em formato de cubo, definido por 
4 = 5	�, �, �� ∈ ℝ0; 0 ≤ � ≤ 1, 0 ≤ � ≤ 1, 0 ≤ � ≤ 18 
e cuja representação gráfica é dada por 
 
 
Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 
9	�, �, �� = �� + �� + �� 
quais são as coordenadas do centro de massa de C? 
a) 	0,0,0� 
b) :;) , ;) , ;)< 
c) 	1,1,1� 
d) :0= , 0= , 0=< 
e) : ;(� , ;(� , ;(�< 
Resolução: 
Para determinar o centro de massa precisamos determinar, inicialmente, qual a 
massa do sólido, por meio de integrais triplas. Observe que os limites de 
integração são dados por 
0 ≤ � ≤ 1; 0 ≤ � ≤ 1; 0 ≤ � ≤ 1 
Assim, 
 
> = # 9	�, �, ��
?
$" = ' ' '	�� + �� + ���
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' /��� + ��� + 13 �01.
((
.
$�
(
.
$� = ' ' 2�� + �� + 133
(
.
$�
(
.
$�
= ' /��� + 13 �0 + 13 �1.
((
.
$� = ' 2�� + 233
(
.
$� = /13 �0 + 23 �1.
( = 1 
Os momentos em relação aos três planos coordenados são dados por 
@-A = # � 9	�, �, ��
?
$" = ' ' ' �	�� + �� + ���
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' '	�0 + ��� + ����
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' /�0� + ���� + 13 ��01.
((
.
$�
(
.
$� = ' ' 2�0 + ��� + 13 �3
(
.
$�
(
.
$�
= ' /�0� + 13 ��0 + 13 ��1.
((
.
$� = ' 2�0 + 23 �3
(
.
$� = /14 �= + 13 ��1.
(
= 14 + 13 = 712 
@+A = # � 9	�, �, ��
?
$" = ' ' ' �	�� + �� + ���
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' '	��� + �0 + ����
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' /���� + �0� + 13 ��01.
((
.
$�
(
.
$� = ' ' 2��� + �0 + 13 �3
(
.
$�
(
.
$�
= ' /12 ���� + 14 �= + 16 ��1.
((
.
$� = ' 212 �� + 5123
(
.
$� = /16 �0 + 512 �1.
(
= 16 + 512 = 712 
 
@+- = # � 9	�, �, ��
?
$" = ' ' ' �	�� + �� + ���
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' '	��� + ��� + �0�
(
.
$�
(
.
$�
(
.
$�
= ' ' /12 ���� + 12 ���� + 14 �=1.
((
.
$�
(
.
$�
= ' ' 212 �� + 12 �� + 143
(
.
$�
(
.
$� = ' /12 ��� + 16 �0 + 14 �1.
((
.
$�
= ' 212 �� + 5123
(
.
$� = /16 �0 + 512 �1.
( = 16 + 512 = 712 
Logo, as coordenadas do centro de massa são calculadas por 
�̅ = @-A> =
7121 = 712 
�D = @+A> =
7121 = 712 
�̅ = @+-> =
7121 = 712 
Portanto, o centro de massa é dado por 
	�̅, �D, �̅� = 2 712 , 712 , 7123 
 
 
Questão 4 
Considere a superfície 
� = �� 
limitada pelo cilindro �� + �� = 1 cuja representação gráfica é dada por: 
 
 
Qual a área aproximada da superfície � = �� limitada pelo cilindro? 
a) 3,14 u.a. 
b) 3,83 u.a. 
c) 4,52 u.a. 
d) 5,92 u.a. 
e) 6,28 u.a. 
Resolução: 
Podemos parametrizar a superfície adotando 
� = E; � = F; � = EF 
Com base nessa parametrização, os seguintes vetores podem ser identificados 
�GHHHH⃗ = 2J�JE , J�JE , J�JE3 = 	1,0, F� 
�KHHHH⃗ = 2J�JF , J�JF , J�JF3 = 	0,1, E� 
de onde segue o produto vetorial: 
�GHHHH⃗ × �KHHHH⃗ = LM N O1 0 F0 1 EL = 	−F, − E, 1� 
Logo, 
|�GHHHH⃗ × �KHHHH⃗ | = Q	−F�� + 	−E�� + 1� = QE� + F� + 1 
Sendo assim, para determinar a área da superfície devemos calcular 
 
� = R|�GHHHH⃗ × �KHHHH⃗ |
S
$� = R QE� + F� + 1
S
$� 
onde D é a projeção do cilindro sobre o plano �!�, ou seja, 
T = 5	�, �� ∈ ℝ�; �� + �� ≤ 1 8 
Em coordenadas polares teremos 
T = 5	U, V� ∈ ℝ�; 0 ≤ U ≤ 1, 0 ≤ V ≤ 2W8 
Além disso, sabendo que E = U cos	V� e F = U sen	V� segue que 
QE� + F� + 1 = Q	U cos	V��� + 	U sen	V��� + 1 = QU� + 1 
Desta forma, 
� = R QE� + F� + 1
S
$� = ' ' UQU� + 1
(
.
$U
�]
.
$V = ' /13 	U� + 1�
0� 1.
(�]
. $V
= 2√2 − 13 ' $V
�]
. = _
4√2 − 23 ` W ≈ 3,83 E. c. 
 
 
 
 
Fechamento do Tópico da Unidade do Fórum de Discussão 
 
Vamos retomar a discussão iniciada no tópico correspondente à unidade 1, no 
fórum da disciplina. No tópico indicado foi proposto o seguinte problema para 
estudo: 
 
Determinada empresa produz baterias para automóveis. Um dos modelos de 
bateria possui formato que pode ser aproximado pelo sólido B, limitadosuperiormente pela superfície S de equação 
� = 1 − �� − �� 
e inferiormente pelo retângulo � = �−1,1� × �−0,5; 0,5� no plano �!�. A 
representação dos limites inferior e superior para o sólido B são apresentadas 
no seguinte gráfico 
 
Tendo como objetivo otimizar a produção desse tipo de bateria, você foi 
contratado por essa empresa para auxiliar no estudo do projeto desse produto. 
Considerando estas informações, investigue os seguintes tópicos: 
a) Associado à otimização do volume desse produto, em determinados 
momentos faz-se necessário determinar planos tangentes. Qual a equação 
do plano tangente à superfície S no ponto P(0,5; 0; 0,75)? 
b) Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode 
ser utilizado na aproximação do formato da bateria considerada? 
 
 
a) Para determinar a equação do plano tangente é necessário determinar, 
inicialmente, o vetor gradiente à superfície, que corresponde a um vetor normal 
à superfície e que, posteriormente, será o vetor normal ao plano. 
Para isso, considere 
�	�, �, �� = 1 − �� − �� − � 
logo, 
∇�	�, �, �� = 	−2�, −2�, −1� 
e assim, considerando o vetor gradiente no ponto P(0,5; 0; 0,75) segue que 
∇�	0,5; 0; 0,75� = 	−1, 0, −1� 
Para determinar a equação do plano tangente temos 
	−1�	� − 0,5� + 0	� − 0� + 	−1�	� − 0,75� = 0 
−� + 0,5 + 0 − � + 0,75 = 0 
−� − � + 1,25 = 0 
ou ainda, multiplicando a equação por -4, 
4� + 4� − 5 = 0 
Portanto, a equação do plano tangente à superfície no ponto P é dada por 
4� + 4� − 5 = 0 
b) Na determinação do volume do sólido B podemos empregar o cálculo de 
integrais triplas 
" = # $"
d
 
Os limites de integração, no sólido considerado, são dados por 
−1 ≤ � ≤ 1; −0,5 ≤ � ≤ 0,5; 0 ≤ � ≤ 1 − �� − �� 
Logo, o volume de B é dado por 
" = # $"
d
= ' ' ' $�
(*+,*-,
.
$�
.,e
*.,e
$�
(
*(
= ' ' ���.(*+,*-,$�
.,e
*.,e
$�
(
*(
= ' ' 	1 − �� − ���
.,e
*.,e
$�
(
*(
$� = ' /� − ��� − 13 �01*.,e
.,e(
*(
$�
= ' 21112 − ��3
(
*(
$� = /1112 � − 13 �01*(
( = 76 ≈ 1,167 
Portanto, o volume de B é, aproximadamente, de 1,167 u.v. 
 
Preparando-se Para a Próxima Tele aula 
 
 
Oriente os alunos a se prepararem para o nosso próximo encontro organizando 
o auto estudo da seguinte forma: 
1. Planejando o tempo de estudo prevendo a realização de atividades 
diárias. 
2. Estudando previamente as web aulas e a Unidade de Ensino antes da tele 
aula. 
3. Elaborando esquemas de conteúdos para que sua aprendizagem e 
participação na tele aula seja proveitosa. 
4. Utilizando o fórum para registro das atividades e atendimento às dúvidas 
e/ou dificuldades. 
 
Lembre os alunos de que eles podem contar sempre com o seu tutor à 
distância e com a professora da disciplina para acompanhar sua 
aprendizagem. 
 
 
 Bom trabalho! 
Prof. Ma. Daiany Cristiny Ramos