Lista02C2 Monitoria (15 01 2016) Gabarito

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Universidade Federal do Para´
Ca´lculo II - Projeto Newton - 2015/4
Professores: Jeroˆnimo e Juaci
2a Lista de exerc´ıcios para monitoria
1. Determine a + b, 2a + 3b, |a| e ‖a− b‖ sendo a = i + 2j− 3k e b = −2i− j + 5k.
Soluc¸a˜o: (i)
a + b = (i + 2j− 3k) + (−2i− j + 5k)
= (1− 2)i + (2− 1)j + (−3 + 5)k
= −i + j + 2k
(ii)
2a + 3b = 2 (i + 2j− 3k) + 3 (−2i− j + 5k)
= ((2.1)i + (2.2)j + (2.(−3))k) + ((3.(−2))i + (3.(−1))j + (3.5)k)
= (2i + 4j− 6k) + (−6)i− 3j + 15k)
= (2− 6)i + (4− 3)j + (−6 + 15)k
= −4i + j + 9k
(iii)
|a| =
√
12 + 22 + (−3)2 = √1 + 4 + 9 =
√
14
(iv)
Para determinarmos |a− b|, precisamos determinar o vetor a− b. Assim,
a− b = (i + 2j− 3k)− (−2i− j + 5k)
= (i + 2j− 3k) + (((−1).(−2))i + ((−1).(−1))j + ((−1).5)k)
= (i + 2j− 3k) + (2i + j− 5k)
= (1 + 2)i + (2 + 1)j + (−3− 5)k
= 3i + 3j− 8k
Agora, temos que:
|a− b| =
√
32 + 32 + (−8)2 = √9 + 9 + 64 =
√
82
1
2. Se v esta´ no primeiro quadrante e faz um aˆngulo de
pi
3
com o eixo x positivo e |v| = 4, encontre v
em forma de componente.
Soluc¸a˜o:
A figura acima mostra o vetor v, o aˆngulo que o mesmo forma com o eixo x positivo, e seus compo-
nentes vx e vy. Ja´ |v| representa a magnitude do vetor dado.
Dado |v| = 4 , e sendo:
{
vx = |v| cos(pi3 )
vy = |v|sen(pi3 )
E,
v = vxi + vyj
Assim, temos que o vetor e dado por:
v = 2i + 2
√
3j ou v = (2, 2
√
3)
3. Ca´lcule o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores a=(6,3,-1), b=(0,1,2) e c=(4,-2,5).
Soluc¸a˜o:
Sendo,
2
a=(6,3,-1)
b=(0,1,2)
c=(4,-2,5)
Para calcular o volume do paralelep´ıpedo utiliza-se a seguinte equac¸a˜o (Produto Misto):
V = |a · (b× c)| (1)
Calculando primeiramente o produto vetorial entre b e c, temos:
b× c =
∣∣∣∣∣∣∣∣
i j k
0 1 2
4 −2 5
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 9i + 8j− 4k
Substituindo na equac¸a˜o ??, temos:
V = |a · (b× c)|
V = |(6, 3,−1) · (9, 8,−4)|
V = 54 + 24 + 4
V = 82 u.v
4. Ache um vetor que possui a mesma direc¸a˜o e o mesmo sentido que (-2,4,2) mas tem comprimento
6.
Soluc¸a˜o:
Dado v = (−2, 4, 2) e |u| = 6. Fazendo u = (a, b, c).
Sabendo que dois vetores paralelos se diferenciam por uma constante, temos:
u = v.t
(a, b, c) = (−2, 4, 2).t
a = −2t
b = 4t
c = 2t
Assim, u = (−2t, 4t, 2t). Considerando |u| = 6, temos:
|u| =
√
a2 + b2 + c2
|u| =
√
(−2t)2 + (4t)2 + (2t)2
3
|u| =
√
4t2 + 16t2 + 4t2
62 = 24t2
36 = 24t2 ∴ t =
√
6
2
Portanto,
u =
(
−2
√
6
2
, 4
√
6
2
, 2
√
6
2
)
u =
(
−
√
6, 2
√
6,
√
6
)
5. Determine dois vetores unita´rios que sejam ortogonais a i + j e i + k.
Soluc¸a˜o:
Dado,
v1 = i + j ou v1 = (1, 1, 0)
e
v2 = i + k ou v2 = (1, 0, 1)
Considerando v = (x, y, z) um vetor gene´rico, onde v ⊥ v1 e v ⊥ v2.
Assim, temos:
v ⊥ v1 ⇒ v · v1 = 0 ⇒ (x, y, z) · (1, 1, 0) = x+ y = 0 ∴ x = −y
v ⊥ v2 ⇒ v · v2 = 0 ⇒ (x, y, z) · (1, 0, 1) = x+ z = 0 ∴ x = −z
Ja´ que v e´ unita´rio, enta˜o |v| = 1. Assim,
|v| =
√
x2 + y2 + z2 = 1 ∴ x2 + y2 + z2 = 1.
Sendo, 
y = −x
z = −x
x = x
Logo, temos:
v = (x,−x,−x)
Portanto, √
x2 + (−x)2 + (−x)2 = 1
x2 + x2 + x2 = 1
3x2 = 1
x = ± 1√
3
4
Portanto, os vetores sa˜o: a = v e b = −v.
Ou seja,
a =
1√
3
i− 1√
3
j− 1√
3
k
b = − 1√
3
i +
1√
3
j +
1√
3
k
6. Determine o vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido do vetor (-6,2,6).
Soluc¸a˜o:
Dado o vetor V = (−6, 2, 6)
Para encontrar o vetor unita´rio com mesma direc¸a˜o e sentido do vetor V, usa-se:
v =
V
||V||
Assim,
v =
(−6, 2, 6)√
(−6)2 + 22 + 62
v =
(−6, 2, 6)
2
√
19
v =
(
− 3√
19
,
1√
19
,
3√
19
)
v =
(
−3
√
19
19
,
√
19
19
,
3
√
19
19
)
7. Calcule o aˆngulo entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas.
Soluc¸a˜o: Por convenieˆncia, vamos considerar um cubo unita´rio posicionado de modo que um de seus
ve´rtices coincida com o ponto (0, 0, 0) e treˆs de suas arestas estejam sobre os eixos coordenados, como
na figura.
5
A diagonal do cubo e´ o vetor u = (1, 1, 1). Consideremos a aresta v = (1, 0, 0), situada sobre o
eixo x. O aˆngulo θ, formado por u e v e´ calculado da seguinte forma,
cos θ =
u · v
|u| · |v| =
(1, 1, 1) · (1, 0, 0)√
12 + 12 + 12 · √1 =
1√
3
.
Assim, o aˆngulo formado entre a diagonal de um cubo e uma de suas arestas e´
θ = arccos
(
1√
3
)
.
8. Um varal de roupas e´ estendido entre dois postes, 8m distantes um do outro. O fio do varal esta´
bastante esticado, de forma a ser considerado horizontal. Quando uma camisa molhada com massa
de 0, 8kg e´ pendurada no meio do varal, esse ponto central e´ deslocado para baixo 8cm. Determine a
tensa˜o em cada metade do varal.
Soluc¸a˜o: Sejam T1 e T2 os vetores que representam as tenso˜es em cada lado do varal, como na figura.
T1 e T2 teˆm componentes verticais iguais e componentes horizontais opostas, enta˜o
T1 = −ai+ bj e T2 = ai+ bj, (a, b > 0).
Da semelhanc¸a de triaˆngulos, temos
b
a
=
0, 08
4
⇒ a = 50b.
A forc¸a que age sobre a camisa e´
F = −0, 8(9, 8)j = −7, 84j.
6
A resultante T1 + T2 contrabalanc¸a a forc¸a F de modo que
T1 + T2 = −F
(−ai+ bj) + (ai+ bj) = 7, 84j
2bj = 7, 84j
b = 3, 92,
enta˜o a = 196.
Dessa forma,
T1 = −196i+ 3, 92j e T2 = 196i+ 3, 92j.
9. Se a · b = √3 e a× b = (1, 2, 2), defina o aˆngulo entre a e b.
Soluc¸a˜o: Temos que
|a× b| = |a| · |b| · senθ, (I)
onde θ e´ o aˆngulo entre os vetores a e b, 0 ≤ θ ≤ pi
2
. Temos tambe´m que
|a · b| = |a| · |b| · cos θ
⇒ |a| · |b| = a · b
cos θ
.
Substituindo |a| · |b| em na equac¸a˜o (I), temos
|a× b| = a · b
cos θ
· senθ ⇒ |a× b|
a · b = tgθ.
Como |a× b| = |(1, 2, 2)| = 3, enta˜o
tgθ =
3√
3
⇒ θ = pi
3
.
10. Encontre os vetores unita´rios que sa˜o paralelos a` reta tangente a` para´bola y = x2 no ponto (2, 4).
Soluc¸a˜o: A inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o y = x2 no ponto (2, 4) e´
dy
dx
∣∣∣
x=2
= 2x|x=2 = 4.
Assim, a equac¸a˜o da reta tangente e´ dada por
f(x) = f ′(x0) · (x− x0) + f(x0)
⇒ f(x) = 4(x− 2) + 4
⇒ f(x) = 4x− 4.
7
O vetor v = i+ 4j e´ paralelo a` reta tangente e tem norma |i+ 4j| = √17. Dessa forma, os vetores
unita´rios que sa˜o paralelos a` reta tangente ao gra´fico de y = x2 no ponto (2, 4) sa˜o
v1 =
1√
17
(i+ 4j) e v2 = − 1√
17
(i+ 4j).
8