Respostas Exercícios Apostila Jorge Costa Cap 3

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Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Ciências Exatas e da Natureza 
Departamento de Matemática 
 
Respostas dos Exercícios Propostos – Capítulo 3 
 
 
Seção 3.1.5 
 
1) Equações paramétricas: 



ℜ∈−=
−−=
−+=
t,st32z
st21y
st3x
 Equação cartesiana: π : x – y + z – 4 = 0. 
 
2) Equação cartesiana; π : x – 2y + 3z + 3 = 0. O ponto B ∈ π e o ponto C ∉ π. 
 
3) Equações Paramétricas: Fazendo p = 1 e q = 0 obteremos o ponto (3, 3, 1) do plano. 



ℜ∈−−=
−+=
++=
q,p,q2p2z
qp2y
qp21x
 
4) Equação Cartesiana π : − 9x + y – 7z + 40 = 0. 
 
5) m = 3 e o plano não passa pela origem. 
 Equação cartesiana do plano que passa pela origem: π : 2x – y – 3z = 0. 
 
6) Vetor normal unitário: )kji3(
11
1v
→→→→ +−= 
 Equações paramétricas: 



ℜ∈+=
+−−=
−=
q,p,qpz
qp21y
p1x
 
7) )k7j2i3(
62
15v
→→→→ +−−= 
 Equação cartesiana: π : − 3x – 2y + 7z + 8 = 0. 
 
8) Equação cartesiana: π : − 2x + y + z + 6 = 0. 
 
9) )k
3
4j2i4(
7
1v
→→→→ ++= 
 Equação cartesiana:π : 6x + 3y + 2z – 6 = 0. 
 
11) π : x – y = 0. 
 
12) Base ortonormal negativa: 



 −−−+−+− →→→→→→→→ )k2j2i(
3
1),ki2(
5
1),k4j5i2(
35
1 
 
13) Equações paramétricas: 



ℜ∈=
−−=
+=
q,p,pz
q5py
q2px
 Equação cartesiana: π : 5x + 2y – 3z = 0. O ponto B não pertence ao plano. 
 
14) Equações paramétricas: 



ℜ∈−=
+=
+−=
q,p,p3z
p42y
qp27x
 Equação cartesiana: π : −2y – 4z – 10 = 0. O ponto médio 


2
7,4,6 de AB pertence ao plano. 
15) π : y + 2 = 0. A origem não pertence a esse plano. 
 
16) m = 3 e n = − 4. 
 
17) m = ± 1 
 
18) π : 9x – 3y – 4z – 20 = 0. 
 
19) 



ℜ∈−+=
+−=
++=
q,p,qp33z
q4p2y
qp21x
 
20) x = 2. 
 
21) a) paralelos b) paralelos c) não paralelos d) não paralelos 
 
22) a) perpendiculares b) perpendiculares c) não perpendiculares 
 
 
23) a) L = 3 e 3
2−=m 
 b) 5
6me3
10L −=−= 
 
24) a) m = 6 b) 2L + m = 9 c) 2
1m = 
 
25) Qualquer vetor obtido a partir de pontos do plano é paralelo ao próprio plano: 
→→→ −−= k3iv
 
26) ou 3x – 4y = 0. 



ℜ∈+=
=
=
q,p,qpz
p3y
p4x
 
Seção 3.2.5 
 
1) ou 



ℜ∈+=
−=
+=
t,t2z
t2y
t31x
:r 2zy2
3
1x −=−=− 
 
2) ou 



ℜ∈+=
−=
+=
t,t33z
t22y
t41x
:r
3
3z
2
y2
3
1x −=−=− ; P3 ∈ r, P4 ∉ r. 
 
3) ou x – 1 = 2 – y = z – 3 



ℜ∈+=
−=
+=
tt3z
t2y
t1x
r
,
:
 
4) 
6
t9z,
5
4t2y,t1x:r −=−=+= 
 
5) ou 



ℜ∈=
=
−=
s,s3z
4y
s2x
:r 4y;
3
zx2 ==− 
 
6) ou 



ℜ∈−=
+−=
+=
t,t22z
t22y
t1x
:r
2
2z
2
1y1x −
−=+=− 
 
7) a) )k4ji2(
21
1v
→→→→ ++−= b) )k7i(
25
1v
→→→ −= 
 
8) ou 



ℜ∈−=
+=
−=
t,t22z
t22y
t41x
:r 5z;
2
2y
4
1x =−=−
− 
 
9) ou 



ℜ∈−=
=
=
t,t14z
t16y
t4x
:r
14
z
16
y
4
x
−== 
 
10) ou 



ℜ∈+−=
+=
−=
t,t1z
t31y
t4x
:r 1z
3
1y
4
x +=−=− 
 
11) 



ℜ∈=
+=
−−=
t,0z
t41y
t41x
:r
 
12) π : 2x + 4 z – 4 = 0. 
 
13) π: 2x + y + 2z – 9 = 0. 
 
14) 


 −+−+


 ++=+= →→→→→→→→→ k
14
3j
14
9i
7
3k
14
17j
14
19i
7
10wuv 
 
15) π: 8x – 5y – 17z + 16 = 0 
 
16) 






→
→
→
→
→
→
c
c,
b
b,
a
a
→→→ −−− k12j24i6
 é uma base ortonormal positiva, onde , , 
 
→→→→ −+= k3ji2a →→→→ +−= k3j3i6v
→ =v
 
17) ou 



ℜ∈−−=
+=
−=
t,t1z
t2y
t1x
:r
1
1z2y
1
1x
−
+=−=−
− 
 
18) ou 



ℜ∈−=
+−=
+=
t,t23z
t1y
t32x
:r
2
3z1y
3
2x
−
−=+=− 
 
Seção 3.3.11 
 
1) a) concorrentes, ponto de interseção P = (1, 0, 1), (r1 , r2) = 900 
 b) concorrentes, ponto de interseção P = (1, 2, 2), 


=
3154
48arccos)r,r( 21 
 c) paralelas, (r1 , r2) = 00 
d) reversas, 


=
145
8arccos)r,r 21( 
 e) concorrentes, ponto de interseção P = (1, 5, 1), 


=
190
4arccos)r,r( 21 
 
2) a) coincidentes, (r1 , r2) = 00 b) concorrentes, 

 −=
3
2,
3
2,
3
7P , (r , π) = 900 
 c) paralelos, (r , π) = 00 d) paralelos, (r , π) = 00 
 
3) a) concorrentes, interseção: ℜ∈=+−=+= t,tz,t
13
5
13
5y,t
13
4
13
9x:r , (π1 , π2) = 900 
 
 b) coincidentes, interseção: o próprio plano, (π1 , π2) = 00 
 c) paralelos, (π1 , π2) = 00 d) paralelos, (π1 , π2) = 00 
 
4) P = (-2, 1, 1) b) x = 2t, y = 2t, z = t c) não se interceptam d) não se interceptam 
 
5) interseção com o plano coordenado z = 0: P = (7, 9, 0) 
 interseção com o plano coordenado y = 0: 

=
5
9,0,
5
17P 
 interseção com o plano coordenado x = 0: 

 −=
2
7,
2
17,0P 
 
6) interseção com o plano coordenado z = 0: 0z,ty,t
3
2
3
5x ==−= 
 interseção com o plano coordenado y = 0: tz,0y,t
3
1
3
5x ==+= 
 interseção com o plano coordenado x = 0: tz,t
2
1
2
5y,0x =+== 
 interseção com o eixo dos x: 

= 0,0,
3
5P 
 interseção com o eixo dos y: 

= 0,
2
5,0P 
 interseção com o eixo dos z: ( )5,0,0P −=
 
7) a) 



ℜ∈+=
++=
++=
q,p,q3pz
qp21y
q5p32x
b) 



ℜ∈+=
++=
++=
q,p,q1z
q2p21y
q3p32x
 
8) a) m = 5 b) não tem solução c) m ≠ 5 
 
9) n = − 6 e c = 4; interseção: P (−1, 1, 1) 
 
10) 



ℜ∈=
+=
=
t,0z
t21y
tx
:r2 b) 


ℜ∈=
=
+=
t,0z
t2y
t2x
:r2
 
Seção 3.4.9 
 
1) a) 0 b) 0 c) 0 d) 2 e) 0 
 
2) a) 0 b) 0 c) 
101
3 d) 
21
10 
3) a) 0 b) 0 
c) 
11
3 d) 
6
2 
 
4) 
46
4),A(d =π 5) 70
5
3),D(d =π 
 
6) 







ℜ∈−=
+=
+=
t,t14
117
1533z
t16
117
1141y
t4
117
392x
:r 
 
7) a) P = (−1, −2, 1) b) P = ( 5, 0, 3) 
c) 

 −=
3
5,
3
4,
3
5P 
d) P = (−3, 0, 1) 
 
8) 
14
13d = 
 
9) ℜ∈−==−= t,t
35
41z,t
35
4y,t
35
41x 
 
10) ℜ∈+=−−=−= t,t31z,t23y,t53x
 
11) 3x + 2z – 1 = 0 
 
12) ℜ∈+=+−== t,t1z,t32y,1x