Respostas Exercícios Apostila Jorge Costa Cap 2

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Universidade Federal da Paraíba 
Centro de Ciências Exatas e da Natureza 
Departamento de Matemática 
 
Respostas dos Exercícios – Capítulo 2 
 
Seção 2. 4. 7 
 
1) 
→→→→ ++= k
4
5j
4
1i
2
1a
4
1 
→→→→→→ −+−=++− k22j2i11cb3a5 
→→→→→ −+=+− k
2
15j
2
3i5a
2
1d 
→→→→ −−=− k5i3cb 
 
2) 
→→→→ −+−= k3j3i6v
 
5) 
→→→→ −−−= k3j2i4AB →→→→ −−−= k6j4i4AC 
 
→→→ −−= k3j2BC 
 
6) B = (4, 6, 8) 7) (3, 2, 3) 
 
8) 
→→→→ −+= k
2
5j2i
2
5w 9) D = (0, 6, 11) 
 
10) C = (9, −5, 12) e D = (6, −1, 19) 
 
11) a) LI b) LD c) LI d) LD 
 
12) a) m = 2 ou m = −1 b) m = 4 
 
13) Os pontos A, B e C não estão alinhados. 
 
14) Os valores de y e z são tais que y + 2z = 4. 
 
15) a) São coplanares b) Não são coplanares 
 
16) Os vetores , e são lados de um triângulo. 
→
a
→
b
→
c
 
17) A, B e C são vértices de um triângulo 
 
18) , e formam uma base negativa para o ℜ→a →b →c 3. →→→→ ++= k
91
5j
91
39i
13
1v 
 
19) , e formam uma base negativa para o ℜ→u →v →w 3. →→→→ ++= wvua
 
21) 
→→→→ +−= c
2
3b2a
2
1u 22) 
→→→ += v7u8w
 
Seção 2.6.5 
 
3) 10 4) 20 5) a) 13 b) 13 
 
6) Normas iguais 7) ( 62)c3b()b2a3 −=+⋅− →→→→
 
Seção 2.6.9 
 
1) 

 +−= →→→ k5j3
34
1v 2) 3
11x −= 
 
3) 2u =→ , 34vu =+ →→ 4) x = 0 
 
5) 
1
1
u
u
u →
→
→ = , onde →→→→ 


 −+


 −+


 += k
11
1
14
3j
14
2
11
1i
11
3
14
1u 1 
 
6) A, B e C são vértices de um triângulo, que é retângulo e isósceles. 
  , e 090AC,AB =


→→ 045BC,AB =

 →→ 045CA,CB =

 →→
 
7) ℜ∈αα= →→→ ,uvproj
u
8) 

 ++= →→→→→ k4j5i21
1vproj
u
 
 
9) →=α
v
xcos , →=β
v
ycos , →=γ
v
zcos 
 
10) γ = 450 11) →→→→ −+= kj2iv ou →→→→ −−= kj2iv 
 
12) 
13
4i,vcos =

 →→ , 
13
3i,vcos =

 →→ , 
13
12i,v =

 →→cos 13) →→→→ −+−= k36j45i48b
 
14). 
→→→→ ++= k35j
2
2i
2
63v 
 
15) não é base ortonormal. 


 →→→ c,b,a →→→→ ++= k
3
5j
3
4i
3
1v 
 
Seção 2.7.6 
 
1) 
→→→→→ −−=× k4j10iba →→→→ −−=× k3i3ac →→→→→ =

 ×+

 × 0bccb 
2) 

 −+−= →→→→ k4j4i3
42
1v 3) 
→→→ += j
13
10i
13
24v 4) 1210A = 
 
5) A, B e C são vértices de um triângulo, que é isósceles. 1855A = 
 
6) , , 
→
 
→→→→→ ++== k3ji2ua →→→→→ −+== k3ji4vb →→→→→ −+−=×= k2j18i6bac
 
→→→→ +−= k
91
4j
91
7i
91
26w 
 
7) e devem ser paralelos 
→
a
→
b
 
8) 
138
9i,vucos −=

 × →→→ , 
138
5j,vucos =

 × →→→ , 
138
7k,vu =

 × →→→cos 
 
9) a) 
5
3±=m b) m = 0, se não é paralelo a →a →b
 m ∈ ℜ, se é paralelo a →a →b
 
10) 
→→→→ ++= k10j50i70c
 
Seção 2.8.6 
 
1) , , 7w,v,u −=

 →→→ 7u,w,v −=

 →→→ 0w,w,u =

 →→→
 
2) Os vetores dados não são coplanares, pois o produto misto é diferente de zero. 
 
3) V = 15 u.v. 4) a) São coplanares 4) b) Não são coplanares 
 
5) x ≠ 1 ou x ≠ −2 
 
6) a)  ,  e  090BC,AB =


→→ 045AC,AB =


→→ 045CA,CB =


→→
 
b) 

 += →→→→ kj2
1ABproj
AC
 
c) 
2
2=h d) .a.u2
1)ABC(Área =∆ e) V = 1 u.v. 
 
7) O ângulo entre os vetores é 900 e, portanto, esses vetores são LI. 
 
8) 
1
1
a
a
a →
→
→ = , onde , →→→→ +−= k2ji2a 1
1
1
b
b
b →
→
=→ , onde e →→→→ −−−= k2j26i11b 1
1
1
c
c
c →
→
→ = , onde 
 
→
k7
→→→ ++−= j2i6c 1
 
9) será base ortonormal se x = ± 


 →→→ c,b,a
3
1 . 
→→→→ +−−= c
3
10b
3
1a
3
5v 
 
10) .v.u24c,b,a =

 →→→
 
11) A, B, C e D podem ser vértices de um paralelepípedo. V = 24 u.v.. E = (3, −3, 3) 
 
12) Usando projeção: a base será composta pelos vetores , onde 


 × →→→→ wu,w,u
⋅⋅−=








⋅−=−= →
→
→→→
→
→
→
→→→→
→
→→
u
u
uvv
u
u
u
uvvvprojvw 2u
 
 Usando produto vetorial: 


 

 ××× →→→→→→ vuu,vu,u
 
13) A base será negativa se x < 0 e será ortogonal se x ≠ 0. A base será ortonormal se x ≠ 0 e tomarmos 
os seus respectivos vetores unitários. 
 
14) 10cba =++ →→→