Cap.2 - Sistema de Numeração e Códigos

Prévia do material em texto

Sistemas Digitais 
Sistema de Numeração e 
Códigos 
Prof. Ubiratan Ramos 
2 
Sistemas Numéricos 
 Regras para formação: símbolos e posição 
 Por que base 10? 
 Potência de 10 (raiz ou base 10) 
 Representação na Forma Polinomial (FP) 
3 
Sistema de Numeração Decimal 
 Dígitos com algarismos (símbolos): 
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
 
 Ex: 48610 (forma posicional) = 400 + 80 + 6 
= 4x100 + 8x10 + 6x1 
= 4x102 + 8x101 + 6x100 (forma polinomial) 
 
 Ex: 36,0410 = 30 + 6 + 0,0 + 0,04 
= 3x10 + 6x1 + 0x0,1 + 4x0,01 
= 3x101 + 6x100 + 0x10-1 + 4x10-2 
 
4 
Sistema de Numeração Decimal 
 Forma genérica (forma polinomial) 
 
 D = dm-1x10
m-1 + dm-2x10
m-2 +...+ d1x10
1 + d0x10
0 + 
 
 + d-1x10
-1 + d-2x10
-2 +...+ d-n+1x10
-n+1 + d-nx10
-n 
 
Onde: 
10: base decimal 
m-1 a 0: parte inteira do número 
 (m é o número de algarismos na parte inteira) 
-1 a -n: parte fracionária do número 
 (n é o número de algarismos na parte fracionária) 
dm-1: dígito mais significativo (MSD) 
d-n: dígito menos significativo (LSD) 
5 
Sistema Genérico de Numeração 
 Forma genérica 
 
 D = dm-1xr
m-1 + dm-2xr
m-2 +...+ d1xr
1 + d0xr
0 + 
 
 + d-1xr
-1 + d-2xr
-2 +...+ d-n+1xr
-n+1 + d-nxr
-n 
 
 
1m
ni
i
i rdD
r: base genérica 
MSD (dígito mais significativo) 
LSD (dígito menos significativo) 
Ex: 13496,12 
 
6 
Sistema de Numeração Binário 
 Dígitos com algarismos (símbolos): 
 0,1 
 B = bm-1x2
m-1 + bm-1x2
m-2 +...+ b1x2
1 + b0x2
0 + 
 
 + b-1x2
-1 + b-2x2
-2 +...+ b-n+1x2
-n+1 + b-nx2
-n 
1
2
m
ni
i
ibB
7 
Sistema de Numeração Binário 
 Ex: 
 
10101,11112 = 1 x 2
4 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 
 1 x 2-1 + 1 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4 
 
 = 1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 + 
 + 1 x 0,5 + 1 x 0,25 + 1 x 0,125 + 1 x 0,0625 
 
 = 21,937510 
 
8 
Sistema de Numeração Octal 
 Dígitos com algarismos (símbolos): 
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
 
Ex: 
 378 = 3 x 8
1 + 7 x 80 = 24 + 7 = 3110 
 
 
 
 
9 
Sistema de Numeração Hexadecimal 
 Dígitos com algarismos (símbolos): 
 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
 
 10 11 12 13 14 15 
 
Ex: 
 1AEH = 1 x 16
2 + 10 x 161 + 14 x 160 = 
 = 256 + 160 + 14 = 43010 
 
10 
Conversão entre Bases 
 Binário, Octal e Hexadecimal para Decimal: 
 Utilizar a Forma Polinomial para encontrar o valor. 
1m
ni
i
i rkK
11 
Conversão entre Bases 
 Decimal para Binário, Octal e Hexadecimal (parte inteira): 
 MÉTODO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS 
2 54 
27 0 2 
13 1 2 
 6 1 2 
 3 0 2 
1 1 2 
0 1 
Ex: 5410 = ?2 1101102 
12 
Conversão entre Bases 
Ex: 32110 = ?8 
 
8 321 
40 1 8 
5 0 8 
 0 5 
5018 
Ex: 5710 = ?5 
 
5 57 
11 2 5 
2 1 5 
 0 2 
2125 
13 
Conversão entre Bases 
Ex: 79510 = ?16 
 
16 795 
49 11 16 
3 1 16 
 0 3 
31BH 
Ex: 87410 = ?16 
 
16 874 
54 10 16 
3 6 16 
 0 3 
36AH 
14 
Conversão entre Bases 
 Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas 
 Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente 
Ex: 0,3194710 = ?2 
 
0,31947 x 2 = 0,63894 
0,63894 x 2 = 1,27788 
0,27788 x 2 = 0,55576 
0,55576 x 2 = 1,11152 
0,11152 x 2 = 0,22304 
0,22304 x 2 = 0,44608 
 
0,0101002 
... 
15 
Conversão entre Bases 
 Parte fracionária: Método das Multiplicações Sucessivas 
 Multiplicar o número decimal pela base sucessivamente 
Ex: 0,915610 = ?16 
 
0,9156 x 16 = 14,6496 
0,6496 x 16 = 10,3936 
0,3936 x 16 = 6,2976 
0,2976 x 16 = 4,7616 
0,7616 x 16 = 12,1856 
 
0,EA64C16 
... 
16 
Conversão entre Bases 
17 
Conversão entre Bases 
 Binário <-> Octal 
 Método da Codificação 
Bin Oct 
 5 1 6 4 
101001110100 
 
 4 5 2 3 
100101010011 
 
 
 3 5 6 0 
 11101110000 
 
 1 7 2 4 
 1111010100 
 
 
0 
0 0 
18 
Conversão entre Bases 
 Binário <-> Hexadecimal 
 Método da Codificação 
Bin Hexa 
 A 7 4 
101001110100 
 
 9 5 3 
100101010011 
 
 
 1010000010 
 2 8 2 
 
 11111000001 
 7 C 1 
 
00 
0 
19 
Conversão entre Bases 
 Octal <-> Binário 
 Método da Codificação 
Oct 
 4 0 5 3 
100000101011 
 
 3 4 1 2 
011100001010 
 
 
 2 4 5 7 
010100101111 
 
 0 6 1 3 
000110001011 
 
 
Bin 
20 
Conversão entre Bases 
 Hexadecimal <-> Binário 
 Método da Codificação 
Bin Hexa 
 A 7 4 
101001110100 
 
 9 5 3 
100101010011 
 
 
001010000010 
 2 8 2 
 
011111000001 
 7 C 1 
 
21 
Conversão entre Bases 
22 
Operações Numéricas 
 Soma e Subtração Decimal (relembrando) 
3 1 7 
 + 9 6 
3 
1 
1 
1 
4 
9 2 3 
 - 4 9 
4 7 8 
Vem-1 ou Borrow 
Vai-1 ou Carry 
23 
Operações Numéricas 
 Soma Aritmética em Binário 
0+0=0 0+1=1 1+0=1 
1+1=0 e Vai-1 (10) 1+1+1=1 e Vai-1 (11) 
 Ex: 987 + 123 
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
 + 1 1 1 1 0 1 1 
0 
1 
1 
1 
1 
_ 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
1 
1 
0 
1 
0 
1 
0 
1 
1 
Vai-1 ou Carry 
Transbordo ou overflow 
24 
Operações Numéricas 
 Subtração Aritmética em Binário 
0-0=0 0-1=1 (Vem-1) 1-0=1 1-1=0 
 Ex: 987 - 123 
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
 - 1 1 1 1 0 1 1 
0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 
Vem-1 ou Borrow 
25 
Representação Números Negativos 
 Sinal-módulo 
O bit mais significativo é o sinal, onde 0 = positivo e 
1 = negativo 
Ex.: 
10010101B = -2110 
01100010B = +9810 
 
 Complemento de 1 
 É o número binário complementado (bits invertidos) 
Ex.: 
10010101B = 01101010C,1 
01100010B = 10011101C,1 
26 
Representação Números Negativos 
 Complemento de 2 
 É o número binário complementado (bits invertidos) 
e adicionado de 1. 
Ex.: 
10010101B = 01101011C,2 
01100010B = 10011110C,2 
 
 Algoritmo para efetuar o Complemento de 2: 
 Reescrever o número binário da direita para a esquerda, 
copiando-o bit a bit. Quando encontrar o primeiro “1”, 
copiar este e inverter todos os bits que vierem a seguir. 
27 
Representação Números Negativos 
 Ex.: 
N = 01112 
N = 10002 
C2 = 10002 + 12 = 10012 
 
 Ex.: 
N2 =01001011102 
NC,2 =10110100102 
 
28 
Representação Números Negativos 
 Subtração com complemento de 2 
 Ex: 12 – 5 = 7 
 12 + (-5) = 7 
 
 
1100 <------ Binário de 12 
+ 1011 <- C2 do Binário de 5 
10111 <-Resultado da adição 
 0111 <- Reservar a 
quantidade de 
dígitos da operação 
29 
Representação Números Negativos 
 Subtração com complemento de 2 
 Ex: 12 – 15 = -3 
 12 + (-15) = -3 
 
 1100 <- Binário de 12 
+ 0001 <- C2 do Binário de 15 
 1101 <- Resultado da adição é 
negativo e igual a -3 
0011 <- Complemento de 2 comprova o 
resultado 
30 
Operações Numéricas 
 Multiplicação Aritmética em Binário 
0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 
 Ex: 987 x 5 = 4.935 
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
 x 1 0 1 
 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
 0 
1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 
1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 
31 
Operações Numéricas Divisão Aritmética em Binário 
 
 Ex: 985 5 = 197 
1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 
1 
0 
1 
1 0 1 
0 1 0 1 
1 
0 0 
0 0 0 
1 1 0 
1 
1 0 1 
1 1 0 
0 
1 0 1 
32 
Códigos Especiais 
 Código Gray (valores adjacentes diferem entre si de apenas 1 
bit). Ex.: disco de rotação e posicionamento, Mapa de Veitch-
Karnaugh. 
33 
Códigos Especiais 
 Construção do Código Gray: Regras 
 De Binário para Código Gray 
 Para converter binário em Gray, comece com o bit binário mais 
significativo e use-o como o Gray MSB. Em seguida, compare o binário 
MSB com o próximo bit binário; se eles forem iguais, então o bit na 
codificação Gray será 0; se forem diferentes, será 1. Repita a 
operação até o último bit. 
 
 
 
 
 
34 
Códigos Especiais 
 Construção do Código Gray: Regras 
 De Código Gray para Binário 
 Para converter Gray em binário, comece com o bit Gray mais 
significativo e use-o como o binário MSB. Nos passos seguintes, cada 
bit binário é obtido comparando-se o bit binário à esquerda com o bit 
correspondente em Código Gray. Bits similares produzem um 0 e bits 
diferentes produzem um 1. 
35 
Códigos Especiais 
 Construção do Código Gray: espelhamento 
 
36 
Códigos Especiais 
 Complemento de 2 & Código Gray 
 
37 
Códigos Especiais 
 Código BCD (Binary Coded Decimal). Ex.: display de 7 segmentos 
 
 8 7 4 
100001110100 
 
 9 4 3 
100101000011 
 
 
011010000011 
 6 8 3 
 
011111000001 
 7 Erro 1 
 
13710 = 100010012 
 
13710 = 000100110111BCD 
 
38 
Códigos Especiais 
 Código ASCII 
 (American Standard Code for Information Interchange) 
 
39 
Método de Detecção de Erro - Paridade 
 Adição de 1 bit para indicar a quantidade de “1”s 
 Paridade par: bit adicionado para que a quantidade de “1”s seja PAR 
 Paridade ímpar: bit adicionado para que a quantidade de “1”s seja ÍMPAR 
 
Transmissor 
 
 
Receptor 
 
Se paridade par: 10000110 x 
 
Se paridade ímpar: 10000110 x 
1 
0 
40 
Notas Importantes 
 Binário, qual o maior número que pode ser representado usando-se 
8 bits ? : 
 
2n – 1= 256-1=25510 = 1111 1111B = 3778 = FFH 
41 
Notas Importantes 
 Binário 0 
 Binário 1 
5V 
2,5V 
0,8V