01 Resistência dos Materiais

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Resistência Dos Materiais 
Definição Dos Elementos Estruturais 
Objetivo do módulo: mostrar a relação entre Engenharia e Arquitetura e a definição dos elementos de 
uma estrutura 
A Engenharia e a Arquitetura não devem ser vistas como duas profissões distintas, separadas, 
independentes uma da outra. Na verdade elas devem trabalhar como uma coisa única. 
Um Sistema Estrutural definido pelo conjunto de Elementos Estruturais (lajes, vigas, pilares, 
fundações) deve ter presente em sua concepção tanto uma visão Técnica (Engenharia) como 
também uma Expressão Arquitetônica (Arquitetura). 
Definição Dos Elementos Estruturais 
Laje: estrutura laminar, onde duas dimensões são da mesma ordem de grandeza e a terceira 
acentuadamente de menor dimensão. 
 
As lajes em um Sistema Estrutural estão, na maioria das vezes, apoiadas em vigas, podando 
também, em certos casos, estarem apoiadas diretamente sobre pilares. 
Viga: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante em relação às outras duas. 
 
As vigas em um Sistema Estrutural podem estar apoiadas diretamente sobre os pilares como também 
sobre outras vigas. 
Pilar: estrutura reticular, onde uma das dimensões é preponderante às outras duas. 
 
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Os Pilares Em Um Sistema Estrutural Estão Apoiados Nas Fundações 
Fundação: estrutura tridimensionalmente monolítica, onde as três dimensões são da mesma ordem 
de grandeza. 
 
As fundações em um Sistema Estrutural estão apoiadas em estacas ou diretamente sobre o terreno. 
Posicionamento Dos Elementos Estruturais 
O posicionamento dos elementos estruturais (lajes, vigas, pilares, fundações) é dado em função de 
cada projeto, em consonância com os demais projetos componentes de uma edificação, como por 
exemplo: projeto arquitetônico, projeto hidráulico, projeto elétrico etc. 
Você gostaria de ter que se abaixar todas as vezes que desce uma escada para não correr o risco de 
fazer um galo batendo-a em uma viga que cruza esta escada? 
 
Você gostaria de estar sentado na platéia de um teatro em uma poltrona que fica bem atrás de um 
pilar? 
 
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Seria interessante uma tubulação horizontal ter que desviar das vigas em cada piso de um edifício? 
 
Qual seria o limite de altura para edifícios em: 
Alvenaria: chega-se até 20 pavimentos mas com uma limitação, a espessura das paredes no 
pavimento térreo que podem chegar até 1,50 metros. 
 
Concreto armado: chega-se até 60 pavimentos com a limitação nas dimensões e na quantidade de 
pilares no pavimento térreo. 
 
Aço: chega-se até 190 pavimentos com limitações quanto à necessidade de travamento e também, 
dependendo da eficiência do travamento, limitações devido à possíveis oscilações que possam 
ocorrer devido ao vento (podendo chegar até 40 cm no topo de um edifício para ventos muito fortes) 
 
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Estática: Princípio Básico Da Arquitetura 
Objetivo do módulo: mostrar a relação entre estética e estática e os problemas que podem ocorrer 
quando os princípios da estática não são observados 
1. Estática: Princípio Básico da Arquitetura 
A fórmula a seguir é para você, que gosta de Arquitetura e não sabe o que está fazendo nesta 
disciplina. 
Projeto = Estética + Estática + Outros 
ESTÉTICA: responsável pela "arte" de um projeto. A estética é dada pela expressão arquitetônica 
através de várias disciplinas, sendo a principal delas a disciplina de Planejamento Arquitetônico. 
ESTÁTICA: responsável pela "técnica" de um projeto. A estática se encarrega de fazer com que uma 
estrutura fique "em pé", suportando as cargas e as transportando sem deformações excessivas até o 
terreno. A palavra ESTÁTICA, vem do grego "statikos" e quer dizer imóvel como estátua, parado. 
OUTROS: alguns itens também devem ser considerados na execução de um projeto. Projeto elétrico, 
projeto hidráulico, projeto de conforto ambiental, paisagismo, integração com o entorno, definição dos 
materiais a serem utilizados, definição dos processos construtivos, entre outros. 
A principal função, do ponto de vista estrutural, para uma edificação é ser estática, porém: 
Ela pode se "inclinar", por não estar bem travada ou por problemas de fundação.Ela pode se 
deformar e/ou fissurar excessivamente, em partes ou como um todo, devido a excesso de carga ou 
travamento inadequado. 
 
Partes da estrutura podem ser afastadas uma da outra devido a falhas nas juntas (para estruturas 
metálicas ou de madeira). 
 
Um ou mais pilares de um edifício sujeitos a carga de compressão podem flexionar ao máximo até 
que, a menos que o carregamento seja retirado, eles rompem. 
 
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Os materiais podem estar sobrecarregados gerando ruptura 
 
Após um período de tempo, pode haver decomposição dos materiais devido à fatores externos 
- Influência da Técnica na Expressão Arquitetônica 
Objetivo do módulo: apresentar opiniões de vários Arquitetos conceituados nacional e 
internacionalmente a respeito de como a técnica pode servir para a Arquitetura e vice-versa 
Influência Da Técnica Na Expressão Arquitetônica Alfred Willer 
"Não se admite mais que hoje se faça um anteprojeto e não se localize os elementos estruturais, ou 
seja, o projeto arquitetônico e o estrutural estão ligados, pois quem propõem a estrutura e quem a 
viabiliza e a dimensiona é o engenheiro. Logo, o arquiteto tem que ter uma boa experiência de como 
funciona a estrutura. 
O objetivo da cadeira Sistemas Estruturais no curso de Arquitetura não é tornar o Arquiteto um 
calculista, mas fazer os estudantes entenderem como funciona uma estrutura, conhecer as várias 
opções estruturais e propor, dentro do projeto arquitetônico, uma solução viável". 
Roberto Luiz Gandolfi 
"A trilogia função, técnica e plástica é Arquitetura. Não é possível criar um espaço sem saber as 
técnicas e instalações necessárias para que se desempenhe todas as funções satisfatoriamente. As 
técnicas que têm que servir a esta função não são influência sobre a Arquitetura e sim a própria 
Arquitetura". 
Leonardo Tossiaki Oba 
"Os elementos técnicos mais expressivos na Arquitetura são, em geral, as suas estruturas. A 
estrutura define e estabelece o espaço arquitetônico. Cada arquiteto acaba por desenvolver um modo 
particular de expressão estrutural. Pessoalmente acho que se deve evitar excessos e buscar sempre 
uma coerência nas decisões usando técnicas adequadas para cada caso. Ou seja, usar vãos maiores 
somente quando necessário e quando não houver necessidade de flexibilidade ou grandes vãos, 
procurar soluções estruturais mais simples. Seria algo como uma "composição estrutural" onde cada 
espaço tem uma solução mais sintonizada com as suas necessidades e o conjunto se expressa como 
um todo coerente e composto." 
Elgson Ribeiro Gomes 
"Utilizo a técnica dos engenheiros acrescentando graça e bom gosto. 
A utilização da técnica deve ser feita de forma moderada e modesta para que não se produzam 
efeitos que descaracterizam a obra". 
Oscar Niemeyer 
"A Arquitetura e a Engenharia são duas coisas inseparáveis. 
A estrutura é a própria Arquitetura, não existe Arquitetura sem estrutura.Quando o tema permite, é preciso invadir o campo fecundo da imaginação e fantasia e procurar a 
forma diferente, a surpresa arquitetural. E aí surgem as conquistas estruturais inovadoras; os grandes 
vãos livres, os balanços enormes, as cascas finíssimas, enfim, tudo que pode demonstrar o progresso 
da técnica em toda sua plenitude". 
Lúcio Costa 
"Enquanto satisfaz apenas as exigências técnicas e funcionais - não é ainda Arquitetura; quando se 
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perdem intenções meramente decorativas - tudo não passa de cenografia; mas quando - popular ou 
erudita - aquele que a ideou, pára e hesita, ante a simples escolha de um espaçamento de pilar ou da 
relação entre a altura e a largura de um vão, e se detém na procura obstinada da justa medida entre 
cheios e vazios, na fixação dos volumes e subordinação deles a uma lei, e se demora atento ao jogo 
dos materiais e seu valor expressivo - quando tudo isto se vai pouco a pouco somando, obedecendo 
aos mais severos preceitos técnicos e funcionais, mas, também, àquela intenção superior que 
seleciona, coordena e orienta em determinado sentido toda essa massa confusa e contraditória de 
detalhes, transmitindo assim ao conjunto, ritmo, expressão, unidade e clareza - o que se confere à 
obra o seu caráter de permanência: isto sim é Arquitetura". 
Tipos de Carregamentos 
Objetivo do módulo: definir os tipos de carregamento concentrado, distribuído/m e distribuído/m². 
Carregamentos (Carregamento: qualquer influência que causa forças ou deformações em uma 
estrutura). 
Sabe-se que na antiguidade não havia o cálculo ou o projeto estrutural. A evolução acontecia de uma 
obra para outra na base da tentativa e do erro. Muitas vezes uma obra que demorara até centenas de 
anos para chegar até um determinado estágio não suportava os carregamentos impostos até mesmo 
pelo próprio peso da estrutura e desabava. Então, não restava nada a fazer senão aprender com o 
erro ocorrido e recomeçar a construção. 
Um fator que colaborou com a evolução de uma obra do ponto de vista estrutural, foi a observação 
das forças da natureza. Esta observação permitiu que os elementos estruturais tivessem dimensões 
cada vez menores e também permitiu que os vãos se tornassem cada vez maiores. 
Exemplo: uma árvore e suas raízes poderiam perfeitamente servir de exemplo para a construção de 
um pilar com sua fundação. 
 
Com o surgimento da Revolução Industrial, foram surgindo novas técnicas e novos materiais. Com 
estas técnicas e materiais, alguns modelos teóricos, ou seja, explicações, para as forças da natureza 
foram descobertos. Baseados nestes modelos teóricos surgiram então os projetos mostrando que 
uma obra poderia ser construída sem a necessidade de experimentos com obras anteriores (acabou 
o processo de tentativa e erro). O primeiro fator a ser considerado quando da execução do projeto 
estrutural de uma obra são os carregamentos nela atuantes. 
Tipos De Carregamentos 
Existem três tipos de carregamentos: concentrado, distribuído/m e distribuído/m². 
Concentrado: Representa uma força aplicada em um único ponto da estrutura. Unidade (SI): N, e 
pode acontecer nos seguintes elementos estruturais: 
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Distribuído/m: Representa uma força distribuída sobre uma linha da estrutura. Unidade(SI): N/m, e 
pode acontecer nos 
Seguintes elementos estruturais: lajes, vigas. 
 
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Distribuído/m²: 
Representa uma força distribuída sobre uma superfície da estrutura. Unidade(SI): N/m², e pode 
acontecer no seguinte elemento estrutural: laje. 
 
Sobre uma laje: 
 
Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação 
Objetivo do módulo: mostrar os carregamentos permanentes atuantes em uma estrutura. 
Os carregamentos permanentes estão atuando sobre a estrutura durante todo o tempo, não 
importando qual seja a sua utilização ou quais sejam as condições atmosféricas. 
Peso-Próprio (PP): 
Os elementos estruturais têm o peso que deve ser considerado na definição dos carregamentos 
atuantes em uma estrutura. Este peso, definido como peso-próprio é função do peso específico do 
material em questão. 
: peso específico do material (N/m³) 
 
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Peso específico ( ) de alguns materiais mais utilizados: 
►concreto armado: 25 kN/m³ 
►madeira: varia de 5 kN/m³ (pinho) até 10 kN/m³ (ipê) 
►aço: 78 kN/m 
Alvenaria: 
O peso das paredes de alvenaria de uma obra deve ser considerado sobre os elementos estruturais 
em que elas se apóiam. Estes elementos podem ser vigas, caso mais comum ou lajes. O peso da 
alvenaria é função do peso/m² da alvenaria, que varia de acordo com sua espessura. 
Fórmula 
 
O Peso/M² Dos Principais Tipos De Alvenaria São Os Seguintes 
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Notas: 
a - Os valores de peso/m² da alvenaria acima foram calculados para tijolo de barro furado com 
argamassa de 1,5 cm entre tijolos, e 1 cm de reboco. 
b - Os vazios que podem aparecer em uma parede de alvenaria não devem ser considerados, 
proporcionando assim uma maior segurança. 
Revestimento 
O peso dos revestimentos de uma obra deve ser considerado sobre aquelas lajes em que eles se 
apóiam. Um valor básico é utilizado como peso de revestimento: 
rev = 0,50 kN/m2 (carregamento distribuído/m2) 
Notas: 
O valor acima é considerado somente para revestimentos mais comumente utilizados, como por 
exemplo: taco, tapete, borracha, paviflex, etc. 
 
Para outros tipos de revestimento devem ser consultadas tabelas especiais ou devem ser feitas 
consultas ao próprio fabricante. 
Cobertura 
O peso da cobertura deve ser considerado naquelas lajes em que se apóiam algum tipo de cobertura, 
entendo-se por cobertura toda a estrutura que suporta as telhas mais o peso das próprias telhas. O 
peso da cobertura é função do peso/m² do telhado. 
cob = 0,60 kN/m2 à 1,00 kN/m2 (carregamento distribuído/m²) 
0,60 kN/m² para telha de fibrocimento e 1,00 kN/m² para telha de barro. 
Estrutura Sobre A Estrutura:RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Alguns elementos estruturais podem se apoiar sobre outros elementos sendo, portanto a carga 
definida pela reação de um elemento estrutural sobre outro. 
As fotos mostram os tipos de reações de elementos estruturais sobre a própria estrutura que podem 
ocorrer. 
 
 
 
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- Classificação dos Carregamentos com Relação ao Tempo de Atuação 
Objetivo do módulo: mostrar os carregamentos acidentais que podem atuar em uma estrutura. 
Exemplo de cálculo de carregamentos em uma estrutura. 
Os carregamentos acidentais, ao contrário dos permanentes, nem sempre estão presentes em um 
Sistema Estrutural. Há épocas em que eles são atuantes e há épocas em que eles não aparecem. 
Devido a esta sazonidade, eles devem ser considerados durante todo o tempo, não podendo nunca 
ser esquecidos. 
Vento 
Este tipo de carregamento é considerado somente para edificações muito altas ou edificações 
especiais, como por exemplo, torres, caixas d'água elevadas, galpões, etc. 
Empuxo 
Empuxo é a força proveniente da ação da água nas piscinas ou caixas d'água ou do solo nos sub-
solos sobre as paredes verticais. 
 
 
Frenagem 
Provavelmente em uma de suas viagens você já deve ter observado cena parecida: em um daqueles 
grandes viadutos que tem uma grande inclinação, um caminhão daqueles enormes resolveu 
ultrapassá-lo. Porém, lá embaixo, no final do viaduto, estavam atravessando a pista uma mãe de 
mãos dadas com uma criança. Você só olhou para o lado e ouviu uma grande freada do caminhão. 
Felizmente nada aconteceu, o caminhão conseguiu parar a tempo!!! 
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Mas imagine só o deslocamento horizontal do viaduto com a freada, e o que este deslocamento deve 
ter provocado nos pilares! Parece que não, mas a frenagem é um dos principais carregamentos que 
devem ser considerados no cálculo de pontes e viadutos, sendo logicamente função do peso do 
veículo. Quanto mais leve o veículo menor o efeito da frenagem e quanto mais pesado o veículo, 
maior o efeito da frenagem. 
Sobrecargas 
São carregamentos dados em função da utilização de determinado compartimento da edificação. O 
efeito da sobrecarga é considerado sobre lajes sendo, portanto um carregamento do tipo 
distribuído/m². 
Valores a serem considerados: 
Forro (sem acesso ao público): sc = 0,50 kN/m² residência, escritório: sc = 1,50 à 2,00 kN/m² 
Compartimentos com acesso ao público (escolas, restaurantes, etc.): sc = 3,00 kN/m² 
compartimentos para baile, ginástica, esporte (teatros, ginásios, clubes, etc.): sc = 4,00 kN/m² 
compartimentos para arquivos/bibliotecas/depósitos: sc = função de cada caso 
Forro 
 
Escritório 
 
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Sala de Aula 
 
Sala de Ginástica 
 
Biblioteca 
 
Terremoto, Neve 
Tanto o terremoto como a neve são tipos de carga acidental que devem ser considerados. 
Felizmente, no Brasil, não há a necessidade da consideração deste tipo de carregamento, uma vez 
que eles não ocorrem nem com intensidade nem com frequência suficiente que justifique sua 
consideração. 
Cargas Móveis 
Logicamente a carga é dita móvel porque se mexe. E o que se mexe é um veículo. Portanto, a carga 
a ser considerada é o peso dos veículos se deslocando sobre pontes e viadutos. O efeito da carga 
móvel é função do peso e da localização do veículo sobre a estrutura. Normalmente, o peso do 
veículo é conhecido, sendo utilizados veículos padrões. Mas a localização do veículo se modifica a 
cada momento, sendo necessários então métodos especiais para a consideração deste fator, 
dificultando a consideração deste tipo de carga quando do cálculo de pontes e viadutos. 
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Exemplos De Carregamento 
Baseado no esquema seguinte definir a carga na laje L1, nas vigas V2 e V5 e no pilar P5 . 
Dados: 
▪ Piso de escritório 
▪ Revestimento da laje: taco 
▪ Alvenaria: 1 vez 
▪ Material: concreto armado 
▪ Reação da laje L1 nas vigas V1, V3, V4 e V5: 6,25 KN/m 
▪ Reação da viga V1 sobre os pilares P1 e P2: 42,68 KN 
▪ Reação da viga V2 sobre a viga V5 e o pilar P5: 2,19 KN 
▪ Reação das vigas V3 e V4 sobre os pilares P1,P3 e P4: 43,93 KN 
▪ Reação da viga V5 sobre o pilar P2: 43,33 KN 
▪ Reação da viga V5 sobre o pilar P4: 44,21KN 
 
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Introdução À Resistencia Dos Materiais Esforço Normal Simples 
Introdução A Resistência Dos Materiais 
Um corpo em equilíbrio, sujeito a cargas externas ativas e reativas, possui em seu interior esforços. 
Estes esforços internos ou solicitações internas são devidos ao deslocamento das partículas que 
compõem o corpo, até que seja atingido o equilíbrio. Observe-se que o equilíbrio se dá na 
configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em 
estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações. 
A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas 
partes de um corpo quando sob a ação destas solicitações internas. 
Podemos resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo: 
 
Tensões 
Conforme já citamos, as tensões que se desenvolvem entre as partículas de um corpo são 
conseqüência dos esforços internos desenvolvidos. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como conseqüência 
também o será. 
Lembrando o método das seções visto em Isostática: 
"Supondo um corpo carregado e em equilíbrio estático. Se cortarmos este corpo por uma 
seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, podemos dizer que na 
seção cortada devem se desenvolver esforços que se eqüivalham aos esforços da parte da 
direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços, 
convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O 
isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode 
ser feito." 
Partindo deste raciocínio podemos afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção 
cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o 
equilíbriodo corpo isolado. A tensão (p) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que 
a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma. 
 
Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, teremos o representado na 
figura (a). 
Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço 
segundo 3 direções ortogonais que queiramos, e, portanto conforme foi feito com as solicitações, 
vamos fazer esta decomposição em direções convenientes (fig b) levando-se em consideração as 
deformações que provocam. 
 
Isto nos permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias: 
- Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento - Contidas pelo plano da seção de referência. 
- Tensão Normal - Perpendicular à seção de referência. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Tensões Normais Conceito: 
A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar 
alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo- as paralelas. 
Deformação específica longitudinal 
Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica 
longitudinal, representando-a pela letra 
Deformação Específica Longitudinal é a relação que existe entre a deformação medida em um 
corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão. 
 
Observe que no exemplo dado portanto (alongamento) 
Poderíamos mostrar um outro exemplo onde consequentemente (encurtamento) 
 
 
OBSERVAÇÕES: 
1. Sinal: 
(+) Alongamento Corresponde à uma tensão de tração que também é positiva 
(-) Encurtamento Corresponde à uma tensão de compressão que também é negativa 
2. Unidade: 
- adimensional quando tomarmos para a mesma unidade que para li 
-Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos em mm e li em m(metros). 
Tensões Tangenciais ( ) Conceito: 
Tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou 
cisalhamento nesta seção. 
Distorção Específica ( ) 
Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais, sendo representada pela letra 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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grega 
Vamos supor um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. 
Para melhor visualizarmos a deformação vamos considerar fixa a face compreendida pelas arestas A 
e B. 
 
Como em estruturas trabalharemos sempre no campo das pequenas deformações e então 
rad, então arco e tangente se confundem e podemos considerar: 
 
Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, 
medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o 
ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento. 
OBSERVAÇÃO: 
Quanto a unidade, a distorção segue a da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa 
milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos. 
Deformações E Elasticidade 
Deformação é a alteração da forma que sofre um corpo submetido a solicitações,devido ao 
movimentos das partículas que o constituem. 
Existe a tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as 
partículas. 
Podemos diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a 
uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura. 
Deformações Elásticas 
 
Iniciando o ensaio observamos que a mola se distende sob a ação das cargas, e se medirmos 
numéricamente o valor da carga e sua respectiva distensão teremos: 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Além disto, se o ensaio for interrompido durante esta fase, a mola voltará a ter sua forma e seu 
comprimento inicial. 
Este comportamento caracteriza uma deformação elástica, cujas propriedades são: 
- Deformações reversíveis 
- Proporcionalidade entre carga e deformação. 
Deformações Plásticas: 
 
Se aumentássemos a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a 
proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam 
as chamadas Deformações Residuais. 
Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico. 
Note-se então que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das 
deformações. 
Se aumentássemos ainda mais a carga, o próximo limite seria a Ruptura. 
Lei De Hooke 
Conforme veremos, a maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, 
sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de 
mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência doa Materiais. 
Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos 
corpos em regime elástico. 
"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são proporcionais 
enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material." 
Expressões analíticas: 
 
 
Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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determinados experimentalmente. Exemplo: 
 
Lei De Poisson 
Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais 
provocam deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua: 
 
Observando o modelo acima podemos notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento 
(diminuição no seu comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam. 
Se observássemos um corpo tracionado, veríamos que o aumento de seu comprimento viria 
acompanhado de uma diminuição nas dimensões de sua seção transversal. 
 
Além disto os estudos de Poisson nos conduzem a uma proporcionalidade entre as deformações 
longitudinais e transversais, definindo a constante µ chamada de coeficiente de Poisson, e se 
constituindo na terceira constante elástica de um material,que também é determinada 
experimentalmente. 
 
Também foi observado que em qualquer direção perpendicular a da tensão a deformação específica 
transversal tem o mesmo valor. 
As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão: 
 
Concluindo: 
Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção. 
 
Propriedades Mecânicas Dos Materiais 
Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório 
ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova. 
No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela 
ABNT. 
O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES dos 
diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se 
inicie o seu processo de ruptura. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Com a realização destes ensaios já podemos separar os materiais em dois grandes grupos: DÚTEIS 
E FRÁGEIS 
Materiais Dúteis : 
São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. 
Dentre os materiais dúteis aindatemos duas categorias: 
Dútil Com Escoamento Real: 
exemplo: aço comum 
Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama 
tensão x deformação específica( ). 
No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo: 
 
reta AB - Indica a proporcionalidade entre , portanto o período em que o material trabalha 
em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis. 
 - Tensão de proporcionalidade - Representa o limite do regime elástico. 
curva BC - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do 
material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e 
cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular 
traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho 
as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis. 
 - Tensão de escoamento 
Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza 
internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta 
grandemente a deformação que ele apresenta. 
trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas 
no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente. 
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_________________________________________________________________________________ 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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curva DE - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, 
porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis 
nitidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações 
residuais. 
R - Tensão de ruptura 
Conforme pudemos analisar no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser aproveitado até o 
escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO. 
Dútil Com Escoamento Convencional 
Exemplo: aços duros 
Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como 
em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona em 2 o/oo este limite, 
ficando a tensão correspondente convencionada 
como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material. 
 
OBSERVAÇÕES: 
Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes 
deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas 
deformações residuais. 
Apresentam uma propriedade importantíssima que é: 
Resistem Igualmente A Tração E A Compressão 
Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão. 
Materiais Frágeis 
Exemplo:concreto 
São materiais que se caracterizam pôr pequenas deformações anteriores a ruptura. O é 
quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Nestes casos a TENSÃO LIMITE é a TENSÃO DE RUPTURA. 
Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo 
necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites: 
 
 = Limite de ruptura a tração 
 = Limite ruptura a compressão 
Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração. 
Critério De Resistência - Coeficiente De Segurança 
Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Devemos ter um 
índice que otimize este binômio. 
Poderíamos dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite 
em projetos é arriscada, pois trabalhamos com diversos fatores de incerteza. 
Em vista do que foi exposto adotamos o seguinte critério: 
A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança 
(s). 
Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. 
Então, para que haja segurança: 
 
As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de 
TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões 
limites são assinaladas com uma barra ( ). 
 
Podemos resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos: 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Esforço Normal Axial 
Seja uma barra prismática de eixo longitudinal reto e seção transversal constante de área A. 
Quando sob ação de duas forças iguais e opostas, coincidentes com o seu eixo (lugar geométrico de 
todas as seções transversais) originam-se esforços no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a 
situação. 
Pode-se imaginar a barra sendo cortada ao longo de uma seção transversal qualquer, por exemplo b-
b (fig a). 
Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará. 
Na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de 
manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). 
Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao 
corte. 
Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de 
corte é necessária para manter o equilíbrio. 
Por meio deste artifício (corte) os esforços internos transformaram-se em externos e o seu cálculo se 
fez aplicando-se uma equação de equilíbrio. 
Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua(A), ficando a 
tensão definida pela expressão: 
 
sendo: 
N Esforço Normal desenvolvido 
A Área da seção transversal 
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 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada 
como: 
 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e 
treliças. 
Lembramos a convenção adotada para o esforço normal (N) 
 
Nas tensõesnormais, adotamos a mesma convenção. 
As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke: 
 
Validade Da Distribuição Uniforme 
Ao aceitarmos as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é 
idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o 
equilíbrio da força N. 
Podemos calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção se somarmos todas as 
resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal. 
 
Como partimos da premissa de que em todos os elementos de área atua a mesma tensão, decorre 
daí que: 
 
Nos materiais reais esta premissa não se verifica. Por exemplo,os metais consistem em grande 
número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais 
para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada 
caso particular e é bastante irregular. 
Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da 
elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos. 
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 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
28 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior 
será o pico de tensões normais. 
Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos. 
Outros dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são 
mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção. 
 
Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser 
verificadas a flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico 
do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento. 
Peso Próprio Das Peças 
Aspectos Gerais 
O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. 
Podemos observar como se dá a ação do peso próprio: 
 
Podemos notar que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao 
eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante. 
No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e 
provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação: 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
29 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de 
compressão. 
O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso 
específico do material: 
 
Sendo: 
A - área da seção transversal da peça l - comprimento 
 – peso específico do material 
Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples. 
A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, 
quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de 
seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor despresível em presença da carga 
externa. Nestes casos é comum desprezarmos o peso próprio da peça. Exemplo: Treliças e tirantes. 
Esforço Normal E Tensões Normais 
Consideremos uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme exemplo 
abaixo: 
 
Sejam: 
A - área de seção transversal da peça 
 - peso específico do material l - comprimento da peça 
P - carga externa atuante na peça 
Usando o método das seções cortamos a barra acima por uma seção S qualquer e isolamos um dos 
lados do corte, por exemplo, o lado de baixo. 
 
OBS: Sempre que ao separarmos em 2 partes um corpo uma delas for uma extremidade livre é 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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conveniente isolarmos esta parte pois evita o cálculo das reações vinculares. 
Como o peso do material não pode mais ser desprezado, na seção cortada deve aparecer um esforço 
normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado. Isto já nos indica 
que a posição da seção de corte tem agora importância pois ela determina o peso da peça isolado 
pelo corte. 
De acordo com esta conclusão devemos criar uma variável que nos indique a posição da seção de 
corte desejada. 
Sendo: ordenada genérica da posição da seção à ser analizada Como a barra tem um 
comprimento l 
 
 
Aplicando a equação de equilíbrio pertinente: 
 
 
onde gx é o peso parcial da barra isolada pelo corte 
Para avaliarmos o peso de um corpo, multiplicamos o seu volume por seu peso específico 
 
Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência. 
Como 0 x l podemos calcular os valores extremos do esforço normal 
 
Chamando:G - Peso total da barra 
 
Então podemos escrever de outra forma o máximo esforço normal: 
 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Podemos descrever a variação de esforço normal sob a forma gráfica: 
 
Da mesma maneira como desenvolvemos as expressões analíticas para o esforço normal podemos 
faze-lo com as tensões normais: 
 
Substituindo x por seus valores extremos teremos: 
 
Podemos com modificações algébricas expressar o valor da tensão máxima em função do peso total 
da barra,colocando A como denominador comum as parcelas: 
 
Ou 
 
OBS: 
1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à 
peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio. 
2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressas em duas 
equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A 
utilização de uma ou outra equação depende dos dados que possuimos e da conveniência do 
problema. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
32 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
3. Como ao deduzirmos estas expressões utilizamos como exemplo um caso em que tanto a carga 
externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de 
haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deveremos mudar o sinal da parcela 
correspondente. 
Deformações 
Para determinarmos a deformação total ( l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e 
ao seu peso próprio (G), utilizando o método das seções, isolamos um trecho desta barra cortando-
a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma de comprimento 
elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + dx 
 
como vimos anteriormente 
 
Como queremos o alongamento da barra toda devemos fazer o somatório dos diversos trechos de 
comprimento dx que compõem a barra, ou seja: 
 
Podemos expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo 
algumas modificações algébricas: 
_________________________________________________________________________________ 
 RESISTÊNCIADOS MATERIAIS 
 
 
 
33 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
 
OBS: 
1. As duas parcelas que figuram, nas equações são facilmente identificáveis: a primeira é o 
alongamento devido a carga externa P e segunda devido ao peso próprio. 
2. O sinal das parcelas que compõem a deformação deve ser trocado quando seu efeito 
correspodente (carga externa ou peso próprio) fôr de compressão, o que já observamos na tensão. 
3. O alongamento da barra causado pelo peso próprio é igual à metade daquele que se obteria 
caso aplicássemos todo o seu peso G em sua extremidade livre. 
Resistência Dos Materiais 
Na engenharia dos materiais, a resistência dos materiais é a capacidade do material de resistir a 
uma força a ele aplicada. A resistência de um material é dada em função de seu processo de 
fabricação e os cientistas empregam uma variedade de processos para alterar essa resistência 
posteriormente. Estes processos incluem encruamento (deformação a frio), adição de elementos 
químicos, tratamento térmico e alteração do tamanho dos grãos. Estes métodos podem ser 
perfeitamente quantificados e qualificados. Entretanto, tornar materiais mais fortes pode estar 
associado a uma deterioração de outras propriedades mecânicas. Por exemplo, na alteração do 
tamanho dos grãos, embora o limite de escoamento seja maximizado com a diminuição do tamanho 
dos grãos, grãos muito pequenos tornam o material quebradiço. Em geral, o limite de escoamento de 
um material é um indicador adequado de sua resistência mecânica. 
O dimensionamento de peças, que é o maior objetivo do estudo da resistência dos materiais, se 
resume em analisar as forças atuantes na peça, para que a inércia da mesma continue existindo e 
para que ela suporte os esforços empregados. Para isso é preciso conhecer o limite do material. Isso 
pode ser obtido através de ensaios que, basicamente, submetem a peça ao esforço que ela deverá 
sofrer onde será empregada, a condições padrão, para que se possa analisar o seu comportamento. 
Esses dados são demonstrados em gráficos de tensão x deformação. A tensão em que nos 
baseamos é o limite entre o regime elástico e o plástico. Mas para fins de segurança é utilizado um 
c.s. (coeficiente de segurança) que faz com que dimensionemos a peça para suportar uma tensão 
maior que a tensão limite mencionada acima. 
Tudo isso é necessário para que se obtenha total certeza nos resultados, já que pequenos erros 
podem acarretar grandes problemas mais adiante, isso se agrava mais ainda se estivermos falando 
de pessoas que podem ter suas vidas colocadas em perigo por um cálculo mal feito. A ciência de 
resistência dos materiais é também muito importante para que não se tenha prejuízos gastando mais 
material do que o necessário, acarretando também em outro problema que é o excesso de peso. Pois 
a forma da peça também influencia na sua resistência, assim pode-se diminuir a quantidade de 
material sem interferir na mesma. 
Histórico 
Os Pré-Conhecimentos Das Antigas Civilizações 
Desde a antiguidade, onde o homem iniciou a arte e ciência de construir, sempre houve a 
necessidade de obter os conhecimentos da resistência dos materiais. Foi observado que apenas com 
tais conhecimentos haveria a possibilidade de gerar regras, padrões e procedimentos para determinar 
quais dimensões seriam seguras para atuar como elementos em dispositivos e estruturas. 
As civilizações mais antigas da humanidade já haviam se lançado no estudo dos materiais. 
Os egípcios inegavelmente já possuíam grandes conhecimentos desta área, pois sem eles seria 
impossível terem construído as pirâmides do Egito. Logo a frente, os gregos trariam mais um avanço 
na construção, criando e utilizando princípios de estática, a qual corresponde a base da resistência 
dos materiais. Arquimedes (287-212 a.C.) deu uma enorme prova a respeito de condições de 
equilíbrio, ao utilizar uma alavanca, esboçando métodos de verificação de centro de gravidade dos 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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corpos. Aplicou também sua teoria na construção de grandes dispositivos, tais como guinchos e 
guindastes. 
Mais tarde, outra civilização contribuiu com a resistência dos materiais: os romanos. Eram grandes 
construtores, pois além de elaborarem monumentos e templos, muitas de suas estradas, pontes e 
fortes estão mantidas até os dias atuais. Um de seus principais trunfos nas construções foram 
os arcos. Embora, comparando-se a proporção dos arcos romanos com os utilizados atualmente, 
pode-se notar que hoje as estruturas são muito mais leves. Os romanos não possuíam ainda 
conhecimentos de análise dos esforços, assim, não tinham a base necessária para a escolha do 
formato correto de apoio, utilizando-se geralmente de arcos semicirculares de vãos relativamente 
pequenos. 
Leonardo da Vinci e o estudo das vigas 
Durante a Idade Média, grande parte do que foi estudado e descoberto fora perdido, sendo 
recuperado apenas com a chegada do Renascimento. Durante este período, o interesse pela ciência 
voltava à tona, surgindo grandes talentos artísticos no ramo da engenharia e arquitetura como 
Leonardo da Vinci. Sem dúvida, este fora o maior nome naquela época. 
 
Não escreveu livros, porém muita informação fora encontrada em seus cadernos, demonstrando suas 
grandes descobertas em diversos ramos da ciência. Leonardo da Vinci era fascinado especialmente 
pela mecânica, sendo uma de suas anotações: "A mecânica é o paraíso da ciência matemática 
porque é onde colhemos os frutos da matemática". 
 
Utilizava-se muito do método de análise dos momentos para a solução de diversos problemas e 
ainda, aplicava a noção de deslocamento virtual para a análise de sistemas com polias e alavancas. 
Diferente dos romanos, possuía uma visão mais sensata sobre a utilização dos arcos. Leonardo da 
Vinci estudou a resistência dos materiais de forma experimental. A partir de sua análise de resistência 
de vigas, ele declarou: “Em todo objeto que é apoiado, mas que pode se curvar, e que apresenta 
seção transversal e material uniformes, a parte que está mais distante dos apoios será a que mais vai 
se curvar”. 
 
Recomendou que uma série de testes fosse realizada, iniciando-se com uma viga que possa 
sustentar uma carga definida quando apoiada em ambos os lados. Depois, deveria testar 
sucessivamente vigas da mesma espessura e largura, e em seguida registrar que carga estas seriam 
capazes de suportar. Concluiu, enfim, que a resistência de vigas apoiadas em ambas extremidades 
varia inversamente com o comprimento e diretamente com a largura. Realizou, ainda, alguma 
investigação em vigas tendo uma extremidade fixa e outra livre. Atestou, então: "Se uma viga de 2 
braças de comprimento suporta 100 libras, uma viga de 1 braça de comprimento suportará 200. 
Quanto mais vezes o menor comprimento é contido no maior, tantas mais vezes mais carga que o 
maior aquele comprimento suportará”. Aparentemente, Leonardo da Vinci também investigou algo 
sobre resistência de colunas, afirmando que esta varia inversamente com seus comprimentos, mas 
diretamente com o raio de suas secções transversais. 
 
Os estudos de Leonardo da Vinci comprovam a primeira provável tentativa de aplicar a estática para 
determinar as forças atuantes em elementos de estruturas. Além disso, seria ele o responsável pelos 
primeiros experimentos para averiguar a resistência de materiais estruturais. Apesar de ter feito 
estudos tão grandiosos, estes foram enterrados com Leonardo em suas anotações e os engenheiros 
dos séculos XV e XVI continuaram ao estilo romano de dimensionar os elementos de estruturas 
através de experiência e bom-senso. 
Galileu Galilei Torna A Resistência Dos Materiais Ciência 
Apenas no século XVII aconteceriam as primeiras tentativas de encontrar dimensões seguras deelementos de estruturas, de forma analítica. O famoso livro "The New Sciences", de Galileu Galilei, 
apresenta o esforço do mesmo em organizar métodos aplicáveis as análises de esforços em 
sequências lógicas. Assim, tem o início da resistência dos materiais como ciência. Os primeiros dois 
diálogos de seu livro apresentam o trabalho de Galileu na área da mecânica. Ele começa com 
algumas observações feitas durante uma visita sua a um arsenal veneziano e discute 
geometricamente estruturas parecidas. Afirma então que se construirmos estruturas geometricamente 
similares, porém, com aumento gradativo de suas dimensões, elas se tornam cada vez mais fracas. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
35 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Com o intuito de explicar melhor sua ideia, disse: “Um pequeno obelisco ou coluna ou outra figura 
sólida pode certamente ser deitada ou colocada em pé sem perigo de se quebrar, enquanto que 
outras maiores são partidas em pedaços devido à mais sutil das perturbações, e isto exclusivamente 
por causa da ação de seu próprio peso”. 
 
Para provar sua afirmação, começou com uma consideração quanto a resistência de materiais 
submetidos á tensões simples e atesta que a resistência de uma barra é referente à sua secção 
transversal, não a seu comprimento. Galileu denomina esta resistência da barra de “resistência 
absoluta à ruptura”. Investigou em seguida a resistência de barras engastadas em apenas uma das 
extremidades e com uma carga na outra. Então, Galileu assume, incorretamente, que os materiais 
sigam a Lei de Hooke até o momento em que se rompem. Assim, a teoria de Galileu acaba por 
fornecer valores de carga de ruptura deste tipo de estrutura maiores que os aceitos atualmente como 
corretos. Galileu segue com suas investigações e comprova, assim, relações coerentes entre os 
parâmetros da barra (comprimento, largura, espessura e área de sua secção transversal) e sua 
resistência "absoluta". 
 
Através de seus experimentos, Galileu determina uma ressalva de aplicação geral: “Você pode ver 
plenamente a impossibilidade de se aumentar o tamanho de estruturas até vastas dimensões tanto 
na arte como na natureza; da mesma forma que é impossível a construção de barcos, palácios, ou 
templos de enorme tamanho de forma que seus remos, pátios, vigas, e todas as suas outras partes 
permaneçam unidas; também não consegue a natureza produzir árvores de tamanho exagerado 
porque seus galhos se quebrariam devido a seus próprios pesos; então, também seria impossível a 
construção de estruturas ósseas de homens, cavalos, e outros animais de forma a mantê-las unidas e 
permitir suas funções normais se estes animais fossem aumentados enormemente em altura; este 
aumento em altura poderia ser executado somente através do emprego de um material mais firme e 
resistente que o normal, ou pelo alargamento do tamanho dos ossos, mudando assim suas formas 
até que a aparência dos animais sugerisse uma monstruosidade... Se o tamanho de um corpo é 
diminuído, a resistência daquele corpo não é diminuída na mesma proporção; de fato, quanto menor 
o corpo, maior é sua resistência relativa. Portanto, um pequeno cachorro provavelmente poderia 
carregar em suas costas dois ou três cachorros de seu próprio tamanho; mas eu acredito que um 
cavalo não conseguiria carregar nem mesmo um do seu próprio tamanho.”. Além desta afirmação, 
Galileu apresenta diversas outras durante o seu livro. 
 
E finalmente, pelo sucesso e coerência da maioria das teorias e conclusões de Galileu Galilei, que 
este momento é considerado por muitos estudiosos como o início da resistência dos materiais como 
uma ciência. 
Esforços Mecânicos 
Os esforços mecânicos são o principal foco da resistência dos materiais, pois todo o estudo gira em 
torno de como dimensionar uma peça ou elemento de máquina para que suporte os efeitos que os 
esforços mecânicos gerados por uma estrutura geral ou específica estarão atuando sobre a mesma. 
Cada tipo de esforço possui uma forma específica de ser analisado, estudado e calculado. Para isso, 
é necessário utilizar-se dos conhecimentos de um dos ramos da Física: a estática, para que o 
equilíbrio de forças demonstre o que acontecerá com dada peça de determinado material quando 
submetida a certo tipo de esforço. Os cálculos de esforço mecânico estão profundamente conectados 
com cálculos geométricos, envolvendo estudos de secções transversais de materiais, trazendo 
conceitos como: momento de inércia, módulo de resistência, raio de giração. Estes conceitos estão 
interligados com os cálculos de análise de tensões, sendo a junção de conceitos geométricos, 
estática e dados referentes ao material que surge o cálculo de dimensionamento, onde procura-se 
desenvolver um elemento capaz de resistir a todos os esforços que estarão sendo aplicados nele 
durante o funcionamento da máquina, estrutura ou em qualquer lugar onde ele seja submetido a 
esforços. 
São os esforços mecânicos: 
• Tração 
• Compressão 
• Cisalhamento 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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• Flexão 
• Torção mecânica 
• Flexo-Torção 
• Flambagem 
Tração (física) 
Na física, a tração (AO 1945: tracção) é a força aplicada sobre um corpo numa direção perpendicular 
à sua superfície de corte e num sentido tal que, possivelmente, provoque a sua ruptura. 
Uma peça estará sendo tracionada quando a força axial aplicada estiver atuando com o sentido 
dirigido para o seu exterior. A tração faz com que a peça se alongue no sentido da força e fique mais 
fina, com menor seção transversal, pois teoricamente, seu volume deve manter-se constante. 
Um exemplo simples de corpo submetido aos esforço de tração é o do cabo dos elevadores, 
tracionado pelo peso do elevador e de seus ocupantes e pelo motor e aparatos que o puxam ou o 
mantêm estático em determinada posição. 
O esforço de tração causa uma reorganização na estrutura molecular da peça movimentando 
os átomos a fim de se agruparem o máximo possível até um certo limite. Isso ocorre devido ao 
deslocamento de moléculasque se alojam nas “imperfeições” causadas no momento da solidificação. 
Estas “imperfeições” são chamadas de contorno de grão e são melhor estudadas na ciência dos 
materiais. 
Na resistência dos materiais, o objetivo é não permitir que isso aconteça, trabalhando sempre 
no regime elástico do material. Neste regime, a peça trabalha sem deformar-se permanentemente, 
pois ao ser encerrada a ação da força, retorna à sua conformação original. Para isso, são feitos 
cálculos utilizando o limite entre as duas deformações com um c.s. (coeficiente de segurança) para 
que não haja risco de acidentes, sendo projetada assim uma peça que suporte uma força maior que a 
mínima. 
 
Basicamente, a tração trata-se de utilizar um corpo e exercer sobre ele esforços com sentidos 
opostos, tracionando-o. 
Na seção transversal do corpo surge um esforço, chamado de tensão, no caso: tensão de Tração. Ao 
considerarmos o corpo homogêneo, a tensão de tração será uma tensão constante em toda a seção 
transversal e sera calculada pela Força que gerou esta tensão, dividida pela área da seção 
transversal considerada. 
No Sistema Internacional de Unidades, a tensão é expressa em pascal. 
De forma a determinar o comportamento dos corpos face à força de tração realiza-se o 
chamado ensaio de tração em que o objeto a ser estudado é colocado num equipamento apropriado 
que o submete a forças sucessivamente mais significativas até obter o desmembramento do mesmo, 
sendo elaborados gráficos que refletem o comportamento do material ao longo deste processo. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS37 WWW.DOMINACONCURSOS.COM.BR 
Ensaio de tração 
Em um ensaio de tração, um corpo de prova ou provete é submetido a um esforço que tende a 
alongá-lo ou esticá-lo até à ruptura. Geralmente, o ensaio é realizado num corpo de prova de formas 
e dimensões padronizadas, para que os resultados obtidos possam ser comparados ou, se 
necessário, reproduzidos. Este é fixado em uma máquina universal de ensaios que aplica esforços 
crescentes na sua direção axial, sendo medidas as deformações correspondentes. Os esforços ou 
cargas são mensurados na própria máquina e normalmente o ensaio ocorre até a ruptura do material 
(ensaio destrutivo). 
Ensaio 
 
Dispositivo usado para conduzir ensaios tensão-deformação por tração. O corpo de prova é alongado 
pelo travessão móvel; uma célula de carga e um extensômetro medem, respectivamente, a 
magnitude da carga aplicada e o alongamento. 
Com esse tipo de ensaio, pode-se afirmar que praticamente as deformações promovidas no material 
são uniformemente distribuídas em toda a sua extensão, pelo menos até ser atingida uma carga 
máxima próxima do final do ensaio e, como é possível fazer com que a carga cresça numa 
velocidade razoavelmente lenta durante todo o teste, o ensaio de tração permite medir 
satisfatoriamente a resistência do material. A uniformidade da deformação permite ainda obter 
medições para a variação dessa deformação em função da tensão aplicada. Essa variação, 
extremamente útil para o engenheiro, é determinada pelo traçado da curva tensão-deformação a qual 
pode ser obtida diretamente pela máquina ou por pontos. A uniformidade termina no momento em 
que é atingida a carga máxima suportada pelo material, quando começa a aparecer o fenômeno da 
estricção ou da diminuição da secção do provete, no caso de matérias com certa ductilidade. A 
ruptura sempre se dá na região mais estreita do material, a menos que um defeito interno no material, 
fora dessa região, promova a ruptura do mesmo, o que raramente acontece. 
A precisão de um ensaio de tração depende, evidentemente, da precisão dos aparelhos de medida 
que se dispõe. Com pequenas deformações, pode-se conseguir uma precisão maior na avaliação da 
tensão ao invés de detectar grandes variações de deformação, causando maior imprecisão da 
avaliação da tensão. Mesmo no início do ensaio, se esse não for bem conduzido, grandes erros 
podem ser cometidos, como por exemplo, se o provete não estiver bem alinhado, os esforços 
assimétricos que aparecerão levarão a falsas leituras das deformações para uma mesma carga 
aplicada. Deve-se portanto centrar bem o corpo-de-prova na máquina para que a carga seja 
efetivamente aplicada na direção do seu eixo longitudinal. 
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 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Resultados 
 
Diagrama tensão-deformação obtido por meio de um ensaio de tração. 
Num ensaio de tração, obtém-se o gráfico tensão-deformação, no qual é possível analisar o 
comportamento do material ao longo do ensaio. Do início do ensaio, até a ruptura, os materiais 
geralmente passam pelas seguintes etapas: 
1. Tensão máxima de tração 
2. Tensão de escoamento 
3. Tensão de ruptura 
4. Região de encruamento 
5. Região de "estricção" 
Deformação Elástica 
Para a maioria dos metais que são solicitados em tração e com níveis de tensão relativamente 
baixos, a tensão e a deformação são proporcionais de acordo com a relação abaixo. 
Esta é a conhecida lei de Hooke uniaxial e a constante de proporcionalidade “E” é o módulo de 
elasticidade, ou módulo de Young. 
As deformações elásticas não são permanentes, ou seja, quando a carga é removida, o corpo retorna 
ao seu formato original. No entanto, a curva tensão-deformação não é sempre linear, como por 
exemplo, no ferro fundido cinzento, concreto e polímeros. 
Até este ponto, assume-se que a deformação elástica é independente do tempo, ou seja, quando 
uma carga é aplicada, a deformação elástica permanece constante durante o período em que a carga 
é mantida constante. Também é assumido que após a remoção da carga, a deformação é totalmente 
recuperada, ou seja, a deformação imediatamente retorna para o valor zero. 
Deformação Plástica 
Acima de uma certa tensão, os materiais começam a se deformar plasticamente, ou seja, ocorrem 
deformações permanentes. O ponto no qual estas deformações permanentes começam a se tornar 
significativas é chamado de limite de escoamento (ou tensão de cedência). 
Para metais que possuem transição gradual do regime elástico para o plástico, as deformações 
plásticas se iniciam no ponto no qual a curva tensão-deformação deixa de ser linear, sendo este 
ponto chamado de limite de proporcionalidade (ou tensão limite-elasticidade). No entanto, é difícil 
determinar este ponto precisamente. Como consequência, criou-se uma convenção na qual é 
construída uma linha reta paralela à porção elástica, passando pela deformação de 0,2% da 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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deformação total. A tensão correspondente à intersecção desta linha com a curva tensão-deformação 
é o limite de escoamento (ou tensão de cedência). 
A magnitude do limite de escoamento é a medida da resistência de um material à deformação 
plástica e pode variar muito, como por exemplo, entre 35 MPa para uma liga de alumínio de baixa 
resistência até 1400 MPa para um aço de alta resistência. 
Durante a deformação plástica, a tensão necessária para continuar a deformar um metal aumenta até 
um ponto máximo, chamado de limite de resistência à tração, no qual a tensão é o máximo na 
curva tensão-deformação de engenharia. Isto corresponde à maior tensão que o material pode 
resistir; se esta tensão for aplicada e mantida, o resultado será a fractura. Toda a deformação até 
este ponto é uniforme na seção. No entanto, após este ponto, começa a se formar uma estricção, na 
qual toda a deformação subsequente está confinada e, é nesta região que ocorrerá ruptura. A tensão 
que corresponde à fractura é chamada de limite de ruptura. 
Assim, é possível obter o gráfico tensão-deformação, que varia conforme o material analisado. Por 
exemplo, os materiais frágeis, como cerâmicas e concreto, não apresentam um limite de escoamento. 
Já os materiais dúcteis, como o alumínio, apresentam o limite de escoamento bem definido. 
 
Diagrama tensão-deformação para um material frágil 
1. Tensão máxima de tração 
2. Ruptura. 
 
Diagrama tensão-deformação para uma liga típica de alumínio 
1. Tensão máxima de tração 
2. Limite de escoamento 3. Tensão limite de proporcionalidade 4. Ruptura 5. Deformação "offset" 
(tipicamente 0,002). 
Cálculo Do Módulo De Young 
Na região onde a Lei de Hooke é válida (regime elástico linear) o módulo de Young pode ser obtido 
pelo coeficiente angular do gráfico tensão-deformação. Para materiais cuja porção inicial elástica da 
curva tensão-deformação não é linear (por exemplo, ferro fundido cinzento e concreto), não é 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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possível determinar o módulo de Young pelo coeficiente angular. Nestes casos, tanto o módulo 
tangente quanto o módulo secante são normalmente usados. Módulo tangente é tomado como sendoa inclinação da curva tensão-deformação em um nível de tensão específico, enquanto que o módulo 
secante representa a inclinação de uma secante traçada a partir da origem até um dado ponto da 
curva.[1] 
 
Curva tensão-deformação no regime elástico linear. 
 
Curva tensão-deformação não-linear. 
Tensão De Cisalhamento 
Tensão de cisalhamento, tensão tangencial, ou ainda tensão de corte ou tensão cortante é um 
tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos iguais ou opostos, em direções semelhantes, 
mas com intensidades diferentes no material analisado. Um exemplo disso é a aplicação de forças 
paralelas mas em sentidos opostos, ou a típica tensão que gera o corte em tesouras. 
Um fluido é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de 
corte, não importando o quão pequena possa ser essa tensão. 
Uma força de corte é a componente tangencial da força que age sobre a superfície e, dividida 
pela área da superfície, dá origem à tensão de corte média sobre a área quando a área tende a um 
ponto. 
Obtém-se deformação na actuação de uma força tangencial a uma superfície. 
Exemplo: Duas placas tectônicas, uma para cima ou para baixo e a outra imóvel, ambas paralelas. 
Mas este exemplo não é utilizado em Tensão de corte; é apenas um exemplo para melhor 
entendimento, e isso também não ocorre na natureza (As placas movimentam-se sempre em outra 
direcção, adicionalmente e raramente estão paralelas). 
Este tipo de tensão é chamada também de tensão cisalhante, conforme costume do corpo 
técnico brasileiro atual. Em diversos livros de ensino superior de engenharia este tipo de tensão tem 
destaque especial na determinação e dimensionamento de estruturas isostáticas e isóbaras, às vezes 
isócronas. O círculo de Mohr, assim designado em honra de Christian Otto Mohr, um engenheiro 
civil que dedicou sua vida ao estudo de tensões cisalhantes em rochas sãs e mais tarde em solos, 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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facilita imensamente a determinação deste tipo de tensões a partir da tensões normais ortogonais ao 
plano normal. 
 
Cisalhamento simples 
 
Círculo de Mohr 
Em mecânica dos solos, as tensões cisalhantes são as responsáveis pelas rupturas em encostas, 
vales, depressões, senos, barragens e outras solicitações geomecânicas do solo sedimentar jovem. 
Solos argilosos não podem ter este tipo de analise simplificado pois as micro-argilas, isto é, os argilo-
minerais possuem uma camada de água que os envolve, de tal modo que as solicitações mecânicas 
do material são suportadas pela água constituinte. 
Em topografia, a correlação de erros numa determinada poligonal é fato crucial. Erros podem ser 
reduzidos quando a estação total (ou não) é instalada em pontos seguros do terreno, escolhidos de 
acordo com a tensão cisalhante da rocha sã. Este procedimento é muito empregado em 
levantamentos rodoviários trans-estaduais, ou seja, de grande extensão territorial e mercadológica. 
No contexto histórico, a tensão cisalhante já foi muito contestada, inclusive por décadas foi tida como 
inexistente. Sua comprovação deve-se a Terzaghi (pai da Mecânica dos solos) que fez inúmeros 
ensaios com solos na década de 1930, onde correlacionou diversos aspectos solistas com as tensões 
cisalhantes calculadas teoricamente. 
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 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Flexão (Física) 
Mecânica do contínuo 
 
Leis 
Mecânica dos sólidos 
Sólidos 
Tensão 
Deformação 
Compatibilidade 
Deformação finita 
Deformação infinitesimal 
Elasticidade linear 
Plasticidade 
Flexão 
Lei de Hooke 
Teoria de falha dos materiais 
Mecânica da fratura 
Mecânica do contato 
Sem fricção 
Friccional 
Mecânica dos fluidos 
Reologia 
Cientistas 
v • e 
Na mecânica, flexão é um esforço físico onde a deformação ocorre perpendicularmente ao eixo do 
corpo, paralelamente à força atuante. 
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 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo 
longitudinal da peça, e o mesmo está submetido a cargas perpendiculares ao seu eixo. Este elemento 
desenvolve em suas seções transversais o qual gera momento fletor. 
 
Momento fletor: O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, 
contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. 
Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e 
compressão na estrutura. 
Em engenharia se denomina flexão ao tipo de deformação que apresenta um elemento estrutural 
alongado em uma direção perpendicular a seu eixo longitudinal. O termo "alongado" se aplica quando 
uma dimensão é dominante frente às outras. Um caso típico são as vigas, as que estão projetadas 
para trabalhar, principalmente, por flexão. Igualmente, o conceito de flexão se estende a elementos 
estruturais superficiais como placasou lâminas. 
 
A característica mais proeminente é que um objeto submetido a flexão apresenta uma superfície de 
pontos chamada linha ou eixo neutro tal que a distância ao longo de qualquer curva contida nela não 
varia em relação ao valor antes da deformação. O esforço que provoca a flexão se 
denomina momento fletor. 
Flexão Em Vigas E Arcos 
As vigas ou arcos são elementos estruturais pensados para trabalhar predominantemente em flexão. 
Geometricamente são prismas mecânicos cuja rigidez depende, entre outras coisas, do momento de 
inércia da seção transversal das vigas. Existem duas hipótese cinemáticas comuns para representar 
a flexão de vigas e arcos: 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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• A hipótese de Euler-Bernoulli. 
• A hipótese de Timoshenko. 
Teoria De Euler-Bernoulli 
A teoria de Euler-Bernoulli para o cálculo de vigas é a que deriva da hipótese cinemática de Navier-
Bernouilli, e pode ser empregada para calcular tensões e deslocamentos sobre uma viga ou arco de 
comprimento de eixo maior comparada com a aresta máxima ou altura da seção transversal. 
Para escrever as fórmulas da teoria de Navier-Bernouilli convém tomar um sistema de coordenadas 
adequado para descrever a geometria, uma viga é de fato um prisma mecânico sobre o qual se 
podem considerar as coordenadas (s, y, z) com s a distância ao longo do eixo da viga e (y, z) as 
coordenadas sobre a seção transversal. Para o caso de arcos este sistema de coordenadas 
é curvilíneo, ainda que para vigas de eixo recto pode-se tomar como cartesiano (e nesse caso s se 
nomeia como x). Para uma viga de seção reta a tensão no caso de flexão composta biaxial a tensão 
é dada pela fórmula de Navier:Onde: 
 são os segundos momentos de área (momentos de inércia) segundo os eixos Y y Z. 
 é o momento de área misto ou produto de inércia segundo os eixos Z e Y. 
 são os momentos fletores segundo as direções Y e Z, que em geral variam 
segundo a coordenada x. 
 é o esforço axial ao lango do eixo. 
Se a direção dos eixos de coordenadas (y, z) são tomadas coincidentes com as direções principais 
de inércia então os produtos de inércia se anulam e a equação anterior se simplifica notavelmente. 
Além disso é considerado o caso de flexão simples não biaxial as tensões segundo o eixo são 
simplesmente: 
 
Por outro lado, neste mesmo caso de flexão simples não biaxial, o campo de deslocamentos, na 
hipótese de Bernoulli, é dado pela equação da curva elástica: 
 
Onde: 
 representa a flecha ou flexão, o deslocamento vertical, em relação à posição inicial sem 
cargas. 
 representa o momento fletor ao longo da ordenada x. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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 o segundo momento de inércia da seção transversal. 
 o módulo de elasticidade do material. 
 representa as cargas ao longo do eixo da viga. 
Teoria De Timoshenko 
 
Esquema de deformação de uma viga que ilustra a diferença entre a teoria de Timoshenko e 
a teoria de Euler-Bernouilli: na primeira θi e dw/dxi não tem necessariamente que coincidir, 
enquanto que na segunda são iguais. 
A diferença fundamental entre a teoria de Euler-Bernouilli e a teoria de Timoshenko é que na primeira 
a rotação relativa da seção se aproxima mediante a derivada do deslocamento vertical, isto constitui 
uma aproximação válida só para peças grandes em relação às dimensões da seção transversal, e 
então ocorre que as deformações devidas ao esforço cortante são desprezadas frente às 
deformações ocasionadas pelo momento fletor. Na teoria de Timoshenko, onde não se desprezam as 
deformações devidas ao cortante e portanto é válida também para vigas curtas, a equação da curva 
elástica é dada pelo sistema de equações mais complexo: 
 
Derivando a primeira das duas equações anteriores e substituindo nela a segunda chegamos à 
equação da curva elástica incluindo o efeito do esforço cortante: 
 
Flexão em placas e lâminas 
Uma placa é um elemento estrutural que pode apresentar flexão em duas direções perpendiculares. 
Existem duas hipóteses cinemáticas comuns para representar a flexão de placas e lâminas: 
• A hipótese de Love-Kirchhoff 
• A hipótese de Reissner-Mindlin. 
 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
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Sendo a primeira o análogo para placas da hipótese de Navier-Bernouilli e a segunda o análogo da 
hipótese de Timoshenko. 
Teoria De Love-Kirchhoff 
A teoria de placas de Love-Kirchhoff é a que é derivada da hipótese cinemática de Love-Kirchhoff 
para as mesmas e é análoga à hipótese de Navier-Bernouilli para vigas e portanto tem limitações 
similares, e é adequada só quando a espessura da placa é suficientemente pequena em relação a 
seu comprimento e largura. 
Para uma placa de espessura constante h empregaremos um sistema de coordenadas cartesianas 
com (x, y) segundo o plano que contém a placa, e eixo z deve ser toado segundo a direção 
perpendicular à placa (tomando z = 0 no plano médio). Com esses eixos de coordenadas as tensões 
segundo as duas direções perpendiculares da placa são: 
 
Onde: 
, é o segundo momento de área por unidade de largura. 
, são os momentos fletores por unidade de largura, que podem relacionar-se 
com o campo de deslocamentos verticais w(x,y) mediante as seguintes equações: 
 
Para encontrar a flecha que aparece na equação anterior é necessário resolver uma equação em 
derivadas parciais que é o análogo bidimensional à equação da curva elástica: 
 
O fator: se chama rigidez flexional de placas. 
Teoria de Reissner-Mindlin 
A teoria de Reissner-Mindlin é o análogo para placas da teoria de Timoshenko para vigas. Assim, 
nesta teoria, a diferença da teoria mais aproximada de Love-Kirchhoff, o vetor normal ao plano médio 
da placa uma vez deformada a placa não tem porque coincidir com o vetor normal à superfície média 
deformada. 
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