eBook Completo - Resistência dos Materiais Aplicada(Resistencia dos Materiais Aplicada a Engenharia Civil)_DIGITAL PAGES(versão digital)

Prévia do material em texto

RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS APLICADA
Resistência dos M
ateriais Aplicada 
RESISTÊNCIA DOS
MATERIAIS APLICADA
(Resistência dos 
Materiais Aplicada a 
Engenharia Civil) 
Leonardo Vinícius Paixão Daciolo
Leonardo Vinícius Paixão Daciolo
GRUPO
SER
EDUCACIONAL
gente criando o futuro
A compreensão do comportamento mecânico das estruturas é uma etapa fundamental 
no desenvolvimento técnico e pro� ssional do engenheiro. Ao projetarmos as estrutu-
ras, estamos dando forma e concretizando os sonhos e necessidades de alguém. 
Por isso, precisamos projetar de forma responsável e sustentável, usando o conheci-
mento das técnicas e comportamentos físicos envolvidos nos problemas que nos forem 
apresentados durante o projeto.
Este material foi desenvolvido para possibilitar seu contato com os principais tópicos 
de mecânica dos sólidos, a � m de, também, instigá-lo a se aprofundar nessa ciência, 
fundamental para a concretização das estruturas.
Durante seus estudos, você será apresentado a diferentes comportamentos dos ele-
mentos das estruturas, decorrentes das distintas formas de solicitação estrutural, vin-
culações, mecanismos de instabilização e falha. Também irá conhecer as principais hi-
póteses simpli� cadoras, teoremas e equacionamentos associados à análise estrutural.
Com os conhecimentos adquiridos, será possível identi� car as solicitações e esforços 
empregados nos elementos, o que se constitui como uma primeira etapa de dimensio-
namento para qualquer sistema estrutural. Adiante, a partir do estudo em disciplinas 
especí� cas de dimensionamento de sistemas estruturais, será possível correlacionar as 
solicitações com as propriedades resistentes dos elementos de seu sistema. 
SER_ENGCIV_RMA_Capa.indd 1,3 09/12/2020 17:35:48
© Ser Educacional 2020
Rua Treze de Maio, nº 254, Santo Amaro 
Recife-PE – CEP 50100-160
*Todos os gráficos, tabelas e esquemas são creditados à autoria, salvo quando indicada a referência.
Informamos que é de inteira responsabilidade da autoria a emissão de conceitos. 
Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio 
ou forma sem autorização. 
A violação dos direitos autorais é crime estabelecido pela Lei n.º 9.610/98 e punido pelo artigo 184 do 
Código Penal.
Imagens de ícones/capa: © Shutterstock
Presidente do Conselho de Administração 
Diretor-presidente
Diretoria Executiva de Ensino
Diretoria Executiva de Serviços Corporativos
Diretoria de Ensino a Distância
Autoria
Projeto Gráfico e Capa
Janguiê Diniz
Jânyo Diniz 
Adriano Azevedo
Joaldo Diniz
Enzo Moreira
Leonardo Vinícius Paixão Daciolo 
DP Content
DADOS DO FORNECEDOR
Análise de Qualidade, Edição de Texto, Design Instrucional, 
Edição de Arte, Diagramação, Design Gráfico e Revisão.
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 2 09/12/2020 17:50:06
Boxes
ASSISTA
Indicação de filmes, vídeos ou similares que trazem informações comple-
mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 3 09/12/2020 17:50:06
Unidade 1 - Barras sujeitas à torção pura
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Análise do comportamento de barras de seção circular sujeitas à torção pura ........... 13
Ângulo de torção em barras de seção circulares ..................................................... 19
Elementos estaticamente indeterminados submetidos a momento torçor ........... 21
Dimensionamento de barras de seção arbitrárias sujeitas à torção ......................... 23
Tubos de paredes finas submetidos à torção ............................................................. 28
Analogia de membrana .................................................................................................. 32
Sintetizando ........................................................................................................................... 39
Referências bibliográficas ................................................................................................. 40
Sumário
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 4 09/12/2020 17:50:06
Sumário
Unidade 2 - Deflexão em vigas
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 42
Deflexão de vigas: linha elástica ...................................................................................... 43
Equações diferenciais da curva de deflexão ............................................................. 46
Método da integração da linha elástica ...................................................................... 51
Vigas estaticamente indeterminadas ............................................................................... 57
Método da integração ................................................................................................... 60
Método da superposição de efeitos ............................................................................ 64
Sintetizando ........................................................................................................................... 68
Referências bibliográficas ................................................................................................. 69
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 5
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 5 09/12/2020 17:50:06
Sumário
Unidade 3 - Flexão e flambagem
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 71
Flexão oblíqua e composta ................................................................................................ 72
Flexão nas estruturas ..................................................................................................... 72
Flexão oblíqua .................................................................................................................. 76
Flexão normal composta ................................................................................................ 79
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas ............................................. 81
Fórmula de Euler .............................................................................................................. 86
Sintetizando ........................................................................................................................... 92
Referências bibliográficas ................................................................................................. 93
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 6
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 6 09/12/2020 17:50:06
Sumário
Unidade 4 - Transformação da tensão e deformação
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 95
Análise dos estados planos de tensão e deformação ................................................... 96
Círculo de Mohr ............................................................................................................. 103
Estado plano de deformações ..................................................................................... 106
Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento alternado ............................. 109
Análise de elementos sujeitos a carregamentos combinados .............................. 111
Aplicação+ c2 = 0 → c2 = 0y(x = 0) = 0 →
1 
EI
(26)
Repare que as constantes de integração podem ser obtidas com as condi-
ções de contorno de vínculos do primeiro/segundo gênero (apoios):
M · L3 
6L
– + c1 · L + 0 = 0 → c1 =y(x = L) = 0 →
1 
EI
ML 
6
(27)
O momento fletor interno, obtido a partir do método das equações para a 
análise da seção, é dado por:
Mx
L
M(x) = – (23)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 54
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 54 09/12/2020 17:38:49
V
iga e carregam
ento
Linha elástica
D
efl exão m
áxim
a
Inclinação e 
extrem
idade
Equação da 
linha elástica
L
P
1
L
y
xy
m
áx
O
PL
3
3EI
–
PL
2
2EI
–
P6EI
y =
(x
3 – 3Lx
2)
L w
2
L
y
xy
m
áx
O
w
L
4
8EI
–
w
L
3
6EI
–
w24EI
y =
(x
4 – 4Lx
3 + 6L
2x
2)
M
3
L
y
xy
m
áx
O
M
L
2
2EI
-
M
LEI
-
M2EI
y = -
x
2
P
L
L
12
4
L
12
L
y
x
y
m
áx
O
PL
3
48EI
–
PL
2
16EI
±
12
Para x ≤
L:
P
48EI
y =
(4x
3 – 3L
2x)
12
L
P
w
O
L
L
yO
xm
áx
L
PLPL
3
3EI
m
áx
w
L
–
4
8EI
8EI
34
y
L
2
M
O
L
L
yO
y
m
áx
1
L
2
M
L
2EI
x
m
áx
2EI
PL
–
PL
3
48EI
48EI
PL2EI
2EI
y =
w
L
3
P
y =
6EI
6EI
6EI
6EI (x
3
(x
3
(x
 – 3Lx
 – 3Lx
 – 3Lx
2
 – 3Lx
2
 – 3Lx
y =
w24EI
24EI (x(x
 – 4Lx
 – 4Lx
+ 6L
+ 6L
x
2
x
2
x
) 2) 2
M
L
M
LEI
PL
±
y = -
16EI
M
y = -
16EI
2EI
2EI
x
2
Para
Para x ≤
1
 x ≤
y =
2
L
P
y =
48EI
48EI (4x
 – 3L
 – 3L
x)
TABELA 1. DEFLEXÃO DE VIGAS TÍPICAS
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 55
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 55 09/12/2020 17:38:53
V
iga e carregam
ento
Linha elástica
D
efl exão m
áxim
a
Inclinação e 
extrem
idade
Equação da 
linha elástica
P
L
a
A
B
b
5
L
y
a
A
B
b
xy
m
áx
x
m
Para a > b:
Pb(L
2 – b
2) 3/2
–
3EIL
9
ax
m =
L
2 – b
2
3
Pb(L
2 – b
2)
6EIL
θ
A = –
Pa(L
2 – a
2)
6EIL
θ
B = +
Para x b
Pb(L
–
a > b
Pb(L
2 – b
 – b
9
) 3/2
3EIL
ax
3EIL
m =
L
2 – b
 – b
θ
x
3
5w
L
L
7
1
L
2
M
L
B
m
áx
y
L
384EI
384EI
y
m
áx
M
L
9
3EIL
3EIL
θθ
A = –
Pb(L
Pb(L
2 – b
θ
 – b
2
6EIL
Pa(L
 = +
)
6EIL
Pa(L
 – a
 – a
2) 2) 2
6EIL
Para 
Para xelástica) pode ser relacionada 
algebricamente com a função momento fl etor (esforço interno) da viga, pode-
mos obter a equação da linha elástica por sucessivas integrações. A equação 32 
ilustra essa relação, considerando uma rigidez à fl exão (EI) constante:
(33)
M(x)
EI
=
d2y
dx2
A curvatura é a entidade física que representa a taxa de variação da rotação 
(deslocamento angular) da linha elástica, de forma que:
(34)
dy
dx
M(x)
EI ∫ dx=
Por sua vez, a rotação representa a taxa de variação do deslocamento vertical:
(35)
dy
dx
= θ(x)
y = θ(x) dx + c ∫ (36)
O método da integração, como o próprio nome sugere, é aplicado me-
diante a determinação da função do momento fl etor, integrando sucessiva-
mente e determinando as constantes de integração em relação às condições 
de contorno (sobretudo de vinculações) da estrutura. Dessa forma, pode-
mos relacionar essas novas equações às equações de equilíbrio estático, 
resolvendo as indeterminações.
Para visualizar melhor o método, consideremos uma viga engastada e 
simplesmente apoiada, de comprimento L, que está sujeita à ação de um 
momento puro M0 (Figura 10). Observe que, para esse problema, temos um 
grau de liberdade.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 60
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 60 09/12/2020 17:39:33
A
L
B
M0
Figura 10. Viga engastada indeterminada com momento aplicado. 
Considerando as equações de equilíbrio, temos que:
ΣFx = 0 → HA = 0 (37)
Como estamos diante de uma viga estaticamente indeterminada, não con-
seguimos determinar diretamente as reações de apoio. Assim, empregaremos 
o método da integração para providenciar mais equações para a análise. Para 
tanto, devemos analisar a função momento fletor, que pode ser obtida através 
do diagrama de corpo livre:
Considerando constante o termo EI e prosseguindo com a primeira integra-
ção, obteremos a função de inclinação da linha elástica:
ΣFy = 0 → VA = – VR (38)
ΣMB = 0 → MA + M0 – VAL = 0 → MA = VAL – M0 (39)
ΣMS = 0 → M + MA – VAx = 0 → M = VAx – MA (40)
(41)
M(x)
EI
=
d2y 
dx2
d2y 
dx2
VAX – MA
EI
 → =
(42)dx
dy 
dx
= θ(x) = ∫ VAX – MA
EI
dy 
dx
= θ(x) = x2 – MAx + c1
1 
EI
VA 
2 ∫ (43)
1 
EI
y(x) = x2 – MAx + c1 dx
VA 
2 ∫ (44)
(45)
1 
EI
y(x) = x3 –
VA 
6
MA 
2
x² + c1x + c2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 61
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 61 09/12/2020 17:39:33
As incógnitas referentes às constantes de integração podem ser determina-
das quando utilizamos condições de contorno adequadas. Repare que no pon-
to A, onde x vale 0, temos restrição de rotação e deslocamento vertical. Dessa 
observação, podemos retornar às equações 42 e 44, determinando:
(46)
1 
EI
VA 
2
θ(x = 0) = 0 → 02 – MA · 0 + c1 = 0 → c1 = 0
(47)
1 
EI
VA 
6
MA 
2
y(x = 0) = 0 → 02 + 0 · 0 + c203 – → c2 = 0
(49)
1 
EI
VA 
6
VA 
6
MA 
2
MA 
2
y(x = L) = 0 → L2 L2 = 0L3 – L3 – = 0 →
(48)
1 
EI
VA 
6
MA 
2
y(x) = x203 –
Dessa forma, a equação da linha elástica resume-se à equação 47:
A equação da linha elástica contém as variáveis de reação as quais necessi-
tamos determinar no problema da viga. Contudo, utilizá-la diretamente intro-
duziria a variável de deslocamento vertical y(x). Para contornar esse problema, 
utilizaremos mais uma condição de contorno, no caso, o deslocamento vertical 
do apoio B, que é nulo, para a distância igual ao comprimento do vão.
Substituindo a equação 48 pela equação 38, podemos determinar a reação 
vertical no ponto A:
VA 
6
L3 –
(VAL – M0) 
2
L2 = 0 → VA = 
3M0 
2L
(50)
Retornando na equação 38, agora podemos determinar a reação de momen-
to no engastamento, bem como a reação vertical no apoio B pela equação 37.
MA = VAL – M0 → MA = L – M0 → MA = 
3M0 
2L
M0 
2
(51)
3M0 
2L
VA = – VB → VB = – (52)
Dessa forma, a equação da linha elástica pode ser determinada substituin-
do as reações de apoio na expressão geral da equação 44:
1 
EI
1 
6
1 
2
3M0 
2L
M0 
4EI
M0 
2
x3 
L
y(x) = x3 – – x2 x2 = (53)
Consideremos a mesma estrutura, mas agora carregada uniformemente com 
uma carga distribuída de intensidade q, conforme Figura 11. Vamos determinar 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 62
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 62 09/12/2020 17:39:34
os novos valores das reações dos apoios e a equação da linha elástica, decorren-
tes da nova distribuição de esforços:
ΣFx = 0 → HA = 0 (54)
ΣFy = 0 → VA = qL– VB (55)
(56)ΣMB = 0 → MA = –
qL2 
2
+ VAL 
(57)ΣMS = 0 → M = –
qx2 
2
+ VAx + MA
Figura 11. Viga engastada indeterminada sujeita a carregamento distribuído.
 Considerando o equilíbrio do corpo livre, a função de momento fletor é 
obtida por:
As funções de inclinação e da linha elástica são obtidas através de integra-
ção, conforme equações 57 a 58. Assim, aplicando as condições de contorno, 
conforme realizado previamente, obtemos:
1 
EI
θ(x) = + +
VAx2
 
2
MAx–
qx3 
6
(58)
1 
EI
y(x) = + +
VAx3
 
6
–
qx4 
24
mAx2
 
2
(59)
Logo, através da resolução do sistema de equações, obtemos os seguintes 
valores para as reações:
q
L
A B
MA = 
qL2 
8
VA = 
5qL 
8
VB = 
3qL 
8
(60)
(61)
1 
EI
y(x) = + +–
qx4 
24
5qLx3 
48
qL2x2 
16
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 63
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 63 09/12/2020 17:39:36
Repare que, como não especifi camos valores, essa é uma equação geral 
para a linha elástica e para as reações em vigas nessa confi guração. 
Dessa forma, a partir da determinação de carregamentos e propriedades 
dos materiais, podemos substituir seus respectivos valores para determinar a 
magnitude das reações e defl exões ao longo da viga. Em particular, é interes-
sante a avaliação dos pontos de defl exão máxima, a fi m de verifi carmos se a 
estrutura atende aos requisitos normativos.
Método da superposição de efeitos
Como se pode observar, o método de integração fornece a equação da linha 
elástica em cada trecho. Contudo, a depender da função do momento fl etor, o 
método pode se tornar complexo e moroso em sua resolução. Assim, quando 
uma viga apresenta vários carregamentos distintos, é necessária a determina-
ção das funções de momento fl etor correspondentes em cada trecho, para ser 
realizada a compatibilização de deslocamentos.
EXEMPLIFICANDO
Uma condição de contorno de compatibilidade (de deslocamentos) é uma 
condição que assegura uma relação física de continuidade do material. Por 
exemplo, para um mesmo ponto da viga, sua defl exão é única. Dessa forma, 
as defl exões calculadas imediatamente à esquerda (com a equação elástica 
equivalente ao trecho) e à direita (também com sua respectiva equação) devem 
convergir para o mesmo resultado. Assim, garantimos a continuidade física da 
viga, uma vez que consideramos o regime elástico (sem ruptura física).
Uma vez que as estruturas analisadas se encontrem em regime de pequenas 
deformações e deslocamentos, e em um regime de deformações elástico-linea-
res, podemos utilizar o método da superposição de efeitos nas estruturas. Essas 
premissas possibilitam analisar a estrutura submetida às diferentes ações de 
forma que o resultado de todos esses carregamentos possam ser entendidos 
como uma composição (soma) da mesma estrutura submetida aos diferentes 
carregamentos individuais. Dessa forma, substituímos um problema complexo 
(de múltiplos carregamos e incógnitas) por uma decomposição em diferentes 
carregamentos na mesma estrutura, somando seus efeitos individuais e aplican-
do as condições de contorno e continuidade/compatibilidade adequadas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 64
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 64 09/12/2020 17:39:36
Para entender melhor a aplicação desse método, retornemos ao problema 
solucionado no tópico anterior (Figura 12). Vamos solucioná-lo agora por meio 
do método da superposição de efeitos.
A viga em questão pode ser decomposta em duas situações superpostas: 
uma viga engastada sujeita a um carregamento uniforme distribuído e uma 
viga engastada sujeita a uma carga pontual,referente à reação de apoio VB, 
conforme a Figura 12.
Figura 12. Superposição de esforços do exemplo.
Aplicando o método da superposição, recorrendo às equações de cada car-
regamento apresentadas na Tabela 1, percebemos que estamos diante das 
situações um e dois. Essas tabelas são muito úteis para agilizar resoluções, 
uma vez que, se identificarmos o carregamento correspondente (adequado), 
poderemos utilizar os resultados prontos de seus respectivos efeitos (deflexão, 
rotação, diagramas de esforços, por exemplo).
A
L
q
B
A
L
VB
B
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 65
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 65 09/12/2020 17:39:37
Analisando o carregamento distribuído (situação dois), a equação da linha 
elástica calculada no trecho de apoio (ponto B) será:
y(x) = – 
q 
24EI
[x4 – 4Lx3 + 6L2L2x2] (62)
y(x) = 
q 
6EI
[x3 – 3Lx2] (64)
y(x = L) = –
q 
24EI
qL4 
8EI
[L4 – 4LL3 + 6L2L2] = – (63)
y(x = L) =
–VB 
6EI
VBL3 
3EI
[L3 – 3LL2] = (65)
y(x = L) = –
qL4 
8EI
VBL3 
3EI
+ (66)
Analogamente, determinamos a deflexão no ponto B, agora considerando 
um carregamento pontual (correspondente à reação), atentando-se ao sinal do 
carregamento, que será negativo nesse caso (contrário à convenção da fórmula).
Dessa forma, a deflexão total no ponto B, considerando o método de super-
posição de efeitos, é determinada somando ambas as parcelas:
A partir da equação anterior, podemos determinar a reação vertical no pon-
to B, recordando sobre uma importante condição de contorno: a restrição de 
deslocamento vertical causada pelo vínculo do primeiro gênero. Dessa forma, 
a expressão deve resultar em uma deflexão nula:
y(x = L) = –
qL4 
8EI
VBL3 
3EI
+ (67)
qL4 
8EI
VBL3 
3EI
= (68)
(69)
3qL 
8
VB =
O que corresponde exatamente ao resultado obtido pelo método de inte-
gração. Assim, a partir da determinação desta redundância, torna-se possível a 
determinação das demais reações, uma vez que teríamos o mesmo número de 
equações de equilíbrio e incógnitas de reações.
Agora, refaçamos o exemplo 1 (Figura 10) com o mesmo princípio da super-
posição. A situação estrutural pode ser decomposta nos casos um e três (con-
forme Figura 13). Na equação da deflexão obtida na Tabela 1 determinamos a 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 66
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 66 09/12/2020 17:39:37
Observe que esses resultados convergiram. Isto deve ocorrer, uma vez que 
estamos calculando o mesmo problema físico. 
parcela de deslocamento correspondente a uma carga pontual (reação) aplicada 
verticalmente em um engaste (equação 69). A equação da viga com momento 
fletor aplicado é analisada segundo o comprimento total da viga (L), através de:
Figura 13. Superposição de esforços. 
A B
M0
L
A B
VB
L
Recordando da condição de restrição de deslocamento causado pelo víncu-
lo, sabemos que a condição de contorno permite determinar o valor da reação 
em B:
y(x = L) = – L2
M 
2EI
(70)
y(x = L) = – L2 + = 0
M 
2EI
VBL3 
3EI
(71)
VB = 
3M 
2L
(72)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 67
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 67 09/12/2020 17:39:38
Sintetizando
Nesta unidade você pôde compreender melhor um aspecto essencial na 
análise estrutural: as deformações verticais em vigas. Analisamos inicialmente 
a teoria das deformações verticais (deflexões) causadas pelos esforços inter-
nos de momento fletor, em que verificamos como os deslocamentos da linha 
neutra da viga podem representar o comportamento de toda a estrutura. Com 
essa análise, entendemos o comportamento da linha elástica e como podemos 
obter seus valores de deslocamento em diferentes pontos de interesse. Com 
o método da integração, por sua vez, foi possível determinar as equações da 
linha elástica mediante sucessivas integrações e condições de contorno pré-es-
tabelecidas, sobretudo para condições de carregamento mais simples. Já para 
o método da superposição de efeitos, realizamos decomposições de carrega-
mentos mais complexas em situações mais simples, de forma a compatibilizar 
os efeitos finais com as contribuições individuais desses carregamentos. 
Além disso, também aprendemos a solucionar situações de vinculação in-
determinadas, decorrentes de redundâncias de incógnitas, utilizando valores/
funções de deslocamento como equações adicionais. Por fim, todo o processo 
de obtenção e análise de deslocamento sempre é realizado para garantir a se-
gurança, qualidade e servicibilidade das estruturas, de forma a fazer com que 
elas atendam ao desempenho esperado, de acordo com sua função durante 
sua vida útil. Nesse ponto, fica o convite para o aprofundamento nos estudos 
desses tópicos tão essenciais para a Engenharia!
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 68
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 68 09/12/2020 17:39:38
Referências bibliográficas
BEER, F.P. et al. Mecânica dos materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 
BENTO, D. A. Fundamentos de resistência dos materiais. Projeto Integra-
dor I – Centro Federal de Educação Tecnológica de Santa Catarina, Gerência 
Educacional Metal Mecânica, Florianópolis, mar. 2003. Disponível em: . Acesso em: 
16 nov. 2020.
CHANGING Radius of Convergence. Postado por 3Blue1BrownClips. (0min. 
10s.). son. color. port. ou leg. Disponível em: . Acesso em: 16 nov. 2020. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prenttice 
Hall, 2018. 768 p.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 69
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 69 09/12/2020 17:39:38
FLEXÃO E 
FLAMBAGEM
3
UNIDADE
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 70 09/12/2020 17:38:38
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o comportamento mecânico de vigas estruturais submetidas a 
esforços de flexão oblíqua e composta;
 Compreender fenômenos de instabilidade decorrentes de flambagem em 
colunas;
 Avaliar como configurações estruturais interferem nos esforços internos de 
vigas e colunas.
 Flexão oblíqua e composta
 Flexão nas estruturas
 Flexão oblíqua
 Flexão normal composta
 Flambagem e dimensionamen-
to de peças comprimidas
 Fórmula de Euler
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 71
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 71 09/12/2020 17:38:38
Flexão oblíqua e composta
Nesta unidade, nos aprofundaremos em tópicos essenciais no projeto de 
estruturas. Mas, antes de detalhar esse assunto, torna-se necessário realizar 
um questionamento: o que há em comum entre uma viga de um edifício, uma 
pessoa levantando um supino na academia, um sargento (grampo) pressionan-
do peças de madeira e uma perna de mesa feita de madeira? Pode parecer 
estranho, mas esses elementos estão todos sujeitos a um mesmo tipo funda-
mental de esforço: a fl exão (Figura 1).
Flexão nas estruturas
A fl exão é um tipo de solicitação estrutural na qual existe um momento in-
terno aplicado atuante na seção do elemento estrutural. É importante ressaltar 
que um momento pode ser representado por um binário de forças. Em outras 
palavras, esse esforço fará com que parte da seção esteja sob a ação de esforços 
compressivos, enquanto outra parte, sob esforços de tração (Figura 2).
Figura 1. Vigas sob efeito de fl exão. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 05/11/2020. 
Critério de falha 
de von Mises
[MPa]
Isso posto, a partir do conceito de um esforço de fl exão, vamos, nessa se-
ção, retomar os principais aspectos desse assunto.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 72
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 72 09/12/2020 17:38:41
EXPLICANDO
O binário de forças é constituído por um sistema de duas forças aplicadas 
na mesma intensidade e direção, mas com sentidos opostos. As linhas de 
ação estão situadas a uma distância d entre elas. Assim, todo binário pode 
representar um momento equivalente, uma vez que o momento do binário 
é resultado do produto da intensidade de uma força pela distância d. 
Figura 2. Efeito do momento (binário de forças) na seção. Fonte: BEERet al., 2011, p. 230.
y
τxydA
σxdA
y
z
z
x
τxzdA
y
M
z
x
A fl exão merece atenção especial nos projetos, posto que é um dos esforços 
predominantes que pode levar à ruptura de elementos. Além disso, mesmo que 
o elemento não seja levado à ruína, esse esforço pode interferir nas condições de 
desempenho da estrutura, analisadas segundo os estados limites de serviço.
EXPLICANDO
O estado limite de serviço (em inglês, serviceability limit state criterion) 
são condições limites que uma estrutura deve atender ao permanecer 
funcional e garantir seu desempenho em condições de solicitação usuais 
(rotineiras), não causando desconforto, problemas estruturais, interferên-
cia em outros subsistemas e problemas de utilização aos usuários.
Nos exemplos elucidados, podemos identifi car esforços de fl exão em todos 
os elementos. Na vida de uma estrutura, os carregamentos perpendiculares 
ao eixo longitudina, bem como a existência de momentos fl etores aplicados, 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 73
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 73 09/12/2020 17:38:41
farão com que surjam momentos internos, presentes no diagrama de esforços 
solicitantes internos. 
No caso da pessoa levantando um supino, as cargas presentes nas extremi-
dades da barra devido ao peso das anilhas resultarão em momentos fl etores 
na barra – neste caso, os braços sustentando a barra são os apoios estrutu-
rais. Já para o sargento (grampo), a força aplicada no contato com a madeira, 
decorrente da pressão imposta para o travamento da peça, resultará em um 
momento presente na seção transversal do sargento, visto que a carga pontual 
está aplicada externamente à seção do corpo do grampo. 
Por fi m, as vigas de madeira que recebem os carregamentos da mesa, cada 
qual em uma direção, serão travadas/pregadas junto à perna de madeira da 
mesa, em que, a depender da ligação (travamento), poderão transmitir os esfor-
ços de momento fl etor para esse pilarete, cada um em sua respectiva direção.
Todos os exemplos constituem uma amostra das inúmeras estruturas e si-
tuações em que esforços de fl exão estão presentes. Caso você tenha se aten-
tado, apesar de todos os exemplos envolverem a fl exão, cada um apresenta 
solicitações e origem de esforços de fl exão diferentes. Este fato nos leva a or-
ganizar e classifi car o tipo de esforço de fl exão conforme determinadas carac-
terísticas, como pode ser observado na Tabela 1.
Classifi cação quanto aos
esforços atuantes na seção analisada
Classifi cação quanto à orientação
do plano de atuação do carregamento
Pura
Normal
(reta) Oblíqua (assimétrica)Simples
Composta
PuraPura
SimplesSimplesSimples
CompostaCompostaComposta
NormalNormal
(reta)(reta) Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)Oblíqua (assimétrica)
TABELA 1. CLASSIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS DE FLEXÃO NAS ESTRUTURAS
Conforme apresentado na Tabela 1, cada tipo de fl exão apresenta uma par-
ticularidade. Quando analisamos os esforços presentes na seção, podemos es-
tar em uma condição de fl exão pura, em que somente o momento fl etor está 
atuando na seção. É o caso do trecho da barra de supino, localizado entre os 
apoios (mãos levantadas que seguram a barra). Convido você a desenhar os es-
forços internos através do método das equações, realizando um corte nessa 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 74
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 74 09/12/2020 17:38:42
seção para verificar esse fato. A flexão pura é rara de ser observada na prática, 
mas serve de ponto de partida para análises mais refinadas das estruturas.
A viga estrutural ilustrada anteriormente é um exemplo de flexão simples, 
em que, além do momento fletor, também atuam na seção esforços cortantes, 
oriundos dos carregamentos perpendiculares presentes ao longo da viga. Já 
o sargento (grampo) e o pilarete de madeira são ótimos exemplos de flexão 
composta. Nesse tipo de flexão, atuam também os esforços de tração ou com-
pressão normais ao elemento, denominados flexo-tração e flexo-compressão, 
respectivamente. Esta análise demanda uma atenção especial, uma vez que a 
distribuição de esforços pode ser afetada significativamente.
Com relação ao plano de atuação do momento fletor, poderemos ter mo-
mentos aplicados em planos de simetria ou não, considerando também a inci-
dência de vários momentos incidindo com orientações diferentes, o que irá ge-
rar uma resultante que, geralmente, atuará fora de planos de simetria. Quando 
isso ocorrer, estaremos diante de cenários de flexão assimétrica.
Isso posto, inicialmente exploraremos de forma mais detalhada as flexões 
oblíquas e compostas. Mas antes de adentrarmos essa temática, torna-se ne-
cessário recapitular os principais resultados da flexão normal pura.
Através da Figura 2, recordamos que, no caso da flexão pura, há apenas 
um momento atuante, cuja incidência se dá em torno do eixo z. Dessa forma, 
as resultantes de momento nos demais eixos são nulas, enquanto que o valor 
deste momento atuante na seção é equivalente a:
M = –yσxdA (1)
Com o auxílio da determinação das deformações em regime elástico linear, 
podemos determinar a expressão da tensão normal, obtendo uma nova equa-
ção do momento fletor da seção:
(2)y²dAM =
σm
c
Na Equação 2, σm representa a tensão normal máxima presente na seção e 
que ocorre em suas extremidades, sendo c a distância entre a extremidade do 
elemento e o eixo horizontal que passa por seu centroide. Caso tenha se aten-
tado, a integral destacada na Equação 2 corresponde ao momento de inércia 
em relação ao eixo horizontal da seção. Dessa maneira, a tensão normal máxi-
ma da seção tem módulo igual a:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 75
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 75 09/12/2020 17:38:42
(3)σm = Mc
I
Lembrando que o sinal de c depende da posição da fi bra do elemento em rela-
ção ao eixo horizontal que passa no centroide. De forma semelhante, a tensão ao 
longo da seção vertical é obtida pela equação da fl exão pura em regime elástico:
(4)σx =
My
I
Através da Equação 4, percebe-se que a tensão normal apresenta variação 
linear ao longo da seção transversal, sendo nula na linha neutra, que possui a 
propriedade de se confi gurar como um ponto de mudança no comportamento 
tensão/deformação do elemento, e sua posição é obtida como o centroide do 
elemento para a fl exão pura normal em regime elástico linear. 
Observamos também que, para um momento positivo, as fi -
bras superiores estarão comprimidas, ao passo que as inferio-
res tracionadas. Este comportamento é inverso para 
momentos negativos, fato que justifi ca a alocação 
de barras metálicas em regiões diferentes em 
elementos de concreto armado, uma vez que 
são realizadas de acordo com a região traciona-
da do elemento.
Flexão oblíqua 
Quando desenvolvemos expressões analíticas, é comum e necessário o 
emprego de simplifi cações e hipóteses de cálculo, as quais devemos conhecer 
para aplicar adequadamente seus resultados, expressões e ábacos de cálculo. 
No caso da fl exão, a expressão comentada anteriormente, esta foi desenvol-
vida considerando-se que o momento resultante de cálculo atua em um eixo 
perpendicular à linha neutra, que também é um eixo de simetria da estrutura. 
Este fato é muito presente em vigas de concreto armado, cuja seção é retangu-
lar, vigas-caixão e mesmo para algumas seções de vigas metálicas.
Agora, observe a Figura 3, na qual identifi camos algumas outras seções de 
vigas metálicas. Verifi que que, em torno do eixo vertical, nem todos elementos 
apresentam simetria, como é o caso da seção “C”, “U”, “L”.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 76
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 76 09/12/2020 17:38:42
Figura 3. Exemplos de seções de vigas metálicas. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 05/11/ 2020. 
Outra situação que diverge das hipóteses simplifi cadas consiste, por exem-
plo, em um pilar estrutural que recebe vigas em diferentes eixos. Cadaviga 
está sujeita a carregamentos perpendiculares a seu eixo, o que gerará esforços 
cortantes e de momentos fl etores. De acordo com o arranjo estrutural da peça, 
esses esforços poderão ser transmitidos para seus apoios ou não. 
No caso de estruturas de concreto armado, moldadas in locu, a ligação das 
barras de aço e a concretagem fazem com que existam momentos fl etores 
atuando nesses vínculos. Desprezando possíveis falhas geométricas e consi-
derando carregamentos centrados (ausência de momento torçor), o momento 
fl etor atuará na mesma direção do eixo de cada viga. Dessa forma, o pilar esta-
rá sujeito a momentos atuantes em diferentes eixos, ocasionando uma resul-
tante que atuará fora e em um eixo distinto dos eixos de simetria do elemento. 
Para visualizar esse fato, não é necessário ir muito longe; imagine uma 
mesa: possivelmente, os pilaretes que compõem sua estrutura estão sujeitos 
a vigas que aplicarão momentos fl etores em diferentes eixos dessa estrutura, 
conforme ilustrado na Figura 4.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 77
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 77 09/12/2020 17:38:44
Figura 4. Flexão oblíqua na estrutura de uma mesa. Fonte: PALIGA, 2014, p. 19.
Figura 5. Exemplos de fl exão assimétrica. Fonte: HIBBELER, 2018, p. 269.
Projeção da mesa Detalhe do pé da mesa Planta
Viga
Viga
Viga Viga
Corte
Corte
Pilar
Pilar
MF MFyy
xx
Plano do 
momento 
fl etor
Viga
Pé
Seja por assimetria da geometria do elemento estrutural ou pela direção de 
atuação do momento resultante não coincidir com a direção dos eixos princi-
pais de inércia do elemento (Figura 5), estaremos diante de uma fl exão oblí-
qua, também denominada fl exão assimétrica. Assim, estudaremos os casos 
de fl exão pura oblíqua como uma introdução a esse conceito.
y y
z
z z
y
x x
M
M M
A análise quantitativa do comportamento da fl exão da seção transversal se 
baseia na determinação dos eixos principais de inércia da seção transversal. 
Quando analisamos a seção segundo seus eixos principais de inércia, a direção 
do eixo em que atua o momento da seção transversal coincidirá com a linha 
neutra dessa seção. Toda seção possui eixos principais de inércia não necessa-
riamente coincidentes com os eixos coordenados, devendo sua determinação 
ser a primeira etapa para as análises de fl exão oblíqua.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 78
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 78 09/12/2020 17:38:46
No caso geral de fl exão oblíqua, teremos uma seção transversal (não neces-
sariamente simétrica) sujeita a um momento fl etor de direção distinta a seus 
eixos principais de inércia. Nesse caso, podemos decompor esse momento 
fl etor em duas componentes colineares aos eixos principais de inércia. Esse 
procedimento pode ser realizado devido ao fato de que, nas condições de pe-
quenas deformações e regime elástico-linear, é possível aplicar o princípio da 
superposição de efeitos. 
Dessa forma, a tensão normal (orientada segundo o eixo x) de um ele-
mento da seção transversal será composta por uma parcela decorrente do 
momento fl etor em relação ao eixo principal de inércia y (My), e outra do mo-
mento fl etor em relação ao eixo principal de inércia z (Mz). Dessa forma, as 
contribuições de cada fl exão em torno dos eixos principais são determinadas, 
respectivamente, por:
(5)σx = –
Myz
Iy
Mzy
Iz
O sinal de cada parcela dependerá da orientação do momento fl etor. Uma 
regra prática é: ao rotacionarmos o eixo de interesse e o alinharmos em rela-
ção à orientação horizontal, um momento fl etor positivo comprime as fi bras 
superiores e traciona as inferiores da seção analisada. Dessa forma, pensando 
nos eixos coordenados, as fi bras superiores serão comprimidas e as inferiores 
tracionadas segundo o momento positivo Mz; ao passo que as fi bras à direita 
serão comprimidas e as à esquerda serão tracionadas segundo o momento My. 
A defi nição fi nal das regiões de tração e compressão dependerá da magnitude 
das tensões geradas por cada momento fl etor.
Geometricamente, podemos estabelecer uma relação entre o ângulo de in-
clinação da linha neutra e o ângulo de incidência do momento fl etor, segundo 
os eixos coordenados:
(6)tg ∮ = tg θ
Iz
Iy
Flexão normal composta
Como visto anteriormente, a fl exão composta ocorre quando há esforços 
normais e de fl exão atuando simultaneamente na seção transversal do ele-
mento, ocorrência que é mais comum do que se pode imaginar.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 79
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 79 09/12/2020 17:38:46
Um elemento em destaque, no qual majoritariamente há a presença de 
flexão composta, é o pilar. Pilares de estruturas monolíticas funcionam como 
engastes das vigas, de forma a receber os esforços atuantes nas seções; além 
disso, o esforço cortante do apoio da viga torna-se esforço normal no pilar. Em 
estruturas de vinculação do segundo gênero o momento não é transmitido da 
viga para o pilar. Isso significa que, nesses casos, não teremos uma flexão com-
posta? Não necessariamente, visto que há mais uma importante variável para 
considerar: a excentricidade.
A excentricidade de uma carga é definida como a distância da linha de ação 
desse carregamento em relação ao eixo da estrutura. Esta definição soa familiar 
justamente por assim determinar-se um momento fletor: um esforço causado 
em decorrência do produto da distância de uma carga em relação a um ponto. 
Dessa forma, uma carga excêntrica sempre gerará momentos no que diz respeito 
aos eixos coordenados (ou eixos principais de inércia) de uma seção (Figura 6a).
Em relação ao que pode causar uma excentricidade na carga, inicialmente, 
idealizamos muitas situações reais de carregamentos e elementos. Na prática, 
imperfeições geométricas dos elementos se mostram presentes, sobretudo 
naqueles sem rigor industrial. Além disso, os carregamentos não são perfei-
tamente alinhados e aplicados nos eixos de vigas e pilares, por exemplo. Para 
acrescentar, também devemos considerar carregamentos adicionais decorren-
tes de novos esforços a partir da deformação dos elementos (efeito de segun-
da ordem). Tais aspectos são alguns exemplos de como as cargas analisadas 
devem ser consideradas, sobretudo com relação às excentricidades de cálculo, 
uma vez que gerarão esforços adicionais nas estruturas.
Independentemente da causa da excentricidade, sua existência gerará 
esforços adicionais na seção transversal, alterando sua distribuição interna. 
Através do Princípio de Saint-Venant, podemos transladar a força normal, mo-
vendo-a de seu ponto de aplicação para o eixo da peça; dessa forma, obtere-
mos esforços normais causados por ela (Figura 6b). Ao fazer isso, precisamos 
adicionar também o(s) momento(s) causado(s) pela posição inicial da carga em 
relação aos eixos da seção. Dessa forma, toda força excêntrica é substituída 
por um sistema equivalente de força centrada e momentos fletores.
Para os limites habituais de deslocamento e deformação (pequenos) no regime 
elástico-linear, podemos considerar a superposição de efeitos na seção transversal. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 80
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 80 09/12/2020 17:38:46
Dessa forma, as tensões às quais cada elemento infinitesimal da seção estará sujei-
to serão a resultante de uma parcela causada pelo esforço normal (tração ou com-
pressão) mais o efeito causado pelo esforço de flexão (que já aprendemos a deter-
minar). Sendo assim, para a excentricidade em relação a um eixo principal de inércia 
(z) teremos apenas um momento fletor atuante (Mz), sendo a expressão obtida por:
(7)σx = –P
A
Mzy
Iz
A distribuição de tensões será deslocada no sentido do esforço normal, que, sen-
do constante na seção transversal, poderemos ter cenários em que toda a seção 
estará sob tração, outros em que toda a seção estará sob compressão, ou, ainda, ou-
tros em que haverá flexão na seção (tração e compressão), a depender da magnitude 
dessa soma. Neste cenário, é possívelque haja situações nas quais a linha neutra 
será transladada na seção transversal, podendo até situar-se fora dela. 
No caso geral, teremos um cenário de flexão composta oblíqua 
em que haverá três parcelas de influência na determinação das 
tensões atuantes nos elementos da seção transversal 
(Figura 6c). Cada parcela deverá ser tomada segun-
do as convenções de sinais referentes à orientação 
dos eixos e esforços. A formulação geral é apre-
sentada na Equação 8:
(8)σx = ± ±P
A
Mzy
Iz
Myz
Iy
Figura 6. Flexão composta oblíqua: (a) carregamento aplicado; (b) sistema equivalente; (c) diagrama de esforços na 
seção e linha neutra. Fonte: BEER et al., 2011, p. 295. (Adaptado).
z
A
B
C
D
y
120 mm
(a)
35 mm
4,80 kN
80 mm
x xz
A
B
C
D
y
(b)
Mz = 120 N • m
Mx = 192 N • m
P = 4,80 kN
A
GB
H
C
+ 0,375 MPa
- 2,625 MPa
- 1,375 MPa
+ 1,625 MPa
(c)
Linha neutra
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 81
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 81 09/12/2020 17:38:46
Flambagem e dimensionamento de peças comprimidas
Ao analisar o comportamento de elementos lineares, devemos garantir as 
condições de equilíbrio (forças, momentos) e compatibilidade das tensões e de-
formações, sobretudo em estados limites (últimos e de serviço). Dessa forma, a 
estrutura deve atender aos requisitos estruturais e de desempenho em sua vida 
útil. Contudo, existe ainda uma terceira condição de análise, relacionada princi-
palmente às confi gurações geométricas mediante o campo de forças ao qual as 
estruturas (sobretudo lineares) estão sujeitas: as condições de estabilidade.
Para ilustrar uma dessas condições, pode-se realizar esse pequeno experi-
mento demonstrativo: tome em suas mãos uma régua composta por um material 
mais fl exível, como o plástico. Em sequência, segure-a com a palma de suas mãos, 
de forma que a régua esteja na direção vertical (como um pilar). Aplique uma ligei-
ra força de compressão e observe o comportamento do elemento linear. 
Certamente, você perceberá uma tendência desse elemento deslocar seu eixo 
na direção horizontal, o que é um exemplo típico de instabilidade, que analisare-
mos posteriormente. Caso você continuasse a compressão, o que ocorreria? Tal-
vez o elemento se rompesse ou escapasse de suas mãos, posto que, nessas con-
dições, ele relaciona-se a vínculos de primeiro gênero – simplesmente apoiados. 
Este experimento nos leva a questionar: por que esse fenômeno ocorre? Como as 
condições de força afetam essa instabilidade? As condições de apoio apresentam 
alguma relação com esse deslocamento? Como isso se aplica a nossas estruturas?
Para iniciar o diálogo acerca do estudo da instabilidade, é necessário primeira-
mente retomar a defi nição de equilíbrio mecânico dos materiais. Um elemento es-
tará na condição de equilíbrio quando a resultante das forças, os momentos a ele 
sujeitos, é nula. Contudo, podemos ter 
diferentes naturezas de equilíbrio ao 
analisar o comportamento de um corpo 
mediante pequenas perturbações. Na Fi-
gura 7, observamos uma esfera mediante 
três cenários distintos; mas, em todos es-
tes, ela se encontra na condição de equilí-
brio. O que aconteceria em cada um caso 
um pequeno deslocamento ocorresse?
Figura 7. Tipos de equilíbrio de um elemento. Fonte: 
DUTRA, 2019, p.5.
Instável
Indiferente
Estável
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 82
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 82 09/12/2020 17:38:47
No primeiro cenário, uma pequena perturbação acarretaria instabilidade 
e cessão do equilíbrio, o que definimos como equilíbrio instável. No segun-
do caso, uma pequena perturbação causaria um pequeno rolamento com 
posterior equilíbrio em uma nova configuração, categorizando o equilíbrio 
indiferente. Já no terceiro estado, o corpo voltaria à sua posição inicial após 
a perturbação, mantendo-se em equilíbrio novamente, cujo estado é deno-
minado equilíbrio estável.
Pequenas perturbações podem ocorrer ao longo da vida útil de uma es-
trutura: sobrecargas inesperadas, ações da natureza, imperfeições construti-
vas, combinação de eventos, entre outras; e é dever do engenheiro prever o 
maior número de cenários prováveis de incidência nas estruturas. No entanto, 
sempre existirão condições de imprevisibilidade ou excepcionais. Cabe a este, 
então, garantir que a estrutura apresente condições de redistribuição de es-
forços e manutenção de equilíbrio estável, a fim de que tais perturbações não 
aumentem o risco de falhas e rupturas dos elementos.
Um caso especial de instabilidade é a flambagem, que consiste na insta-
bilidade ocasionada por forças compressivas em elementos lineares (colunas, 
pilares, estacas, entre outros), ocasio-
nando deflexão lateral. Cabe ressaltar 
que esta verificação é fundamental no 
projeto estrutural. Um pilar, por exem-
plo, pode ser dimensionado para aten-
der requisitos de tensão e deformação 
máximos, mas deve também atender 
aos requisitos de estabilidade para 
que o fenômeno de flambagem não 
comprometa sua integridade estrutu-
ral, como apresentado na Figura 8.
Durante o experimento anterior-
mente proposto, você certamente ob-
servou que o efeito de instabilidade 
se iniciou após um determinado valor de carga compressiva aplicada. Para 
entender se esse comportamento está sempre presente, consideraremos um 
sistema como o da Figura 9. 
Figura 8. Montante com flambagem global. Fonte: 
CARDOSO et al., 2008, p. 215.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 83
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 83 09/12/2020 17:38:51
Como é possível observar, o sistema é composto por duas barras de mesmo 
comprimento, vinculadas segundo uma configuração isostática. A barra supe-
rior é apoiada lateralmente (primeiro gênero) e recebe a aplicação de uma car-
ga P, e sua extremidade liga-se através de uma rótula na barra inferior, permi-
tindo o giro do elemento. A barra inferior possui uma extremidade rotulada na 
outra barra e também está vinculada, mas com restrições de deslocamentos 
verticais e horizontais (vínculo do segundo gênero). O ponto rotulado é ligado 
a uma mola, cuja constante elástica é k.
Na situação inicial, o sistema está perfeitamente alinhado e comprimido, de for-
ma que não há movimentação lateral. Contudo, ao aplicarmos uma pequena per-
turbação lateral (movimentar a rótula, por exemplo), o sistema pode retornar à sua 
posição inicial ou se afastar desta, a depender da resultante das forças e momentos 
envolvidos. Repare que a mola exerce uma resistência contrária ao movimento do 
deslocamento horizontal, a qual será tanto maior conforme for maior sua rigidez k.
A pequena perturbação lateral promoverá também uma pequena rotação θ 
nas extremidades, de forma que a deflexão da mola pode ser aproximada pela 
multiplicação do ângulo pelo comprimento da barra, uma vez que algumas pro-
priedades trigonométricas se confundem com o próprio valor do ângulo para 
pequenos valores de θ.
Figura 9. Compreensão do fenômeno da flambagem. Fonte: HIBBELER, 2018, p. 570.
(a)
L 
2
A
k k
A
P
P
Ptg 0
Ptg 0
A
P P
(b) (c)
L 
2
L 
2
L 
20
0
Δ = 0( )L 
2
0
0
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 84
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 84 09/12/2020 17:39:30
Realizando o equilíbrio entre o momento causado pela carga axial e o momen-
to causado pela força de resistência da mola, chegamos à seguinte expressão:
(9)K(2∆θ) – P ∆θ = 0sen ∆θ = 0 ≅ K(2 ∆θ) – PL
2
L
2
∆θ = 0L
22K – P (10)
Observe que a expressão anterior é satisfeita de dois modos: o primeiro, 
quando ∆θ = 0, ou seja, quando a estrutura está perfeitamente reta com uma 
carga centrada perfeitamente alinhada. Este é um dos motivos da importância 
de um adequado controle de execução, embora tal perfeição seja complexa 
e praticamente inalcançável. O segundo modo é garantindo que a expressão 
entre parênteses seja nula, o que nos leva à seguinte relação:
(11)2k – P = 0 → P =L
2
4k
L
O valor de carga P que satisfaz a condição de equilíbrio, ou seja, o valor limi-
te referente a um equilíbrioindiferente é denominado carga crítica (Pcr). Nessa 
condição limite, qualquer pequena perturbação não fará com que a estrutura 
retorne à configuração inicial e nem se afastará mais ainda dela.
(12)P = Pcr =
4k
L
Agora, para valores P maiores que a condição limite (Pcr), observamos uma 
condição de instabilidade (equilíbrio instável), visto que a mola continuará a se 
deformar. Em nossa estrutura, isso corresponde à ocorrência da flambagem.
(13)P > Pcr =
4k
L
Por fim, para valores de carga P menores que a carga crítica, a estrutura retorna-
rá à sua configuração inicial, caracterizando um cenário de equilíbrio estável. Nesse 
cenário, a força desenvolvida pela mola será maior que as forças instabilizadoras.
(14)PFigura 11.
Lef = KL (28)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 89
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 89 09/12/2020 17:39:31
P
P
P
P
L = Le
Le = 2 L
Le = 0,5 L
Le = 0,7 L
L
L
L
Extremidades
apoiadas
por pinos
Uma extremidade
engastada e a
outra livre
Extremidades
engastadas
Extremidades
engastadas e
apoiadas por pino
K = 1 K = 2 K = 0,5 K = 0,7
Figura 11. Comprimentos efetivos de flambagem para diferentes vinculações. Fonte: HIBBELER, 2018, p. 577. (Adaptado).
Desta forma, um pilar engastado e livre apresentará comprimento efetivo 
de flambagem equivalente ao dobro de seu comprimento, sendo mais propenso 
à ocorrência de flambagem com uma carga crítica menor. A fórmula de Euler 
pode então ser estendida, considerando-se o respectivo comprimento efetivo 
de flambagem:
(29)→ σcr =Pcr =
π2EAr2
Lef
2
π2E
λ2
ef
Como cada eixo do elemento poderá apresentar um raio de giração e/ou 
comprimento de flambagem distinto, poderemos ter diferentes índices de esbel-
tez segundo as direções de análise. Dessa forma, as verificações estruturais de-
mandam a análise das duas direções, sendo mais crítica a que apresentar maior 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 90
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 90 09/12/2020 17:39:31
esbeltez. É comum no arranjo estrutural, sobretudo de elementos metálicos (co-
mumente esbeltos), a alocação de travamentos no sentido de menor inércia das 
seções, assim como representado na Figura 12. As diagonais metálicas servem 
de apoio para o pilar na direção de menor inércia, diminuindo seu comprimento 
de flambagem. Repare também que na direção de maior inércia não existem 
travamentos, de forma que seu comprimento de flambagem será maior.
Figura 12. Estrutura metálica. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 09/11/2020. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 91
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 91 09/12/2020 17:39:35
Sintetizando
Nesta unidade, você pôde compreender melhor novos aspectos da análi-
se estrutural relacionados aos projetos de vigas e pilares. Inicialmente, relem-
bramos conceitos importantes relacionados à flexão, observando onde esses 
esforços podem ser encontrados em nosso cotidiano. Foi possível retomar os 
esforços internos (de tração e compressão) que um esforço fletor pode causar 
na seção transversal, bem como seus efeitos na estrutura. 
Ademais, conhecemos novos tipos de flexão, como a flexão oblíqua, que se 
origina quando a resultante dos momentos fletores atua em um eixo distinto dos 
eixos principais de inércia. Vimos também a flexão composta, muito presente 
em pilares, cuja seção está sujeita à força normal e a momentos fletores, o que 
afeta significativamente a distribuição dos esforços e orientação da linha neutra. 
Em seguida, exploramos o conceito de carga crítica de colunas e como efei-
tos de segunda ordem podem ser prejudiciais para a estabilidade de elemen-
tos. Analisamos as formulações e adequações de cálculo para a verificação de 
flambagem em diferentes vinculações. Por fim, destacamos que estes e muitos 
outros conceitos aprendidos neste curso podem e devem ser aprofundados. 
Analisar com conhecimento e atenção os esforços atuantes nas seções é fun-
damental para a integridade e qualidade dos projetos estruturais.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 92
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 92 09/12/2020 17:39:35
Referências bibliográficas
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011. 799 p. 
CARDOSO et al. Inspeção de ponte ferroviária metálica: verificação da capaci-
dade de carga da “Ponte da Barra” em Ouro Preto/MG. Rev. Esc. Minas, Ouro 
Preto, v. 61, n. 2, p. 211-218, 2008.
DUTRA, N. T. Metodologia de análise de equilíbrio e estabilidade de platafor-
mas de petróleo considerando os esforços nas linhas de ancoragem e nos 
risers com a variação do offset da unidade. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Engenharia Naval) – Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2019.
GERE, J. M. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 
2003. 698 p. 
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2018. 768 p.
PALIGA, A. Notas de aula do curso de resistência dos materiais II, 2014, 
(capítulo 3 – Flexão). 2014. Universidade Federal de Pelotas. Disponível em: 
. Acesso 
em: 07 nov. 2020.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 93
SER_ENGCIV_RMA_UNID3.indd 93 09/12/2020 17:39:35
TRANSFORMAÇÃO 
DA TENSÃO E 
DEFORMAÇÃO
4
UNIDADE
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 94 09/12/2020 17:39:07
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Transformar as componentes de tensão e deformação associadas a um 
determinado sistema de coordenadas planas em componentes associados a 
outro sistema diferente;
 A partir da análise de carregamentos, determinar orientações e magnitudes 
referentes às máximas e mínimas tensões normais e cisalhantes nos 
elementos;
 Analisar as estruturas a partir de métodos de energia, visando identificar 
componentes de tensões normais e cisalhantes nos elementos.
 Análise dos estados planos de 
tensão e deformação
 Círculo de Mohr
 Estado plano de deformações 
 Dimensionamento de peças 
sujeitas a carregamento alternado
 Análise de elementos sujeitos a 
carregamentos combinados 
 Aplicação dos teoremas de 
energia de deformação
 Métodos de energia para 
diferentes esforços internos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 95
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 95 09/12/2020 17:39:08
Análise dos estados planos de tensão e deformação
Estado plano de tensões
Nesta unidade, nos aprofundaremos nas análises de tensões e deforma-
ções de elementos estruturais. Você já reparou em alguma estrutura fi ssu-
rada? É interessante observar que a orientação das fi ssuras não ocorre ne-
cessariamente na mesma direção, apesar de haver direções preferenciais, 
o que pode ser notado na peça de madeira fi ssurada da Figura 1. Por que 
será que isso ocorre?
Figura 1. Fissuras em peça de madeira. Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 15/11/2020. 
Até o momento de sua jornada, você certamente já aprendeu a analisar 
elementos estruturais sujeitos a diferentes carregamentos, determinando os 
esforços solicitantes internos: momento fl etor, força normal, força cortante, 
momento torçor. Também estudou que cada tipo de esforço gera solicitações 
nas fi bras (infi nitesimais) dos elementos, traduzindo-as em tensões normais 
e cisalhantes. Além disso, já percebeu que a magnitude das tensões normais 
e cisalhantes varia de acordo com o ponto de análise da seção transversal. 
Aqui, cabe a refl exão: aprendemos a determinar os valores máximos de ten-
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 96
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 96 09/12/2020 17:39:32
são atuantes num dado ponto da seção, mas será que as componentes dessa 
tensão (tensão normal e cisalhamento) podem apresentar valores maiores que 
esses na seção?
Quando pensamos em dimensionamento de uma estrutura, devemos garan-
tir sua integridade física de forma a determinar intervalos seguros para esfor-
ços atuantes com base nos limites de resistência dos materiais. Esse passo só é 
possível quando conseguimos quantificar a magnitude das tensões que atuam 
no elemento. Para tanto, vamos retomar o conceito de componentes de tensão.
A tensão é a entidade física definida como o limite da razão entre a força 
atuante em uma determinada área infinitesimal (que tende a zero). Toda tensão 
pode ser expressa em componentes, a partir de um sistema de coordenadas. 
É conveniente, para uma análise infinitesimal, tomar as componentes tais como 
componentes normais e tangenciais ao elemento de análise. As componentes 
de tensão normais às faces do elemento são as tensões normais, enquanto as 
componentes paralelas às faces, denominamos de tensões cisalhantes. Dessa 
forma, num sistema tridimensional, um elemento da estrutura estará sujeito a 
três componentes de tensão respectivas a cada face,conforme Figura 2. 
σz
σx
σy
τzy
τxy
τyz
τzx
τxz
X
y
τyx
Z
4
5
6
1
2
3
Figura 2. Estado de tensões em elemento infinitesimal. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 97
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 97 09/12/2020 17:39:32
Esse comportamento caracteriza um estado triplo de tensões (ETT). As 
tensões aplicadas no corpo podem ser analisadas em termos de tensões mé-
dias do elemento, decorrente dos infinitésimos das faces. Pode-se exigir equilí-
brio de forças nessa configuração, com relação aos três eixos coordenados do 
sistema cartesiano:
ΣMx = 0
ΣMx = 0 ⇒ τyz = τzy
(1)
(5)
(6)
(7)
(8)
(2)
(3)
(4)
Face 1: +σydxdz . τyzdxdz . dy
dz
2
Face 4: -σydxdz .
dz
2
Face 5: +σzdxdy .
dy
2
Face 2: -σzdxdz . τyzdxdz . dz
dy
2
Face 3: -τxydxdy . dy
dy
2
τxzdydz . dz
2
Repetindo o mesmo processo, podemos também fazer o equilíbrio de mo-
mentos em torno dos eixos y e z, obtendo, assim, que:
ΣMy = 0τxz = τzx (9)
ΣMz =0τxy = τyx (10)
Dessa maneira, o tensor de tensões que inicialmente se caracterizava por 
nove termos pode ser descrito por seis termos, uma vez que tensões cisalhan-
tes entre faces adjacentes possuem mesmo módulo e sentido (Teorema de 
Cauchy). Segundo o Teorema de Cauchy, recordamos que as tensões cisalhan-
Face 6: +τxydydz . dy
2
τxzdydz . dz
2
-
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 98
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 98 09/12/2020 17:39:32
tes que convergem ou divergem de uma aresta necessi-
tam ter a mesma magnitude para garantir o equilíbrio 
do elemento (condição de análise). Sendo assim, são ne-
cessários seis componentes de tensão para definir o 
estado de tensão de um corpo (tridimensional).
Essas componentes ficam condicionadas aos 
eixos coordenados de referência, de forma que, 
para um outro sistema de eixos, as componentes 
iniciais são decompostas em novas tensões normais 
e tensões cisalhantes (decomposição de vetores). Portanto, para outros eixos 
coordenados, podem existir novas configurações de valores de tensão nor-
mal e cisalhante, conseguindo ser superiores às iniciais, a depender da 
configuração do problema.
Devemos destacar que a solicitação física da tensão é a mesma para o ele-
mento infinitesimal, independentemente da escolha do sistema de coordena-
das. Contudo, a descrição numérica dos valores das componentes fica condi-
cionada à orientação desse sistema. Uma analogia (intuitiva, mas resguardada 
das devidas proporções) é imaginar o território brasileiro como espaço físico. 
Se pensássemos em analisar segundo estados federativos, teríamos uma divi-
são e quantidade de estados, mas podemos também analisar segundo muni-
cípios, obtendo outra divisão e quantidade de elementos, embora o território 
seja o mesmo em ambos os casos.
A discussão de componentes de tensão fundamenta a teoria por trás de 
softwares de análise pelo método dos elementos finitos, por exemplo. Mas 
nem todas as análises precisam ser tridimensionais. Em muitos cenários da en-
genharia, nossos problemas podem ser simplificados configurando o estado 
plano de tensões (EPT). 
Conseguimos simplificar um problema considerando estado plano de ten-
sões quando as tensões atuantes em duas das direções são preponderantes 
à terceira, de forma que essa última pode ser desprezada. Para esses casos, 
o estado triplo de tensões apresentado na Figura 2 pode ser sintetizado em 
um estado plano de tensões, conforme ilustrado na Figura 3a. No estado 
plano de tensões, teremos três componentes distintas de tensão atuando no 
elemento: σx, σy e τxy.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 99
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 99 09/12/2020 17:39:33
Figura 3. Estado plano de tensões: (a) orientação de eixos coordenados; (b) rotação de eixos (plano qualquer). Fonte: 
Beer e colaboradores, 2011, p. 444.
Como falado anteriormente, repare que, em um sistema de eixos rotacio-
nados (ou seja, num plano qualquer que intercepta o corpo) teremos novas 
magnitudes de tensões normais e cisalhantes, referentes a essa nova orien-
tação dos eixos, embora caracterizem o mesmo problema físico (Figura 3b). 
A determinação das tensões atuantes em um plano qualquer do elemento 
infinitesimal é realizada aplicando uma transformação linear entre os espa-
ços vetoriais referentes aos eixos coordenados (Figura 4a). Em outras pala-
vras, podemos analisar as tensões atuantes em eixos perpendiculares e para-
lelos ao plano rotacionado. Consideremos que, no novo plano de interesse, o 
sistema de coordenadas estará rotacionado com uma angulação θ, de forma 
que convencionamos que esse valor será positivo quando a rotação for anti-
-horária, e negativo quando for horária. 
(a)
Q
y
x
z
σy 
σx 
τxy
(b)
z’ = z
Q
y’ y0
0
σy’ τx’y’
σx’ x
x’
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 100
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 100 09/12/2020 17:39:33
(b)
x
yy’
x’
σx (ΔA cos θ)
τx’y’ ΔA
σx’ ΔA
σy (ΔA sen θ)
τxy (ΔA cos θ)
τxy (ΔA sen θ)
θ
Figura 4. Tensões em planos quaisquer de um elemento infinitesimal: (a) plano de interesse; (b) equilíbrio do corpo 
nessa configuração. Fonte: Beer e colaboradores, 2011, p.446.
A partir do equilíbrio do elemento seccionado e considerando esse plano de 
interesse (Figura 4b), podemos determinar os valores da tensão normal e ten-
são cisalhante nesse plano utilizando as Equações (11) e (12), respectivamente:
σθ = σx’ = cos(2θ) + τxysen(2θ)+
σx + σy σx - σy
2 2
(11)
τθ = τx’y’ = sen(2θ) + τxycos(2θ)
σx - σy
2
(12)
A tensão normal em um plano perpendicular ao plano rotacionado, ou seja, 
num plano de rotação θ+90°, é alcançada substituindo esse valor de ângulo na 
Equação (11), obtendo:
(a)
ΔA cos θ
ΔA
z
x
yy’
x’
ΔA sen θ
θ
θ
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 101
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 101 09/12/2020 17:39:33
Uma propriedade fundamental do estado de tensões é a determinação de 
invariantes de tensão. A primeira invariante de tensões (I1) tem relação com a 
soma das tensões normais correspondentes aos eixos perpendiculares, cujo 
valor é constante e independe do sistema de coordenadas. Repare que, ao so-
marmos as Equações (11) e (13), obtemos:
σθ+90° = σxy’ = cos(2θ) + τxysen(2θ)+
σx + σy σx - σy
2 2
(13)
σθ + σθ+90° = σx’ + σy’ = σx + σy = constante = I1 (14)
Até aqui, aprendemos a determinar as tensões atuantes em um plano qual-
quer do EPT e vimos que, a depender da orientação desse plano, poderemos 
ter tensões maiores ou menores. Parece intuitivo supor que existirão planos 
de máximas e mínimas tensões, não é mesmo? Pois bem, para determinarmos 
esses planos, podemos realizar uma otimização (derivada) em relação ao ân-
gulo θ em busca dos pontos máximos e mínimos da tensão normal. Os ângulos 
θp que possibilitam a ocorrência desses valores máximos de tensões normais 
são denominados planos principais de tensão e conseguem ser obtidos por 
meio da Equação (15). Repare que está escrito “planos” (ou seja, no plural), pois 
haverá dois planos que apresentam esse valor de tangente.
tg(2θp ) =
2τxy
σx - σy
(15)
Quando utilizamos os valores desses planos nas Equações (11) e (12), po-
demos determinar os valores das máximas tensões normais atuantes no ele-
mento. Essas tensões são denominadas tensões principais. Nos planos em 
que ocorrem as tensões principais (maiores e menores tensões normais dentre 
todos os possíveis planos), a tensão cisalhante é nula. Essa é uma importante 
propriedade do estado de tensões, uma vez que se o nosso elemento de inte-
resse está sujeito à tensão normal e cisalhante, esse estado de tensões ainda 
não apresentará os máximos valores que ele está sujeito em outras orienta-
ções de eixos. Ou seja, os critérios de análise de resistência para avaliar a mag-
nitude das solicitações utilizam as tensões principais para seu cômputo.
Uma vez compreendida a importância da determinação da orientação e 
magnitude das tensões principais, esses valores podem ser calculados pela 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 102
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd102 09/12/2020 17:39:33
Equação (16). O sinal positivo antes da raiz indicará a tensão principal máxi-
ma, representada por σmáx, enquanto a tensão principal mínima é obtida pela 
subtração, sendo representada por σmín. Na Equação (17), representa-se mate-
maticamente que nos planos em que acontecem tensões principais a tensão 
cisalhante será nula.
τθp = 0 (17)
(16)
σx + σy σx - σy + τxy
2
2 2
2
σmáx,mín = ±
De forma semelhante, podemos determinar os planos (θc) em que a tensão 
cisalhante será máxima:
tg(2θp ) = 2τxy
σx - σy
(18)
A magnitude da tensão cisalhante máxima é fornecida pela Equação (19). 
Em ambos os planos de cisalhamento máximo ocorrerá a mesma magnitude 
de tensão cisalhante, diferenciando-os apenas pelo sentido do vetor (posi-
tivo e negativo). Além disso, diferentemente do caso anterior, nos planos de 
tensão cisalhante máxima ocorrem tensões normais médias, obtidas pela 
Equação (20).
τmáx =
σx - σy + τxy
2
2
2
(19)
σx + σy
2
(20)σméd =
Círculo de Mohr
Na seção anterior, aprendemos a determinar analiticamente as tensões que 
atuam em um plano qualquer num elemento infi nitesimal sujeito a um EPT 
(Figura 5a). As Equações (11) e (12) são equações paramétricas (dependem do 
parâmetro θ). Ao removermos a parametrização, obtemos a expressão combi-
nada apresentada na Equação (21):
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 103
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 103 09/12/2020 17:39:33
(B)
σmáx
σmín
(σx - σy)
X(σx’ - τxy)
Y(σy’ + τxy)
1
2
O
τ
τxy
C
B A
20p
Figura 5. Círculo de Mohr para EPT: (a) plano de interesse; (b) representação gráfica do círculo. Fonte: Beer e colabo-
radores, 2011, p.457.
σx + σy σx - σy
2 2
2 2
2σx' - + τx’ y = + τxy
2 (21)
Observe que, na primeira parcela, a fração representa a tensão normal mé-
dia do elemento. Além disso, chamando o segundo membro da equação de R2, 
a equação pode ser reescrita como a equação geral de um círculo, cujas coor-
denadas do centro são (σméd,R):
(22)2(σx' - σméd )
2τx’ y = R2
Decorrente dessa analogia geométrica, um estado de tensões de um corpo 
consegue ser representado por meio do Círculo de Mohr (Figura 5b). O Círculo 
de Mohr foi e ainda é muito útil para a determinação das componentes de ten-
(A)
y
x
σy σmáx σmáx
σmín
b
a
σmínσx 
θp
τxy
O
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 104
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 104 09/12/2020 17:39:33
são em diferentes planos, sobretudo por conta da quantidade de trabalho des-
pendida para calcular orientações em diferentes ângulos (principalmente sem 
ferramentas de cálculo). Apesar das expressões analíticas apresentadas, o uso 
do Círculo de Mohr é uma importante ferramenta didática e de compreensão 
rápida do comportamento do estado de tensões dos elementos.
CURIOSIDADE
O Círculo de Mohr é uma representação do estado de tensões de um 
corpo, sendo introduzido pelo engenheiro alemão Otto Mohr (1835-1918)� 
Por intermédio dessa analogia, é possível determinar geometricamente as 
componentes de tensão atuantes em diferentes orientações� Para o esta-
do plano de tensões, a terminologia mais adequada seria de circunferên-
cia (apenas o contorno), embora seja muito comum utilizar o termo círculo 
mesmo assim (geralmente dizemos “Círculo de Mohr para o EPT”)�
O Círculo de Mohr representa o estado de tensões presentes em todos os 
possíveis planos de análise para um elemento da estrutura. Cada ponto per-
tencente à circunferência corresponde a um estado de tensões, sendo suas 
coordenadas os módulos de tensão normal e cisalhante atuantes nesse ele-
mento, respectivamente. As tensões principais do elemento ocorrem nos pon-
tos que interceptam o eixo x, ou seja, quando a tensão cisalhante é nula. É fácil 
perceber que esses pontos correspondem ao maior e menor valor de tensão 
normal atuante. Observe que a máxima tensão cisalhante possui módulo nu-
mericamente igual ao raio da circunferência, enquanto o centro da mesma é 
equivalente à tensão normal média do elemento.
Como uma rotação de intensidade θ no plano de análise corresponde a uma 
rotação de 2θ em relação ao centro do círculo, podemos concluir que pontos 
diametralmente opostos correspondem a estados de tensão perpendiculares.
ASSISTA
Você pode conferir visualmente as etapas de construção 
e análise do Círculo de Mohr pelo vídeo (em inglês) 08�2 
Mohr’s circle for plane stress transformation, do canal 
“Introductory Engineering Mechanics”, disponível na inter-
net� Esse assunto possui muitos materiais e vídeos abertos 
para acompanhar� 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 105
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 105 09/12/2020 17:39:34
Estado plano de deformações
Da mesma maneira que temos estados de tensões em um corpo, também 
podemos analisar os estados de deformação nos quais ele se encontra. Antes 
de apresentarmos as expressões dessas análises, vamos retomar alguns con-
ceitos fundamentais na determinação das deformações. A Figura 6 exibe um 
corpo que está sujeito a diferentes componentes de deformação. Essas com-
ponentes podem ser resultantes de carregamentos (forças, momentos, impac-
to) ou ainda variações térmicas.
Figura 6. Estado de deformações de um corpo: (a) corpo analisado; (b) elemento não deformado; (c) elemento defor-
mado. Fonte: Hibbeler, 2018, p.59.
x
z
y
(a)
(b) (c)
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
π
2
( - Yxy )
( - Yyz )
( - Yxz )
(1 + εx) ∆x
(1 + εx) ∆y
(1 + εx) ∆z
Δz
Δy
Elemento não deformado Elemento deformado
Δx
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 106
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 106 09/12/2020 17:39:34
A deformação de cada face do elemento infinitesimal é governada por duas 
componentes: a deformação normal (ϵ) e a deformação cisalhante (γ). A de-
formação normal atua normalmente as faces do elemento, promovendo efei-
tos de dilatação ou compressão das mesmas, alterando seu volume. A defor-
mação cisalhante atua paralela às faces, promovendo alteração na forma do 
elemento, ou seja, distorção.
No estado plano de deformações (EPD), teremos duas componentes de 
deformações normais (ϵx,ϵy) e uma componente de deformação cisalhante (γxy) 
atuando nos elementos. De forma semelhante ao EPT, podemos determinar 
componentes de deformação em diferentes planos e orientações, por meio 
das equações:
(23)
2 2
cos(2θ) + sen(2θ)ϵθ = ϵx’ =
ϵx + ϵy ϵx - ϵy-
γxy
2
(24)
2 2
cos(2θ)sen(2θ) +
γx’y’ ϵx - ϵy
γxyγθ
22 = =
(25)2 2
cos(2θ) + sen(2θ)
ϵx + ϵy ϵx - ϵy-
γxy
2
ϵθ+90° = ϵxy’ =
Analogamente, podem ser determinadas as deformações normais máximas 
e seus respectivos planos de incidência, além das deformações cisalhantes má-
ximas e seu plano de ocorrência:
ϵx + ϵy ϵx - ϵy
2 2
2 2
ϵmáx,mín = ± + (26)
γxy
2
ϵx - ϵy
2
2 2
= + (28)
γxy
γmáx
22
ϵx - ϵy
(27)
γxytg(2θp ) =
ϵx - ϵy (29)
γxy
tg(2θc ) = -
(30)ϵméd = 2
ϵx + ϵy
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 107
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 107 09/12/2020 17:39:36
Relembrando: planos principais são planos de máxima ocorrência do pa-
râmetro de tensão/deformação normal, em que também ocorrem tensões/
deformações cisalhantes nulas. Dessa maneira, podemos ainda obter as com-
ponentes de deformação mediante o Círculo de Mohr para o EPD. Nesse caso, 
a abscissa apresenta a deformação normal e a ordenada a metade da deforma-
ção cisalhante atuante no elemento, como ilustrado na Figura 7.
Figura 7. Círculo de Mohr para EPD: (a) plano de interesse; (b) representação gráfica do círculo. Fonte: Beer e colabo-
radores, 2011, p.493.
Por fim, é possível realizar uma comparação entre tensões planas e defor-
mações planas (Quadro 1). Cabe ressaltar que um estado plano de tensões não 
implica um estado plano de deformações. No EPT, as tensões em uma direção 
podem ser desprezíveis, o que não necessariamente anula suas deformações 
nessa direção. Da mesma forma, no EPD, as deformações em uma direção são 
desprezíveis, mas pode haver tensões desenvolvidas nessa direção.
y Δs
(a)
x
Δs (1+∈mín)
Δ s 
(1+∈máx)
b
a
0p
0p
BOdos teoremas de energia de deformação .................................................. 114
Métodos de energia para diferentes esforços internos ......................................... 117
Sintetizando ......................................................................................................................... 122
Referências bibliográficas ............................................................................................... 123
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 7
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 7 09/12/2020 17:50:07
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 8 09/12/2020 17:50:07
A compreensão do comportamento mecânico das estruturas é uma eta-
pa fundamental no desenvolvimento técnico e profi ssional do engenheiro. Ao 
projetarmos as estruturas, estamos dando forma e concretizando os sonhos e 
necessidades de alguém. 
Por isso, precisamos projetar de forma responsável e sustentável, usando 
o conhecimento das técnicas e comportamentos físicos envolvidos nos proble-
mas que nos forem apresentados durante o projeto.
Este material foi desenvolvido para possibilitar seu contato com os princi-
pais tópicos de mecânica dos sólidos, a fi m de, também, instigá-lo a se aprofun-
dar nessa ciência, fundamental para a concretização das estruturas.
Durante seus estudos, você será apresentado a diferentes comportamen-
tos dos elementos das estruturas, decorrentes das distintas formas de solicita-
ção estrutural, vinculações, mecanismos de instabilização e falha. Também irá 
conhecer as principais hipóteses simplifi cadoras, teoremas e equacionamen-
tos associados à análise estrutural.
Com os conhecimentos adquiridos, será possível identifi car as solicitações 
e esforços empregados nos elementos, o que se constitui como uma primeira 
etapa de dimensionamento para qualquer sistema estrutural. Adiante, a partir 
do estudo em disciplinas específi cas de dimensionamento de sistemas estrutu-
rais, será possível correlacionar as solicitações com as propriedades resisten-
tes dos elementos de seu sistema. 
Bons estudos!
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 9
Apresentação
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 9 09/12/2020 17:50:07
Dedico este trabalho à minha família, aos amigos e aos professores que me 
acompanharam e possibilitaram esta concretização.
O professor Leonardo Vinícius Pai-
xão Daciolo é mestre em engenharia 
civil, na área de concentração de es-
truturas e geotecnia, pela Universidade 
Federal de São Carlos – UFSCar (2020), 
é engenheiro civil com ênfase em siste-
mas construtivos, também pela UFSCar 
(2017) e técnico em edifi cações pelo 
Centro Paula Souza – CEETEPS (2012). 
É professor de engenharia civil no ensi-
no superior e realiza atividades de pes-
quisa, ensino e extensão.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/6917885391614752
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 10
O autor
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 10 09/12/2020 17:50:07
BARRAS SUJEITAS À 
TORÇÃO PURA
1
UNIDADE
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 11 09/12/2020 17:50:26
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o comportamento mecânico de elementos estruturais sujeitos a 
esforços torcionais; 
 Identificar deslocamentos, rotações, empenamentos de seções decorrentes 
de momento torçor; 
 Quantificar as tensões cisalhantes máximas e ângulos de torção desses 
elementos.
 Análise do comportamento de 
barras de seção circular sujeitas 
à torção pura
 Ângulo de torção em barras de 
seção circulares
 Elementos estaticamente inde-
terminados submetidos a mo-
mento torçor
 Dimensionamento de barras 
de seção arbitrárias sujeitas à 
torção
 Tubos de paredes finas subme-
tidos à torção
 Analogia de membrana
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 12
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 12 09/12/2020 17:50:26
Análise do comportamento de barras de seção circular 
sujeitas à torção pura
Nesta unidade, vamos compreender melhor um novo tipo de solicita-
ção estrutural: o momento torçor, também denominado torque. O torque 
está presente em diferentes aplicações cotidianas, seja no manuseio de 
uma chave de fenda, no funcionamento de um eixo de transmissão, em 
esforços em elementos configurados em grelha, no mastro de embarca-
ções e em muitos outros casos em que forças de torção surgem tentando 
rotacionar os elementos. 
Na Figura 1 temos um exemplo ilustrativo do comportamento de bar-
ras circulares submetidas à torção. Na Figura 1a, podemos observar uma 
mulher exercitando os músculos com uma barra de torção flexível (equipa-
mento fisioterapêutico). Inicialmente, este elemento cilíndrico está em re-
pouso e, após a incidência de torção (Figura 1b), podemos visualizar uma 
rotação nas arestas de seu entorno:
BA
Figura 1. Barra elástica circular submetida à torção. Fonte: Shutterstock. Acesso em 24/9/2020. (Adaptado).
Alguns questionamentos surgem após esta observação: como quantifi car 
este esforço torçor? Qual a rotação que a barra irá sofrer? Ela irá se romper? 
Como sua seção fi cará deformada? Como este comportamento é considerado 
nas estruturas? Vamos estudar todos estes aspectos, iniciando pela base: de 
onde vem este momento torçor.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 13
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 13 09/12/2020 17:50:46
Uma força irá originar um momento torçor quando tender a deformar a 
seção transversal no próprio plano da seção, ou seja, perpendicularmente 
ao seu eixo. Em uma defi nição mais formal, podemos dizer que um momen-
to torçor é originário da soma de todos os momentos que atuam no plano 
YZ (perpendicular ao eixo do elemento), de forma que sua resultante ten-
de a rotacionar a seção transversal em torno do seu eixo, conforme pode 
ser visualizado na Figura 2a. As tensões que ocorrem na seção transversal, 
decorrentes dos esforços de torção, são tensões cisalhantes, cuja atuação 
pode ocasionar tensões de tração e compressão ao longo do elemento, po-
dendo levá-lo a ruptura (Figura 2b):
a)
X
Y
Z b)
45º Trinca
T
T T
T
Figura 2. Esforços de torção: (a) atuação do momento torçor; (b) ruptura por torção. Fonte: GERE, 2003, p. 143-159; 
FEC. Acesso em: 2/8/2020. (Adaptado).
Para prosseguir com as análises deste tipo de esforço, precisamos padronizar 
nossas convenções de sinais. Um corpo cuja seção tende a rotacionar no sentido 
horário apresenta um torque negativo, enquanto um corpo cuja seção tende a rota-
cionar no sentido anti-horário, apresenta torque positivo. 
Podemos aplicar uma regra prática para a identifi cação desta convenção: a regra 
da mão direta. Esta regra é aplicada esticando o polegar na direção do eixo da seção 
e orientando os demais dedos na direção de rotação causada pela aplicação das for-
ças do sistema. Quando este alinhamento dos dedos resultar em um polegar saindo 
da seção, teremos a situação de momento torçor positivo, enquanto uma resultante 
na qual o polegar tenda a entrar na seção indicará um momento negativo. Pratique 
esta regra com a Figura 2a e perceba que o toque será negativo para a estrutura em 
questão, enquanto na Figura 2b teremos uma situação de torque positivo. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 14
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 14 09/12/2020 17:50:46
Agora, vamos analisar o comportamento de barras circulares sujeitas a este 
esforço por apresentarem algumas propriedades geométricas especiais, motivo 
pelo qual são amplamente utilizadas. Para desenvolver a formulação de torção 
em barras circulares, tomemos, inicialmente, uma barra de comprimento L, ilus-
trada na Figura 3:
B
A
T’
T
C
Figura 3. Barra de seção circular submetida à torção. Fonte: BEER et al., 2015, p. 152. 
Quando aplicamos um momento torçor de intensidade T nesta barra, surgi-
rá um esforço interno para equilibrá-lo T’. Internamente, tomando-se um ele-
mento na seção transversal, podemos identifi car a força atuante neste ponto 
(dF ), que atua a uma distância ρ do centro da seção transversal, de forma que: 
∫ρ dF = T (1)
Expressa o equilíbrio entre o momento torçor aplicadoX
Y
E
D
C A
(b)
∈mín
∈méd
∈máx
∈
ymáx (no plano)
y
20p
1 
2
1 
2
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 108
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 108 09/12/2020 17:39:37
Tensão plana Deformação plana
Tensões
σz = 0 τxz = 0 τyz = 0
σx, σy, e τxz podem ter valores 
não-nulos 
τxz = 0 τyz = 0
σx, σy, σz e τxy podem ter valores 
não-nulos
Deformação 
Yxy = 0 Yyz = 0 
ϵx, ϵy, ϵz e Yxy podem ter valores não-
-nulos 
ϵz = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
ϵx, ϵy e Yxy podem ter valores não-nulos
σ = 0 = 0 
x
xz = 0 
y, e 
 = 0 
τ podem ter valores 
τ
 podem ter valores 
= 0
 podem ter valores 
não-nulos 
 podem ter valores 
não-nulos 
 podem ter valores 
não-nulos 
ϵ
 podem ter valores 
não-nulos 
Yxy = 0 Y
ϵ
 podem ter valores 
 = 0 Y
ϵ e Y
 = 0 Y
 e Y
yz = 0 
 podem ter valores não-
τ
σ
 podem ter valores não-
 = 0 
σ
 podem ter valores não-
-nulos 
 = 0 
σ e τ
 podem ter valores não-
-nulos 
yz = 0
 e τ
 podem ter valores não-
-nulos 
= 0
 podem ter valores 
não-nulos
 podem ter valores não-
 podem ter valores 
não-nulos
 podem ter valores não-
 podem ter valores 
não-nulos
 podem ter valores 
não-nulos
z = 0 Yxz = 0 Yyz = 0z = 0 Yxz = 0 Yyz = 0z
ϵ
 podem ter valores 
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
ϵ e Y
 podem ter valores 
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
 e Y
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
xy podem ter valores não-nulos
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
 podem ter valores não-nulos
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
 podem ter valores não-nulos
 = 0 Yxz = 0 Yyz = 0
 podem ter valores não-nulos podem ter valores não-nulos podem ter valores não-nulos podem ter valores não-nulos podem ter valores não-nulos podem ter valores não-nulos
QUADRO 1. TENSÃO PLANA E DEFORMAÇÃO PLANTA
Fonte: Gere, 2003, p.384.
Dimensionamento de peças sujeitas a carregamento 
alternado
Determinação das tensões oriundas de diferentes carregamentos
Neste ponto da disciplina, você certamente deve ter notado como as es-
truturas podem estar sujeitas a diferentes carregamentos. E isso é comum em 
nosso cotidiano. Imagine, por exemplo, um helicóptero: o eixo que compõe a 
estrutura da hélice estará sujeito ao momento torçor decorrente do movimen-
to da mesma, além de força normal decorrente do peso do helicóptero. Outro 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 109
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 109 09/12/2020 17:39:44
exemplo nítido da existência de ações combinadas é em outdoor, como o da 
Figura 8.
Figura 8. Outdoor sujeito a diferentes carregamentos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 16/11/2020.
No outdoor da Figura 8, percebemos que a estrutura do pilar estará su-
jeita ao esforço normal, flexão, esforço cisalhante e torção, uma vez que 
teremos carregamentos normais e perpendiculares à seção transversal, de-
correntes do peso próprio e vento. Outros exemplos que ilustram a existên-
cia de diferentes carregamentos combinados são guindastes, elementos de 
máquinas, estruturas de edifícios, pontes etc. Até o momento, temos anali-
sado sempre carregamentos isolados, mas como combinar todos os efeitos 
de carregamentos diferentes?
Considerando o Princípio de Saint-Venant e que os materiais estarão su-
jeitos ao regime elástico-linear e a pequenas deformações, podemos analisar 
esses carregamentos de forma isolada e combinar seus efeitos nas estruturas. 
Tal método também é conhecido como método da superposição de efeitos e 
apresenta bons resultados para as estruturas habituais.
Em outras palavras, cada esforço interno deve ser analisado segundo seus 
respectivos métodos analíticos, determinando as respectivas componentes de 
tensões decorrentes de seus efeitos nas estruturas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 110
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 110 09/12/2020 17:39:45
Sabemos que, para esforços normais a uma seção, a tensão resultante 
será uma tensão normal, proporcional à razão entre a força atuante e área da 
seção transversal, tal qual a Equação (31):
(31)σ =
A
N
Já para esforços de fl exão da seção transversal em elementos retos, consi-
derando que os efeitos de cortante são desprezíveis nesses casos, a solicitação 
nas fi bras da seção analisada será de tensões normais, dependentes da distân-
cia a linha neutra e momento de inércia da seção, como na Equação (32):
(32)σ =
I
My
Para esforços cortantes, o efeito da força de cisalhamento gerará uma ten-
são cisalhante cuja intensidade depende (além da força cortante) do momento 
estático da seção, da espessura do elemento e do momento de inércia. A Equa-
ção (33) apresenta essa expressão:
(33)τméd = It
VQ
Já esforços de torção, oriundos de momentos torçores, ocasionarão ten-
sões cisalhantes cuja distribuição é dependente da geometria da seção trans-
versal. Para eixos circulares maciços e tubulares, a tensão cisalhante é depen-
dente linearmente da distância entre o ponto de análise e o centro da seção, 
além do momento de inércia polar da mesma, como na Equação (34):
(34)τméd = J
Tρ
Análise de elementos sujeitos a carregamentos combinados
Como visto na seção anterior, diferentes esforços geram tensões normais e 
cisalhantes na seção transversal, cujo cômputo pode ser realizado por meio do 
método da superposição, desde que respeitadas as premissas desse método. 
Nesse sentido, cada elemento da seção transversal apresenta valores específi -
cos de tensões, cuja distribuição ao longo da estrutura deve ser analisada a fi m 
de se determinar valores críticos de esforços.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 111
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 111 09/12/2020 17:39:46
DICA
Pontos críticos de análise são pontos em que as tensões atuantes apre-
sentam valores máximos ou então valores limites de análise� Decorrentes 
das combinações de carregamentos, diferentes pontos podem exibir 
níveis críticos� Para isso, a localização desses pontos é feita observando 
pontos candidatos com potencial para desenvolvimento de tensões eleva-
das, de acordo com os conhecimentos de distribuição de tensões referen-
tes ao tipo de esforço e geometria da seção transversal�
Além disso, estudamos que as componentes de tensões normais e cisa-
lhantes são dependentes do sistema de coordenadas analisado, de forma que 
podem existir direções nos elementos infinitesimais que apresentem valores 
máximos superiores aos analisados.
Para auxiliar na análise dos carregamentos combinados, é apresentada 
uma sequência de etapas úteis para a avaliação estrutural (GERE, 2003; HIB-
BELER, 2018):
1. Selecione o ponto da estrutura de interesse de análise. É comum obser-
var seções que apresentem esforços máximos, como momentos fletores.
2. Por meio do uso das expressões adequadas, determine as componentes 
de tensão resultantes de cada carregamento/esforço atuante na estrutura nes-
sa seção.
3. Selecione pontos de interesse (potenciais pontos críticos). Combine com-
ponentes de tensão de mesmo efeito na seção transversal, agrupando-as em 
tensões normais e tensões cisalhantes.
4. Nesses pontos, determine as tensões principais e cisalhantes máximas, 
por intermédio dos métodos de transformação de tensões planas.
5. Escolha um critério para verificar a solicitação máxima e comparar com 
níveis de resistência dos materiais. Essa comparação também pode ser feita 
utilizando fatores de segurança, coeficientes ponderadores, dentre outros.
6. Avalie deformações nesse elemento, para verificar se o mesmo atende a 
critérios preestabelecidos.
7. Prossiga essa análise considerando pontos adicionais na estrutura.
Exemplo 1
Considere que um helicóptero exerce uma força de tração F = 150 kN so-
bre o eixo circular maciço de sustentação da hélice. Esse eixo também está 
sujeito a um momento torçor de 3 kN·m. Considerando que o eixo apresen-
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA112
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 112 09/12/2020 17:39:46
ta 60 mm, determine as tensões principais e de cisalhamento máximo que 
ocorrem no eixo.
Resolução
Inicialmente, determinemos a área da seção transversal do elemento:
(35)A = 2,83 × 10-3 m4=
4 4
πD2 π(0,060)2
Para o esforço normal, sabemos que a distribuição de tensões é homo-
gênea em toda a seção circular. Já para o momento torçor, sabemos que o 
ponto que mais estará solicitado são pontos mais distantes ao centro da 
seção, ou seja, na circunferência da mesma.
Considerando um ponto pertencente a essa circunferência, a tensão ci-
salhante será:
2
(36)τ = = 70736 kPa = 70,74 MPa=
J
Tρ
π0,0304
3 × 0,030
Já a tensão normal atuante no elemento será:
(37)σ = = 53052 kPa = 53,05 MPa=
A 2,83 × 10-3
N 150
Note que nessa configuração estrutural, teremos apenas solicitação normal 
no eixo y, sendo a solicitação no eixo x nula.
F
F
T T τxy
τxy
σy
σy
Figura 9. Configuração estrutural. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 113
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 113 09/12/2020 17:39:47
As tensões principais serão:
2
(38)0 + 53.05 0 + 53.05 + 70,742
2
2
σmáx,mín = ±
(39)σmáx = 102,1 MPa; σmín = -49 MPa 
A tensão cisalhante máxima será:
(40)0 + 53.05 + 70,742 = 75,6 MPa
2
2
τmáx, =
Você também pode obter as orientações em que ocorrem essas tensões 
utilizando as Equações (15) e (18).
Aplicação dos teoremas de energia de deformação
Trabalho e energia de deformação
Para começarmos nosso diálogo 
acerca desta seção, vamos analisar 
uma situação corriqueira, conforme 
a Figura 10. Essa imagem ilustra uma 
atleta momentos antes de realizar um 
salto ornamental. Para tanto, ela sobe 
na estrutura do trampolim, desloca-se 
até a sua extremidade livre, prepa-
ra-se e impulsiona seus pés para dar 
um salto inicial. Esse salto permite que seu corpo (pés) impacte a estrutura do 
trampolim, deformando-se até atingir um ápice, e o mesmo retornará a sua 
posição inicial, fazendo com que a atleta seja arremessada e possa concluir, 
assim, o salto, uma vez que atingiu o impulso necessário para isso.
Você reparou na descrição do processo desse salto? Nesse ponto, cabe a 
refl exão: quais os processos físicos envolvidos nessa deformação da estrutura 
(trampolim)? Note que a atleta representa uma carga pontual dinâmica que atua 
numa estrutura fl exível, originando uma deformação. Essa estrutura armazena 
tal energia e possibilita sua transferência (elástica) novamente para a atleta.
Figura 10. Salto ornamental e métodos de energia. 
Fonte: Adobe Stock. Acesso em: 20/11/2020. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 114
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 114 09/12/2020 17:39:48
Todo esse aspecto retrata a chave central de discussão deste capítulo: 
os métodos de energia. Os métodos de energia são uma ferramenta de 
análise de problemas estruturais, sobretudo os tangentes a deflexões e 
deformações dos elementos. A modelagem de problemas físicos por meio 
de equações de energia possibilita simplificar algumas análises, bem como 
descrever de forma geral os mecanismos físicos que atuam nas estruturas. 
Mediante esses métodos, podemos calcular tensões e deformações dos ele-
mentos, considerando a energia interna de deformação causada pelos car-
regamentos estáticos e dinâmicos.
Antes de nos aprofundarmos nessas questões, vamos nos atentar às de-
finições de trabalho e energia de deformação. Dizemos que uma força (P) 
realiza trabalho (U) quando a estrutura sofre um deslocamento diferencial 
(dx) na mesma direção da força. Em termos algébricos, o trabalho pode ser 
expresso pela Equação (41), em que ∆ representa o deslocamento total cau-
sado pela força.
A força P não precisa ser necessariamente aplicada de maneira instan-
tânea. Considere na Figura 11a uma força normal P que é aplicada sobre 
(41)P dxU =
∆
0
uma barra. À medida que incrementamos essa força de 0 (valor inicial) até P 
(valor total da força), observaremos um deslocamento que também é incre-
mentado, partindo de 0, até seu valor total ∆.
Observe que, da mesma maneira, uma nova carga P’ pode 
ser aplicada à estrutura, posteriormente à carga P. Essa 
nova carga também realizará trabalho, contudo, com 
uma nova magnitude, visto que o deslocamento ∆’ será 
diferente (Figura 11b).
Na Figura 11c, está representado o diagrama força 
x deslocamento da barra analisada. Repare que estão 
ilustrados os incrementos gradativos das forças apli-
cadas até gerarem seu valor pleno. O trabalho gera-
do por essas forças é numericamente equivalente à 
área sob essa curva (observe a Equação (41)).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 115
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 115 09/12/2020 17:39:48
Δ
P P
P’
Δ
Δ’
P
P’
F
x
Δ Δ’
(a) (b) (c)
Figura 11. Trabalho e energia de deformação: (a) carga normal inicial; (b) incremento posterior de uma nova carga; 
(c) diagrama de energia de deformação. Fonte: Hibbeler, 2018, p. 622.
Podemos então analisar que, no primeiro momento, em que apenas a 
primeira carga P estava sendo aplicada, o trabalho dessa carga é equiva-
lente à área triangular em cinza claro do diagrama, numericamente igual a:
(42)P∆U P,1 = 
2
1
(43)P’∆’U P’,2 = 
2
1
Por sua vez, o trabalho realizado pela carga P nesse segundo momento será 
equivalente à área retangular (cinza) da Figura 11c, uma vez que essa carga 
permaneceu na estrutura e continuará realizando trabalho.
(44)P∆'U P,2 = 
Agora, consideremos outro cenário: um momento aplicado à estrutura. O 
deslocamento provocado pelo momento uma rotação. Dessa maneira, a defi-
nição de trabalho realizado por um momento é referente ao produto de seu 
módulo pelo deslocamento angular por ele provocado (Equação (45)). Da mes-
ma maneira, as analogias para aplicação de momentos posteriores a esses e 
também do gráfico de momento x deslocamento angular permanecem válidas.
(45)M dθU =
∆
0
Já no segundo instante, quando a carga P’ é aplicada, essa carga realizará um 
trabalho correspondente à região triangular cinza escuro, cujo módulo será: 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 116
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 116 09/12/2020 17:39:49
Repare que o trabalho fi ca condicionado à confi guração e ordem de aplicação 
das cargas na estrutura. Esses conceitos são a base para iniciarmos os métodos 
de energia, cujo escopo não se limita às noções iniciais tratadas neste livro.
E, por falar em energia, o trabalho que o carregamento provoca durante seu 
incremento armazena um tipo particular de energia na estrutura: a energia de 
deformação. Dessa maneira, a energia de deformação armazenada mediante 
a realização do trabalho feito pelos carregamentos é numericamente igual às 
Equações (41), para carga pontual, e (45), para momento fl etor.
Considerando uma barra de área transversal A e comprimento L, podemos dividir 
a energia de deformação por seu volume V, obtendo a densidade de deformação:
(46)
∆ ϵ
∆
0 0
0= = =u =
V A L
U P dx
∫ P dx σxdϵx
Observe que a Equação (46) é numericamente igual à área sob o diagrama 
tensão x deformação específi ca do material, considerando variações no eixo x. 
Considerando a área total sob o gráfi co, ou seja, toda a densidade de energia 
de deformação armazenada entre o início do carregamento (0) e a deformação 
específi ca na ruptura (ϵR), obteremos uma importante propriedade dos mate-
riais: o módulo de tenacidade.
Métodos de energia para diferentes esforços internos
Trabalho e energia de deformação
A Equação (46), exibida anteriormente, apresenta uma relação entre a den-
sidade de energia de deformação e a tensão/deformação dos elementos. Re-
cordando a Lei de Hooke, que relaciona para os trechos elásticos-lineares a 
tensão-deformação dos materiais por meio do módulo de elasticidade, pode-
mos desenvolver:
(47)
ϵ ϵ
0 0
= = =u =
V 2 2E
U
σxdϵx Eϵxdϵx =
Eϵx
2 σx
2
Assim, observamos que a densidade de energia de deformação é pro-
porcional à tensão normal atuante no ponto de interesse (corresponden-
te a um nívelespecífico de deformação). Nesse sentido, podemos relacio-
nar densidades de energias com o cálculo de tensões e deformações.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 117
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 117 09/12/2020 17:39:49
EXEMPLIFICANDO
Um ponto de interesse particular é a determinação da densidade de ener-
gia de deformação correspondente à tensão de escoamento do material 
(σE)� Esse valor é denominado módulo de resiliência do material� Fisica-
mente, corresponde à energia de deformação por unidade de volume que 
o material conseguirá absorver sem entrar em regime de escoamento�
Considerando agora a taxa de variação entre a energia de deformação e a 
variação do material, a Equação (47) também pode ser reescrita como:
(48)=u = dU = U =→ →
dV
dV dV
2E 2E 2E
dU σx
2σx
2 σx
2
A Equação (48) representa a energia de deformação elástica armazena-
da na estrutura. Sua resolução pode ser construída determinando a função 
correspondente à tensão normal atuante na estrutura, bem como realizando 
mudanças de variáveis de integração convenientes.
Para esforços normais centrados, observamos que:
A
P
(49)
L
0
U = dV = dx(A dx) =
2E 2AE2E
2σx
2 p21
Se os integrandos forem constantes (seção transversal, propriedades elás-
ticas e carregamento), podemos simplificar em:
(50)U =
2AE
p2L
(51)
L
0
U = dV = dx
2E 2EI
σx
2 M2
De forma análoga, conseguimos determinar a energia de deformação elás-
tica mediante esforços de flexão:
Quando analisamos um material sujeito a tensões cisalhantes, é possível 
definir energias de deformação elásticas associadas às deformações cisalhan-
tes do corpo, cujo procedimento é semelhante ao apresentado (adequando as 
variáveis ao caso de cisalhamento).
(52)U = dV
2G
2 τxy 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 118
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 118 09/12/2020 17:39:50
Para esforços cortantes, a determinação da energia de deformação elás-
tica é um pouco mais complexa, decorrente da necessidade da integração da 
tensão cisalhante que depende de momentos estáticos da posição da seção de 
análise – a leitura das obras de Beer e colaboradores (2011) e Hibbeler (2018) 
fica como sugestão complementar.
Por fim, de forma a determinação para o caso de esforço de torção em eixos 
circulares, podemos utilizar a Equação (53):
(53)
L
0
U = dV dx =
2G 2GJ 2GJ
T2 T2L2 τxy 
A determinação da energia de deformação é essencial para a aplicação de mé-
todos de energia. Aqui, aprenderemos a usar uma simplificação do método do 
Teorema de Clapeyron para a determinação de deslocamentos em elementos 
sujeitos a uma única carga pontual aplicada ou um único momento fletor aplicado. 
A ressalva desse método é que só é possível determinar os deslocamentos no 
ponto de aplicação do carregamento. A premissa do método se baseia em igualar 
a energia externa (oriunda do trabalho do carregamento) com a energia interna 
(oriunda da deformação elástica), ou seja, considerar a conservação da energia.
(54)Ue = Ui
Dessa maneira, um carregamento normal aplicado a um nó de um sistema 
de treliças originará um deslocamento deste nó, que poderá ser obtido por 
meio da relação entre energia externa (trabalho dessa força) e interna (energia 
de deformação dessa força):
(55)∑P∆ =
2 2AiEi
1 Ni
2 Li
i = 1
n
De maneira semelhante, uma viga sujeita a um momento fletor apresenta-
rá um deslocamento angular que pode ser determinado igualando o trabalho 
desse momento com a energia de deformação elástica da flexão da viga:
(56)
L
0
Mθ = dx2 2EI
M21
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 119
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 119 09/12/2020 17:39:51
Exemplo 2
Determine o deslocamento que uma carga de 50 kN aplicada no nó livre da 
treliça provocará na estrutura. Considere o material com módulo de elasticida-
de de 200 GPa e seção circular plena de 20 mm.
8.00 m
10.00 m6.
00
 m
50
.0
 k
N
Figura 12. Exemplo 2. 
Resolução
Inicialmente, determinemos a área da seção transversal dos elementos:
(57)=A = = 3,14 × 10-4 m4
44
π(0,020)2πD2
Por meio de métodos de análise de nós ou ainda de seccionamento, pode-
mos determinar os esforços internos presentes nos elementos (de tração ou 
compressão), sintetizados em kN:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 120
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 120 09/12/2020 17:39:51
66.7
-83.3
50
.0
Figura 13. Exemplo 2
O deslocamento no ponto de aplicação da carga pode ser obtido por:
25∆ = = 0,955=
125664125664
119980
∆ = = 0,038 m= 38 mm
25
0,995
(66,72 × 8 + 502 × 6 + (-83,3)2 × 10)
∑50∆ =
2 2(3,14 × 10-4)(200 × 106)
11
Ni
2 Li
i = 1
n
(58)∑P∆ =
2 2AiEi
1 Ni
2 Li
i = 1
n
°
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 121
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 121 09/12/2020 17:39:52
Sintetizando
Nesta unidade, você pôde conhecer e compreender novos métodos de aná-
lise de tensões e deformações nas estruturas. No primeiro momento, anali-
sou-se o estado de tensões que um elemento infinitesimal está submetido. 
Foi possível identificar como as componentes de tensões são dependentes da 
orientação da análise. Esse fato possibilitou identificarmos as tensões princi-
pais e cisalhantes máximas, conhecendo as orientações que as representam. 
Além disso, a construção do Círculo de Mohr se apresentou como uma alterna-
tiva gráfica para a compreensão dos estados planos de tensão e deformação dos 
elementos. Falando em deformação, verificamos que as componentes de defor-
mação normal e cisalhante também são afetadas com a orientação das análises. 
Avançando na análise estrutural, tornou-se possível construir estados de 
tensão para carregamentos combinados, de forma a analisar pelo método da 
superposição de efeitos as contribuições de cada carregamento no estado de 
tensões dos elementos da seção transversal. 
Por fim, uma nova metodologia de análise foi apresentada: os conceitos de 
energia de deformação. Conhecemos como determinar as energias de defor-
mação elástica para diferentes carregamentos, além de possibilitar o cálculo 
de deformações pontuais em sistemas simplificados, por meio da conservação 
da energia. Encerramos aqui as discussões principais, contudo, sem esgotar-
mos a vastidão de tópicos e conteúdos acerca desses assuntos. 
Fica o convite para que você, estudante, aprofunde-se cada mais nessa 
ciência tão importante e necessária: a mecânica dos materiais.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 122
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 122 09/12/2020 17:39:52
Referências bibliográficas
08.2 MOHR’S circle for plane stress transformation. Postado por Introductory 
Engineering Mechanics. (12min. 57s.). Disponível em: . Acesso em: 01 dez. 2020.
BEER, F. P.; JOHNSTON JR., E. R.; DEWOLF, J. T.; MAZUREK, D. F. Mecânica dos ma-
teriais. 5. ed. Porto Alegre: Amgh, 2011, 799 p. 
GERE, J. M. Mecânica dos materiais. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, 
698 p.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2018, 768 p.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 123
SER_ENGCIV_RMA_UNID4.indd 123 09/12/2020 17:39:52
	SER_ENGCIV_RMA_UNID1
	SER_ENGCIV_RMA_UNID2
	SER_ENGCIV_RMA_UNID3
	SER_ENGCIV_RMA_UNID4e os esforços internos.
Esta força, infi nitesimal, atua em uma área infi nitesimal (dA), ocasionando 
uma tensão de cisalhamento. Podemos, então, realizar uma mudança de variá-
vel em nossa integral, obtendo:
∫ρ (τ dA) = T (2)
Como as tensões de cisalhamento não ocorrem somente em 
um plano (Figura 4a), ao aplicarmos o momento 
torçor, visualizamos uma tendência ao desli-
zamento, que ocorrem em planos longitu-
dinais e transversais. No caso de barras 
circulares, as seções transversais planas 
permanecerão planas e indeformadas após a 
ação do momento torçor (Figura 4b).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 15
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 15 09/12/2020 17:50:46
Considerando uma barra de seção circular e comprimento L (Figura 4c), 
podemos observar uma rotação da barra após a aplicação do momento tor-
çor (Figura 4d), cujo ângulo é definido como ϕ. Este ângulo é deno-
minado ângulo de torção e, para pequenos valores de rotação, 
pode ser considerado diretamente e linearmente 
proporcional ao momento torçor aplicado. A ro-
tação das seções da barra ocorre em diferen-
tes ângulos ao longo do eixo da barra, contu-
do sem deformar sua seção, uma vez que as 
barras são axissimétricas. O máximo ângulo de 
rotação acontece na excentricidade da barra.
Centro da barra
B
B
A
A Φ
A’
A) C)
D)
L
B)
T’
T T
τ
Figura 4. Barra circular submetida à torção: (a) atuação da tensão cisalhante; (b) rotação das seções transversais; (c) 
elemento antes da aplicação do torçor; (d) ângulo de torção. Fonte: BEER et al., 2015, p. 155-156. (Adaptado).
EXPLICANDO
Uma geometria axissimétrica ocorre quando o elemento pode ser obtido 
por meio de uma seção transversal que contém um eixo de revolução, 
ou seja, ele se tornará simétrico em relação ao eixo em qualquer corte 
longitudinal que o contenha. Para estes elementos, podemos trabalhar 
geometricamente em coordenadas cilíndricas, o que geralmente simplifi-
ca as formulações.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 16
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 16 09/12/2020 17:50:47
Eixo de revolução
Eixo de revolução
Ponto (r, z, θ)
Secção transversal 
b)a)
θ
z
z
r
r
Figura 5. Elemento axissimétrico: (a) seção de revolução; (b) coordenadas cilíndricas. Fonte: RODRIGUES, 2009, p. 2. 
(Adaptado).
Em uma barra circular, as deformações de cisalhamento variam linear-
mente através da distância radial r, sendo nula a deformação no eixo da 
barra e máxima na superfície externa (GERE, 2003, p. 139). Para tensões 
de cisalhamento abaixo da tensão de escoamento do material da barra, o 
material encontra-se na fase elástica. Nesta fase, as tensões são proporcio-
nais às deformações elásticas e o material retorna a sua configuração inicial 
cessada a aplicação das cargas. Neste regime, podemos utilizar o módulo 
de elasticidade transversal do material (G) para relacionar a tensão de ci-
salhamento desenvolvida com as deformações angulares de cisalhamen-
to (γ). A determinação da tensão de cisalhamento média desenvolvida na 
seção transversal pode ser feita pela expressão:
τ = (3)
Tρ
J
Sendo ρ a distância do ponto da seção transversal ao centro da 
seção (Figura 6a). A tensão de cisalhamento máxima irá 
se desenvolver na maior distância da seção transver-
sal, com relação ao seu centro, que ocorre na borda 
do elemento (raio máximo). Para tubos circulares (se-
ções circulares vazadas), as distribuições de tensão con-
tinuam semelhantes às seções cheias, ressalvando a inexistência de ten-
sões na parte onde não existe material e as tensões não nulas, já no início 
do trecho contínuo (Figura 6b).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 17
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 17 09/12/2020 17:50:47
O
τ
ρr
a) τmáx
O
τ
ρr2r1
b) τmáx
τmín
Figura 6. Distribuição das tensões na seção transversal circular: (a) seção sólida; (b) seção tubular. Fonte: BEER et al., 
2015, p. 160. (Adaptado).
A tensão de cisalhamento é inversamente proporcional ao momento polar 
de inércia ( J), que pode ser entendido como uma resistência geométrica à 
rotação. Repare que esta grandeza é diferente da grandeza momento de inér-
cia, que se relaciona a uma resistência à flexão. O momento polar de inércia 
para uma seção circular (cheia) de raio r pode ser determinado por: 
J = πr4 (4)
1
2
Para seções circulares vazadas, cujo raio externo é R e o interno é r, a ex-
pressão do momento polar de inércia é:
J = (5)π(R4 - r4)
512
O momento polar de inércia ( J) fornece uma indicação da resistência ao giro 
da seção transversal. Este é um momento de segunda ordem (integral de área) 
obtido em coordenadas polares, ou seja, na distância radial (ρ) de um ponto da 
seção a um ponto de referência (O): 
JO = ρ2dA (6)∫
A
Geralmente escolhemos a origem como o centroide (momento estático 
de uma área). A depender da geometria da seção transversal de uma es-
trutura, teremos diferentes expressões de determinação do seu momento 
polar de inércia.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 18
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 18 09/12/2020 17:50:47
Ângulo de torção em barras de seção circulares
Além de determinar a distribuição de tensões (e, consequentemente, de de-
formações) na seção transversal, podemos determinar o ângulo de torção ao 
qual o elemento foi submetido (Figura 4d). Defi nimos como razão de torção (θ) 
a relação entre o ângulo de torção e a distância da seção em relação ao vínculo 
estrutural (x), ao longo do eixo da barra. Esta relação nos permite obter o ângulo 
de torção por unidade de comprimento (em radianos):
θ = = (7)
dϕ
dx
T(x)
G(x)J(x)
Considerando o comprimento total da barra L, na situação geral, o ângulo 
de torção total da barra (ϕ) é defi nido como:
ϕ = (8)dx
T(x)
G(x)J(x)∫ L
0
Usualmente, quando utilizamos um material homogêneo, de seção geomé-
trica constante e solicitação constante (por trechos), os termos variáveis saem 
do integrando, de forma que podemos multiplicar a razão de torção para obter 
o ângulo de torção total da barra (ϕ), em radianos:
θ = (9)TL
GJ
ASSISTA
Você pode visualizar os parâmetros que foram apresenta-
dos, por meio do vídeo (legendado) Understanding torsion, 
do canal The Effi cient Engineer. No vídeo, também é 
possível ver as premissas e propriedades de axissimetria 
de barras circulares.
A convenção de sinais do ângulo de torção segue a regra da mão direita, 
anteriormente mencionada, em que rotações horárias possuem convenção ne-
gativa, enquanto rotações anti-horárias possuem convenção positiva.
O termo GJ é defi nido como rigidez de torção da barra. Observe que, quanto 
maior esta relação, menor será o ângulo de torção que o elemento apresenta-
rá. Em determinadas aplicações, é interessante, também, determinar o torque 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 19
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 19 09/12/2020 17:50:48
necessário para produzir uma unidade de rotação do elemento. Neste cenário, 
definimos a relação (GJ)/L como a rigidez de torção linear da barra (kT), conside-
rada uma constante para a análise estrutural nestas aplicações.
Caso o eixo seja constituído por uma associação de barras, ou ainda, possua 
a presença de torques múltiplos, podemos aplicar as equações anteriores (mu-
nindo-nos da convenção de sinais) em cada trecho de torque constante. Para 
situações em que o torque ou a seção varia, faz-se necessária a integração das 
respectivas funções de esforços e geometria.
As determinações de tensão cisalhante e ângulo de torção consideram as 
premissas do princípio de Saint-Venant, em que desprezamos deformações 
localizadas que podem ocorrer em decorrência da aplicação dos momentos 
fletores. O princípio de Saint-Venant é amplamente utilizado em mecânica 
das estruturas, sobretudo por possibilitar uma simplificação de análise, ao de-
sassociar efeitos locais de efeitos gerais. 
O princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em 
um corpo em pontos suficientemente distantes da região de apli-
cação da carga externa serão as mesmas que as produzidaspor 
qualquer outro carregamento externo aplicado que tenha a mes-
ma resultante estaticamente equivalente e que seja aplicado ao 
corpo dentro da mesma região (sic) (HIBBELER, 2019, p. 106).
Observamos que as determinações de tensão, deformação e torção dependem 
de características geométricas da seção (como o momento polar de inércia), da mag-
nitude dos esforços e das características constitutivas do material (módulos de elas-
ticidade e níveis de tensões). Quando não se dispuser de resultados de ensaios e 
informações específicas acerca do módulo de elasticidade transversal, usualmente 
se utiliza a relação entre os módulos obtidas da teoria da elasticidade:
G = (10)E
2(1 + υ)
Em que E é o módulo de elasticidade linear e υ é o coeficiente de Poisson 
do material.
Dessa forma, o dimensionamento usual dos elementos perpassa, inicialmente, a 
escolha dos materiais estruturas (sistema construtivo), a identificação das ações e o 
dimensionamento geométrico das seções, sendo esta última a principal variável de 
alteração nos projetos.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 20
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 20 09/12/2020 17:50:48
Exemplo 1
Determinar a máxima tensão cisalhante que ocorre em uma barra de seção 
circular de diâmetro 50 mm, submetida a um momento torçor de 2,6 kN.m. A 
barra possui comprimento de 1 m e módulo de elasticidade transversal de 80 
GPa. Determine também o ângulo de torção atuante na barra.
Resolução 1
Inicialmente, procede-se com a determinação do momento polar de inércia 
(equação (4)), adequando as unidades das variáveis (para metros, neste caso):
1 1 0,050( )2 2 2
4
J = πr4 π = 6,14 ∙ 10-7 m4= (11)
Determinado o valor de J, podemos utilizar a equação (3) para obter a ten-
são de cisalhamento máxima na seção, que ocorre quando a distância do ponto 
coincide com o raio da seção:
Tr
J
τ = 105863 kPa = 105,9 MPa
2,6 ∙ 0,025
6,14 ∙ 10-7= (12)
O ângulo de torção pode ser determinado por meio da equação (9):
= 0,0529 rad = 3,03°
2,6 ∙ 1
(80 ∙ 106)(6,14 ∙ 10-7)ϕ = TL
GJ
= (13)
Elementos estaticamente indeterminados submetidos a 
momento torçor
Em muitas situações da engenharia, podemos observar a ocorrência de 
barras submetidas a momento torçor, mas vinculadas em suas extremidades. 
Quando a aplicação das equações de equilíbrio (translacional e rotacional) não 
são sufi cientes para a determinação dos esforços do elemento, estamos em 
uma situação de indeterminação estática: o número de incógnitas do problema 
é superior ao número de equações básicas de resolução. Nestes casos, deve-
mos utilizar os conhecimentos adquiridos para a utilização de equações adi-
cionais, de forma que este sistema matemático se torne passível de resolução.
Equações que podem ser utilizadas nestes casos são de compatibilidade: 
relações físicas que delimitam ou especifi cam as condições do problema em 
questão. Caso o eixo possua extremidades (pontos A e B) simultaneamente 
engastadas, este vínculo estrutural restringirá os deslocamentos nestas extre-
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 21
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 21 09/12/2020 17:50:49
midades, onde podemos constatar que os ângulos de rotação serão nulos. Ma-
tematicamente, escrevemos as seguintes equações de compatibilidade para o 
problema em questão:
ϕA|B = 0 ϕA|B = ϕAC + ϕCB (14)
TA
TA
TA
A
A) B)
C)
m
n
B
C
TB
TB
TB
T
T
Figura 7. Barra de seção circular estaticamente indeterminada: (a) faces engastadas; (b) esquema de corpo livre; (c) 
análise de esforços internos. Fonte: HIBBELER, 2019, p. 191. (Adaptado).
Como elucida Hibbeler (2019), o próximo passo para a resolução destas 
indeterminações é a utilização de uma relação entre carga-deslocamento, ou 
seja, uma equação que permita relacionar as indeterminações das equações de 
equilíbrio com as equações de compatibilidade, tal qual a equação (9).
Exemplo 2
Considere a barra estaticamente indeterminada da Figura 7, com diâmetro 
de 50 mm. A barra possui comprimento de 3 m e 2 m, respectivamente aos 
trechos AC e CB. O momento torçor possui intensidade de 300 N.m e o mó-
dulo de elasticidade transversal do material é 70 GPa. Determine as reações 
nas extremidades.
Resolução 2
Inicialmente, construímos um diagrama de corpo livre semelhante ao da 
Figura 7b. Aplicando a equação de equilíbrio de momentos (com a convenção 
de sinais), obtemos:
300 - TA - TB = 0 N.m (15)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 22
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 22 09/12/2020 17:50:49
Agora utilizaremos a equação (14) para relacionar o tor-
que com o deslocamento. Observe que o ângulo de rotação 
total (nulo) é obtido pela soma das rotações nos trechos 
AC e CB. Quando analisamos o diagrama de corpo livre, 
também verifi camos que os esforços internos no ponto C 
giram em sentidos contrários (para que a resultante seja nula):
3
2TB=LAC
TB LCB→ TA LAC - TB LCB = 0 → TA =
GJ
TB LCBϕA|B = ϕAC + ϕCB → 0 =
GJ
TA LAC -
(16)
Substituindo na equação anterior, podemos resolver o sistema:
300 - 
3
2TB - TB = 0 → TB = 180 N.m (17)
300 - TA - 180 = 0 → TA = 120 N.m (18)
Dimensionamento de barras de seção arbitrárias sujei-
tas à torção
Até o momento, analisamos o comportamento de barras circulares sub-
metidas a esforços de torção, mas o que acontece quando temos uma se-
ção não circular? Marquises, lajes submetidas em balanço, grelhas sujeitas 
a carregamentos verticais e algumas estruturas metálicas (como outdoors 
sujeitos a esforços oriundos do vento) são alguns dos muitos exemplos de 
ocorrência de momento torçor em seções usualmente não circulares (se-
ções retangulares, seções metálicas I, T, C, U). 
Observamos que por sua axissimetria, as seções transversais circulares 
permaneciam planas mesmo após a aplicação da solicitação estrutural. 
Agora, vamos analisar o que acontece em barras de seção não circular. 
Observe a Figura 8a, em que uma barra prismática é submetida a um mo-
mento torçor. Como a seção transversal não é simétrica em relação ao seu 
eixo (axissimétrica), a aplicação do torque fará com que aconteça uma alte-
ração na geometria da seção do elemento estrutural causado pela torção, 
de forma que esta barra tenderá a abaular ou entortar (Figura 8b). Neste 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 23
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 23 09/12/2020 17:50:49
caso, as expressões anteriores não podem ser utilizadas para a determi-
nação do comportamento mecânico do elemento estrutura. Então, como 
poderemos proceder?
Não deformado T
T
Deformado
Figura 8. Distribuição das tensões na seção transversal circular: (a) seção sólida; (b) seção tubular. Fonte: HIBBELER, 
2019, p. 197.
Como ilustram Beer et al. (2015), convido você a realizar este experi-
mento: em uma borracha retangular, desenhe pequenos quadrados ao 
longo das faces, arestas e quinas do elemento. Agora, submeta esta bor-
racha a uma torção e observe como as deformações nestes quadrados se 
darão. É possível verificar que os vértices das faces exteriores tendem a 
permanecer inalteradas, assim como as arestas longitudinais da borracha. 
Se não ocorreu deformação, podemos concluir que não ocorreram ten-
sões nestes pontos. Diferentemente de quadrados desenhados ao longo 
do corpo da borracha, que apresentam distorção em seu comportamento, 
indicando que tensões cisalhantes originárias do momento torçor estão 
atuando nestes elementos.
A análise da teoria da elasticidade para elementos de seção não 
circular é complexa e foge ao escopo da proposta dessa 
unidade. É possível utilizar alguns resultados conhecidos 
para identificarmos a máxima tensão cisalhante que ocor-
re em algumas seções típicas (Quadro 1). 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 24
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 24 09/12/2020 17:50:51
Fonte: HIBBELER, 2019, p. 198.
Repare que a máxima tensão cisalhante oriunda do torque ocorre em um 
elemento da borda da seção transversal, e não nos vértices da seção. No 
Quadro 1, tambémpodemos determinar o ângulo de torção para diferentes 
seções de barras não circulares. 
QUADRO 1. EXPRESSÕES PARA A DETERMINAÇÃO DA MÁXIMA TENSÃO 
CISALHANTE E ÂNGULO DE TORÇÃO PARA SEÇÕES PARTICULARES.
Forma da seção tranversal τmáx Ø
Quadrada
a
a
Elipse
Triângulo equilátero
a
a a
4,81 T
a³
7,10 TL
a4G
20 T
a³
46 TL
a4G
2 T
πab2
(a² + b²)TL
πa3b3G
b
b
a a
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 25
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 25 09/12/2020 17:50:52
Estendendo os resultados obtidos, podemos constatar que a seção mais efi -
ciente é a circular, pois a distribuição de tensões e os valores máximos de tensão 
cisalhante são os menores quando comparados a outras geometrias; além disso, 
também apresentam os menores ângulos de torção (HIBBELER, 2019).
Apesar de não serem as seções mais efi cientes, as seções retangulares tam-
bém são altamente empregadas na engenharia civil, por questões de modula-
ção e construção, principalmente na construção de formas para a concretagem 
destes elementos (pilares e vigas, por exemplo). 
Timoshenko e Goodier (1970) analisaram seções retangulares uniformes 
submetidas ao momento torçor puro, obtendo os resultados que serão exi-
bidos. Sendo L o comprimento de uma barra prismática de seção retangular, 
de lados a e b, respectivamente correspondentes à maior e menor dimensão 
do elemento, podemos determinar a máxima tensão cisalhante que ocorre na 
linha de centro da face maior da barra (dentro do regime elástico), por meio da 
equação (19). Utilizando a equação (20) também é possível determinar o ângulo 
de torção nestas barras:
τmáx = c1 ab2
T (19)
ϕ =
c2 ab3 G
TL (20)
Repare que as equações (19) e (20) dependem das variáveis c1 e c2, que 
são coefi cientes de torção obtidos em função da forma dos elementos, con-
forme Tabela 1:
a ⁄ b c1 c2
1,0 0,208 0,1406
1,2 0,219 0,1661
1,5 0,231 0,1958
2,0 0,246 0,229
2,5 0,258 0,249
1,0
1,2
1,5
2,02,0
2,52,5
0,2080,208
0,2190,219
0,231
0,2460,246
0,2580,258
0,14060,14060,1406
0,16610,1661
0,19580,1958
0,2290,229
0,2490,249
TABELA 1. COEFICIENTES DE TORÇÃO PARA BARRAS RETANGULARES
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 26
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 26 09/12/2020 17:50:52
3,0 0,267 0,263
4,0 0,282 0,281
5,0 0,291 0,291
≥ 5
3
1 - 0,630( )a
b
3
1 - 0,630( )a
b
∞ 0,333 0,333
3,0
4,04,0
5,05,0
≥ 5
0,267
∞
0,267
0,2820,282
0,2910,291
(1 - 0,630(1 - 0,630
3
1 - 0,630 a )b
0,263
0,333
0,263
0,333
0,2810,281
0,2910,291
(1 - 0,6301 - 0,630
3
)a
b )
0,3330,333
Fonte: BEER et al., 2015, p. 207. (Adaptado).
Exemplo 3
A seção transversal de uma viga retangular de concreto possui dimensões 
de 40 cm por 20 cm. Sabendo que o módulo de elasticidade transversal é 10 
GPa, o torque aplicado é 100 kN.m e o comprimento é de 5 m, determine a 
máxima tensão cisalhante atuante na seção e o ângulo de torção ao qual ela 
está submetida. Caso a seção duplicasse sua altura, quais seriam os novos 
valores de tensão cisalhante e ângulo de torção atuantes na estrutura? Dica: 
10 GPa = 1000 kN/cm².
Resolução 3
Como a seção transversal é retangular, precisamos determinar os coefi cien-
tes de torção (Tabela 1). Utilizando a razão da maior dimensão pela menor di-
mensão da seção, obtemos:
=
b
a
20
40 (21)= 2
Pela Tabela 1, obtemos os coefi cientes c1 = 0,246 e c2 = 0,229. A partir destes 
coefi cientes, a determinação da tensão máxima de cisalhamento pode ser rea-
lizada pela equação 19, enquanto o ângulo de torção pela equação (20):
=τmáx = c1 ab2
T
cm²
kN
0,246 ∙ 40 ∙ 202
100 ∙ 100 (22)= 25,4 MPa= 2,54 =
ϕ =
c2 ab3 G
TL =
0,229 ∙ 40 ∙ 203 ∙ 1000
100 ∙ 100 ∙ 500 (23)= 0,068 rad = 3,91°
Considerando uma viga com o dobro de altura, a razão entre as dimensões será 
de =
b
a
20
80 = 4. Para este valor, os coefi cientes de torção serão c1 = 0,282, c2 = 0,281. 
Desta forma, os novos esforços serão:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 27
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 27 09/12/2020 17:50:53
τmáx = c1 ab2
T =
0,282 ∙ 80 ∙ 202
100 ∙ 100 (24)= 11,1 MPa
cm²
kN= 1,11
(25)ϕ =
c2 ab3 G
TL =
0,281 ∙ 80 ∙ 203 ∙ 1000
100 ∙ 100 ∙ 500 = 0,028 rad = 1,59°
Tubos de paredes finas submetidos à torção
Vamos abordar um caso particular 
de seções fechadas submetidas ao mo-
mento torçor: tubos de paredes fi nas. 
Elementos compostos por tubos com 
paredes de pequena espessura costu-
mam compor estruturas leves, uma vez 
que o tubo é vazado (não possui mate-
rial internamente) e o material do ele-
mento é executado de forma que a seção transversal seja fi na. Estes tubos cons-
tituem elementos de fuselagem de avião e algumas estruturas metálicas, por 
exemplo, em que a efi ciência do elemento deve ser associada ao seu baixo peso.
Do ponto de vista de análise estrutural, quando lidamos com tubos de pa-
redes fi nas, podemos simplifi car a distribuição de tensões ao longo da seção 
transversal, de forma que a baixa espessura faz com que a tensão de cisalha-
mento média seja mais representativa do que as distribuições de cisalhamento 
pontuais, uma vez que se confundem.
Tomemos como exemplo um elemento de uma seção tubular delgada (pa-
redes fi nas), sujeito ao momento torçor. Como o elemento está em equilíbrio, 
podemos afi rmar que a resultante das forças cisalhantes que atuam sobre ele é 
nula. As forças cisalhantes são obtidas pelo produto da tensão de cisalhamento 
pela área de atuação. Por sua vez, a área de atuação é um retângulo de altura 
correspondente à espessura em cada face, de comprimento (não nulo) corres-
pondente ao trecho seccionado ∆x e área resultante deste produto (Figura 9a). 
Realizando o equilíbrio do elemento, podemos escrever:
FA = FB (26)
τA (tA ∆x) = τB (tB ∆x) (27)
τA tA = τB tB (28)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 28
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 28 09/12/2020 17:50:55
tA tA
tA
tB
tB
tB
dx
A)
B)
C)
A
B
s
Am
h
T
dF ds
t
x
O
Figura 9. Determinação das tensões em seções delgadas fechadas: (a) elemento em equilíbrio; (b) momento torçor; (c) 
área média. Fonte: HIBBELER, 2019, p. 200. (Adaptado).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 29
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 29 09/12/2020 17:50:55
Isso nos informa que o produto da tensão cisalhante média pela respectiva 
espessura da face é a mesma para quaisquer que sejam as faces escolhidas, 
uma vez que as faces A e B foram arbitrárias. Neste sentido, podemos afirmar 
que este produto é constante ao longo da seção transversal. Este resultado 
importante recebe a denominação de fluxo de cisalhamento. 
O termo fluxo é usado como analogia direta à vazão de água em 
canais retangulares de largura t e profundidade constante. Repare 
que, nesta analogia, a vazão q nos canais permanece a mesma, 
independente do ponto analisado. O que se alte-
ra nessa interpretação hidráulica é a velocida-
de, que depende da largura do ponto ana-
lisado. Com estas premissas, podemos, 
então, estender as observações e afirmar 
que o fluxo de cisalhamento nestas seções 
delgadas é constante e resultado do produto 
da tensão cisalhante média pela espessura da 
seção transversal.
q = τméd t (29)
Repare que, pelo resultado anterior, a maior tensão de cisalhamento 
deve ocorrer na região de menor espessura da seção transversal, para 
que o valor do fluxo de cisalhamento se mantenha constante. Para deter-
minarmos a relação entre o fluxo de cisalhamento e o torque aplicado na 
seção, podemos considerar um pequeno elemento da seção transversal, 
que possuirá espessura t e comprimento ds. A área deste elemento é nu-
mericamente igual ao produto t ds, resultando em uma parcela infinitesi-
mal de força igual a:
dF = τméd dA = τméd (t ds) = q ds (30)
(31)q =
ds
dF
Neste sentido, interpretamos o fluxo de cisalhamento como a taxa de 
variação da força cisalhante por unidade de comprimento ao longo da se-
ção transversal. Este diferencial de força causará um diferencial de mo-
mento torçor dT em relaçãoa um ponto O (Figura 9b), cujo braço de ala-
vanca (distância perpendicular) denominaremos p:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 30
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 30 09/12/2020 17:50:55
dT = p dF = p (q ds) (32)
(33)pq
ds
dT
T = ∮ p q ds (34)
Repare que, em nossa equação, a integração deve ser realizada em torno 
da seção transversal, configurando uma integral de linha. Como o fluxo de cisa-
lhamento é constante na seção, podemos retirá-lo do integrando da equação, 
resultando em:
T = q ∮ p ds = τméd t∮p ds (35)
O integrando restante pode ser simplificado considerando a área do pe-
queno triângulo formado pelo eixo do elemento infinitesimal apresentado 
na Figura 9b (onde a resultante dF é aplicada). Ao se percorrer toda a seção 
transversal, podemos determinar o momento torçor pela expressão:
T = τméd t ∮ p ds = τméd t (2Améd) (36)
(37)τméd = 2t Améd
T
Na expressão anterior, Améd é correspondente à área média obtida pela linha 
de centro da seção transversal (Figura 9c). Dessa forma, na determinação de 
tensões cisalhantes decorrentes de momento torçor aplicado a tubos delga-
dos, devemos, inicialmente, determinar a geometria correspondente ao con-
torno da linha central da espessura do tubo, para, posteriormente, determinar 
sua magnitude por meio da equação X. O ângulo de torção pode ser determina-
do por meio de métodos de energia, cuja expressão será apresentada a título 
de curiosidade, constituindo-se equivalente a:
(38)ϕ = 1
t
ds∮4G (Améd)
2
TL
Exemplo 4
Considere uma seção quadrada tubular, de aresta 100 mm, cuja espessura 
é 10 mm. A barra possui comprimento de 200 cm e está sujeita a uma tensão 
de cisalhamento máxima de 20 MPa. Determine o momento torçor atuante e o 
ângulo de torção desta barra, considerando G = 50 GPa.
Resolução 4
Observe que a barra em questão pode ser compreendida como um ele-
mento tubular delgado. Desta maneira, podemos utilizar a equação (37) para 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 31
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 31 09/12/2020 17:50:56
determinar o torque atuante. Para tanto, precisamos determinar, inicialmente, 
a área média obtida pela linha de centro da seção tubular. Como temos uma se-
ção quadrada de lado 100 mm e a espessura é de 10 mm, a linha de centro dista 
5 mm de cada borda da seção. A área média resultante tem formato quadrado, 
de lado 100 - (2 ∙ 5) = 90 mm (39), resultando em:
Améd = 0,090 ∙ 0,090 = 0,0081 m² (40)
(41)τméd = → T = 3,24 kN.m→ 20 ∙ 103 = T
2 ∙ 0,01 ∙ 0,00812t Améd
T
Para a determinação do ângulo de torção, devemos de-
terminar a integral de linha em relação à linha de centro. 
Como nossa espessura é constante, podemos retirá-la do 
integrando, resultando em uma integral de linha entorno das 
arestas do quadrado:
∮ ds =
t
1 (42)dx + dx + dx + dx∫ ∫ ∫ ∫( )90 90 90 90
0 0 0 0
∙ 4 ∙ 90= 1
10
1
10
∮ ds =t
1
(43)∮ ds =
t
1 1
10 4 ∙ 90 = 36 (adimensional)
ds = (44)ϕ = ∮4G (Améd)
2
TL
4 ∙ 50 ∙ 106 ∙ (0,0081)2
3,24 ∙ 21
t
∙ 36 = 0,0178 rad = 1,02°
Dessa forma, aplicando a teoria de tubos delgados, concluímos que o 
torque atuante na seção é de 3,24 kN.m, correspondendo a um ângulo de 
torção de 1,02°.
Analogia de membrana
Até o momento, discutimos sobre análises de elementos 
circulares e não circulares de geometria parti-
cular e tubulares delgados submetidos aos 
esforços torcionais. Mas no seu cotidiano, 
certamente você já deve ter se depara-
do com seções estruturais abertas como 
em elementos de estruturas metálicas, tais 
quais ilustradas na Figura 10:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 32
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 32 09/12/2020 17:50:56
Figura 10. Exemplos de diferentes seções transversais de perfis metálicos. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 24/9/2020.
A geometria desta tipologia estrutural visa potencializar características geomé-
tricas das seções transversais, visando menor consumo de material para a constru-
ção destes perfis. É comum a ocorrência de diferentes perfis estruturais, como C, T, L 
e I, que são perfis abertos. O que pode acontecer com o comportamento de seções 
com essas características?
O momento torçor, apesar de geralmente se constituir de solicitações secundá-
rias nos elementos estruturais, pode se tornar em esforços predominantes, além 
de se combinar com outras solicitações (principalmente flexão), ocasionando falhas 
por mecanismos de rupturas especiais. Em seções finas de paredes abertas, pode-
mos visualizar fenômenos de instabilidade por flambagem lateral por torção (FLT) 
e flambagem lateral da alma (FLA), decorrentes da associação a outras solicitações 
com o momento torçor. O torque submetido fará com que suas seções girem em 
torno do próprio eixo (Figura 11), provocando empenamento e instabilização:
y θ
x
Figura 11. Perfis metálicos I submetidos à torção. Fonte: LIMA, [s. d.]. (Adaptado).
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 33
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 33 09/12/2020 17:51:16
A determinação do fluxo de cisalhamento para estes elementos se tor-
na mais complexa, especialmente quando consideramos a seção transver-
sal como resultado da associação de diferentes retângulos.
No caso mais geral da torção, as seções não-circulares, abertas e fe-
chadas, não se mantêm planas mediante aplicação do esforço torçor, por 
conta de a tensão cisalhante ser tangente aos pontos da seção transver-
sal. A depender das condições de simetria e de equilíbrio do elemento, 
por vezes, podemos tirar algumas conclusões particulares, como apresen-
tadas anteriormente. Contudo, quando consideramos os demais casos, a 
teorização do comportamento físico-mecânico se torna complexa, muitas 
vezes sendo realizadas analogias para seu entendimento.
As analogias entre fenômenos físicos são correlações realizadas entre 
modelos numéricos que possuem a mesma forma, mesmo que possuam 
grandezas físicas diferentes. A analogia hidrodinâmica de fluxo, realizada 
no estudo de tubos delgados, é um exemplo desta correlação.
Uma alternativa para abordar estes problemas, consiste na analogia 
de membrana, que estabelece correlações entre a distribuição de ten-
sões cisalhantes de um elemento submetido à torção e o com-
portamento de uma membrana elástica, 
de mesma forma da seção transversal, 
submetida à pressão constante (Fi-
gura 12a). Por serem mais simples, 
as equações da membrana podem 
ser utilizadas para resolver o proble-
ma da torção em uma seção de forma-
to arbitrário aberta ou fechada.
CURIOSIDADE
A teoria da analogia de membrana foi proposta por Prandtl, em 1903. 
Segundo esta teoria, foi possível realizar uma analogia entre as 
equações diferenciais que regem os problemas de torção uniforme 
e uma membrana elástica linear que sofre pressão uniforme. Desta 
forma, é possível determinar o comportamento da peça submetida 
à torção a partir dos resultados de experimentos e observações 
com o comportamento da membrana, o qual é mais simples de ser 
analisado.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 34
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 34 09/12/2020 17:51:16
Forma da STA)
B)
C)
B
C
A
Membrana 
elástica
Troca de sinal
τA
τC
τB
Curvas de nível
Retangular Delgada fechada Delgada abertaCircular
Cortes transversais Tensões tangenciais
Contorno da ST Membrana sob 
pressão
P
Deformada cortes 
transversais
Figura 12. Analogia de membrana (momento torçor): (a) ensaio com membrana elástica; (b) resultados comparativos 
entre a membrana e a distribuição de tensões cisalhantes; (c) comportamento da membrana para diferentes seções. 
Fonte: NETO; COSTA, 2016. (Adaptado).
A equação diferencial da deformação elástica da membrana possui a mes-
ma forma que a função de distribuição de tensões da seção transversal (Figu-
ra 12b). Considerando p como a pressão uniforme aplicada à membrana, F as 
torças tangenciais que atuam sobre o contorno da membrana, G o módulo de 
elasticidade transversal do material da barra e θ a razão de torção (ângulo de 
torção dapeça por unidade de comprimento), podemos definir a rotação por 
unidade de comprimento em função da relação entre a pressão na membrana 
e as tensões superficiais nesta membrana por meio da equação (45):
2Gθ (45)
F
p
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 35
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 35 09/12/2020 17:51:17
Como retrata Timoshenko (1957, p. 272), satisfeitas as condições de correla-
ção entre os modelos (Figura 12c), podemos validar três relações entre o com-
portamento da membrana e a distribuição de tensões do elemento:
• A tangente da curva de nível em qualquer ponto se relaciona diretamente à 
direção da tensão cisalhante correspondente ao mesmo ponto da seção trans-
versal (Figura 12b);
• A inclinação máxima em qualquer ponto da membrana corresponde à ten-
são de cisalhamento do mesmo ponto na seção transversal (Figura 12b);
• O momento torçor aplicado sobre a seção é numericamente igual ao dobro 
do volume compreendido entre a superfície deformada da membrana e o plano 
de seu contorno.
A declividade (inclinação) da membrana, em cada ponto, associada à tensão 
de cisalhamento, devido à torção, pode ser obtida pela relação:
(46)τ = ∂u
∂n
Enquanto o volume da membrana associado ao torque (momento de tor-
ção) é relacionado por meio de:
T = 2Vmembrana (47)
Por meio da analogia da membrana, seções abertas de paredes finas podem ser 
entendidas como associação de elementos retangulares (eventualmente alguns do-
brados), que podem estar submetidos à concentração de tensões em seus cantos (Fi-
gura 14). Com as devidas adequações, esta analogia também é amplamente utilizada 
para seções tubulares e celulares, muito comuns em fuselagem de veículos, aviões, se-
ções de pontes e outros elementos estruturais mais complexos, submetidos à torção:
a
a
ab
b b
Figura 13. Analogia de membrana aplicada em seções delgadas abertas. Fonte: BEER et al., 2015, p. 208.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 36
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 36 09/12/2020 17:51:18
Um caso especial da analogia de membrana acontece quando consideramos se-
ções retangulares abertas de paredes finas, ou associações destes elementos. Para 
que um elemento retangular seja considerado delgado, sua largura deve ser muito 
superior à espessura, sendo usual o emprego de dez vezes de razão de diferença. 
Nestes casos, podemos simplificar as expressões com resultados conhecidos. Con-
siderando o regime elástico linear, solicitação de torção pura e seção transversal 
constituída por associação de elementos retangulares delgados, a máxima tensão 
de cisalhamento atuante na seção é dada por:
(48)τmáx =
T
Wt
Conforme salienta Neto e Costa (2016), sendo Wt o módulo elástico resis-
tente à torção do material. Este parâmetro pode ser determinado para o caso 
de associação de n elementos delgados retangulares como:
(49)bi ti
2∑n
i = 1
Wt =
1
3
Neste caso, o ângulo de torção pode ser obtido de forma semelhante, como 
a equação (9):
(50)ϕ = TL 
GJT
Contudo precisamos considerar um momento polar de inércia total da se-
ção de n elementos retangulares de parede fina:
(51)bi t∑n
i = 1
JT =
1
3 i
3
Exemplo 5
Considere um perfil estrutural W 150 x 13,0, com 5 m de comprimento. Em uma 
lista de propriedades de perfis, você poderá consultar que se trata de um perfil estilo 
I, com duas mesas (placas horizontais), largura 100 mm e espessura 4,9 mm, e uma 
alma (chapa vertical) de espessura 4,3 mm com largura 138 mm. Considerando um 
momento torçor de 100 N.m e um módulo de elasticidade transversal de 77 GPa, de-
termine a máxima tensão cisalhante atuante na seção transversal.
Resolução 5
Repare que a seção transversal pode ser analisada por uma associação de 
retângulos delgados, sendo possível utilizar as equações (48) e (49) para a de-
terminação das variáveis de interesse.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 37
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 37 09/12/2020 17:51:18
Considerando os elementos retangulares delgados, podemos determinar o 
módulo elástico resistente à torção através da contribuição individual de cada 
elemento (equação (49)):
(52)Wt =
1
3 bi ti
∑n
i = 1
2 = 1
3bi ti
∑3
i = 1
1
3
2 = (100 ∙ 4,92 ∙ 2 + 138 ∙ 4,32) 2451,21 mm³
Wt = 2451,21 mm3 = 2,45 ∙ 10-6 m3 (53)
A máxima tensão cisalhante na seção transversal pode ser determinada pela 
equação (48), considerando o módulo elástico resistente à torção equivalente: 
(54)τmáx = = = 40,8 MPaT 
Wt 
100 
2,45 ∙ 10 -6
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 38
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 38 09/12/2020 17:51:19
Sintetizando
Nesta unidade, você pôde conhecer os principais aspectos relacionados a ele-
mentos de barra sujeitos à torção. Analisamos, inicialmente, barras de seção circu-
lares, onde as propriedades de axissimetria conferiram uma particularidade nas 
deformações de sua seção transversal, possibilitando um equacionamento direto 
deste problema (para níveis de tensão em regime elástico). 
Para barras de seção não circular, observamos que o comportamento de em-
penamento da seção dificulta a definição da distribuição de tensão cisalhante. 
Neste cenário, foram apresentadas formulações para casos particulares, sobretu-
do, para seções retangulares. 
Uma tipologia específica de seções fechadas delgadas (paredes finas) possibi-
litou a formulação simplificada da tensão cisalhante máxima, utilizando uma ana-
logia de fluxo cisalhante. Tratando-se de analogias, vimos também que o emprego 
da analogia de membrana possibilita a simplificação da determinação dos parâ-
metros mecânicos para diferentes seções transversais. 
Dessa forma, percebemos que o estudo da torção em análise estrutural é am-
plo e não se esgota apenas nos tópicos anteriores, ficando um convite ao aprofun-
damento destes conhecimentos nesta ciência de resistência dos materiais.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 39
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 39 09/12/2020 17:51:19
Referências bibliográficas
BEER, F. P. et al. Mecânica dos materiais. 7. ed. Porto Alegre: AMGH, 2015.
GERE, J. M. Mecânica dos materiais. 1. ed. São Paulo: Thomson, 2003.
HIBBELER, R. C. Resistência dos materiais. 10. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
LIMA, L. R. O. Torção. [s. d.]. 66 f. Notas de aula do programa de pós-gradua-
ção em engenharia civil - Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do 
Rio de Janeiro - UERJ, Rio de Janeiro, [s. d]. Disponível em: . Acesso em: 5 ago. 2020.
NETO, E. S. A.; COSTA, H. B. Tensões tangenciais na torção uniforme. 2016. 
20 f. Notas de aula - Escola Politécnica da USP, Universidade de São Paulo - 
USP, São Paulo, 2016. Disponível em: . 
Acesso em: 1 ago. 2020.
RODRIGUES, C. Y. C. Análise de estruturas axissimétricas: aplicação a reser-
vatórios circulares. 2009. [s. f.]. Dissertação de Mestrado (Engenharia Civil) – 
Instituto Superior Técnico, Universidade de Lisboa, Lisboa, 2009.
TIMOSHENKO, S. P. Resistência dos materiais. Madrid: Espasa-Calpe, 1957.
TIMOSHENKO, S. P.; GOODIER, J. N. Theory of elasticity. 3. ed. Nova York: Mc-
Graw-Hill, 1970.
UNDERSTANDING torsion. Postado por The Efficient Engineer. (10min. 14s.). 
son. color. leg. Disponível em: . Acesso em: 24 set. 2020.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 40
SER_ENGCIV_RMA_UNID1.indd 40 09/12/2020 17:51:19
DEFLEXÃO EM VIGAS
2
UNIDADE
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 41 09/12/2020 17:38:01
Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Compreender o comportamento mecânico de vigas estruturais submetidas a 
esforços de flexão;
 Identificar os deslocamentos, a rotação e a equação da linha elástica para 
diferentes carregamentos e vinculações;
 Solucionar problemas de indeterminações decorrentes de redundâncias de 
vinculações, utilizando informações de deslocamentos e rotaçõesda viga.
 Deflexão em vigas: linha elástica 
 Equações diferenciais da curva 
de deflexão
 Método da integração da linha 
elástica 
 Vigas estaticamente 
indeterminadas 
 Método da integração
 Método da superposição de 
efeitos
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 42
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 42 09/12/2020 17:38:01
Deflexão de vigas: linha elástica
Nesta unidade nos aprofundaremos em defl exões de vigas. Como sabe-
mos, vigas são elementos estruturais muito presentes em estruturas (Figura 
1). Em geral, esses elementos apresentam uma dimensão preponderante às 
demais, sendo muitas vezes simplifi cados por elementos lineares no projeto 
de análises estruturais. Quanto ao carregamento, é predominante o esforço de 
fl exão oriundo principalmente dos carregamentos perpendiculares ao eixo do 
elemento. É justamente nesse cenário que daremos início aos nossos estudos.
EXEMPLIFICANDO
Vigas são elementos estruturais lineares (em que uma dimensão é pre-
ponderante às demais), sujeitas a carregamentos perpendiculares ao seu 
eixo, característicos de esforços de fl exão. De acordo com o seu sistema 
de vinculação, podemos ter diferentes classifi cações de vigas, como as 
apoiadas, biapoiadas, engastadas, etc. 
Figura 1. Vigas de uma estrutura de ponte. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 01/09/2020. 
A resistência dos materiais estuda a relação entre as tensões e deforma-
ções atuantes nos elementos, sobretudo para fi ns estruturais. Dessa forma, o 
projeto de vigas deverá prever uma confi guração de materiais, vinculações e 
geometria que possa resistir às ações impostas aos elementos durante a vida 
útil do sistema estrutural. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 43
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 43 09/12/2020 17:38:23
Contudo, além dos limites de ruptura (limite de colapso) e escoamento (limi-
te último de projeto), a estrutura também deve ser compatível com o desem-
penho esperado durante as conduções de uso (limites de serviço), sobretudo 
quando às deformações são iniciadas. 
A natureza dos corpos flexíveis é de se deformarem a partir das tensões 
por eles sofridas. Um dos parâmetros que governam a magnitude dessa de-
formação é o módulo de elasticidade do material (E), que configura uma ca-
racterística intrínseca ao tipo de material empregado ao elemento estrutural. 
Usualmente, o valor desse módulo corresponde à inclinação (taxa de variação) 
do trecho linear de uma curva tensão-deformação (Figura 2), geralmente re-
sultado de um ensaio de tração/compressão feito nos elementos estruturais.
Figura 2. Exemplo de curvas tensão-deformação. Fonte: BEER et al., 2011, p. 76.
Além das condições dos materiais, a geometria do elemento frente ao tipo 
de carregamento também influencia na magnitude dos deslocamentos, que 
podem resultar nas deformações atuantes. Imagine uma viga de concreto (ma-
ciça), como retratada na Figura 3. Caso um mesmo carregamento seja aplicado 
em uma viga de seção transversal 20 x 40 cm e 20 x 80 cm (de mesmo compri-
mento), qual viga você espera que se deforme/desloque mais? 
Liga de aço temperada 
recosida (A709)
Aço de baixa liga 
de alta resistência 
(A992)
Aço carbono 
(A36)
Ferro puro 
σ
Э
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 44
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 44 09/12/2020 17:38:23
Figura 3. Vigas de concreto são presentes em muitas estruturas usuais. Fonte: Shutterstock. Acesso em: 15/09/2020. 
Intuitivamente, você deve ter imaginado a viga que se deformaria mais rápi-
do seria a de 20 x 40 cm, e, se o fez, está correto(a), pois a primeira viga possui 
um menor momento de inércia comparada à segunda. O momento de inércia 
é uma característica geométrica da seção transversal de um elemento estru-
tural, relacionada à “dificuldade” de se alterar a movimentação/deformação/
deslocamento de um corpo, neste caso, o deslocamento oriundo da flexão.
O estudo das deformações em estruturas é essencial, uma vez que as aná-
lises e os projetos estruturais demandam conhecimento das magnitudes de 
tensões e deformações para que possamos atender a níveis normativos acei-
táveis na construção dessas estruturas. Por exemplo, em projetos de máqui-
nas e equipamentos mecânicos, grandes deflexões podem causar vibrações ou 
danificar o funcionamento desses objetos. Já em construções, como pontes e 
edificações, as condições de servicibilidade podem inviabilizar ou causar des-
conforto aos usuários.
EXPLICANDO
O estado limite de serviço (em inglês, serviceability limit state criterion) 
são condições limites que uma estrutura deve atender, permanecendo 
funcional e garantindo seu desempenho em condições de solicitações 
usuais (rotineiras), livre de desconfortos, problemas estruturais, interfe-
rências em outros subsistemas e problemas de utilização aos usuários.
Dessa forma, desvendaremos os conceitos, os procedimentos de cálculo e 
o comportamento da deflexão dos elementos de vigas.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 45
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 45 09/12/2020 17:38:40
Equações diferenciais da curva de deflexão
Iniciaremos nossa discussão de-
fi nindo o conceito de defl exão, que 
usualmente é simbolizada pela letra 
ν ou y, e representa o deslocamento 
vertical (direção y) de um ponto do 
eixo da viga decorrente dos esforços 
internos ao qual ela está sujeita.
Considere, então, uma viga engas-
tada em balanço, sujeita a um carre-
gamento pontual vertical em sua ex-
tremidade livre, conforme ilustrado na 
Figura 4. É intuitivo e razoável supor 
que cada ponto da viga apresentará 
valores diferentes de deslocamento 
vertical. Além disso, repare que além 
do ponto transladar, a viga também 
apresenta uma rotação (deslocamento angular). 
Vamos compreender como isso ocorre. 
Está centrada, no eixo da viga, uma reta ima-
ginária (ilustrando um plano), que denomina-
mos superfície neutra. A superfície neutra 
se refere à posição inicial do eixo da se-
ção transversal e longitudinal antes da 
aplicação de carregamentos (Figura 5). 
Nesta unidade, analisaremos apenas a po-
sição dessa superfície no sentido longitudinal. 
Consideremos que essa linha longitudinal representa o comportamento médio 
da seção, de forma que a deformação dessa linha represente a deformação do 
elemento estrutural. Por esse motivo, chamamos essa linha de linha elásti-
ca, ou seja, o lugar geométrico que descreve a posição dos pontos das seções 
transversais ao longo do elemento estrutural. Assim, através da linha elástica 
poderemos determinar o deslocamento vertical e a rotação da viga.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 46
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 46 09/12/2020 17:38:43
Figura 4. Deflexão e curvatura em vigas em balanço. Fonte: BEER et al., 2011, p. 550.
Figura 5. Deflexão da viga. Fonte: BEER e colaboradores, 2011, p. 234.
A
B
P
A
B
X
L
P
X
A
ρA = ∞
ρB
B
B
y
O
y
c
z
Linha neutra
Seção transversal
A C
θ
y
ρ ρ – y
y
A
J
D
A’
B
E
B’
K
O
x
Seção vertical, 
longitudinal
(plano de 
simetria)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 47
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 47 09/12/2020 17:38:43
A deformação da viga pode ser medida pela curvatura da linha elástica. Ini-
cialmente, a linha que era reta sofrerá uma deformação e tenderá a apresentar 
uma geometria circular, tornando-se um arco de circunferência. A curvatura é uma 
medida geométrica que pode ser medida pelo inverso do raio de curvatura, sim-
bolizado pela letra grega ρ. No regime elástico linear, as deformações são dire-
tamente proporcionais às tensões aplicadas, de modo que, utilizando o módulo 
elasticidade do material (E) e o momento de inércia da seção (I), podemos relacio-
nar a curvatura com os esforços internos (momento fletor) e as propriedades do 
material. O produto EI representa a rigidez à flexão do material, uma vez que está 
relacionado à tendência à restrição de fletir do elemento estrutural. 
ASSISTA
Imagine que você está dirigindo um carro ao longo do 
contorno da curva em questão. O raio de uma circunfe-rência resultante que o veículo traçaria, caso o volante 
fosse travado, é definido (informalmente) por raio de cur-
vatura; a curvatura, por sua vez, é o inverso desse raio. 
1
ρ
M(x)
EI
= (1)
Por outro lado, a curvatura, por ser uma propriedade geométrica de uma 
curva, pode ser também descrita algebricamente. Para isso, utilizaremos o cál-
culo diferencial e integral através da relação:
(2)1
ρ
=
d2y 
dx2
1 +
dy 
dx
3 
2
2
(3)1
ρ
=
d2y 
dx2
Essa expressão fornece com precisão o valor da curvatura de uma curva. 
Agora podemos simplificá-la, uma vez que, nas aplicações de engenharia, as 
deformações tendem a ser controladas em pequena magnitude, de forma que 
a derivada da deformação vertical em relação à posição dy 
dx apresente um mó-
dulo muito pequeno. Além disso, esse valor ao quadrado é desprezível frente à 
unidade, o que torna a equação algébrica da curvatura simplificada:
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 48
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 48 09/12/2020 17:38:43
Dessa forma, relacionando a expressão da curvatura referente aos esforços 
internos com a expressão algébrica diferencial, obtemos a equação diferencial 
da linha elástica (y):
(4)
M(x)
EI
=
d2y 
dx2
A resolução dessa equação diferencial de segunda ordem retorna à função 
y(x) referente à configuração dos deslocamentos verticais da linha neutra após 
a aplicação do carregamento, ou seja, a equação da linha elástica. Em muitas 
aplicações, o produto EI é constante, uma vez que os parâmetros o são. Assim, 
quando esses parâmetros variarem ao longo do eixo , deve-se proceder com a 
integração da expressão como um todo.
A primeira integração dessa equação diferencial resulta na rotação (giro) da 
linha elástica em cada ponto ao longo da estrutura, uma vez que representa a 
inclinação ou a taxa de variação do deslocamento vertical:
Deflexão = y(x) (6)
(5)
dy 
dx
= θ(x)
Da mesma forma, caso prosseguíssemos com as derivações 
em relação à x na equação diferencial de segunda ordem da 
linha elástica, você recordaria que a primeira derivada do mo-
mento fletor é o esforço cortante, enquanto a segunda derivada 
é o carregamento. Dessa forma, considerando a rigidez à flexão constante no 
elemento, poderemos sintetizar as equações diferenciais da linha elástica, por 
meio das seguintes expressões:
(7)
dy 
dx
= θ(x)
(8)
M(x)
EI
=
d2y 
dx2
(9)
V(x)
EI
=
d3y 
dx3
(10)
q(x)
EI
= -
d4y 
dx4
Para a análise das deflexões, também é necessário estipular algumas con-
venções de sinais, exibidas na Figura 6.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 49
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 49 09/12/2020 17:38:43
Convenção de sinal positiva
+V
+M +M
+w
+V
Linha elástica
v
ds
dv
+v
+x dx
x
dθ
+θ
Linha elástica
v
ds
dv
+v
+xdx
x
dθ
+θ
Figura 6. Convenções de sinais. Fonte: HIBBELER, 2018, p. 507.
A
B
C
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 50
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 50 09/12/2020 17:38:43
Método da integração da linha elástica
A partir do desenvolvimento das 
equações 6 a 10, a obtenção da linha 
elástica pode ser resolvida por su-
cessivas integrações dessas relações. 
Recordando os conceitos de cálculo, 
você deve se lembrar que, sempre que 
prosseguimos com uma integração, é 
necessário adicionar uma constante 
de integração, uma vez que existe uma 
família de funções cuja derivada resul-
ta no integrando do nosso problema. 
Mas, se existe uma família de equa-
ções, como identifi car a resolução 
para nossa estrutura? Como calcular o 
valor dessa(s) constante(s)?
É justamente nesse aspecto que utilizaremos nossos conhecimentos físi-
cos acerca de nosso problema mecânico, utilizando suas particularidades, ou 
melhor, suas condições de contorno. No caso da defl exão de vigas, as condi-
ções de contorno relacionam-se aos pontos particulares, dos quais sabemos 
determinados valores/propriedades de funções. É comum prosseguirmos com 
a equação 8, que necessita apenas de duas integrações sucessivas para deter-
minar a linha elástica, cuja condição de contorno é defi nida a partir do tipo de 
vinculação da estrutura.
Por exemplo, recordando nossa viga engastada, podemos expressar que, 
no ponto de engastamento, seu deslocamento vertical é nulo, da mesma forma 
que sua rotação é nula. Assim, as condições de contorno para o caso isostático 
de vigas, resumem-se aos seguintes cenários:
• Viga engastada: restrição de deslocamento vertical e rotação no engaste;
• Viga (bi)apoiada: restrição de deslocamento vertical nos apoios.
Agora, aplicaremos esses conceitos na obtenção da linha elástica de uma 
viga engastada, sujeita a um carregamento pontual em sua extremidade, como 
representada na Figura 7.
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 51
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 51 09/12/2020 17:38:45
Considerando as equações de equilíbrio que governam esta estrutura, temos que:
ΣFx = 0→HA = 0 (11)
ΣFy = 0→VA = P (12)
ΣMA = 0→M = PL (13)
M(x) = Px – PL (14)
Realizando um corte nessa estrutura e analisando os esforços internos pelo 
método das equações, verificamos que a equação do esforço momento fletor 
é equivalente a:
Dessa forma, uma vez obtida a expressão do momento fletor, podemos de-
terminar a equação da linha elástica aplicando o método da integração:
(15)
M(x)
EI
=
d2y 
dx2
Considerando EI constante, podemos prosseguir com as sucessivas integra-
ções, obtendo:
dy 
dx
= θ(x) =
1 
EI
1 
EI
Px2 
2
Px – PL 
EI ∫ ∫dx = Px – PLdx = – Plx + c1 (16)
1 
EI
1 
EI
y(x) = dx = ∫ Px2 
2
– Plx + c1 
Px3 
6
Plx2 
2
– + c1x + c2 (17)
Sendo c1 e c2 constantes de integração, sua definição é possibilitada através 
da aplicação das condições de contorno da estrutura em questão. Tratando-se 
de engaste, podemos equacionar:
Figura 7. Viga engastada com carregamento pontual. 
A B
P
L
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 52
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 52 09/12/2020 17:38:46
Realizemos outro exemplo: consideremos agora uma viga biapoiada sub-
metida a um momento uniforme em seu comprimento (Figura 8). Assim, va-
mos determinar a equação da linha elástica para esta estrutura.
A
L
B
M
Figura 8. Viga biapoiada sujeita a um momento fletor. 
Considerando as equações de equilíbrio, temos que:
(22)HA = 0; VA = – VB =;
M
L
M
L
Desta forma, a equação da linha elástica para essa estrutura, será:
Px3 
6
PLx2 
2
P 
6EI
y(x) = = X3 – 3Lx2–
1 
EI
(20)
Repare que o deslocamento máximo dessa viga ocorrerá na extremidade livre, 
correspondente a uma distância x = L do engaste. Caso a carga aplicada fosse de 
10 kN, o comprimento da viga de 6 metros e a rigidez EI fosse de 30000 kN.m², pode-
ríamos determinar o valor específico da deflexão máxima, sendo igual a:
10
6 · 30000
y(x) = = 0,024 m63 – 3 · 6 · 62 (21)
θ(x = 0) = 0 → = 0 → c1 = 0
1 
EI
PL · 0 + c1–
P · 02 
2
(18)
y(x = 0) = 0 → = 0 → c2 = 0
1 
EI
+ 0 · 0 + c2–
P · 03 
6
P · 02 
2
(19)
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS APLICADA 53
SER_ENGCIV_RMA_UNID2.indd 53 09/12/2020 17:38:46
Podemos estimar o deslocamento vertical no meio da viga substituindo os 
valores das ações e propriedades da estrutura. Por exemplo, sendo a rigidez à 
flexão 30000 kN.m², o momento aplicado no valor de 100 kN.m e o comprimento 
da viga de 6 m, a deflexão no centro da viga será:
Mx3 
6L
ML 
6
– + x = –∴ y(x) = 
1 
EI
M 
6EIL
x3 + L2x (28)
É conveniente deixarmos em evi-
dência a constante 1/EI, uma vez que 
este parâmetro é fixo para materiais 
homogêneos e isotrópicos. Além dis-
so, existem soluções fechadas e tabe-
ladas para diferentes configurações de 
carregamento, que podem ser utiliza-
das diretamente (observando sempre 
a convenção de sinais), tal qual apre-
sentada na Tabela 1. 
100 
6 · 30000 · 6
 y(x) = – [33 + 62 · 3] = 0,0125m (29)
Aplicando o método da integração e realizando duas integrações sucessi-
vas, obtemos:
dy 
dx
= θ(x) =
Mx2 
2L
– + c1
1 
EI
(24)
y(x) =
Mx3 
6L
– + c1x + c2
1 
EI
(25)
M · 03 
6L
– + c1 · 0