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LE409 - Estatística e Probabilidade para Engenharia
Variáveis Aleatórias Discretas
LE409 - Estatística e Probabilidade para Engenharia
Variáveis Aleatórias Discretas
Prof. Leonardo Tomazeli Duarte
FCA/UNICAMP
 
Variável Aleatória
● Exemplo: jogar de uma moeda (Kay, 2006)
● S = {cara,coroa}
 
Variável Aleatória
● Definição: uma variável aleatória é uma função que 
mapeia o espaço amostral S para a reta real.
 
Variável Aleatória
● Definição: uma variável aleatória é uma função que 
mapeia o espaço amostral S para a reta real.
● Atribui um número para cada realização de um certo 
experimento aleatório.
 
Variável Aleatória
● Definição: uma variável aleatória é uma função que 
mapeia o espaço amostral S para a reta real.
● Atribui um número para cada realização de um certo 
experimento aleatório.
● Exemplo: jogar de dois dados ao mesmo tempo
S = {(1,1),(1,2),...,(1,6),(2,1),(2,2),...(6,6)}
● Considere que a informação de interesse seja a 
soma dos resultados de cada dado.
● Se denotarmos os resultados de cada dado numa 
certa realização por si(1) e si(2), podemos definir a 
seguinte variável aleatória
 
 
Variável Aleatória
● Exemplo: Considere o experimento aleatório que 
consiste em analisar se as peças de 3 estoques 
diferentes estão em boas condições
 
Variável Aleatória
● Exemplo: Considere o experimento aleatório que 
consiste em analisar se as peças de 3 estoques 
diferentes estão em boas condições
● S={1Ok2Ok3Ok,1Ok2Ok3D,1Ok2D3Ok,...,1D2D3D}
 
Variável Aleatória
● Exemplo: Considere o experimento aleatório que 
consiste em analisar se as peças de 3 estoques 
diferentes estão em boas condições
● S={1Ok2Ok3Ok,1Ok2Ok3D,1Ok2D3Ok,...,1D2D3D}
● Podemos definir uma VA X associada ao número 
total de peças defeituosas;
 
Variável Aleatória
● Exemplo: Considere o experimento aleatório que 
consiste em analisar se as peças de 3 estoques 
diferentes estão em boas condições
● S={1Ok2Ok3Ok,1Ok2Ok3D,1Ok2D3Ok,...,1D2D3D}
● Podemos definir uma VA X associada ao número 
total de peças defeituosas;
● Neste caso
X(1Ok2Ok3Ok) = 0
X(1Ok2Ok3D) = 1
⁞
X(1D2D3D) = 3 
 
Variável Aleatória
● Uma variável aleatória não precisa ser uma função 
bijetora (Kay 2006)
 
 
Variável Aleatória
● Terminologia 
X → variável aleatória
xi → realização de X.
xi = X(si)
 
Variável Aleatória
● Terminologia 
X → variável aleatória
xi → realização de X.
xi = X(si)
● Exemplo: Seja X uma variável aleatória associada ao 
jogar de uma moeda
s1 = Cara ; s2 = Coroa
x1 = X(s1) = 1
x2 = X(s2) = 0
 
Variável Aleatória
● Terminologia 
X → variável aleatória
xi → realização de X.
xi = X(si)
● Exemplo: Seja X uma variável aleatória associada ao 
jogar de uma moeda
s1 = Cara ; s2 = Coroa
x1 = X(s1) = 1
x2 = X(s2) = 0
● Se a moeda não for enviesada, temos que
P(X(si) = 1) = 0.5 e P(X(si) = 0) = 0.5
 
Tipos de variáveis aleatórias
● Variável aleatória discreta: pode assumir apenas um 
número finito ou infinito mas contável de valores
● Soma das realizações do jogar dois dados
● Jogar de uma moeda
● Número de peças defeituosas num dado lote
 
Tipos de variáveis aleatórias
● Variável aleatória discreta: pode assumir apenas um 
número finito ou infinito mas contável de valores
● Soma das realizações do jogar dois dados
● Jogar de uma moeda
● Número de peças defeituosas num dado lote
● Variável aleatória contínua: pode assumir um intervalo 
contínuo de valores
● Temperatura de um processo
● Peso de uma pessoa
● Largura de uma peça
 
Função massa de probabilidade
● Exemplo. Considere uma variável aleatória X definida ao 
número de caras observados no jogar de duas moedas. 
Vamos calcular as probabilidades de cada uma das 
possíveis realizações
P(X = 0) = 1/4 
P(X = 1) = 1/2 
P(X = 2) = 1/4 
● Para uma variável aleatória X discreta que assume 
valores x1,x2,...,xN, a função massa de probabilidade é 
definida como
fX(xi) = P(X = xi) 
-0 .5 0 0.5 1 1.5 2 2 .5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f X
 
Função massa de probabilidade
● Dos axiomas da probabilidade, a função massa de 
probabilidade deve respeitar as seguintes condições
● No exemplo anterior
fX(0) = 0.25
fX(1) = 0.5
fX(2) = 0.25
 
Função massa de probabilidade
● Exemplo: considere uma VA X que representa o 
número de peças que devem ser testadas até que se 
encontre um defeito. Sabendo que a probabilidade de 
uma dada peça ter defeito é dada por d, determine a 
função massa de probabilidade de X 
● Espaço amostral infinito 
S = {D,OkD, OkOkD, OkOkOkD,...}
● Variável aleatória
X(D) = 1, X(OkD) = 2, X(OkOkD) = 3,...
● fX(1) = P(D) = d
fX(2) = P(OkD) = P(Ok)P(D) = (1-d)*d
fX(x) = P(Ok....Ok (x-1 vezes) D) = (1-d)x-1d
 
Função massa de probabilidade
● Logo a função massa de probabilidade neste caso é 
dada por 
fX(x) = (1-d)x-1d se x ≥ 1
fX(x) = 0 se x < 1
● Vamos verificar se fX(x) satisfaz as condições para ser 
uma função massa de probabilidade
1) É evidente que fX(x) ≥ 0 para todo x
2) Temos que analisar agora se ∑ fX(x) = 1
 
 
Função massa de probabilidade
● Para fX(x) = (1-d)x-1d, analisar se ∑ fX(x) = 1
● Substituindo a = 1 – d, temos que analisar 
 
 
Função massa de probabilidade
● A partir da função massa de probabilidade fX(x), é 
possível calcular a probabilidade associada à realização 
xi de uma VA X simplesmente calculando fX(xi).
 
Função massa de probabilidade
● A partir da função massa de probabilidade fX(x), é 
possível calcular a probabilidade associada à realização 
xi de uma VA X simplesmente calculando fX(xi).
● Além disso podemos calcular a probabilidade de um 
conjunto de realizações.
● Exemplo: Seja X uma VA associada ao número de 
caras no jogar de duas moedas. A probabilidade do 
número de caras for 1 ou 2 (união) é dada por
P(X ∈ {1,2})
● Porém, note cada realização de uma VA é um evento 
disjunto. Logo
P(X ∈ {1,2}) = P(X = 1) + P(X = 2) = fX(1) + fX(2)
 
Função massa de probabilidade
● De modo mais geral, seja Ω um evento (qualquer 
subconjunto de novo espaço amostral), então
 
Função massa de probabilidade
● De modo mais geral, seja Ω um evento (qualquer 
subconjunto de novo espaço amostral), então
● Exemplo: X → VA aleatória associada ao número de 
caras no jogar de duas moedas
Ω → Número de caras maior ou igual a 1
Ω = {1,2}
P(X ∈ Ω) = fX(1) + fX(2) = 0,75 
 
Função distribuição acumulada
● Seja uma VA X. A função distribuição acumulada FX(x) 
é definida como
FX(x) = P(X ≤ x)
● Exemplo. X → VA aleatória associada ao número de 
caras no jogar de duas moedas
● S = {CaCa,CaCo,CoCa,CoCo}
FX(0) = P(X ≤ 0) = 0.25
FX(1) = P(X ≤ 1) = 0.75
FX(2) = P(X ≤ 2) = 1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F X
 
Função distribuição acumulada
● A Função distribuição acumulada expressa uma 
probabilidade, e, logo
0 ≤ FX(x) ≤ 1, 
● Além disso
Se x1 ≤ x2, então FX(x1) ≤ FX(x2)
Esta propriedade vem do fato que FX(x1) = P(X ≤ x1) e 
FX(x2) = P(X ≤ x2), de modo que o evento X ≤ x1 ⊂ X ≤ 
x2
 
 
Função distribuição acumulada
● A função distribuição acumulada FX(x) pode ser 
determinada em termos da função de massa de 
probabilidade fX(x) e vice-versa 
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f X
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F X
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo, Considere a seguinte FDA
 FX(x) = 0, x < 0
 = 0.25, 0 ≤ x < 1
 = 0.75, 1 ≤ x < 2
 = 1 2 ≤ x 
-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
00.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f X
0 0.5 1 1.5 2 2.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
F X
 
Função distribuição acumulada
● Vamos calcular a probabilidade de uma variável estar 
num certo intervalo utilizando a distribuição 
acumulada é FX(x) 
P(a < X ≤ b) ?
 
Função distribuição acumulada
● Vamos calcular a probabilidade de uma variável estar 
num certo intervalo utilizando a distribuição 
acumulada é FX(x) 
P(a < X ≤ b) ?
● Primeiramente, temos que
{a < X ≤ b} ∪ {X ≤ a} = {X ≤ b}
 
Função distribuição acumulada
● Vamos calcular a probabilidade de uma variável estar 
num certo intervalo utilizando a distribuição 
acumulada é FX(x) 
P(a < X ≤ b) ?
● Primeiramente, temos que
{a < X ≤ b} ∪ {X ≤ a} = {X ≤ b}
● Porém, {a ≤ X < b} e {X < a} são eventos disjuntos, e logo
P(a < X ≤ b) + P(X ≤ a) = P(X ≤ b)
 
Função distribuição acumulada
● Vamos calcular a probabilidade de uma variável estar 
num certo intervalo utilizando a distribuição 
acumulada é FX(x) 
P(a < X ≤ b) ?
● Primeiramente, temos que
{a < X ≤ b} ∪ {X ≤ a} = {X ≤ b}
● Porém, {a ≤ X < b} e {X < a} são eventos disjuntos, e logo
P(a < X ≤ b) + P(X ≤ a) = P(X ≤ b)
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a)
 
Função distribuição acumulada
● Vamos calcular a probabilidade de uma variável estar 
num certo intervalo utilizando a distribuição 
acumulada é FX(x) 
P(a < X ≤ b) ?
● Primeiramente, temos que
{a < X ≤ b} ∪ {X ≤ a} = {X ≤ b}
● Porém, {a ≤ X < b} e {X < a} são eventos disjuntos, e logo
P(a < X ≤ b) + P(X ≤ a) = P(X ≤ b)
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a)
P(a < X ≤ b) = FX(b) - FX(a) 
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo: Seja X uma VA com FDA dada por
● Calcule P(2 < X ≤ 3.5)
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo: Seja X uma VA com FDA dada por
● Calcule P(2 < X ≤ 3.5)
P(2 < X ≤ 3.5) = FX(3.5) – FX(2) = 0.6 – 0.5 = 0.1
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo: Seja X uma VA com FDA dada por
● Calcule P(2 < X ≤ 3.5)
P(2 < X ≤ 3.5) = FX(3.5) – FX(2) = 0.6 – 0.5 = 0.1
● Calcule P(X > 3)
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo: Seja X uma VA com FDA dada por
● Calcule P(2 < X ≤ 3.5)
P(2 < X ≤ 3.5) = FX(3.5) – FX(2) = 0.6 – 0.5 = 0.1
● Calcule P(X > 3)
X<3 é equivalente ao intervalo 3 < X ≤ +∞
 
 
Função distribuição acumulada
● Exemplo: Seja X uma VA com FDA dada por
● Calcule P(2 < X ≤ 3.5)
P(2 < X ≤ 3.5) = FX(3.5) – FX(2) = 0.6 – 0.5 = 0.1
● Calcule P(X > 3)
X<3 é equivalente ao intervalo 3 < X ≤ +∞
 P(X > 3) = FX(+∞) - FX(3) = 1 – 0.6 = 0.4
 
Média de uma VA discreta
● Na parte de estatística descritiva, vimos o conceito de 
média e variância amostrais
● Em estatística inferencial, é assumido um modelo 
probabilístico para “explicar” os dados
● Ou seja, as amostras são vistas como realizações de 
uma variável aleatória
População
Modelo probabilístico
Amostras
x1,x2,...,xn
Média amostralMédia populacional ou esperança 
 
Média de uma VA discreta
● Dado uma VA X, a esperança (ou média populacional) 
de X é dada por
μX = E{X} = ∑x x fX(x)
Todos valores de x onde fX(x) ≠ 0 
 
Média de uma VA discreta
● Dado uma VA X, a esperança (ou média populacional) 
de X é dada por
μX = E{X} = ∑x x fX(x)
● Exemplo: Seja X uma VA com a seguinte massa de 
probabilidade
μX = E{X} = ∑x x fX(x) = 0.1*1 + 0.5*2 + 0.4*3 = 2.3
Todos valores de x onde fX(x) ≠ 0 
 
Média de uma VA discreta
● Função massa de probabilidade e localização 
de E{X}
Todos valores de x onde fX(x) ≠ 0 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
f X
E{X}
 
Relações entre mX e E{X}
● Há relações entre a média amostral mX e a esperança 
da variável aleatória X que gerou as amostras? Sim!
● Considere que temos a partir de uma VA discreta X 
obtivemos as realizações x1, x2,...,xN
● Vamos calcular a média amostral
 
Relações entre mX e E{X}
● Há relações entre a média amostral mX e a esperança 
da variável aleatória X que gerou as amostras? Sim!
● Considere que temos a partir de uma VA discreta X 
obtivemos as realizações x1, x2,...,xN
● Vamos calcular a média amostral
 
Relações entre mX e E{X}
● Há relações entre a média amostral mX e a esperança 
da variável aleatória X que gerou as amostras? Sim!
● Considere que temos a partir de uma VA discreta X 
obtivemos as realizações x1, x2,...,xN
● Vamos calcular a média amostral
● Também podemos calcular a mX desta forma
● Onde fx representa a frequência relativa de cada valor x 
de probabilidade não-nula
 
Relações entre mX e E{X}
● O que fx representa?
 
Relações entre mX e E{X}
● O que fx representa?
fx = Nx / N
 
Relações entre mX e E{X}
● O que fx representa?
fx = Nx / N
● Logo
 
Relações entre mX e E{X}
● O que fx representa?
fx = Nx / N
● Logo
● Portanto
 
Relações entre mX e E{X}
● O que fx representa?
fx = Nx / N
● Logo
● Portanto
● Ou seja, quando N → ∞, mX → E{X} 
● Esta é lei dos grandes números!
 
Relações entre mX e E{X}
● Exemplo:
 
Relações entre mX e E{X}
● Exemplo:
● O gráfico abaixo mostra a média amostral em função de 
N.
1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0 .35
0.4
0 .45
0.5
0 .55
0.6
0 .65
0.7
N ú m e ro d e a m o s tra s N
m
X
 
Linearidade da esperança
● A esperança é um operado linear, isto é, para duas 
VAs X e Y e dois coeficientes a e b, temos 
E{aX + bY)} = aE{X} + bE{Y}
 
Linearidade da esperança
● A esperança é um operado linear, isto é, para duas 
VAs X e Y e dois coeficientes a e b, temos 
E{aX + bY)} = aE{X} + bE{Y}
● Exemplo: Uma variável aleatória Z é definida como 
Z = 3X + 2Y, onde X e Y são VAs com E{X} = 1/3 e 
E{Y} = -1/2. Calcule E{Z}
E{Z} = 3X + 2Y = 3E{X} + 2E{Y}
 = 0
 
Generalizando a esperança
● Podemos escrever a esperança para qualquer função 
de uma variável aleatória X
E{g(X)} = ∑x g(x) fX(x)
 
Generalizando a esperança
● Podemos escrever a esperança para qualquer função 
de uma variável aleatória X
E{g(X)} = ∑x g(x) fX(x)
● Exemplo: calcule a esperança do quadrado de uma 
VA X dada por 
 
Generalizando a esperança
● Podemos escrever a esperança para qualquer função 
de uma variável aleatória X
E{g(X)} = ∑x g(x) fX(x)
● Exemplo: calcule a esperança do quadrado de uma 
VA X dada por 
● E{X2} = ∑x x2 fX(x) = 12 * 0.1 + 22 * 0.5 + 32 * 0.4
 = 0.1 + 4*0.5 + 9*0.4 = 5.7
 
Variância de VA discreta
● Com base na generalização da esperança, podemos 
definir a variância de uma VA discreta;
● A variância é definida como
σ2 = E{ (X-E{X})2 }
σ2 = ∑x (x-E{X})2 fX(x)
 
Variância de VA discreta
● Com base na generalização da esperança, podemos 
definir a variância de uma VA discreta;
● A variância é definida como
σ2 = E{ (X-E{X})2 }
σ2 = ∑x (x-E{X})2 fX(x)
● Alternativamente
σ2 = E{X2} – E{X}2
● A demonstração é idêntica ao caso de variância 
amostral que fizemos na primeira aula.
 
Variância de VA discreta
● Exemplo: Calcule a variância de uma VA X com massa 
de probabilidade dada por
 
Variância de VA discreta
● Exemplo: Calcule a variância de uma VA X com massa 
de probabilidade dada por
● Já calculamos E{X}=2.3 e E{X2}=5.7
● Logo
σ2 = E{X2} – E{X}2 = 5.7 – 2.32 = 0.41
 
Variância de VA discreta
● Exemplo: Calcule a variância de uma VA X com massa 
de probabilidade dada por
● Já calculamos E{X}=2.3 e E{X2}=5.7
● Logo
σ2 = E{X2} – E{X}2 = 5.7 – 2.32 = 0.41
● Alternativamente, podemos calcular deste modo
σ2 = ∑x (x-E{X})2 fX(x) = (1 – 2.3)20.1 + (2 – 2.3)20.5 + (3– 2.3)20.4
 
Resumo
● Variável aleatória: mapeia elementos do espaço 
amostral para número.
● Variável aleatória discreta é caracterizada pela
● Função massa de probabilidade / Função distribuição 
acumulada
● A esperança de qualquer função não-linear de uma VA X 
é dada por
E{g(X)} = ∑x g(x) fX(x)
 
Exercício
● Uma máquina vem apresentando sistematicamente problemas 
após um certo tempo de uso. Após um estudo, os engenheiros 
responsáveis definiram uma VA aleatória T que expressa o 
tempo (em dias) para que a máquina apresente defeito após 
ser ligada. Eles chegaram ao seguinte modelo
● Determine a de modo que fT(t) seja uma função massa de 
probabilidade. Obtenha a distribuição acumulada FT(t). Esboce 
os gráficos. 
● Calcule a esperança e a variância de T.
● Qual é a probabilidade da máquina operar corretamente nos 
três primeiros dias?
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