calculo numerico 2

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Márcio Menezes
Cálculo Numérico
Sumário
03
CAPÍTULO 2 – O que Acontece Quando Temos Equações Não-Lineares? ............................05
Introdução ....................................................................................................................05
2.1 Métodos da bissecção, da falsa posição e da secante ..................................................05
2.1.1 Método da bissecção .......................................................................................08
2.1.2 Método da falsa posição ..................................................................................10
2.1.3 Método da secante ..........................................................................................12
2.2 Método de Newton-Raphson .....................................................................................14
2.2.1 A ideia gráfica do método de Newton-Raphson ..................................................14
2.2.2 Usando o cálculo diferencial no método de Newton-Raphson ...............................17
2.3 Sistema de equações não-lineares usando o método da bissecção ................................18
2.3.1 Recapitulação .................................................................................................18
2.3.2 Exemplo .........................................................................................................18
2.3.3 Ilustração gráfica ............................................................................................19
2.3.4 O método da bissecção ...................................................................................22
2.4 Sistema de equações não-lineares usando o método de Newton-Raphson ......................24
2.4.1 O método ......................................................................................................25
2.4.2 Resolução do problema ...................................................................................27
Síntese ..........................................................................................................................29
Referências Bibliográficas ................................................................................................30
Capítulo 2 
05
Introdução
As equações não-lineares aparecem na engenharia em diversas situações, mas muitas vezes não é 
possível resolver estas equações de forma analítica, ou seja não é possível encontrar uma equação 
isole a variável para encontrar o seu valor. Então fica a pergunta: Como podemos encontrar a solu-
ção de uma equação não-linear? A resposta é dada quando consideramos os métodos de solução 
de equações não-lineares, tal como faremos neste capítulo.
Resolver equações não-lineares envolve métodos que vão se aproximando cada vez mais da solu-
ção. Como podemos garantir que estamos nos aproximando da solução? Além disso, já que estes 
métodos não nos levam diretamente à solução, como podemos saber que já estamos suficientemen-
te perto da solução e abandonar o processo de nos aproximarmos ainda mais da solução?
Todas estas questões serão respondidas neste capítulo, onde veremos vários métodos para encontrar 
a solução de equações não-lineares. Discutiremos também vantagens e desvantagens dos métodos.
2.1 Métodos da bissecção, da falsa posição e da 
secante
“Você sabia que existem vários métodos para a obtenção das raízes de uma equação? Aqui ve-
remos alguns métodos de obtenção de raízes de uma equação. Estes métodos são úteis para se 
encontrar apenas uma solução. Geralmente, começamos próximo a uma solução e vamos nos 
aproximando desta solução, até que, depois de algumas iterações, estaremos suficientemente 
próximos da solução. Neste ponto podemos parar as iterações e aceitar o valor obtido como 
solução da equação.
Antes de estudarmos os métodos de solução, veremos um problema para que possamos contex-
tualizar estes métodos que serão apresentados.
Num circuito, por exemplo, podemos estar interessados em descobrir a corrente que passa por 
um nó. Estamos acostumados a considerar a equação V=R·i, que relaciona a tensão com a 
corrente para um resistor de resistência igual aR. Nesta equação a resistência pode não ser 
constante, dependendo, por exemplo, da tensão aplicada aos terminais do resistor. Neste caso, 
a corrente dependerá da tensão de uma forma não-linear.
A situação apresentada acima, além de diversas outras, precisam ser resolvidas com frequência. 
De uma forma geral, dizemos que estamos encontrando as raízes de uma função não-linear, ou 
seja, encontrar as raízes de uma função significa encontrar os valores da variável independente 
(x) de tal forma que o valor da função fique igual a zero. Se a função que estamos trabalhando 
é um polinômio do segundo grau, então temos algo assim:
f(x)=ax2+bx+c
O que Acontece Quando Temos 
Equações Não-Lineares?
06 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Encontrar a raiz deste polinômio significa encontrar os pontos onde esta equação é nula. Para 
descobrirmos isto, escrevemos:
ax2+bx+c=0
Sabemos encontrar as raízes de uma equação de segundo grau. Uma equação do segundo grau 
costuma possuir duas raízes reais, dadas por:
Quando trabalhamos com uma equação do segundo grau, encontrar as raízes é uma tarefa 
simples. Entretanto, quando a equação é de grau superior, pode não ser tão simples encontrar 
as raízes do polinômio.
Uma equação do quinto grau não possui uma solução analítica. O problema ocorre 
não somente para uma equação do quinto grau, mas também para equações de grau 
superior a 5. às vezes é possível fatorar algumas destas equações e encontrar as suas ra-
ízes, mas nem sempre isto é possível. A única forma de se resolver estas equações é atra-
vés do Cálculo Numérico, com os métodos que são apresentados no presente capítulo.
VOCÊ SABIA?
Problema
Imagine uma fábrica alimentos que deseje produzir uma embalagem para uma bebida infantil. 
Esta embalagem deve ser um veículo que possui as seguintes proporções:
Em que x, y e z são as dimensões da embalagem. Acreditamos que, para manter a proporção, a 
dimensão z deveria ser apenas um múltiplo da dimensão x, mas na equação que relaciona x e z 
aparece, além da multiplicação, uma soma. Isto acontece porque a empresa precisa deixar uma 
parte da embalagem reservada para informações do produto que são exigidas por lei.
A empresa deseja que o volume da embalagem seja de 300 ml, ou seja, 300 cm3. Precisa-se 
descobrir quais devem ser as dimensões da embalagem.
Equacionamento do problema
Para descobrir as dimensões da embalagem, temos que equacionar o problema. Sabemos que o 
volume de uma embalagem retangular é dado pelo produto de suas três dimensões:
V=xyz
Vamos reescrever esta equação em termos apenas de uma variável, ou seja, somente da variável 
x. Isto é possível porque sabemos a relação entre as 3 medidas . Além disso, 
sabemos que o volume deve ser igual a 300 cm3. Portanto o volume fica assim:
07
Simplificando esta equação, ou seja, multiplicando-a por 2, obtemos:
9x3+3x2=600
Como estávamos falando sobre raízes de uma equação, vamos passar o número 600 para o lado 
esquerdo da equação. Assim temos um polinômio do terceiro grau que precisamos encontrar as 
raízes, assim:
9x3+3x2-600=0
Ao analisarmos as proporções entre as dimensões da embalagem, vemos que x é a menor delas. 
Vemos ainda que se as dimensões devem ser positivas, maiores do que zero. Além disso, é inte-
ressante obter um valor superior para cada uma das dimensões. Se a embalagem fosse um cubo 
de 1 litro (1.000 cm3), então cada dimensão teria tamanho 10 cm.
É difícil afirmar alguma coisa sobre todas as dimensões da embalagem a ser construída, mas 
é fácil verificar que a menor das dimensões (x) deve ser menor que 10 cm. Em suma, sobre a 
equação do terceiro grau que queremos resolver, temos o seguinte:0<x<10
Os métodos computacionais que veremos a seguir fazem uma busca pela solução dentro de um 
intervalo de valores que indicamos. Se o intervalo for pequeno, o resultado da busca será obtido 
num intervalo de tempo menor. Se o intervalo de busca for maior, o resultado será obtido num 
intervalo de tempo maior.
Se quisermos fazer alguma economia computacional nos métodos que vamos apresentar adian-
te, basta fazermos mais algumas verificações. Como sabemos que x deve ser maior que 0 e me-
nor que 10, podemos testar o valor da função para valores inteiros de 1 a 9, pois fazer operações 
matemáticas (soma, subtração, multiplicação e exponenciação) com números inteiros é simples 
de ser feito. Assim fazemos o teste que é mostrado na tabela a seguir.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
f(x) -588 -516 -330 24 600 1452 2634 4200 6204
Tabela 1 - Valores da função f(x)em vários pontos diferentes, no intuito de buscar onde a função muda de sinal.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Antes de analisarmos a Tabela 1, sabíamos que solução encontrava-se para x entre 0 e 10 cm. 
Agora vemos que a solução está no intervalo 3<x<4. Para economizarmos iterações ao apre-
sentarmos os métodos, é melhor termos um intervalo menor. Desta forma, podemos mostrar os 
métodos com uma convergência muito mais rápida.
Agora que vimos o problema, podemos estudar os métodos de resolução de equações não-
-lineares utilizando este problema como base para nossos estudos.
08 Laureate- International Universities
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2.1.1 Método da bissecção
Neste método, queremos encontrar a solução de uma equação escrita da seguinte forma f(x)=0. 
Para isto, devemos conhecer um valor da variável x que nos dê um valor negativo para a função 
(f(x1)<0). Devemos também conhecer um valor da variável x que nos dê um valor positivo para 
a função (f(x2 )>0). Este método funciona somente para funções contínuas, ou seja, funções que 
não apresentem saltos no seu valor, mas a grande maioria dos problemas que queremos resolver 
tratam-se de funções contínuas.
Quando sabemos que a função contínua é negativa num determinado ponto e positiva noutro 
ponto, então ela necessariamente será nula em algum ponto intermediário. É uma afirmação 
óbvia, mas é a base do algoritmo da bissecção.
Na inicialização do método, passamos, além da função, o valor de x1 e de x2, assim como o 
erro. Este erro é a precisão que você deseja que a solução seja dada. De uma forma geral, não é 
possível obter um erro nulo. Portanto, devemos indicar qual é o erro máximo tolerado para a raiz 
da equação não-linear. É importante ressaltar que, quanto menor for o erro desejado, maior será 
o tempo que se levará para obter a resposta, pois o método da bissecção converge lentamente 
para a solução.
A função deve assumir valores com sinais contrários nos dois pontos x = x1 e x = x2. O método 
consiste em:
•	 Se a distância entre x1 e x2 for menor que o erro, não é necessário mais fazer a busca, ou 
seja, chegou-se à solução com a precisão requerida.
•	 Calcular o valor da função em x = x1.
•	 Calcular o valor da função em x = x2.
•	 Calcular o valor da função em x = xc, onde xc = 
•	 Se f(xc ) tiver o mesmo sinal que f(x1), então a raiz estará entre xc e x2. Assim, x1 assume o 
valor de xc. Voltamos para o item 1.
•	 Se f(xc ) tiver o mesmo sinal que f(x2 ), então a raiz estará entre x1 e xc. Assim, x2 assume o 
valor de xc. Voltamos para o item 1.
•	 Se f(xc )=0, então a raiz foi encontrada. Terminam as iterações.
Geralmente nunca se chega até o ponto onde f(xc )=0. Mesmo assim, costuma-se chegar perto 
o suficiente da raiz. A cada iteração o tamanho do intervalo é reduzido por dois. Depois de n 
iterações, o tamanho do intervalo estará dividido por 2n com relação ao tamanho do intervalo 
original. O erro certamente será menor que o intervalo atual. O erro será no máximo metade do 
intervalo atual.
Com relação ao cálculo do erro, ele é feito comparando-se a distância entre x1 e x2. Se o interva-
lo onde a busca é feita for pequeno o suficiente, isto significa que estamos suficientemente perto 
da raiz. Podemos assim escolher o quão perto desejamos estar da raiz da função. É importante 
notar que, devido aos erros nos cálculos numéricos, não se deve exigir que o erro seja zero. Além 
disso, quanto menor for o erro requerido, maior será o tempo de execução do algoritmo. Nos 
problemas que vamos resolver, o tempo geralmente não é um problema, mas quando o número 
de iterações se torna grande fica mais difícil de acompanhar todas as iterações realizadas.
09
O problema das embalagens
Agora que o método está apresentado, vamos voltar ao problema do cálculo das dimensões da 
embalagem. Ao analisarmos o problema da dimensão da embalagem, sabíamos que a dimensão 
x apresentava um valor entre 3 e 4 cm.
A função que queremos trabalhar é:
f(x)=9x3+3x2-600
Quando x = 3, temos: f(3) = -330. Quando x = 4, temos: f(4) = 24. Vemos que um dos valores 
é negativo, enquanto que o outro é positivo. Portanto uma raiz desta função estará entre x1=3 
e x2=4.
Se quisermos que o erro na dimensão x seja no máximo 0,01 cm, então teremos as seguintes 
iterações apresentadas na Tabela 2.
Iteração x1 f(x1) x2 f(x2) xc f(xc) Erro
0 3.0000 -330.0000 4.0000 24.0000 3.5000 -177.38 0.50000
1 3.5000 -177.3750 4.0000 24.0000 3.7500 -83.203 0.25000
2 3.7500 -83.2031 4.0000 24.0000 3.8750 -31.283 0.12500
3 3.8750 -31.2832 4.0000 24.0000 3.9375 -4.0686 0.06250
4 3.9375 -4.0686 4.0000 24.0000 3.9688 9.8581 0.03125
5 3.9375 -4.0686 3.9688 9.8581 3.9531 2.8680 0.01562
6 3.9375 -4.0686 3.9531 2.8680 3.9453 -0.6070 0.00781
Tabela 2 – Evolução da solução do problema das embalagens pelo método da bissecção.
Fonte: Elaborado pelo autor (2015).
Poderíamos continuar muito mais as iterações deste programa, mas resolvemos trabalhar com 
uma precisão de apenas 0,01. Caso utilizássemos uma precisão de 0,0001, o valor de x con-
vergiria um pouco mais, até o valor x = 3,9467. Observe que certamente a empresa não terá 
toda esta precisão disponível, provavelmente apresentar o valor 39 mm já seria o suficiente para 
quem vai produzir a embalagem. Assim, assumindo o valor de 39 mm para uma das dimensões 
da embalagem, o valor das demais dimensões seriam: 58 mm e 127 mm.
Encontramos apenas uma raiz para a equação, mas é importante notar que uma equação do 
terceiro grau possui até três raízes. Como podemos ver na Figura 1, esta função tem apenas uma 
raiz, que corresponde ao valor que acabamos de encontrar.
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Cálculo Numérico
1000
500
0
-500
-1000
-1500
2000
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
f(x
)
Figura 1 – O problema da embalagem tem apenas uma solução, ou seja, existe 
apenas uma raiz para a equação dada. A raiz encontra-se próxima de x = 4.
Fonte: Elaborado pelo autor (2015).
2.1.2 Método da falsa posição
O método da falsa posição é semelhante ao método da bissecção, entretanto coloca-se uma 
ponderação no momento de se escolher o valor intermediário. O ponto xc não precisa neces-
sariamente ser escolhido no meio do intervalo. No exemplo que vínhamos tratando, tínhamos 
o seguinte: f(3) = -330 e f(4) = 24. Simplesmente olhando para estes valores, podemos ter um 
chute inicial de que a raiz esteja mais próxima de x = 4 do que de x = 3. Portanto, a ideia deste 
algoritmo é obter uma convergência mais rápida do que o algoritmo da bissecção, utilizando 
uma estimativa para a posição da raiz a partir dos valores da função.
A questão agora é: como podemos realizar alguma ponderação na escolha do ponto interme-
diário xc? A resposta é simples, vamos fazer uma ponderação linear. Para isso, vamos analisar 
semelhança de triângulos na figura a seguir.
11
100
-100
0
-200
-300
-400
3 3,2 3,4 3,6 3,8 4
x
f(x
)
(x1, f(x1))
(xc, f(xc))
(x2, f(x2))
Figura2 – Método da falsa posição e a estimativa da posição da raiz.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
O triângulo maior (formado pelos pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2 )) e (x2,f(x1))) é semelhante ao triângulo 
menor (formado pelos pontos (xc,f(xc)), (x2,f(x2)) e (x2,f(xc))). Portanto, podemos escrever:
Estamos escolhendo x_c de tal forma que o ponto (xc,f(xc)) esteja sobre a abscissa, ou seja, f(xc) = 0. 
Assim, como f(xc) é nulo, podemos eliminá-lo da equação acima.
Com algumas manipulações, podemos obter:
O problema das embalagens
Utilizando o método da falsa posição com um erro máximo de 0,01 cm, obtemos as iterações 
mostradas na Tabela 3.
Iteração x1 f(x1) x2 f(x2) xc f(xc) Intervalo
0 3.0000 -330.0000 4.0000 24.0000 3.9322 -6.4079 0.067797
1 3.9322 -6.4079 4.0000 24.0000 3.9465 -0.0840 0.014287
2 3.9465 -0.0840 4.0000 24.0000 3.9467 -0.0011 0.000187
Tabela 3: Evolução da solução do problema das embalagens pelo método da falsa posição.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
12 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Vemos que a convergência do método da falsa posição foi muito mais rápido do que o método 
da bissecção. O método da falsa posição precisou de duas iterações para convergir, enquanto 
que o método da bissecção precisou de seis iterações. Mas é importante salientar que nem sem-
pre isto acontece. Quanto mais próxima a função for de uma reta, melhor vai ser o resultado 
para a falsa posição. Se fizermos testes em intervalos maiores, por exemplo, para 0 < x < 10, a 
convergência seria melhor utilizando o método da bissecção, pois a função não se aproxima de 
uma reta neste intervalo.
O método da falsa posição funciona bem para intervalos onde a função é quase linear, ou seja, 
quando a função não é muito diferente de uma reta no intervalo analisado. Isto acaba acon-
tecendo em intervalos pequenos. Quanto menor o intervalo, mais fácil aproximar uma função 
não-linear por uma função linear.
2.1.3 Método da secante
O método da secante se assemelha muito ao método da falsa posição. A única diferença entre 
eles é que esse método não exige que a raiz esteja entre os dois valores de inicialização do mé-
todo, ou seja, não é necessário que a raiz esteja entre x1 e x2.
A Figura 3 mostra o método da bissecção sendo utilizado no problema das embalagens. Os valo-
res passados para o método forma: x1 = 4 e x2 = 5. Vemos que a função assume valores positivos 
nestes dois pontos, ou seja, a raiz da equação está fora deste intervalo.
600
500
400
300
200
100
-100
0
3,6 3,8 4 4,44,2 4,6 4,8 5
x
f(x
)
(x3, f(x3))
(x1, f(x1))
(x2, f(x2))
Figura 3- Método da secante.
Fonte: Elaborado pelo autor. 2015.
Através da semelhança de triângulos, vamos obter a equação para calcular as iterações no mé-
todo da secante.
13
O triângulo menor (formado pelos pontos (x1,f(x1)), (x2,f(x2)) e (x2,f(x1))) é semelhante ao triângulo 
maior (formado pelos pontos (x3,f(x3)), (x2,f(x2)) e (x2,f(x3))). Portanto, podemos escrever:
Escrevemos em termos dos pontos 1, 2 e 3. Generalizando para quaisquer pontos (n - 1, n e n + 1) 
temos:
Com algumas manipulações para isolar x(n+1), obtemos:
O problema das embalagens
Utilizando o método da secante com um erro máximo de 0,01 cm obtemos as iterações mostra-
das na tabela a seguir.
Iteração x1 f(x1) x2 f(x2) xc f(xc) Erro
0 4.0000 24.0000 5.0000 600.0000 3.9583 5.1921 0.041667
1 3.9583 5.1921 5.0000 600.0000 3.9492 1.1386 0.009093
Tabela 4 - Evolução da solução do problema das embalagens pelo método da secante.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Estamos mais acostumados a modelos lineares do que a modelos não-lineares, mas es-
tes estão muito mais presentes na natureza; portanto, modelos não-lineares costumam 
produzir resultados muito melhores. Além disso, estamos acostumados a trabalhar com 
equações que possuem somente uma variável independente y = f(x), mas atualmente, 
com o poder computacional que está a nossa disposição, é possível implementar mo-
delos que dependam de um conjunto muito grande de variáveis. Isto é possível sem que 
o tempo de execução torne-se proibitivo. Leia mais em:
<http://www.baguete.com.br/colunistas/colunas/51/paulo-krieser/18/07/2012/inte-
ligencia-analitica-modelos-nao-lineares-e-metodos>.
VOCÊ QUER LER?
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2.2 Método de Newton-Raphson
Como podemos acelerar a convergência dos métodos que vimos até agora? Veremos que o 
Cálculo Diferencial pode ser utilizado para acelerar a convergência da solução das equações 
não-lineares, ou seja, pode ser utilizado para que cheguemos à solução mais rapidamente, com 
um número menor de passos.
O método de Newton-Raphson utiliza conceitos de Cálculo Diferencial para obter a raiz de uma 
equação não-linear. Este método costuma ter uma convergência mais rápida que os demais 
métodos citados anteriormente, desde que o ponto inicial esteja próximo à raiz. Além disso, a 
derivada da função deve variar suavemente para que este método funcione. Se a derivada da 
função variar muito ao longo do intervalo de busca, o método pode não convergir.
Nos métodos anteriores, o método recebia a função, dois valores para a variável independente 
(x) e o erro aceitável. Em alguns métodos exigia-se que os dois valores correspondessem a um 
valor positivo da função e a um valor negativo. No método de Newton-Raphson, o método rece-
be apenas um ponto inicial. Além deste ponto, passamos a função e a derivada da função. Por 
exemplo, se a função for: f(x) = x2 + 3x, então devemos passar, além da função, também a sua 
derivada, que é dada, neste caso, por: f ' (x) = 2x + 3.
2.2.1 A ideia gráfica do método de Newton-Raphson
Vamos observar como o método funciona através de gráficos, utilizando a ideia geométrica de 
uma derivada.
600
400
200
-200
-400
0
3 3,5 4 4,5 5
x
f(x
)
(x0, f(x0))
(x1, f(x1))
f(x)
f(x)
Figura 4 – Método da Newton-Raphson.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
15
Joseph Raphson foi um matemático inglês que é hoje conhecido principalmente pelo 
método de Newton-Raphson. Não se sabe muito sobre a vida de Joseph Raphson, mas 
sabe-se que ele nasceu em 1648. Não se tem informação sobre sua morte, mas estima-
-se que tenha sido em 1715.
O trabalho mais importante de Raphson foi o livro Analysis Aequationum Universalis 
(Análise Universal das Equações), publicado em 1690. Este livro contém o método que 
leva o seu nome e o nome de Isaac Newton. Newton havia deduzido o mesmo método 
anteriormente, mas não havia publicado.
VOCÊ O CONHECE?
Observando o gráfico do problema que temos que resolver, vemos que é possível identificar um 
triângulo com as coordenadas (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) e (x1, 0). Vamos supor que estamos iniciando do 
ponto x_0 e queremos obter um próximo ponto que esteja mais próximo da raiz da função. Sa-
bemos que a derivada no ponto (x0, f(x0)) é a reta representada no gráfico. Além disso, sabemos 
que a inclinação de uma reta é dada por Δ y/Δ x. Isto pode ser escrito como:
Além disso, sabemos que a derivada de uma função (num ponto x0) é a reta tangente que pas-
sa por aquele ponto da função. Ou seja, a derivada representa graficamente a inclinação de 
uma função num determinado ponto. Já que a derivada é igual à inclinação da função, vamos 
igualá-la a Δ y/Δ x:
Como estamos escolhendo o próximo ponto como sendo a intersecção com o eixo x (eixo das 
abscissas), o valor de f(x1) deve ser nulo. Desta forma, podemos simplificar a expressão acima:
Isolando x1 na equação acima, temos:
Depois que calcularmos x1 a partir de x0, podemos repetir o processo, calculando x2 a partir de 
x1. Desta forma, podemos generalizar a equação para uma iteração n qualquer:
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Cálculo Numérico
Esta equação que acabamos de ver representao método de Newton-Raphson, onde utilizamos 
apenas um ponto para descobrir o valor do próximo ponto, além da função e sua derivada.
O software Microsoft Excel tem diversas funcionalidades, uma delas é a resolução 
de sistemas de equações lineares e não-lineares, entre outros tipos de equações. O 
Solver é um software integrado ao Excel, sendo responsável pela resolução dos vários 
tipos de equações citados. De acordo com os próprios desenvolvedores do software, a 
resolução de equações não-lineares é feita por um algoritmo quase-Newton, ou seja, 
um algoritmo que é muito próximo do algoritmo de Newton-Raphson, tendo algumas 
variações para que haja alguma melhoria com relação ao algoritmo tradicional de 
Newton-Raphson.
VOCÊ SABIA?
O problema das embalagens
Quando estivermos resolvendo o problema prático da embalagem a ser criada, devemos utilizar 
a função:
f(x) = 9x3 + 3x2 - 600
assim como a sua derivada:
f' (x) = 27x2 + 6x
Além disso, devemos utilizar também um ponto inicial. Idealmente deveríamos começar num 
ponto próximo à raiz, como, por exemplo, o ponto x0 = 4, mas, mesmo escolhendo outros valo-
res para x0, a função deve convergir rapidamente.
Observe a tabela com as iterações para o método de Newton-Raphson.
Iteração xn f(xn) f' (x) xn+1 f(xn+1) Variação
1 4.0000 24.0000 444.39 3.9474 0.30617 0.0526
2 3.9474 0.3062 444.24 3.9467 5.2×10-5 0.0007
Tabela 5 - Evolução da solução do problema das embalagens pelo método de Newton-Raphson.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Isaac Newton foi um físico e matemático inglês que viveu entre 1642 e 1727. Ele criou 
diversas teorias e o ferramental matemático que hoje conhecemos como Cálculo Dife-
rencial e Integral.
Foi um grande cientista e, no contexto que estamos estudando, Newton conseguiu utili-
zar o ferramental do Cálculo para resolver diversos problemas, principalmente proble-
mas que envolviam a maximização ou a minimização de uma função. Saiba mais sobre 
Newton em: <http://www.seuhistory.com/node/159791>.
VOCÊ O CONHECE?
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2.2.2 Usando o cálculo diferencial no método de Newton-Raphson
Sabemos que uma função f(x) pode ser aproximada por uma soma de infinitas derivadas, é isto 
que faz uma série de Taylor.
O que a série de Taylor afirma é simplesmente isso: uma função pode ser aproximada pela soma 
de todas as suas infinitas derivadas.
Podemos fazer uma aproximação utilizando somente a primeira derivada. Esta aproximação deve 
funcionar razoavelmente bem para intervalos pequenos. Ela fica assim:
f(x) ≈ f(x0)+f' (x0) [x - x0]
Vamos calcular xn+1 a partir de xn, e então fazer uma mudança de variáveis. Substituindo x0 por 
xn, e x por xn+1, temos:
f(xn+1) ≈ f(xn) + f' (xn) [xn+1 - xn]
Isolando xn+1 do lado esquerdo da equação, temos:
Vemos, portanto, que o método de Newton consiste em fazer uma aproximação utilizando série de 
Taylor. Nesta aproximação utilizamos apenas a primeira derivada, desprezando todas as demais.
As publicações científicas na área de Cálculo Numérico se dividem basicamente em 
duas frentes principais. Uma delas é a aplicação de métodos numéricos para a reso-
lução de problemas práticos. A outra é o desenvolvimento de métodos numéricos que 
sejam mais eficientes.
Num congresso de educação realizado em 2004 na cidade de Curitiba, foi apresentado 
um trabalho que apresentava a possibilidade de melhoria no método de Newton-Raph-
son. Para esta melhoria estendia-se o método para que utilizasse não apenas a primeira 
derivada da função, mas também a segunda derivada, de tal forma a se obter uma con-
vergência mais rápida para a raiz da equação. Leia o artigo em: <http://www.pucpr.br/
eventos/educere/educere2004/anaisEvento/Documentos/CI/TC-CI0034.pdf>.
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Cálculo Numérico
2.3 Sistema de equações não-lineares usando 
o método da bissecção
Sabemos como resolver uma única equação não-linear, mas como podemos resolver um sistema 
de equações não-lineares? Podemos partir das mesmas ideias, mas teremos que elaborá-las 
melhor para que funcionem no caso multidimensional.
Vamos tentar começar de forma simples, tal como fizemos no caso de uma única equação com 
uma variável. Qual foi o primeiro método que aprendemos? O método da bissecção. Será este 
mesmo método que utilizaremos para começar o estudo com um sistema de equações. Veremos 
agora que, ao trabalharmos com um sistema de equações, o método da bissecção terá sua com-
plexidade aumentada.
Além da complexidade do método, veremos que o custo computacional será alto. Isto acontece 
porque, ao dividirmos a região de busca, serão criadas várias sub-regiões. Nem todas as sub-
-regiões poderão ser descartadas, e, assim, o número de regiões onde a busca é realizada cos-
tuma aumentar ao longo do tempo.
2.3.1 Recapitulação
A ideia básica do método consiste em:
•	 Começar com dois pontos (x1 e x2), num ponto a função assume um valor positivo e no 
outro a função assume um valor negativo.
•	 Selecionar um ponto no meio entre x1 e x2, ou seja, xc = (x1 + x2)/2.
•	 Se f(xc) tiver o mesmo sinal que f(x1), xc passa a ser o novo ponto x1.
•	 Se f(xc) tiver o mesmo sinal que f(x2), xc passa a ser o novo ponto x2.
•	 Se a diferença entre x1 e x2 for menor que o erro, a resposta será xc, caso contrário, volte 
para o item 2.
Este método funcionava bem quando tínhamos apenas uma equação com apenas uma variável. 
Quando tentamos estender este método para um sistema com várias equações e várias variáveis, 
a complexidade do problema aumenta consideravelmente.
Antes de discutirmos o método da bissecção para resolução de um sistema de equações não-
-lineares, vamos apresentar um exemplo. O exemplo é útil para entendermos como é uma equa-
ção não-linear antes de verificarmos a forma de resolução destas equações.
2.3.2 Exemplo
Uma fábrica de embalagens pretende adquirir papelões retangulares com área de 216 cm2 para 
fabricar caixas. Em cada um dos quatro cantos do papelão será feito um corte de um pequeno 
quadrado de 2 cm × 2 cm, tal como mostrado na figura a seguir. A região pontilhada será cor-
tada. O papelão será dobrado nas retas tracejadas, e desta forma será possível dobrar as quatro 
laterais e formar uma caixa. A caixa fabricada deve possuir um volume de 224 cm3.
19
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
2 cm 2 cm
Figura 5 – Geometria do papelão para fabricar a embalagem. As dimensões precisam ser descobertas. 
A linha pontilhada será recortada, enquanto que a linha tracejada será dobrada.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Com estas informações, podemos escrever primeiramente a equação da área do papelão retangular:
x · y = 216
Podemos também escrever a equação do volume. Para descrever o volume, devemos notar que 
cada uma das dimensões do papelão foi reduzida em 2 cm. Além disso, agora existe um terceiro 
eixo que tem exatamente 2 cm de altura. O resultado fica assim:
(x - 2) · (y - 2) · 2 = 224
Podemos apresentar as duas equações (área e volume) juntas, da seguinte forma:
x · y = 216
(x - 2) · (y - 2) · 2 = 224
Estas equações são não-lineares. Para que a equação seja linear, todas as variáveis devem apa-
recer no numerador, com potência igual a um. Além disso, não devem haver variáveis multiplica-
das uma pela outra, por exemplo, xy.
A primeira equação não é linear porque aparece o produto de duas variáveis. A segunda equação é 
não-linear porque aparecem variáveis elevadas ao quadrado. Se aparecesse apenas uma equação 
não-linear, poderíamos aplicar os métodos para resolução de sistemas de equações não-lineares. 
Agora temos um sistema de equações não-lineares. Assim, precisamos de versões atualizadas dos 
métodos de resolução de equações não-lineares para resolver este conjunto de equações.
2.3.3 Ilustração gráfica
Imagine o seguinte conjunto de equações não-lineares:
-x2 - y2= -16
(x - 2)2 - (y - 2)2 = -16
20 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Este é um sistema que pode ser resolvido analiticamente, ou seja, podemos isolar uma das variáveis 
numa equação e substituí-la na outra equação. Acharíamos, assim, o valor de uma variável, depois 
substituiríamos o resultado em qualquer das equações para encontrar o valor da outra variável.
Apesar de ser possível resolver esta equação analiticamente, vamos resolvê-la de forma numéri-
ca. É sempre importante resolver problemas simples quando estamos aprendendo. Mas é impor-
tante salientar que estes métodos são utilizados em situações práticas para resolver problemas 
complexos que não poderiam ser resolvidos de outra forma.
Todos os métodos numéricos de resolução de sistemas de equações não-lineares consistem em 
encontrar os zeros das funções envolvidas. Portanto, devemos ter um conjunto de funções, todas 
elas igualadas a zero. Passamos, então, o termo que está do lado direito para o lado esquerdo 
das equações:
f1 (x, y) = -x
2 - y2 + 16 = 0
f2 (x, y) = -(x - 2)
2 - (y - 2)2 + 16 = 0
Agora temos duas equações que estão igualadas a zero. Assim podemos aplicar qualquer um dos 
métodos para resolução de um sistema de equações não-lineares. Mas antes de resolvermos este 
sistema de equações, vamos entender o significado geométrico disso.
Para entendermos o significado geométrico, observemos que foram dadas 2 funções. Vamos, por 
enquanto, ignorar que o valor delas foi igualado a zero. No caso dado, as duas funções apre-
sentam concavidade para baixo com relação às duas variáveis. Nas figuras 6 e 7 podemos ver o 
gráfico de cada uma destas funções.
20
15
10
1_
1 
(x
, y
)
y
x
5
0
6
6
4
42
20
0-2
-2-4
-4
-6 -6
Figura 6 – Gráfico da função f1 (x, y) = -x
2 - y2 + 16.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
21
20
15
10
1_
2 
(x
, y
)
y
x
5
0
8
8
6
64
42
20
0-2
-2
-4 -4
Figura 7 – Gráfico da função f2 (x, y) = -(x - 2)
2 - (y - 2)2+16.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
As funções parecem idênticas, mas podemos ver que f1 (x, y) está centrada no ponto (0, 0), en-
quanto que a função f2 (x, y) está centrada no ponto (2, 2).
Nessas figuras fizemos o gráfico somente do trecho em que a função é maior que zero. Note que 
estamos interessados no trecho onde as funções são nulas. Observe ainda que estamos interes-
sados nos pontos onde as duas funções são simultaneamente nulas. Observe, também, que cada 
uma das funções é igual a zero para um conjunto infinito de valores do par (x, y).
Se colocarmos as duas funções num mesmo gráfico, observamos que, para que ambas as fun-
ções sejam nulas simultaneamente, existe apenas um número finito de soluções. Estas soluções 
são apresentadas no gráfico a seguir.
20
15
10
m
ax
(1
_1
(x
, y
), 
1_
2(
x,
 y
)
y
x
5
0
6
6
8
4
42
20
0-2
-2-4
-4
-6 -6
Figura 8 – Nesta figura mostramos o gráfico conjunto das duas funções 
que forma apresentadas separadamente nas figuras anteriores.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
22 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Vemos que existe um conjunto infinito de pontos onde f1 (x, y) = 0. Também vemos que existe 
um conjunto infinito de pontos onde f2 (x, y) = 0. Mas estamos interessados nos pontos onde as 
duas funções são simultaneamente iguais a zero. Na última figura podemos observar que existe 
um ponto próximo de x = 4 e y = -2 onde os gráficos fazem uma intersecção, além de serem 
nulos. Existe um outro ponto do outro lado que também ocorre a intersecção dos gráficos onde 
eles são nulos.
Portanto, o sistema que acabamos de visualizar apresenta duas soluções. Estas soluções podem 
ser visualizadas na figura seguinte.
Figura 9 – Região onde as funções são nulas. Em azul é mostrada a 
curva para f1 (x, y) e em vermelho mostrada a curva para f2 (x, y).
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
2.3.4 O método da bissecção
Agora que temos uma ideia geométrica da resolução de um sistema de equações não-lineares, 
vamos conhecer o método da bissecção multidimensional. Lembre-se que a outra versão do mé-
todo da bissecção que vimos anteriormente era utilizado para sistemas com uma equação e uma 
variável; portanto, a versão anterior do método é a versão unidimensional.
O método da bissecção multidimensional não é tão trivial quanto o método unidimensional. 
Se tivermos um sistema de duas equações com duas variáveis, poderíamos começar com um 
quadrado (ou um retângulo), dividindo-o a cada passo em retângulos cada vez menores. Mas 
esta ideia simples, que é uma generalização do método unidimensional, deve ser analisada com 
muito cuidado. Existe uma particularidade que pode ser vista na figura a seguir.
23
1 2
3 4
Figura 10 – A curva de nível de duas funções, mostrando onde elas assumem o valor nulo. 
Vemos que a função representada pela curva azul assume o valor zero nos retângulos 1, 2 e 3. 
A função representada pela curva vermelha assume o valor zero nos retângulos 2, 3 e 4.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
A figura anterior mostra curvas de nível de duas funções. Uma curva de nível é o conjunto de 
todos os pontos em que uma função apresenta um mesmo valor. No caso acima, são mostrados 
todos os pontos onde cada uma das funções assume o valor zero.
O método da bissecção bidimensional divide o retângulo inicial em quatro retângulos, tal como 
mostrado na figura 10. Se escolhermos apenas um retângulo, devemos ter cuidado qual retângu-
lo deve ser escolhido. Se escolhermos o retângulo 3, vemos que ele não terá nenhuma solução 
para o sistema de equações. Se escolhermos o retângulo 2, estaremos no retângulo correto, que 
possui uma solução para o sistema de equações.
No método unidimensional, simplesmente dividíamos o intervalo inicial ao meio, verificando de 
que lado estava a raiz. O lado que estava a raiz passava a ser o intervalo a ser considerado. 
Agora, que estamos considerando um caso multidimensional, devemos dividir cada uma das 
dimensões ao meio. Desta forma, para um sistema com duas variáveis, um retângulo vai ser di-
vidido em quatro retângulos. No caso geral, onde existem n variáveis, o paralelepípedo original 
será dividido em 2n paralelepípedos.
A ideia no caso bidimensional é verificar o valor das funções em cada um dos quatro vértices. 
Não apenas o valor de uma função, mas o valor de ambas as funções (f1 (x, y) e f2 (x, y)). Se f1 
(x, y) tiver o mesmo sinal nos quatro vértices, assumimos que esta função não tem nenhuma raiz 
neste intervalo. Se esta função assumir valor positivo em parte dos vértices e valor negativo nos 
outros vértices, podemos concluir que a função assume o valor nulo em algum ponto intermedi-
ário. O mesmo teste que foi feito com f1 (x, y) deve ser feito com f2 (x, y).
Ainda na figura 10, vemos que a função f1 (x, y) se anula nos retângulos 1, 2 e 3. A função f2 
(x, y) se anula nos retângulos 2, 3 e 4. Queremos encontrar os pontos onde ambas as funções 
se anulam. Nessa figura estamos vendo o ponto onde as duas funções se anulam. Num caso 
real, não teríamos acesso à curva que é mostrada no gráfico anterior. Teríamos acesso apenas 
24 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
ao valor da função em cada vértice dos retângulos. Portanto, escolheríamos os retângulos 2 e 3 
como possíveis candidatos a conter o ponto que zera as duas funções. Entretanto, não sabemos 
qual dos retângulos devemos escolher. Por este motivo, devemos escolher ambos. Assim evitamos 
uma escolha errada.
Vemos, portanto, que, no método da bissecção bidimensional, o número de intervalos aumenta. 
Tínhamos apenas um intervalo inicialmente. Depois que dividimos o retângulo inicial em quatro, 
temos que manter dois deles como possíveis candidatos a conter araiz do sistema de equações. 
A cada iteração o número de retângulos pode se manter ou aumentar. O número nunca diminui. 
Por este motivo, o método da bissecção para sistema de equações não-lineares é muito custoso. 
Mais custoso que para uma única equação não-linear.
O método da bissecção multidimensional consiste nos seguintes passos:
•	 Escolhemos um retângulo inicial (nos vértices deste retângulo cada uma das funções deve 
assumir valor positivo e valor negativo).
•	 Dividimos cada uma das dimensões ao meio. (No caso bidimensional, o retângulo será 
dividido em quatro retângulos).
•	 Para cada um dos vértices do retângulo, calculamos o valor da função.
•	 Se em algum retângulo a função assumir valores de mesmo sinal para todos os vértices, 
o retângulo é abandonado.
•	 Para os retângulos que a função assumir valores de sinais contrários nos vértices, o 
retângulo continua sendo subdividido.
•	 Quando o tamanho do retângulo ficar menor que o erro máximo aceito para a resposta, 
o centro do retângulo é considerado como raiz do sistema de equações.
Múltiplas respostas podem ser encontradas, caso o sistema possua múltiplas raízes. Basta que a 
escolha do retângulo inicial seja suficiente para conter todas as raízes.
2.4 Sistema de equações não-lineares usando 
o método de Newton-Raphson
O método da bissecção consegue obter todas as raízes de um sistema de equações não-lineares 
desde que a escolha do retângulo inicial contenha as soluções. Apesar da vantagem de obten-
ção das raízes, este método tem a desvantagem de ser muito custoso. O número de iterações é 
muito grande e devemos fazer a busca em múltiplos subconjuntos para não corrermos o risco de 
realizar a busca somente nas regiões erradas.
Por este motivo foram criados outros métodos para a obtenção das raízes de um sistema de 
equações não-lineares. Veremos o método de Newton-Raphson multidimensional, que consegue 
chegar à solução com uma quantidade muito menor de passos.
25
2.4.1 O método
Já vimos o método de Newton-Raphson anteriormente. Este método utiliza, além da própria fun-
ção que desejamos resolver, a sua derivada. Conforme veremos, a complexidade do método au-
menta significativamente quando o utilizamos para resolver um sistema de equações não-lineares 
no lugar de apenas uma única equação não-linear.
Para uma única função f(x), a sua expansão em série de Taylor (indo até primeira ordem) ficava:
f(xn+1) = f(xn) + f' (xn) (xn+1 - xn)
Queremos que f(xn+1) seja zero, portanto, isolando xn+1 na equação acima, obtemos:
Esta equação nos dá o método de Newton-Raphson para uma única equação não-linear.
Quando temos um conjunto de n equações com n variáveis, a situação muda. Imagine um siste-
ma com duas equações e duas variáveis. Neste sistema, temos o seguinte:
f1 (x) = 0
f2 (x) = 0
São duas equações, cada uma delas recebendo um vetor como parâmetro. Mas podemos pensar 
neste vetor (com duas coordenadas) como duas variáveis:
f1 (x, y) = 0
f2 (x, y) = 0
Ainda podemos pensar de forma vetorial, de forma a abreviar as coordenadas x e y num único 
vetor x (como havíamos feito anteriormente). Além disso, continuando neste raciocínio vetorial, 
podemos pensar nas duas funções como apenas uma única função vetorial, desta forma:
f(x) = 0
Antes, cada uma das funções (f1 e f2) retornava um escalar. Agora a função f retorna um vetor 
de duas componentes.
Optando pela simplicidade, vamos resolver o sistema que se apresenta na forma de duas equa-
ções com duas variáveis.
A equação de evolução do sistema será dada por:
26 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Escrevendo isto na forma vetorial, temos:
f(xn+1) = f(xn) + f' (xn) [xn+1 - xn ]
Onde f(xn) é a matriz jacobiana, dada por:
Para simplificar um pouco a notação escreveremos a matriz jacobiana como: J.
Supondo que f(xn+1) seja nulo, isolamos xn+1, obtendo:
xn+1 = xn - J
-1 f(xn)
Podemos escrever esta equação considerando os componentes dos vetores e da matriz assim:
Esta equação nos dá o método de Newton-Raphson para um sistema equações não-lineares. 
Escrevemos o método de Newton-Raphson para um sistema com duas equações e duas variáveis, 
mas é possível generalizar este método para um número arbitrário de equações e variáveis.
Com relação ao método de Newton-Raphson multidimensional, é importante notar que existe a 
inversa de uma matriz (a matriz jacobiana elevada a menos 1). Realizar a inversa sempre é uma 
tarefa custosa. Além disso, este método sofre da complicação de necessitar da expressão analí-
tica para a derivada das funções envolvidas.
Ao resolver um sistema de equações pelo método de Newton-Raphson, sempre necessitamos de 
um ponto de partida, ou seja, um valor inicial para as variáveis xn e yn.
Os passos do método de Newton-Raphson são:
•	 Escolher um valor inicial para o vetor x, que chamaremos de x0.
•	 Obter uma nova aproximação para o vetor x, que será o vetor xn+1. Esta aproximação será 
obtida através da equação: xn+1 = xn - J
-1 f(xn).
•	 Verificar a diferença entre xn e xn+1. Se a diferença for maior que o erro máximo aceitável, 
voltamos para o item 2, caso contrário, terminamos o processo iterativo e escolhemos o 
último valor obtido para a variável x como a solução do sistema.
27
2.4.2 Resolução do problema
Voltando ao problema das embalagens, queríamos que as dimensões do papelão satisfizessem 
estas duas equações:
f1 (x, y) = x · y - 216
f2 (x, y) = (x - 2) · (y - 2) · 2- 224
O método de Newton-Raphson necessita, além das equações a serem resolvidas, da matriz jaco-
biana, que nada mais é do que uma matriz que tem a derivada de todas as funções com relação 
a todas as variáveis do problema. A matriz jacobiana para o problema da embalagem fica assim:
Agora que temos as funções que representam as equações a serem solucionadas, e temos tam-
bém a matriz jacobiana, podemos escrever a equação iterativa do método de Newton-Raphson, 
que será dada por:
É importante notar que o último fator na equação acima é um vetor, não uma matriz. A única 
matriz que aparece na equação acima é a matriz jacobiana, que está elevada a menos 1.
Para encontrar a solução do sistema, começaremos o método a partir deste ponto inicial:
Utilizando esta condição inicial e a equação vista acima, chegamos à solução do sistema em 
apenas três iterações, como pode ser visto na Tabela 6.
xn f(xn) f' (xn) xn+1 Erro
(10, 30) (84, 224) (-1.2, 55.2) 25.2
(-1.20, 55.20) (-282.24, -564.48) (3.80, 50.20) 5.0
(3.80, 50.20) ( -25.04, -50.08) (4.34, 49.66) 0.54
(4.34, 49.66) ( -0.29, -0.58) (4.35, 49.65) 0.006
Tabela 6 - Evolução da solução do problema das embalagens pelo método da bissecção.
Elaborado pelo autor, 2015.
28 Laureate- International Universities
Cálculo Numérico
Vemos, portanto, que, para que o papelão satisfaça a restrição de área e volume que foram im-
postos pela empresa de embalagens, ele deve ter as seguintes dimensões: 4,35 cm × 49,65 cm.
Se começarmos a iterar o método de um outro ponto de partida, obtemos o resultado mostrado 
na tabela a seguir:
xn f(xn) f' (xn) xn+1 Erro
(30, 10) (84, 224) (55.20, -1.20) 25.20
(55.20, -1.20) (-282.24, -564.48) (50.20, 3.80) 5.00
(50.20, 3.80) (-25.04, -50.08) (49.66, 4.34) 0.54
(49.66, 4.34) (-0.29, -0.58) (49.65, 4.35) 0.0064
Tabela 7 - Evolução da solução do problema das embalagens pelo método 
da bissecção utilizando uma condição inicial diferente.
Fonte: Elaborado pelo autor, 2015.
Vemos que chegamos a outra solução. A solução é diferente, mas muito semelhante à anterior. 
A única diferença é que os valores estão trocados para as duas coordenadas. Como a restrição 
é somente para a área e para o volume, podemos trocar a ordem das coordenadas que a área 
e o volume continuam os mesmos. Portanto, as duas soluções que existem do ponto de vista ma-temático correspondem à mesma condição do ponto de vista prático.
CASO
Sistemas de Distribuição de Água é uma das áreas de aplicação dos métodos numéricos. Num 
sistema deste tipo, existem vários canos em conjunto com bombas, válvulas e reservatórios. Para 
resolver este tipo de problema é necessário conhecer a oferta de cada reservatório e a deman-
da nos vários nós existentes. Além disso, é necessário conhecer a limitação de fluxo nos vários 
elementos existentes. A solução consiste em determinar o fluxo que atenda a demanda sem que 
exceda a oferta dos reservatórios.
A partir destas variáveis e das limitações, monta-se um conjunto de equações não-lineares. A 
resolução deste sistema de equações pode ser obtida através de algum método numérico.
Este tipo de modelagem é utilizado atualmente em todo o mundo, inclusive no Brasil, onde os 
recursos hídricos já foram muito abundantes. Atualmente é necessário que estudos sejam feitos 
constantemente no intuito de se decidir ações para garantir o abastecimento atual e futuro.
Conhecemos, neste capítulo, vários métodos numéricos para solução de equações não-lineares. 
Vimos que alguns destes métodos podem ser utilizados também para a resolução de um sistema 
de equações. Vimos que cada método apresenta vantagens e desvantagens, não havendo um 
método único que deva ser utilizado sempre.
29
Síntese
Ao longo deste capítulo nós:
•	 Conhecemos alguns métodos para resolução de equações não-lineares.
•	 Vimos o método da bissecção que inicia com um intervalo, onde a função deve assumir 
valores com sinais contrários, e este intervalo é subdividido de tal forma que a função 
sempre assume valores contrários no intervalo onde se faz a busca.
•	 Conhecemos o método da falsa posição, que inicia com um intervalo onde a função 
deve assumir valores com sinais contrários. Traçamos, então, uma linha unindo os pontos 
extremos, e onde a reta cruzar o eixo das abscissas será a nova estimativa para a raiz da 
equação.
•	 Conhecemos o método da secante que se assemelha ao método da falsa posição, mas 
não exige que a função assuma valores com sinais contrários no intervalo inicial.
•	 Aprendemos o método de Newton-Raphson que se utiliza da derivada da função para 
poder encontrar a sua raiz. Este método costuma ter convergência mais rápida do que os 
demais métodos, mas pode não convergir para a solução quando a escolha inicial estiver 
distante da raiz da equação.
•	 Depois de vermos os métodos aplicados a problemas unidimensionais, vimos que estes 
métodos podem ser adaptados para problemas com mais de uma equação e mais de uma 
variável.
•	 Vimos o método da bissecção multidimensional, que pode encontrar várias soluções para 
o sistema de equações, mas sendo muito custoso.
•	 Conhecemos o método de Newton-Raphson multidimensional, que converge muito mais 
rapidamente que o método da bissecção, mas exige que se conheça a derivada de todas 
as funções com relação a cada uma das variáveis, além de conter a inversa de uma matriz.
Síntese
30 Laureate- International Universities
Referências
ARENALES, S., DAREZZO, A. Cálculo Numérico – Aprendizagem com Apoio de Software. 
Thompson Learning, 2008. 
BURDEN, R.L, FAIRES, J.D. Análise Numérica, Editora Pioneira, 2003.
FRANCO, N. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
HISTORY. Isaac Newton. Destaca-se em: Física, Matemática, Ciência. Disponível em: <http://
www.seuhistory.com/node/159791> Acessado em: 06/11/2015.
KRIESER, P. Inteligência analítica – Modelos não-lineares e Métodos estatísticos. Disponível 
em: <http://www.baguete.com.br/colunistas/colunas/51/paulo-krieser/18/07/2012/inteligen-
cia-analitica-modelos-nao-lineares-e-metodos>. Acessado em: 06/11/2015.
PEREIRA, E.G. MARIANI, V.C. Análise numérica do método de Newton para obtenção de 
zeros de funções. Disponível em: <http://www.pucpr.br/eventos/educere/educere2004/anai-
sEvento/Documentos/CI/TC-CI0034.pdf> Acessado em: 06/11/2015.
QUARTERONI, A., SALERI, F. Cálculo Científico com Matlab e Octave. Springer-Verlag, 2007.
RUGGIERO, M.A.G. e LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico, Aspectos Teóricos e Computacio-
nais. São Paulo. McGraw-Hill, 1988.
Bibliográficas