Funções hiperbólicas

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Funções hiperbólicas
- Origem das funções hiperbólicas
O que é um ângulo hiperbólico? É uma nova maneira de definir a medida de um ângulo usando uma hipérbole no lugar de uma circunferência.
Vamos estabelecer um paralelo entre o ângulo medido em relação à circunferência e o medido em relação à hipérbole.
Ângulo medido em relação à circunferência
Considere a circunferência x2 + y2 = 1 
Ângulo medido em relação à hipérbole
Considere a hipérbole x2 – y2 = 1
Quais são as equações reduzidas da hipérbole usadas nas definições das funções hiperbólicas ?
As equações reduzidas mostradas abaixo são equivalentes.
As equações da mesma curva são obtidas realizando uma rotação de   / 4 dos eixos coordenados.
Qual é a medida do ângulo hiperbólico ?
Cálculo da área (em amarelo) do setor hiperbólico.
Girando a figura de  / 4 
Cálculo da área entre o arco de hipérbole e o eixo OX desde x1 até x2;
Como a medida do ângulo corresponde ao dobro da área do setor hiperbólico, temos:
Como são definidas as funções hiperbólicas ?
Considere o ponto M da hipérbole e o ângulo  do setor hiperbólico mostrados na figura.
As funções hiperbólicas são definidas de forma semelhante à usada para definir as funções trigonométricas no círculo.
A figura mostra a representação gráfica do:
cosseno hiperbólico – cosh
seno hiperbólico – senh
tangente hiperbólica – tgh
Podem ser definidas ainda as funções:
cotangente hiperbólica – cotgh
secante hiperbólica – sech
cossecante hiperbólica -cossech
 
Quais são as fórmulas para cosh  e senh  ?
Consideremos a hipérbole referenciada a eixos de simetria (em preto) x2 – y2 = 1 e a eixos assintóticos (em vermelho) y.x = 1/2.
Vamos calcular as coordenadas dos ponto M e A em relação aos eixos assintóticos.
Sabemos que o ângulo hiperbólico vale:
 
Quais são as fórmulas para tgh  e cotgh  ?
 
Quais são as fórmulas para sech  e cossech  ?
 
Como são definidas as funções hiperbólicas inversas ?
Quais são as fórmulas para cosh-1 q e senh-1 q ?
 
Quais são as fórmulas para tgh-1 q e cotgh-1q ? 
 
Quais são as fórmulas para sech-1 q e cossech-1 q  ?
Propriedades das Funções Hiperbólicas:
- Cosh²(x) – senh²(x) = 1.
- Senh(x + y) = senh(x)cosh(y) + cosh(x)senh(y).
- Cosh(x + y) = cosh(x)cosh(y) + senh(x)senh(y)
- Senh(2x) = 2senh(x)cosh(y)
- Cosh(2x) = cosh²(x) + senh²(x)
Derivadas das funções hiperbólicas
Representação das funções hiperbólicas inversas
y = senh-1 x ou y = arc senh x
Cálculo da derivada de y = senh x
Cálculo da derivada de y = cosh x
Cálculo da derivada de y = tgh x
Cálculo da derivada de y = cotgh x
Cálculo da derivada de y = sech x
Cálculo da derivada de y = cossech x
Tabela das derivadas das funções hiperbólicas
Resumo
	Funções
	Derivadas
	y = senh x
	y’ = cosh x
	y = cosh x
	y’ = senh x
	y = tgh x
	y’ = sech2 x
	y = cotgh x
	y’ = – cossech2  x
	y = sech x
	y’ = – sech x.tgh x
	y = cossech x
	y’ = – cossech x.cotgh x
Cálculo da derivada de y = senh-1 x
Cálculo da derivada de y = cosh-1 x
Cálculo da derivada de y = tgh-1 x
Cálculo da derivada de y = cotgh-1 x
Cálculo da derivada de y = sech-1 x
Cálculo da derivada de y = cossech-1 x
Tabela das derivadas das funções hiperbólicas inversas
Resumo
Integrais das funções hiperbólicas
sen hx dx = cos hx + C 
cos hx dx = sen hx + C
sec h²x dx = tg hx + C
csc h²x dx = -cotg hx + C
sec h axdx = 2\a arctge^ax + C
csc hx ctghx dx = -csc hx + C
csc h ax dx = 1\a ln tg h ax\2
tg h ax dx = 1\a ln cosh ax + C
cotg h ax dx = 1\a ln sen h ax + C