Aulas T06 Altimetria-Nivelamento Geometrico - Prof. Luis Gomes

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IAD186 
 
 
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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
IAD186 – TOPOGRAFIA ‐ Prof Luis Gomes Carvalho                                                              20/09/2012        p2 
 
As altitudes no Brasil são determinadas a partir da Rede Altimétrica Brasileira ou RRNN (plural de 
RN - Referência de Nível) – são marcos topográficos com altitude conhecida implantados por todo 
território nacional pelo IBGE, utilizando o nivelamento geométrico de precisão ou de alta precisão. 
A determinação do valor da cota ou da altitude está baseada em métodos que permitem obter o 
desnível ou diferença de nível entre 2 pontos na superfície terrestre. Daí a necessidade de uma 
Referencia de Nível (RN) para o cálculo da cota ou da altitude de um ponto. 
 
 
 
 
 
 
Segundo ESPARTEL (1982), o levantamento altimétrico ou nivelamento tem por finalidade a 
determinação da distancia vertical ou diferença de nível entre os pontos topográficos. Os métodos 
empregados para a determinação dos desníveis são classificados em ordem decrescente de 
precisão em: 
I - Nivelamento geométrico; 
II - Nivelamento Trigonométrico; 
III - Nivelamento Taqueométrico, e; 
IV - Nivelamento Barométrico. 
Atualmente o GPS também tem sido empregado no nivelamento topográfico, permitindo obter 
precisão igual ou superior a obtida pelo nivelamento trigonométrico. 
I - Nivelamento geométrico: 
“nivelamento que realiza a medida da diferença de nível entre pontos no terreno por intermédio de 
leituras correspondentes a visadas horizontais, obtidas com um nível, em miras colocadas 
verticalmente nos referidos pontos.” ABNT(1994). 
- os níveis de pedreiro e de mangueira d’água se equiparam a precisão deste método. 
I.1. Mangueira d´água (Modificado de Moreira, 1987): 
- 2 réguas graduadas em mm; 
- mangueira transparente com diâmetro interno maior que 10mm; 
- parede semi-rígida, e água, preferencialmente com corante; 
- a leitura do menisco deve ser feita sempre na cota inferior; 
- não deve estar dobrada, furada e as extremidades devem estar desobstruídas; 
Transporte de RN: é realização do 
nivelamento desde uma RN conhecida 
até um Ponto (P) do qual se deseja 
saber a altitude. 
IAD186 
 
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2012        p7
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36) 
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Nivelamento e Contranivelamento: 
RN1 = 50,000m RN2 = 48,316m Perímetro = 500m Erro tolerável = 50mm √0,5 = 35mm 
 
NIVELAMENTO CONTRANIVELAMENTO ∆h 
Ponto Ré Vante ∆h Ponto Ré Vante ∆h médio 
RN1 1,254 0,269 RN2 2,631 2,291 0,268 1 0,985 8 0,340 
1 1,002 0,444 8 2,887 1,581 0,443 2 0,558 7 1,306 
2 3,221 2,219 7 3,654 3,330 2,217 3 1,002 6 0,324 
3 2,568 0,210 6 1,569 0,079 0,207 4 2,358 5 1,490 
4 2,668 2,441 5 0,339 -2,445 2,443 5 0,227 4 2,784 
5 1,258 -0,081 4 2,008 -0,204 -0,080 6 1,339 3 2,212 
6 0,258 -3,326 3 1,006 -2,215 -3,328 7 3,584 2 3,221 
7 1,569 -1,578 2 0,774 -0,442 -1,580 8 3,147 1 1,216 
8 0,265 -2,293 1 1,025 -0,267 -2,292 RN2 2,558 RN1 1,292 
∑ -1,695 1,708 -1,702 
∆h = L.ré – L.vante ∆h médio = (|∆h1-2| + |∆h 2-1|) / 2 ∑∆h médio = (|∑1| + |∑2|) / 2 
∆h RN2–RN1 = RN2 – RN1 = 50,000 – 48,318 = - 1,684m RN2calculado = RN1 + ∑∆h médio = 50 – 1,702 = 48,298m 
Erro = RN2calculado - RN2 = 48,298 - 48,316 = - 0,018m Correção = Erro / n° de lances = 0,018 / 9 = +0,002 
Correção das ∆h médias Correção da Cotas Calculadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(Modificado de Madureira, 2007) 
 
 
∆h Cota Correção Cota 
médio Calculada do erro Corrigida 
0,268 50,268 +0,002 50,270 
0,443 50,711 +0,004 50,715 
2,217 52,928 +0,006 52,934 
0,207 53,135 +0,008 53,143 
2,443 55,578 +0,010 55,588 
-0,080 55,498 +0,012 55,510 
-3,328 52,170 +0,014 52,184 
-1,580 50,590 +0,016 50.606 
-2,292 48,298 +0,018 48,316 
-1,702 
∆h Correção ∆hm Cota 
médio do erro corrigido Corrigida 
0,268 +0,002 0,270 50,270 
0,443 +0,002 0,445 50,715 
2,217 +0,002 2,219 52,934 
0,207 +0,002 0,209 53,143 
2,443 +0,002 2,445 55,588 
-0,080 +0,002 -0,078 55,510 
-3,328 +0,002 -3,326 52,184 
-1,580 +0,002 -1,578 50,606 
-2,292 +0,002 -2,290 48,316 
-1,702 -1,684 
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INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
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Compensação do erro cometido 
 A compensação do erro se faz, normalmente nas visadas de ré, distribuindo o erro de modo a 
compensá-lo integralmente, para isso temos que ter o cuidado no seu sinal. A correção terá que ser 
sempre de sinal contrário ao erro. 
Vantagens do nivelamento geométrico (Madureira, 2007): 
 - O método é mais preciso, pois o equipamento por construção garante o plano horizontal, 
dispensando a medida de inclinação da luneta (no caso do teodolito); 
- Cálculo simples; 
- Apresenta rapidez de execução no campo; 
- Equipamento significativamente mais barato; 
- Sendo rápido, simples e com equipamento barato, conseqüentemente, o método é barato. 
 
Erros dos Nivelamentos Decorrentes dos Efeitos da Curvatura ou Esfericidade e da Refração 
Atmosférica 
Erro da Curvatura ou Esfericidade Terrestre (e) 
Considerando o caso do nivelamento, quanto mais distantes os pontos topográficos de interesse, 
maior será a influência da curvatura terrestre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e  é  sempre  positivo,  pois  o 
Datum  vertical  se  encontra 
abaixo do plano horizontal. 
→    R² + AB² = R² + 2 Re + e²  
e 
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e e
e 
e
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Erro da refração atmosférica (cr) 
 
“Os instrumentos utilizados para levantamentos topográficos, sejam eles mecânicos ou eletrônicos, 
possuem componentes óticos que permitem visualizar claramente os alvos de interesse (B). Os raios 
visuais que “partem do instrumento” (E) e vão até os pontos visados (B) – ao contrário do que se 
imagina – não seguem uma linha reta (EB’). Eles sofrem um desvio ao passar de forma oblíqua pela 
atmosfera e acabam descrevendo uma parábola (EB). Este fenômeno físico é denominado de 
refração atmosférica e influencia as leituras nas miras e, conseqüentemente, a determinação das 
cotas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*depende das características físicas instantânea da atmosférica. 
 
A cota observada (B’) apresenta valor 
superior ao valor verdadeiro (B). 
R  R
r 
α
Superfície 
Topográfica  
Datum 
Z 
Z1 
E 
B
B’
E1
cr
Z < Z1 
Z1 – Z = r  
r = n (α / 2) 
α = (EE1/R) ~ (EB/R)  
r = n (EB / 2R) = cr/EB 
cr = n (EB²/2R) 
cr = correção de refração
Z = ângulo zenital observado 
Z1 = ângulo zenital verdadeiro 
R = raio médio da Terra = 6.370km 
r = (ângulo de refração) 
n = (índice de refração) * 
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Correção conjunta de esfericidade e refração: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D (km) 0,4 1 2 4 8 15 20 
e (m) 0,01 0,08 0,31 1,26 5,02 17,66 31,4 
Cr (m) 0,00 0,01 0,05 0,20 0,80 2,83 5,02 
(e – Cr) m 0,01 0,07 0,26 1,06 4,22 14,83 26,38 
Modificado de notas de aula de Guimarães (UFRRJ) 
 
Nota-se que para grandes distâncias o erro não pode ser desprezado; entretanto, pode-se anular o 
seu efeito instalando o nível a igual distância dos pontos a nivelar. 
 
 
∆h real
e
Segundo McCormac: 
Cr = 0,011m/km 
e = 0,0785m/km  
e ‐ Cr = 0,0675m/km 
Z
Z1
E 
B
B
E1
cr
Superfície 
Topográfica  
Datum 
α
r 
R  R
 
∆h real = ∆h observado + e - cr 
 
Plano 
HorizontalUNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
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II - Nivelamento Trigonométrico: 
O nivelamento trigonométrico baseia-se na resolução de um triângulo retângulo. Para tanto, é 
necessário coletar em campo, informações relativas à distância (horizontal ou inclinada), ângulos 
(verticais, zenitais ou nadirais), além da altura do instrumento e do refletor. 
 
 
 
 
 
 
DHAB = di senZ 
∆hAB = (cotgZ x DH) + hi – hs 
∆hAB = (tg β x DH) + hi – hs 
Cota B = Cota A + ∆hAB 
Exercício: 
Determinar o desnível entre um marco geodésico localizado na praça pública e uma colina. Os dados 
coletados no campo são os seguintes. 
Dados: 
Di = 124,32 m 
Z = 81˚ 10’ 25” 
hi = 1,45 m 
hs = 1,67 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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II.1. - Nivelamento Trigonométrico por Visadas Unilaterais 
O ponto A é conhecido e a diferença de altura para o ponto B é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DNAB = D  cos Z + hi − hp + CE − CR  
HB = HA + D  cos Z + hi − hp + CE − CR 
A correção da esfericidade e da refração atmosférica é dada, respectivamente por: 
CE = (D² /2R)     e     CR = ‐ (D² /2R) k, k é o coeficiente de refração (0,013).      
 CER = (D² /2R) (1‐k) 
É  um método  rápido  para  obtenção  de  diferença  de  nível  entre  pontos  em  terrenos  com  grandes 
inclinações e áreas montanhosas, sendo mais indicado para curtas distâncias. Para longas distâncias o 
método com visadas zenitais recíprocas e simultâneas deve ser utilizado. (MOREIRA, 2003) 
 
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II.2. Nivelamento Trigonométrico por Visadas Recíprocas 
“Com o método de observações recíprocas observando ângulos verticais com dois teodolitos 
operando simultaneamente, consegue-se anular o efeito da curvatura e atenuar os efeitos da 
refração. Este método é mais exato, no entanto sua aplicação fica limitada a situações em que é 
possível instalar o instrumento no ponto observado.” 
 
II.3. Nivelamento Trigonométrico por Leap-frog (Visadas Unilaterais) 
O "Leap-frog" é uma forma de conduzir o nivelamento com visadas unilaterais sem, no entanto, ter 
de medir a altura do instrumento nem fazer as correções da curvatura e da refração e, 
consequentemente, sem acrescer os erros advindos dessas operações. O equipamento é 
estacionado entre os pontos a serem nivelados de modo semelhante ao nivelamento geométrico, 
sempre "saltando", os pontos nivelados, daí o nome “Leap-frog”. (MOREIRA, 2003) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DNAB = |DNOA' | + hA + DNOB' – hB 
Ajustando os 2 prismas com a mesma altura: hA = hB, teremos: 
DNAB = |DNOA'|  + hA + DNOB' – hA                           DNAB = |DNOA' | + DNOB' 
Sabemos que: DNOA' (‐) = DA  cos ZA + CCA – CRA   e DNOB' (+)  = DB  cos ZB + CCB − CRB 
HB = HA − DA  cos ZA + DB  cos ZB 
O contra nivelamento pode ser efetuado junto com o nivelamento. Ao se efetuar a leitura a ré do 
ângulo horizontal da poligonal, aproveita-se para medir a distância e o desnível novamente. 
 
IAD186 –
 
II.4. - Nive
Vantagens
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III. Nivelam
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       20/09/2
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∆H = AI + DV
tg β = DV / D
tg β = 90˚ ‐ Z
DV = tg β x D
tg β x DH) + A
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2012        p15
 
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medições 
V – FM 
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Z 
DH  
AI – FM 
+ AI – FM  
+ ∆H  
5 
por 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL ‐ ICADS 
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Exercícios 
Dada a cota do ponto A = 50,000m, calcule as cotas dos pontos visados. 
 
EST Ai P.V LS LM LI Zenital β DN Cotas(Z) 
A 1,558 1 2,732 2,00 1,268 93°10’40” 3°10’40”(-) 8,545(-) 91,455 
 2 2,416 2,00 1,584 86°27’35” 3°32’25”(+) 4,686(+) 104,686 
 3 2,544 2,00 1,456 87°13’30” 2°46’30”(+) 4,819(+) 104,819 
 4 2,816 2,00 1,184 92°10’40” 2°10’40”(-) 6,639(-) 93,361 
 5 2,365 2,00 1,635 94°18’30” 4°18’30”(-) 5,911(-) 94,089 
 6 2,482 2,00 1,518 95°14’50” 5°14’50”(-) 9,221(-) 90,779 
 
Vantagens do nivelamento taqueométrico (Madureira, 2007): 
 - O equipamento utilizado é mais barato do que a estação-total utilizada no trigonométrico. 
 Nota: Esse é o método menos preciso de todos. 
 
IV. Nivelamento Batométrico: 
Baseia-se na diferença de pressão com a altitude: tem como principio que, para um determinado 
ponto da superfície terrestre, o valor da altitude é inversamente proporcional ao valor da pressão 
atmosférica. 
Permite obter valores em campo que estão diretamente relacionados ao nível médio dos mares. 
 
Altímetro Analógico Altímetro Digital 
 
 
 
 
 
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V. Nivelamento por GPS: 
 
H = h + N 
h = altura ortométrica 
H = altura geométrica 
N = ondulação geoidal 
 
 
Situações admitidas para a Ondulação Geoidal (N) 
 
 
 
1) H = h - N 
 
 
 
 
 
 
2) H = h - N 
 
 
 
 
 
3) H = h - N 
 
 
 
 
 
4) H = h - N 
 
H
h
N
Superfície Real da Terra 
Geóide (NMM) 
Elipsóide 
H‐
h+
N+
Superfície Real da Terra 
Geóide (NMM) 
Elipsóide 
H‐
h‐N‐
Superfície Real da Terra 
Geóide (NMM) 
Elipsóide 
H+
h‐
N‐
Superfície Real da Terra 
Geóide (NMM) 
Elipsóide 
Elipsóide
Geóide (NMM) 
N +
H = hh+
N = 0
Superfície Real da Terra 
H + N ‐
H + h+