Aula 9 e 10 Altimetria Nivelamentos Geométrico e Trigonométrico

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Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia de Transportes
Aula 9 – Levantamentos Altimétricos
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A Altimetria trata de métodos e instrumentos topográficos empregados no estudo e na representação do relevo do terreno.
Altimetria ou hipsometria
Aula 09 – Levantamentos Altimetricos
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As medidas são efetuadas considerando um plano vertical, obtendo-se distâncias verticais ou diferenças de níveis, entre os vários pontos da superfície terrestre em relação a uma superfície horizontal de referência.
Altimetria ou hipsometria
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O plano horizontal de referência para os trabalhos de nivelamento é o nível médio do mar (verdadeiro). Ou seja, é o plano horizontal que guarda a mesma distância do nível médio do mar ao centro de massa da Terra.
Altimetria ou hipsometria
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Aplicações da Altimetria:
 Obras de terraplenagem;
 Projetos de redes de água e esgoto;
 Projeto de estradas;
 Planejamento urbanos e de transportes;
 outros.
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O trabalho de transferência do nível do mar para outros locais é de grande responsabilidade, e é geralmente realizado por empresas/instituições especializadas.
Altimetria ou hipsometria
Referências de níveis (RN) - podem ser encontrados nas estações de estradas de ferro, nas praças centrais de cidades, nos reservatórios de água, etc.
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Modelos de Marco de Referência de Nível:
Altimetria ou hipsometria
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Em alguns casos particulares pode-se fixar uma referência de nível arbitrária (aparente), escolhendo-se neste caso um valor qualquer para um dado plano, tomado como origem, para o trabalho.
Altimetria ou hipsometria
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É a distância vertical entre um ponto na superfície da terra e a superfície de nível correspondente ao nível médio do mar.
Altitude
Altitude
Nível Médio do Mar - NMM
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É a distância vertical entre um ponto na superfície da terra e uma superfície de nível qualquer.
Cota
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As medições das diferenças de alturas entre pontos são realizadas em relação a uma superfície de comparação que é a superfície de nível.
Diferença de nível (DN)
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É real, ou verdadeira, quando o ponto medido é relativo ao nível médio dos mares.
Diferença de nível (DN)
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Diferença de nível (DN)
(Nível arbitrado)
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 É o erro relativo entre a diferença de nível real e aparente.
 Este erro sempre existe pois as medições são realizadas sobre a superfície curva e as comparações são realizadas sobre o plano.
Erro de nível aparente
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Diferença entre o nível real e aparente:
Erro de nível aparente
Superfície de 
nível aparente
Superfície de 
nível verdadeira
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O valor do erro “e” é muito pequeno quando comparado com o raio da Terra.
Erro de nível aparente
Para COMATRI, 1987, este erro pode ser expresso por:
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 Nas aplicações práticas de nivelamento, considera-se sem efeito o erro de nível aparente inferior a 1 mm, ou seja, para distâncias entre visadas menores do que 120 m.
Erro de Refração
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 O valor do erro é reduzido devido a refração atmosférica.
 O ponto visado deixa de ser o ponto (a) e passa a ser o ponto (i), reduzindo assim o erro de nível aparente.
Erro de Refração
 Este erro ocorre devido ao desvio do raio luminoso. 
 Ao atravessar as diversas camadas atmosféricas, quando se faz uma visada de um ponto ao outro, o raio luminoso segue uma trajetória curva, em vez de uma linha reta
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 O raio visual segue a direção “Ai”, e não “Aa”.
 Conforme COMASTRI (1987),
o erro de refração pode ser dado por:
Erro de Refração
onde,
L = distância entre os pontos;
R = raio da terra
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É o quociente, ou a relação, entre a distância vertical e a distância horizontal. 
Declividade
DH = 100m
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A declividade também pode ser dada pela diferença 
de cotas entre os pontos:
Declividade
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É geralmente expressa em “%”, ou pode ser apresentada em ângulo de inclinação ():
Declividade
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É o conjunto de operações realizadas com o objetivo de determinar a altura de um ponto em relação a um Plano de referência.
Nivelamento
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Níveis: Instrumentos empregados nos trabalhos de nivelamento
Instrumentos para o Nivelamento
Os níveis são classificados em duas categorias:
 Níveis com plano de visada na horizontal;
 Níveis com plano de visada com movimentos 
 ascendente ou descendente
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Plano de visada horizontal:
Instrumentos para o Nivelamento
Nesta categoria, os instrumentos, ao serem girados em torno de seu eixo vertical, devidamente ajustado, descrevem sempre um plano horizontal.
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Plano de visada com inclinação:
Instrumentos para o Nivelamento
Esses níveis permitem o afastamento do plano de visada em relação à sua horizontal, possibilitando medir ângulos verticais
Clinômetros:
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Plano de visada com inclinação:
Instrumentos para o Nivelamento
Teodolitos e Estações Totais:
O aparelho, depois de materializar um plano horizontal
 por meio dos níveis de bolha, aplica-se a técnica de 
nivelamento trigonométrico.
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Mira vertical: são feitas de madeira ou metalon, reforçada nas extremidades por guarnições metálecas, e geralmente são graduadas em centímetros 
Nivelamento - Acessórios
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Barômetros e altímetros: são instrumentos que medem a variação de pressão atmosférica e relacionam essas medidas a variações de altitude.
 Tipos mais utilizados são os 
altímetros e aneroides, de 
baixa e média precisão, podendo 
avaliar diferenças de nível da 
ordem de até 1 metro.
Nivelamento
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GPS: são equipamentos que permitem obter a altitude geométrica de pontos, por sistemas de navegação por satélite.
 Princípio básico: para determinação de pontos na superfície terrestre, a partir de observações de receptores de satélite (GPS), são medidas as distâncias entre a estação recepção e no mínimo 04 satélites artificiais. 
Partindo-se das coordenadas 
conhecidas dos 04 satélite, em dado
 instante, calculam-se as 
coordenadas da estação.
Nivelamento
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Nivelamento Barométrico
Nivelamento Geométrico
Nivelamento Trigonométrico
Tipos de nivelamento
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 A diferença de nível entre pontos é determinada através da medição da diferença de pressão atmosférica entre os pontos.
  É um método simples e normalmente é aplicado em levantamentos expeditos. 
Nivelamento Barométrico
 A precisão deste método não atende à precisão exigida nos trabalhos geodésicos.
 É baseado na relação existente entre a altitude do ponto e a pressão atmosférica no mesmo.
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 Quanto maior a altitude do ponto, menor é a pressão atmosférica no mesmo.
Nivelamento Barométrico
 Em média, 1mm na variação da pressão atmosférica corresponde a uma diferença de altitude da ordem de 11 metros.
 A utilização de barômetros de precisão de décimo de milímetros, garantevalores de altitude da ordem de 1 metro.
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É o método que realiza as operações de nivelamento, segundo visadas horizontais.
Utiliza aparelhos chamados de níveis.
Nivelamento Geométrico
Nível LEICA NAK2
Nível Digital
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O nível pode ser instalado em qualquer lugar, fora dos pontos a serem nivalados, pois as leituras são feitas na interseção do plano horizontal (eixo ótico do nível) com a mira verticalizada no ponto observado.
Nivelamento Geométrico
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mira
Lr
Lv
PR
60 m
60 m
(Máximo = 80 m)
Posicionar o nível equidistante dos pontos a serem nivelados, para compensar os efeitos da curvatura terrestre e da refração atmosférica, além de melhorar a exatidão do levantamento por facilitar a leitura da mira 
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 O porta-mira deverá colocar a mira sobre os pontos notáveis do terreno 
(pontos que representam 
fielmente o terreno).
Nivelamento Geométrico
 A precisão de um nivelamento geométrico é função dos cuidados a serem tomados na execução das leituras de ré e a última visada de vante (ponto de mudança) em cada estação.
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1. Simples
2. Composto
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 Diz-se que um nivelamento é simples quando o nível é instalado única vez para a realização do nivelamento. Ou seja, não há necessidade da mudança do instrumento.
Nivelamento Geométrico Simples
 De uma única estação pode-se visar um, ou mais pontos, e por diferença de leitura de mira, obtêm-se a(s) diferença(s) de altura(s) entre o(s) ponto(s).
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Uma aplicação típica de um nivelamento simples pode ser dada no nivelamento de um lote para uma construção de uma casa simples, por exemplo.
Nivelamento Geométrico Simples
(leitura na mira)
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PR = plano de referência	 DN = diferença de nível
CA = cota do ponto A	 CB = cota do ponto B
 Lr = leitura a ré (campo) Lv = leitura a vante (campo)
Nivelamento Geométrico Simples
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A leitura de ré (Lr) corresponde àquela feita para um ponto de altitude conhecida ou arbitrada (cota).
A leitura de vante (Lv) é aquela realizada num ponto onde se deseja determinar a sua cota ou altitude.
Nivelamento Geométrico Simples
PR = CA + Lr
PR = Plano de Referência:
CB = PR - Lv
 CB = cota do ponto B
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Nivelamento Geométrico Simples
PR = CA + LR (CA é conhecido) 
CB = PR – LVb
CC = PR – LVc
CD = PR – LVd
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Nivelamento Geométrico Simples
PR = CA + LR = 100m + 2,345m = 102,345m
CB = PR – LVb = 102,345m – 1,756m = 100,589m
CC = PR – LVc = 102,345m – 1,478m = 100,867m
CD = PR – LVd = 102,345m – 0,389m = 101,956m
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Exemplo de Caderneta de Campo (m):
Nivelamento Geométrico Simples
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Estaca
Ré
PR
Vante
Cotas
A
B
C
D
2,345
1,756
1,478
0,389
100,0
102,345
100,589
100,867
101,956
Nivelamento Geométrico Simples
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Diz-se que um nivelamento é composto quando há necessidade de mudança na posição do nível para possibilitar a leitura da mira nos vários pontos notáveis.
Nivelamento Geométrico Composto
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PR2 = CC + LRC
CD = PR2 – LVd
PR1 = CA + LR
CB = PR1 – LVb
CC = PR1 – LVc
Na verdade um nivelamento geométrico composto é a união de dois ou mais nivelamentos geométricos simples. 
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 A diferença principal reside no fato que SEMPRE haverá um ponto de ligação entre dois nivelamentos simples, o chamado ponto de mudança.
 A leitura a vante realizada nesse ponto, será chamada de vante de mudança e para que haja a ligação entre um nivelamento simples e o próximo.
 A leitura a ré SEMPRE deverá ser feita para este ponto de mudança, onde foi realizada a leitura da vante de mudança da estação anterior.
Leitura da vante 
de mudança
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Estaca
Ré
Vante
PR
Cota
A
B
C
D
500,000
1,231
501,231
0,267
500,964
503,551
2,587
2,396
501,155
2,433
501,118
CA = 500,000
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Estaca
Ré
Vante
PR
Cota
A
B
C
D
500,000
1,231
501,231
0,267
500,964
503,551
2,587
2,396
501,155
2,433
501,118
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 No caso de poligonais fechadas, o erro é dado pela diferença entre as cotas inicial e final do ponto de origem.
 No caso de poligonais abertas, para se determinar o erro proveniente de um nivelamento geométrico, se aplica o processo de medições duplas.
Precisão do Nivelamento Geométrico
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Na maioria dos nivelamentos as poligonais são do tipo aberta. Pelo método das observações duplas, faz-se o nivelamento do trecho num sentido, e realiza o caminho de volta por outro trecho, e se possível por outro operador.
Precisão do Nivelamento Geométrico
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 A diferença de nível encontrada entre os pontos extremos do trecho, na ida, é comparada com a diferença entre esses mesmos pontos, na volta, resultando no erros residual cometido no trecho.
Precisão do Nivelamento Geométrico
 Nos casos, onde o nivelamento é composto por vários trechos, inicialmente determina-se o erro para cada trecho, podendo-se avaliar o erro havido no conjunto, englobando todos os trechos.
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 Quando o trecho a ser nivelamento é pequeno (< 1 Km), efetua-se o trabalho de ida e volta como um só trecho. 
Precisão do Nivelamento Geométrico
 Quando o trecho a ser nivelado é grande (> 1 Km), deve-se dividir o comprimento em trechos menores, fazendo o seu respectivo contra-nivelamento em cada um dos trechos subdivididos do total, como se fossem independentes.
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Um erro abaixo dos limites de tolerância indica que provavelmente o nivelamento foi bem feito, mas não garantidamente.
Um erro acima dos limites de tolerância indica que o nivelamento não deve ser aceito e o trabalho deve ser refeito.
Precisão do Nivelamento Geométrico
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1. Para trecho único
Sendo “d” a diferença entre os desníveis obtidos no nivelamento e no contra-nivelamento, pode-se obter o valor mais provável dessa diferença de nível, através do desvio padrão e do erro padrão da média.
Precisão do Nivelamento Geométrico
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Pode-se obter o valor mais provável das diferenças entre os níveis, através do desvio padrão e do erro padrão da média:
d = a diferença entre os desníveis
n = número de nivelamentos
Precisão do Nivelamento Geométrico
1. Para trecho único
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Para o caso de medições duplas, n=2 e os desvios não serão em relação a média, motivo pelo qual d passará a ser D, para diferenciar. Deste modo, 
D = diferença entre os desníveis  em mm
L = comprimento do trecho nivelado  em Km
Precisão do Nivelamento Geométrico
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O erro padrão da média, que permite estimar o valor mais provável e o grau de confiabilidade do trabalho, é dado por: 
Para o caso de observações duplas: 
Obs: Obtêm-se o resultado em 
mm/Km
Precisão do Nivelamento Geométrico
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Uma vez determinado o erro cometido em cada trecho, ou no conjunto de trechos, para julgar-se o nivelamento, compara-se o referido erro com o limite de tolerância, já previamente calculado.
Limites de Tolerância
A ABNT (1994) classifica os níveis, quanto à precisão, nas seguintes categorias:
ClasseI : Precisão baixa e desvio padrão > ± 10 mm/km;
Classe II : Precisão média e desvio padrão ≤ ± 10 mm/km;
Classe III: Precisão alta e desvio padrão ≤ ± 3 mm/km;
Classe IV: Precisão muito alta e desvio padrão ≤ ± 1 mm/km.
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Classe I N Geométrico: extensão máxima = 10 km; lance máximo = 80m; lance mínimo = 15m:
Limites de Tolerância
Classe III N Geométrico: extensão máxima = 5 a 10 km; lance máximo = 330 a 500m; lance mínimo = 30 a 40m:
Classe II N Geométrico: extensão máxima = 10 km; lance máximo = 80m; lance mínimo = 15m:
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Classe IV N Geométrico: extensão máxima = 2 a 5 km; lance máximo = 150m; lance mínimo = 30m:
Limites de Tolerância
Algumas recomendações para evitar a ocorrência e a 
propagação dos erros sistemáticos de um nivelamento 
geométrico:
 comprimentos iguais das visadas de ré e vante;
 evitar visadas com mais de 100m (ideal 60m);
 realizar visada acima de 20 cm do solo para evitar a reverberação;
 utilizar miras aos pares, alternando a ré e a vante;
 posicionar as miras sobre chapas ou pinos, e no caminhamento,
 sobre sapatas.
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EXERCÍCIO: 
Foi realizado um levantamento entre os pontos A e B, obtendo-se a diferença de nível igual a 2,325 metros. Ao se fazer o contra-nivelamento obteve-se para estes pontos a diferença de nível igual a 2,331 metros. Sabendo que o referido trecho tem um comprimento igual a 500 metros, pede-se:
 O erro cometido no trecho
 A comparação com os limites de tolerância de acordo com a NBR 13.133
 O nivelamento poderá ser aceito ou não?
Aula 09 – Levantamentos Altimétricos
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SOLUÇÃO: 
1) Valor do erro cometido no trecho (valores dados):
EXERCÍCIO: 
Aula 09 – Levantamentos Altimétricos
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SOLUÇÃO: 
Cálculo do desvio padrão da média:
Limite de tolerância pela NBR 13.133
Obs: O trabalho de nivelamento pode ser aceito, uma vez que o erro cometido é inferior ao valor limite aceito pela norma.
EXERCÍCIO: 
Aula 09 – Levantamentos Altimétricos
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2. Para mais de um trecho:
 Quando a distância nivelada é relativamente grande, costuma-se dividir o comprimento total em trechos, que podem ter comprimentos iguais, ou não.
 Esta divisão é feita para evitar o acúmulo excessivo dos erros, podendo-se assim serem melhor controlados e refeitas as medições que apresentarem erros acima do limite de tolerância.
 Recomenda-se estabelecer RNs a cada quilômetro para realizar o nivelamento e o contra-nivelamento para o controle da operação.
Precisão do Nivelamento Geométrico
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 Se os comprimentos dos trechos forem iguais, as diferenças D corresponderão a observação de igual peso e portanto será similar ao caso de um único trecho.
Precisão do Nivelamento Geométrico
2. Para mais de um trecho:
 Pela propagação dos erros, o erro médio aumenta em função da raiz quadrada da distância, e chamando de nt (número de trechos), temos:
erro médio da média
*
Nivelamento para construção de uma estrada
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Nivelamento de um campo de futebol
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A diferença de nível entre pontos é dada através da resolução de triângulos situados em planos verticais que passam pelos pontos cuja diferença de nível se deseja estimar.
Aula 10 – Levantamentos Altimétricos
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É menos preciso que o nivelamento geométrico, pois depende da precisão da medição angular. Assim,	um pequeno erro na medição do ângulo provoca um sensível erro na diferença de nível.
Aula 10 – Levantamentos Altimétricos
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FORMULAS GERAIS:
Este método baseia-se na resolução de um triângulo retângulo, 
(ver figura 1), para a determinação da Diferença de Nível (DN) 
entre um ponto ´A´ e um ponto ´B´, pela visada no prisma através
da Estação Total (C).
Aula 10 – Levantamentos Altimétricos
a = altura do aparelho;
h = altura trigonométrica;
a.v. = altura visada;
dincl = dist. inclinada;
dhoriz = dist. horizontal;
Z = ângulo vertical zenital;
DNAB = diferença de nível entre 
o ponto estação (A) e o ponto 
visado (B)
*
Dincl
*
Visada de um ponto de altura igual a altura do instrumento,
sendo medido o ângulo de inclinação:
Ângulo Vertical de Inclinação / Distância horizontal:
*
Ângulo Vertical de Inclinação / Distância horizontal:
Visada ascendente:
Visada descendente:
ou,
*
Exemplo: Altura de uma edificação
α = ângulo de inclinação:
a
*
DNAB + a.v. = h + a (1)
onde, 
a.v. = altura visada;
h = altura trigonométrica = DOC (inclinada) . cos(z); 
a = altura do aparelho; 
 
fica,
DNAB = [DOC (inclinada) . cos(z)] + a – a.v. 
a) Quando ´z´ for menor que 90O:
Ângulo Vertical Zenital / Distância Inclinada:
*
b) Quando ´z´ for maior que 90O:
DNAB + a = h + a.v. ou DNAB = h + a.v. – a (2)
onde,
a.v. = altura visada);
h = DOC (inclinada) . cos(z);
a = altura do aparelho
DNAB = (DOC (inclinada) . cos(z)) + a.v. – a
ou,
 - DNAB = - (DOC (inclinada) . cos(z)) - a.v. + a
Ângulo de zenital / Distância Inclinada:
*
Cálculo das altitudes por nivelamento trigonométrico:
HA = 100m
HB = HA + DNAB = 100 m + 8,50 m = 108,50 m
HC = HB + DNBC = 108,50 m + 12,84 m = 121,34 m
HD = HC + DNCD = 121,34 m – 0,97 m = 120,37 m
HE = HD + DNDE = 120,37 m + 5,95 m = 126,32 m
HA = 100
- DNAB = - (DOC (inclinada) . cos(z)) - a.v. + a (para ´z´ for maior que 90O ) 
DNAB = [DOC (inclinada) . cos(z)] + a – a.v. (para ´z´ for menor que 90O ) 
*
Cálculo do erro fechamento para poligonal fechada, ou apoiada:
∆CRN-RN = ɛ = HRN(calculado)- HRN(real) = 0 
onde,
Ɛ = erro de fechamento;
HRN(real) = altitude do RN (no campo);
HRN(calculado)= altitude do RN calculado.
Obs: H(RN2661T) = 18,233m; e H(RN2661U) = 13,108m
Segundo a NBR 13.133, a tolerância para o erro de fechamento para nivelamento trigonométrico, com medidas realizadas por meio de medidor eletrônico, classe II N, é igual a:
Tf =  0,20 (m/Km)  d (km)
onde, d = distância em ‘km’ entre o Rn2661T e o Rnfinal 
*
Exemplo de distribuição de erro:
 
ɛ = HRN(calculado - HRN(real) = 8,807m - 8,799m = 0,008 m
 
Considerando que, d = 3,643 km  Tf = 0,20  3,643 = 0,2863 m
 
Como o erro (0,008) é menor que a tolerância (0,2363), 
sua distribuição será:
 
C(ɛ) = -(+0,008)/4 = - 0,002 m
Valores das correções em cada estação:
1ª estação: 1 x C(ɛ) = - 0,002m
2ª estação: 2 x C(ɛ) = - 0,004m
3ª estação: 3 x C(ɛ) = - 0,006m
4ª estação: 4 x C(ɛ) = - 0,008m
*
Exemplo com valores das cotas compensadas:
*
CA = 100m
DNAB = [DOC (inclinada) . cos(z)] + a – a.v.
DNAB = 47,30.cos(88°30’) +1,43 – 0 = 2,668 m
CB = CA + DNAB = 100 m + 2,668= 102,67 m
DNBC = 73,10.cos(85°25’) +1,27 – 1,87 = 5,24 m
CC = CB + DNBC = 102,67 m + 5,24 m = 107,91 m
DNCD = - (DOC (inclinada) . cos(z)) - a.v. + a
DNCD = - (23,80. cos(105°18’)) - 0. + 1,18 = -5,10 m
CD = CC - DNCD = 107,91 m – 5,10 m = 102,81 m
DNDE = (52,90. cos(70°21’)) + 1,15 – 2,02 = 16,92 m
CE = CD + DNDE = 102,81 m + 16,92 m = 119,73 m
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