ListaMecanicaEstatistica_USP2018

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4302401 – Mecânica Estatística
Sexta Lista de Exercícios: Ensemble Grande-Canônico e Gases Ideais Quânticos
P1) Vamos definir z ≡ eβµ, de forma que o potencial químico possa ser escrito na forma
µ = ln(z)/β. A grandeza z é denominada fugacidade.
(a) Mostre que a função de partição grande-canônica á dada por
Z =
∞∑
N=0
zN Z(N) ,
onde Z(N) é a função de partição canônica para um sistema com N partículas.
(b) Mostre que o número médio de partículas, no ensemble grande-canônico, pode ser escrito
na forma
〈N〉 ≡ N¯ = z∂ ln(Z)
∂z
,
onde Z é a função de partição grande-canônica.
(c) Mostre que a variância do número de partículas é dada por
σ2N = 〈N2〉 − 〈N〉2 ≡ N2 − N¯2 = z
∂N¯
∂z
P2) (a) Como discutido anteriormente no curso, a função de partição canônica do gás ideal
monoatômico, com N partículas e volume V , é dada por
Z(N) =
1
N !
 V
h30
(
2mpi
β
) 3
2
N .
Obtenha a função de partição grande canônica, Z, do gás ideal monoatômico. Dica: Lembre-
se da série de Taylor da função exponencial.
(b) Utilizando o resultado do P1, estime o número médio de partículas (N¯), e o desvio
relativo (
√
σ2N/N¯) para o gás ideal monoatômico clássico no ensemble grande-canônico.
(c) A Hamiltoniana (energia) do gás ideal monoatômico não ideal é dada por
H =
N∑
i=1
[
p2i
2m
+ Ue(ri)
]
,
onde Ue(ri) é o campo médio que descreve a interação com as demais partículas. Obtenha a
função de partição grande-canônica para esse sistema. Dica: Recorde a expressão da função
de partição canônica. Utilize, para o campo médio, as aproximações discutidas anterior-
memte: a interação é fortemente repulsiva (Ue → ∞) no volume V0 em torno de uma dada
partícula, e caracterizada pela constante U¯e no restante do volume.
P3) (a) Considere um sistema de duas partículas, no qual cada partícula tem três estados
possíveis com energias 0, �, 3�. Obtenha as funções de partição canônicas do sistema ad-
mitindo: (a) estatística de Maxwell Boltzmann para partículas clássicas distinguíveis, (b)
1
estatística de Bose-Einstein e (c) estatística de Fermi-Dirac. Dica: construa a tabela de
microestados para os três casos (MB, BE e FD).
P4) A função de partição grande canônica para gases ideais quânticos pode ser escrita na
forma
Z =
nmax1∑
n1=0
e−β(�1−µ)n1
nmax2∑
n2=0
e−β(�2−µ)n2
nmax3∑
n3=0
e−β(�3−µ)n3
 · · · = ∏
nr
nmaxr∑
nr=0
e−β(�r−µ)nr
 ,
onde nmaxr = 1 para o gás de férmions e nmaxr =∞ para o gás de bósons.
(a) Mostre que a probabilidade de que o r-ésimo estado seja ocupado por nr partículas,
independente da ocupação dos demais estados, é
p(nr) =
e−β(�r−µ)nr
ζr
, com ζr =
nmaxr∑
nr=0
e−β(�r−µ)nr .
(b) Obtenha ζr para os gases de férmions e bósons, e (c) relacione, em cada caso, ζr às
ocupações médias, n¯r.
(d) Obtenha ln(Z) para os gases de férmions e bósons.
P5) No ensemble grande-canônico, a entropia pode ser escrita na forma
S = kB ln(Z) + 1
β
∂ ln(Z)
∂T
.
Para os gases de (a) férmions e (b) bósons, expresse a entropia em termos das ocupações
médias, n¯r. Dica: Explore os resultados obtidos no problema anterior.
2
Respostas
P2) (a) Função e partição grande-canônica:
Z = ezZ(1) ,
onde Z(1) é a função de partição canônica para N = 1.
(b) Número médio e desvio médio:
N¯ = zZ(1)
√
σ2N
N¯
=
1
N¯
1
2
.
(c)
Z = ezZ(1) ,
onde a função de partição canônica do gás não ideal, para N = 1, é
Z(1) =
(
2mpi
h20β
) 3
2
(V − V0) e−βU¯e .
P3) (a) Mawell-Boltzmann:
ZMB = 1 + e−2β� + e−6β� + 2
[
e−β� + e−3β� + e−4β�
]
.
b) Bose-Einstein:
ZBE = 1 + e−β� + e−2β� + e−3β� + e−4β� + e−6β� .
b) Fermi-Dirac:
ZFD = e−β� + e−3β� + e−4β� .
P4) (b)
ζFDr = 1 + e
−β(�r−µ) ζBEr =
1
1− e−β(�r−µ)
(c)
ζFD =
1
1− n¯FDr
ζBEr = 1 + n¯
BE
r
(d)
ln(ZFD) = −∑
r
ln(1− n¯FDr ) =
∑
r
ln(1 + e−β(�r−µ))
ln(ZBE) = ∑
r
ln(1 + n¯BEr ) = −
∑
r
ln(1− e−β(�r−µ))
P5) (a) Fermi-Dirac:
S = −kB
∑
r
n¯r ln(n¯r) + (1− n¯r) ln(1− n¯r)
(b) Bose-Einstein:
S = −kB
∑
r
n¯r ln(n¯r)− (1 + n¯r) ln(1 + n¯r)
3