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Capítulo 3
Análise do processo Tennessee
Eastman
Sendo um dos objectivos deste trabalho a aplicação de estratégias de optimização a
processos químicos, surgiu a necessidade de seleccionar um destes processos para ser
utilizado como referência, para comparação do desempenho da aplicação das dife-
rentes estratégias consideradas. O processo escolhido foi o Tennessee Eastman (TE),
apresentado por Downs e Vogel (1993). Esta escolha foi feita devido às características
do processo, nomeadamente a sua instabilidade em ciclo aberto e a acentuada não–
linearidade, características que fazem com que a aplicação de algoritmos sequenciais
de optimização dinâmica não seja uma tarefa trivial. Foi ainda tido em consideração
o facto de este ser um processo realista, composto por várias unidades com forte inte-
racção entre si, e a existência de resultados publicados por outros autores, que podem
servir como termo de comparação para os resultados aqui alcançados.
Neste Capítulo é feita uma descrição do processo e uma revisão dos resultados obtidos
por outros autores. São depois apresentados os resultados obtidos relativamente à
caracterização e ao comportamento do processo.
3.1 Descrição do processo
O processo Tennessee Eastman (TE) é constituído por cinco unidades principais: re-
actor, condensador, separador líquido/vapor, stripper e compressor. São produzidos
dois produtos principais, designados G e H, a partir de quatro reagentes, A, C , D e E.
Na Figura 3.1 é apresentado um diagrama do processo.
No reactor, alimentado pela mistura gasosa de três alimentações frescas (A, D e E) e
49
Tese de Doutorado: Controlo Predictivo Não-Linear de Processos Químicos
Autor: João Filipe Marques Gândara.
Ano: 2012.
Escola: Universidade de Coimbra, Departamento de Engenharia Química.
50 Análise do processo Tennessee Eastman
Alimentação 
A
REACTOR
CONDENSADOR
STRIPPER
COMPRESSOR
SEPARADOR
Vap/Liq
Água
Água
Purga
Vapor
Cond.
Produto
H e G
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12Alimentação 
D
Alimentação 
E
Alimentação 
A & C
Figura 3.1 O processo Tennessee Eastman (Downs e Vogel, 1993).
uma corrente de reciclo, ocorrem quatro reacções
A(g) + C(g) + D(g) −→ G(l) (3.1a)
A(g) + C(g) + E(g) −→ H(l) (3.1b)
A(g) + F(g) −→ F(l) (3.1c)
3D(g) −→ 2F(l) (3.1d)
onde, para além dos produtos G e H, é também formado um subproduto F . Estas
reacções ocorrem na presença de um catalisador, que se encontra dissolvido na fase
líquida, e é totalmente involátil.
Todas as reacções são irreversíveis, exotérmicas e de aproximadamente primeira or-
dem relativamente às pressões parciais de cada um dos reagentes. A dependência das
velocidades de reacção em relação à temperatura é descrita por uma expressão de
Arrhenius, sendo a reacção que produz G aquela que tem maior energia de activação
e, por isso, a mais sensível à temperatura.
Para além dos reagentes, produtos e catalisador, está ainda presente no processo um
inerte gasoso B, totalmente incondensável, introduzido pelas correntes de alimenta-
ção dos reagentes. O reactor está equipado com uma serpentina de arrefecimento,
onde circula água, e um agitador com velocidade variável. Depois de formados, os
produtos vaporizam e abandonam o reactor numa corrente gasosa, juntamente com
3.1 Descrição do processo 51
Tabela 3.1 Modos de operação do processo Tennessee Eastman (Downs e Vogel,
1993).
Modo Razão mássica G/H Caudal do produto
1 50/50 7038 kg/h G e 7038 kg/h H
2 10/90 1408 kg/h G e 12669 kg/h H
3 90/10 10000 kg/h G e 1111 kg/h H
4 50/50 máximo
5 10/90 máximo
6 90/10 máximo
os reagentes não convertidos e o inerte.
A corrente de saída do reactor segue para o condensador onde, por arrefecimento, é
parcialmente liquefeita. O condensado é maioritariamente constituído pelos produtos
e por uma pequena fracção dos reagentes, sobretudo E. Os restantes reagentes têm
calores de vaporização significativamente mais baixos que os produtos, sendo que,
nas condições de operação, A e C podem ser considerados incondensáveis. O conden-
sador tem apenas uma corrente de saída, com duas fases, que segue para o separador
líquido/vapor. Depois de separadas, a fase gasosa é reciclada para o reactor através
de um compressor centrífugo. Esta corrente é purgada para evitar a acumulação de
inerte e subproduto no processo. A fase líquida é enviada para o stripper.
No stripper os reagentes ainda presentes na fase líquida são removidos utilizando uma
alimentação fresca de A e C no estado gasoso, que circula em contra corrente com a
fase líquida. A corrente gasosa, que abandona o stripper pelo topo, rica em reagentes,
é misturada com a corrente de reciclo e enviada para o reactor. A corrente líquida, que
abandona o stripper pela base, é maioritariamente constituída por G e H e constitui o
produto final do processo. A qualidade deste produto é determinada pela razão entre
os caudais mássicos de G e H nesta corrente.
No processo TE são considerados seis modos de operação, que se distinguem quer pelo
caudal quer pela composição do produto. Estes modos de operação são apresentados
na Tabela 3.1. O modo de operação 1 é o modo de operação base. As composições e
temperaturas das correntes do processo no modo de operação base são apresentadas
na Tabela 3.2, onde também são apresentadas as condições de operação das diferen-
tes unidades e os consumos de utilidades (águas de arrefecimento do reactor e do
separador, e vapor do stripper).
No processo TE são medidas 41 variáveis e existem 12 variáveis manipuláveis. As
medições de caudais, temperaturas e pressões são contínuas, enquanto que as compo-
sições das correntes são medidas de forma descontínua. As correntes cuja composição
é medida são a alimentação do reactor, a purga e o produto. Para além de serem me-
didas descontinuamente, estas composições são conhecidas com atraso, uma vez que
52 Análise do processo Tennessee Eastman
Tabela 3.2 Balanço mássico e energético do processo TE, correspondente à operação
no caso base (Downs e Vogel, 1993).
Corrente Alim. A Alim. D Alim. E Alim. C Strip. topo Alim. Rea.
Caudal molar (kgmol/h) 11.2 114.5 98.0 417.5 465.7 1890.8
Caudal mássico (kg/h) 22.4 3664.0 4509.3 6419.4 8979.6 48015.4
Temperatura (◦C) 45.0 45.0 45 .0 45.0 65.7 86.1
Fracções molares A 0.99990 0.00000 0.00000 0.48500 0.43263 0.32188
B 0.00010 0.00010 0.00000 0.00500 0.00444 0.08893
C 0.00000 0.00000 0.00000 0.51000 0.45264 0.26383
D 0.00000 0.99990 0.00000 0.00000 0.00116 0.06882
E 0.00000 0.00000 0.99990 0.00000 0.07256 0.18776
F 0.00000 0.00000 0.00010 0.00000 0.00885 0.01657
G 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.01964 0.03561
H 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00808 0.01659
Corrente Reactor Reciclo Purga Líq. Sep. Produto
Caudal molar (kgmol/h) 1476.0 1201.5 15.1 259.5 211.3
Caudal mássico (kg/h) 48015.4 30840.0 386.5 16788.9 14288.6
Temperatura (◦C) 120.4 102.9 80.1 80.1 65.7
Fracções molares A 0.27164 0.32958 0.32958 0.00000 0.00479
B 0.11393 0.13823 0.13823 0.00000 0.00009
C 0.19762 0.23978 0.23978 0.00000 0.01008
D 0.01075 0.01257 0.01257 0.00222 0.00018
E 0.17722 0.18559 0.18579 0.13704 0.00836
F 0.02519 0.02263 0.02263 0.01669 0.00099
G 0.12302 0.04844 0.04844 0.47269 0.53724
H 0.08423 0.02299 0.02299 0.37136 0.43828
Condições de operação
Reactor Separador Condens. Stripper
Temperatura (◦C) 120.4 80.1 — 65.7
Pressão (kPa rel.) 2705.0 2633.7 — 3102.2
Calor transferido (kW) -6468.7 — -2140.6 1430.0
Volume de líquido (m3) 16.55 4.88 — 4.43
Utilidades
Água de arrefecimento do reactor (m3/h) 93.37
Água de arrefecimento do condensador (m3/h) 49.37
Vapor do stripper (kg/h) 230.31
o processo de análise não pode ser considerado instantâneo. As variáveis medidas
continuamente e as variáveis manipuláveis são apresentadas nas Tabelas 3.3 e 3.4,
respectivamente. Osvalores apresentados correspondem ao modo base de operação.
Os caudais das correntes de reciclo do compressor e da corrente de purga não de-
pendem exclusivamente da posição das válvulas u5 e u6, mas também das diferenças
3.1 Descrição do processo 53
Tabela 3.3 Variáveis do processo TE medidas continuamente (Downs e Vogel,
1993).
Nome Número Caso base Unidades
Caudal da alimentação de A y1 0.25052 kscmha
Caudal da alimentação de D y2 3664.0 kg/h
Caudal da alimentação de E y3 4509.3 kg/h
Caudal da alimentação de C y4 9.3477 kscmha
Caudal do reciclo y5 26.902 kscmha
Caudal da alimentação reactor y6 42.339 kscmha
Pressão do reactor y7 2705.0 kPa rel.
Nível do reactor y8 75.000 %
Temperatura do reactor y9 120.40 ◦C
Caudal da purga y10 0.33712 kscmha
Temperatura do separador y11 80.109 ◦C
Nível do separador y12 50.000 %
Pressão do separador y13 2633.7 kPa rel.
Caudal da base do separador y14 25.160 m3/h
Nível do stripper y15 50.000 %
Pressão do stripper y16 3102.2 kPa rel.
Caudal do produto y17 22.949 m3/h
Temperatura do stripper y18 65.731 ◦C
Caudal de vapor do stripper y19 230.31 kg/h
Potência do compressor y20 341.43 kW
Temp. de saída da água de arref. do reactor y21 94.599 ◦C
Temp. de saída da água de arref. do sep. y22 77.297 ◦C
a Thousand standard cubic meters per hour.
de pressão entre as unidades. Assim, podem ocorrer variações destes caudais sem
que ocorra qualquer movimento das válvulas. A velocidade de agitação do reactor
(u12) apenas influencia o coeficiente de transferência de calor entre a fase líquida do
reactor e a serpentina de arrefecimento, não tendo qualquer influência no grau de
mistura (que se supõe sempre completa), nem sobre as velocidades de reacção. Todas
as variáveis manipuláveis podem tomar qualquer valor entre 0% e 100% do intervalo
entre os limites inferior e superior.
É também importante notar que o caudal de vapor no stripper, variável y19, não
é medido directamente. O seu valor é obtido supondo que existe equilíbrio térmico
entre o vapor e o stripper e que a temperatura do vapor ser mantém constante. A partir
do valor da posição da válvula que controla o caudal de vapor (u9), é determinado o
coeficiente de transferência de calor. Com este valor e com a temperatura do stripper
(y18), utilizando a equação de transferência de calor por condução em equilíbrio, é
calculada a quantidade de calor transferida. Conhecida esta quantidade, determina-se
o caudal de vapor. Uma consequência deste facto é a possível mudança no caudal de
54 Análise do processo Tennessee Eastman
Tabela 3.4 Variáveis manipuláveis do processo TE (Downs e Vogel, 1993).
Caso Limites
Nome Número base (%) inf. superior Unidades
Caudal de D u1 63.053 0 5881. kg/h
Caudal de E u2 53.980 0 8354. kg/h
Caudal de A u3 24.644 0 1.1017 kscmh
Caudal de C u4 61.302 0 15.25 kscmh
Válvula de reciclo do compressor u5 22.210 0 100. %
Válvula da purga u6 40.064 0 100. %
Caudal de líquido do separador u7 38.100 0 65.71 m3/h
Caudal de produto u8 46.534 0 49.10 m3/h
Válvula de vapor do stripper u9 47.446 0 100. %
Caudal da água de arrefecimento
do reactor u10 41.106 0 227.1 m3/h
Caudal da água de arrefecimento
do condensador u11 18.114 0 272.6 m3/h
Velocidade do agitador u12 50.000 150 250. rpm
vapor medido, sem que haja qualquer alteração da posição da válvula que o controla.
Na Tabela 3.5 são apresentadas as variáveis do processo medidas descontinuamente.
São também apresentados os intervalos de amostragem e os atrasos com que as medi-
ções são conhecidas. Os valores apresentados são relativos ao modo base de operação.
Os intervalos de amostragem e os tempos mortos são características de cada um dos
analisadores, não tendo qualquer relação com a estrutura de controlo. No caso da
corrente de alimentação do reactor, tanto o intervalo de amostragem como o tempo
morto são iguais a 0.1 h, ou seja, novos valores da composição desta corrente estão
disponíveis de 0.1 em 0.1h, e correspondem à composição do caudal 0.1h antes.
3.1.1 Modelo do processo
O modelo do processo é fornecido por Downs e Vogel (1993) na forma de um conjunto
de rotinas em FORTRAN, que permitem simular o seu comportamento dinâmico. Não
é fornecido qualquer modelo analítico. Este modelo contém 50 variáveis de estado,
41 variáveis medidas e 12 variáveis manipuláveis. As equações diferenciais que fazem
parte do modelo são:
• balanços mássicos parciais ao reactor (oito);
• balanços mássicos parciais ao separador (oito);
• balanços mássicos parciais ao stripper (oito);
3.1 Descrição do processo 55
Tabela 3.5 Variáveis medidas descontinuamente no processo TE (Downs e Vogel,
1993).
Análise da alimentação do reactor
Intervalo de amostragem = 0.1 h
Composto Número Caso base Unidades Tempo morto = 0.1 h
A y23 31.188 mol%
B y24 8.8933 mol%
C y25 26.383 mol%
D y26 6.8820 mol%
E y27 18.776 mol%
F y28 1.6567 mol%
Análise da purga
Intervalo de amostragem = 0.1 h
Composto Número Caso base Unidades Tempo morto = 0.1 h
A y29 32.958 mol%
B y30 13.823 mol%
C y31 23.978 mol%
D y32 1.2565 mol%
E y33 18.579 mol%
F y34 2.2633 mol%
G y35 4.8436 mol%
H y36 2.2986 mol%
Análise do produto
Intervalo de amostragem = 0.25 h
Composto Número Caso base Unidades Tempo morto = 0.25 h
D y37 0.01787 mol%
E y38 0.83570 mol%
F y39 0.09858 mol%
G y40 53.724 mol%
H y41 43.828 mol%
• balanços mássicos parciais à zona de mistura de alimentação do reactor (oito);
• balanço energético ao reactor;
• balanço energético ao separador;
• balanço energético ao stripper;
• balanço energético à zona de mistura da alimentação do reactor;
• balanço energético à água de arrefecimento do reactor;
56 Análise do processo Tennessee Eastman
• balanço energético à água de arrefecimento do separador;
• dinâmica das variáveis manipuláveis (doze).
Na elaboração do modelo foi considerado que todos os gases se comportam como
gases ideais, que todas as fases líquidas são perfeitamente agitadas e que o equilíbrio
líquido vapor segue a lei de Raoult, sendo a pressão de vapor calculada pela equação
de Antoine. De forma a evitar uma complexidade acrescida do modelo, supõe-se tam-
bém que, quando em contacto, as fases líquida e gasosa se encontram em equilíbrio e
que este equilíbrio se estabelece instantaneamente.
Uma característica importante deste modelo é sua forte não–linearidade. Para além
das cinéticas das reacções e das equações de equilíbrio, contribui também para esta
não–linearidade o facto de ser considerada a variação, com a temperatura, das capa-
cidades caloríficas das espécies químicas presentes. Assim, os balanços energéticos às
diferentes unidades são feitos em função da entalpia total. O valor da temperatura
é obtido a partir da entalpia pela solução numérica de uma equação não–linear, uti-
lizando o método de Newton. De notar também que se considera a entalpia total de
cada uma das unidades igual à entalpia da fase líquida, aproximação que se justifica
pela proporções entre as quantidades desta fase e da fase gasosa. Com esta simpli-
ficação pretende-se evitar a necessidade de realizar cálculos relativos ao equilíbrio
líquido/vapor em cada iteração do método de Newton no cálculo da temperatura.
3.1.2 Objectivos de controlo
De acordo com Downs e Vogel (1993), os principais objectivos de controlo para o
processo TE são:
• manter as variáveis do processo próximas dos valores desejados;
• manter as condições de operação dentro dos limites de segurança dos equipa-
mentos;
• minimizar as variações no caudal e na qualidade do produto;
• minimizar o movimento das válvulas, especialmente das alimentações frescas;
• recuperar rápida e suavemente de perturbações inesperadas;
• alterar o modo de operação de forma rápida e suave.
As perturbações inesperadas mais frequentes neste processo estão incluídas nas roti-
nas de simulação. Algumas destas perturbaçõestêm um carácter aleatório e outras
são totalmente desconhecidas. Todas as perturbações podem ser iniciadas e interrom-
pidas em qualquer altura, quer isoladamente quer em conjunto.
3.1 Descrição do processo 57
Tabela 3.6 Limites normais de operação e de segurança do processo Tennessee East-
man (Downs e Vogel, 1993).
Limites de operação Limites de segurança
Variável Inferior Superior Inferior Superior
Pressão do reactor 2895 kPa 3000 kPa
Nível do reactor 50% 100% 2.0 m3 24.0 m3
(11.8 m3) (21.3 m3)
Temp. do reactor 150 ◦C 175 ◦C
Nível no separador 30% 100% 1.0 m3 12.0 m3
(3.3 m3) (9.0 m3)
Nível do stripper 30% 100% 1.0 m3 8.0 m3
(3.5 m3) (6.6 m3)
No processo TE, por razões de segurança, existem limites rígidos para as condições
de operação de algumas unidades, cuja violação implica a paragem imediata do pro-
cesso. É, por isso, fundamental que o processo seja mantido dentro destes limites,
apresentados na Tabela 3.6.
A amplitude de variação permitida é, para algumas variáveis, bastante pequena. Por
exemplo, os limites de operação e segurança para a pressão do reactor estão, respec-
tivamente, 7% e 11% acima do seu valor no modo base de operação.
O processo TE está inserido numa unidade industrial onde, a montante, são produ-
zidos os reagentes utilizados e, a jusante, os produtos G e H são separados e puri-
ficados. Ainda que exista alguma capacidade de armazenamento intermédio, esta é
limitada, pelo que devem ser consideradas as variações possíveis nos caudais das ali-
mentações frescas e avaliadas as consequências da variação na composição e caudal
do produto. Para assegurar o correcto funcionamento do processo a jusante, devem
ser evitadas variações no caudal de produto superiores a ±5% com conteúdo signifi-
cativo de frequência no intervalo 8-16 h−1. A composição de G (%mol) no produto
não deve sofrer variações superiores a ±5% com conteúdo significativo de frequência
no intervalo 6-10 h−1.
Relativamente ao fornecimento das alimentações frescas dos reagentes, não existem
restrições significativas quanto à alimentação de E, uma vez que a capacidade de ar-
mazenagem disponível é significativa. Para as alimentações de A e D, as capacidades
de armazenagem são mais reduzidas, sendo extremamente limitada para a alimen-
tação de C . Assim, devem ser evitadas variações no caudal de alimentação de C ,
sobretudo com conteúdo significativo de frequências na gama 12-80 h−1. Para as
alimentações de A e D devem ser evitadas variações com conteúdo significativo de
frequências na gama 8-16 h−1. A variação do caudal de alimentação de E não suscita
preocupações, mas deve ser evitado o movimento excessivo das válvulas.
58 Análise do processo Tennessee Eastman
3.2 Resultados publicados por outros autores
Desde a sua publicação, o processo da Tennessee Eastman foi utilizado por vários au-
tores para testar e comparar diversas ferramentas. Nesta secção são apresentados e
discutidos os resultados publicados resultantes da aplicação de ferramentas de identi-
ficação de processos, controlo e optimização a este processo.
As estruturas de controlo apresentadas tentam satisfazer os objectivos propostos por
Downs e Vogel (1993). Estas estruturas podem, de forma genérica, ser dividas em
controlo baseado em modelos e estruturas de controlo descentralizado. As estruturas
de controlo descentralizado são constituídas por um conjunto de controladores SISO,
seleccionados e sintonizados de forma a conseguir um desempenho adequado de todo
o processo. Uma das vantagens geralmente apontadas a este tipo de estrutura é o
facto de não requererem um modelo dinâmico do processo. Nesta categoria podem
ser incluídos os resultados apresentados por Price et al. (1994); McAvoy e Ye (1994);
Vinson et al. (1995); Lyman e Georgakis (1995); Banerjee e Arkun (1995); Ricker
(1996); Luyben (1996); Luyben et al. (1997); McAvoy (1998, 1999); Larsson et al.
(2001); Antelo et al. (2008). Alguns destes trabalhos são discutidos e comparados
por Larsson e Skogestad (2000) que, para além desta discussão, fazem um resumo
das metodologias de projecto para este tipo de estrutura de controlo.
Este processo também foi utilizado para testar diferentes metodologias de controlo
que utilizam o modelo do processo para prever o seu comportamento, de forma a op-
timizar o seu desempenho. Este tipo de estratégia foi utilizado por Ricker (1993); Ric-
ker e Lee (1995b,a); Sriniwas e Arkun (1997); Zheng (1998); Becerra et al. (1999);
McAvoy (2002); Jockenhövel et al. (2003); Tian e Hoo (2005), sendo que os resulta-
dos apresentados por Ricker (1993) são apenas para o reactor.
Os trabalhos até aqui referidos propõem estruturas de controlo para atingir os objec-
tivos propostos por Downs e Vogel (1993), operando em torno dos diferentes modos
de operação. Para cada um destes seis modos de operação, Ricker (1995) obtém con-
dições de operação economicamente mais favoráveis, de acordo com a função custo
fornecida. Também de forma a obter condições de operação mais favoráveis, Duvall
e Riggs (2000) e Golshan et al. (2005) aplicam algoritmos de optimização em tempo
real ao processo. O problema da determinação das condições óptimas de operação
também é abordado por Blanco et al. (2004), considerando adicionalmente um crité-
rio de operacionalidade, relacionado com a estabilização do processo em ciclo aberto.
Não tendo em consideração questões económicas, Kavouras et al. (2005) aplicam ao
processo TE uma metodologia para a determinação de estados estacionários a partir
de modelos do tipo caixa negra, aplicável a processos instáveis.
São ainda de referir os trabalhos de Juricek et al. (2001); Kraus et al. (2006), am-
bos no âmbito da identificação e estimativa de estados, e de Zerkaoui et al. (2010),
3.2 Resultados publicados por outros autores 59
resultante da aplicação de redes neuronais ao controlo do processo.
Price et al. (1994) propõem um conjunto de regras qualitativas para a selecção e em-
parelhamento das variáveis, com o objectivo fundamental de assegurar um controlo
adequado do caudal de produto, e também das quantidades das diferentes espécies
químicas envolvidas no processo. De entre os candidatos ao controlo do caudal de
produto, devem ser preferidos os caudais “internos” do processo. Só depois de satis-
feitos estes objectivos, são consideradas as questões relacionadas com a qualidade do
produto. Utilizando estas regras, são identificadas quatro estruturas de controlo des-
centralizado para todo o processo, que são testadas por simulação do processo. Uma
das estruturas, em que o caudal de produto é controlado utilizando o caudal de água
de arrefecimento do separador (um caudal “interno” do processo), demonstra ter um
bom desempenho em torno do modo base de operação. Resultados semelhantes são
apresentados por Lyman e Georgakis (1995), que também comparam o desempenho
das quatros estruturas utilizando o custo de operação.
McAvoy e Ye (1994) utilizam critérios quantitativos, como a matriz de ganhos re-
lativos (relative gain array, RGA), para a selecção das variáveis e para o projecto da
estrutura de controlo, feita em três etapas. Na primeira etapa são fechados todos os ci-
clos de controlo internos, controlando todos os caudais medidos e as temperaturas do
reactor e do separador, sendo os set–points destes ciclos variáveis manipuláveis. Esta
estrutura é projectada para operação apenas em torno do modo base de operação.
Ricker (1996) propõe uma abordagem diferente ao problema de controlo do processo,
baseada em heurísticas e informação qualitativa sobre o comportamento dinâmico do
processo. Esta abordagem pretende ultrapassar as dificuldades verificadas nas solu-
ções anteriormente propostas em lidar com as restrições impostas às condições de
operação, sendo este aspecto de extrema importância quando se pretende maximi-
zar a produção, ou minimizar os custos, situações que invariavelmente resultam na
existênciade variáveis nos seus limites. A principal característica diferenciadora da es-
trutura de controlo apresentada é o facto de os set-points de todos os ciclos de controlo
de caudais serem estabelecidos com base no caudal e composição pretendidos para o
produto, sendo que o controlo da composição é feito recorrendo a uma componente
feedforward.
Os resultados apresentados demonstram que este esquema permite obter bons resul-
tados para todos os modos de operação do processo, sendo mesmo semelhantes aos
apresentados por Ricker e Lee (1995a), utilizando controlo predictivo. Em algumas
situações, como quando existem variáveis nos seus limites, o autor considera o de-
sempenho da estrutura descentralizada superior à do controlador predictivo, o que
resulta da forma como os algoritmos de optimização resolvem o problema. Ainda que
a abordagem utilizada seja sobretudo qualitativa, algumas das decisões são tomadas
com base em resultados de simulação utilizando o modelo dinâmico do processo. O
autor refere que, para além do conhecimento profundo das características do pro-
60 Análise do processo Tennessee Eastman
cesso, a existência deste modelo é essencial, por permitir a realização de testes que
dificilmente seriam possíveis numa instalação real.
Luyben et al. (1997) propõem um procedimento heurístico para o projecto de estru-
turas de controlo descentralizado. A aplicação deste procedimento ao processo TE é
detalhadamente descrito por Luyben (1996). De forma simples o procedimento pode
ser dividido em cinco partes: estabelecer como o caudal de produto é controlado;
seleccionar as variáveis que permitam um melhor controlo da qualidade e das restri-
ções; seleccionar variáveis para controlar os níveis e as pressões; assegurar que os
balanços mássicos globais são satisfeitos, particularmente para os inertes; utilizar as
restantes variáveis manipuláveis para optimizar critérios económicos ou o comporta-
mento dinâmico. A estrutura resultante é simples e as razões das escolhas feita são
claras.
Uma característica da estrutura utilizada é o facto do caudal de produto ser direc-
tamente controlado pela válvula que controla o caudal de saída da base do stripper,
tendo os restantes controladores de nível que acomodar esta escolha. No entanto, os
testes dinâmicos realizados mostram que esta estrutura não é suficiente para satisfazer
os objectivos de controlo propostos por Downs e Vogel (1993). Para tal é necessária
a utilização de controladores adicionais (overrides), seleccionados de acordo com as
dificuldades observadas na simulação. Todos os controladores SISO utilizados são
proporcionais. Os resultados apresentados demonstram que esta estrutura é capaz de
satisfazer aqueles que, segundo o autor, são os principais objectivos de controlo.
McAvoy (1998) utiliza o processo para demonstrar uma metodologia de selecção de
controladores de nível em estruturas de controlo descentralizado. O autor começa
por analisar as características do modelo, utilizando uma versão linearizada em torno
do modo base de operação. Este autor refere ainda a existência de dois valores singu-
lares nulos da matriz de estado do modelo linear, bem como de dois valores próprios
nulos e quatro valores próprios com parte real positiva na mesma matriz. Estes va-
lores indicam a existência de modos instáveis e de dois modos integrantes, que o
autor identifica como sendo os níveis do separador e do stripper. É demonstrado
que o nível do reactor não é integrante. São depois comparadas quinze diferentes
estratégias de controlo dos níveis integrantes, concluindo-se que apenas duas delas
são viáveis, apresentando as restantes problemas de estabilidade. A sua utilização,
nomeadamente aquela em que são utilizados caudais das alimentações, pode resultar
na alteração do sinal dos ganhos estacionários, dificultando a tarefa de controlo do
processo com controladores lineares.
McAvoy (1999) propõe uma estratégia de síntese de controlo para todo o processo
baseada na resolução de problemas de optimização MILP, utilizando como critério a
minimização da variação das variáveis manipuladas necessária para que as variáveis
medidas retornem ao seu valor em estado estacionário após uma perturbação. É uti-
lizado um modelo de ganho, do tipo y = Ku, obtido utilizando a metodologia de
3.2 Resultados publicados por outros autores 61
McAvoy e Miller (1999) para sistemas que contenham variáveis integrantes e para
os quais esteja disponível um modelo dinâmico. O problema de optimização resul-
tante não é resolvido globalmente para todo o processo, sendo primeiro obtida uma
solução para as variáveis medidas mais importantes do ponto de vista da segurança
do processo, depois para as variáveis relacionadas com a quantidade e qualidade do
produto e, finalmente, para as restantes variáveis. As soluções obtidas para cada um
dos conjuntos de variáveis são incluídas no modelo e consideradas na solução dos
problemas seguintes. O problema de optimização é resolvido por enumeração de to-
das as soluções possíveis, que são ordenadas de acordo com o critério utilizado. Uma
dificuldade importante é a necessidade de resolver um problema para cada uma das
diferentes perturbações consideradas, podendo ser obtidas diferentes soluções para
diferentes perturbações. Por essa razão são ainda utilizadas outras ferramentas de se-
lecção, como a matriz dos ganhos relativos e o índice de Niederlinsky. A sintonização
dos controladores SISO é feita a posteriori.
Larsson et al. (2001) apresentam um procedimento sistemático para a obtenção de
uma estrutura de controlo designada self–optimizing, em que se pretende identificar
quais as variáveis que, quando mantidas constantes na presença de perturbações, re-
sultam numa perda económica aceitável. Estas variáveis devem ser controladas uti-
lizando set–points constantes. Este é um problema complexo, mesmo no caso do
processo TE em que, após análise dos graus de liberdade, se verifica que o número
de variáveis que é necessário escolher é igual a três. Este valor resulta da necessi-
dade de controlar os níveis do separador e do stripper, de satisfazer a composição e
caudal do produto, e do número de restrições activas nas condições de custo mínimo
para o modo base de operação (cinco, segundo os resultados apresentados por Ricker
(1995) que são utilizados pelos autores). São apresentadas algumas regras que, apli-
cadas ao processo TE permitem reduzir o elevado número de alternativas possíveis a
analisar. Após aplicação destas regras, o número de alternativas a considerar é de 165
possíveis combinações de três variáveis. A análise das perdas para estas combinações
permite reduzir mais uma vez o número de combinações a considerar, resultando em
dois grupos de três variáveis (temperatura do reactor, C na purga e caudal de reciclo;
temperatura do reactor, C na purga e trabalho do compressor).
Após esta análise é necessário definir os emparelhamentos entre as variáveis de saída
e as variáveis de entrada, bem como sintonizar os controladores SISO a utilizar. De-
pois de completada esta tarefa, as diferentes alternativas podem ser simuladas, sendo
escolhida aquela com que for conseguido melhor desempenho. Os autores referem
que a solução obtida pelo procedimento proposto pode não ser óbvia, e ser substan-
cialmente diferente da obtida utilizando outros critérios mais usuais. É também de
notar que este procedimento apenas permite identificar quais as variáveis que devem
ser controladas. A forma como são controladas é escolhida de forma semelhante à
utilizada noutros trabalhos aqui apresentados. Toda a análise, nomeadamente a ava-
liação do número de graus de liberdade, é feita para as condições correspondentes ao
62 Análise do processo Tennessee Eastman
custo mínimo de operação no modo base de operação.
Antelo et al. (2008) utilizam princípios termodinâmicos e a representação do pro-
cesso como uma rede onde é transferida massa e energiaentre os diferentes nós. De
forma a simplificar o projecto da estrutura de controlo o processo é decomposto em
duas subredes, uma de reacção e outra de separação. Cada uma destas subredes é
estabilizada separadamente. Ainda que a metodologia utilizada estabilize cada uma
das subredes consideradas, não estabiliza globalmente o processo, nomeadamente
devido à dificuldade em controlar a temperatura no reactor, devido à saturação da
válvula do caudal de arrefecimento. Pela introdução de alterações na metodologia
anteriormente considerada, este problema é resolvido e é obtida uma estrutura capaz
de estabilizar o processo.
Os primeiros resultados da aplicação de controlo predictivo ao processo da Tennessee
Eastman foram publicados por Ricker (1993) e referem-se a uma versão simplificada
do reactor do processo, motivado pelas dificuldades observadas na obtenção de uma
estratégia de controlo predictivo para todo o processo. Essas dificuldades devem-se
à existência de limites rígidos de segurança e à degradação do comportamento do
processo para algumas perturbações. Ao contrário do modelo original, o modelo con-
siderado é estável em ciclo aberto, o que resulta da inclusão de um controlador SISO
proporcional que controla o nível do reactor manipulando o caudal de produto. No
algoritmo de controlo predictivo é utilizado um modelo discreto, linear e invariante
no tempo, sendo apenas considerado um subconjunto das variáveis medidas disponí-
veis. Os resultados obtidos não são satisfatórios, o que, segundo o autor, se deve às
variações dos ganhos relativos. Esta variação, associada à forte interacção entre as va-
riáveis do processo, pode levar à degradação do comportamento do sistema quando é
utilizado o controlador. Para resolver este problema é testado um controlador predic-
tivo descentralizado, constituído por vários controladores em que apenas são consi-
derados subconjuntos das variáveis medidas e manipuláveis. Também esta estratégia
não consegue controlar adequadamente o reactor. O autor sugere que, dadas as suas
características, a forma mais viável de resolver este problema será a utilização de con-
troladores não–lineares, naturalmente capazes de lidar com as variações dos ganhos.
Ricker e Lee (1995b) apresentam um modelo dinâmico, mecanístico e não–linear do
processo que, segundo os autores, descreve as características dinâmicas essenciais
do processo, não sendo demasiado complexo. Uma particularidade importante deste
modelo é ser considerada a existência a priori de dois controladores PI para as tem-
peraturas do reactor e do separador, que permitem converter estas temperaturas em
variáveis manipuláveis (através dos set–points dos respectivos controladores). Assim,
não são necessários balanços energéticos a estas unidades e, consequentemente, não
é necessário modelar os fenómenos de geração e transferência de energia. O modelo
resultante contém 26 variáveis de estado, 10 variáveis manipuláveis, 23 variáveis
medidas e 123 parâmetros. Destes, 15 são ajustados on–line utilizando um filtro de
3.2 Resultados publicados por outros autores 63
Kalman generalizado (extended Kalman filter). A escolha do conjunto de parâmetros
a ajustar on–line é feita de forma a conseguir que o modelo produza estimativas, sem
desvios, do mesmo número de variáveis medidas, variáveis estas que, por sua vez, são
escolhidas utilizando argumentos qualitativos (por exemplo, variáveis para as quais é
importante a não ocorrência de offset). O filtro de Kalman generalizado também é uti-
lizado para estimar as variáveis de estado do modelo, que por sua vez são utilizados
para prever as variáveis medidas em instantes futuros, através da integração do mo-
delo. São apresentados resultados de simulação que mostram uma boa concordância
entre o processo e o modelo apresentado.
Utilizando o modelo descrito, Ricker e Lee (1995a) propõem uma estratégia de con-
trolo predictivo não–linear para todo o processo da Tennessee Eastman. O modelo
do processo utilizado no algoritmo de optimização é obtido por diferenciação numé-
rica em torno das variáveis de estado e manipuláveis correspondentes ao instante
de amostragem no qual se pretende resolver o problema de controlo. Daqui resulta
que a trajectória de controlo é obtida pela solução de um problema quadrático. A
utilização de controlo predictivo para este processo é motivada pelos resultados obti-
dos utilizando estruturas de controlo descentralizado (como a proposta por McAvoy
e Ye (1994), cujos resultados são utilizados como termo de comparação) e por outras
estratégias de controlo multivariável (como dynamic matrix control, DMC, quadratic
programming solution of dynamic matrix control, QDMC), todos eles revelando algu-
mas limitações. No caso do controlo descentralizado, as limitações identificadas são
a frequente saturação dos ciclos de controlo, que torna necessária utilização de ciclos
adicionais (overrides) difíceis de projectar, e a dificuldade em lidar com a variação do
ganho das saídas relativamente às entradas. Esta última também afecta o desempe-
nho das estratégias de controlo multivariável referidas. De acordo com os autores, as
variáveis mais problemáticas são a pressão do reactor e os níveis, sendo referido que
o ganho da pressão do reactor com o caudal da alimentação de A muda de sinal na
vizinhança do estado estacionário correspondente ao modo base de operação.
Antes da aplicação do algoritmo de controlo predictivo, o processo é estabilizado por
um conjunto de cinco controladores SISO PI, que acrescem aos dois controladores
SISO já considerados no modelo. São também considerados controladores SISO para
todas as alimentações e a purga, que manipulam as posições das respectivas válvulas.
O controlador predictivo utiliza 8 variáveis medidas e 8 variáveis manipuladas. Es-
tas variáveis são escolhidas de forma semelhante à utilizada por McAvoy e Ye (1994)
para o emparelhamento com controladores SISO. Este número reduzido de variáveis é
possível devido à utilização dos referidos controladores SISO, cujos set–points são ajus-
tados pelo controlador predictivo. Os resultados obtidos são, em todas as situações,
superiores aos obtidos por estratégias de controlo descentralizado, sendo que as mai-
ores diferenças ocorrem em situações em que as condições do processo se aproximam
dos limites de segurança e quando são feitas mudanças de set–point. As conclusões
apresentadas apontam no sentido de ser possível melhorar o desempenho utilizando
64 Análise do processo Tennessee Eastman
um modelo não–linear em todos os passos do algoritmo de controlo.
Sriniwas e Arkun (1997) aplicam o algoritmo de controlo QDMC (Qin e Badgwell,
2003), utilizando um modelo linear do processo, do tipo input output, em que são
consideradas quatro variáveis medidas e quatro variáveis manipuláveis. Este modelo
é obtido considerando a estrutura de controlo descentralizado proposta por Banerjee
e Arkun (1995), sendo as quatro variáveis manipuláveis do controlador predictivo
set–points de quatro dos controladores SISO. O modelo é obtido utilizando técnicas
de identificação. Os dados utilizados são submetidos a um teste de linearidade, ve-
rificando os autores a existência de uma relação linear entre as entradas e as saídas
consideradas. Esta relação linear é devida à existência dos controladores SISO que
atenuam a não-linearidade do processo. Os resultados obtidos são satisfatórios, ainda
que o desempenho não seja tão bom como o conseguido com controlo predictivo por
Ricker e Lee (1995a).
Zheng (1998) aplica um algoritmo de controlo predictivo não–linear em que ape-
nas são calculadas as variáveis manipuladas a implementar no primeiro intervalo de
amostragem, sendo as variáveis manipuladas no restante horizonte de previsão apro-
ximadas por outro controlador. Na aplicação ao processo TE, este controlador é um
controlador predictivo linear, que utiliza uma versão linearizada do modelo de Ricker
e Lee (1995b),em torno das condições de operação correspondente ao modo base.
O mesmo modelo é utilizado no algoritmo de controlo que obtém as variáveis de
controlo no primeiro instante de amostragem.
Becerra et al. (1999) utiliza o processo TE para testar diferentes alternativas de uti-
lização de critérios económicos com MPC. O modelo do processo utilizado é linear
(ARMAX), obtido por identificação, e considera a utilização de uma das estruturas
de controlo descentralizado apresentadas em Luyben et al. (1997). O algoritmo de
controlo predictivo ajusta os set–points de cinco dos controladores SISO que consti-
tuem esta estrutura, a partir de seis variáveis, sendo cinco delas variáveis medidas
do processo e uma o custo de operação. As alternativas consideradas são a utilização
de um algoritmo de optimização em estado estacionário que determina o conjunto
de referências óptimas a serem enviadas ao controlador predictivo, a utilização de
optimização multiobjectivo no controlador predictivo e a utilização de controlo pre-
dictivo com um set–point para o custo. Os autores concluem que estas duas últimas
alternativas são mais favoráveis por permitirem a optimização dos custos em estado
transiente.
Jockenhövel et al. (2003) apresentam resultados da aplicação de controlo predictivo
não–linear ao processo, sendo que no modelo utilizado são considerados os balanços
energéticos. No entanto, estes têm uma forma diferente do modelo original, consi-
derando a temperatura como a variável diferencial a eles associada. Existem ainda
outras diferenças, nomeadamente ao nível dos balanços mássicos, que resultam num
modelo com 32 variáveis de estado diferenciais e 11 variáveis manipuláveis (não é
3.2 Resultados publicados por outros autores 65
considerada a velocidade de agitação do reactor). Não é considerada a existência
de qualquer estrutura de controlo de base, sendo o modelo do processo instável em
ciclo aberto. Este modelo é directamente utilizado pelo controlador predictivo, sendo
o problema resolvido utilizando um método simultâneo. É utilizado um intervalo de
amostragem de 100s, verificando os autores que a utilização de intervalos de amostra-
gem maiores, juntamente com a instabilidade do sistema, resultam em oscilações de
algumas variáveis de entrada. Na resolução do problema de optimização resultante é
comparado o desempenho de dois algoritmos de optimização distintos, IPOPT (Wäch-
ter, 2002) e SNOPT (Gill et al., 1997a). Verifica-se que o desempenho deste último
não é satisfatório, devido à demorada convergência ou até, em alguns casos, à não
convergência no limite de 100 iterações. São apresentados resultados para diversas
mudanças de set–point.
Tian e Hoo (2005) utilizam um modelo mecanístico cuja estrutura e parâmetros são
obtidos a partir do código FORTRAN fornecido por Downs e Vogel (1993). São utili-
zados quatro controladores SISO PI para estabilizar o processo. Numa primeira abor-
dagem são obtidos três modelos lineares, invariantes com o tempo, por diferenciação
numérica do modelo nas condições de operação correspondentes aos modos de opera-
ção 1, 2 e 3. Estes modelos são depois utilizados num algoritmo de controlo predictivo
linear, que inclui uma condição de troca de modelo. Esta condição quantifica o desvio
observado entre as previsões do modelo e as observações, pretendendo-se utilizar o
modelo que melhor represente o processo em cada uma das condições transientes. A
segunda abordagem consiste na utilização de um modelo de estados partilhados (state
shared model). Neste caso a estrutura do modelo é fixa, mas os parâmetros vão sendo
adaptados consoante as condições de operação e utilizando os modelos lineares cor-
respondentes aos três modos de operação considerados. Os resultados conseguidos
com ambas as abordagens são satisfatórios, sendo os da segunda abordagem melhores
no caso da transição entre os diferentes modos de operação.
Ricker (1995) determina as condições de operação óptimas para os diferentes modos
de operação propostos por Downs e Vogel (1993). Estas condições são obtidas pela
resolução de um problema de optimização cuja função objectivo é a função de custo
fornecida por Downs e Vogel (1993) e cujas restrições são as equações do modelo
em estado estacionário, bem como os limites impostos às variáveis de saída e de
entrada. São ainda incluídas restrições que garantem que o caudal e a composição
dos produtos correspondem aos valores desejados. O modelo utilizado é a rotina
FORTRAN que simula o processo, sendo excluído o ruído das variáveis medidas. Os
resultados obtidos constituem o limite inferior para este problema, uma vez que o
modelo e o processo coincidem perfeitamente.
A análise das soluções obtidas permite retirar algumas conclusões, como o facto de a
pressão e o nível do reactor serem as variáveis operatórias mais críticas. É também
verificado que a maior parte das variáveis do processo são fortemente dependentes do
66 Análise do processo Tennessee Eastman
caudal e da composição do produto desejada, sendo a capacidade de produção sempre
limitada pelo caudal de uma das correntes de alimentação do reactor. Daqui resulta
que tentar manter qualquer uma das variáveis com um valor constante pode implicar
um aumento dos custos de operação ou a limitação da capacidade de produção, pelo
que deve ser evitada a utilização arbitrária de controladores SISO, e a necessidade de
assegurar o controlo da composição do produto quando um dos caudais de alimenta-
ção está no seu limite superior. Os custos de operação são dominados pelas perdas
na purga, pelo que estas devem ser evitadas, ou seja, a percentagem de inertes e sub-
produtos nesta corrente deve ser a maior possível. Ainda que toda a informação do
processo seja fornecida ao algoritmo de optimização, o problema é difícil de resolver
em algumas situações. Esta dificuldade reflecte-se nas próprias soluções apresentadas
pelo autor. Ainda que cada uma delas corresponda a um estado estacionário, alguns
dos termos diferenciais têm magnitudes da ordem de 10−2 nas soluções apresentadas.
A experiência com o modelo permite concluir que se estes estados estacionários fo-
rem utilizados como condições iniciais para a integração do modelo, rapidamente são
atingidos os limites de segurança que levam a uma paragem do processo.
A abordagem ao problema da determinação das condições óptimas, do ponto de vista
económico, é também considerado por Blanco et al. (2004), tendo também em con-
sideração aspectos relacionados com a operabilidade do processo. O objectivo dos
autores é, para o modo base, a determinação das condições óptimas de operação que
correspondam a um estado estacionário estável. Para tal, ao problema de minimiza-
ção do custo é adicionada a restrição de a parte real de todos os valores próprios do
Jacobiano do modelo ser negativa. É utilizado o modelo simplificado proposto por
Ricker e Lee (1995b). O custo de operação nas condições assim obtidas é cerca de
dezoito vezes superior ao custo de operação mínimo, o que se deve, em grande parte,
ao elevado caudal da corrente de reciclo. É também de notar que, nas condições obti-
das, o caudal de produto é muito inferior ao das condições normais, o que resulta dos
baixos caudais de todas as alimentações, sendo nulo o caudal de alimentação de A.
Ainda que as condições de operação obtidas correspondam a um estado estacionário
estável, o controlo do processo nestas condições seria particularmente difícil, uma vez
que alterações nos caudais das alimentações teriam muito pouca influência sobre o
processo.
Kavouras et al. (2005) apresentam uma metodologia para a obtenção de estados es-
tacionários utilizando modelos dinâmicos do tipo caixa negra, isto é, sem acesso às
equações que constituem o modelo. A metodologia apresentada pode ser aplicada
a processos instáveis, sendo utilizado o processo TE como exemplo. No caso deste
processo, o problema é resolvido recorrendo a um modelo do processoa que são
acrescentadas duas equações que fixam os níveis do separador e do stripper, identi-
ficadas como variáveis integrantes. A adição destas duas condições leva à perda de
dois graus de liberdade. Deixa de ser possível determinar simultaneamente o valor de
todas as variáveis manipuláveis que resultam num estado estacionário, tendo que ser
3.2 Resultados publicados por outros autores 67
duas destas calculadas a partir das equações do modelo.
Duvall e Riggs (2000) usam a estrutura de controlo descentralizado de Ricker (1996),
ajustando os set–points dos controladores SISO de acordo com a solução de um pro-
blema de optimização em estado estacionário. O modelo utilizado é um modelo em
estado estacionário, cujos parâmetros são ajustados de acordo com a informação do
processo. A utilização deste algoritmo permite reduzir os custos de operação, quer re-
lativamente à utilização dos set–points correspondentes aos modos de operação base,
que relativamente à utilização dos set–points óptimos calculados fora de linha.
Golshan et al. (2005) aplicam um algoritmo de optimização em tempo real ao pro-
cesso. O resultado do algoritmo é um conjunto de set–points que são utilizados pela
estrutura de controlo descentralizada proposta por McAvoy e Ye (1994). O modelo
utilizado, quer para a estimação dos estados (utilizando um filtro de Kalman genera-
lizado) quer no algoritmo de optimização, é o proposto por Ricker e Lee (1995b). Os
resultados obtidos são favoravelmente comparados com os obtidos, utilizando uma
estratégia semelhante, por Duvall e Riggs (2000).
Juricek et al. (2001) comparam os modelos dinâmicos obtidos por identificação utili-
zando os métodos CVA, N4SID e ARX. Os autores concluem que, apesar do processo
ser não–linear, as previsões conseguidas pelos modelos lineares são razoavelmente
precisas para a maior parte das sete variáveis de entrada e dez variáveis de saída
consideradas. Tal poder-se-à dever ao facto de ser utilizada a estrutura de controlo
descentralizada proposta por McAvoy e Ye (1994), o que, tal como observado por Sri-
niwas e Arkun (1997), poderá resultar na atenuação da não–linearidade do processo.
Kraus et al. (2006) abordam o problema da estimativa de estados e parâmetros utili-
zando um algoritmo de horizontes móveis. Nestes algoritmos a estimativa dos pa-
râmetros e dos estados num determinado instante é obtida por resolução de um
problema de optimização cuja solução minimiza a diferença entre os valores obser-
vados e os valores previstos por um modelo num intervalo de tempo finito anterior
ao instante actual. Os resultados apresentados foram obtidos utilizando o modelo
do processo proposto por Jockenhövel et al. (2003). O problema de optimização é
resolvido utilizando uma estratégia de multiple shooting e iterações em tempo real,
adaptando uma ideia semelhante proposta por Diehl et al. (2005) para problemas de
controlo predictivo. Em cada instante de amostragem, a solução é obtida por uma
iteração do método de Gauss–Newton. Desta forma, os cálculos necessários podem
ser divididos numa fase de preparação, em que não é necessária a informação mais
recente, e numa fase de solução, em que é utilizada a informação relativa ao instante
de amostragem actual. Os resultados obtidos são favoravelmente comparados com os
obtidos para o mesmo problema utilizando um filtro de Kalman generalizado, quer
em termos dos erros de estimação quer em termos da eficiência computacional.
Da generalidade dos resultados apresentados podemos concluir que o processo TE,
68 Análise do processo Tennessee Eastman
Alimentação 
A
REACTOR
CONDENSADOR
STRIPPER
COMPRESSOR
SEPARADOR
Vap/Liq
Água
Água
Purga
Vapor
Cond.
Produto
H e G
3
1
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12Alimentação 
D
Alimentação 
E
Alimentação 
A & C
Figura 3.2 Zona do processo TE descrita pelo modelo do reactor.
bem como seu modelo, possuem características que tornam o seu controlo e optimi-
zação tarefas não triviais. Entre estas, as principais são a forte interacção entre as
variáveis, a não linearidade do modelo e a instabilidade do processo.
3.3 O reactor do processo TE
As evidências obtidas, quer através de testes com o modelo, quer a partir dos resul-
tados publicados, indicam ser o reactor a unidade do processo a que se deve parte
importante da instabilidade. Decidiu-se, por isso, analisar de forma mais detalhada o
seu comportamento.
3.3.1 Modelo do reactor
De forma a ser possível estudar o comportamento do reactor, foi necessária a obtenção
de um modelo dinâmico isolado desta unidade. Este modelo foi obtido a partir do
modelo original do processo, isolando as partes relevantes. O modelo obtido descreve
a zona limitada a tracejado na Figura 3.2.
As equações diferenciais do modelo obtido são os balanços mássicos parciais ao reac-
tor e à zona de mistura dos caudais das alimentações, balanços energéticos ao reactor,
3.3 O reactor do processo TE 69
à zona de mistura das correntes, ao sistema de arrefecimento, e as equações que des-
crevem a dinâmica das válvulas, num total de vinte e quatro. São consideradas vinte
e quatro variáveis de estado, oito variáveis medidas e cinco variáveis manipuláveis.
Estas variáveis, bem como o seu valor no modo base de operação, são apresentadas
na Tabela 3.7. É ainda de notar que quer o caudal quer a composição da corrente
de reciclo são considerados constantes e iguais aos valores correspondentes ao modo
base de operação do processo.
Tabela 3.7: Variáveis do modelo do reactor.
Valor
Número Variável estacionário Unidades
Estado
x1 Moles de A na fase gasosa 10.4049 kmol
x2 Moles de B na fase gasosa 4.3640 kmol
x3 Moles de C na fase gasosa 7.5701 kmol
x4 Moles de D na fase líquida 0.4230 kmol
x5 Moles de E na fase líquida 24.1551 kmol
x6 Moles de F na fase líquida 2.9426 kmol
x7 Moles de G na fase líquida 154.3771 kmol
x8 Moles de H na fase líquida 159.1866 kmol
x9 Entalpia total do reactor 2.8085 kJ
x28 Moles de A na zona de mistura 107.756 kmol
x29 Moles de B na zona de mistura 29.773 kmol
x30 Moles de C na zona de mistura 88.325 kmol
x31 Moles de D na zona de mistura 23.039 kmol
x32 Moles de E na zona de mistura 62.858 kmol
x33 Moles de F na zona de mistura 5.546 kmol
x34 Moles de G na zona de mistura 11.922 kmol
x35 moles de H na zona de mistura 5.555 kmol
x36 Entalpia total da zona de mistura 0.922 kmol
x37 Temperatura da água de arref. 94.5993
◦C
x39 Posição da válvula 1 63.053 %
x40 Posição da válvula 2 53.980 %
x41 Posição da válvula 3 24.644 %
x48 Posição da válvula 10 41.100 %
x50 Velocidade de agitação do reactor 50.000 %
Manipuláveis
u1 Caudal da alimentação de D 63.053 %
u2 Caudal da alimentação de E 53.980 %
u3 Caudal da alimentação de A 24.644 %
continua na página seguinte
70 Análise do processo Tennessee Eastman
continuação da página anterior
Valor
Número Variável estacionário Unidades
u10 Caudal da água de arrefecimento 41.100 %
u12 Velocidade de agitação do reactor 50.000 %
Medidas
y1 Caudal da alimentação de A 0.251 kscmh
a
y2 Caudal da alimentação de D 3664.0 kg/h
y3 Caudal da alimentação de E 4509.3 kg/h
y6 Caudal de alimentação do reactor 42.339 kscmh
a
y7 Pressão do reactor 2705.0 kPa rel.
y8 Nível do reactor 75.000 %
y9 Temperatura do reactor 120.40
◦C
y21 Temp. de saída da água de arref. 94.599
◦C
a Thousand standard cubic meters per hour.
3.3.2 Resposta em ciclo aberto
Para estudar o comportamento em ciclo aberto do reactor foram utilizadas algumas
das perturbações propostas por Downs e Vogel (1993). Verificou-se que, após qual-
quer perturbação, não é possível atingir um novo estado estacionário sem que sejam
ultrapassados os limites de segurança.
Os resultados obtidos para uma perturbação de +5◦C na temperatura de entrada da
água de arrefecimento e para um corte na alimentação de A são apresentados nasFiguras 3.3 e 3.4, respectivamente.
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
M
e
d
id
a
s
Tempo (h)
Temperatura
Pressão
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
M
e
d
id
a
s
Tempo
Nível
G/H máss.
Figura 3.3 Resposta do reactor a um aumento de +5◦C na temperatura de entrada
da água de arrefecimento, no instante t = 0.5 h.
Os perfis apresentados são representativos dos resultados obtidos para todas as per-
turbações testadas. Destes resultados é possível concluir que as variáveis mais críticas
3.3 O reactor do processo TE 71
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.1
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
M
e
d
id
a
s
Tempo (h)
Temperatura
Pressão
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
M
e
d
id
a
s
Tempo (h)
Nível
G/H máss.
Figura 3.4 Resposta do reactor a um corte da alimentação de A, no instante t =
0.5h.
são a pressão e o nível, sendo estas as que mais frequentemente atingem os limites de
segurança.
Um aspecto relevante do comportamento do reactor é o facto de o nível apresentar
resposta inversa, como pode ser observado nas Figuras 3.3 e 3.4. Tal deve-se aos fe-
nómenos de reacção e de vaporização, cujas variações com a temperatura têm efeitos
contrários. Quando a temperatura aumenta, verifica-se um aumento da velocidade
das reacções, o que provoca um aumento do nível, uma vez que todos os produtos
são formados no estado líquido. Por outro lado, o aumento da temperatura provoca
também um aumento da vaporização, o que contribui para uma diminuição do nível.
O fenómeno que responde mais rapidamente é a reacção, mas, ao manter-se o au-
mento da temperatura, o efeitos da vaporização tornam-se dominantes, como pode
observar-se na Figura 3.3. Para uma diminuição da temperatura o comportamento é
semelhante, mas com variações negativas na velocidade de reacção e na vaporização,
e variações positivas no nível, como pode ser observado na Figura 3.4.
3.3.3 Ganhos estacionários
Para melhor compreender as relações entre as variáveis medidas e as variáveis ma-
nipuláveis, foram estudados os seus ganhos estacionários. O ganho estacionário da
variável medida yj relativamente à variável manipulada ui, em torno do estado esta-
cionário ( y¯ ,u¯), é definido como
syj ,ui = limΔui→0
yj,ss− y¯ j
ui − u¯i
= lim
Δui→0
Δyj,ss
Δui
onde yj,ss é o valor da variável medida j no estado estacionário correspondente a ui.
Dada a forma não-analítica do modelo do processo disponível, estes ganhos foram
aproximados numericamente. Para tal foram calculados novos estados estacionários
para diferentes valores das variáveis manipuláveis, alterando apenas uma das variá-
72 Análise do processo Tennessee Eastman
veis manipuláveis e mantendo para todas as outras o seu valor no estado estacionário
correspondente ao modo de operação base. Os valores das variáveis medidas nos
novos estados estacionários foram representados em função dos valores da variável
manipulável considerada. Os gráficos assim construídos permitem-nos concluir sobre
os ganhos estacionários relativos a cada uma das variáveis manipuláveis, que serão
iguais, em cada ponto, aos declives das curvas.
Na Figura 3.5 são apresentados os resultados obtidos para as cinco variáveis manipu-
láveis do modelo. As variáveis medidas representadas são a pressão, a temperatura
e o nível do reactor. Todas as variáveis são normalizadas utilizando o seu valor no
modo de operação base (Tabela 3.7).
0.700
0.750
0.800
0.850
0.900
0.950
1.000
1.050
1.100
1.150
 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
M
e
d
id
a
s 
n
o
rm
a
li
z
a
d
a
s
u1
Treact
Preact
Lreact
(a) Caudal de alimentação D
0.940
0.950
0.960
0.970
0.980
0.990
1.000
1.010
1.020
1.030
1.040
 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
M
e
d
id
a
s 
n
o
rm
a
li
z
a
d
a
s
u2
Treact
Preact
Lreact
(b) Caudal de alimentação E
0.990
0.992
0.994
0.996
0.998
1.000
1.002
1.004
1.006
1.008
1.010
 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
M
e
d
id
a
s 
n
o
rm
a
li
z
a
d
a
s
u3
Treact
Preact
Lreact
(c) Caudal de alimentação A
0.500
0.600
0.700
0.800
0.900
1.000
1.100
1.200
1.300
 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
M
e
d
id
a
s 
n
o
rm
a
li
z
a
d
a
s
u10
Treact
Preact
Lreact
(d) Caudal de alimentação água arref.
0.950
0.960
0.970
0.980
0.990
1.000
1.010
1.020
1.030
1.040
1.050
 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4
M
e
d
id
a
s 
n
o
rm
a
li
z
a
d
a
s
u12
Treact
Preact
Lreact
(e) Velocidade de agitação
Figura 3.5 Valores em estado estacionário da pressão, temperatura e nível do reac-
tor, em função das variáveis manipuláveis.
3.3 O reactor do processo TE 73
Dos resultados apresentados podemos concluir que, de forma geral, não há variações
significativas dos ganhos estacionários das diferentes variáveis medidas. Exclusiva-
mente deste ponto de vista, não seriam expectáveis grandes dificuldades à utilização
de controladores lineares. Há, no entanto, algumas excepções a este comportamento.
A mais notória é a do comportamento do nível com o caudal da água de arrefecimento
(Figura 3.5d). Podemos verificar que o ganho estacionário é positivo até uma varia-
ção positiva de cerca de 10% no caudal da água de arrefecimento, seguindo-se uma
região onde este ganho é praticamente nulo. A partir de uma variação de aproximada-
mente 15% do caudal de água de arrefecimento, o ganho estacionário muda de sinal,
passando a ser negativo. De notar também que, nesta região, o declive da curva é
muito acentuado, tendo por isso o ganho estacionário uma magnitude elevada. Ainda
nesta figura podemos verificar a ocorrência de descontinuidades, quer na curva do ní-
vel quer na curva da temperatura. Estas descontinuidades devem-se à diminuição do
nível do reactor que, no ponto onde ocorre a descontinuidade, deixa de ser suficiente
para cobrir completamente a serpentina de arrefecimento, diminuindo a área em que
ocorre transferência de calor.
É também de notar que o ganho estacionário da pressão com qualquer uma das variá-
veis de entrada é muito pequeno. Tal é devido à simplificação efectuada neste modelo
ao considerar que o caudal, temperatura e a composição da corrente de reciclo são
constantes. Uma vez que o caudal mássico do reciclo é bastante superior ao das ali-
mentações individuais, é natural que estes tenham relativamente pouca influência no
comportamento da pressão, que depende fortemente do quantidade de gás no reac-
tor. Relativamente ao caudal da água de arrefecimento verificamos que as variações
da temperatura, do nível (e logo do volume de gás), e do número de moles da fase
gasosa são de forma a manter a pressão aproximadamente constante.
No gráfico das sensibilidades relativas ao caudal da água de arrefecimento, Figura 3.5d,
verifica-se um aumento da temperatura em estado estacionário com o aumento da-
quele caudal. Este comportamento pode ser explicado pelo balanço energético ao
reactor que, de forma simplificada, pode ser escrito como
H˙ = H0F0−HF +ΔHR −Qc
onde H é a entalpia total, F0 é o caudal da alimentação, H0 a respectiva entalpia,
F é o caudal de saída, H a respectiva entalpia, ΔHR é o termo de geração de calor
devido às reacções e Qc é a quantidade de calor removido. Com o aumento do caudal
da água de arrefecimento aumenta também a quantidade de calor transferido. Para
se atingir um estado estacionário é necessário que o termo ΔHR −HF contrabalance
aquela variação, resultando num aumentoda temperatura. Deve ser salientado que
daqui não podemos concluir que um aumento do caudal de arrefecimento provoque
um aumento da temperatura do reactor. De facto, os testes de simulação realizados
demonstram que ao fazer uma perturbação positiva no caudal ocorre uma quase ime-
74 Análise do processo Tennessee Eastman
diata diminuição da temperatura. Devido à instabilidade do sistema, discutida na
secção seguinte, o sistema não atinge nenhum estado estacionário após realização da
perturbação.
Nos gráficos apresentados nas Figuras 3.5a, 3.5b e 3.5c, relativos aos caudais das ali-
mentações de D, E e A, podemos verificar que o ganho do nível com estes caudais
apenas é negativo relativamente ao de A. Tal deve-se ao facto de o reagente existente
no reactor em maior quantidade ser A, o que implica que um aumento no caudal de
A provoque alterações relativamente pequenas na sua pressão parcial, quando com-
paradas com as alterações semelhantes efectuadas nos caudais dos outros reagentes.
Assim, um aumento do caudal de A contribui sobretudo para uma diminuição das
pressões parciais dos restantes reagentes o que implica uma diminuição das velocida-
des de reacção, uma vez que o aumento da pressão parcial de A não é significativo.
Na Figura 3.5c podemos concluir que todas as variáveis medidas são muito pouco
sensíveis a variações no caudal de alimentação de A, sendo a variação máxima de
0.9% no nível para uma variação de −50% no caudal. Tal deve-se ao facto de o
caudal de A (22.4kgh−1) ser cerca de cem vezes menor que os restantes caudais de
alimentação do reactor.
3.3.4 Linearização do modelo do reactor
Para confirmar a instabilidade do reactor em ciclo aberto, o modelo foi linearizado,
de forma a obter uma representação no espaço de estados com a forma
x˙ ′ = Ax ′+ Bu′ (3.2a)
y ′ = C x ′+ Du′ (3.2b)
onde x ′, y ′ e u′ representam os desvios das variáveis relativamente ao ponto em torno
do qual é feita a linearização. O modelo linear do reactor foi obtido por diferenciação
numérica das equações do modelo em torno do modo de operação base.
Dada a forma não analítica do modelo do reactor, recorreu-se à utilização de diferen-
ças finitas forward, utilizando o algoritmo proposto por Gill et al. (1983). Este método
foi escolhido por permitir boas aproximações às derivadas de primeira ordem, sem um
excessivo esforço de cálculo.
Os valores próprios da matriz de estado do reactor, matriz A em (3.2a), são apresen-
tados na Tabela 3.8. Apenas é apresentada a parte real, uma vez que todos têm parte
imaginária nula.
A matriz de estado do reactor tem um valor próprio positivo, o que confirma a insta-
bilidade em ciclo aberto do reactor, em sentido estrito. É também de notar a grande
3.4 Caracterização do processo 75
Tabela 3.8 Valores próprios da matriz de estado do modelo linearizado do reactor.
Parte Real Parte Real
-1690. -54.80
-720.0a -26.18
-600.0 -24.43
-530.6 -12.44b
-450.0a 12.20
-115.7 -11.61
-89.16 -2.354
-84.91 -0.6137
a multiplicidade 2
b multiplicidade 7
diferença de magnitudes entre os valores próprios. Esta diferença resulta de existên-
cia de variáveis com velocidades de resposta muito diferentes. É possível identificar
as variáveis associadas aos valores próprios com menor parte real (maior velocidade
de resposta) como sendo as cinco variáveis de estado correspondentes à dinâmica das
variáveis manipuladas.
A utilização de um modelo linear do processo implica que, da sua análise, não possam
ser retiradas quaisquer conclusões sobre a estabilidade de Lyapunov ou a estabilidade
assimptótica global. A análise dos valores próprios da matriz de estado obtida nas
condições acima referidas, apenas permite concluir sobre a estabilidade assimptótica
local e as conclusões obtidas apenas se podem aplicar ao modelo não-linear numa
pequena região em torno do modo normal de operação (Willems, 1970).
3.4 Caracterização do processo
Para que a supervisão de um processo químico seja feita de forma adequada é im-
portante conhecer previamente as suas características; nesta tarefa, a existência de
um modelo mecanístico detalhado, que permita simular diferentes condições de ope-
ração, é uma ferramenta extremamente valiosa. Utilizando este modelo é possível
determinar as condições óptimas, quer do ponto de vista económico para diferentes
regimes de operação, quer do ponto de vista da maximização da capacidade de produ-
ção. A determinação destas condições permite ainda identificar quais as restrições do
processo que as condicionam, o que é importante para a selecção de estruturas de con-
trolo adequadas, uma vez que estas restrições corresponderão a graus de liberdade
que deixam de poder ser utilizados para o controlo do processo. Permite também
identificar limitações específicas do processo, o que pode ser útil, por exemplo, na
eliminação de estrangulamentos do processo (debottlenecking). Para além destes as-
76 Análise do processo Tennessee Eastman
pectos, para o projecto de estruturas de controlo é também útil a caracterização do
comportamento dinâmico do processo, o que pode envolver, numa primeira etapa,
a análise dos ganhos estacionários de todas as variáveis medidas relativamente às
variáveis que podem ser manipuladas.
Com este objectivo, foram determinadas as condições de operação do processo TE
que permitem maximizar a capacidade de produção, para as diferentes misturas de
G e H pretendidas no produto final. Uma vez que nem sempre será desejável operar
nestas condições, foram também determinadas as condições de operação que, para
diferentes volumes de produção, permitem a minimização dos custos. Foram também
caracterizadas as regiões de operação viáveis, de forma a poder verificar como é que
as condições do processo variam nos seus extremos e no seu interior. Finalmente,
foram obtidas condições de operação para diferentes valores das variáveis manipulá-
veis, de forma a analisar os ganhos estacionários das variáveis medidas relativamente
a cada uma daquelas variáveis. Os resultados obtidos são apresentados nas Secções
seguintes.
3.4.1 Linearização do modelo do processo
À semelhança do que foi feito para o modelo do reactor (Secção 3.3.4), também o
modelo do processo foi linearizado, com o objectivo de obter a matriz de estado e
calcular os respectivos valores próprios para avaliar a estabilidade do processo em
ciclo aberto e a existência de modos integrantes. Esta análise é importante para a
restante caracterização do processo, uma vez que a existência de modos integrantes
implica a singularidade da matriz de estado. Sendo esta matriz singular, os métodos
de resolução de sistema de equações não–lineares ou de problemas de optimização
em que esta matriz surja como um conjunto de restrições terão que ser adaptados a
esta situação ou, de alguma forma, reformulados.
A matriz de estado do processo foi obtida utilizando diferenças finitas forward e o
algoritmo proposto por Gill et al. (1983). Os valores próprios da matriz de estado
assim obtida são apresentados na Tabela 3.9.
Podemos verificar que, tal como o reactor, o processo tem pólos com parte real positiva
(quatro pólos, correspondentes a dois pares de valores próprios complexos). Existe
também um valor próprio que pode ser considerado nulo (2.1× 10−8). Há ainda um
segundo valor próprio que poderá ser considerado nulo (−8.3× 10−4), uma vez que
a sua magnitude é semelhante à do limite do erro resultante do algoritmo aplicado
para o cálculo da matriz de estado. Conclui-se que o processo é instável, no sentido
estrito, em ciclo aberto e que possui dois modos integrantes. Devem aqui ser aplicadas
as mesmas reservas referidas na interpretação dos mesmos resultados para o reactor
(Secção 3.3.4).
3.4 Caracterização do processo 77
Tabela 3.9 Valores próprios da matriz de estado do modelo linearizado do processo.
Parte Parte
Real Imaginária Real Imaginária
-1968.07 -26.228
-726.369 -13.116-720.a -12.833
-600. -11.619 -8.49
-529.699 -11.619 8.49
-514.286 -10.760
-450.b -9.935
-400. -8.921
-139.164 -5.178c
-114.194 3.065 -5.084
-87.025 3.065 5.084
-81.858 -1.222
-37.220 -17.119 -1.153×10−1
-37.220 17.119 -8.134×10−2
-34.797 -14.934 -7.452×10−2
-34.797 14.934 -8.338×10−4
-30. 2.103×10−8
-29.275 2.545×10−2 -1.55×10−1
-28.835 2.545×10−2 1.55×10−1
a multiplicidade 6
b multiplicidade 2
c multiplicidade 7
É de notar que os valores próprios obtidos não coincidem totalmente com os resul-
tado apresentados por outros autores que, por sua vez, não são coincidentes entre
si. McAvoy (1998) refere a existência de dois pares de valores próprios complexos
com parte real positiva. Ricker e Lee (1995b) referem a existência de valores próprios
com valores entre -1968 a 3.07, enquanto que Banerjee e Arkun (1995) referem a
existência de seis valores próprios com parte real positiva. A nossa experiência indica
que os valores próprios são muito sensíveis às aproximações feitas na linearização do
modelo, podendo ser essa a razão para as diferenças referidas. Há, no entanto, algo
comum a todos estes resultados que é a existência de pelo menos um valor próprio
com parte real positiva.
3.4.2 Condições óptimas de operação
Dos seis modos de operação apresentados na Tabela 3.1, três correspondem ao caudal
máximo de produto. Para caracterizar estes modos de operação é necessário deter-
78 Análise do processo Tennessee Eastman
minar as condições de operação que permitem a obtenção destes caudais máximos,
sendo para tal necessária a resolução de um problema de optimização. Neste pro-
blema de optimização, a função objectivo será o caudal de produto e as restrições
serão as equações do modelo, com os termos diferenciais iguais a zero. Será ainda
necessário considerar uma restrição que garanta a razão pretendida entre os caudais
mássicos de G e H no produto.
Para além de estabelecerem objectivos de controlo, Downs e Vogel (1993) estabele-
cem ainda um critério económico que pode ser utilizado na optimização do processo.
Este critério é o custo total de operação, sobretudo devido à perda de produtos e
reagentes, que ocorre na purga. Os reagentes condensáveis (D e E) também são
perdidos no produto. É também atribuído um custo à quantidade de F produzido,
contabilizando o custo dos reagentes gastos nas reacções secundárias. Também são
considerados os custos do vapor utilizado no stripper e o trabalho realizado pelo com-
pressor. O custo total de operação pode ser calculado pela expressão (Downs e Vogel,
1993)
Ctotal =0.0536y20 + 0.0318y19 + 0.47791y10
�
2.209y29 + 6.177y31+
22.06y32 + 14.56y33 + 17.89y34 + 30.44y35 + 22.94y36
�
+
4.541x46
�
0.2206y37 + 0.1456y38 + 0.1789y39
�
onde 4.541x46 é o caudal de produto, em kmol/h, e Ctotal em $/h. Com esta função
objectivo é possível obter as condições de operação que, para os modos de operação
1, 2 e 3 da Tabela 3.1, minimizam os custos.
Na resolução dos problemas de optimização foram, inicialmente, utilizadas as rotinas
originais do modelo, em FORTRAN, não tendo sido possível a obtenção de soluções
com qualquer um dos algoritmos testados. Esta falha deveu-se ao facto de o modelo
ter sido utilizado como um modelo do tipo caixa negra, não tendo sido consideradas
algumas especificidades deste processo importantes no contexto da aplicação de méto-
dos de optimização estacionária ou de solução de sistemas de equações não–lineares.
Estas questões são referidas de seguida, na descrição do modelo reformulado que
foi utilizado. A própria forma como o modelo é implementado nas rotinas em FOR-
TRAN dificulta esta tarefa, uma vez que não é facilmente possível o acesso a toda a
informação do modelo.
Optou–se, por isso, pela utilização do sistema GAMS (Rosenthal, 2010), o que impli-
cou a reescrita das equações do modelo. Para além disso, porque as rotinas originais
se destinam à simulação dinâmica do processo, foram também introduzidas algumas
alterações de forma a tornar o modelo mais adequado à obtenção de condições de
estado estacionário. A principal alteração introduzida foi a eliminação das variáveis
de estado correspondentes às quantidades totais das fases líquidas no separador e no
stripper. A necessidade desta alteração deve-se ao facto de ambas serem variáveis in-
3.4 Caracterização do processo 79
tegrantes, a que se devem os dois pólos nulos da matriz de estado, não tendo qualquer
influência no estado estacionário do processo. A presença destas variáveis inviabiliza
a determinação de estados estacionários, uma vez que o Jacobiano do modelo será
singular. Como consequência da eliminação destas variáveis, foi também necessário
eliminar as quantidades parciais de cada composto nas fases líquidas destas duas uni-
dades. Não sendo consideradas estas variáveis, foi necessária a inclusão de condições
que asseguram a consistência das soluções obtidas, nomeadamente que a soma das
fracções molares nas fases líquidas é igual à unidade. Esta alteração é diferente da
utilizada por Ricker (1995) na solução do mesmo problema. Este autor adiciona duas
restrições ao problema de optimização que fixam o nível destas unidades em 50%.
Estas restrições podem ter implicações sobre a composição e a temperatura das fases
líquidas, uma vez que estas variáveis influenciam a densidade e, juntamente com a
quantidade total de líquido, determinam o nível.
No modelo dinâmico, as entalpias totais, em cada uma das unidades, são apenas utili-
zadas no balanços energéticos para quantificar a acumulação de energia, sendo depois
utilizadas para calcular a temperatura, a partir da qual são calculadas as restantes
propriedades necessárias à simulação. Assim, não é necessário considerar as variáveis
correspondentes às entalpias no modelo estacionário, sendo necessário apenas con-
vergir as equações nas quais intervém a temperatura. Foram também eliminadas as
doze variáveis de estado relativas à dinâmica das válvulas, uma vez que, em estado
estacionário, estas são iguais às variáveis manipuláveis.
Outra alteração necessária relativamente ao modelo original é a forma como é defi-
nida a variação da área de transferência de calor com o nível, no reactor. No modelo
original, a fracção da área total da serpentina onde efectivamente ocorre transferência
de calor é determinada pela condição
uar(v) =
⎧
⎨
⎩
1, se v ≥ 390
0.025
v
7.8
− 0.25, se v < 390
onde v é determinada pela quantidade e densidade da fase líquida do reactor. Quando
uar(v) = 1, o dispositivo de transferência de calor encontra-se totalmente coberto pela
fase líquida. Na linguagem GAMS não é possível a utilização deste tipo de condições
discretas na resolução de problemas não–lineares contínuos (NLP), pelo que foi ne-
cessário o recurso a uma aproximação. Baseada na aproximação hiperbólica proposta
por Balakrishna e Biegler (1992), a aproximação utilizada foi
φ(v) = 1− 0.5
�
f (v)2 + ε2+ 0.5 f (v)
com
f (v) = 1− (0.025 v
7.8
− 0.25)
80 Análise do processo Tennessee Eastman
e ε = 0.001. O erro relativo máximo desta aproximação é de aproximadamente
0,05%.
Umas das dificuldades verificadas na obtenção de resultados deve-se ao mau scaling
do modelo original. Este problema foi atenuado pela introdução de factores de escala,
para variáveis e equações, e pela alteração das unidades de algumas das variáveis.
Para possibilitar a comparação com os resultados obtidos por Ricker (1995), foram
considerados os limites utilizados por este autor para as variáveis do processo que
estão sujeitas a restrições, e não os apresentados na Tabela 3.6. Todos os resultados
apresentados nesta secção foram obtidos estabelecendo o limite inferior do nível do
reactor em 65% e o limite superior para a pressão do reactor em 2800 kPa. Para todas
as variáveis manipuláveis os limites inferior e superior são 1% e 100%, respectiva-
mente.
Na Tabela 3.10 é apresentado o resumo dos resultados