AULA 1 TEORIA DAS ESTRUTURAS I

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TEORIA DAS ESTRUTURAS I
AULA 1 – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Profª Me. Larissa Galante Dias
Bibliografia:
• ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. 1. ed. São Paulo: Oficina de Textos, 2009.
• MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: Elsevier,
2010.
• SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2007.
• SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrututral: Volume 1, Estruturas isostáticas. 2. ed. Porto Alegre: Globo, 1977.
PLANO DE AULA
TEORIA DAS ESTRUTURAS I
Introdução
- Tipos de elementos estruturais
- Forças e momentos
- Graus de liberdade
- Trabalho de forças e momentos
- Equações de equilíbrio estático para corpos rígidos não articulados em duas dimensões
- Aparelhos de apoio
- Carregamentos
- Esforços
- Rotuladas internas
Conceito - FORÇA
• Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento
ou provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode
ser obtida pela expressão da física:
 F = Força 
 m = Massa do corpo 
 a = Aceleração provocada 
Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se
forem conhecidos:
 direção 
 sentido 
 módulo ou intensidade 
 ponto de aplicação 
𝑭 = 𝒎.𝒂
• Exemplo 1: Força provocando movimento
• Exemplo 2: Força provocando deformação 
Conceito - FORÇA
FORÇA PESO
• O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características
especiais:
Existem muitas unidades representando forças sendo as mais comuns:
N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força
• Princípio da Ação e Reação: Quando dois corpos se encontram, toda a ação
exercida por um dos corpos sobre o outro, corresponde uma reação do segundo sobre o
primeiro de mesmo módulo e direção, mas com sentidos contrários, que é a 3ª lei de
Newton.
CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS
• Pode-se observar que estas duas forças têm pontos de aplicação
diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada uma
atuando no seu ponto de aplicação.
• Princípio da Transmissibilidade de uma Força: Quando se aplica uma força em um
corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a sua reta
suporte ao longo deste corpo.
CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS
• Decomposição das Forças: Qualquer força no espaço pode ser decomposta seguindo três
direções que desejarmos. Normalmente, usam-se como referência três direções ortogonais entre
si, escolhidas de acordo com a conveniência do problema. .
CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS
Nestes casos pode-se usar a resultante FR ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado.
• 𝑭 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
• x e y – direções ortogonais de referência
• α - ângulo formado por F em relação a x;
• 𝑭𝒙, 𝑭𝒚 - componentes da força nas direções de
x e y.
CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS
• 𝑭 − 𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎
• x e y – direções ortogonais de referência
• α - ângulo formado por F em relação a x;
• 𝑭𝒙 , 𝑭𝒚 - componentes da força nas
direções de x e y.
A decomposição é feita por trigonometria: 
𝑭𝒙 : 𝑭cos α ൘
𝑭𝒚
𝑭𝒙
= tg α
𝑭𝒚: 𝑭sen α
A força 𝑭 decomposta também pode ser chamada
de resultante da soma vetorial de suas
componentes 𝑭𝒙, 𝑭𝒚.
• As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como,
por exemplo, as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ação à distância
(ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.).
- Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:
CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
FORÇAS
EXTERNAS
ATIVAS
REATIVAS
INTERNAS
FORÇAS INTERNAS: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que formam o
corpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente
composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são
chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).
FORÇAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura:
AÇÕES: São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura .
Correspondem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente conhecidas ou
avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc... :
REAÇÕES: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou
apoios), sendo consequencia das ações, portanto não são independentes, devendo ser
calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema
CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS
Equilíbrio Estático de Corpos Rígidos
• Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo
livre no espaço.
• Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto
se faz necessário por uma questão de classificação e
organização de método, pode-se dizer que um corpo no
espaço tem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de
liberdade. Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade,
pois pode apresentar 3 translações (na direção dos 3 eixos) e
3 rotações (em torno dos 3 eixos).
Quando o corpo está submetido a forças
atuantes em um só plano, devemos prever o seu
equilíbrio neste plano. Supondo um corpo com
cargas em apenas um plano, por exemplo, x, y.
Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de
liberdade, pois pode apresentar 2 translações
(na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno
do eixo perpendicular ao plano que contém as
forças externas).
Equilíbrio no Plano
Diante de um caso de carregamento plano, e,
portanto apresentando 3 graus de liberdade, as
condições de equilíbrio se reduzem apenas às
equações:
෍𝐹𝑥 = 0
෍𝐹𝑦 = 0
෍𝑀𝑍 = 0
Um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema
equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer
ponto são nulos.
Como se costuma trabalhar com as forças e
momentos referenciados a um sistema triortogonal
de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as
6 equações abaixo são satisfeitas:
R=0 Mp=0
෍𝐹𝑥 = 0
෍𝐹𝑦 = 0
෍𝐹𝑧 = 0
෍𝑀𝑥 = 0
෍𝑀𝑦 = 0
෍𝑀𝑧 = 0
Equilíbrio Estático de Corpos Rígidos
Diagrama de Corpo Livre
O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um 
corpo de forma clara, lógica e organizada. 
Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge o princípio da ação e reação. 
Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de todos os
corpos do sistema com o qual ele interage. Neste corpo isolado são
representadas todas as forças que nele atuam, assim como as forças de
interação ou de contato. O diagrama do corpo livre define claramente
que corpo ou que parte do corpo está em estudo, assim como identifica
quais as forças que devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.
Os elementos estruturais são classificados como: lineares, de superfície e
de volume.
ELEMENTOS ESTRUTURAIS
• Estruturas lineares
Unidimensionais (ou reticulares):
Estruturas reticuladas são estruturas compostas por elementos unidimensionais, ou seja,
em que o comprimento prevalece sobre as outras duas dimensões.
TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
VIGAS: São estruturas lineares, dispostas horizontalmente ou inclinadas, com um ou
mais apoios.
Os principais tipos de vigas são:
VIGAS
Viga simplesmente apoiada: viga com um apoio
fixo e um apoio móvel.
Viga em balanço: viga com um só apoio,
necessariamente um engaste fixo.
VIGAS EM BALANÇO OU ENGASTADA
VIGAS GERBER
• Vigas Gerber: é designada em estática das
construções uma viga sobre diversos
suportes, compostacom rótulas de forma tal
que seus trechos são estaticamente
determinados, possibilitando assim a
determinação das equações de força cortante
e momento fletor apenas pelos princípios da
estática.
PÓRTICO
• Conjunto de elementos
estruturais funcionam como
uma só peça, havendo
transferência de momento.
TRELIÇA
Treliça é uma estrutura composta por cinco ou mais
unidades triangulares construídas com elementos
retos cujas extremidades são ligadas em pontos
conhecidos como nós. Forças externas e reações
consideram-se, de forma simplificada, aplicadas
nesses mesmos nós. As forças resultantes nos vários
elementos das estruturas são de tração ou
compressão.
Vínculos/Apoios
É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio
externo, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.
A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem no mesmo, 
reações exclusivamente na direção do movimento impedido. 
Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, 
quem o fará será o conjunto de vínculos. 
Classificação – Vínculos 
Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio
externo e, portanto, se classificam em vínculos internos e externos.
 Vínculos externos:
São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam
quanto ao número de graus de liberdade restringidos. No caso espacial os vínculos
externos podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e, portanto podem ser classificados
em seis espécies. No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e,
portanto se classifica em três espécies.
Cargas Atuantes em uma Estrutura
Quando se trabalha com uma peça de uma estrutura, devemos ter em mente a sua
finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de
suportar. Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS.
Para que o equilíbrio desta peça seja garantido, devemos vinculá-la, ou seja,
restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vínculo acrescido,
surgem as reações na direção do movimento restringido. Estas reações são chamadas
de CARGAS EXTERNAS REATIVAS.
Cargas Externas Ativas
As cargas aplicadas em uma peça de estrutura se classificam quanto ao modo de
distribuição em:
Concentradas - São aquelas que atuam em áreas
muito reduzidas em relação às dimensões da
estrutura. Neste caso ela é considerada
concentrada no centro de gravidade da área de
atuação.
Cargas Externas Ativas
Cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma área com dimensões na 
mesma ordem de grandeza da estrutura. 
Cargas Externas Ativas
• Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados pontos de
uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de forças, cargas excêntricas ou
eixos de transmissão.
Cargas Externas Ativas
As cargas também se classificam quanto ao tempo de duração em: 
• Permanentes - Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de
todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes (revestimentos, pisos,
enchimentos, concretos, paredes divisórias e outras).
• Acidentais ou sobrecarga - Carga acidental É toda aquela que pode atuar sobre a estrutura
de edificações em função do seu uso (pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.).
Cargas Externas Ativas
A classificação quanto ao ponto de aplicação fica: 
• Fixas – atuam sempre em um ponto ou uma região.
• Móveis – percorrem a estrutura podendo atuar em vários dos seus pontos. Exemplos
são pontes rodoviárias e ferroviárias ou pórticos industriais que suportam pontes rolantes
para transporte de cargas.
Exercícios 
Observa-se na figura, três cargas aplicadas
a uma viga. A viga é apoiada em um rolete
em A e em uma articulação em B.
Desprezando o peso próprio da viga,
determine as reações em A e B quando
Q=75kN.
CLASSIFICAÇÃO ESTRUTURAL
• ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS: número de equações de equilíbrio igual ao número de
reações a serem calculadas.
• ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS: número de equações de equilíbrio menor que o
número de reações a serem calculadas.
• ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS: número de equações de equilíbrio maior que o número
de reações a serem calculadas.
෍𝐹𝑥 = 0
෍𝐹𝑦 = 0
෍𝑀𝑍 = 0
EQUAÇÕES DE EQUILIBRIO 
• As componentes são assim denominadas:
N - Esforço Normal
Q ou V - Esforço Cortante
M - (Mz e My) - Momento Fletor
Mt – (Mz) - Momento Torsor
CLASSIFICAÇÃO DAS 
SOLICITAÇÕES
Esforço Normal (N) 
• O esforço normal em uma seção de corte é a soma
algébrica das componentes de todas as forças externas
na direção perpendicular à referida seção (seção
transversal), de um dos lados isolado pelo corte na
direção do eixo x.
• O efeito do esforço normal será de provocar uma
variação da distância que separa as seções, que
permanecem planas e paralelas. As fibras longitudinais
que constituem estas seções também permanecem
paralelas entre si, porém com seus comprimentos
alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos).
O esforço normal será considerado positivo 
quando alonga a fibra longitudinal e negativo 
no caso de encurtamento.
Esforço Cortante (V)
• O esforço cortante em uma seção de referência é a soma vetorial das componentes do sistema de
forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada. O efeito do
esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre
a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.
• Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças
situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório
das forças à direita forem contrários aos eixos.
Momento Fletor (M)
O momento fletor em uma seção é a soma
vetorial dos momentos provocados pelas forças
externas de um dos lados da seção (tomada como
referência), em relação aos eixos nela contidos (eixos
y e z). O efeito do momento fletor é o de provocar o
giro da seção, em torno de um eixo contido pela própria
seção. O momento fletor Mz é considerado positivo
quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é
positivo quando traciona as fibras internas (no caso da
esquerda) da estrutura.
Momento Torsor (Mt)
• O momento torsor de uma seção é a soma algébrica
das componentes dos momentos das forças externas
de um dos lados da referência, em relação ao eixo
longitudinal da peça (eixo x).
• O Momento torsor provoca o giro da seção em torno
do seu baricentro, ou de todas as seções em torno do
eixo longitudinal da peça.
MÉTODO DAS SEÇÕES
• Ao cortar um corpo por um plano qualquer (a-a), rompe-se o
equilíbrio, pois sua cadeia molecular é destruída na seção "S"
de interseção do plano com o corpo. Estes esforços são
chamados de Solicitações Internas.
• Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em
equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da
esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou
seja, resultante de força 𝑅 e resultante de momento 𝑀 . O
mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas
resultantes estão também representadas.
MÉTODO DAS SEÇÕES
O “MÉTODO DAS SEÇÕES” consiste em:
1. Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforços
externos atuando.
2. Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio.
Arbitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvidas(N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas
solicitações são os valores que devemos determinar.
3. Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em relação à seção cortada, determinamos os valores
procurados. Observe-se que as solicitações a serem determinadas são em número de 3 e dispomos também de
3 equações de equilíbrio, podendo-se então formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.
Exercícios 
1- Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo:
DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS 
SOLICITANTES
• DIAGRAMAS: é a representação geométrica
das variações dos esforços internos ao longo
do eixo do elemento. Esses valores em cada
seção são representados perpendicularmente
ao longo do eixo do elemento.
DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS 
SOLICITANTES
EXEMPLOS:
DIAGRAMAS DOS ESFORÇOS 
SOLICITANTES
1. 2.
3.