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Aula Digitalização de Sinais Analógicos

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DIGITALIZAÇÃO DE UM SINAL ANALÓGICO
Introdução:
Antes de desenvolver este tema é conveniente lembrar o Teorema de Amostragem de Nyquist.
Parte 1:
"Um sinal limitado em freqüência com energia finita, que não tem nenhuma componente espectral acima da freqüência 
 Hz, é descrito de maneira completa especificando-se os valores de sinal em instantes de tempo menores ou iguais que 
 segundos. Em outras palavras, pode-se escrever:
Parte 2:
"Um sinal limitado em freqüência com energia finita, que não tem nenhuma componente espectral acima da freqüência 
 Hz, pode ser completamente recuperado a partir do conhecimento de suas amostras tomadas à taxa de 
 amostras/segundos. 
A taxa de amostragem de 
amostras /segundos, para uma largura de banda de 
 Hz, é denominada “taxa de Nyquist” e seu inverso: 
 segundos, é denominado “intervalo de Nyquist”.
Na prática os sinais não são estritamente limitados em banda, isso provoca sempre algum grau de subamostragem que provoca um efeito conhecido como aliasing , que pode ser entendido como um “sinal falso” ou “falsa informação”, que surge quando a taxa de amostragem é inferior a taxa de Nyquist. Observe a Figura abaixo:
Para digitalizar um sinal analógico, são necessárias no mínimo quatro etapas: 
1)- Filtragem anti-aliasing. 
2)- Amostragem 
3)- Quantização
4)- Codificação destes valores em bits. 
Na pratica, a amostragem, a quantificação e a codificação podem ser feitas por um único circuito eletrônico, e não necessariamente nesta ordem, ou até simultaneamente. Para efeitos didáticos, inclusive para distinguir bem aliasing de erro de quantização, analisaremos cada etapa separadamente, pois são funções bem distintas. 
A seguir veremos cada uma dessas etapas em detalhes:
1)- Filtragem anti-aliasing. 
Antes do processo de amostragem um filtro anti-aliasing passa baixas é usado para atenuar as componentes de alta freqüência do sinal que não são essenciais para a informação contida nele. Logo o sinal filtrado é amostrado a uma taxa ligeiramente mais elevada do que de Nyquist, já que de acordo com o Teorema de Nyquist, a quantidade de amostras por unidade de tempo de um sinal, chamada taxa ou freqüência de amostragem, deve ser maior que o dobro da maior freqüência contida no sinal a ser amostrado, para que possa ser reproduzido integralmente sem erro de aliasing. 
A metade da freqüência de amostragem é chamada freqüência de Nyquist e corresponde ao limite máximo de freqüência do sinal que pode ser reproduzido. 
Como não é possível garantir que o sinal não contenha sinais acima deste limite ( distorções, interferências, ruídos, etc...), é necessário filtrar o sinal com um filtro passa baixo com freqüência de corte igual (ou menor) a freqüência de Nyquist, esse filtro é chamado de filtro anti-aliasing. 
2)- Amostragem : É a divisão do sinal no eixo do tempo em amostras analógicas discretas PAM (Modulação em Amplitude de Pulso) como mostra a Figura abaixo. 
Amostragem ideal:
Como o sinal analógico é continuo no tempo e em nível, contem uma infinidade de valores. E como o meio de comunicação tem banda limitada, somos obrigados a transmitir apenas um certa quantidade de amostras deste sinal, como enunciado anteriormente no Teorema de Nyquist. É obvio que quando maior a freqüência de amostragem, mais fácil será reproduzir o sinal, mas haverá desperdício de banda ocupada sem nenhuma melhoria na qualidade. As figuras seguintes ilustram o principio da amostragem : 
O circuito que permite amostrar o sinal é uma simples chave que se fecha por um brevíssimo instante, na cadencia da freqüência de amostragem. Por ex. se a freqüência de amostragem for de 8 kHz, a chave se fecha 8000 vezes por segundo, ou seja, a cada 125 micro segundo. 
Como a chave se fecha por um tempo extremamente curto, teremos na sua saída um sinal em forma de pulsos estreitos, com amplitude igual ao valor instantâneo do sinal, chamados pulsos PAM (pulsos modulados em amplitude).
 
A figura seguinte mostra um sinal senoidal sendo amostrado com taxas próximas ao limite de Nyquist. 
Em cima, amostragem com freqüência maior que duas vezes a do sinal : ha amostras suficientes para que o sinal possa ser reproduzido sem erro de aliasing. (lembramos que a freqüência de amostragem é o inverso do período de amostragem: 
) 
No meio, a taxa de amostragem é igual a duas vezes a freqüência do sinal : não é possível a sua reprodução pois o sinal PAM vale zero. ( obs.: se houvesse defasamento dos pontos de amostragem, haveria sinal PAM, porem com amplitude errada, a não ser que por coincidência os pontos caíssem nos picos da senoide, donde a necessidade do "maior que o dobro" no Teorema de Nyquist. 
Em baixo, a freqüência de amostragem é menor que o dobro da freqüência do sinal : a quantidade de amostras é insuficiente e o sinal reproduzido estará errado, em vermelho na figura. Este erro é causado pelo fenômeno de aliasing. 
Espectro do sinal PAM. 
O sinal de amostragem (que atua na chave) é constituído de impulsos com a freqüência de amostragem 
, também chamado função pente (ou fução amostra). O espectro deste sinal contem raias de mesmo nível e freqüência múltiplas inteiras de 
, ou seja, 0 Hz (componente continua), 
, 
, 
, 
... (até o infinito se a duração do impulso for nula, ou seja se o pulso fosse ideal...). 
O sinal PAM terá portanto estas mesmas raias, porem com as bandas laterais criadas pela modulação em amplitude, como mostra a figura seguinte, onde 
 e é maior que 
 para não ter aliasing  : 
Na figura acima podemos fazer um dedução importante : para reconstituir o sinal PAM no sinal analógico original, basta passar o sinal PAM por um filtro passa baixo.
 Mostraremos ainda que para que o sinal seja perfeitamente reproduzido, a freqüência de corte deste filtro passa baixo deve ser exatamente igual a freqüência de Nyquist ( 
 ), que é igual a metade da freqüência de amostragem ( para não haver interferência intersimbólica IIS ). 
Para efeitos didáticos, a envoltória do espectro do sinal a ser amostrado é representada simbolicamente pela hipotenusa de um triângulo, em verde, e no caso, o sinal é uma senoide. Qualquer que fosse o sinal, por mais complexa a sua forma de onda e espectro, desde que limitado em 
, a reconstituição seria perfeita, usando o citado filtro.
Outras formas de modulação de pulso: PDM- Modulação por Duração de Pulso e PPM- Modulação por Posição de Pulso, são oferecidas na Figura a seguir:
3)- Quantização : divisão do sinal PAM no eixo de tensão em valores discretos finitos. 
4)- Codificação destes valores em bits. 
QUANTIZAÇÃO E CODIFICAÇÃO
 
Vejamos mais detalhadamente estes processos.
Uma vez que temos o sinal analógico amostrado, em forma de amostras ou pulsos PAM, ainda analógicos, precisamos quantificar (ou quantizar) esta infinidade de valores possíveis em outros que possam ser representados por uma quantidade finita de bits, para obter um sinal digital. 
Esta conversão é feito por um circuito chamado conversor analógico-digital A/D ou ADC. 
Cada amostra ou pulso PAM é transformada em uma quantidade predefinida de n bits. 
Por exemplo, com n = 8 bits é possível representar 28 = 256 valores diferentes (na verdade de 0 a 255). 
Para facilitar, vamos supor que os pulsos PAM são limitados entre 0 e 255 Volts. 
Um pulso qualquer pode ter como valor real 147,39 V, mas terá de ser quantizado como tendo 147 V ou 148 V, pois não é possível representar 147,39 com 8 bits. O valor quantizado (para mais ou para menos) depende dos valores dos níveis de decisão no projeto do ADC. 
Teremos então um erro, no caso de -0,39 V ou + 0,61 V respectivamente, chamado erro de quantização. Esta falta ou excesso no valor do sinal provoca o surgimento de um sinal aleatório, chamado ruído de quantização. Se prova matematicamente que a máxima relação sinal/ruído de quantização possível é da ordem de:  S/N max = 6n , onde n éo numero de bits. 
Por ex.  8 bits : S/N de quantização max = 48 dB 
            16 bits : S/N de quantização max = 96 dB 
Esta relação só é atingida para um sinal de valor máximo Vmax. Se o sinal V for menor, por ex. 1/10 do máximo, a relação S/N será 100 vezes pior ou 20 dB menor, e assim por diante. 
S/N de quantização = 1,76 + 6,02 n - 20 log ( Vmax / V )
A figura seguinte mostra o aspecto do erro ou ruído de quantização para um sinal senoidal : 
Para contornar este novo problema, que faz com que sinais fracos tenham baixa S/N, usam-se quantizações não lineares, onde os níveis de quantização não são iguais como na figura acima, mas são muito pequenos para sinais pequenos e maiores para sinais maiores, provocando o efeito de compressão. 
Por ex., em telefonia digital é usada quantização logarítmica, conhecidas com lei  A  no padrão ITU ou a lei  Mu ( lei 
)  no padrão americano, o que piora um pouco a máxima S/N atingível, mas em compensação melhora muito a S/N para sinais fracos. 
Existem outras formas para se conseguir uma S/N de quantização boa para sinais fracos. ( isto pode ser objeto de pesquisa !). Como quantizar valores de tensão negativos ? 
Também existem varias formas: O exemplo seguinte mostra o caso para arquivos digitais de sons no formato *.WAV com 8 bits : 
O eixo vertical da figura é graduado no valor das amostras quantizadas com 8 bits : 0 a 255. 
O eixo de tensão, 0 Volts, é deslocado (off-set) para 128. Podemos assim representar valores negativos de -1 até -128  com  127 até 0 respectivamente, sem necessidade de sinal. 
A forma de onda quantizada acima, no formato decimal é : 
118,135,130,138,151,165,179,179,182,195,179,144,109,78,51,37,39,62,97,123. 
O que representa os seguintes valores quantizados de tensão (em V), supondo deltaVmax=255 V. 
-10,+7,+2,+10,+23,+37,+51,+51,+54,+67,+51,+16,-19,-50,-77,-91,-89,-66,-31,-5 . 
  
Codificação : 
Os valores quantizados precisam ser codificados em seqüências de bits, pois um sinal digital binário só pode ter dois valores diferentes "0" ou "1". Em binário puro, a codificação seria como mostra a figura acima, que é um exemplo de um sinal digital  PCM (Pulse Code Modulation), onde cada pulso PAM de amplitude variável é transformado em uma seqüência de bits com amplitude fixa e valores 0 ou 1, com um código tal que representa o valor do pulso PAM original, arredondado pelo erro de quantização. 
PCM significa modulação de pulsos por código, pois agora os pulsos são os bits 0 ou 1, com amplitude fixa (ao contrario de PAM), posição fixa determinada pelo relógio (ao contrário de PPM), duração ou largura fixa (ao contrário de PDM). O que é modulado agora é a combinação dos bits 0 e 1, usando um código pre-estabelecido, que pode ser por exemplo binário puro com ou sem off-set, sinal-magnitude, sinal-complemento de 2, etc...O código depende de uma serie de fatores como por exemplo como o sinal digital vai ser transmitido, ou armazenado. 
PPM (Pulse Position Modulation) e PWM (Pulse Width Modulation, em português a sigla é PDM) são formas analógicas de transformar a amplitude do pulso PAM em sinais de amplitude sempre fixa. Em PPM o valor do nível modula analogicamente a posição relativa do pulso (de duração fixa) em relação ao relógio (referencia de tempo). Em PDM o valor do nível modula analógicamente a duração de um pulso cuja posição é fixa em relação ao relógio em PWM. 
O PCM telefônico
Em PCM para telefonia, se usa uma notação com sinal-magnitude com 8 bits. 
O eixo de tensão não é deslocado como no exemplo anterior. São quantizados 127 valores positivos e 127 valores negativos, ou magnitude do sinal, com 7 bits. O oitavo bit (o mais significativo) indica o sinal , 1 = positivo e 0 = negativo. 
Por ex. 11111111=FFh representa +127 e 01111111=7Fh= -127. 
Em telefonia, ainda ocorrem outras codificações, como inversão de todos os bits da magnitude (lei 
), ou inversão dos bits pares da magnitude (lei A). 
A tabela seguinte ilustra estas duas formas de codificação PCM para telefonia a 64 k bits por segundo (estas codificações permitem evitar longas seqüências de bits zero na ausência de sinal, para facilitar a extração do sinal de sincronismo ou relógio, na recepção) : 
	Valor decimal
	Sinal-magnitude
	Lei (
	lei A
	+127 
	11111111
	10000000
	10101010
	+96 
	11100000
	10011111
	10110101
	+64 
	11000000
	10111111
	10010101
	+32 
	10100000
	11011111
	11110101
	+0 
	10000000
	11111111
	11010101
	-0 
	00000000
	01111111
	01010101
	-32
	00100000
	01011111
	01110101
	-64
	01000000
	00111111
	00010101
	-96
	01100000
	00011111
	00110101
	-126
	01111110
	00000001
	00101011
	-127
	01111111
	00000000
	00101010
A figura seguinte mostra o conteudo Hexadecimal e ASCII de um pequeno arquivo *.wav : 
Observe o cabeçalho padrão de 44 bytes, que contem uma serie de informações, como formato, quantidade de amostras, etc... Após o cabeçalho, estão as amostras quantizadas, byte a byte (porque o formato é PCM de 8 bits) : por ex., a primeira vale 80h=128. Como se trata de um arquivo no formato PCM de 8 bits, 128 eqüivale a um nível de tensão do sinal igual a zero (off-set de 128). 
Um arquivo de som digital PCM no formato *.WAV de 16 bits usa codificação em sinal-complemento de 2. 
Valores positivos são codificados de 0000h=0 até 7FFFh=+32767 e valores negativos são codificados de FFFFh=-1 até 8001h=-32767. O zero é codificado 0000H=0. A figura seguinte representa esta codificação (eixo vertical): 
 
A figura seguinte representa a parte inicial de um arquivo *.WAV de 16 bits : 
Observe que agora cada amostra ocupa dois bytes, e é usada a notação sinal-complemento de 2, onde o bit mais significativo representa o sinal : 0 = positivo e 1 = negativo. A magnitude de um número negativo é obtida invertendo-se os bits todos e somando-se 1. 
RECONSTITUIÇÃO do sinal digital em analógico.
 
 
A reconstituição correta do sinal analógico, a partir do sinal digital, é feita em duas etapas : 
1 -  Decodificação e conversão digital para analógico D/A dos bits em amostras PAM. 
2 -  Filtragem do sinal PAM por um filtro passa baixo com freqüência de corte igual a freqüência de Nyquist (ou seja, metade da freqüência de amostragem). 
A decodificação e conversão D/A é feita por um conversor digital-analógico DAC, que transforma cada grupo de n bits de em um pulso PAM com nível analógico igual ao valor quantizado. 
A reconstituição explicada no domínio do tempo :
Como preencher os espaços vazios entre as amostras PAM ?  Ou seja, como completar corretamente a infinidade de pontos que estão faltando entra as amostras ?  
Esta é a função do filtro passa baixo. A figura seguinte é um exemplo de sinal PAM a ser reconstituído em sinal analógico : 
Resposta impulsional de um filtro passa baixo ideal. 
Quando um filtro passa baixo ideal (com roll-off = zero) é excitado na sua entrada por um impulso, o sinal na sua saída tem a forma senx / x, como mostra a figura seguinte : 
Características importantes na resposta impulsional de um filtro passa baixo ideal, com freqüência de corte fo : 
- o impulso de entrada é um pulso de curta duração t tal que  t << 1 / 2fo. 
- a amplitude do sinal de saída é proporcional a energia do pulso de entrada, portanto proporcional a amplitude do pulso, desde de que sua duração t seja fixa e dentro do critério acima. 
- o sinal de saída tem forma sen x / x , portanto passa por zero em tempos múltiplos inteiros de T = 1 / 2 fo, exceto no ponto de máxima amplitude. O tempo T independe da duração t do pulso de entrada, desde que t << 1 / 2fo. 
Se em vez de um único pulso, excitamos o filtro com uma seqüência de pulsos PAM, com cadencia exatamente igual a T = 1 / 2 fo, então estes pulsos não interferirão entre si, pois cada um cairá num ponto zero da resposta impulsional dos seus antecessores e/ou dos seus sucessores. 
Se o intervalo entreos pulsos PAM não for exatamente T , teremos interferência no nível de qualquer pulso pelas respostas individuais dos pulsos anteriores ou posteriores, chamada interferência intersimbólica I I S. 
Reconstituição do sinal analógico : 
A freqüência fundamental dos pulsos PAM, que é a freqüência de amostragem deve ser igual ao dobro da banda passante 
 do filtro passa baixo. 
Portanto, o nível de saída do filtro, nos pontos de zero, será exatamente proporcional ao nível de cada um dos respectivos pulsos de entrada, não introduzindo nenhum erro nos níveis dos pulsos PAM. Nos intervalos entre os pontos zero da resposta sen x / x, o sinal de saída do filtro será o somatório de todos os níveis positivos e negativos das respostas impulsionais presentes neste intervalos, reconstituindo exatamente a forma de onda analógica original  que esta faltando entre as amostras. (a menos do erro de quantização que foi introduzido na geração do sinal digital, e que evidentemente não tem mais jeito de ser compensado, pois o seu valor é desconhecido). 
Este é um dos famosos critérios que Nyquist estipulou em 1928, para transmissão de sinais digitais, e que se aplica também a reconstituição. No caso de reconstituição de sinal, já que a freqüência de amostragem foi definida na geração e não podemos mais altera-la, podemos concluir que a freqüência de corte do filtro passa baixo ideal deve ser exatamente igual a metade da freqüência de amostragem, para que os pulsos PAM possam ser transformados em uma onda analógica continua e sem interferência intersimbólica. 
A Figura seguinte mostra como um sinal PAM, de amostras descontinuas, é transformado no sinal analógico original, em branco. Em cores estão cada pulso PAM e a respectiva resposta impulsional do filtro, para cada pulso tomado individualmente, sem os outros. A curva branca é a resultante do somatório, a cada instante, das curvas coloridas. 
 
Na saída do filtro, temos a onda analógica continua original (com ruído de quantização) como mostra a Figura a seguir: 
O que vimos acima depende de um filtro passa baixo ideal. 
Como esse filtro não existe na prática, qual é o filtro real que permite o mesmo resultado ?  Outra vez, Nyquist já tinha pensado nisso em 1928 !...quando deduziu outro dos famosos critérios, o da simetria vestigial, que diz o seguinte : 
A adição de uma função de transferência real e de inclinação simétrica em torno da freqüência de corte à função de transferência do filtro passa baixo ideal, mantém os pontos de cruzamento do eixo zero da resposta impulsional. Estes pontos definem a condição necessária para transmissão livre de I I S. 
Em outras palavras, se o filtro real tiver um roll-off  por exemplo em forma de coseno levantado, a sua resposta impulsional terá os zeros no mesmo lugar da curva sen x / x, mas o aspecto da curva será diferente. A Figura seguinte mostra  um exemplo de filtro passa baixo com roll-off em forma de cosenoide levantada, que é a região onde o filtro passa gradativamente de passante (on) para o corte (off). Esta região é simétrica em relação ao ponto 
.  Por definição,  o roll-off  R é igual a R = x / B  e pode variar de zero (filtro ideal) até 1 ou 100% quando x = B. 
 Neste caso, o filtro só corta mesmo em f = 2fo = 2B. Similarmente, o roll-off também se aplica a fitros passa faixa. 
 
A Figura seguinte mostra as respostas do filtro passa baixo para roll-off de 0 ,  0,5  e 1 : 
Detalhe : para roll-off = 1, existem zeros adicionais no meio dos zeros originais, que permanecem. 
 
A reconstituição explicada no domínio da freqüência: 
É sabido que o espectro dos pulsos PAM contem uma enorme quantidade de raias, desde a raia com freqüência zero (a componente contínua), e múltiplos inteiros da freqüência de amostragem : fam, 2fam, 3fam, ... Estas raias todas são moduladas em AM pelo sinal analógico quantizado, e consequentemente tem bandas laterais superiores e inferiores iguais a banda do sinal analógico quantizado. Portanto, a raia zero contem a banda lateral de zero até fam/2 = fn, que é exatamente a banda do sinal quantizado. 
Basta então fazer passar o sinal PAM por um filtro passa baixo com freqüência de corte igual a freqüência de Nyquist = 
 para restituir o sinal analógico continuo. 
Só não é possível mostrar porque o filtro real deve ter roll-off simétrico, como foi mostrado no domínio do tempo. 
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