Exercícios de Lógica e Matemática

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Ana´lise Infinitesimal I
Ano lectivo 2012/13 Folha 2
13. Todas as pessoas sa˜o altas e magras
1. Existe algue´m que e´ baixo e gordo
2. Ningue´m e´ alto e magro
3. Existe algue´m que e´ baixo ou gordo
Todas as pessoas gostam de gelado
1. Ningue´m gosta de gelado
2. Todas as pessoas na˜o gostam de gelado
3. Existe algue´m que na˜o gosta de gelado
14. Determine contra-exemplos para as seguintes afirmac¸o˜es:
(a) Para cada n ≥ 2, 2n − 1 e´ primo.
(b) Para todo o n ∈ N, 2n + 3n e´ primo.
(c) Para todo o natural ı´mpar, 2n + n e´ primo.
15. ∗ Mostre que n = 3 e´ um contra-exemplo para a proposic¸a˜o: ∀n ∈ N, n3 < 3n.
Existira˜o outros contra-exemplos? Justifique.
16. (a) Sendo p ⇔ q uma proposic¸a˜o verdadeira, o que pode afirmar relativamente ao valor de verdade
de p⇔∼ q e ∼ p⇔ q ?
(b) Supondo agora que p⇔ q e´ falso, o que pode afirmar relativamente ao valor de verdade de p⇔∼ q
e ∼ p⇔ q ?
(c) Sendo p ⇒ q uma proposic¸a˜o verdadeira, o que pode afirmar relativamente ao valor de verdade
de ∼ p ∧ q ⇔ p ∨ q?
17. Em cada um dos seguintes casos determine se a informac¸a˜o fornecida e´ suficiente para determinar o
valor lo´gico da proposic¸a˜o apresentada. No caso de na˜o ser suficiente, mostre como ambos os valores
de verdade podem aparecer.
(a) (p⇒ q)⇒ r , sendo r verdadeira;
(b) p ∧ (q ⇒ r) , sendo (q ⇒ r) verdadeira;
(c) p ∨ (q ⇒ r) , para (q ⇒ r) verdadeira;
(d) ∼ (p ∨ q)⇔∼ p∧ ∼ q) , para (p ∨ q) verdadeira;
(e) (p⇒ q)⇒ (∼ q ⇒∼ p) , para q verdadeira;
(f) (p ∧ q)⇒ (p ∨ s) , para p verdadeira e s falsa.
18. Um argumento e´ constitu´ıdo por uma premissa (i.e, conjunc¸a˜o dum conjunto finito de proposic¸o˜es
chamadas premissas parciais) e uma conclusa˜o. Um argumento contendo como premissa p1∧p2∧. . .∧pn
e como conclusa˜o q, diz-se um argumento va´lido se e so´ se a proposic¸a˜o (p1 ∧ p2 ∧ . . . ∧ pn) ⇒ q for
uma tautologia.
Analise a validade dos seguintes argumentos:
(a) Bom tempo e´ necessa´rio para se conseguir um belo jardim. Como o jardim esta´ muito bonito o
tempo tem estado bom.
(b) Se hoje for segunda-feira amanha˜ sera´ terc¸a-feira. Mas hoje na˜o e´ segunda feira, logo amanha˜
na˜o e´ terc¸a.
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(c) Hoje e´ segunda ou terc¸a-feira. Mas hoje na˜o e´ segunda. Enta˜o hoje e´ terc¸a-feira.
(d) Se o Daniel na˜o tiver encontrado o Joa˜o ontem a` noite enta˜o o Daniel e´ o assassino ou o Joa˜o na˜o
se encontrava na cidade. Se o Daniel na˜o for o assassino enta˜o o Joa˜o na˜o encontrou o Daniel
ontem a` noite e o assass´ınio na˜o teve lugar no hotel. Mas se o assass´ınio aconteceu no hotel enta˜o
ou Daniel cometeu o crime ou o Joa˜o estava fora da cidade. Logo Daniel e´ o assassino.
19. O Artur, o Bernardo e o Carlos, suspeitos de terem assaltado uma loja de bicicletas, fazem os seguintes
depoimentos:
Artur: “Bernardo e´ culpado, mas Carlos e´ inocente”.
Bernardo: “Se Artur e´ culpado enta˜o Carlos e´ culpado”.
Carlos: “Estou inocente, mas um dos outros dois e´ culpado”.
(a) Os treˆs depoimentos sa˜o compat´ıveis?
(b) Supondo os treˆs re´us inocentes, quem mentiu?
(c) Supondo que todos disseram a verdade, quem e´ inocente e quem e´ culpado?
(d) ∗ Supondo que os inocentes disseram a verdade e os culpados mentira, quem e´ inocente e quem
e´ culpado?
20. (a) Num certo pa´ıs A, cada habitante e´ um amante da verdade ou e´ um amante da mentira e, como
tal, diz sempre a verdade ou diz sempre a mentira. Ao viajar neste pa´ıs encontrei o Pedro e o
Lu´ıs. O Pedro disse-me: “Se eu for um amante da verdade enta˜o o Lu´ıs e´ um amante da verdade.”
Sera´ Pedro um amante da verdade ou da mentira? E o Lu´ıs?
(b) ∗Noutro pa´ıs B, ale´m dos amantes da verdade e da mentira, ha´ pessoas normais que mentem so´
de vez em quando. Ao encontrar um grupo com uma pessoa de cada tipo dizem-me:
Anto´nio: Sou normal. Bruno: Isso e´ verdade. Cristiano: Eu na˜o sou normal.
Que podemos concluir?
(c) No mesmo pa´ıs B encontro o Diogo, que diz ao Euge´nio: Tu dizes mais vezes a verdade do que
eu. Euge´nio responde: Isso na˜o e´ verdade. Podemos concluir alguma coisa?
21. Considere a seguinte frase amb´ıgua “Para todo o x e todo o y, x2 = y2 implica x = y.”
(a) Transforme esta frase numa proposic¸a˜o verdadeira.
(b) Transforme esta frase numa proposic¸a˜o falsa.
22. Sendo
1. a(x, y) “x ama y” 2. b(x) “x e´ belo” 3. h(x) “x e´ homem”
4. e(x) “x e´ encantador” 5. m(x) “x e´ mulher”
apresente uma traduc¸a˜o em portugueˆs das seguintes expresso˜es:
(a) (∀x)[m(x)⇒ (∀y)(a(x, y)⇒ h(y) ∧ b(y))
(b) (∃x)(h(x) ∧ b(x) ∧ a(x,m))
(c) (∃x)[m(x) ∧ e(x) ∧ (∀y)(a(x, y)⇒ b(y) ∧ h(y))]
23. Justifique a validade dos seguintes argumentos
(a) (∃x)(∃y)p(x, y)⇔ (∃y)(∃x)p(x, y)
(b) p(a)⇒ (∃x)p(x)
(c) (∀x)(p(x)⇒ q(x))⇒ ((∀x)p(x)⇒ (∀x)q(x))
24. Apresente interpretac¸o˜es para provar a na˜o-validade das seguintes expresso˜es lo´gicas:
(a)(∀x)(∃x)p(x, y)⇒ (∃x)(∀y)p(x, y) (b) (∀x) ∼ p(x)⇔∼ ((∀x)p(x)).
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