Lista 6 Cônicas e Quádricas

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
Campus Apucarana 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR (GM61A) 
 
Professor: Thiago Cattani Naidon 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 4 – Superfícies Cônicas e Quádricas 
Entrega 29/06/18 
 
 
1- Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço: 
a) 𝑃: 𝑦2 = 9𝑥 
b) 𝑃: 𝑥2 + 8𝑦 = 0 
c) 𝑃: (𝑦 + 3)2 = 9𝑥 
d) 𝑃: (𝑥 + 4)2 = 2𝑦 − 6 
 
2- Em cada situação, obtenha, uma equação da parábola de vértice (1,1), conhecendo seu 
parâmetro P e a localização do foco: 
a) P = 2 e o foco está no semi-eixo negativo das ordenadas. 
b) P = 1 e o foco está no semi-eixo negativo das abscissas. 
c) P = 1/2 e o foco está no semi-eixo positivo das ordenadas. 
d) P = 3/4 e o foco está no semi-eixo positivo das abscissas. 
 
3- Obtenha uma equação algébrica para cada parábola satisfazendo as seguintes 
condições: 
a) 𝐹(4,6) 𝑟: 𝑥 = 0 
b) 𝐹(6,2) 𝑟: 𝑦 − 2 = 0 
c) 𝐹(−2, −3) 𝑟: 2𝑥 + 𝑦 = 4 
 
4- Obtenha uma equação algébrica para cada elipse, utilizando o parâmetro e os focos: 
a) 𝑎 = 6 𝐹1(4,6) 𝐹2(4,8) 
b) 𝑎 = 3 𝐹1(−2, −2) 𝐹2(2,2) 
c) 𝑎 = 4 𝐹1(0,0) 𝐹2(2,2) 
 
5- Calcule a distância focal, a medida do eixo maior, eixo menor, excentricidade. Faça o 
esboço do gráfico para as seguintes equações: 
a) 9𝑥² + 144𝑦² = 36 
b) 4𝑥2 + 9𝑦2 + 1 = 0 
c) 𝑥2 +
2
3
𝑦2 = 10 
d) 
𝑥
4
2
+
2
2
𝑦2 = 0 
e) 𝑥2 − 4𝑦2 = 1 
f) 16𝑦2 − 4 + 16𝑦2 = 0 
 
6- Determine os focos, os vértices e os eixos para cada elipse e, faça um esboço: 
a) 𝐸: 16𝑦2 + 25𝑥² = 400 
b) 𝐸: 𝑦2 + 9𝑥2 = 9 
c) 𝐸: 3𝑦2 + 4𝑥2 = 12 
d) 𝐸: 50 − 𝑦2 + 4𝑥2 = 0 
 
7- Dadas as equações abaixo, determine em cada caso, os vértices, os focos, as 
extremidades do eixos e as equações das assíntotas para cada hipérbole: 
a) 𝐻: 25𝑦2 − 100𝑥² = 3600 
b) 𝐻: 𝑦2 − 9𝑥2 = 81 
c) 𝐻: 3𝑦2 + 𝑥2 = 9 
d) 𝐻: 7𝑥² − 49 − 𝑦2 = 0 
 
8- Identificar as quádricas representadas pelas equações e fazer um esboço das mesmas: 
a) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16 
b) 4𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑧2 − 16 = 0 
c) −4𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2 − 8 = 0 
d) 𝑦2 = 4𝑧 
e) 4𝑥2 − 𝑦2 = 4𝑧 
f) 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2 
g) 16𝑥2 − 4𝑦2 − 𝑧2 − 144 = 0 
h) 16𝑥2 + 4𝑦2 − 𝑧2 − 144 = 0 
i) 16𝑥2 − 4𝑦2 = 16 
j) 4𝑦2 + 𝑧2 − 4𝑥 = 0 
 
9- Reduzir cada uma das equações à forma canônica, identificar e construir o gráfico da 
quádrica que ela representa. 
a) 𝑥2 − 𝑦2 + 𝑧2 = 25 
b) 2𝑥2 − 4𝑦2 + 2𝑧2 − 36 = 0 
c) +4𝑥2 + 2𝑦2 − 𝑧2 − 8 = 0 
d) 𝑥2 = 16𝑧 
e) 4𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑧 
f) 16𝑥2 + 9𝑦2 = 𝑧2 
g) 4𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 − 16 = 0 
h) 16𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 − 16 = 0 
i) 16𝑥2 + 4𝑦2 = 16 
j) 4𝑦2 − 𝑧2 − 4𝑥 = 0 
 
10- A figura representa um hiperboloide de uma folha, cuja equação é: 
𝑥2
4
+
𝑦2
4
−
𝑧2
9
= 1 
Encontre: 
a) Os pontos de interseção com os eixos x, y, z 
b) A equação da curva C1 
c) A equação da curva C2 
d) A equação da curva C3