201667 8718 Apres03 Oscilacoes Amortecidas Forcadas (1)

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Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
� Oscilações amortecidas.
� Oscilações forçadas.
� Ressonância.
Oscilações
Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Amortecimento: vamort xf b= −
v ( )xma kx b F t= − − +
2
2 ( )
d x b dx k
x F t
dt m dt m
+ + = Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea
Força externa: ( )F t
Da 2ª Lei de Newton:
Lei de Hooke: xF kx= −
Oscilações amortecidas e forçadas: 
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Oscilações amortecidas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
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Oscilações amortecidas: 
Solução – caso subamortecido:
( /2 )( ) cos( ' )b m tx t Ae t−= ω + φ
2
2' 4
k b
m m
ω = −
Amortecimento: vamort xf b= −
2
2 0
d x b dx k
x
dt m dt m
+ + =Equação diferencial: Equação diferencial de 2ª ordem homogênea
Em muitos casos: 2 'b k
m
km ω⇒ ≅ ω =<<
MHS com amplitude decrescente:
( /2 )( ) b m tA t Ae−=
2b km<
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Oscilações amortecidas: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
Física B2 – 2012/01 Prof. Jair C. C. Freitas – Depto. de Física / UFES
Oscilações amortecidas: 
http://www.splung.com/content/sid/2/page/damped_oscillations
Subamortecimento: 2b km<
Amortecimento crítico: 2b km=
Superamortecimento: 2b km>
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Oscilações amortecidas: 
Energia mecânica:
2 21 1v
2 2x
E m kx= +
( ) 2vv v vxx x x xdE d dxm kx ma kx bdt dt dt= + = + = −
Potência dissipada no amortecimento:
2v vx amort
dE b f
dt
= − = ⋅
�
� vamort xf b= −
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2
2 ( )
d x b dx k
x F t
dt m dt m
+ + =
Equação diferencial de 2ª ordem inomogênea
Força externa periódica:
( ) cos( )máx dF t F t= ω
Oscilações amortecidas e forçadas: 
Equação diferencial:
Solução estacionária – MHS com frequência ωd e amplitude dependendo da frequência:
2 2
( )
( )
máx
d
d d
FA
k m b
ω =
− ω + ω
( ) má/ ximod dAk m ⇒ ωω =
Ressonância!
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Oscilações forçadas e ressonância: 
Física II – Termondinâmica e Ondas
Sears | Zemansky | Young | Freedman
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Oscilações forçadas e ressonância: 
http://www.if.ufrj.br/~neumann/flash/forcado.html
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A ponte de Tacoma
http://www.enm.bris.ac.uk/research/nonlinear/tacoma/tacoma.html
Oscilações forçadas e ressonância: 
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Exemplos de ressonância mecânica (acústica):
Oscilações forçadas e ressonância: 
http://www.soundpiper.com:8080/mln/brain.htm
http://www.bbc.co.uk/news/science-environment-13573631
http://metaist.com/blog/2010/01/resonance.html
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Outros exemplos de ressonância – circuitos elétricos:
Oscilações forçadas e ressonância: 
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/serres.html
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Outros exemplos – Ressonância magnética nuclear (RMN):
Oscilações forçadas e ressonância: 
“NMR Logging: Principles and Applications”, Coates et al. 1999.
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Bibliografia:
� Física II – Termodinâmica e Ondas, H. D. Young & R. A. Freedman, 12a ed., 
Pearson, 2008.
� Curso de Física Básica. Vol. 2 – Fluidos, Oscilações, Ondas e Calor, Moisés 
Nussenzveig, Edgar Blücher, 1996.
� Física Conceitual, P. G. Hewitt, 11a ed., Bookman, 2011. 
� A Física e o nosso mundo, Hans Christian von Baeyer, Elsevier, 2004.