Noções fundamentais de probabilidade e estatística

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BIOESTATÍSTICA 
 
NOCÕES FUNDAMENTAIS 
 
Conceito Básico: 
 
Def. – Vários autores têm procurado definir a Estatística. Através de muitos livros escritos sobre 
Estatística, todos contendo definições, desde as mais simples até as mais complexas, porém a 
que vamos sugerir aqui é a que julgamos ser simples e fácil de ser memorizada : 
 
 Estatística é a ciência que estuda as técnicas necessárias para coletar, organizar, 
 apresentar, analisar e interpretar os dados, a fim de extrair informações a respeito de 
 uma população. 
 
Objetivo e Aplicação: 
 
Objetivo – O objetivo da Estatística é a análise e interpretação dos fenômenos sociais de qualquer 
 natureza, com o intuito de fornecer ao ser humano dados suficientes para planejamento de 
 ações futuras. 
 
Aplicação – Vamos encontrar aplicação da Estatística no Comércio, na Industria, na Medicina, na 
 Física, na Química, na Biologia, na Psicologia, na Sociologia, na Economia, na 
 Engenharia, na Agronomia, na Administração, na Zootecnia, enfim, em todos os 
 conceitos de atividade humana que dela fazem uso. 
 Do exame de uma série Estatística, uma empresa poderá adquirir a quantidade, a matéria 
 exata para o seu funcionamento, graças a comparações e análises das tabelas referentes e 
 já elaboradas. A operação com numeração Estatística é uma tarefa especializada e deverá 
 ser tratada com muito discernimento e conhecimento, pois poderá levar-nos a conclusões 
 indevidas. 
 
Noções de População e Amostra: 
 
População – O conjunto da totalidade dos indivíduos ou objetos sobre o qual se faz uma inferência recebe o nome de 
população ou universo. A população congrega todas as observações que sejam relevantes para o estudo 
de uma ou mais características dos indivíduos ou objetos. Em linguagem mais formal, a população é o 
conjunto constituído por todos os indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica 
comum, cujo comportamento interessa analisar (inferir). 
Exemplo: As pessoas de uma comunidade podem ser estudadas sob diversos ângulos : o conjunto 
 das estaturas de todas essas pessoas constituem uma população de estaturas; o conjunto 
 de todos os pesos constituem uma população de pesos, etc.... 
 
Amostra – A amostra pode ser definida como um subconjunto, uma parte selecionada da totalidade de observações 
abrangidas pela população, através da qual se faz um juízo ou inferência sobre as características da 
população. As características da amostra são chamadas de Estatísticas (descritivas), sendo simbolizadas 
por caracteres latinos, enquanto que os parâmetros da população terão como símbolos, via de regra, os 
caracteres gregos. Nesse texto, a preocupação será, portanto, a de descrição das amostras através da 
comumente chamada Estatística Descritiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE AMOSTRAGENS 
 
Utilizamos a amostragem em nossa vida diária, por exemplo, num aeroporto internacional, a escolha dos passageiros, 
para a revista da bagagem, é feita por amostragem. 
Existem técnicas adequadas para recolher amostras, de forma a garantir (tanto quanto possível) o sucesso da pesquisa e 
dos resultados. 
Devemos estabelecer um número mínimo de elementos para compor a amostra. Essa quantidade não deve ser menor 
que 10% do total de elementos da população. 
 
Por que Amostragem? 
 
• Economia – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais econômico que o levantamento de 
dados sobre toda a população; 
• Tempo – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais rápido que o levantamento de dados 
sobre toda a população; 
• Confiabilidade dos dados – Ocorre menor número de erros em pesquisas que disponham de menor número 
de elementos; 
• Operacionalidade – É mais fácil trabalhar os dados em menor escala. 
 
Técnicas para a determinação da Amostragem: 
 
• Amostragem casual ou aleatória simples; 
• Amostragem proporcional estratificada; 
• Amostragem sistemática. 
 
Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 
É a seleção por meio de sorteio. É sempre recomendável que a amostra contenha no mínimo 10% da população. 
Inicialmente, devemos listar ou numerar de 1 a N a população a ser analisada, e posteriormente selecionar uma 
amostra de pelo menos 10% da população mediante um sorteio. 
 
Amostragem Proporcional Estratificada 
 
Nesta amostragem consideramos a população dividida em subconjuntos, em que cada subconjunto recebe o nome de 
estrato. Cada subconjunto (chamado estrato) tem uma característica comum entre seus elementos. 
 
Amostragem Sistemática 
 
Esse método é um procedimento para a amostragem aleatória, utilizado quando os elementos da população já se acham 
ordenados. Exemplos que podem ser citados: os prédios de uma rua, os funcionários de uma empresa, as linhas de 
produção etc... 
 
 Intervalo de Seleção: 
n
N
 , onde N é a população e n é a amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Classificação da Estatística: 
 
A Estatística pode ser dividida, basicamente, em duas partes que se inter-relacionam: a Estatística Descritiva e a 
Estatística Indutiva. 
 
Estatística Descritiva ou Dedutiva – É à parte da Estatística que descreve a organização, o resumo e 
 a descrição de conjuntos de dados variáveis, reduzindo-os a um pequeno número de 
 medidas que contém toda a informação relevante. A finalidade é tornar as coisas mais 
 fáceis de entender, de relatar, de discutir. Nestes processos descritos de sintetização 
 salientam-se as formas de apresentação de dados, através de tabela e gráficos, e as medidas 
 de posição (tendência central) de dispersão (variabilidade), de assimetria e curtose. 
 
Exemplo : Índices de desemprego, de mortalidade, de acidentes no trabalho, de custo de vida, média 
 de estudantes, produção média de uma fábrica, despesa média de uma família, etc.... 
 
Estatística Indutiva ou Inferência Estatística – É à parte da Estatística que, baseando-se em 
 resultados obtidos da análise de uma amostra da população, procura inferir, induzir ou 
 estimar as leis de comportamento da população da qual a amostra foi retirada, através do 
 cálculo de probabilidade. 
Exemplo : Através de uma pesquisa eleitoral, um instituto anuncia o provável vencedor das eleições 
 para governador. Fábricas freqüentemente produzem um pequeno número de peças (lote 
 piloto) antes de se lançarem à fabricação em grande escala. Uma nova vacina é testada 
 num grupo de pacientes para se avaliar a sua eficácia. 
 
Arredondamento Estatístico de Dados: 
 
Sempre nos deparamos com situações onde é necessário ou conveniente suprimir unidades 
inferiores às de determinada ordem. 
Torna-se imperiosa, então, a definição de critérios para considerar números próximos aos que 
representam os valores reais de determinada medida, com finalidade de reduzir ao mínimo os efeitos 
dos erros cometidos nessas aproximações. 
Os critérios de arredondamento de dados foram estabelecidos através da Resolução nº 886, de 
26/10/1996, do Conselho Nacional de Estatística. 
 
1) Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a 
permanecer. 
Exemplo : Arredondar para o centésimo mais próximo: 47,523 ≅ 47,52 26,450 ≅ 26,45 
 35, 892 ≅ 35,89 98, 764 ≅ 98,76 
 
Arredondar para a unidade mais próxima: 115,39≅ 115 189,47 ≅ 189 456,28 ≅ 456 
 97,08 ≅ 97 76,18 ≅ 76 
 
2) Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 6, 7, 8, ou 9, aumenta-se em uma unidade o último algarismo 
a permanecer. 
Exemplo : Arredondar para o centésimo mais próximo: 89,567 ≅ 89,57 58,479 ≅ 58,48 
 98,498 ≅ 98,50 47,356 ≅ 47,36 
 
Arredondar para a unidade mais próxima: 65,74 ≅ 66 28,92 ≅ 29 
 875,84 ≅ 876 126,64 ≅ 127 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Quando o primeiro algarismo a ser suprimido for 5, apresentam-se duas soluções: 
 
3.1) Se ao 5 seguir, em qualquer casa, um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade ao último 
 algarismo a permanecer. 
Exemplo : Arredondar para o décimo mais próximo: 5,453 ≅ 5,5 76,35003 ≅ 76,4 
 
3.2) Se o 5 for o último algarismo (ou se a ele só se seguirem zeros) o último algarismo a permanecer: 
 a) Sendo par, permanece inalterado. 
Exemplo : Arredondar para o décimo mais próximo: 47,65 ≅ 47,6 124,45000 ≅ 124,4 
 
 b) Sendo impar, será aumentado em uma unidade. 
Exemplo: arredondar para a unidade mais próxima: 57,5 ≅ 58 85,500 ≅ 86 
 
Arredondamento de Soma: 
 
Quando se trata de soma, deve-se arredondar primeiro o total, e posteriormente as parcelas. Há aqui dois casos a 
considerar: 
 
a) Se a soma das parcelas da série arredondada for superior ao total, deve-se retornar à série original, 
arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as 
parcelas anteriormente arredondadas por excesso e cujas frações desprezadas formem um número mais 
próximo de 5, 50, 500 etc..., conforme o caso. 
Exemplo: 
 
Série original Série arredondada Série corrigida 
6,51 7 6* 
7,50 8 7* 
14,63 15 15 
20,10 20 20 
24,73 25 25 
26,52 27 27 
99,99 102 >100 100 
 * Arredondamentos refeitos. 
 
b) Se a soma das parcelas da série arredondada for inferior ao total, retornar-se-á à série original, 
 arredondando-se, por excesso, tantas parcelas quantas sejam as unidades em falta. Serão 
 escolhidas aquelas parcelas anteriormente arredondadas por falta e cujas frações formem um 
 número mais próximo de 5, 50, 500 etc.., conforme o caso. 
Exemplo: 
 
Série original Série arredondada Série corrigida 
5,34 5 5 
7,45 7 8* 
18,50 18 19* 
19,90 20 20 
22,37 22 22 
26,43 26 26 
99,99 98 <100 100 
 * Arredondamentos refeitos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Somatório e suas Propriedades: 
 
Muitas vezes precisamos escrever expressões que envolvem somas com muitos termos, ou cujos 
termos obedecem a certa lei de formação. Por exemplo, a soma dos 110 primeiros números naturais: 
 
1 + 2 + 3 + 4 + . . . . . . . . + 109 + 110. 
 
Simbolizaremos por xi o i-ésimo termo da soma. Assim, x1 representa o 1º termo, x2 representa o 2º, x3, 
o 3º, x110 , o centésimo décimo elemento. 
Também chamaremos “n” o número de termos da soma. Na ilustração n = 110. 
A soma de “n” termos pode simbolicamente representada por: ∑
=
n
i
ix
1
 
No caso anterior, temos 110 termos; então n = 110 e a soma dos cento e dez números será representada por: ∑
=
110
1i
ix 
Partes do símbolo do Somatório: ∑
=
n
i
ix
1
 
a) “ ∑ ”– é o operador somatório (instrução para somar) 
b) “ n ” – é último elemento a ser somado 
c) “ x ” – é o nome dos termos a serem somados 
d) “ i ” – o primeiro elemento dos termos a serem somados. 
 
Lê-se a simbologia acima assim : somatório de xi , para “i” variando de 1 a “n”. O símbolo “∑ ” é a 
letra grega maiúscula chamada SIGMA.. 
Caso estivéssemos interessados na soma dos segundo, terceiro,... centésimo elemento, deveríamos 
escrever ∑
=
100
2i
 
 
Propriedades do Somatório: 
 
1º) Se cada elemento da série é multiplicado por uma constante, os elementos podem ser somados e o 
 resultado multiplicado pela constante. 
 ∑ ∑
= =
=
n
i
n
i
ixcixc
1 1
..
 
 
2º) A soma de uma constante sobre “n” termos é igual a “n” vezes a constante. 
 ∑
=
=
n
i
cnc
1
.
 
 
3º) O somatório da soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) dos somatórios individuais das 
 variáveis. 
 
( )∑ ∑ ∑
= = =
±=±
n
i
n
i
n
i
iyixiyix
1 1 1
 
 
 
 
 
 
 
 
4º) O somatório múltiplo (duplo) de um produto é igual ao produto dos somatórios tomados 
 separadamente. 
 ∑ ∑ ∑∑
= =










=
⋅








=
=
n
i
m
j
m
j
jy
n
i
ixjyix
1 1 11
 
 
Observações Importantes: 
 
1º) Quando não houver possibilidades de dúvidas, poderemos eliminar os índices. Dessa forma: 
 ∑ ∑
=
=
n
i
xix
1
 ; ∑ ∑
=
=
n
i
xix
1
22
 
 
2º) O somatório dos quadrados é diferente do quadrado do somatório. 
 ( )∑ ∑≠ 22 xx 
 
3º) O somatório dos produtos é diferente do produto de dois somatórios. 
 ∑ ∑∑ ⋅≠ yxxy 
 
4º) Sempre que houver operações indicadas em frente do somatório, deveremos desenvolve-las, para 
 em seguida aplicarmos as propriedades. 
 ( )∑ ∑ ∑∑∑ ++= ++=+
2222222 yxyxyxyxyx 
5º) O número k de parcelas ou termos do somatório ∑
=
n
ai
é dado pela seguinte expressão: 
 k = 1+− an 
 
Somatório Duplo: 
 
É freqüente na representação dos dados estatísticos, o uso de tabelas de dupla entrada, onde os valores 
são expressos em função de duas variáveis. Uma variável linha e uma variável coluna. Poderíamos representar numa 
tabela de dupla entrada: estado civil X sexo; faixas etárias X faixas de rendas; escolaridade X departamentos, etc... 
A indicação da soma dos elementos de tabelas de dupla entrada pode ser feita pelo somatório duplo. 
Seja ijx um elemento genérico, sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
J 1 2 3 ...K 
I 
1 X11 X12 X13 X1k 
2 X21 X22 X23 X2k 
3 X31 X32 X33 X3k 
. . . . . 
. . . . . 
. . . . . 
L XL1 XL2 XL3 XLK 
 
 
Assim teremos: a) lkXXXkXXX +++++++ ...22211...1211 = ∑ ∑
= =
L
i
K
j
ijx
1 1
 
 
 
 
 b) ∑ ∑
= =
=++++++
L
i
K
j ij
xlkXXkXXX
3 3
22
...
2
43
2
3...
2
34
2
33 
 
 c) ∑
=
=++++
K
j
jxkXXXX
1
22...232221 
 d) ∑
=
=+++
L
i
ixLXXX
1
33...2313 
Exemplo: ijX representa o elemento sujeito à i-ésima linha e à j-ésima coluna da tabela abaixo: 
 
 
j 1 2 3 4 
i 
1 5 -2 0 1 
2 2 1 0 -2 
3 1 2 4 3 
 
 
Pede-se calcular: 
a) ∑ ∑
= =
=
3
1
4
1i j
ijx 5 + (-2) + 0 + 1 + 2 +...+ 3 =15 
b) =
=
∑
4
1
3
j
jx 1 + 2 + 4 + 3 = 10 
c) ∑ ∑
=
=
=
3
2
4
3
3
i j ij
x ( ) 8333343230 =++−+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO 
 
COMENTÁRIO: - Quando pretendemos um estudo estatístico completo, recorremos a diversas etapas ou operações 
que são chamadas Fases do trabalho estatístico as quais descreveremos: 
 
As Fases principais são: - Definiçãodo Problema 
- Planejamento 
- Coleta dos Dados 
- Apuração dos Dados 
- Apresentação dos Dados 
- Análise e Interpretação de Dados 
 
Definição do Problema: Consiste na formulação correta do problema a ser estudado, saber exatamente aquilo que se 
pretende pesquisar é o mesmo que definir corretamente o problema. 
Planejamento: Consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, como 
levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. 
É nessa fase que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, onde temos dois tipos de levantamento: 
 1.- Levantamento censitário, quando a contagem for completa, abrangendo todo o universo. 
 2.- Levantamento por amostragem, quando a contagem for parcial. 
 
Temos outros elementos importantes que não devem ser esquecidos dentre eles destacamos: 
- cronograma das atividades, onde fixamos os prazos para as várias fases; 
- custos envolvidos; 
- exame das informações disponíveis; 
- delineamento da amostra, 
- forma como serão escolhidos os dados. 
 
Coleta dos Dados: Refere-se à obtenção, reunião e registro sistemático de dados, com um objetivo determinado. 
Lembramos que é possível, pois, distinguir dois tipos de fontes externas, as quais darão origem a duas espécies de 
dados: 
- Dados Primários: São aqueles publicados ou comunicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido, 
exemplos Censo Demográficos. 
- Dados Secundários: São aqueles publicados ou comunicados por outra organização, exemplo Publicações Estatísticas 
extraídas de várias fontes e relacionadas com diversos setores industriais através de determinado jornal. 
Recomendamos trabalhar com fontes primárias, por várias razões: 
1- Uma fonte primária oferece, em geral, informações mais detalhadas do que uma fonte secundária; 
2- É mais provável que as definições de termos e de unidades figurem somente nas fontes primárias; 
3- O uso da fonte secundária traz o risco adicional de erros de transcrição; 
4- Uma fonte primária poderá vir acompanhada de cópias dos impressos utilizados para coletar as informações, 
juntamente com o procedimento adotado na pesquisa, a metodologia seguida e o tipo e tamanho da amostra. 
 
Podemos também realizar a Coleta de Dados de duas maneiras: Coleta Direta e Indireta. 
 
- Coleta Direta: É aquela obtida diretamente da fonte, é o caso da empresa que realiza uma pesquisa para saber a 
preferência dos consumidores pela sua marca. Existem três tipos de Coleta Direta: 
 
 1- Coleta Contínua, 
 2- Coleta Periódica, 
 3- Coleta Ocasional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coleta Contínua: É aquela obtida ininterruptamente, automaticamente e na vigência de um 
 determinado período, exemplo: registro de nascimento, casamento. 
Coleta Periódica: É aquela obtida em períodos curtos, determinados, de tempos em tempos, 
 exemplo: recenseamento demográfico, realizado a cada dez anos 
Coleta Ocasional: É aquela obtida esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma 
 emergência, exemplo: coleta de casos fatais em um surto epidêmico. 
 
- Coleta Indireta: É obtida a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, é feita, portanto, por 
 deduções e suposições, podendo ser realizada: 
 
1 – Por Analogia 
2 – Por Proporcionalização 
3 – Por Indícios 
4 – Por Avaliação 
 
Por Analogia: É aquela quando o conhecimento de um fenômeno é induzido a partir de outro que com 
 ele guarda relações de casualidade; 
Por Proporcionalização: É aquela quando o conhecimento de um fato se induz das condições 
 quantitativas de uma parte dele; 
Por Indícios: É aquela que se dá quando são escolhidos fenômenos sintomáticos para discutir um 
 aspecto geral da vida social; 
Por Avaliação: É aquela que ocorre quando, através de informações fidedignas ou estimativas 
 cadastrais, se presume o estado quantitativo de um fenômeno. 
 
Apuração dos Dados: É um trabalho de condensação e de tabulação dos dados, que chegam ao analista de forma 
desorganizada, tornando impossível à tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura. 
Dependendo das necessidades e dos recursos disponíveis há várias formas de se fazer a apuração: Manual, Mecânica, 
Eletromecânica ou Eletrônica. 
 
Apresentação dos Dados: A apresentação ou exposição dos dados observados pode ser feita de duas formas, onde não 
se excluem mutuamente: 
1 – Apresentação Tabular: Que é uma apresentação numérica dos dados 
2 – Apresentação Gráfica: Que é uma apresentação geométrica dos dados numéricos. 
 
Análise e Interpretação dos Dados: Nesta fase do trabalho o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem 
o pesquisador a resolver seu problema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO DAS INFORMAÇÕES 
 
APRESENTAÇÃO TABULAR: 
 
Um dos métodos usados para a apresentação de dados estatísticos é aquele que consegue expor os resultados sobre 
determinado assunto num só local, sinteticamente, de tal modo que tenhamos uma visão mais globalizada daquilo que 
vamos analisar. Denominamos esse método de Apresentação Tabular. 
Apresentação Tabular dos dados estatísticos se faz mediante tabelas (ou quadros), resultantes da disposição dos 
respectivos dados em linhas e colunas distribuídos de modo ordenado, segundo regras práticas adotadas pelos 
diversos sistemas estatísticos. No Brasil estas regras foram fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. 
Definições: 
Definimos tabela como sendo a “disposição escrita que se obtém referindo-se uma coleção de dados numéricos a uma 
determinada ordem de classificação”. Uma tabela pode ser simples ou de dupla entrada. 
 
Tabela Estatística Simples é “aquela composta de uma coluna matriz, também chamada coluna indicadora, onde 
inscritos os valores ou modalidades da ordem de classificação e da coluna em que aparecem os valores que 
representam as ocorrências ou as intensidades do fenômeno em casa”. 
 
Tabela de dupla entrada é aquela “própria à apresentação das distribuições a dois atributos, qualitativos ou 
quantitativos, em que existem duas ordens de classificação: uma horizontal e outra em coluna indicadora; nos 
cruzamentos formados pelas linhas com as colunas encontra-se a freqüência dos indivíduos que apresentam 
conjuntamente as alternativas correspondentes à linha e à coluna que sobre ela se cruzam”. Exemplo: a tabulação 
simultânea de um conjunto de pessoas segundo seus pesos e suas estaturas. 
As tabelas estatísticas se compõem de elementos essenciais e elementos complementares. 
 
Elementos Essenciais: 
Os elementos essenciais de uma tabela são: título, corpo, cabeçalho, e coluna indicadora. 
Título – é a indicação que precede a tabela e que contém, a designação do fato observado, o local e a época em que foi 
registrado. 
Corpo – é o conjunto de colunas e linhas que contém, respectivamente, em ordem vertical e horizontal, as 
informações sobre o fato observado. 
Cabeçalho – é a parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas. 
Coluna Indicadora – é a parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas. 
 
Elementos Complementares 
Os elementos complementares de uma tabela estatística são: fonte, notas, e chamadas, todos eles se situando, de 
preferência, no rodapé da tabela. 
Fonte – é a indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração. 
Notas – são informações de natureza gerais, destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas ou a indicar a 
metodologia adotada no levantamento ou na elaboração dos dados. 
Chamadas – são informações de natureza específicas sobredeterminada parte da tabela, destinadas a conceituar ou a 
esclarecer dados. As chamadas são indicadas no corpo da tabela em algarismos arábicos, entre parênteses, à esquerda 
das casas e à direita da coluna indicadora. A numeração das chamadas na tabela será sucessiva, de cima para baixo, e 
da esquerda para a direita. A distribuição das chamadas no rodapé da tabela obedecerá à ordem de sua sucessão na 
tabela, separando-se uma das outras por um ponto. 
 
 
Sinais Convencionais 
a) – (traço horizontal), quando o valor numérico é nulo, quanto ao resultado do inquérito ou em casos em que o 
espaço tiver que ser deixado em branco, pela natureza das coisas ou pela maneira como a tabela é apresentada; 
b) ... (três pontos), quando não se dispõe dos dados; 
c) ? (ponto de interrogação), quando há dúvida quanto à exatidão do valor numérico; 
d) § (parágrafo), quando o dado retifica informação anteriormente publicada; 
e) 0; 0,0; 0,00 (zero), quando o valor numérico é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se os 
valores numéricos são expressos em números decimais, acrescentar-se-á à parte decimal um número 
correspondente de zeros; 
f) X (letra X), quando o dado for omitido a fim de evitar individualização de informações. 
 
 
 
Apresentação das Tabelas 
Quando apresentarmos uma tabela estatística, deveremos levar em consideração os seguintes pontos: 
a) Nenhuma casa deve ficar em branco, apresentando sempre um número ou sinal convencional; 
b) Evitar-se-á apresentação de tabelas em que a maior parte das casas indique a inexistência do fenômeno, a 
ausência de informações e dados sujeitos a retificação; 
c) As tabelas serão fechadas, no alto e embaixo, por traços horizontais, fortes, preferencialmente; 
d) As tabelas não serão fechadas, à direita e à esquerda, por traços verticais; será facultativo o emprego de traços 
verticais para separação das colunas no corpo da tabela, embora seja mais usual o seu uso; 
e) Nas tabelas que ocupam diversas páginas, as “chamadas” devem ser inseridas no rodapé das páginas em que 
estiverem indicadas; a “fonte” e as “notas” figurarão no fim da tabela; 
f) A soma dos dados numéricos de uma linha ou coluna será indicada destacadamente pela palavra “total”, 
exceto quando se referir a uma área geográfica, caso em que receberá o nome do conjunto da mesma; 
g) É facultativo que o total preceda ou suceda as parcelas; em qualquer dos casos, o modo de apresentação deve 
ser uniforme; a soma de totais parciais será indicada pela expressão “total geral”; 
h) Quando os dados se referirem a uma série de anos civis consecutivos, indicar-se-ão três algarismo, no caso de 
variar o século, e dois em caso contrário, separados por um hífen: 1890 – 960; 1960 – 67; 
i) Quando os dados se referirem a uma série de anos civis consecutivos, indicar-se-ão ambos em algarismo 
completos, separados por hífen: 1950 – 1967; 
j) Quando os dados se referirem a um período de doze meses diferentes do ano civil, indicar-se-ão o primeiro e a 
parte variável do segundo, separados por uma barra inclinada: 1966 / 67; 
k) A indicação dos meses poderá ser abreviada pelas suas três primeiras letras. 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS: 
 
Denominamos Série Estatística ao conjunto de números, associados a um fenômeno expressando quantidades 
absolutas ou grandezas, disposto em correspondência com um critério de modalidade. 
Segundo esse critério podemos ter: 
 
a) Séries Cronológicas 
b) Séries Geográficas 
c) Séries Específicas 
d) Séries Conjugadas 
e) Distribuição de Freqüência 
 
Séries Cronológicas 
 
Também denominadas temporais, têm como critério classificado a característica de o tempo ser variável, enquanto o 
local e o fato permanecem fixos. 
 
 Evolução da demanda de vestibulandos 
 para o 3º grau – Brasil – 1995 – 99 
Anos Inscritos 
1995 1.250.537 
1996 1.559.094 
1997 1.803.567 
1998 1.735.457 
1999 1.989.249 
 Fonte: Ministério da Educação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Séries Geográficas 
 
Também chamadas de localização, onde o local é a variável, enquanto que o tempo e o fato permanecem constantes. 
 
 Número de emissoras de rádio FM’s no 
 Rio Grande do Norte – 1999 
Cidades Quantidades 
Natal 15 
Mossoró 10 
Caicó 05 
Parnamirim 02 
 Fonte: Dentel 
 
Séries Específicas 
 
Séries específicas, ou de qualidade, apresentam o local e o tempo constantes, enquanto que o fato é que varia. Tais 
séries se apresentam de duas maneiras: quando o fato se apresenta como um todo e quando o fato se apresenta disposto 
em classes ou categorias, dando nesse caso, origem à chamada distribuição de freqüências, que, mercê de sua 
importância, será analisada mais à frente de forma pormenorizada. 
 
 Matrículas no ensino de 3º grau em Mossoró 
 na Uern - 1999 
Cursos Matrículas 
Administração 50 
C. Contábeis 45 
História 35 
Direito 60 
 Fonte: Dare 
 
Séries Conjugadas 
 
Também chamadas mistas, quando existe a combinação entre as séries cronológicas, geográficas e específicas, visto 
que podem variar o fato, o lugar e o tempo. 
 
 Agências do Banco do Brasil instaladas em 
 algumas cidades do Rio G. do Norte, 1992 – 1996 
Cidades 1992 1996 
Natal 03 05 
Mossoró 01 02 
Parnamirim 01 01 
Caicó 01 01 
Currais Novos 01 01 
Santa Cruz 01 01 
Umarizal 01 01 
 Fonte: Anuário do Banco Central 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de Freqüência 
 
Também chamadas distribuição por freqüência ou derivadas, são séries que têm fixos o fenômeno, o tempo e o local, 
sendo o fenômeno apresentado através de gradações da variável. 
As gradações do fenômeno estudado são obtidas através de classes de freqüências, cujo método de obtenção será 
ensinado mais adiante. 
 
 Estrutura Etária da População no Rio G. do 
 Norte – 1999 
Idades (anos) % 
 0 | 10 29 
 10 | 20 25 
 20 | 30 21 
 30 | 40 10 
 40 | 50 10 
 50 | 60 3 
 60 | 70 1 
 70 | 80 1 
 Fonte: Fundação IBGE 
 
APRESENTAÇÃO GRÁFICA: 
 
Chamamos de apresentação gráfica de um fenômeno o processo de obtenção de uma figura geométrica representativa 
desse mesmo fenômeno em toda sua extensão. A figura geométrica assim obtida denomina-se gráfico ou diagrama do 
fenômeno. 
O gráfico constitui, atualmente, um instrumento essencial para o economista, o administrador, o educador, o biólogo, o 
químico, o engenheiro, o sociólogo, bem como para os profissionais de quase todos os demais ramos de atividades. 
 
Classificação dos Gráficos 
 
a) Gráficos Lineares ou de Curvas 
b) Gráficos em Barras ou em Colunas 
c) Setogramas 
d) Outros Tipos 
 
Gráficos Lineares ou de Curvas 
 
O diagrama linear, provavelmente, é o gráfico empregado com maior freqüência. Representa alterações quantitativas 
sob a forma de uma linha. As flutuações da linha proporcionam rápida percepção visual da tendência dos dados ou da 
sua mutação em certo período de tempo. 
Exemplo: Construir um gráfico linear baseado nos dados da tabela a seguir. 
 
 Evolução do preço médio unitário dos PCs no Brasil 1994 – 000 
Anos Preços em reais Med.Graf.=Preço/Med.real 
1994 1415 2,9 
1995 1477 3,1 
1996 1580 3,3 
1997 1850 3,9 
1998 1680 3,5 
1999 1350 2,8 
2000 1290 2,6 
 Fonte: Data Folha 
Construção: São 07 anos a representar, ou seja, 06 intervalos de tempo, neste período. Cada intervalo pode valer 1cm, 
2cm, 3cm etc., dependendo das dimensões do papel; escolhemos 1cm, então: 
Largura do Gráfico = 6 x 1 = 6cm Altura Máxima = 4,8 Altura Mínima = 3,4 
Maior Preço em reais = 1850 ÷ 4,8 ≅ 385 e 1850 ÷ 3,4 ≅ 544 
 
 
 
 
A passagem da medida real para a medida gráfica é feita atravésde uma escala que, como vimos, deve figurar no 
intervalo de 385 a 544 PCs por centímetro. 
Escolhemos 1cm correspondente a 480 PCs. 
 
Gráficos em Barras ou em Colunas 
 
O gráfico em barras confronta quantidades por meio de barras cuja largura é constante, enquanto a altura varia em 
função da magnitude dos valores. Os retângulos podem apresentar-se horizontal ou verticalmente, devendo-se preferir 
a última posição quando está envolvido o elemento tempo. 
Exemplo: Construir um gráfico em barras baseado nos dados da tabela a seguir: 
 
 Matricula Inicial no Ensino do 2º grau no Rio G. do Norte –1990 – 94 
Anos Matrículas (1000) Med.Graf.=Matric/Med.real 
1990 1003 6,7 
1991 1119 7,5 
1992 1300 8,7 
1993 1480 9,9 
1994 1682 11,2 
 Fonte: Secretaria de Educação 
Construção: Devemos considerar 05 colunas e 06 espaços (as colunas são separadas da moldura do gráfico e entre si, 
por espaços). Cada coluna pode ter para largura 1cm, 2cm 3cm, etc..., dependendo das dimensões do papel, os espaços 
entre colunas devem ser no máximo 2/3 da largura da coluna. 
Largura do Gráfico = 5 colunas à 2cm + 6 espaços à 1cm = 16cm 
Altura Mínima = 9,1 Altura Máxima = 12,8 
Maior Quantidade de Alunos Matriculados =1682 ÷ 9,1 ≅ 185 e 1682 ÷ 12,8 ≅ 131 
A passagem da medida real para a medida gráfica é feita através de uma escala que, como vimos, deve figurar no 
intervalo de 131 a 185 matriculas por centímetros. 
Escolhemos 1cm correspondentes 150.000 matriculas. 
 
Setogramas 
 
É um circulo cuja área se divide em segmentos representativos das partes proporcionais de um todo. O setogramas 
constitui um tipo de gráfico de componentes e presta-se para confrontar as partes integrantes de um total. 
Exemplo: Construir um gráfico de setores com os dados da tabela abaixo. 
 
 Produção Agrícola no Vale do Açu – 2000 
Discriminação Tonelada % º 
Banana 150 60 216 
Melão 57 22,8 82,08 
Uva 25 10 36 
Abacaxi 18 7,2 25,92 
Total 250 100 360 
 Fonte: Emater 
Construção: Verificamos, ao observar a tabela, que a soma da produção em toneladas do nosso exemplo é de 250, total 
que corresponderá a 100%, no gráfico de setores. 
Calculamos a percentagem correspondente a cada produção, desta maneira: 
Banana... se 250 ton → 100% 
 150 ton → x , encontramos x = 60% 
Fazemos o mesmo com as outras produções. 
Calculamos também os graus dos ângulos correspondentes às porcentagens de cada produto, sabendo-se que o total 
(100%) equivale (360º), logo teremos: se 100% → 360º 
 60% → x , encontramos x = 216º 
Fazemos o mesmo com as outras produções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA 
 
Definição: É uma tabela na qual os possíveis valores de uma variável se encontram agrupados em classes de valores, 
registrando-se o número de dados observados em cada uma delas. Desta forma, podemos dividir as 
distribuições de freqüências em dois tipos: 
 
Distribuição de Freqüência – Variável Discreta 
 
 É uma representação tabular de um conjunto de valores em que colocamos na primeira coluna em ordem 
crescente apenas os valores distintos (variável discreta) da série e na segunda coluna colocamos os 
valores das freqüências simples correspondentes. Geralmente esta variável assume valores inteiros. 
Exemplos: 
 
1. número de alunos da classe X; 
2. número de acidentes na Av. Presidente Dutra; 
3. quantidade de livros da biblioteca da escola; 
4. peças defeituosas num lote recebido. 
 
Exemplo de construção de uma variável discreta: A seqüência abaixo representa a observação do número de acidentes 
por dia, em uma rodovia, durante 25 dias. 
 
X: 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 0, 3, 2, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 0, 0. 
 
Os valores distintos da seqüência são: 0, 1, 2, 3. 
As freqüências simples respectivas são: 10, 7, 6, 2. 
Portanto, a variável discreta representativa desta seqüência é: 
 
xi fi 
0 10 
1 7 
2 6 
3 2 
total 25 
 
 
Devemos optar por uma variável discreta na representação de uma série de valores quando o número de 
elementos distintos da série for pequeno. 
 
Distribuição de Freqüência – Variável Continua 
 
 É quando a variável assume valores em intervalos da reta real, não é possível enumerar 
 todos os valores. Geralmente esta variável provém de medições. Exemplos: 
 
1. peso dos alunos de uma classe; 
2. lucro das empresas no ramo metalúrgico; 
3. tempo de duração de um transistor; 
4. nota de aproveitamento dos alunos. 
 
Exemplo de construção da variável contínua: Suponha que a observação das notas de 30 alunos em uma prova nos 
conduzisse aos seguintes valores: 
 
X: 3; 4; 2,5; 4; 4,5; 6; 5; 5,5; 6,5; 7; 7,5; 2; 3,5; 5; 5,5; 
 8; 8,5; 7,5; 9; 9,5; 5; 5,5; 4,5; 4; 7,5; 6,5; 5; 6; 6,5; 6. 
 
Observando estes valores notamos grande número de elementos distintos, o que significa que neste caso a variável 
discreta não é aconselhável na redução de dados. 
Nesta situação é conveniente agrupar os dados por faixas de valores, ficando a série com a seguinte apresentação: 
 
 
 
Classe Notas fi 
1 2 | 4 4 
2 4 | 6 12 
3 6 | 8 10 
4 
 8 | 10 4 
 
Devemos optar por uma variável contínua na representação de uma série de valores quando o número de 
elementos distintos da série for grande. 
 
 
Para explicar a colocação das notas dos alunos, segundo uma distribuição de acordo com a tabela (1), necessitamos de 
algumas definições: 
 
1 – Dados Brutos: 
 
 São aqueles que não foram numericamente organizados, como é o caso das notas de 30 alunos. 
 
2 – Rol: 
 
 É o arranjo dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente. 
 
3 – Amplitude Total: (At ) 
 
 É a diferença entre o maior e o menor elemento de uma seqüência. 
 
 At = Xmáx - Xmín 
 
Exemplo: Na seqüência que deu origem à tabela (1), Xmáx = 9,5 e Xmín = 2, portanto At = 7,5. 
 
4 – Freqüência Absoluta ou Simples: ( )if 
É o número de acontecimentos verificados nos intervalos que se observa. Na tabela (1) na segunda classe 12 notas 
verificada no intervalo de 4 | 6. 
 
5 – Limites de Classe: 
 
 São os números extremos de cada classe. 
 Exemplo: Se considerarmos a classe 3, temos como limite inferior li = 6 e limite superior Ls= 8. 
 
6 – Ponto Médio de Classe: ix 
 
 Obtém-se através da semi-soma dos limites de determinada classe ix = 2
sLil ++++
 
 
7 – Intervalo de Classe: ( ih ) 
 
 Também denominado amplitude ou oscilação de classe, é cada um dos subintervalos estipulados. Obtém-se em 
uma tabela, pela diferença entre os limites da classe ou dois limites consecutivos inferiores ou superiores ou 
também entre dois pontos médios consecutivos, a saber: 
 ih = ix1ixL1sLil1ililsL s −−−−++++====−−−−++++====−−−−++++====−−−− 
 
Exemplo: Calcular o intervalo da classe 2 da tabela (1): 
 ih = 6 – 4 = 8 – 6 = 7 – 5 = 2 
 
 
(1) 
 
 
8 – Classe de Maior Freqüência (modal) e Classe de Menor Freqüência: 
 
 Denominamos classe de maior freqüência ou modal àquela em que se verifica o maior número de 
 
 freqüências, e conseqüentemente, de menor freqüência àquela em que se verifica o menor número 
 de freqüências. 
 
9 – Freqüência Acumulada Crescente: iacF 
 
 Chama-se freqüência acumulada de uma classe à soma da freqüência absoluta da classe com as das 
 classes anteriores. 
 
 Exemplo: A freqüência acumulada da 3 classe na tabela (1) será: 
 Fac3 = f1+f2+f3 = 4+12+10 = 26 
 
10 –Freqüência Acumulada Decrescente: iadF 
 
Chama-se freqüência acumulada decrescente de uma classe à somadas freqüências das classes 
 subseqüentes. 
 
 Exemplo: A freqüência acumulada decrescente da 3 classe na tabela (1) será: 
 Fad3 = f3+f4 = 10+4 = 14 
 
11 – Número de Classe: k 
 
 A questão do número de classes é, teoricamente controvertida e diversos autores apresentam 
 soluções diferentes. 
 Embora existam fórmulas apropriadas, em geral, não se conhecem regras precisas que levem a 
 uma decisão final, a partir da distribuição dos dados. 
 um procedimento geralmente aceito é adotar um número mínimo de 5 classes e um máximo de 20 
 classes. 
 Menos que 5 classes pode ocultar detalhes importantes, assim como mais que 20 pode tornar a 
 apresentação demasiadamente detalhada. Determinaremos o intervalo de classe através do seguinte 
 critério: 
 
 Para k1 = 5 →→→→ h1 = 
1k
tA
 ; Para k2 = 20 →→→→ h2 = 
2k
tA
 
 
 Qualquer valor de “ ih ” situado entre os limites h1 e h2 satisfaz plenamente os objetivos. 
 Preferentemente, escolhemos o valor médio de“ ih ”. 
 ih = 2
hh 21 ++++
 
 Outros critérios: k = n 
 Regra de Sturges: k = 1 + 3,3 log n 
 
12 – Freqüência Relativa de Classe: irf 
 
 Corresponde ao quociente entre a freqüência absoluta da classe e o total de elementos. 
 
 irf = N
if
 ; onde N = ∑∑∑∑
====
n
i
if
1
 
 
 
 
 
 13 – Freqüência Acumulada Relativa de Classe: iacrF 
 
 É a divisão da freqüência acumulada desta classe pelo número total de elementos da série: 
 
 
N
iF
iF
ac
acr ==== ; onde N = ∑∑∑∑
====
n
i
if
1
 
 
 Critérios Gerais de Elaboração de uma Distribuição 
 
1. Tomar a lista de dados brutos e transforma-la em Rol; 
2. Encontrar a amplitude total da seqüência; 
3. Escolher o número desejado de classe (k) 
4. Fixar a amplitude do intervalo de classe (hi) 
5. Estabelecer o limite inferior da 1ª classe 
- Limite inferior 1ª classe = menor dado – (hi/2) 
- Limite inferior 1ª classe = menor dado 
- Limite inferior 1ª classe = inteiro inferior ao menor dado 
6. Construir as diversas classes, a partir do limite inferior 1ª classe; 
7. Fazer a contagem do número de observações em cada classe (((( ))))if 
8. Encontrar os pontos médios de classe; 
9. Determinar os outros tipos de freqüências de classe 
 
Representação Gráfica das Distribuições de freqüência 
 
Para variáveis quantitativas discretas, a representação gráfica será, normalmente feita por meio de um diagrama de 
barras. Como se trata de uma variável quantitativa (expressa em valores numéricos), representamos tais valores no 
eixo das abscissas e as respectivas freqüências no eixo das ordenadas, o que facilita a descrição. 
 
Quando as variáveis são quantitativas contínuas, a representação gráfica da distribuição de freqüência é feita através 
dos histogramas de freqüência e polígonos de freqüência. 
 
Histograma de Freqüência 
 
É um gráfico formado por um conjunto de retângulos justaposto assentados sobre um eixo horizontal, tendo como 
bases os diversos intervalos de classe. A área de cada retângulo deve ser proporcional à freqüência da classe que ele 
representa. 
 
Polígono de Freqüência 
 
É o gráfico de linha obtido pela localização das freqüências, a partir dos pontos médios das diversas classes. Podemos 
construir o polígono de freqüência unindo por segmentos de reta, os pontos médios dos topos dos retângulos do 
histograma. O polígono é fechado nos pontos médios das classes anteriores e posteriores às extremas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
Def. – Refere-se ao fato de que, geralmente, numa série de dados numéricos observa-se um valor central, onde a 
maioria dos dados observados se agrupa em torno dele. 
 
Principais Medidas de Tendência Central: 
 
1. Média Aritmética Simples e Ponderada; 
2. Média Geométrica Simples e Ponderada; 
3. Média Harmônica Simples e Ponderada; 
4. Mediana para Dados Discretos e Contínuos; 
5. Moda para Dados Discretos e Contínuos. 
 
Média Aritmética Simples 
 
Para uma seqüência numérica n21 xxxX ,...,,: , a média simples, que designaremos por X é definida por: 
 
n
ixX ∑∑∑∑==== 
Exemplo: Se X: 3, 6, 4, 0, 9, então X = 
5
90463 ++++++++++++++++
 ⇒ X = 4,4 
 
Média Aritmética Ponderada 
 
Para uma seqüência numérica n21 xxxX ,...,,: afetadas de pesos (freqüências) n21 ppp ,...,, , respectivamente, a 
média aritmética ponderada, que designaremos por: 
 X = 
∑∑∑∑
∑∑∑∑
ip
ipix
 
 
Exemplo: Se X: 6, 8, 4, 10, com pesos 3, 4, 5, 6 respectivamente, então: 
 
 X = 
∑∑∑∑
∑∑∑∑
ip
ipix
= 27
6543
610544836
,≅≅≅≅
++++++++++++
××××++++××××++++××××++++××××
 
 
Média Geométrica Simples 
 
Para uma seqüência numérica n21 xxxX ,...,,: , a média geométrica simples, que designaremos por gX , é definida 
por: 
 
n
n
1i
ixn ...x.xxgX n21
====
======== Π 
 
Exemplo: Se X: 3, 7, 8, 2, então: 
 
 
2844 3364 2873gX ,... ≅≅≅≅======== 
 
Média Geométrica Ponderada 
 
Para uma seqüência numérica n21 xxxX ,...,,: , afetadas de pesos (freqüências) n21 ppp ,...,, , respectivamente, a 
média geométrica ponderada que designaremos por gX é definida por: 
 
 
∑∑∑∑
====
p p
x
p
x
p
xgX nn22
1
1 .... = 
∑∑∑∑
====
p p
i
n
1i
ixΠ 
 
Exemplo: Se X: 3, 5, 9, 10 com pesos (freqüências), 3, 2, 4, 1, respectivamente, então: 
 
 5,8210 4428675010 1.104.92.533gX ≅== 
 
Média Harmônica Simples 
 
Para uma seqüência numérica de elementos não nulos n21 xxxX ,...,,: , a média harmônica simples, que 
designaremos por hX , é definida por: 
 
 
∑∑∑∑
====
++++++++++++
====
ix
1
n
x
1
x
1
x
1
n
hX
n21
...
 
 
Podemos notar que a média harmônica é o inverso da média aritmética dos inversos dos elementos. 
Exemplo: Se X: 7, 9, 6, 5, então: 
 
 
456
391
2520
391
4x630
630
1261057090
4
5
1
6
1
9
1
7
1
4
hX ,≅≅≅≅========++++++++++++
====
++++++++++++
==== 
 
Média Harmônica Ponderada 
 
Para uma seqüência numérica de elementos não nulos n21 xxxX ,...,,: , afetados de pesos (freqüências) 
n21 ppp ,...,, , respectivamente, a média harmônica ponderada que designaremos por hX é definida por: 
 
 
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
====
++++++++++++
====
i
i
i
n
n
2
2
1
1
i
x
p
p
x
p
x
p
x
p
p
hX
...
 
 
Exemplo: Se X: 5, 7, 9, 3, com pesos 2, 3, 5, 1, respectivamente, então: 
 
 
46
541
3465
541
315x11
315
105175135126
11
3
1
9
5
7
3
5
2
11
hX ,≅≅≅≅========++++++++++++
====
++++++++++++
==== 
Observações: 
 
1. A média harmônica é particularmente recomendada para séries de valores que são inversamente proporcionais, 
como para o cálculo de velocidade média, tempo médio de escoamento de estoques, custo médio de bens 
comprados com uma quantia fixa etc... 
2. A média geométrica só é indicada para representar uma série de valores aproximadamente em progressão 
geométrica. 
3. Os casos anteriores não são muito freqüentes nas aplicações. Vamos restringir o desenvolvimento de médias 
ao caso de média aritmética, que é a média mais utilizada nas aplicações. 
4. Se os dados estão apresentados na forma de uma variável contínua, utilizaremos a média aritmética 
ponderada, considerando as freqüências simples das classes como sendo as ponderações dos pontos médios 
destas classes. 
 
 
 
 
Mediana 
 
É um valor real que separa o rol em duas partes deixando à sua esquerda o mesmo número de elementos que a sua 
direita. Portanto, a medianacujo símbolo é dM é um valor que ocupa a posição central em uma série. 
 
Mediana para Dados Não-Agrupados 
 
Cálculo da mediana será: 
A) Se n for impar: (n é o número de elementos) 
A mediana será o termo de ordem 
οοοο





 ++++
2
1n
 ⇒ 
o
n





 ++++
====
2
1
dM 
Exemplo: Dada a seqüência de valores qual a mediana: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18. 
Como n = 9 ⇒ οοοο====
++++ 5
2
19
, logo 10dM = 
B) Se n for par: (n é o número de elementos) 
A mediana será o termo de ordem 
οοοοοοοο






++++




 1
2
n
 e 
2
n
 ⇒ 
2
1
2
n
2
n
Md
οοοοοοοο






++++++++





==== 
Exemplo: Dada a seqüência de valores qual a mediana: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21. 
Como n = 8 ⇒ οοοοοοοο ====++++==== 51
2
8
 e 4
2
8
, logo dM = 112
22
2
1210
2
54
========
++++
====
++++ οοοοοοοο
 
 
Mediana para Dados Agrupados 
 
A) Sem intervalo de classe: 
 
Devemos identificar a freqüência acumulada que é imediatamente superior ao elemento mediano 







∑∑∑∑
2
if (também conhecido de classe mediana). A mediana será aquele valor da variável que corresponde a 
tal freqüência acumulada. 
Exemplo: Determinar a mediana da série: 
ix 2 5 8 11 13 
if 1 5 9 10 8 
 iacF 1 6 15 25 33 
 
Observação: Quando a classe mediana tiver o mesmo valor da freqüência acumulada a mediana será a semi-
soma do valor da variável correspondente a essa freqüência acumulada e a seguinte. 
Exemplo: Determinar a mediana da série: 
ix 12 14 15 16 17 
if 2 2 1 2 1 
iacF 2 4 5 7 8 
 
B) Com intervalo de classe: 
 
Devemos ter a seguinte seqüência: 
 
A) determinamos as freqüências acumuladas; 
 
 
 
516
2
33
2
if
,≅≅≅≅====
∑∑∑∑
 
A maior freqüência acumulada imediatamente 
superior a este valor é 25, logo a mediana é 11 
4
2
8
2
if
========
∑∑∑∑
 
Como o elemento mediano é igual a freqüência 
acumulada, logo a mediana será 
514
2
29
2
1514
dM ,≅≅≅≅====
++++
==== 
 
 
A) calculamos 







∑∑∑∑
2
if
 (classe mediana) 
 
 
B) verificamos a freqüência acumulada imediatamente superior a classe mediana, em seguida utilizamos a 
seguinte expressão para o cálculo da mediana: 
 
ih
if
antF2
if
ildM ⋅
−
+=
∑
 , onde: 
 il ⇒ limite inferior da classe mediana; 







∑∑∑∑
2
if
 ⇒⇒⇒⇒ classe mediana; 
antF ⇒⇒⇒⇒ freqüência acumulada da classe anterior à classe 
 mediana; 
if ⇒⇒⇒⇒ freqüência simples da classe mediana; 
 ih ⇒⇒⇒⇒ amplitude do intervalo da classe mediana. 
Exemplo: Determine a estatura mediana na seguinte tabela: 
 
Estaturas (cm) 150 | 154 154 | 158 158 | 162 162 | 166 166 | 170 170 | 174 
if 4 9 11 8 5 3 
iacF 4 13 24 32 37 40 
 
20
2
40
2
if
==
∑ ; 158
 il = ; antF = 13; ih = 4; if =11, logo substituindo estes valores na expressão para o 
cálculo da mediana para dados agrupados com intervalo de classe temos: 
cm 160,552,55158
11
281584
11
1320158dM ≅+=+=⋅
−
+= 
Observação: Quando a classe mediana tiver o mesmo valor da freqüência acumulada, a mediana será o limite superior 
da classe correspondente. 
 
Exemplo: Dada a seguinte tabela determine a mediana: 
 
Classe 0 | 10 10 |20 20 | 30 30 | 40 40 | 50 50 | 60 
if 1 3 9 7 4 2 
iacF 1 4 13 20 24 26 
 
Moda 
 
Denominamos moda cujo símbolo oM , o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores 
 
Moda para Dados Não-Agrupados 
 
Reconhecemos a moda de acordo com a definição é aquele valor que mais se repete em uma série. 
 
Exemplo: Seja a série: 7, 8, 11, 10, 15, 12, 11, 13, 11, 9. 
 Podemos verificar que a série tem moda igual a 11 ⇒ oM = 11 
 
 
 
13
2
26
2
if
==
∑
 
Logo 30dM = 
 
 
Tipos de séries Modais: 
 
Amodal: é a série que não apresenta valores repetidos 
Exemplo: 1, 3, 8, 5, 10, 16, 15. 
 
Bimodal: é a série que apresenta dois ou mais valores modais 
Exemplo: 3, 2, 4, 4, 5, 4, 6, 7, 8,7, 9, 7. 
 
Vemos que tem modas 4 e 7 logo ⇒ oM = 4 e oM = 7 
 
Moda para Dados Agrupados 
 
A) Sem intervalo de classe: 
 
Quando agrupados os valores de uma série é possível determinarmos a moda que será o valor da variável de maior 
freqüência. 
Exemplo: Considermos a tabela abaixo onde temos o número de famílias com filhos masculinos. 
 
Nº de meninos 0 1 2 3 4 
if 2 6 10 12 4 
 
B) Com intervalo de classe: 
 
 A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal, em dados agrupados com intervalo de 
 classe, a moda é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal. Para determinação da 
 moda para dados agrupados com intervalo de classe Czuber apresentou a seguinte expressão: 
 
 i
postantmáx
antmáx
io hfff2
fflM ⋅⋅⋅⋅
++++−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++====
)(
 
Onde: 
 
 il ⇒ limite inferior da classe modal 
 máxf ⇒⇒⇒⇒ freqüência simples máxima 
 antf ⇒⇒⇒⇒ freqüência simples imediatamente anterior a freqüência máxima 
 postf ⇒⇒⇒⇒ freqüência simples imediatamente posterior a freqüência máxima 
 ih ⇒⇒⇒⇒ amplitude da classe modal 
 
Exemplo: Dada a tabela de distribuição abaixo determinar a moda. 
 
Estaturas (cm) 150 | 154 154 | 158 158 | 162 162 | 166 166 | 170 170 | 174 
if 4 9 11 8 5 3 
 
Na tabela podemos verificar que a classe modal é terceira aplicando na expressão de Czuber temos: 
 
il = 158 ; máxf = 11; antf = 9; postf = 8; h = 4 
 
cm615961158
5
8158
1722
81584
8)(9112
911158oM ,, ====++++====++++====
−−−−
++++====⋅⋅⋅⋅
++++−−−−⋅⋅⋅⋅
−−−−
++++==== 
 
 
 
 
 
 
A família que apresenta com maior freqüência é a que tem 3 filhos 
logo a oM = 3. 
 
 
Separatrizes 
 
 Além das medidas de posição que já estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não são medidas 
de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que elas se baseiam em 
sua posição na série. Essas medidas são: – os quartis, os percentis e os decis, juntamente com a mediana, conhecidas 
pelo nome genérico de separatrizes. 
 
Os Quartis (QK) 
 
Def. Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. 
 
Temos, portanto, três quartis: 
 
- O primeiro quatril (Q1) que é o valor que está situado de tal modo na série que uma quarta parte (25%) dos dados é 
 menor e as três quartas partes restantes (75%) maiores do que ele; 
- O segundo quatril (Q2) que é, evidentemente, coincidente com a mediana (Q2 = Md); 
- O terceiro quatril (Q3), que é o valor situado de tal sorte que as três quartas partes (75%) dos termos são menores e 
 uma quarta parte (25%), maior que ele. 
 
Quando os dados são agrupados para determinar os quartis, usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando 
substituir, na fórmula da mediana, 
 
 
2
∑∑∑∑ if
 por 
4
∑∑∑∑ ifk
 sendo k o número de ordem do quartil. Assim, temos: 
 
 i
i
ant
i
i hf
F
f
lQ ∗∗∗∗
−−−−
++++====
∑∑∑∑
4
1 i
i
ant
i
i hf
F
f
lQ ∗∗∗∗
−−−−
++++====
∑∑∑∑
4
3
3Os Percentis (PK) 
 
Def. Denominamos percentis o noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais. 
 
Indicamos: P1, P2, ..., P32, ..., P99 
 
É evidente que: P50 = Md; P25 = Q1 e P75 = Q3 
 
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a fórmula 
 
 
 
2
∑∑∑∑ if
 será substituída por 
100
∑∑∑∑ ifk
 sendo k o número de ordem do percentil 
 
 
 i
i
ant
i
i hf
Ff
lP ∗∗∗∗
−−−−
++++====
∑∑∑∑
100
3
3 
 
 
Os Decis (DK) 
 
Def. Nos decis, a série é dividida em 10 partes iguais (D1, D2,...,D9). 
 
 
MEDIDAS DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE 
 
 
Def. – Servem para verificarmos a representatividade das medidas de posição, pois é muito comum 
 encontrarmos séries que, apesar de terem a mesma média, são compostas de maneira distinta. 
Exemplo: Consideremos as séries: 
A : 1; 18; 10; 20; 35; 3; 7; 15; 11; 10 ⇒ cuja média é : 
−
x = 13 
B : 14; 12; 13; 13; 12; 14; 13; 12; 14; 13 ⇒ cuja média é : 
−
x = 13 
C : 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13; 13 ⇒ cuja média é : 
−
x = 13 
 
Verificamos que todas possuem a mesma média 13. 
A série A, existem muitos elementos bastante diferenciados da média 13. 
A série B, a média 13 representa bem a série, mas existem elementos da série levemente 
diferenciados da média. 
A série C, não existe variabilidade de dados. 
 
- Medidas de Dispersão mais Empregadas: 
- Medidas de Dispersão Absolutas: - Amplitude Total ( AT ) 
 - Desvio Médio ( DM ) 
 - Variância ( S2 ) 
 - Desvio Padrão ( S ) 
- Medidas de Dispersão Relativa: - Coeficiente de Variação ( CV ) 
 
- Amplitude Total – Dados Brutos: É a diferença entre o maior e o menor valor da seqüência. 
 Exemplo: Considerando a série A do exemplo anterior, temos: 
 
 Amplitude Total: AT = 35 – 1 = 34 unidades 
 
- Amplitude Total – Dados Agrupados Sem Intervalo de Classe: É a 
diferença entre o último e o primeiro elemento da série. 
Exemplo: Consideremos a tabela abaixo: 
 
xi 3 5 6 7 
fi 1 4 5 2 
 
Como o maior valor da série é 7 e o menor valor é 3. A amplitude é AT = 7 – 3 = 4 unidades 
 
- Amplitude Total – Dados Agrupados Com Intervalo de Classe: É a 
diferença entre o ponto médio da última classe e o ponto médio da primeira classe. 
Exemplo: 
 
Classe 3|— 7|— 11|— 15|— 19|— 23 
 fi 2 8 10 11 4 
 
Ponto médio da última e primeira classe é : x5 = 212
42
2
1923
==
+
; x1 = 52
10
2
37
==
+
 ,logo 
 AT = 21 – 5 = 16 
 
Conclusão: A utilização da Amplitude Total como medida de dispersão é muito limitada, pois, 
sendo uma medida que depende apenas dos valores extremos, é instável, não sendo afetada 
pela dispersão dos valores internos. 
 
 
 
 
 
 
- Desvio Médio (DM) 
Def. : É baseado na diferença entre cada valor do conjunto de dados e a média do grupo, tomados 
 em módulo. 
- Desvio Médio – Dados Brutos : DM = 
n
xx
n
i
i∑
=
−
1
 
 
- Desvio Médio – Dados Agrupados Sem e Com Intervalo de Classe: 
 DM = 
∑
∑
=
=
−
k
i
i
k
i
ii
f
xxf
1
1
 .
 , onde ∑
=
=
k
i
if
1
n 
 
- Variância ( S2 ) : É a média aritmética da soma dos quadrados dos desvios tomados em 
 relação à média. 
- Variância - Dados Brutos : S2 = ( )11
2
11
2
−








−
−
∑∑
==
nn
x
n
x
n
i
i
n
i
i
 
 
- Variância – Dados Agrupados Sem e Com Intervalos de Classe: 
 
 S2 = ( )1
.
1
.
2
11
2
−








−
−
∑∑
==
nn
fx
n
fx
n
i
ii
n
i
ii
 
 
- Desvio Padrão ( S ) : É a raiz quadrada da variância 
 
- Desvio Padrão – Dados Brutos : S = ( )11
2
11
2
−








−
−
∑∑
==
nn
x
n
x
n
i
i
n
i
i
 
 
- Desvio Padrão – Dados Agrupados Sem e Com Intervalo de Classe: 
 S = ( )1
.
1
.
2
11
2
−








−
−
∑∑
==
nn
fx
n
fx
n
i
ii
n
i
ii
 
 
 
- Coeficiente de Variação ( CV ) : É uma medida de dispersão relativa que expressa o desvio 
 padrão em termos da média, podendo também ser expresso em porcentagem. 
 
 CV = 100⋅⋅⋅⋅
x
S
 
 
 
 
 
 
 
NÚMEROS-ÍNDICES 
 
 
1 – INTRODUÇÃO 
 
 Os números-índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas por administradores, economistas e 
engenheiros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das 
mudanças significativas em áreas relacionadas como preços de matérias-primas, preços de produtos acabados, volume 
físico de produto etc.. . Mediante o emprego de números-índices é possível estabelecer comparações entre: 
a) variações ocorridas ao longo do tempo; 
b) diferenças entre lugares; 
c) diferenças entre categorias semelhantes, tais como produtos, pessoas, organizações etc... 
 
É grande a importância dos números-índices para o administrador, especialmente quando a moeda 
sofre uma desvalorização constante e quando o processo de desenvolvimento econômico acarreta mudanças 
continuas nos hábitos dos consumidores, provocando com isso modificações qualitativas e quantitativas na 
composição da produção nacional e de cada empresa individualmente. Assim, em qualquer análise, quer no 
âmbito interno de uma empresa, ou mesmo fora dela, na qual o fator monetário se encontra presente, a 
utilização de números-índices torna-se indispensável, sob pena de o analista ser conduzido a conclusões 
totalmente falsas e prejudiciais à empresa. Por exemplo, se uma empresa aumenta seu faturamento de um 
período a outro, isso não quer dizer necessariamente que suas vendas melhoram em termos de unidades 
vendidas. Pode ter ocorrido que uma forte tendência inflacionária tenha obrigado a empresa a aumentar 
acentuadamente, os preços de seus produtos, fazendo gerar um acréscimo no faturamento (em termos 
“nominais”), o qual, na realidade, não corresponde a uma melhora de situação. Fora dos problemas gerados 
por alterações nos preços dos produtos, os números-índices são úteis também em outras áreas de atuação da 
empresa como, por exemplo, no campo da pesquisa de mercado. Neste caso, podem ser utilizados nas 
mensurações do potencial de mercado, na análise da lucratividade por produto, por canais de distribuição 
etc... Em suma, os números-índices são sempre úteis quando nos defrontamos com análises comparativas. 
Para o economista, o conhecimento de números-índices é indispensável igualmente como um 
instrumento útil ao exercício profissional, quer seus problemas estejam voltados para a microeconomia quer 
para a macroeconomia. No primeiro caso, poder-se-ia citar, por exemplo, a necessidade de se saber até que 
ponto o preço de determinado produto aumentou com relação aos preços dos demais produtos em um mesmo 
mercado. Se, por outro lado, o problema for quantificar a inflação, seria preciso medir o crescimento dos 
preços dos vários produtos como um todo, através do índice geral de preços. 
Sob os aspectos acima considerados, pode-se vislumbrar a noção de agregado subjacente ao conceito 
de números-índices. Por essa razão, costuma-se conceber o número-índice como uma medida utilizada para 
proporcionar uma expressão quantitativaglobal a um conjunto de medidas que não podem ser simplesmente 
adicionadas em virtude de apresentarem individualmente diferentes graus de importância. 
Cada número-índice de uma série (de números) costuma vir expresso em termos percentuais. Os 
índices mais empregados medem, em geral, variações ao longo do tempo e exatamente nesse sentido que 
iremos trata-los neste capítulo. Além disso, limitaremos o estudo às suas principais aplicações no campo da 
administração e da economia, as quais se situam no âmbito das variações de preços e de quantidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 – Números-Índices Simples 
 
Um número-índice simples avalia a variação relativa de um único item ou variável econômica entre dois 
períodos de tempo. Calcula-se como a razão do preço, quantidade ou valor em dado período para o 
correspondente preço, quantidade ou valor num período-base. 
 Consideremos, por exemplo, o preço e o volume médios para um vendedor local de automóveis novos, 
 para determinado modelo com equipamento standart. A tabela 1 dá os dados 
 
 Tabela 1 Dados de Preço e Volume para Vendedores de Carros 
 
 (1) 
Ano 
 (2) 
Preço médio de venda 
 (3) 
Nº vendido 
 (2) x (3) 
Receita (em 1.000) 
1972 3000 60 180,0 
1973 3300 63 207,0 
1974 3900 60 234,0 
1975 4500 66 297,0 
1976 4500 72 324,0 
1977 4800 75 360,0 
1978 4950 66 326,7 
Podem-se calcular número-índices para os chamados relativos de preço, qualidade, e valor, mediante as 
seguintes fórmulas: 
 
 Relativo do preço = 100x
p
p
0
n
 Relativo da quantidade = 100x
q
q
0
n
 
 Relativo do Valor = 100x
qp
qp
00
nn
 
Onde: 







ano odeterminad em item um de quantidade 
ano odeterminad em item um de preço 
base-ano no item um de quantidade 
base-ano no item um de preço 
====
====
====
====
n
n
0
0
q
p
q
p
 
 Se considerarmos 1973 como ano-base. Isto significa que estamos considerando o preço de R$ 3300 como 
sendo igual a 100% e que os preços dos outros anos serão medidos em relação àquele preço. Consideração 
análoga para o volume de vendas e receitas. 
 
Exemplificando teremos: Os números-índices (relativos) para preço, quantidade e receita para carros de 1977 
são: 
 
16,173100)63)(3300(
)75)(4800(100))((
))((
05,119100
63
75100
45,145100
3300
4800100
19731973
19771977
1973
1977
1973
1977
≅≅≅≅========
≅≅≅≅========
≅≅≅≅========
xx
qp
qp
 receitas
xx
q
q
 quantidade
xx
p
p
 preço
 
 
Teremos as seguintes interpretações. Os preços de automóveis aumentaram 45,45% entre 1973 e 1977, a 
quantidade vendida aumentou de 19,05%, e a receita aumentou de 73,16%. 
 
 
 
 
(1) 
 
 
1.2 – Número-Índice Composto 
 
Os números-índices composto são usados para indicar uma variação relativa no preço, na quantidade, ou 
no valor de um grupo de itens. Por exemplo, podemos investigar se os preços de artigos de mercearia em 
geral aumentaram ou diminuíram no decorrer de certo período. Na realidade, muitos preços subiram, mas 
alguns podem ter baixado. Que se pode dizer, de modo geral? Para tanto, é preciso examinar alguma 
combinação de itens, em lugar de itens individuais. Podemos verificar ou determinar se as quantidades 
de artigos de mercearia sofreram variação e , em caso afirmativo, em que direção. 
 Consideremos o exemplo de um comprador que adquiriu quatro itens: carne, laranjas, bolos e revista. Os 
 dados constam na tabela 2. Podemos notar que tanto os preços como as quantidades se modificaram de 
 1973 a 1979. Se quisermos saber qual foi à variação global nos preços, poderemos imaginar as 
 quantidades como tendo permanecido inalteradas. 
 
 Tabela 2 Dados do Comprador 
 
1973 1979 
 Preços Quantidade Preços Quantidades 
Carne 4,50 5kg 9,30 3kg 
Laranjas 0,10 cada 8 0,04 cada 12 
Bolos 1,00/unid 6 3,00/unid 4 
Revista 1,50 2 2,00 3 
 
A fórmula para um índice de preço é: 
Índice de preço(quant. do ano base) = 100x
qp
qp
00
0n
∑∑∑∑
∑∑∑∑
 onde 0q denota as quant. do ano-base. 
Utilizando os dados da tabela acima, encontramos: 
100x
)qp(
)qp(
I
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
19731973
19731979
preço = 07,213x ≅≅≅≅
++++++++++++
++++++++++++ 100
1,50(2)1,00(6)0,10(8)4,50(5)
2,00(2)3,00(6)0,04(8)9,30(5)
 
O índice de preço sugere que, globalmente, os preços subiram 113,07% 
 
De modo semelhante, podemos calcular um índice de quantidade, mantendo constantes os preços e 
isolando, assim, as variações de quantidade. 
Índice de quantidade (preço do ano-base) = 100x
pq
pq
00
0n
∑∑∑∑
∑∑∑∑
 onde 0p denota o preço do ano-base. 
 
100x
)pq(
)pq(
I
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
19731973
19731979
quant = 83,71x ≅≅≅≅
++++++++++++
++++++++++++ 100
2(1,50)6(1,00)8(0,10)5(4,50)
3(1,50)4(1,00)12(0,10)3(4,50)
 
o índice pode ser interpretado como indicativo de que as quantidades globais dos artigos em estudo, 
adquiridos pelo comprador, declinaram 28,17% (isto é, 100% - 71,83 = 28,17%). 
 
Para o cálculo do índice de valor temos a seguinte fórmula. 
100x
qp
qp
I
00
nn
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====valor , Para o nosso comprador, o índice será: 
 
59,143xxI ≅≅≅≅====
++++++++++++
++++++++++++
==== 100
32,30
46,38100
1,50(2)1,00(6)0,10(8)4,50(5)
2,00(3)3,00(4)0,04(12)9,30(3)
valor 
 
 
 
 
 
(2) 
 
 
1.3 – Mudança de Base de um Número-Índice 
 
Muitas vezes faz-se necessário mudar a base de um índice de um período para outro. A qual tem como 
objetivo tornar o período-base mais recente. Vindo proporcionar uma medida mais corrente da variação. 
Outro objetivo é tornar comparáveis duas séries com bases diferentes. 
O que consiste em fazer com que a série de números-índices na base antiga seja dividido pelo número-
índice do novo período-base. Podemos ver na tabela 3 seguinte. 
 
Tabela 3 Mudança de Base de um Número-Índice 
 Índices de custo de morada 
Número-índice antigo 
 (1965 - 69 = 100) 
 Número-índice novo 
 (1965 = 100) 
 1965 85 
 85 ÷ 85 = 100 
 1966 73 
 73 ÷ 85 = 86 
 1967 87 
 87 ÷ 85 = 102 
 1968 80 
 80 ÷ 85 = 94 
 1969 92 
 92 ÷ 85 = 108 
 
1.4 – Índices de Preços ao Consumidor (IPC) 
 
O índice de Preço ao Consumidor é um dos índices publicados mais amplamente conhecidos por causa 
de sua utilização como indicador do custo de vida. Em nosso país, várias instituições calculam tais 
índices com abrangência municipal, regional ou nacional. 
Enquanto o Índice de Preço ao Consumidor indica os preços comparados ao ano-base, o recíproco do 
IPC indica o valor da moeda com relação ao ano-base: 
 
 Valor da moeda = 100x
IPC
1
 , exemplificando na tabela 4. 
Tabela 4 Índice de preços ao consumidor e valor 
 doméstico do Real, 1994 – 1999 
 (ano-base: 1994) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concluímos em 1997 o real valia, no Brasil, 81 centavos em termos de real de 1994, em média. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ano Índice de preços ao consumidor Valor do Real 
1994 100,0 R$ 1,00 
1995 105,3 R$ 0,95 
1996 110,2 R$ 0,91 
1997 123,5 R$ 0,81 
1998 126,4 R$ 0,79 
1999 135,8 R$ 0,74 
(3) 
(4) 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
1º - FAÇA OSARREDONDAMENTOS ABAIXO: 
 
Série Original Inteiro Décimo Centésimo Milésimo 
15,58501 
5,3915 
 0,385500 
19,497045 
21,942404 
15,756500 
35,505000 
108,575555 
 29,500602 
129,815400 
 
2º - SENDO e = 2,718281829 E 141592654,3====pipipipi QUAL SERÁ SEU VALOR EM : 
 
A) DÉCIMOS; B) MILÉSIMOS; C) CENTÉSIMOS; D) UNIDADES; E) DEZENAS. 
 
3º - UMA TRANSPORTADORA ENTREGOU, NUM MÊS: 6,19655 TONELADAS DE PRODUTOS 
 ELETRÔNICOS; 15,8561 TONELADAS DE BRINQUEDOS; 13,6455 TONELADAS DE 
 ALIMENTOS; 9,745 TONELADAS DE PAPEL; 10,34 TONELADAS DE REMÉDIOS E 12,235 
 TONELADAS DE TECIDOS. QUAL O TOTAL EM TONELADAS QUE A TRANSPORTADORA 
 ENTREGOU NESSE MÊS, ARREDONDANDO PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE 
 NECESSÁRIO. 
 
4º - UMA TRANSPORTADORA ENTREGOU, NUM MÊS: 6,79755 TONELADAS DE PRODUTOS 
 ELETRÔNICOS; 16,8581 TONELADAS DE BRINQUEDOS; 13,8255 TONELADAS DE 
 ALIMENTOS; 9,764 TONELADAS DE PAPEL; 10,546 TONELADAS DE REMÉDIOS E 15,635 
 TONELADAS DE TECIDOS. QUAL O TOTAL EM TONELADAS QUE A TRANSPORTADORA 
 ENTREGOU NESSE MÊS, ARREDONDANDO PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E 
 COMPENSE SE NECESSÁRIO. 
 
5º - ARREDONDE PARA O INTEIRO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE NECESSÁRIO: 
 A) 5,34 + 7,45 + 18,50 + 19,90 + 22,37 + 26,43 = B) 6,51 + 7,50 + 14,63 + 20,10 + 24,73 + 26,52 = 
 
 C) 4,0 + 7,6 + 12,4 + 27,4 + 11,4 + 8,0 = D) 53,02 + 98,49 + 71,500002 + 23,5 + 40,900 = 
 
6º - ARREDONDE PARA O CENTÉSIMO MAIS PRÓXIMO E COMPENSE SE NECESSÁRIO: 
 A) 0,060 + 0,119 + 0,223 + 0,313 + 0,164 + 0,091 + 0,030 = 
 B) 46,727 + 123,842 + 253,65 + 299,951 + 28,255 + 37,485 = 
 C) 56,456 + 32,23456 + 98,7655 + 16,8976 + 57,68732 = 
 D) 76,345 + 83,5467 + 36,055608 + 67,82145 + 48,7565 = 
 
7º - DUAS VARIÁVEIS, X E Y, ASSUMEM OS VALORES: X1 = - 5; X2 = - 6; X3 = -3; Y1 = -2; 
Y2 = - 4; Y3 = - 7, RESPECTIVAMENTE, CALCULAR: 
 
A) ( ) ( )22 ∑∑ • YX = B) ( ) ( )22 ∑∑ • YX = C) ( ) ( )∑∑ • 2YX = 
D) ( ) ( )∑∑ • 22 YX = E) 2YX ∑∑∑∑ = F) 
2
Y
X








∑∑∑∑
∑∑∑∑
= 
G) ( )∑ −YX = H) ( )2∑ •YX = I) (((( ))))[[[[ ]]]]2YX∑∑∑∑ ++++ = 
 
 
 
 
8º - SE ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
==== ==== ==== ==== ==== ====
−−−−====−−−−============−−−−========
3
1i i
3
1i
3
i
3
1i
3
1i
i
2
i
2
i
2
iiiii 4yx5yyx2x
3
1 1
 ; x ; 4 ; y ; 3 . 
 DETERMINE: 
 
 A) ∑∑∑∑
====
====





−−−−
3
1
2
i
i 2
y
x
i
 B) ∑
=






−•





−
3
1i
2
3
2
2
3
ii yx = 
 
 C) ∑∑∑∑
====
====





++++
3
1
2
ii
2
y
2
x
i
 D) ( ) ( )∑
=
=−•−
3
1i
23 ii yx 
 
9º - ijX REPRESENTA O ELEMENTO SUJEITO À I-ÉSIMA LINHA E À J-ÉSIMA COLUNA DA 
 TABELA: 
 i \ j 1 2 3 4 
 1 7 6 0 2 
 2 5 3 2 4 
 DETERMINE: A) (((( ))))∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
2
1i
3
2j
2Xij ; B) (((( ))))∑∑∑∑
====
4
2j
2j2
7
X
; C)
22
1i
2i
3
X
∑∑∑∑
====






 ; D) 
2
2
1i
4
3j
Xij








∑∑∑∑∑∑∑∑
==== ====
 
 
10º - PROVAR QUE : A) (((( ))))∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
==== ==== ====
++++++++====++++
n
1i
n
1i
n
1i
i
2
i
2
i n4x4x2x 
 
 B) (((( )))) (((( ))))∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑ ∑∑∑∑
==== ==== ==== ====
++++++++++++====++++⋅⋅⋅⋅++++
n
1i
n
1i
n
1i
n
1i
iiiiii nabxbyayxbyax , ONDE a E b 
 SÃO CONSTANTES. 
 
11º - DESENVOLVA CADA UMA DAS EXPRESSÕES SEGUINTES: 
 
a) ====−−−−∑∑∑∑
====
6
2i
|XXi| c) ∑∑∑∑
====
9
4i
i3 = 
 
b) ∑∑∑∑
====
n
1i
n/Xi para n = 15 d) ∑∑∑∑
====






++++
7
2i
5
2
Xi
= 
 
12º - ESCREVA EM NOTAÇÃO DE SOMATÓRIO: 
 
a) (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]72020722 4C:2B4C:2B ++++−−−−++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++−−−− = 
 
b) (((( )))) (((( ))))18121818211 DD:UDUD ++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++ = 
 
c) D 33 E3 + ... + D 312 E12 = 
 
d) ( ) ( ) ( )  ÷−+⋅⋅⋅+ ÷−+ ÷− 525522221211 EEOEEOEEO = 
 
 
13º - CALCULE CADA UMA DAS QUANTIDADES SEGUINTES PARA OS DADOS 
 ABAIXO: (N É O NÚMERO DE OBSERVAÇÕES). 
 Y 15; 10; 05; 09; 14; 20; 06; 17 
 
a) (((( )))) (((( ))))∑∑∑∑ −−−−÷÷÷÷−−−− 1N12Y 2 = 
 
b) (((( )))) (((( ))))1NNYY 22 −−−−÷÷÷÷








 ÷÷÷÷−−−−∑∑∑∑ ∑∑∑∑ = 
 
c) (((( ))))∑∑∑∑ −−−− 212Y = 
 
14º - QUAIS OS ELEMENTOS ESSENCIAIS E COMPLEMENTARES NUMA TABELA 
 ESTATÍSTICA. 
 
15º - ESBOCE A TABELA E ESPECIFIQUE O TIPO DE SÉRIE EM CADA CASO: 
 
A) AS CAPACIDADES DOS ESTÁDIOS DO MARACANÃ; MORUMBÍ ; MINEIRÃO E 
 MACHADÃO SÃO RESPECTIVAMENTE: 250.000; 120.000; 150.000; 145.000. 
B) A POPULAÇÃO DO BRASIL EM 1962 ERA DE 74.100.000 ; EM 1964 78.800.000; EM 1966 83.900.000 
E EM 1969 92.300.000 HABITANTES. 
C) A PRODUÇÃO DE VEÍCULOS EM SÃO PAULO NOS ANOS 1998; 1999; 2000, DAS MARCAS FORD; 
FIAT E CHEVROLET, FORAM RESPECTIVAMENTE: 200.000; 150.000 E 220.000. 
 
16º - COM OS DADOS IMAGINADOS POR VOCE, ORGANIZE A SEGUINTE TABELA E QUAL 
 SEU TIPO. UM COLÉGIO DE 1º GRAU FUNCIONA EM TRÊS TURNOS E POSSUI ALUNOS 
 NAS QUATRO SÉRIES EM TODOS OS TURNOS, À EXCEÇÃO DA 3º SÉRIE, QUE NÃO 
 FUNCIONA NO 2º TURNO. 
 
17º - ORGANIZE TABELAS SIMPLES E DE NOME: 
A) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO TEMPO E ESPÉCIE. 
B) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO LOCAL E ESPÉCIE. 
C) SÉRIE CUJOS TERMOS FIXOS SÃO TEMPO E LOCAL. 
 
18º - COM OS DADOS ABAIXO, PEDE-SE: 
 
A) ORGANIZAR OS DADOS EM UMA SÉRIE; 
B) IDENTIFICAR O NOME DA SÉRIE. 
 
 1 – UMA ESCOLA DE NATAL TEVE EM 1983 A SEGUINTE MATRÍCULA POR GRUPO 
 SOCIAL: 1º GRUPO 27; 2º GRUPO 58; 3º GRUPO 110; 4º GRUPO 150; 5º GRUPO 240. 
 
 2 – SEGUNDO O SERVIÇO DE ESTATÍSTICA ECONÔMICA E FINANCEIRA, VERIFICOU-SE 
 EM AGOSTO DE 1999, NO PORTO DE SANTOS, O SEGUINTE MOVIMENTO DE 
 EXPORTAÇÃO DE MERCADORIAS: 9.405.423 KG DE MATÉRIAS-PRIMAS, NO VALOR DE 
 R$ 120.234,45; 65.123.450 KG, NO VALOR DE R$ 905.567,87 DE GENEROS ALIMENTÍCIOS 
 E 345.123 KG DE MANUFATURAS, NO VALOR R$ 5.124,98. 
 
 3 – NÚMERO DE ALUNOS MATRÍCULADOS NO 2º GRAU NO BRASIL NOS ANOS 1986 A 
 1992 EM MILHARES DE ALUNOS, SEGUNDO DADOS FORNECIDOS PELO SEEC-MEC: 
 20.675; 22.434; 22.765; 23.876; 24.435; 24.987; 25.768. 
 
 
 
 
 
 
 
FONTE: SERVIÇO DE ESTAT. DA EDUC. CULT.-MEC 
 
 4 – NÚMERO DE ESTABELECIMENTOS DE ENSINO DA REGIÃO NORDESTE DO BRASIL EM 
 1998. A REGIÃO NORDESTE SUBDIVIDE-SE EM: NATAL, JOÃO PESSOA, RECIFE, 
 MACEÓ, SALVADOR, ARACAJU, FORTALEZA, TERESINA E SÃO LUIS, POSSUEM UM 
 TOTAL DE: 50; 40; 60; 55; 65; 68; 70; 48; 57 ESTABELECIMENTOS DE ENSINO, 
 RESPECTIVAMENTE, CONFORME SEEC-MEC. 
 
 5 – O MOVIMENTO RELIGIOSO DE CERTO MUNICÍPIO NO PERÍODO DE 1997/99, 
 APRESENTARAM OS SEGUINTES DADOS: EM 1997 HOUVE 65.456 BATIZADOS 
 (DOS QUAIS 35.345 DO SEXO FEMININO), 26.687 CASAMENTOS E 23.654 EXTREMAS 
 -UNÇÕES. EM 1998 HOUVE 45.456 BATIZADOS DO SEXO MASCULINO E 26.486 DO SEXO 
 FEMININO; OS CASAMENTOS FORAM EM NÚMERO DE 18.876 E AS EXTREMAS