Aula 03 Números irracionais - enfoque geométrico

Prévia do material em texto

Semana 03 - Reais Nu´meros
Voceˆ esta´ se tornando um expert em anatomia dos nu´meros reais. Veja, a primeira coisa a
lembrar-se e´ de que fazemos uma identificac¸a˜o entre os nu´meros reais e os pontos da reta.
Isto e´, ha´ uma bijec¸a˜o entre esses dois objetos matema´ticos, o conjunto dos nu´meros reais e o
conjunto dos pontos da reta real. E devemos transitar de um meio para o outro com flueˆncia.
Por exemplo, em algumas semanas estaremos estudando as func¸o˜es de uma varia´vel real.
Ou seja, definidas no conjunto dos nu´meros reais. Muito bem, falaremos dessas func¸o˜es como
aquelas definidas na reta real.
Isso e´ uma questa˜o de perspectiva: os nu´meros sa˜o a visa˜o alge´brica-anal´ıtica enquanto a
reta e´ a versa˜o geome´trica. Mas, nada de se preocupar muito com isso.
Voltando aos nu´meros, comec¸amos com os naturais (que teˆm entre eles os primos), os
inteiros e passamos aos racionais, os nu´meros nossos do dia-a-dia. Esses sa˜o os nu´meros (por
assim dizer) vis´ıveis ao homem-comum (incluindo a gente, quando fazemos compras, lemos
uma receita de bolo, medimos a porc¸a˜o de um reme´dio).
Na versa˜o oficial, esses nu´meros sa˜o da forma p
q
, com p e q ∈ Z, q 6= 0, as frac¸o˜es.
Essas podem ser vistas geometricamente via proporc¸o˜es. No popular, esses nu´meros tem
representac¸a˜o decimal (uma grande aquisic¸a˜o da humanidade , que usamos sem dar-nos muita
conta disso) finita ou perio´dica. Por exemplo, 1, 25 e 2, 676767676 · · · = 2, 67.
E´ muito importante saber transitar de uma forma para a outra.
Muito bem, nesse esta´gio temos uma boa parte dos nu´meros reais:
Naturais ⊂ Inteiros ⊂ Racionais
Voceˆ aprendera´ em detalhes no futuro que, na verdade, essa na˜o e´ a maior parte dos
nu´meros reais. Ha´ os irracionais. Esses sa˜o os nu´meros cuja representac¸a˜o decimal e´ infinita
e sem padra˜o de repetic¸a˜o. Por exemplo, voceˆ pode buscar na internet a melhor aproximac¸a˜o
conhecida de pi. No entanto, por acurada que seja essa aproximac¸a˜o, sempre havera´ aprox-
imac¸o˜es melhores.
17
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
E´ preciso saber distinguir aqueles irracionais mais comuns, como
√
17, 3
√
10, 1+
√
3 ou
2pi
3
.
Mas, na˜o se deixe enganar, voceˆ ja´ deve saber que o nu´mero (
√
3+ 2)2+(
√
32)
2, apesar de
sua apareˆncia, e´ racional.
O que mais ha´ para saber?
O conjunto dos nu´meros reais e´ munido de uma conjunto de propriedades a que chamamos boa
ordem. Isto quer dizer, em termos cient´ıficos, que dados dois nu´meros reais a e b quaisquer,
1. (Reflexiva) a ≤ a;
2. (Anti-sime´trica) (a ≤ b e b ≤ a) =⇒ a = b;
3. (Transitiva) (a ≤ b e b ≤ c) =⇒ a ≤ c;
4. (Tricotomia) uma das afirmac¸o˜es e´ verdadeira: a > b, a < b ou a = b.
A u´ltima dessas propriedades nos diz que, dados dois nu´meros reais quaisquer, sempre
podemos compara´-los e concluir qual deles e´ maior do que o outro, a menos de que eles sejam
iguais.
No´s estamos ta˜o habituados a essas propriedades que mal nos damos conta delas. Ale´m do
mais, a representac¸a˜o dos reais como os pontos de uma reta, uma vez estabelecido o sentido
(digamos que a reta e´ horizontal e o sentido positivo e´ da esquerda para a direita, uma vez que
a maior parte de no´s, seres humanos, e´ destra) torna essa boa ordem evidente. Mas, deixemos
essa coisa assim, voceˆ voltara´ a ouvir esse assunto posteriormente, em outras disciplinas, e
vamos ao que interessa nesse momento.
Devido a boa ordem dos nu´meros reais, podemos lidar com uma famı´lia muito importante
de sub-conjuntos da reta (ou dos nu´meros, como quiser), os intervalos. Esses veˆm em va´rias
formas – abertos, fechados, aberto em um extremo e fechado no outro, finito ou infinito. Aqui
esta˜o alguns exemplos:
(−1, 4) = {x ∈ R ; −1 ≤ x ≤ 4 };
(pi, +∞) = {x ∈ R ; pi < x };
[4/5, 10 +
√
2 ) = {x ∈ R ; 4/5 ≤ x < 10 +√2 }.
Geometricamente os representamos assim:
18
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
———————g g
−1 4
————————————g
pi
———————w g
4/5 10 +
√
2
A bola cheia indica que o extremo representado por ela pertence ao intervalo enquanto que
a bola vazia indica que o extremo representado na˜o pertence ao intervalo.
Esses subconjuntos da reta, os intervalos, assim como as unio˜es deles, sera˜o parte de nossa
lida dia´ria por um bom tempo. Eles sera˜o as respostas das inequac¸o˜es, os domı´nios das func¸o˜es,
as regio˜es onde o comportamento de certas func¸o˜es e´ assim ou assado e assim por diante. Essa
semana comec¸aremos nossa caminhada no mundo das inequac¸o˜es.
Mais alguma coisa?
Finalmente, uma coisa importante a observar a respeito da anatomia dos nu´meros reais e´ a
maneira como os nu´meros, racionais e irracionais, esta˜o dispostos na reta. Apesar de haver
mais nu´meros irracionais do que racionais, esses sa˜o distribu´ıdos na reta de forma densa. Isso
e´, ta˜o pro´ximo quanto quisermos de um dado nu´mero irracional ha´ um nu´mero racional. Essa
e´ a raza˜o de podermos, na pra´tica, lidar apenas com as aproximac¸o˜es racionais. Veja, na tabela
a seguir, algumas aproximac¸o˜es do nu´mero pi:
3.141592654
3.14159265358979
3.141592653589793238462643
3.1415926535897932384626433832795029
Mantenha distaˆncia!
Na sec¸a˜o anterior usamos a frase ta˜o pro´ximo quanto quisermos. Essa frase e´ muito usada em
Matema´tica. Para que ela fac¸a sentido precisamos que o ambiente em considerac¸a˜o (no nosso
caso, a reta real ou o conjunto dos nu´meros reais) seja munido de uma distaˆncia. Ela e´ dada
pelo mo´dulo ou valor absoluto.
Acho que esta´ bom, vamos parar por aqui e seguir para os exerc´ıcios da semana!
19
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
Atividades da Semana
1) Coloque em ordem crescente os nu´meros a seguir:
1 +
√
3, pi,
40
13
, 1−
√
3,
√
13.
2) Quais das afirmac¸o˜es a seguir sa˜o falsas e quais sa˜o verdadeiras, justificando sua resposta.
1. Entre dois nu´meros racionais sempre ha´ um irracional;
2. O produto de nu´meros irracionais e´ um nu´mero irracional;
3. ∀b ∈ R, | − |b|| = b;
4. ∀a, b ∈ R, ||a| − |b|| ≥ |a| − |b|.
3) Determine um nu´mero irracional entre os nu´meros
17
13
e 1, 32.
4) Uma certa substaˆncia radioativa decai a uma taxa de 50% a cada hora. Num determinado
instante ha´ 320g da substaˆncia. Quanto restara´ da substaˆncia apo´s 8 horas? Apo´s quantas
horas restara´ menos do que 1 grama da substaˆncia?
5) Escreva o nu´mero 12, 34272 como uma frac¸a˜o irredut´ıvel e determine a representac¸a˜o
decimal do nu´mero
21
17
.
Se voceˆ possui uma calculadora, na˜o deixe de usa´-la, a menos que voceˆ na˜o queira. Se
voceˆ na˜o tem uma calculadora (cient´ıfica, com senos e cossenos e ra´ızes), na˜o deixe de comprar
uma, a menos que voceˆ realmente na˜o queira.
20
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
Exerc´ıcios para cansar o brac¸o
Resolva as equac¸o˜es a seguir:
a) |x− 1| = 3 b) |2x− 5| = 0
c)
∣∣∣∣∣ 11− x
∣∣∣∣∣ = 2 d) x|x| = −1
Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
a) |x− 3| ≤ 1 b) |4− x| < 2
c) |x+ 2| ≥ 4 d) |3x− 6| < 9
Fatore:
1) −7x+ 49
2) 5xy + 25y2 + 10y5
3) x2 − 36
4) 4x2 − 121
5) (a+ 2)2 − 25b2
6) x3 − 27
7) 8a3 − 1
125
8) 3x2 − 48k4
9) 2hx2 − 8h3
10) 4x2 + 12xy + 9y2
11) 10x2 − 39x+ 14
12) a6 − 2a3 + 1
13) 12x2y − 22xy2 − 60y3
Simplifique as expresso˜es a seguir reduzindo-as aos menores termos.
1)
4b2 − 4ab
3a2 − 3ab
2)
x2 + 6x+ 5
x2 − x− 2
3)
x2 − 4
x4 − 16
4)
x+ y
x− y ·
x2 − 2xy + y2
x2 − y2
Combine e simplifique as expresso˜es a seguir:
1)
2
3x2
− 1
2x
2)
7
x− 2 +
3
x+ 2
3)
5
(x− 1)(x+ 2) −
8
4− x2
4)
1− 4x
2x+ 5
+
8x2 − 16x
4x2 − 25 −
1
2x− 5
21
Caderno de PC Pre´-Ca´lculo
Resolva as inequac¸o˜es a seguir:
1) x− 3 < 2x+ 5
2)
1
x− 3 ≤ 0
3)
x
2x− 5 < 0
4)
x+ 34− x ≥ 0
22