Primeira Lei da Termodinâmica

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Primeira Lei da Termodinaˆmica - Aula 4
11 de janeiro de 2017
Resumo
Trabalho e Calor em Processos Termodinaˆmicos; primeira lei da
termodinaˆmica e suas aplicac¸o˜es.
1 Trabalho e Calor em Processos Termodi-
naˆmicos
Em uma abordagem macrosco´pica da termodinaˆmica, no´s descrevemos o
estado de um sistema usando as varia´veis pressa˜o, temperatura, volume e
energia interna. O nu´mero de varia´veis usadas para caracterizar um sistema
depende da natureza do mesmo. Para um sistema homogeˆneo, como um ga´s
contendo apenas um tipo de mole´cula, normalmente, apenas duas varia´veis
sa˜o necessa´rias.
Figura 1: Ga´s em
equil´ıbrio.
Considere um ga´s em equil´ıbrio contido em um reci-
piente cil´ındrico, com pista˜o mo´vel (veja Figura 1). O
ga´s ocupa um volume V e exerce uma pressa˜o P uni-
forme nas paredes e no pista˜o do cilindro. Se o pista˜o
possui uma a´rea A, a forc¸a exercida pelo ga´s sobre o
pista˜o e´:
F = PA
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Se o ga´s comec¸a a expandir muito lentamente, per-
mitindo que o sistema permanec¸a em equil´ıbrio termo-
dinaˆmico, e o pista˜o se move para cima de uma distaˆncia
dy, o trabalho realizado pelo ga´s sobre o pista˜o e´:
dW = Fdy = PAdy
Como Ady e´ o aumento no volume do ga´s dV , podemos expressar o tra-
balho realizado como:
dW = PdV
Quando o ga´s expande, dizemos que o trabalho realizado pelo ga´s sobre o
pista˜o e´ positivo. Se o ga´s for comprimido, dizemos que o trabalho e´ realizado
pelo pista˜o sobre o ga´s, assim, o mesmo e´ negativo.
Claro que, se na˜o ha´ variac¸a˜o de volume, o trabalho realizado pelo ga´s e´
igual a zero.
O trabalho realizado por um ga´s quando seu volume varia de um valor
inicial Vi para um valor final Vf , e´:
W = ∫ Vf
Vi
PdV
Em um diagrama P ×V , o trabalho realizado pelo ga´s, em uma expansa˜o,
a partir de um estado inicial ate´ um determinado estado final, e´ igual a` a´rea
sob a curva. Veja Figura 2.
Na Figura 3 e´ mostrado que o trabalho realizado pela expansa˜o de um
ga´s, a partir de um estado inicial i ate´ um estado final f , depende do caminho
realizado entre estes dois estados.
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Figura 2: Diagrama P ×V mostrando que o trabalho realizado por um ga´s e´
numericamente igual a` a´rea sob a curva.
Figura 3: (a) Wa = Pf(Vf − Vi) (b) Wb = Pi(Vf − Vi) (c) Wc depende da
curva
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2 Primeira Lei da Termodinaˆmica
A Primeira Lei da Termodinaˆmica afirma que quando um sistema sofre uma
mudanc¸a de um estado para outro, a mudanc¸a em sua energia interna e´:
∆U = Uf −Ui = Q −W
em que Q e´ a energia te´rmica transferida pelo sistema ou para o sistema e
W e´ o trabalho realizado pelo sistema ou sobre o sistema.
Embora Q e W dependam ambos do caminho seguido desde o estado
inicial ate´ o estado final, a quantidade ∆U independe do caminho.
Em um processo c´ıclico (processo que se origina e se encerra no mesmo
estado) ∆U = 0, assim, Q = W , ou seja, a energia te´rmica transferida no
sistema e´ igual ao trabalho realizado durante o ciclo.
2.1 Aplicac¸o˜es da Primeira Lei da Termodinaˆmica
Para aplicar a primeira lei, e´ necessa´rio antes definir alguns processos termo-
dinaˆmicos comuns:
ˆ Um PROCESSO ADIABA´TICO e´ aquele no qual nenhuma energia te´rmica
e´ transferida entre o sistema e sua vizinhanc¸a (Q = 0). Um processo
adiaba´tico pode ser realizado ou por isolamento te´rmico do sistema de
sua vizinhanc¸a, ou realizando o processo rapidamente.
Aplicando a primeira lei da termodinaˆmica a um processo adiaba´tico,
temos:
∆U = −W
Isto significa que a energia interna varia como consequeˆncia do trabalho
sendo realizado pelo sistema ou sobre o sistema. Se o ga´s expande adi-
abaticamente, W e´ positivo, portanto, ∆U e´ negativo e a temperatura
do ga´s diminui.
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Exemplos pra´ticos de expansa˜o adiaba´tica sa˜o a expansa˜o de gases
quentes em um motor de combusta˜o interna e a liquefac¸a˜o de gases em
um sistema de resfriamento.
ˆ Um PROCESSO ISOVOLUME´TRICO e´ um processo que ocorre a volume
constante, ou seja, nenhum trabalho de expansa˜o ou compressa˜o ocorre
em tal processo. Assim, da primeira lei:
∆U = Q
Isso explica que se energia te´rmica e´ adicionada ao sistema mantido a
um volume constante, toda a energia te´rmica ira´ aumentar a energia
interna do sistema.
ˆ Um PROCESSO ISOBA´RICO e´ um processo que ocorre a pressa˜o cons-
tante. Neste caso, tanto a energia interna quanto o trabalho sa˜o dife-
rentes de zero. Assim, o trabalho realizado em tal processo e´ P∆V .
W = P∆V = P (Vf − Vi)
ˆ Um PROCESSO ISOTE´RMICO e´ um processo que ocorre a temperatura
constante.
Suponha que um ga´s e´ expandido muito, mas muito lentamente, a tem-
peratura constante, como descrito pelo gra´fico apresentado na Figura
4. A curva e´ uma hipe´rbole e sua equac¸a˜o e´ PV = constante.
O trabalho realizado por um ga´s ideal durante um processo isote´rmico
de um estado i para um estado f e´ assim calculado:
Como se trata de um ga´s ideal, enta˜o PV = nRT e
W = ∫ Vf
Vi
PdV = ∫ Vf
Vi
nRT
V
dV = nRT ∫ Vf
Vi
dV
V
W = nRT ln⎛⎝VfVi ⎞⎠
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Figura 4: Diagrama P × V de um processo isote´rmico.
Numericamente, este trabalho e´ igual a` a´rea sob a curva PV .
Como a energia interna de um ga´s e´ func¸a˜o da temperatura e, neste
caso, a mesma permanece constante, assim, em um processo isote´rmico
de um ga´s ideal, temos:
∆U = 0⇒ Q =W
———
Exemplo 1. Calcule o trabalho realizado por 1 mol de um ga´s ideal, mantido
a uma temperatura constante de 0 ○C durante uma expansa˜o de 3 litros para
10 litros.
R – Como este e´ um processo isote´rmico, substituindo os valores dados na
equac¸a˜o a seguir, temos:
W = nRT ln⎛⎝VfVi ⎞⎠ = 1 × 8,31 × 273 × ln⎛⎝103 ⎞⎠
⇒W = 2,7 × 103 J
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Como houve uma expansa˜o, o trabalho realizado pelo ga´s e´ positivo,
sendo assim, Q e´ negativo. Para que o ga´s permanec¸a com a tempera-
tura constante, e´ necessa´rio que ele receba do reservato´rio uma quanti-
dade de calor igual a` que ele perdeu na expansa˜o, ou seja, 2,7 × 103 J .
———
Exemplo 2. Um grama de a´gua ocupa um volume de 1 cm3 na pressa˜o
atmosfe´rica. Quando esta quantidade de a´gua e´ fervida, ela e´ transformada
em 1671 cm3 de vapor. Calcule a variac¸a˜o da energia interna para este
processo.
R –
1 g = 1 × 10−3 kg 1 cm3 = 1 × 10−6 m3
1671 cm3 = 1671 × 10−6 m3 Lv = 2,26 × 106 J/kg
1 atm = 1,013 × 105 N/m2
Como o processo ocorre a pressa˜o constante, enta˜o o trabalho realizado
e´:
W = P (Vf − Vi) = (1,013 × 105) × (1671 × 10−6 − 1 × 10−6) = 169 J
O calor necessa´rio para transformar toda a a´gua em vapor e´:
Q =mLv = (1 × 10−3) × (2,26 × 106) = 2260 J
Nesse caso, a variac¸a˜o da energia interna e´:
∆U = Q −W = 2260 − 169 = 2,091 kJ
A energia interna do sistema aumenta porque ∆U e´ positiva.
———
Exemplo 3. Uma barra de cobre de 1 kg e´ aquecida a` pressa˜o atmosfe´rica.
Se sua temperatura aumenta de 20 ○C para 50 ○C, enta˜o:
a) Encontre o trabalho realizado pelo cobre.
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R – A variac¸a˜o de volume do cobre pode ser calculado usando a seguinte
equac¸a˜o:
∆V = βV0∆T
como o coeficiente de expansa˜o volume´trica do cobre e´ β = 5,1×10−5 ○C−1
e sua densidade volume´trica e´ ρ =m/V = 8,92 × 103 kg/m3 , enta˜o:
∆V = (5,1×10−5)×V0×(50−20) = 1,53×10−3×m
ρ
= 1,53×10−3× 1
8,92 × 103
⇒∆V = 1,7 × 10−7 m3
Como a expansa˜o e´ realizada sob uma pressa˜o constante (pressa˜o at-
mosfe´rica), enta˜o:
W = P∆V = (1,013 × 105) × (1,7 × 10−7) = 1,7 × 10−2 J
b) Qual a quantidade de energia te´rmica transferida para o cobre?
R – Sendo o calor espec´ıfico do cobre c = 387 J/(kg.○C), enta˜o:
Q =mc∆T = 1 × 387 × (50 − 20) = 1,2 × 104 J
c) Qual o aumento da energia interna do cobre?
R – Como
∆U = Q −W ⇒∆U = 1,2 × 104 − 1,7 × 10−2
⇒∆U ≅ 1,2 × 104 J
———
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3 Lista de Exerc´ıcios
1. Um ga´s expande de um estado inicial I, para um estado final F ao
longo de treˆs caminhos poss´ıveis,conforme pode ser visto na Figura
5. Calcule o trabalho em joules, realizado pelo ga´s, nos respectivos
caminhos (a) IAF ; (b) IF ; (c) IBF .
Figura 5: Diferentes percursos e diferentes trabalhos.
2. Um ga´s ideal e´ colocado em um recipiente que possui um pista˜o mo´vel.
O pista˜o possui uma massa de 8000 g e uma a´rea de 5 cm2, sendo
livre para se mover para cima ou para baixo, mantendo a pressa˜o do
ga´s constante. Quanto trabalho e´ realizado quando a temperatura de
0,2 mol de ga´s e´ elevada de 20 ○C para 300 ○C?
3. Um mol de um ga´s ideal realiza um trabalho de 3000 J sobre sua
vizinhanc¸a, enquanto ele expande isotermicamente para um volume
final de 25 l e uma pressa˜o final de 1 atm. (Obs: para uma pressa˜o
dada em atm e o volume em litros, R = 0,0821 l.atm/mol.K
(a) Determine a temperatura do ga´s;
(b) Determine o volume inicial do ga´s;
4. Uma sala de volume igual a 80 m3 conte´m ar com uma massa molar
me´dia M = 29 g/mol. Se a temperatura da sala sobe de 18 ○C para
25 ○C, qual a massa de ar (em kg) que deixara´ a sala? Assuma que a
pressa˜o na sala e´ constante e igual a 101 kPa.
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5. Uma sala de volume V conte´m ar de massa molar me´dia igual a M .
Se a temperatura da sala sobe de T1 para T2, qual a massa de ar que
deixara´ a sala? Assuma que a pressa˜o do ar na sala e´ constante e igual
a P0.
6. Um ga´s ideal e´ descrito por um processo quase esta´tico, dado por
P = αV 2, com α = 5 atm/m6, como mostrado na Figura 6. O ga´s
e´ expandido de 1 m3 para 2 m3. Qual o trabalho realizado pelo ga´s
neste processo?
Figura 6: Trabalho em um diagrama P × V .
7. (a) Determine o trabalho realizado por um ga´s que e´ expandido de i
a f , conforme Figura 7;
(b) Quanto trabalho e´ realizado sobre o ga´s se ele e´ comprimido de f
a i ao longo do mesmo caminho?
Figura 7: Trabalho em um diagrama P × V .
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4 Respostas aos exerc´ıcios
1. (a) W = 808 J ;
(b) W = 505 J ;
(c) W = 202 J .
2. W = 465,36 J ;
3. (a) T = 305 K;
(b) Vi = 7,6 l;
4. m = 2,28 kg;
5. m = MPVR T2−T1T2T1 ;
6. W = 1,18 MJ ;
7. W = 12 MJ ;
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