Algoritmo para cálculo de forças em estruturas offshore

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ALGORITMO PARA IDENTIFICAÇÃO E CÁLCULO DE FORÇAS DE CONTATO 
EM ANÁLISES GLOBAIS DE ESTRUTURAS OFFSHORE 
 
 
Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro 
 
 
 
Projeto de Graduação apresentado ao 
Curso de Engenharia Civil da Escola 
Politécnica, Universidade Federal do Rio 
de Janeiro, como parte dos requisitos 
necessários à obtenção do título de 
Engenheiro Civil. 
 
Orientadores: Bruno Martins Jacovazzo 
Fabrício Nogueira Corrêa 
 
 
Rio de Janeiro 
Março de 2018 
ii 
ALGORITMO PARA IDENTIFICAÇÃO E CÁLCULO DE FORÇAS DE CONTATO 
EM ANÁLISES GLOBAIS DE ESTRUTURAS OFFSHORE 
 
Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro 
 
PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE 
ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE 
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS 
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL. 
 
 
Examinado por: 
 
______________________________________________ 
Prof. Bruno Martins Jacovazzo, D.Sc. 
 
______________________________________________ 
Prof. Fabrício Nogueira Corrêa, D.Sc. 
 
______________________________________________ 
Prof. Ana Beatriz de Carvalho Gonzaga e Silva, D.Sc. 
 
______________________________________________ 
Prof. Gilberto Bruno Ellwanger, D.Sc. 
 
 
Rio de Janeiro 
Março de 2018 
iii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ribeiro, Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro 
Algoritmo para identificação e cálculo de forças de 
contato em análises globais de estruturas offshore/ 
Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro. - Rio de Janeiro: 
UFRJ / ESCOLA POLITÉCNICA, 2018. 
XI, 55 p.: il.; 29,7 cm. 
Orientadores: Fabrício Nogueira Corrêa e Bruno Martins 
Jacovazzo 
Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ 
Curso de Engenharia Civil, ênfase em Estruturas, 2018. 
Referências Bibliográficas: p. 54-55. 
1. Contato. 2. Estruturas offshore. 3. Paineis. I. 
Jacovazzo, Bruno Martins. II. Universidade Federal do Rio 
de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil 
ênfase em Estruturas. III. Título. 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao meu pai. 
v 
AGRADECIMENTOS 
A Deus, em todas as suas formas de manifestação. 
Ao meu pai. Obrigado por sonhar, resistir e, por teimosia, vencer comigo. 
À minha mãe, a quem peço sempre que me acompanhe. 
Às tias Socorro, Teresinha, Rosilda e Sônia (duas mães, uma avó e um anjo). 
Aos meus avós, por me ensinarem sobre amor, respeito, força e brio. 
À minha família, por ser lar, raiz e aconchego. 
Ao tio Ari, pelas longas conversas, grande apoio e diversos conselhos. 
Aos amigos, presentes muito além da mera constatação física. 
Ao LAMCSO, por ter sido o início do que de melhor me aconteceu nos últimos anos. 
À Ivete, por ser leve e tornar a vida no Rio mais fácil. 
Ao professor Carl Horst Albrecht, pela grande ajuda prestada no início do curso, por 
me apresentar ao LAMCSO e por impedir que eu desistisse da engenharia. 
Ao professor Mauro Henrique Alves de Lima Júnior pelos incontáveis auxílios 
prestados e dúvidas sanadas ao longo dos últimos cinco anos. 
Ao meu professor orientador Bruno Martins Jacovazzo pelas diversas revisões e 
inúmeras sugestões que contribuíram imensamente no processo de concretização deste 
trabalho. 
Ao meu professor orientador Fabrício Nogueira Corrêa, maior engenheiro com quem 
convivi, por ter aceitado me orientar desde o primeiro período de graduação, pelos 
desafios propostos e pela crença que eu poderia resolvê-los e, acima de tudo, por ser o 
maior responsável pelo meu crescimento na engenharia. 
A todos que guardam em si a lembrança de que, em algum momento, contribuíram 
para essa conquista. 
vi 
Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte 
dos requisitos necessários para obtenção do grau de Engenheiro Civil. 
 
Algoritmo para identificação e cálculo de forças de contato em análises globais de 
estruturas offshore 
 
Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro 
 
Março/2018 
 
Orientadores: Bruno Martins Jacovazzo e Fabrício Nogueira Corrêa 
Curso: Engenharia Civil 
 
As atividades de produção de petróleo em campos situados no mar têm sido 
realizadas através de sistemas flutuantes que, em operação, podem estar sujeitos a 
interações entre si e demais estruturas de apoio. Para a análise e projeto desses sistemas, 
torna-se necessário calcular as forças e momentos oriundos do contato entre seus 
componentes. Este trabalho pretende desenvolver uma formulação simplificada, no 
contexto de análises globais, que identifique os pontos de contato através da geometria 
dos corpos definidas por malhas de painéis e, a partir das rigidezes (lineares ou não) e 
coeficientes de amortecimento e atrito, calcule as forças e os momentos resultantes nos 
corpos. Todas as implementações serão realizadas num programa codificado na 
linguagem Fortran que tem como objetivo simular o comportamento dinâmico de 
estruturas offshore através de métodos numéricos. 
 
Palavras-chave: Contato, Estruturas offshore, Painéis 
vii 
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the 
requirements for the degree of Civil Engineer. 
 
Algorithm for identification and calculation of contact forces in global analyzes of 
offshore structures 
Jhonathan Jhefferson de Sousa Ribeiro 
 
March/2018 
 
Advisors: Bruno Martins Jacovazzo e Fabrício Nogueira Corrêa 
Course: Civil Engineering 
 
 
The activities of offshore oil production systems have been carried out through 
floating systems that, in operation, can be subject to interactions with each other and 
support structures. For the analysis and design of these systems, it is necessary to 
calculate the forces and moments due the contact between its components. This work 
intends to develop a simplified formulation, in the context of global analyses, that 
identifies the points of contact through the geometry of the bodies defined by panel 
meshes; and, using the stiffnesses (linear or not), the damping and friction coefficients 
of the contact region, evaluate the resultant forces and moments. All implementations 
will be performed in a program coded in the Fortran language that aims to simulate the 
dynamic behavior of offshore structures through numerical methods. 
 
Keywords: Contact, Offshore structures, Panels 
 
viii 
ÍNDICE 
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................... 1 
1.1 Contexto e Motivação..................................................................................... 1 
1.2 Objetivo ......................................................................................................... 1 
2 SISTEMAS OFFSHORE .......................................................................... 3 
2.1 Introdução ...................................................................................................... 3 
2.2 Unidades Flutuantes ....................................................................................... 3 
2.2.1 Plataforma Semissubmersível .................................................................. 3 
2.2.2 TLP ......................................................................................................... 4 
2.2.3 FPSO e FSO ............................................................................................ 5 
2.3 Sistemas de Ancoragem ..................................................................................5 
2.4 Dutos.............................................................................................................. 7 
2.4.1 Risers ...................................................................................................... 7 
2.4.2 Flowlines e Pipelines ............................................................................... 8 
2.5 Equipamentos e Dispositivos .......................................................................... 9 
2.5.1 Árvore de natal ........................................................................................ 9 
2.5.2 Manifold .................................................................................................. 9 
2.5.3 Defensas ................................................................................................ 10 
3 CONTATO ENTRE CORPOS .................................................................. 11 
3.1 Introdução .................................................................................................... 11 
3.2 Forças envolvidas ......................................................................................... 11 
3.2.1 Força Elástica ........................................................................................ 11 
3.2.2 Amortecimento Viscoso Normal ........................................................... 13 
3.2.3 Atrito: Amortecimento de Coulomb ...................................................... 13 
3.3 Implementação do contato ............................................................................ 15 
3.3.1 O SITUA-Prosim .................................................................................. 15 
3.3.2 Descrição do método ............................................................................. 16 
3.3.3 Conceitos básicos .................................................................................. 18 
3.3.4 Identificação do contato......................................................................... 22 
ix 
3.3.5 Atrito .................................................................................................... 28 
3.3.6 Amortecimento...................................................................................... 29 
3.3.7 Forças elásticas ..................................................................................... 30 
4 VALIDAÇÃO ....................................................................................... 32 
4.1 Introdução .................................................................................................... 32 
4.2 Forças elásticas ............................................................................................ 32 
4.3 Forças de amortecimento .............................................................................. 35 
4.3.1 Constante de amortecimento crítico ....................................................... 35 
4.3.2 Amortecimento subcrítico ..................................................................... 36 
4.3.3 Amortecimento crítico ........................................................................... 36 
4.3.4 Amortecimento supercrítico .................................................................. 37 
4.3.5 Comparação dos tipos de amortecimento ............................................... 38 
4.4 Forças de atrito ............................................................................................. 39 
4.4.1 Deslizamento......................................................................................... 39 
4.4.2 Tombamento ......................................................................................... 40 
4.5 Estudo paramétrico de refinamento ............................................................... 43 
5 APLICAÇÕES ...................................................................................... 45 
5.1 Introdução .................................................................................................... 45 
5.2 Alívio Ship to Ship ....................................................................................... 45 
5.3 Lançamento de manifold .............................................................................. 48 
6 CONCLUSÕES ..................................................................................... 53 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................ 54 
x 
LISTA DE FIGURAS 
Figura 2.1 – Exemplo típico de sistemas offshore [5] ................................................... 3 
Figura 2.2 – Plataforma semissubmersível [6] ............................................................. 4 
Figura 2.3 – Plataforma TLP [6] .................................................................................. 4 
Figura 2.4 – FPSO [5] ................................................................................................. 5 
Figura 2.5 – FSO transferindo óleo para navio aliviador à direita [5] ........................... 5 
Figura 2.6 – SPM [5] ................................................................................................... 6 
Figura 2.7 – SMS [5] ................................................................................................... 6 
Figura 2.8 – Catenária [6] ............................................................................................ 7 
Figura 2.9 – Taut leg [6] .............................................................................................. 7 
Figura 2.10 – TLP com diversos risers [6] .................................................................. 8 
Figura 2.11 – Flowlines conectando equipamentos submarinos [6] .............................. 8 
Figura 2.12 – Pipelines exportando produção [6] ......................................................... 8 
Figura 2.13 – Árvore de natal no fundo do mar [7] ...................................................... 9 
Figura 2.14 – Árvore de natal na plataforma [6] ........................................................... 9 
Figura 2.15 – Manifold interligado por flowlines a duas árvores de natal [9] .............. 10 
Figura 2.16 – Navio com defensas ao longo do seu costado [10] ................................ 10 
Figura 3.1 – Molas associadas em paralelo [12] ......................................................... 12 
Figura 3.2 – Molas associadas em série [12] .............................................................. 12 
Figura 3.3 – Corpo sobre plano inclinado – diagrama de forças [13] .......................... 14 
Figura 3.4 – Corpo na iminência do tombamento ....................................................... 15 
Figura 3.5 – Corpos com geometria definida por malhas de superfíe triangular .......... 16 
Figura 3.6 – Ponto interno ao volume ........................................................................ 17 
Figura 3.7 – Ponto externo ao volume ........................................................................ 17 
Figura 3.8 – Volume côncavo (ponto interno não identificado pelo algoritmo) .......... 17 
Figura 3.9 – Corpo côncavo formado por dois subvolumes convexos ........................ 18 
Figura 3.10 – Graus de liberdade de uma embarcação [14] ........................................ 19 
Figura 3.11 – Bounding box no entorno de um corpo cúbico [4] ................................ 19 
Figura 3.12 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo ............................. 20 
Figura 3.13 – Distância entre um ponto a um plano β definido por normal unitária .... 21 
Figura 3.14 – Interpretações física e geométrica do contato ....................................... 21 
Figura 3.15 – Fluxograma para análise de contato entre duas UF’s ............................ 24 
Figura 3.16 – Fluxograma para loop de pontos da UF2 ..............................................26 
Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos e aplicação no CG dos 
corpos ......................................................................................................................... 27 
Figura 3.18 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos ao atrito ......... 29 
Figura 3.19 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos ao 
amortecimento ............................................................................................................ 30 
Figura 3.20 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos à deformação 
dos corpos .................................................................................................................. 31 
Figura 4.1 – Instante inicial ....................................................................................... 32 
Figura 4.2 – Instante da colisão ................................................................................. 33 
xi 
Figura 4.3 – Instante posterior à colisão ..................................................................... 33 
Figura 4.4 – Série temporal do sistema não amortecido ............................................. 34 
Figura 4.5 – Série temporal do sistema não amortecido ............................................. 35 
Figura 4.6 – Série temporal do sistema com amortecimento subcrítico....................... 36 
Figura 4.7 – Série temporal do sistema com amortecimento crítico ............................ 37 
Figura 4.8 – Série temporal do sistema com amortecimento supercrítico.................... 37 
Figura 4.9 – Influência da constante de amortecimento no movimento do corpo ........ 38 
Figura 4.10 – Início da análise ................................................................................... 39 
Figura 4.11 – Plataforma rotacionando ...................................................................... 39 
Figura 4.12 – Cubo deslizando .................................................................................. 39 
Figura 4.13 – Série temporal do movimento do cubo de translação no eixo x ............. 40 
Figura 4.14 – Corpo na iminência do tombamento ..................................................... 41 
Figura 4.15 – Rotação dos corpos em torno do eixo y ................................................ 41 
Figura 4.16 – Rotação dos corpos em torno do eixo y ................................................ 42 
Figura 4.17 – Início da análise ................................................................................... 42 
Figura 4.18 – Momento anterior ao tombamento........................................................ 42 
Figura 4.19 – Momento após o tombamento .............................................................. 43 
Figura 4.20 – Estudo paramétrico de surge ................................................................ 44 
Figura 5.1 – Modelo para análise de operação STS .................................................... 46 
Figura 5.2 – Defensas postadas no costado do navio .................................................. 46 
Figura 5.3 – Série temporal das forças de contato ...................................................... 47 
Figura 5.4 – Resultantes das forças de contato ........................................................... 48 
Figura 5.5 – Método de instalação pendular [16] ....................................................... 49 
Figura 5.5 – Operação de lançamento de manifold ..................................................... 50 
Figura 5.6 – Manifold deslizando sobre rampa e suporte de lançamento .................... 51 
Figura 5.7 – Série temporal das forças de contato ...................................................... 51 
Figura 5.8 – Resultantes das forças de contato ........................................................... 52 
 
1 
 
1 INTRODUÇÃO 
1.1 Contexto e Motivação 
As atividades de produção de petróleo em campos situados no mar (offshore) têm 
sido realizadas através de sistemas flutuantes que, durante instalação e operação, estão 
sujeitos a diversos carregamentos ambientais, tais como correntes marítimas, ondas e 
vento. 
Para realizar o projeto dos componentes destes sistemas, devido à alta complexidade, 
são necessárias ferramentas computacionais que simulem os comportamentos estático e 
dinâmico das embarcações a partir dos carregamentos ambientais característicos da 
região. 
Dentre as várias ferramentas computacionais disponíveis, destaca-se nesse trabalho 
o SITUA-Prosim [1,2] (desenvolvido por pesquisadores do LAMCSO em parceria com 
a Petrobras). Esse programa permite que o usuário defina as configurações físicas e 
geométricas de componentes estruturais de sistemas offshore, além das condições de 
onda, vento, correnteza, etc., combinando-as em casos de carregamento. 
No processo de análise e simulação computacionais de problemas de instalação de 
equipamentos submarinos, como lançamento pendular de manifolds, análise de 
estabilidade de containers em navios, operações de alívio ship to ship, lançamento de 
dutos, etc, os integrantes estruturais destes sistemas apresentam colisões entre si ou com 
outros componentes que servem de apoio às operações, tornando-se necessário que o 
programa esteja apto a identificar os pontos de contato e calcular as forças decorrentes 
do mesmo. 
1.2 Objetivo 
Neste contexto, este trabalho pretende desenvolver uma formulação simplificada 
que identifique os pontos de contato através da geometria dos corpos definidas por 
malhas de painéis e, a partir das rigidezes (lineares ou não) e coeficientes de 
amortecimento e atrito, calcule as forças e os momentos resultantes. Desta forma, torna-
2 
 
se possível avaliar os efeitos globais do contato para melhor representar o movimento 
das unidades flutuantes. 
Neste ponto, cabe observar que na formulação original do programa SITUA-Prosim, 
os navios são modelados por corpos rígidos com seis graus de liberdade (três de 
translação e três de rotação), com geometria definida através de uma malha de superfície 
com elementos triangulares, e as linhas são modelas por elementos finitos [3]. A 
formulação já existente de contato linha-casco [4] permite ao usuário a modelagem de 
alguns sistemas, nos quais as linhas são dispostas de forma a identificar o contato entre 
corpos e transferir forças entre eles. 
3 
 
2 SISTEMAS OFFSHORE 
2.1 Introdução 
O conjunto de equipamentos utilizados para a prospecção e exploração de petróleo 
em águas marítimas é conhecido como sistema offshore (Figura 2.1). Neste capítulo, 
serão abordados, de forma sucinta, os principais componentes destes sistemas. 
 
Figura 2.1 – Exemplo típico de sistemas offshore [5] 
2.2 Unidades Flutuantes 
2.2.1 Plataforma Semissubmersível 
Plataformas semissubmersíveis são compostas por conveses sustentados por 
colunas, as quais se apoiam em flutuadores submersos denominados pontoons (Figura 
2.2). São utilizadas em águas de qualquer profundidade (rasas, intermediárias, profundas 
ou ultraprofundas), sendo transportadas totalmente prontas para o local de instalação, o 
que as torna reaproveitáveis. Sua principal desvantagem é a incapacidade de 
armazenagem, o que implica que enviem a produção para um FPSO ou FSO (Seção 2.2.3) 
ou estejam conectadas a oleodutos de exportação (Seção 2.4.2). 
4 
 
 
Figura 2.2 – Plataforma semissubmersível [6] 
2.2.2 TLP 
A Tension Leg Platform (TLP), ou plataforma de pernas atirantadas, possui uma 
estrutura semelhante à de uma semissubmersível. A diferença está na ancoragem que, 
neste caso, se dá com as linhas na vertical (Figura 2.3). Isso ocorre devido ao excesso de 
flutuabilidade do casco em relação à carga vertical total, o que mantém o sistema de 
ancoragempermanentemente sob tração [5]. Assim como as semissubmersíveis, podem 
ser transportadas totalmente prontas para o local de instalação, são reaproveitáveis e não 
armazenam a produção. 
 
Figura 2.3 – Plataforma TLP [6] 
 
5 
 
2.2.3 FPSO e FSO 
As Floating, Production, Storage and Offloading (FPSO), ou Unidades Flutuantes 
de Produção, Armazenamento e Transferência, são, em sua maioria, plataformas obtidas 
a partir da conversão de antigos navios petroleiros. Desta maneira, possuem capacidade 
de navegação e são transportadas totalmente prontas para locação. Sua utilização ocorre 
em águas profundas e ultraprofundas, e é ideal para regiões com pouca infraestrutura, 
pois possuem em seu convés uma planta de processamento primário e escoam a produção 
para FSO ou através de oleodutos. 
Diferentemente das FPSO, as Floating, Storage ans Offloading (FSO), ou Unidades 
Flutuantes de Armazenamento e Transferência, não possuem planta de processamento 
primário. Tratam-se de navios que apenas armazenam o óleo produzido por outra 
plataforma e o transfere a um navio aliviador, que é um navio desenvolvido 
especificamente para transportar óleo de plataformas para refinarias. 
 
Figura 2.4 – FPSO [5] 
 
Figura 2.5 – FSO transferindo óleo para 
navio aliviador à direita [5] 
2.3 Sistemas de Ancoragem 
Sistemas de ancoragem correspondem ao conjunto estrutural responsável por manter 
os sistemas flutuantes dentro de uma zona aceitável de descolamentos definida em 
projeto. 
Dentre as possíveis classificações dos tipos de sistemas de ancoragem, tem-se duas 
principais: de acordo com a posição das linhas de ancoragem e de acordo com 
configuração geométrica de cada linha. 
6 
 
Segundo a posição das linhas, os mais tradicionais são: 
 Single Point Mooring (SPM) (Ponto Único de Ancoragem): este tipo de 
ancoragem exige o uso de turret, que é uma estrutura cilíndrica acoplada à 
plataforma de modo que esta possa rotacionar em torno do mesmo, 
permitindo alinhamento da unidade flutuante com a resultante das cargas 
ambientais (Figura 2.6). Nesta configuração, as linhas partem do turret e se 
distribuem de forma radial. 
 Spread Mooring System (SMS) (Sistema de Ancoragem Distribuída): neste 
tipo de ancoragem, as linhas se encontram geralmente distribuídas de forma 
simétrica na embarcação (Figura 2.7), impossibilitando que a mesma se 
alinhe à resultante dos carregamentos ambientais. Essa restrição de 
movimentos facilita as operações de offloading. 
 
Figura 2.6 – SPM [5] 
 
Figura 2.7 – SMS [5] 
Segundo a configuração geométrica das linhas, as mais comuns são: 
 Catenária: é uma forma geométrica em que o peso próprio das linhas é o 
principal responsável pela manutenção da posição das embarcações. Devido 
à ausência de elevadas trações, necessita de longos comprimentos de 
ancoragem, ocupando uma área no leito marinho com raio aproximadamente 
igual a 3 vezes o comprimento da projeção vertical das linhas (Figura 2.8). 
Tais características permitem maiores deslocamentos das unidades 
flutuantes, contudo podem causar transtornos relacionados ao 
congestionamento com linhas de unidades próximas ou equipamentos 
submarinos. 
7 
 
 Taut-leg: diferentemente da catenária, a configuração em taut leg apresenta 
elevadas trações nas linhas, as quais possuem ângulo de topo com a vertical 
de aproximadamente 45 graus, o que configura maior rigidez ao sistema e 
menores deslocamentos da embarcação (Figura 2.9). Tal característica 
implica em menores raios de ancoragem, contornando possíveis problemas 
que surgiriam se adotada a configuração em catenária. Uma desvantagem 
desta geometria está nas âncoras, que precisam ser projetadas para resistirem 
também a esforços verticais. 
 
Figura 2.8 – Catenária [6] 
 
Figura 2.9 – Taut leg [6] 
Um outro importante sistema de ancoragem consiste no DP (Dynamic Position), que 
utiliza propulsores acoplados à embarcação para manter sua posição. Tais propulsores 
possuem um sistema de verificação de deslocamentos e são acionados de forma a restituir 
a embarcação para sua posição de referência. 
2.4 Dutos 
2.4.1 Risers 
Segundo JACOB [6], risers são dutos que conectam poços de petróleo no fundo do 
mar a plataformas de produção e/ou perfuração na superfície. Dentre suas funções, 
destacam-se: 
 condução de fluidos ou ferramentas na perfuração, completação e 
intervenção de poços; 
 injeção de água ou gás (para manutenção de pressão no reservatório); 
 produção de óleo dos reservatórios; 
 exportação da produção até os terminais. 
8 
 
 
Figura 2.10 – TLP com diversos risers [6] 
2.4.2 Flowlines e Pipelines 
Segundo JACOB [6], flowlines (Figura 2.11) são dutos apoiados no fundo do mar 
com finalidade de conectar equipamentos submarinos. Já os pipelines (Figura 2.12) são 
dutos também apoiados no fundo do mar, mas usados para exportação de óleo e gás até 
monoboias ou uma planta em terra. 
Figura 2.11 – Flowlines conectando 
equipamentos submarinos [6] 
 
Figura 2.12 – Pipelines exportando 
produção [6] 
risers 
9 
 
2.5 Equipamentos e Dispositivos 
2.5.1 Árvore de natal 
Árvore de natal é um equipamento constituído por um conjunto de válvulas que é 
acoplado à cabeça de poço com o objetivo de controlar e permitir a produção de fluidos. 
Pode estar localizada na plataforma, de forma a facilitar o controle e intervenção nos 
poços, ou no fundo do mar. 
 
Figura 2.13 – Árvore de natal no fundo 
do mar [7] 
 
Figura 2.14 – Árvore de natal na 
plataforma [6] 
2.5.2 Manifold 
Segundo BAIOCO [8], um manifold consiste de uma rede de tubulações com 
válvulas e conexões que controlam a produção e injeção de poços ligados a ele, sendo 
utilizado para direcionar fluidos produzidos ou injetados entre os poços e a unidade de 
produção, localizando-se entre flowlines e risers no arranjo submarino. 
Dentre os principais objetivos do uso de manifold pode-se destacar [8]: 
 diminuir custos de risers, carga de risers e espaço necessário para acoplá-los 
à unidade de produção; 
 reduzir custo de dutos; 
 reduzir custos de manutenção e o risco de falha de risers; 
 otimizar o arranjo submarino. 
10 
 
 
Figura 2.15 – Manifold interligado por flowlines a duas árvores de natal [9] 
2.5.3 Defensas 
Defensas marítimas são elementos cuja principal função é proteger navios e 
terminais de atracação de fortes impactos com outras embarcações. Elas são dispostas ao 
longo do costado de navios (Figura 2.16) ou de terminais de acostagem e atuam de forma 
a absorver uma parte da energia envolvida no contato, que é dissipada devido a 
amortecimento histerético, e transferem o restante da energia aos corpos na forma de 
energia cinética. Além disso, elas podem ser usadas em operações de alívio Ship to Ship 
(Seção 5.2), evitando que haja colisão entre os navios produtor e aliviador. 
 
Figura 2.16 – Navio com defensas ao longo do seu costado [10] 
11 
 
3 CONTATO ENTRE CORPOS 
3.1 Introdução 
Neste capítulo, apresenta-se a teoria que embasa o método desenvolvido para análise 
de contato em análises globais de sistemas offshore, com descrição das parcelas de força 
envolvidas, premissas adotadas, dados de entrada e instruções quanto a correta 
modelagem dos corpos. Além disto, há um item sobre o programa SITUA-Prosim, 
ferramenta a qual foi acrescido, em forma de subrotina, o código desenvolvido neste 
trabalho. Por fim, são apresentados fluxogramas que elucidam a implementação 
computacional do método. 
3.2 Forças envolvidas 
Nos itens seguintes são apresentadas as forças envolvidas na análise global de 
contato entre corpos modeladospor malha de painéis com elementos triangulares. Cada 
corpo possui seis graus de liberdade: três de translação (x, y e z) e três de rotação (Rx, Ry 
e Rz). 
As componentes da força de contato estão expressas na equação 1: 
�⃗������� = �⃗������ + �⃗������������� + �⃗��á����� (1) 
3.2.1 Força Elástica 
De acordo com RAO [11], uma força é desenvolvida numa mola sempre que houver 
um movimento relativo entre suas extremidades, ou seja, uma deformação. Tal força é 
proporcional à deformação e é dada por: 
�⃗��á����� = −� ∙ ���⃗ (2) 
onde k é a é a rigidez da mola ou constante elástica e ���⃗ é a sua deformação. O sinal 
de negativo na equação expressa o sentido contrário que a força elástica tem com relação 
à deformação, atuando sempre de forma restauradora. 
Molas lineares podem se associar gerando uma mola equivalente. Isto pode ocorrer 
de duas formas: 
12 
 
 Molas em paralelo: conforme a Figura 3.1, ocorre quando as molas apresentam 
a mesma deformação. 
 
Figura 3.1 – Molas associadas em paralelo [12] 
A constante elástica equivalente é dada pela equação 3: 
��� = �� + �� (3) 
 Molas em série: conforme a Figura 3.2, ocorre quando a mesma força atua nas 
molas. 
 
Figura 3.2 – Molas associadas em série [12] 
A constante elástica equivalente é dada pela equação 4: 
1/��� = 1/�� + 1/�� (4) 
13 
 
3.2.2 Amortecimento Viscoso Normal 
Segundo com RAO [11], em sistemas práticos, a energia de vibração é 
gradativamente convertida em calor ou som, ocasionando a diminuição gradativa do 
deslocamento dos corpos. Tal mecanismo é conhecido como amortecimento. 
Existem diversos modelos de amortecimento, dentre os quais se pode destacar o 
amortecimento viscoso, o amortecimento Coulomb ou por atrito seco e o amortecimento 
material ou sólido por histerese. Neste trabalho, foram implementados os tipos de 
amortecimento por atrito (Seção 3.2.3) e viscoso. 
O amortecimento viscoso atua no sentido da velocidade relativa dos corpos projetada 
perpendicularmente à superfície de contato e o seu sentido é sempre contrário ao 
movimento. A expressão para seu cálculo é mostrada na equação 5: 
�⃗�� = −� ∙ ���⃗ ��������� (5) 
onde �⃗�� é a força de amortecimento normal, c é a constante de amortecimento e 
���⃗ ��������� é a projeção da velocidade relativa perpendicular à superfície de contato. 
Pode-se definir, para sistemas amortecidos, a constante de amortecimento crítico, 
cuja dedução pode ser encontrada em RAO [11]. A expressão do amortecimento crítico 
está indicada na equação 6: 
�� = 2 ∙ ���� ∙ � (6) 
onde Keq é a constante elástica equivalente (Seção 3.2.1) e m é a massa do corpo 
analisado. 
De acordo com os diferentes valores de constante de amortecimento, o movimento 
do corpo pode ser classificado como amortecido subcriticamente, criticamente ou 
supercriticamente. 
3.2.3 Atrito: Amortecimento de Coulomb 
De acordo com RAO [11], sempre que os componentes de uma estrutura deslizam 
um em relação ao outro, surgem forças de amortecimento por atrito. Tal força é 
proporcional à força normal que age no plano de contato e segue a seguinte expressão: 
��⃗��� = �μ��� ∙ ���⃗ � (7) 
14 
 
onde �⃗�� é a força de atrito cinética, µcin é o coeficiente de atrito cinético e ���⃗ é a 
força normal à superfície de contato. 
Há também uma força de atrito estático que, como o nome sugere, atua quando não 
há movimento relativo entre os corpos. Tal força atua de forma contrária à tendência de 
movimento, anulando a componente de força resultante projetada paralelamente à 
superfície de contato, igualando-se a tal componente de força em módulo e evitando o 
deslizamento entre os corpos. O valor máximo da força de atrito estático é dado pela 
expressão seguinte: 
��⃗��� = �μ��� ∙ ���⃗ � (8) 
onde �⃗�� é a força de atrito estático, µest é o coeficiente de atrito estático e ���⃗ é a força 
normal à superfície de contato. 
Partindo das definições acima, pode-se calcular, para um corpo apoiado sobre plano 
inclinado, o valor da inclinação necessária para que o primeiro comece a deslizar sobre 
o segundo. A demonstração da expressão desta inclinação segue abaixo: 
 
 
Figura 3.3 – Corpo sobre plano inclinado – diagrama de forças [13] 
Equações de equilíbrio: 
� = �� = � ∙ ���� 
��� = �� = � ∙ ���� 
Na iminência do movimento, tem-se: 
����á� = μ��� ∙ � = � ∙ ���� 
μ��� ∙ (� ∙ ����) = � ∙ ���� 
15 
 
�� = ���� 
� = ������ (��) (9) 
Outro fenômeno que pode ocorrer quando um corpo está apoiado sobre uma 
plataforma inclinada é o tombamento. A partir do instante que a linha de atuação da força 
peso do corpo apoiado deixa de passar pela área de contato entre os corpos, passa atuar 
um momento de força que causa o tombamento do corpo apoiado. A Figura 3.4 ilustra o 
fenômeno e a equação 10 define o valor do ângulo para o qual ocorre o tombamento: 
� = ������ �
�
ℎ��
� (10) 
 
Figura 3.4 – Corpo na iminência do tombamento 
3.3 Implementação do contato 
3.3.1 O SITUA-Prosim 
O Sistema SITUA-Prosim vem sendo desenvolvido pelo LAMCSO em parceria com 
o CENPES-Petrobras. O programa tem o objetivo de efetuar tanto análises de unidades 
flutuantes ancoradas (considerando a interação dos cascos com as linhas de ancoragem e 
risers) quanto de situações de instalação e avaria (incluindo instalação de dutos). 
A plataforma SITUA compõe a interface gráfica para entrada de dados, geração de 
modelos complexos e visualização de resultados, enquanto os módulos de análise estão 
incorporados no programa Prosim. 
16 
 
O Prosim utiliza modelos hidrodinâmicos para fazer a análise dos cascos da 
embarcação, já para a análise do comportamento estrutural dos risers, linhas de 
ancoragem e lançamento de dutos utiliza o Método dos Elementos Finitos de treliça e de 
pórtico, utilizando diferentes algoritmos para a análise, dentre eles o algoritmo implícito 
αβ-Newmark, com propriedade de dissipação numérica, além de algoritmos explícitos 
apropriados para análise de situações transientes. 
Com isso, o programa é capaz de fornecer os movimentos da unidade flutuante 
considerando a resposta estrutural e hidrodinâmicas das linhas de ancoragem, o que leva 
o programa a fornecer maior precisão na análise acoplada do sistema. 
3.3.2 Descrição do método 
O algoritmo desenvolvido neste trabalho está baseado na identificação geométrica 
de penetrações entre corpos. Tais penetrações são pequenas o suficiente para que se 
assuma que, fisicamente, correspondam a deformações. 
A busca é feita a partir da posição dos corpos e o volume ocupado por estes. Quando 
há interferência espacial entre os volumes, o algoritmo identifica que houve contato e 
passa a calcular penetrações e forças. A identificação é possível através da definição, 
pelo usuário, da geometria dos corpos por malha de painéis triangulares (Figura 3.5). 
 
Figura 3.5 – Corpos com geometria definida por malhas de superfíe triangular 
Além da geometria, o usuário deve definir gráficos de rigidez para cada um dos 
corpos e, caso haja interesse, coeficientes de amortecimento e atrito estático e dinâmico. 
Tais gráficos são introduzidos no programa através de tabelas. O algoritmo assume 
semirretas (comportamento linear) entre os pontos definidos. 
Para que se possa identificar o contato, o programa busca pontos que estejam “atrás” 
(de acordo com orientação definida pelos vetores normais das superfícies) de todos os 
planos dos triângulos da superfície do outro corpo. A Figura 3.6 ilustra um ponto 
17 
 
considerado no interior do volume, enquanto a Figura 3.7 mostra um ponto externo (de 
acordo com a orientação da normal, o ponto não está atrás da superfície esquerda docorpo). 
 
Figura 3.6 – Ponto interno ao volume 
 
Figura 3.7 – Ponto externo ao volume 
Tendo em vista o exposto nas imagens, surgem aqui duas imposições do método: 
 os pontos dos triângulos nos arquivos que definem a geometria devem ser 
dispostos de modo que as normais apontem para o espaço externo dos corpos; 
 os corpos devem ser convexos, devido a problemas como o exposto na Figura 
3.8 (a superfície em vermelho foi prolongada para evidenciar que o ponto 
está à sua frente, portanto fora do volume). 
 
Figura 3.8 – Volume côncavo (ponto interno não identificado pelo algoritmo) 
18 
 
Para contornar o que seria uma possível limitação do algoritmo, o usuário pode 
definir, para cada corpo, vários subvolumes. Desta maneira, o corpo da Figura 3.8 deveria 
ser composto por dois subvolumes convexos, como visto na Figura 3.9. 
 
Figura 3.9 – Corpo côncavo formado por dois subvolumes convexos 
3.3.3 Conceitos básicos 
3.3.3.1 Graus de liberdade 
Um corpo rígido possui 6 graus de liberdade (3 translações e 3 rotações). No 
contexto de embarcações, os movimentos em cada grau de liberdade recebem nomes 
específicos: 
 Surge: translação na direção do eixo x 
 Sway: translação na direção do eixo y 
 Heave: translação na direção do eixo z 
 Roll: rotação em torno do eixo x 
 Pitch: rotação em torno do eixo y 
 Yaw: rotação em torno do eixo z 
19 
 
A Figura 3.10 abaixo ilustra estes movimentos de acordo com cada eixo. 
 
Figura 3.10 – Graus de liberdade de uma embarcação [14] 
3.3.3.2 Bounding Box 
Com intuito de tornar mais eficiente o mecanismo de busca por pontos de contato, é 
criada, para cada subvolume dos corpos, uma bounding box. Tal entidade representa um 
paralelepípedo formado com os valores máximos e mínimos das coordenadas dos pontos 
que formam a malha de superfície, de forma a representar uma caixa que envolve todo o 
corpo. Uma verificação inicial de contato na bounding box evita que o algoritmo entre 
numa busca mais refinada (ponto a ponto, mais custosa) quando os corpos ainda não 
entraram em contato. 
 
Figura 3.11 – Bounding box no entorno de um corpo cúbico [4] 
3.3.3.3 Definição de vetor normal unitário 
De acordo com STEINBRUCH [15], um vetor normal à área de um triângulo pode 
ser calculado a partir do produto vetorial de dois vetores que correspondam a duas de 
suas arestas. O vetor ���⃗ na Figura 3.12 indica o resultado da operação 11: 
���⃗ = ������������������������⃗ × ������������������������⃗ (11) 
20 
 
 
Figura 3.12 – Definição de vetor normal à superfície do triângulo 
Para torna-lo unitário, as componentes do vetor são dividas pelo seu módulo de 
acordo com a expressão abaixo: 
���⃗ ���� = 
���⃗
����⃗ �
 (12) 
3.3.3.4 Cálculo de distâncias 
Ainda de acordo com STEINBRUCH [15], a distância entre um ponto e um plano 
pode ser calculada a partir de um produto escalar conforme a expressão abaixo: 
���� = ���⃗ ���� ∙ ����������⃗ (13) 
onde ���⃗ ���� é um vetor unitário normal ao plano e ����������⃗ é um vetor auxiliar com origem 
no plano e extremidade no ponto cuja distância se pretende calcular (Figura 3.13). Cabe 
ressaltar que o resultado da expressão 13 traz em seu sinal uma informação importante: 
caso dist seja maior que zero, o ponto está na frente do plano (de acordo com orientação 
definida pelo vetor ���⃗ ����); caso dist seja negativo, o ponto está atrás do plano. 
21 
 
 
Figura 3.13 – Distância entre um ponto a um plano β definido por normal unitária 
3.3.3.5 Cálculo da rigidez de contato 
O usuário define os gráficos de rigidezes fornecendo pontos com forças e respectivas 
deformações para cada um dos corpos. 
Partindo do pressuposto que as forças elásticas que atuam nos corpos formam um 
par ação-reação, a busca pelo módulo da força consiste então em encontrar iterativamente 
um valor que, atuando nos dois corpos, gere deformações (não necessariamente iguais) 
que, somadas, se igualem ao valor de penetração encontrado geometricamente no 
processo de análise do contato. 
 
Figura 3.14 – Interpretações física e geométrica do contato 
22 
 
3.3.4 Identificação do contato 
O cálculo do contato ocorre de forma que um dos corpos, aqui denominados 
Unidades Flutuantes (UF’s), é tratado como um volume, enquanto o segundo corpo é 
tratado como um conjunto de pontos. A análise consiste em buscar pontos da segunda 
unidade flutuante (UF2) que estejam na superfície ou interior do volume definido pela 
malha geométrica de painéis triangulares da primeira unidade flutuante (UF1). 
O processo inicia com um loop de subvolumes (como já explicado, o usuário pode 
definir um corpo rígido a partir da definição de diversos volumes convexos) da UF1, com 
posterior geração de uma bounding box (BB), conforme a Seção 3.3.3.2. Inicia-se então 
um loop nos pontos da UF2 com intuito de buscar, neste primeiro momento, pontos que 
sejam internos à BB. Caso não sejam encontrados pontos internos, a busca continua num 
próximo subvolume da UF1, para o qual será gerada uma nova BB. 
Caso seja encontrado algum ponto no interior da BB do subvolume analisado, é 
encerrado o primeiro loop de pontos da UF2 e inicia-se uma busca mais refinada, a partir 
de um novo loop de pontos da UF2, por pontos que sejam internos à geometria definida 
pela malha de painéis triangulares. Neste momento, inicia-se um loop pelos triângulos 
da UF1, para os quais serão gerados vetores normais com intuito de calcular distâncias 
até o ponto analisado. Para que seja considerado interno ao subvolume, um ponto da UF2 
precisa estar “atrás” (de acordo com a direção definida pela normal) de todos os planos 
definidos pelos triângulos do subvolume de UF1. Caso esta situação seja verificada, são 
guardados as coordenadas do ponto considerado interno, o valor da penetração (distância 
do ponto à superfície) e a normal do plano para o qual o ponto teve a menor distância 
(aqui, considera-se que o usuário tenha definido intervalos de tempo adequados para que 
o algoritmo encontre os pontos de contato quando as deformações são mínimas, 
condizentes com a realidade física do problema). 
Após o fim do loop de triângulos do subvolume de UF1 e identificados todos os 
pontos da UF2 que sejam internos, é calculada uma penetração média, além de valores 
de coordenadas de uma superfície normal média e ponto de contato médio (ambos 
obtidos por médias ponderadas pelos valores de penetração de cada ponto). Com o valor 
da penetração média, inicia-se a busca pelo valor das deformações em cada corpo e o 
módulo da consequente força elástica, como explicado na Seção 3.3.3.5. 
23 
 
Tendo obtido o módulo da força elástica e as coordenadas da superfície normal 
média e do ponto de contato médio, são calculados os vetores de força elástica, atrito e 
amortecimento e os respectivos momentos causados no centro de gravidade das 
plataformas. As resultantes destes vetores são transferidas para vetores globais do 
programa e, após encerrada a busca por contato em todas as UF’s envolvidas e seus 
respectivos subvolumes, entram no processo de integração numérica para cálculo de 
movimento dos corpos. 
Os passos explicados acima se repetem até que se encerre o loop de volumes 
constituintes de UF1. As imagens abaixo trazem, em forma de pseudocódigo, 
fluxogramas que representam o processo de análise de contato. O cálculo de cada uma 
das parcelas de forças envolvidas será explicado nas próximas seções. 
24 
 
Loop: IPTO2 = IPTO2 + 1
Geração da BB
Nó interno à BB ?
CHECK_VOL = FALSE
CALC_FORCA = FALSE 
IPTO2 = 0
CHECK_VOL = TRUE
EXIT
IPTO2 ≥ NPTO2 ?
CHECK_VOL = TRUE ?
IPTO2 = 0
NPTOIN = 0
PTO_ACUM= 0
NORMAL_ACUM = 0 
PENET_ACUM = 0
CALC_FORCA= TRUE ?
IVOLSHIP1 ≥ NVOLS1 ?
Fim
IVOLSHIP1 = IVOLSHIP1 + 1 
SIM NÃO
SIM
NÃO
SIM
NÃO
SIM
NÃO
SIM NÃO
IVOLSHIP1 = 0
Início
A
B
Loop de pontos da UF2
Cálculo de forças e 
momentos e aplicação no 
CG dos corpos
 
Figura 3.15 – Fluxograma para análise de contato entre duas UF’s 
25 
 
Nesta figura, define-se as seguintes variáveis: 
 IVOLSHIP1: contador de volumes de UF1; 
 CHECK_VOL: variável lógica que, se verdadeira, indica que há ponto(s) da UF2 
internos à BB do subvolume de UF1; 
 CALC_FORCA: variável lógica que, se verdadeira, indica que serão calculadas 
forças de contato; 
 IPTO2: contador de pontos de UF2; 
 NPTO2: número total de pontos de UF2; 
 NPTOIN: contador de pontos de UF2 internos ao subvolume de UF1; 
 PTO_ACUM: 
 NORMA_ACUM: 
 PENET_ACUM: 
 NVOLS1: Número de subvolumes de UF1. 
26 
 
IPTO2 = IPTO2 +1
ITRIANG = 0
PTOIN = TRUE
Loop: ITRIANG1 = ITRIANG1 + 1 
Geração de vetor normal (N) 
apontando para fora do volume
Geração de vetor (Vet) com origem no 
elemento e extremidade no ponto da UF2
(N∙Vet) ≤ 0 ?
PTOIN = TRUE PTOIN = FALSE
ITRIANG1 ≥ NTRIANG1 ?
PTOIN = TRUE ?
CALC_FORCA = TRUE
NPTOIN = NPTOIN + 1
Cálculo da penetração (PENET)
PTO_ACUM = PTO * PENET + PTO_ACUM
PENETR_ACUM = PENETR_ACUM + PENET
NORMAL_ACUM = N * PENET + NORMAL_ACUM
IPTO2 ≥ NPTO2 ?
Fim
SIM
SIM
NÃO
NÃO
NÃO
SIM
A
 
Figura 3.16 – Fluxograma para loop de pontos da UF2 
27 
 
Nesta figura, define-se as seguintes variáveis: 
 ITRIANG: vetor que guarda, para cada ponto de UF2, o número do triângulo 
de UF1 cuja penetração foi menor; 
 PTOIN: variável lógica que, se falsa, indica que o ponto de UF2 está fora do 
subvolume de UF1; 
 ITRIANG1: contador de triângulos do subvolume de UF1; 
 NTRIANG1: número de pontos do subvolume de UF1; 
 PTO: coordenadas do ponto de UF2 interno ao subvolume de UF1; 
PENET_MEDIA = PENET_ACUM / NPTOIN
PC_MEDIO = PTO_ACUM / PENET_ACUM
NORMAL_MEDIA = NORMAL_ACUM / PENET_ACUM
Cálculo do módulo da força devido a deformações 
dos corpos (FORC_GRAF)
Geração do gráfico força-
deformação resultante 
Cálculo da velocidade 
relativa no ponto de contato
Fim
B
Cálculo de forças e 
momentos devido AtritoC
D
E
Cálculo de forças e momentos 
devido Amortecimento
Cálculo de forças e 
momentos devido 
Deformação dos corpos
 
Figura 3.17 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos e aplicação no CG dos 
corpos 
28 
 
Nesta figura, define-se as seguintes variáveis: 
 PENETR_MEDIA: penetração média; 
 PC_MEDIO: ponto de contato definido como a média das coordenadas de todos 
os pontos penetrantes ponderados pelos respectivos valores de penetração; 
 NORMAL_MEDIA: normal média definida como a média das normais de todas 
os triângulos penetrados ponderados pelos respectivos valores de penetração; 
 FORC_GRAF: valor de força obtido a partir do gráfico de rigidez equivalente 
(Seção 3.3.3.5) para o valor de penetração média (PENETR_MEDIA). 
3.3.5 Atrito 
O cálculo da força de atrito está baseado nas definições expostas na Seção 3.2.3. 
Primeiro, após identificada penetração entre os corpos (aqui, mais uma vez, assume-se 
que os intervalos de integração são adotados de forma que os deslocamentos a cada 
intervalo de tempo sejam pequenos, condizentes com a realidade física do problema) é 
calculada a velocidade relativa no ponto de contato entre os corpos e sua projeção 
tangencial à superfície de contato. Caso essa velocidade tangencial possa ser considerada 
nula, calcula-se a força de atrito estático, de modo que esta seja igual à projeção das 
forças atuantes nos corpos projetada paralelamente à superfície de contato. Caso haja 
velocidade relativa tangencial, calcula-se a força de atrito cinético multiplicando o 
coeficiente de atrito cinético pela força normal já calculada. Posteriormente, calcula-se o 
momento da força que atua em cada corpo. 
29 
 
Projeção da velocidade relativa 
na superfície de contato 
Vel relativa tang ≥ 0 ?
Cria um vetor unitário na direção da 
velocidade relativa tangencial 
(DIR_ATRITO)
FORC_ATRITO = µcin * FORC_GRAF * DIR_ATRITO
Cálculo do braço de alavanca e 
momento para os dois corpos
Projeção, na superfície de contato, da 
força resultante que atua em cada 
corpo
Cálculo da força de atrito estático (FORC_ATRITO)
|FORC_ATRITO| > µest * FORC_GRAF ?
DIR_ATRITO = FORC_ATRITO/
 |FORC_ATRITO|
FORC_ATRITO = µcin * FORC_GRAF * DIR_ATRITO
Aplicação de forças e 
momentos no CG dos corpos
Fim
SIM NÃO
SIM NÃO
C
 
Figura 3.18 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos ao atrito 
3.3.6 Amortecimento 
O cálculo da força de amortecimento viscoso consiste primeiramente, como já 
explicado na Seção 3.2.2, na projeção da velocidade relativa (de aproximação ou 
afastamento) dos corpos na direção perpendicular à superfície de contato. 
Posteriormente, essa projeção de velocidade é multiplicada pela constante de 
amortecimento definida pelo usuário e pelo vetor (com sentido contrário) normal à 
superfície de contato. Desta forma, o amortecimento atua sempre como força dissipativa, 
contrária à aproximação e ao afastamento dos corpos quando estes ainda estão em 
contato. Por fim, são calculados os momentos de força com relação ao CG de cada corpo. 
30 
 
Projeção da velocidade 
relativa na direção normal 
à superfície de contato 
(VEL_REL_NOR)
FORC_AMORT = NORMAL_MEDIA * VEL_REL_NOR * GAMA
Cálculo de braço de 
alavanca e momentos 
para ambos os corpos
Aplicação de 
forças e 
momentos no CG 
dos corpos
Fim
D
 
Figura 3.19 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos ao 
amortecimento 
3.3.7 Forças elásticas 
O cálculo da força elástica consiste na multiplicação do vetor normal à superfície de 
contato pelo módulo da força normal, já calculados anteriormente. Com origem no CG 
das plataformas e extremidade no ponto de contato, são criados braços de alavanca para 
cálculo do momento de força que atua em cada unidade flutuante. Forças e momentos 
são aplicados no CG de cada corpo envolvido no contato. 
É importante ressaltar que a componente de forças elásticas só deve ser somada ao 
vetor de forças resultantes do corpo após ter sido calculada a componente de forças de 
atrito. Isto ocorre porque, no cálculo da força de atrito estática, há uma verificação na 
qual a força resultante atuante no corpo é projetada na direção normal à superfície e a 
projeção é multiplicada pelo coeficiente µest para obtenção da força de atrito máxima. 
Esta parcela da força resultante na direção normal é anulada caso a parcela de força 
elástica, que é também normal à superfície, já tenha sido contabilizada. 
31 
 
FORC_ELASTICA = NORMAL_MEDIA * FORC_GRAF
Cálculo de braço de 
alavanca e momentos 
para ambos os corpos
Aplicação de 
forças e 
momentos no CG 
dos corpos
Fim
E
 
Figura 3.20 – Fluxograma para cálculo de forças e momentos devidos à deformação 
dos corpos 
32 
 
4 VALIDAÇÃO 
4.1 Introdução 
Neste capítulo, são apresentados modelos utilizados para validação de cada uma das 
parcelas de força já explicadas na Seção 3.2. As análises foram realizadas de forma que 
se pudesse verificar facilmente a consistência dos resultados através de equações 
analíticas. Por fim, foram realizadas análises variando-se o refinamento (número de 
elementos triangulares) das malhas de superfície dos corpos com intuito de analisar a 
relação entre número de elementos, tempo de processamento e precisão dos resultados.As imagens que descrevem modelos foram extraídas do SITUA, no qual os eixos 
globais estão em vermelho (eixo x, na horizontal), verde (eixo y) e azul (eixo z, na 
vertical). 
4.2 Forças elásticas 
Este primeiro teste foi realizado com intuito de verificar a conservação da energia 
mecânica e a deformação máxima da mola resultante. Para isto, foi imposta, a um corpo 
cúbico, uma altura inicial h (Figura 4.1) a partir da qual inicia um movimento de queda 
livre até atingir uma plataforma fixa; a constante de amortecimento nula durante a colisão 
garante que não haja perda de energia. Durante a colisão (Figura 4.2), ambos os corpos 
se deformam até um valor máximo e em seguida o cubo retorna para sua posição original. 
 
Figura 4.1 – Instante inicial 
33 
 
 
Figura 4.2 – Instante da colisão 
 
Figura 4.3 – Instante posterior à colisão 
Os parâmetros arbitrados na análise estão listados abaixo: 
 mcubo = 1,00 ton 
 k1 = 5000,00 kN/m 
 k2 = 4000,00 kN/m 
 h = 40,00 m 
 c = 0 kN.s/m 
Conforme descrito no item 3.2.1, a constante elástica equivalente pode ser calculada 
pela equação 14: 
��� =
�� ∙ ��
�� + ��
 (14) 
Portanto, Keq = 2222,22 kN/m. 
A Figura 4.4 abaixo elucida a conservação da energia mecânica no movimento não 
amortecido do cubo, no qual ele colide com a plataforma e retorna à sua posição de 
origem, repetindo o movimento até o fim da análise. 
34 
 
 
Figura 4.4 – Série temporal do sistema não amortecido 
Para o cálculo da deformação máxima da mola resultante foi utilizada a expressão 
da conservação da energia mecânica: 
��� ∙ ��²
2
= � ∙ � ∙ ℎ (15) 
Analiticamente, Δl = 0,59 m. 
A Figura 4.5 é um zoom da Figura 4.4 para que se possa perceber a deformação dos 
corpos. Fazendo uma média dos valores de deformação em toda a análise, foi obtido Δl 
≈ 40,00 - (-40,60) = 0,60 m. 
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Consevação da energia mecânica
35 
 
 
Figura 4.5 – Série temporal do sistema não amortecido 
4.3 Forças de amortecimento 
Os tópicos seguintes referem-se a testes feitos com um corpo cúbico realizando um 
movimento de queda livre até colidir-se com uma plataforma fixa, instante no qual 
passam a agir forças dissipativas devido ao choque entre os corpos. Os valores das 
constantes de amortecimento foram impostos de forma a abranger os três tipos de 
amortecimento. O cálculo da constante de amortecimento crítico é mostrado no item a 
seguir. 
4.3.1 Constante de amortecimento crítico 
Conforme descrito na Seção 3.2.2, a constante de amortecimento crítico pode ser 
calculada pela equação 16: 
�� = 2 ∙ ���� ∙ � (16) 
Para um cubo com massa de uma tonelada e constante de rigidez equivalente entre 
os corpos de 2222,22 kN/m, foi calculada uma constante de amortecimento crítico igual 
a 94,28 kN.s/m. 
-40.70
-40.60
-40.50
-40.40
-40.30
-40.20
-40.10
-40.00
-39.90
-39.80
0 5 10 15 20 25
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Deformação elástica resultante
Δ�
2
 Δ�
3
 Δ�
1
 Δ�
4
 
36 
 
4.3.2 Amortecimento subcrítico 
Os parâmetros utilizados na análise estão listados abaixo: 
 m = 1,00 ton 
 Keq = 2222,22 kN/m 
 c = 10 kN.s/m 
 h = 20 cm 
A Figura 4.6 evidencia o movimento oscilatório com perda de amplitude até que o 
corpo atinja a posição de equilíbrio, característico de sistemas com amortecimento 
subcrítico. 
 
Figura 4.6 – Série temporal do sistema com amortecimento subcrítico 
4.3.3 Amortecimento crítico 
Os parâmetros utilizados na análise estão listados abaixo: 
 m = 1,00 ton 
 Keq = 2222,22 kN/m 
 c = 94,28 kN.s/m 
 h = 20 cm 
A Figura 4.7 evidencia o movimento com intensa perda de amplitude, sem 
ocorrência de oscilações, até que o corpo atinja a posição de equilíbrio, característico de 
sistemas com constante de amortecimento crítico. 
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Amortecimento subcrítico
37 
 
 
Figura 4.7 – Série temporal do sistema com amortecimento crítico 
4.3.4 Amortecimento supercrítico 
Os parâmetros utilizados na análise estão listados abaixo: 
 m = 1,00 ton 
 Keq = 2222,22 kN/m 
 c = 150,00 kN.s/m 
 h = 20 cm 
A Figura 4.8 evidencia o movimento com perda de amplitude, sem ocorrência de 
oscilações, até que o corpo atinja a posição de equilíbrio, característico de sistemas com 
constante de amortecimento supercrítico. 
 
Figura 4.8 – Série temporal do sistema com amortecimento supercrítico 
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Amortecimento crítico
-0.25
-0.20
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Amortecimento supercrítico
38 
 
4.3.5 Comparação dos tipos de amortecimento 
Os resultados apresentados neste item foram obtidos de testes realizados com os 
corpos encostados no início da análise, variando o valor da constante de amortecimento. 
Desta maneira, as forças de contato atuam durante todo o movimento, o que possibilita a 
comparação dos três tipos de amortecimento. Os parâmetros das análises estão listados 
abaixo: 
 m = 1,00 ton 
 Keq = 2222,22 kN/m 
 h = 0 cm (corpos encostados) 
 csub = 10,00 kN.s/m 
 cc = 94,28 kN.s/m 
 csuper = 300,00 kN.s/m 
 A partir da Figura 4.9, pode-se perceber a influência dos diferentes valores da 
constante de amortecimento no movimento do corpo. 
 
Figura 4.9 – Influência da constante de amortecimento no movimento do corpo 
-0.008
-0.007
-0.006
-0.005
-0.004
-0.003
-0.002
-0.001
0.000
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
h
e
av
e
 (
m
)
tempo (s)
Comparação dos amortecimentos
HEAVE-crítico (c = 94.28 KN.s/m) HEAVE-subcrítico (c = 10.00 KN.s/m)
HEAVE-supercrítico (c = 300.00 KN.s/m)
39 
 
4.4 Forças de atrito 
4.4.1 Deslizamento 
O teste foi realizado utilizando uma plataforma plana com um corpo cúbico apoiado 
sobre a mesma. A plataforma permanece em repouso nos 5 segundos iniciais e 
posteriormente começa um movimento de rotação em torno de um eixo y (em verde na 
Figura 4.10) que passa pelo seu centro de gravidade. 
 
Figura 4.10 – Início da análise 
 
Figura 4.11 – Plataforma rotacionando 
 
Figura 4.12 – Cubo deslizando 
40 
 
Como descrito na Seção 3.2.3, o deslizamento do cubo ocorre quando é satisfeita a 
equação 17: 
� = ������ (��) (17) 
A plataforma gira com uma velocidade angular ω = 1°/s e o coeficiente de atrito 
estático entre as superfícies dos corpos é µest = 1,0. Assim, θ = arctan(1,0) = 45°, e o 
deslizamento ocorre no tempo t = 5 (tempo que a plataforma permanece em repouso) + 
45 (tempo necessário para a plataforma rotacionar 45°) = 50 s. 
A Figura 4.13 apresenta a série temporal do movimento de translação do cubo no 
eixo x (surge). Conforme esperado, o início do movimento começa no instante t = 50 s. 
 
Figura 4.13 – Série temporal do movimento do cubo de translação no eixo x 
4.4.2 Tombamento 
O teste foi realizado utilizando uma plataforma plana com um corpo cúbico apoiado 
sobre a mesma. A plataforma permanece em repouso nos 5 segundos iniciais e 
posteriormente começa um movimento de rotação em torno de um eixo y que passa pelo 
seu centro de gravidade. Os parâmetros utilizados na análise estão listados abaixo: 
 ω = 1°/s 
 µest = 1,0 
 b = 20 m 
 hCG = 40 m 
Conforme descrito em3.2.3 e ilustrado na Figura 4.14, o tombamento ocorre para o 
ângulo θ tal que: 
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
49.5 49.6 49.7 49.8 49.9 50 50.1 50.2 50.3 50.4 50.5
su
rg
e
 (
m
)
tempo(s)
Deslizamento
41 
 
� = ������ �
�
ℎ��
� (18) 
 
 
Figura 4.14 – Corpo na iminência do tombamento 
Logo, θ = arctan(20/40) ≈ 27° e o tombamento ocorre no tempo t = 5(tempo que a 
plataforma permanece em repouso) + 27 (tempo necessário para a plataforma rotacionar 
27°) = 32 s. 
A Figura 4.15 apresenta a série temporal do movimento de rotação dos corpos em 
torno do eixo y (pitch). Conforme esperado, o cubo tomba aos 32 s de análise (Figura 
4.16). 
 
Figura 4.15 – Rotação dos corpos em torno do eixo y 
0
5
10
15
20
25
30
35
0 5 10 15 20 25 30 35 40
p
it
ch
 (
gr
a
u
s)
tempo (s)
Tombamento
PITCH-cubo PITCH-plataforma
42 
 
 
 
Figura 4.16 – Rotação dos corpos em torno do eixo y 
As imagens abaixo, obtidas a partir dos resultados da análise, ilustram o movimento 
de rotação dos corpos e o consequente tombamento do cubo. 
 
Figura 4.17 – Início da análise 
 
Figura 4.18 – Momento anterior ao tombamento 
25
26
27
28
29
30
30 30.5 31 31.5 32 32.5 33 33.5 34 34.5 35
p
it
ch
 (
gr
a
u
s)
tempo (s)
Tombamento
PITCH-cubo PITCH-plataforma
43 
 
 
Figura 4.19 – Momento após o tombamento 
4.5 Estudo paramétrico de refinamento 
Com intuito de verificar a relação entre refinamento, resultados e tempo de 
processamento, foram realizadas análises de 5 modelos de deslizamento semelhantes ao 
descrito na Seção 4.4.1. A numeração n na primeira coluna da Tabela 1 indica o número 
de divisões das arestas dos corpos utilizados nas análises. Tais divisões aumentam o 
número de vértices e triângulos das superfícies, o que ocasiona maiores custos 
computacionais. As colunas 2 e 3 da Tabela 1 indicam os números de vértices e triângulos 
das superfícies de cada corpo, e a coluna 4 indica o tempo de processamento para uma 
análise de 100 s de simulação. 
Tabela 1 – Estudo paramétrico 
n Vértices Triângulos Tempo (s) 
0 8 12 2.17 
1 26 48 7.19 
2 56 108 23.04 
3 98 192 64.73 
4 152 300 151.01 
A Figura 4.20 evidencia que o refinamento das malhas pouco influenciou nos 
resultados de deslocamentos obtidos pelo programa. Isso ocorre porque neste caso a 
geometria dos corpos é facilmente descrita mesmo com malhas pouco discretizadas. 
44 
 
 
Figura 4.20 – Estudo paramétrico de surge 
-1
-0.5
0
0.5
1
0 10 20 30 40 50 60
su
rg
e
 (
m
)
tempo (s)
Deslizamento
SURGE_0
SURGE_1
SURGE_2
SURGE_3
SURGE_4
45 
 
5 APLICAÇÕES 
5.1 Introdução 
Neste capítulo, serão apresentados dois modelos em que a ferramenta desenvolvida 
de contato é aplicada em situações típicas de engenharia. Em ambos, serão apresentados 
gráficos com intuito de elucidar o caráter impulsivo das forças de contato. 
5.2 Alívio Ship to Ship 
A produção de petróleo no mar é escoada para o continente por meio de dutos ou 
navios petroleiros, os quais transferem a carga para terminais terrestres ou navios 
exportadores. Esses navios petroleiros que recebem o óleo das plataformas são chamados 
de aliviadores e a transferência desta carga da unidade de produção para o navio aliviador 
é chamada de operação de alívio ou, em inglês, offloading. 
No geral, os navios aliviadores são equipados com sistemas de posicionamento 
dinâmico (DP), o que garante maior segurança no transbordo a partir das unidades de 
produção. No entanto, esses navios especializados possuem custo diário de cerca de 50% 
maior em comparação com os navios convencionais, o que não torna conveniente para 
as empresas utilização de navios equipados com DP em viagens de longo curso [10]. 
Dessa maneira, a transferência de petróleo e derivados entre navios denominada 
operação Ship to Ship (STS) é uma alternativa para evitar longos deslocamentos dos 
navios equipados com DP, barateando os custos quando o interesse é a exportação do 
produto [10]. 
A operação de alívio STS consiste na aproximação lateral entre os navios produtor 
e aliviador e posterior transferência da produção (óleo ou gás) por mangueiras de 
transferência de carga. Com intuito de evitar colisões que possam causar danos 
estruturais aos navios, são inseridas defensas, que absorvem parte da energia cinética de 
aproximação entre as embarcações. Além disso, as defensas têm larguras suficientes para 
manter o afastamento necessário entre os navios quando estes já estão amarrados um ao 
outro [10]. 
46 
 
Para simular uma operação de alívio STS, foi gerado no SITUA o modelo da Figura 
5.1, composto por um navio FPSO com 4 defensas em seu costado e um navio aliviador. 
Na imagem, percebe-se também o sistema de ancoragem do navio FPSO. 
 
Figura 5.1 – Modelo para análise de operação STS 
A Figura 5.2 indica o posicionamento das 4 defensas e as amarras utilizadas com 
intuito de limitar o afastamento entre os navios durante a operação de alívio STS. 
 
Figura 5.2 – Defensas postadas no costado do navio 
47 
 
Abaixo, estão listados alguns dados referentes ao modelo e à análise: 
 Dimensões das defensas: 4,00 m de diâmetro e 25,90 m de altura; 
 Malha das defensas: 1182 vértices, 2360 triângulos; 
 c = 100,00 kN.s/m; 
 k = 10000,00 kN/m; 
 Mar irregular 
 15 linhas de ancoragem no FPSO; 
 8 amarras entre as embarcações; 
 Profundidade do mar: 200,00 m; 
 Intervalo de integração: 0,01 s; 
 Tempo de simulação: 100,00 s; 
 Tempo de análise: 13 minutos. 
A Figura 5.3 traz a série temporal do módulo das forças de contato nas defensas e 
no navio aliviador. 
 
Figura 5.3 – Série temporal das forças de contato 
A Figura 5.4 evidencia o fato de as forças de contato serem pares de ação-reação. 
Em vermelho, tem-se a soma do módulo das forças nas defensas e em azul, o módulo da 
força no aliviador. Como esperado, os gráficos coincidem. 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
fo
rç
a 
(k
N
)
tempo (s)
Forças de contato
Aliviador
Def_1
Def_2
Def_3
Def_4
48 
 
 
Figura 5.4 – Resultantes das forças de contato 
5.3 Lançamento de manifold 
Conforme já mencionado na Seção 2.5.2, um manifold consiste em um equipamento 
submarino desenvolvido para direcionar fluidos produzidos ou injetados entre os poços 
e a unidade de produção. 
Existem diversos métodos de instalação destes equipamentos, tal como descrito em 
NETO [16]: método com descida vertical, método da roldana, método Y e método 
pendular (Figura 5.6). Este último é um método patenteado no Brasil, de titularidade da 
PETROBRAS e foi desenvolvido diante da necessidade de instalação do segundo e do 
terceiro manifold do campo de Roncador, numa profundidade de 1900 metros. 
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
fo
rç
a 
(k
N
)
tempo (s)
Forças de contato
Soma
Aliviador
49 
 
 
 
Figura 5.5 – Método de instalação pendular [16] 
Independentemente do método de instalação, em todos eles há real necessidade de 
avaliar a fase inicial do lançamento, no qual o modelo de contato se faz necessário para 
avaliar com segurança efeitos do deslizamento do corpo no convés, bem como riscos de 
tombamento. 
Pesquisas mais recentes realizadas pela Petrobrás estão estudando um novo 
procedimento de lançamento, semelhante ao pendular, porém fazendo uso de uma rampa 
de lançamento no lugar do uso do guindaste (paraposicionar o manifold dentro da água). 
Neste procedimento, é ainda mais importante avaliar com segurança os 
movimentos/velocidades que o manifold vai ter na etapa inicial de descida, sendo ainda 
mais relevante que a ferramenta possua um modelo de contato como o desenvolvido neste 
trabalho. 
Desta forma, nesta seção será apresentado um estudo preliminar que envolve uma 
hipotética etapa inicial de lançamento de um manifold, que seria obtida pela inclinação 
de uma rampa de lançamento até que ocorra o escorregamento do mesmo sobre a rampa. 
No final da rampa foi adicionado um suporte pivotado para evitar que o manifold se 
choque com a balsa. Todos os elementos geométricos definidos são representados com o 
modelo de contado desenvolvido neste trabalho. 
50 
 
Abaixo, estão listados alguns dados referentes ao modelo e à análise: 
 Dimensões do manifold: cubo com 10,00 m de lado; 
 Malha do manifold: 8 vértices, 12 triângulos; 
 c = 100,00 kN.s/m; 
 k = 300000,00 kN/m; 
 Intervalo de integração: 0,01 s; 
 Tempo de simulação: 100,00 s; 
 Tempo de análise: 17,41 s. 
 
Figura 5.6 – Operação de lançamento de manifold 
A Figura 5.7 ilustra o momento em que o manifold, após deslizar pela rampa de 
lançamento, passa pelo suporte pivotado. 
51 
 
 
Figura 5.7 – Manifold deslizando sobre rampa e suporte de lançamento 
A Figura 5.8 traz a série temporal do módulo das forças de contato no manifold, na 
rampa e no suporte de lançamento. 
 
Figura 5.8 – Série temporal das forças de contato 
A Figura 5.9 evidencia o fato de as forças de contato serem pares de ação-reação. 
Em vermelho, tem-se a soma do módulo das forças na rampa e no suporte de lançamento 
e, em azul, o módulo da força no manifold. Como esperado, os gráficos coincidem. 
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
fo
rç
a 
(k
N
)
tempo (s)
Forças de contato
Rampa Suporte Manifold
52 
 
 
Figura 5.9 – Resultantes das forças de contato 
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
fo
rç
a 
(k
N
)
tempo (s)
Forças de contato
Soma
Manifold
53 
 
6 CONCLUSÕES 
Neste trabalho, foram apresentados desenvolvimento, validação e aplicações de um 
algoritmo para identificação e cálculo das forças de contato entre integrantes estruturais 
de sistemas offshore no contexto das análises globais. A partir da definição (pelo usuário) 
da geometria dos corpos definida por malha de painéis triangulares, além de coeficientes 
de atrito, rigidez e amortecimento, o programa calcula e aplica os vetores de força nos 
corpos envolvidos no contato. O código foi acrescido ao programa Prosim. 
Para validação de cada parcela de força (elástica, de amortecimento e de atrito), 
foram realizados testes cujo comportamento é facilmente calculado analiticamente; tal 
comportamento foi comparado com as saídas obtidas pelo programa. Foram realizadas 
também análises de modelos que representam aplicações em projetos. Pelos resultados, 
foi verificado que o programa está apto a calcular situações de contato entre corpos em 
análises globais. 
Com intuito de analisar os custos computacionais do algoritmo, foram realizadas 
ainda análises em que se variou a discretização das malhas de superfícies dos corpos. 
Como esperado, os tempos de processamento aumentaram à medida que se aumenta o 
número de elementos triangulares. Percebeu-se também baixa influência da discretização 
nos resultados das análises em problemas cuja geometria pode ser definida com malhas 
pouco refinadas, confirmando o enfoque geométrico dado pelo algoritmo. 
Na continuação dos trabalhos de pesquisa nesta linha, pretende-se iniciar estudo 
referente à modelagem geométrica dos corpos por splines, o que permite descrever a 
superfície por equações analíticas, trazendo ganhos computacionais (tempo de 
processamento e memória, por exemplo) ao programa. 
54 
 
7 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
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Flutuantes Ancoradas, Versão 3.2 – Manual Teórico”, LAMCSO/COPPE/UFRJ, 
Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro 2006. 
2 JACOB, B.P., “PROSIM – Simulação Numérica do Comportamento de Unidades 
Flutuantes Ancoradas, Versão 3.2 – Manual de Entrada de Dados”, 
LAMCSO/COPPE/UFRJ, Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro 2006. 
3 BATHE, K-J., Finite Element Procedures, New Jersey, Prentice-Hall, 1996. 
4 SILVA, D.M.L. da, Ferramentas Computacionais para Análise e Projeto de 
Instalação de Dutos Submarinos, Tese de D.Sc., COPPE/UFRJ – Programa de 
Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 2009. 
5 JACOVAZZO, Bruno Martins. Projeto de estruturas offshore. 06 mar. 2017, 08 jul. 
2017. Notas de Aula 
6 JACOB, Breno Pinheiro. Métodos Computacionais e Sistemas Offshore. 06 mar. 
2017, 02 jun. 2017. Notas de Aula 
7 PetroGasNews. ÁRVORE DA NATAL EM EXPLORAÇÃO E PRODUÇÃO DE 
PETRÓLEO. Disponível em 
<https://petrogasnews.wordpress.com/2011/03/08/arvore-da-natal-em-exploracao-
e-producao-de-petroleo/> Acesso em 06 de fevereiro de 2018 
8 BAIOCO, Juliana Souza. Métodos Computacionais e Sistemas Offshore. 06 mar. 
2017, 02 jun. 2017. Notas de Aula. 
9 OFFSHORE ENERGY TODAY. FMC Technologies to Deliver Subsea Manifolds 
to Petrobras (Brazil). Disponível em <https://www.offshoreenergytoday.com/fmc-
technologies-to-deliver-subsea-manifolds-to-petrobras-brazil/> Acesso em 06 de 
fevereiro de 2018 
10 FONSECA, Mateus do Nascimento. Estudo para realização de operação Ship to Ship 
(STS) atracado no TPET I, 2015. 
55 
 
11 RAO, S. S. Vibrações mecânicas. 4.ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 
2009. 424p. 
12 Física e vestibular. Associação de molas. Disponível em 
<http://fisicaevestibular.com.br/novo/mecanica/dinamica/mhs/associacao-de-
molas/> Acesso em 31 de janeiro de 2018 
13 Brasil ESCOLA. Plano inclinado com atrito. Disponível em 
<http://brasilescola.uol.com.br/fisica/plano-inclinado-com-atrito.htm> Acesso em 
31 de janeiro de 2018 
14 PRASANNA, Daniel. THE SHIP’S MOTIONS AT SEA. Disponível em: 
<https://hubpages.com/travel/theshipsmotionsatsea#> Acesso em 01 de fevereiro de 
2018 
15 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Introdução à ÁLGEBRA LINEAR. 
1. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1997. 245 p. 
16 NETO, Elói Daniel de Araújo, PROPOSTA E AVALIAÇÃO DE UM MÉTODO 
COM ALTERNÂNCIA DE CABOS PARA A INSTALAÇÃO DE 
EQUIPAMENTOS SUBMARINOS, Dissertação de M.Sc., COPPE/UFRJ – 
Programa de Engenharia Civil, Rio de Janeiro, 2017.