ARAÚJO, Ana Itamara Paz de. Didática da Resolução de Problemas de Matemática

Prévia do material em texto

Curso de Licenciatura Plena em Matemática 
 
 
 
 
 
Ana Itamara Paz de Araújo 
 
 
 
 
 
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
Ji-Paraná-RO 
2010
 
ANA ITAMARA PAZ DE ARAÚJO 
 
 
 
 
 
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado à banca examinadora do Curso de 
Matemática da Universidade Federal de Rondônia- 
UNIR, Campus de Ji-Paraná, como exigência 
parcial para obtenção do título de Licenciado em 
Matemática, sob orientação da Prof.º Ms. Ana 
Fanny Benzi de Oliveira Bastos. 
 
 
 
 
 
 
DIDÁTICA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE 
MATEMÁTICA 
 
ANA ITAMARA PAZ DE ARAÚJO 
 
Trabalho de Conclusão de Curso 
apresentado à banca examinadora do Curso de 
Matemática da Universidade Federal de Rondônia- 
UNIR, Campus de Ji-Paraná, como exigência 
parcial para obtenção do título de Licenciado em 
Matemática. 
 
 
__________________________________________________ 
Presidente: 
Profª. Mestre Ana Fanny Benzi de Oliveira Bastos 
Orientadora 
 
 
 
__________________________________________________ 
 
Prof. Mestre Lenilson Sérgio Cândido 
Membro 
__________________________________________________ 
 
Prof. Doutor Ricardo José Souza da Silva 
Membro 
 
 
 
 
 
 
Ji-Paraná-RO 
 2010.
IV 
 
DEDICATÓRIA 
 
 
A toda minha Família que muito me ajudou para que minha graduação acontecesse 
principalmente minha mãe, Maria Lúcia Paz que teve um papel importantíssimo na minha 
graduação, infelizmente ela não está mais entre nós, mas sei que de onde ela estiver, estará 
muito feliz com essa nossa conquista, pois era um sonho meu e dela, obrigada minha mãe 
por tudo, amo-te eternamente! 
 E a todos que acreditaram em mim e que de alguma forma contribuíram para 
realização deste trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
A Deus que até aqui tem me ajudado a superar as dificuldades na trajetória árdua de 
minha vida. 
A minha mãe, Maria Lúcia Paz que muito contribuiu para minha formação e é a 
quem eu devo tudo na vida. 
As minhas irmãs que sempre me apoiaram ao longo do curso, Ana Lúcia Paz de 
Araújo e Ana Virgínia Paz de Araújo. 
Ao meu pai, Itamar Barros de Araújo e meus sobrinhos, Luana Maria Paz Barbosa, 
Josenildo Luanderson Paz Araújo Barbosa e Lucas Vinícius Paz Araújo Barbosa. 
Ao Márcio Antônio Bezerra de Menezes que tem sido um companheiro 
maravilhoso, sempre me apoiando. 
A todos os meus professores da pré-escola a universidade, pois fizeram parte da 
minha vida como universitária, não podendo esquecer-se daqueles que foram além de suas 
obrigações com a nossa turma, como: Ana Fanny Benzi de Oliveira Bastos que sempre tive 
como uma amiga, Marcos Leandro Ohse que no momento mais difícil da minha graduação 
teve a sensibilidade de conversar comigo e me dar ânimo para continuar a minha trajetória. 
A todos os meus amigos, tanto de faculdade como de infância. 
 
 
Muitíssimo Obrigada! 
VI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entrega teu caminho ao Senhor; confia nele e ele tudo fará. 
Salmos 37.5 
 
 
VII 
 
 
RESUMO 
 
 
ARAÚJO, Ana Itamara Paz de. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 2010. 
Trabalho de conclusão de Curso (Graduação em Matemática) – Departamento de 
Matemática e Estatística da Universidade Federal de Rondônia – Campus de Ji-Paraná. Ji-
Paraná-Rondônia, 2010. 
 
O presente trabalho aborda inicialmente a caracterização de problemas, fazendo uma 
generalização do tema de resolução de problemas, em seguida define o que é um problema 
matemático e os dois principais modelos de problemas matemáticos que é o problema de 
determinação e o de problema demonstração. 
Seguidamente faz-se uma abordagem das quatro etapas para a resolução de problemas 
matemáticos, demonstrando um trabalho minucioso com essas etapas e abordamos também 
a didática que o professores utilizam para se resolver problemas de matemática. Por fim, 
aplicou-se um questionário com alunos do 2º ano da Escola Estadual de Ensino 
Fundamental e Médio Rio Urupá com finalidade de saber como anda a relação dos alunos 
com a resolução de problemas. 
Neste trabalho procuramos mostrar que o professor que propuser a trabalhar com a didática 
da resolução de problemas, terão em um futuro próximo, êxito em sala de aula, formando 
cidadãos críticos, já que essa didática promove ao aluno um pensar diferenciado, que 
consiste em aprender a aprender. 
PALAVRAS CHAVES: Problemas; Resolução; Didática. 
VIII 
 
 
 
ABSTRACT 
 
ARAÚJO, Ana Itamara Paz de. Didactics of Mathematics Problem Solving. 2010. 
Completion of Course Work (Graduated in Mathematics) – Department of Mathematics 
and Statistics from the Universidade Federal de Rondônia – Campus de Ji-Paraná. Ji-
Paraná- Rondônia, 2010. 
 
This paper makes an initial approach to the characterization of problems, making a 
generalization of the theme of problem solving, and then defines what is a mathematical 
problem and the two main types of mathematical problems that is the problem and 
determination problem statement. 
Then it is an approach to the four steps in solving mathematical problems, demonstrating a 
thorough job with these steps and also the didactic approach that teachers use to solve math 
problems. Lastly, we applied a questionnaire with students from 2nd year of the State 
School for Elementary and Middle Rio Urupá with the purpose of knowing how good the 
relationship with the students´ problem-solving. 
In this work we show that the teacher who proposes to work with the teaching of problem 
solving, will in the near future, success in the classroom, forming critical citizens, as this 
promotes teaching students to think of a differential, which is to learn learning. 
KEY-WORDS: Issues; Resolution; Curriculum. 
X 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO--------------------------------------------------------------------------------------01 
1 A Resolução de Problemas--------------------------------------------------------------------03 
1.1 Caracterização da resolução de problemas nas diversas áreas-----------------------------03 
1.2 O Problema Matemático------------------------------------------------------------------------04 
1.2.1 Problema de Determinação-------------------------------------------------------------------05 
1.2.2 Problema de Demonstração------------------------------------------------------------------07 
1.3 Diferenças entre Problema Matemático e Exercício Matemático-------------------------09 
2 Estratégias para a Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------12 
2.1 A Resolução de Problemas Matemáticos Segundo Polya----------------------------------12 
2.2 As quatro etapas de Resolução de Problemas------------------------------------------------13 
2.2.1 Compreensão do Problema-------------------------------------------------------------------14 
2.2.2 Estabelecimento do Plano--------------------------------------------------------------------16 
2.2.3 Execução do Plano-----------------------------------------------------------------------------19 
2.2.4 Retrospecto-------------------------------------------------------------------------------------20 
2.3 A Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------------------------------21 
3 Resolução de Problemas Matemáticos para o Ensino Médio--------------------------24 
3.1 O Ensino da Resolução de Problemas Matemáticos-----------------------------------------243.2 Recomendações para a Resolução de Problemas no Ensino Médio-----------------------25 
4 Pesquisa com alunos da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio 
Urupá-------------------------------------------------------------------------------------------------28 
X 
4.1 Dados e Análise da Pesquisa com Alunos da Escola Estadual de Ensino Fundamental e 
Médio Rio Urupá------------------------------------------------------------------------------------28 
Considerações Finais------------------------------------------------------------------------------37 
Referências------------------------------------------------------------------------------------------38 
Anexos-----------------------------------------------------------------------------------------------------------39 
 
 
 
 
1 
 
INTRODUÇÃO 
 
 Com base nos Parâmetros Curriculares Nacionais professores que trabalham com 
resoluções de problemas estão colaborando com seus alunos a questionar a realidade, quando 
estes formulam problemas ou tratam de resolvê-los, utilizando para isso o pensamento lógico, 
a criatividade, a intuição, a capacidade de análise crítica, selecionando procedimentos e 
verificando sua adequação. 
 No processo de resolução de problemas, percebe-se que para resolvê-los é preciso 
compreender, propor e executar um plano de solução, verificar e comunicar a resposta. Cabe 
ao aluno a construção do conhecimento matemático que permite resolver problemas, tendo o 
professor como mediador e orientador do processo ensino-aprendizagem, responsável pela 
sistematização do novo conhecimento. 
 O presente trabalho tem como objetivo descrever os tipos de problemas 
matemáticos e fazer uma análise na resolução de tais problemas, com a inserção das etapas de 
Polya, que favorece o ensino da resolução de problemas matemáticos e suas estratégias. 
Diferenciar problemas matemáticos de exercícios matemáticos e também acompanhar os 
alunos frente à resolução de problemas matemáticos e o interesse pelas aulas de Matemática. 
 Organizou-se o trabalho, abordando no capítulo I, a resolução de problemas e suas 
características, descrevendo definições de resolução de problemas matemáticos e 
apresentando os dois tipos de problemas de matemática, e abordando significado sobre o que 
é um problema de matemática e o que é um exercício matemático. 
No capítulo II, apresenta-se as estratégias para a resolução de problemas matemáticos, 
as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya, e as definições de problemas 
matemáticos segundo vários estudiosos do tema. 
2 
 
No capítulo III, descreve-se o ensino de resolução de problemas com a abordagem 
específica para o ensino médio. 
No capítulo IV, descreve-se o resultado do questionário aplicado aos alunos do 2º ano 
do Ensino Médio da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá, sobre a 
importância da resolução de problemas. Faz-se também uma análise detalhada de dois 
problemas que foram aplicados para estes alunos, destaca alguns pontos importantes da 
resolução indicando que um aluno bem orientado consegue atingir sucesso na resolução de 
problemas matemáticos. 
O que mostra que o conhecimento de algumas técnicas facilita aos alunos na resolução 
de problemas matemáticos, pois cognitivamente promove novas estratégias de como resolver 
o problema proposto. 
3 
 
1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
 
Estruturo-se este capítulo apontando, num primeiro momento, as questões referentes à 
caracterização da resolução de problemas nas diversas áreas, posteriormente abordou-se o 
problema matemático, problema de determinação e problema de demonstração, citando 
exemplos significativos para a compreensão dos mesmos e aprofundou-se na diferença 
significativa entre problema matemático e exercício matemático. 
 
1.1 CARACTERIZAÇÃO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NAS DIVERSAS ÁREAS 
 
 Quando falamos em resolução de problemas, a primeira coisa que lembramos são 
aqueles problemas matemáticos que nossa professora do primário nos ensinou a resolver. 
Realmente, a área onde mais notamos a aplicação da resolução de problemas é a Matemática, 
mas nem só de Matemática vivem os problemas. 
 Existe uma infinidade de situações em que nos deparamos com problemas a serem 
resolvidos que nada tem a ver com Matemática, por isso, muitas vezes não os relacionamos 
com problemas propriamente ditos, mas apesar de possuírem uma abordagem diferente que 
não existe uma incógnita ou uma prova para serem desvendadas, estas situações são 
classificadas como problemas, e devem-se analisar especificamente cada abordagem a fim de 
escolher a estratégia mais adequada para a ocasião.(MENDES.1998) 
 Em situações onde se têm um impasse a ser resolvido, deve-se analisar o contexto, 
as variáveis envolvidas, as possibilidades do desdobramento e então decidir qual é o caminho 
ideal a ser percorrido. Tudo isso nada mais é senão uma estratégia utilizada para a resolução 
do problema apresentado. 
4 
 
 Cada pessoa tem uma visão peculiar permitindo relacionar todos os fatores 
envolvidos na resolução de um problema, pois cada pessoa pensa de um modo diferente, 
portanto um mesmo problema pode ser apresentado para uma ou mais pessoas e cada uma 
consequentemente resolverá de forma diferenciada, portanto podemos afirmar com toda 
certeza que o mesmo problema pode ser resolvido de diversas maneiras, encontrando 
caminhos diferentes, o importante é que essas formas tenham algum sentido com o problema 
em questão e que a resolução esteja de acordo com o problema.(MORIN.2002) 
As conceituações de problema matemático, ou simplesmente problema, estão inter-
relacionadas. A diferença básica é a própria generalização da palavra problema, permitindo 
extrapolar para todas as áreas de conhecimento, resgatando o que é semelhante na estrutura de 
todos os problemas, independentemente da área que um indivíduo esteja atuando. 
1.2 O PROBLEMA MATEMÁTICO 
Segundo o dicionário Aurélio primeira edição do ano de 2004, “problema significa 
questão matemática proposta para que se lhe dê solução; questão não resolvida, ou de solução 
difícil”. Os educadores matemáticos, atualmente, vêm se preocupando muito com a questão 
de resolução de problemas, devido à sua grande importância não só no ensino da Matemática, 
como em outras disciplinas. 
Um problema matemático é toda e qualquer situação onde é requerida uma descoberta 
de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que está tentando resolvê-lo, ou 
ainda, é o desenvolvimento da demonstração de um dado resultado matemático. O importante 
a ser destacado é que a pessoa que vai resolver um problema terá de descrever estratégias 
novas, percorrer novos caminhos, ela até pode conhecer os objetivos a serem alcançados, mas 
desconhece os meios para alcançar tais objetivos.(MATEUS.2002) 
Pode-se assim definir um problema matemático como sendo uma situação em que devemos 
chegar a um objetivo em que não conhecemos o caminho a ser trilhado. De outra forma não 
seria um problema, mas sim a aplicação de conhecimentos previamente conhecidos. 
 
5 
 
 Neste contexto, eis como os PCNs definem o problema matemático: 
“Uma situação que demanda a realização de uma seqüência 
de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução 
não está disponível de início, no entanto é possível construí-la”. 
(PCNs, 1997,p.44) 
Podemos complementar que problema matemático como sendo toda e qualquer 
situação em que para se resolver o determinado problema precisa-se criar algum plano e/ou 
estratégias a ser seguidas. É um caminho desconhecido que teremos que trilhar e nem sempre 
sabemos se estamos indo para o caminhode um desfecho satisfatório, mas para seguir este tal 
caminho o solucionador do problema precisa-se encontrar motivado para criar estratégias 
significantes. 
 E relacionado ao problema de matemática, temos dois tipos que se destacam o 
problema de determinação e o problema de demonstração, a seguir vamos conhecer as suas 
principais características e peculiaridades. 
 
1.2.1 PROBLEMA DE DETERMINAÇÃO 
 
 Os problemas de determinação podem ser teóricos ou práticos, abstratos ou concretos, 
problemas sérios ou simples enigmas. Podemos procurar determinar incógnitas de todos os 
tipos, podemos tentar encontrar, calcular, obter, produzir, traçar, construir todos os tipos 
imagináveis de objetos. 
 O problema de determinação tem como objetivo principal encontrar certo objeto, a 
incógnita do problema. No problema da novela policial, a incógnita é um assassino. No 
problema de xadrez, a incógnita é a jogada do enxadrista. Em certos problemas de Álgebra 
elementar, a incógnita é um número. Num problema de traçado geométrico, a incógnita é uma 
6 
 
figura e assim por diante. Este problema é mais freqüente na Matemática elementar, este tipo 
de problema tem mais destaque do que qualquer outro tipo de problemas. 
 Para resolver um problema de determinação é preciso conhecer, com grande exatidão, 
as suas partes principais, a incógnita, os dados e a condicionante. Algumas das perguntas mais 
freqüentes são: 
“Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? Neste caso 
separamos as várias partes da condicionante, procuramos a relação entre incógnita e os dados 
apresentados, e também podemos fazer uso da estratégia de procurar algum problema 
parecido que já resolvemos anteriormente isso facilita e muito a resolução de um problema de 
determinação. Um exemplo de problema de determinação que foi retirado do livro “A Arte de 
Resolver Problemas”, do autor Polya. 
Calcular os valores de x, y, u e v que satisfazem o sistema de quatro equações 
 
x + 7y + 3v + 5u = 16 
8x + 4y + 6v + 2u= -16 
2x + 6y+ 4v + 8u= 16 
5x+ 3y + 7v + u = -16 
 
Este problema ilustra muito bem um modelo de problema de determinação, pois a 
incógnita é o valor de x, y, u e v. Para a resolução de tal problema primeiro precisamos 
observar que a primeira equação e a última é semelhante à que existe entre a segunda e a 
terceira: os coeficientes dos termos do primeiro membro são os mesmos, mas na ordem 
inversa, enquanto que os do segundo membro são opostos. Somando a primeira equação à 
última e a segunda à terceira: 
7 
 
6 ( x + u ) + 10 ( y + v) = 0 
10 ( x + u) + 10 ( y + v) = 0 
Este resultado pode ser considerado como um sistema de duas equações lineares a 
duas incógnitas, x + u e y + v, que facilmente fornece 
 
x + u = 0, y + v = 0. 
Substituindo u por –x e v por –y nas duas primeiras equações do sistema original 
encontramos 
-4 x + 4 y = 16 
6 x – 2 y = -16. 
Este sistema simples fornece 
x= -2, y = 2, u = 2, v= -2. 
 
1.2.2 PROBLEMA DE DEMONSTRAÇÃO 
 
O problema de demonstração consiste em mostrar conclusivamente que certa 
afirmativa, claramente enunciada, é verdadeira ou, então, que é falsa. Teremos que responder 
à pergunta: a afirmativa é verdadeira ou falsa? E temos de respondê-la conclusivamente, quer 
provando-a verdadeiramente, quer provando-a falsa. 
Uma testemunha afirma que o acusado passou em casa toda certa noite. O juiz tem de 
verificar se essa afirmativa é verdadeira ou não e, além disso, tem de apresentar razões tão 
8 
 
boas quanto possíveis para a sua conclusão. Assim, o juiz tem um problema de demonstração. 
(POLYA,1887) 
Outro problema desse tipo seria demonstrar o teorema de Pitágoras. Não diremos: 
“Demonstre ou refute o teorema de Pitágoras”. Em alguns aspectos, seria preferível incluir no 
enunciado do problema a possibilidade de refutar, mas poderemos desprezá-la, pois sabemos 
que as probabilidades de contradizer o teorema de Pitágoras são por demais remotas. Portanto 
podemos concluir que o um problema de demonstração é aquele que temos que encontrar 
provas suficientes pra dizer que algo é verdadeiro ou falso, este tipo de problema é mais 
freqüente no ensino superior. Se for um problema de matemático comum, suas partes 
principais serão hipótese e a conclusão do teorema que tiver de ser provado ou refutado. 
“Se os quatro lados de um quadrilátero forem iguais, então as suas duas diagonais 
serão perpendiculares entre si.” A segunda parte, que começa por “então”, é a conclusão; a 
primeira parte, que começa por “se”, é a hipótese. 
Para resolver um problema de demonstração é preciso conhecer com grande exatidão, 
as suas partes principais, ou seja, a definição, os teoremas e ter uma facilidade de 
argumentação, com objetivo de mostrar a veracidade ou não do problema proposto. A seguir 
um exemplo matemático de problema de demonstração, retirado do livro “A Arte de Resolver 
Problemas” (Polya;1995,p.5). 
O lado de um hexágono regular tem o comprimento n (n é o número inteiro). Por 
paralelas eqüidistantes a seus lados, o hexágono é dividido em T triângulos eqüiláteros, todos 
estes com lados de comprimento unitário. Seja V o número de vértices que aparecem na 
divisão e L o número de linhas de comprimento unitário. (uma linha-limite pertence a um ou 
dois triângulos, um vértice a dois ou mais triângulos.) Quando n= 1, que é o caso mais 
simples, T = 6, V = 7, L= 12. Considerar o caso geral e expressar T, V, L em função de n. 
(Supor é bom, mas demonstrar é melhor). 
 
9 
 
Para resolver este problema o interessante é traçar uma figura, podendo ajudar a 
descobrir intuitivamente alguma relação que existe entre T, V, L e n. Para resolução de tal 
problema precisamos saber que o comprimento do perímetro do hexágono regular de lado n é 
6n. Portanto, este perímetro é composto de linhas-limites de comprimento unitário e contém 
6n vértices. Por conseguinte, na transição de n-1 para n, V aumenta de 6n unidades e, assim, 
V = 1 + 6(1+ 2+3 + ... + n) = 3n² + 3n + 1; 
Por 3 diagonais que passam pelo seu centro, o hexágono fica dividido em 6 (grandes) 
triângulos eqüiláteros. Examinando-se um deles, verifica-se que, 
T = 6( 1+ 3 + 5 + ... + 2n-1) = 6n² 
Os T triângulos têm, em conjunto, 3t lados. Neste total 3T, cada linha divisória interna 
é contada duas vezes, enquanto as 6n linhas de perímetro são contadas uma só vez. Daí 
2L = 3T + 6n, L = 9n² + 3n. 
 
1.3 DIFERENÇAS ENTRE PROBLEMA MATEMÁTICO E EXERCÍCIO MATEMÁTICO 
Caracterizamos sendo um problema matemático como toda situação que requer a 
descoberta de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo, a 
invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. O fundamental é que o 
aluno tenha de “inventar estratégias e criar idéias”; ou seja: pode até ocorrer que o aluno 
conheça o objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não tem os 
meios para atingir tal objetivo já o exercício matemático é uma atividade de “adestratamento” 
no uso de alguma habilidade, pois o conhecimento já é conhecido pelo aluno, podemos citar 
como exemplo a aplicação de algum algoritmo conhecido, de uma fórmula conhecida, 
portanto o exercício envolve mera aplicação e o problema necessariamente envolve invenção 
ou/e criação significativa. (DANTE,2005) 
10 
 
Mas às vezes é possível que uma mesma situação represente um problema para uma 
pessoa enquanto que para outra não, pois esta outra pessoa conhece mecanismos suficientes 
para resolução, assim com um investimento mínimo de recursos cognitivos este problema se 
reduz a um simples exercício.Solução de problemas representa para o aluno uma demanda cognitiva e motivacional 
maior do que a execução de exercícios, pelo que, muitas vezes, os alunos não habituados a 
resolver problemas se mostram inicialmente reticentes e procuram reduzi-los a exercícios 
rotineiros. Tendo em vista este pensamento, de acordo com Polya em A Arte de Resolver 
Problemas, ele diz: 
 
[...] No ensino da Matemática, podem fazer-se necessários 
exercícios rotineiros, até mesmo muitos deles, mas deixar que os 
alunos nada mais façam é indesculpável. O ensino que se reduz ao 
desempenho mecânico de operações matemáticas rotineiras fica 
bem abaixo do nível do livro de cozinha, pois as receitas culinárias 
sempre deixam alguma coisa à imaginação e ao discernimento do 
cozinheiro, mas as receitas matemáticas não deixam nada disso a 
ninguém. ( POLYA;1995, p.124) 
 
 Isso implica dizer que os exercícios matemáticos nada mais é que situações onde o 
aluno precisa somente um pouco de atenção para fazer cálculos onde já sabe todo o caminho a 
percorrer, não precisam de nenhuma idéia nova, pois o processo é mecânico e muitas vezes 
acabam sendo repetitivo. 
 Para concluirmos a idéia vejamos o quadro abaixo com um exemplo significativo de 
problema matemático e exercício matemático: 
 
11 
 
Exercício Matemático Problema Matemático 
Resolver a equação x 2 - 3x + 2 = 0 
(supõe-se que tal aluno conheça a fórmula de 
Bháskara) 
Provar a fórmula de Bháskara (supõe-se 
que tal aluno nunca tenha visto tal 
demonstração, mas conheça a fórmula) 
A resolução de exercício matemático 
não estimula a curiosidade do aluno, por se 
tratar de uma forma mecanizada de resolução. 
O problema matemático estimula a 
curiosidade do aluno, fazendo com que ele 
entre em um mundo desconhecido e que 
formule estratégias para a resolução. 
Os exercícios matemáticos geralmente 
apresentam apenas uma forma de resolução. 
Os problemas matemáticos podem ser 
resolvidos de formas variadas, pois cada aluno 
pode interpretar o problema de um modo, e 
isso não se significa que a resolução não está 
correta. 
A solução de exercícios matemáticos 
não apresenta motivação para o aluno. 
A solução de problemas apresenta para 
o aluno uma demanda cognitiva e motivacional 
maior. 
Fonte: ARAÚJO.2010.UNIR 
 Caso a resolução da forma geral da equação quadrática haja sido previamente 
ensinada e exemplificada, de tal forma que o aluno nada mais tenha a fazer do que substituir 
algumas letras, que aparecem na solução geral, pelos números -3 e 2. Mesmo que a equação 
quadrática não tenha sido resolvida genericamente sob a forma “literal”, mas se meia dúzia de 
equações desse tipo, com coeficientes numéricos, o tenham sido pouco antes apresentados 
isso se caracteriza um exercício matemático ou podemos chamar de problema rotineiro que 
acaba tanto na mesma definição e não um problema matemático, diferentemente se ao invés 
de pedir a resolução da equação pedisse ao aluno que demonstrasse a fórmula de Bháskara, 
dando o suporte necessário para tal dedução. 
 
12 
 
2 ESTRATÉGIAS PARA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
 Neste capítulo estaremos abordando as várias estratégias de resolução de problemas 
matemáticos, estaremos tecendo as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya, 
G. George, que foi sem sombra de duvida o maior estudioso na arte de resolução de 
problemas matemáticos e faremos algumas considerações significativas do ponto de vista de 
outros autores. 
2.1 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS SEGUNDO POLYA 
 Polya (1985) sendo um dos mais conceituados estudiosos do processo de resolução 
de problemas deu a seguinte definição de problema: 
“Temos um problema sempre que procuramos os meios para atingir 
um objetivo. Quando temos um desejo que não podemos satisfazer 
imediatamente, pensamos nos meios de satisfazê-lo e assim se põe um 
problema. A maior parte da nossa atividade pensante, que não seja 
simplesmente sonhar acordado, se ocupa daquilo que desejamos e dos 
meios para obtê-lo, isto é de problemas”. (POLYA, 1985,p.13) 
 Portanto resolução de problemas matemáticos nada mais é que o aluno se depare na 
frente de um determinado problema que nunca antes fora resolvido por ele, e que ele tenha 
que criar planos para a resolução. Se o aluno tiver certa facilidade em resolução de problemas 
um dos primeiros passos a ser percebido é relacionar o problema a ser resolvido com algum 
outro problema correlato que já fora resolvido anteriormente, agindo desta forma o aluno 
chegará com maior facilidade a resolução do problema proposto, portanto salientamos que o 
problema matemático se origina quando um sujeito se encontra diante de uma situação busca 
compreender a sua natureza, ter, querer ou precisar encontrar a solução, não dispor 
imediatamente do procedimento ou solução que altere a situação e, por isso, faz tentativas 
para achar a solução. 
13 
 
 Polya desenvolveu algumas estratégias que hoje julgamos fundamentais para a 
resolução de problemas, tais estratégias nos auxilia no processo de resolução de vários 
problemas matemáticos. A seguir descreveremos as quatro etapas na resolução de problemas 
matemáticos e conseqüentemente entenderemos porque essas etapas são de grande 
importância na resolução de problemas matemáticos, não estamos afirmando necessariamente 
que se o aluno não seguir essas etapas ele não atingirá com êxito o objetivo da resolução, mas 
estamos afirmando que conhecendo essas etapas de resolução o aluno não precisará somente 
de sorte na hora da resolução de qualquer espécie de problemas matemáticos. 
 
2.2 AS QUATRO ETAPAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 
A primeira etapa da resolução de problema é a compreensão do problema, pois é quase 
impossível se resolver qualquer tipo de problema se o mesmo não foi compreendido, isso se 
estende para qualquer campo de atuação, se o aluno não entender o que o problema esta 
pedindo ou do que se trata com toda certeza todas as outras etapas saíra comprometida, esta 
etapa esta subdividida em dois estágios que são: “familiarização” e “aperfeiçoamento da 
compreensão”.(POLYA,1887) 
A segunda etapa e não menos importante é o estabelecimento de um plano que pode 
ser uma idéia que surge repentinamente ou até mesmo um caminho tortuoso que precisamos 
de algum tempo e disposição para tal planejamento, quando a idéia surge repentinamente não 
a muito a ser feito, basta apenas ter cuidado com distrações que podem surgir, mas se não 
tivemos esta sorte temos que criar mecanismos, propiciando idéias que irão facilitar no 
estabelecimento do plano. (POLYA,1887) 
A terceira etapa é a execução do plano, quando compreendemos o problema e 
conseguimos estabelecer um plano de resolução agora o que resta é colocar esse plano em 
prática, ou seja, ter paciência para executar o plano com sucesso, nesta etapa o que mais se 
pede é a paciência e ter concentração no objetivo da resolução. (POLYA,1887) 
14 
 
O último passo significativo da resolução de problema é o retrospecto, é nesta fase que 
temos que ter muita atenção, pois nesta ultima etapa muitos alunos considerados bons se 
perdem por achar que a solução encontrada é satisfatória para o problema. Nesta etapa temos 
que destrinchar o problema minuciosamente procurando qualquer tipo de erro. Se tiver em 
mente que nenhum problema fica completamente esgotado, que sempre resta alguma coisa a 
fazer, o aluno nunca cometerá o erro na ultima etapa da resolução, pois com muito estudo e 
aperfeiçoamento é possível melhorar qualquer tipo de resolução sempre.(POLYA,1887) 
 
2.2.1 COMPREENSÃO DO PROBLEMA 
É uma falta de tempo respondera uma pergunta que não tenha sido compreendida. 
Portanto a compreensão do problema proposto é extremamente importante. Isto se estende 
para salas de aulas onde o professor tem que criar interesse aos seus alunos na hora que se 
propõe um problema, portanto quando um professor for escolher um determinado problema 
tem que se fazer com muito estudo e conhecimento de causa, pois terá que detectar se os 
alunos terão interesse na resolução, porque o interessante do problema é causar um ar de 
desafio para quem o propõe solucioná-lo, para isso o professor tem que fazer as seguintes 
indagações: 
Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer 
à condicionante? A condicionante é suficiente para determinar à incógnita? Ou é insuficiente? 
Ou redundante? Ou contraditória? 
Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da 
condicionante. É possível anotá-las? 
Com todas essas indagações ficará muito mais fácil compreender o problema. Para 
maior compreensão vamos ilustrar alguns pontos que tratamos acima, com o seguinte 
problema, retirado do livro “ A Arte de Resolver Problemas” (Polya.1985,p.05): 
15 
 
 Calcular a diagonal de um paralelepípedo retângulo do qual são conhecidos o 
comprimento, a largura e a altura. 
Para discutir com proveito este problema, os alunos precisam conhecer o teorema de 
Pitágoras e algumas das suas aplicações à Geometria Plana, mas basta-lhes um conhecimento 
sistemático muito superficial da Geometria Espacial. O professor pode contar com uma 
pequena familiaridade dos alunos com as relações espaciais. 
Para tornar o problema mais interessante aos olhos dos alunos o professor pode tomar 
como exemplo o formato da sala de aula que é um paralelepípedo retangular cujas dimensões 
podem ser medidas ou estimadas, os alunos devem medir indiretamente a diagonal da sala de 
aula, com a ajuda do professor indicando o comprimento, a largura e a altura da sala de aula. 
O diálogo entre o professor e seus alunos pode principiar da seguinte maneira: 
Qual é a incógnita? 
O comprimento da diagonal de um paralelepípedo. 
Quais são os dados? 
O comprimento, a largura e a altura do paralelepípedo. 
Adote uma notação adequada. Qual a letra que deve denotar a incógnita? 
Diagonal “x”. 
Quais as letras que escolheria para o comprimento, a largura e a altura? 
a, b e c. 
Qual é a condicionante que relaciona a, b e c com x? 
x é a diagonal do paralelepípedo no qual a, b e c são, respectivamente, o comprimento, 
a largura e a altura. 
Trata-se de um problema razoável? Ou seja, a condicionante é suficiente para 
determinar à incógnita? 
Sim, ele é razoável. Se conhecermos a, b e c, conheceremos o paralelepípedo. Se o 
paralelepípedo ficar determinado, a sua diagonal também ficará. 
16 
 
 Note que para compreender o problema utilizamos várias indagações que Polya 
caracterizou pra resolução de problemas matemáticos. 
 
2.2.2 ESTABELECIMENTO DO PLANO 
Quando estabelecemos um plano significa que compreendermos bem o problema, já 
identificamos a sua incógnita, agora nos falta elaborar um plano para podermos encontrar a 
solução do problema proposto. 
Como já havíamos falado esse estabelecimento de plano pode ser como duas faces de 
uma moeda, às vezes pode vim como uma idéia que surge do nada, mas quando essa idéia 
brilhante não surge temos que ter paciência e nos sentir motivado para tão planejamento. Mas 
sabemos que é muito difícil essa idéia surgir se nada sabemos do assunto. Polya relata que: 
 “as boas idéias são baseadas na experiência passada 
e em conhecimentos previamente adquiridos. Para uma boa 
idéia, não basta à simples recordação, mas não podemos ter 
nenhuma idéia boa relembrar alguns fatos pertinentes”. 
(POLYA.1995,p.6) 
 
Portanto no segundo passo precisamos encontrar a conexão entre incógnita e os dados 
são bem possíveis que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encontrar 
uma conexão imediata e com isso é preciso chegar a um plano para resolução, e como no 
primeiro passo Polya elaborou alguns questionamentos que podem nos auxiliar na resolução 
que são: 
Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente 
diferente? 
17 
 
Conhece um problema correlato? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? 
Conhece a incógnita! E procure pensar num problema conhecido que tenha a mesma incógnita 
ou outra semelhante. 
Eis um problema correlato e já antes resolvido? É possível utilizá-lo? É possível 
utilizar o seu resultado? É possível utilizar o método? Deve-se introduzir algum elemento 
auxiliar para tornar possível a sua utilização? 
É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? 
Volte às definições. 
Se não puder resolver o problema proposto, procure antes resolver algum problema 
correlato. É possível imaginar um problema correlato mais acessível? Um problema mais 
genérico? Um problema mais especifico? Um problema análogo? É possível resolver uma 
parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até 
que ponto fica assim determinado à incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos 
dados alguma coisa de útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar à 
incógnita? É possível variar a incógnita, ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal 
maneira que fiquem mais próximos entre si? 
Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as 
noções implicadas no problema? 
 Estas são todas as indagações que Polya sugere para executar o segundo passo para 
resolver qualquer tipo de problema matemático, vamos utilizar estes questionamentos para dar 
prosseguimento ao problema da diagonal do paralelepípedo: 
Conhece algum problema que tenha a mesma incógnita? 
Não. Ainda não resolvemos nenhum problema em que entrasse a diagonal de um 
paralelepípedo. 
Repare, a diagonal é um segmento, um segmento de reta. Nunca resolveu um 
problema cuja incógnita fosse o comprimento de uma linha? 
18 
 
Claro que já resolvemos desses problemas. Por exemplo, calcular o lado de um 
triângulo retângulo. 
Nesta parte do diálogo entre professor e alunos, queremos enfatizar a importância de já 
ter tido resolvido algum problema semelhante ao que esta sendo proposto,quando com ajuda 
do professor os alunos conseguirem assimilar o triângulo retângulo o professor perceberá que 
os alunos estão indo pro caminho certo da resolução, dará continuidade ao diálogo: 
Não gostaria de ter triângulo na figura? 
Que tipo de triângulo gostaria de ter na figura? 
 
 
Figura 1 : Paralelepípedo com Representação do triangulo de Pitágoras. 
Fonte: (ARAÚJO.2010.UNIR) 
 
Não pode ainda calcular a diagonal, mas já disse que é capaz de calcular o lado de um 
triângulo. Então o que fará agora? 
Poderia calcular, a diagonal se ela fosse o lado de um triângulo? 
19 
 
Acho que foi uma boa idéia traçar aquele triângulo. Agora tem um triângulo, mas a 
incógnita? 
A incógnita é a hipotenusa do triângulo. Podemos calculá-la pelo teorema de 
Pitágoras. 
Sim, se forem conhecidos os dois catetos. Mas não são? 
Um cateto é dado, é c.O outro, parece que não é difícil de achar. Sim, o outro cateto é 
a hipotenusa de outro triângulo retângulo. 
Muito bem! Agora vejo que já tem um plano. 
 
2.2.3 EXECUÇÃO DO PLANO 
Executar o plano é muito mais fácil paciência é o que mais se precisa, pois precisamos 
estar atentos a cada passo da resolução. 
É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que 
ele está correto? 
Retornando o problema onde deixamos, o professor percebeque o aluno consegue 
identificar o triângulo no qual a incógnita x é a hipotenusa e a altura dada c é um dos catetos, 
o outro cateto é a diagonal de uma face. Deve-se, possivelmente, insistir para que o aluno 
adote uma notação apropriada. Ele deve escolher y para denotar o outro cateto, que é a 
diagonal da face cujos lados são a e b. Assim conseguirá perceber com maior clareza a idéia 
da resolução, que consiste em introduzir um problema auxiliar cuja incógnita será y. Por fim, 
calculando um triângulo após outro, ele poderá chegar a 
x² = y² + c² 
y² = a² + b² 
e daí, eliminando a incógnita auxiliar y, 
20 
 
x² = a² + b² + c² 
x = √a² + b² + c². 
 
Chegando neste passo o professor irá ter toda certeza que seu aluno conseguiu atingir 
o objetivo da resolução, agora é só ficar atento na questão dos cálculos. 
 
2.2.4 RETROSPECTO 
 Neste ponto da resolução o aluno já terá passado por todos os outros passos e por 
isso que é possível algum erro, principalmente por distração, pois o aluno já este convicto que 
fez tudo que deveria ser feito, poderá cometer erros, especialmente se o argumento for longo e 
trabalhoso. Daí a importância da verificação, Polya no quarto e decisivo passo nos sugerem as 
seguintes indagações: 
Examine a solução obtida. É possível verificar o resultado? É possível verificar o 
argumento? 
É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto 
num relance? 
É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema? 
 Estas indagações produzem diversos efeitos bons. Primeiro, um estudante 
inteligente não poderá deixar de impressionar-se pelo fato de que a fórmula passou em tantos 
testes. Ele já ficará convicto de estar certa a fórmula porque ele a deduzira cuidadosamente. 
 
 
 
21 
 
2.3 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
 A partir das afirmações descritas sobre resolução de problemas matemáticos, 
descreveremos o quadro a seguir, destacando as definições sobre a temática: 
Autores Ano Definição 
 
 
 
 
Mayer 
 
 
 
 
1981 
Dados: o problema começa 
num certo estado, com 
certas condições, objetos, 
peças de informação, e 
assim por diante, estando 
presentes no inicio do 
trabalho. 
Metas: o estado desejado 
ou terminal do problema é 
o estado final, sendo 
necessário pensamento 
para transformar o 
problema dado para o 
estado final. 
Obstáculos: o pensador tem 
a sua disposição certos 
caminhos para mudar o 
estado dado ou o estado 
final do problema. O 
pensador, contudo, não 
sabe ainda a resposta 
correta; isto é, a sequência 
correta de comportamentos 
que resolverão o problema 
não está patente de 
imediato. 
 
Polya 
 
 1985 
Temos um problema 
sempre que procuramos os 
meios para atingir um 
objetivo. Quando temos 
um desejo que não 
podemos satisfazer 
imediatamente, pensamos 
nos meios de satisfazê-lo e 
22 
 
assim se põe um problema. 
A maior parte da nossa 
atividade pensante, que não 
seja simplesmente sonhar 
acordado, ocupa-se daquilo 
que desejamos e dos meios 
para obtê-lo, isto é, de 
problemas. 
 
Dante 
 
1994 
Um problema 
matemático é qualquer 
situação que exija a 
maneira matemática de 
pensar e conhecimentos 
matemáticos para 
solucioná-lo. 
 
 
Gonzalés 
 
 
1995 
Situações em que, explícita 
ou implicitamente, são 
identificáveis noções 
matemáticas de algum tipo, 
e requerem que se achem 
outras que não aparecem 
diretamente expostas na 
situação. 
 
PCNs 
 
1997 
Uma situação que demanda 
a realização de uma 
sequência de ações ou 
operações para obter um 
resultado. Ou seja, a 
solução não está disponível 
de início, no entanto é 
possível construí-la. 
Fonte:Ana Fanny B. de O. Bastos_Dissertação de Pós-Graduação em Educação.2003. 
Este quadro nos dá uma definição bem ampla do que é resolução de problemas 
levando em conta autores importantes que estudaram a fundo este tema, no presente trabalho 
utilizamos a definição de Polya, pois afirmamos que a maioria dos autores que estudam este 
tema sempre cita Polya, portanto acreditamos que este autor é referência neste assunto. 
 Um professor que conhece bem a definição de problemas sempre colocará em sala 
de aula problemas que irão estimular o raciocínio do aluno, e este professor estará exercendo 
23 
 
o papel de mediador, ajudando seus alunos em eventuais dúvidas que seguem no decorrer das 
resoluções. 
“Um professor de Matemática tem, assim, uma grande oportunidade. 
Se ele preenche o tempo que lhe é concedido a exercitar seus alunos 
em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o 
desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa 
maneira, a sua oportunidade. Mas se ele desafia a curiosidade dos 
alunos, apresentando- lhes problemas compatível com os 
conhecimentos destes e auxiliando-os por meio de indagações 
estimulantes, poderá incutir- lhes o gosto pelo raciocínio 
independente e proporcionar-lhes certos meios para alcançar este 
objetivo” (POLYA.1887,p.05). 
Portanto um professor que estimula seus alunos em sala de aula se torna uma peça 
chave no ensino-aprendizagem, proporcionando formas diferenciadas de conhecimento e 
tornando o aluno mais independente, isso quer dizer que o professor passar a ser um mediador 
do conhecimento, tendo um papel de auxiliador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
3 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS PARA O ENSINO MÉDIO 
 
 Este capítulo trata-se da importância de abordar a didática da Resolução de 
Problemas com alunos do Ensino Médio, segundo grau, detalharemos alguns aspectos que 
julgamos relevantes e discutiremos sobre esta problemática. 
3.1 O ENSINO DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS 
 
O ensino da resolução de problemas é um desafio para os professores do Ensino 
Médio, pois estão “acostumados” a passar para seus alunos os problemas fechados que são os 
problemas que no enunciado indica rapidamente a forma de se resolver são problemas que 
não proporciona nem um pouco a curiosidade de quem se propõe a resolver 
“[...] só há problema se o aluno percebe uma dificuldade; uma determinada 
situação que provoca problema para um determinado aluno pode ser 
resolvido imediatamente por outro (e então não será percebida por este 
último como sendo um problema). Há então, uma idéia de obstáculo a ser 
superado. Por fim, o meio é um elemento do problema, particularmente as 
condições didáticas da resolução (organização da aula, intercâmbio, 
expectativas explícitas ou implícitas do professor)”(CHARNAY.1996,p.46). 
Portanto mais uma vez nos deparamos com a problemática que muitos professores se 
confundem na hora de se utilizar da ferramenta da resolução de problemas, aplicando 
problemas fechados, mas que na verdade não passa de meros exercícios matemáticos, pois 
um professor que acaba de explicar um determinado assunto e expõe para seus alunos um 
problema do assunto dado, não esta fazendo nada de mais, pois os alunos já esperam que 
assim o faça, já que estão trabalhando com o determinado assunto, eles tendem a procurar no 
enunciado do problema pistas evidentes que o problema se trata do assunto que acabará de ser 
explicado, com isso o professor não instigou em nada a curiosidade e criatividade de seus 
alunos e sim aplicou mais uma fez um exercício matemático.(MINUZZI,2009) 
 
25 
 
3.2 RECOMENDAÇÕES PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NO ENSINO 
MÉDIO 
No ensino médio os alunos já vêm com certa bagagem de anos de estudos, portanto o 
professor que se propuser a utilizar a didática de resolução de problemas estará diantede 
alunos capazes de aceitar uma didática tão diferenciada como a de resolução, portanto basta o 
professor está bem preparado para tal desafio. 
“O professor que deseja desenvolver nos seus alunos o espírito solucionador 
e a capacidade de resolução de problemas deve incluir em suas mentes algum 
interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e 
de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em sala de 
aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias, e fazer a si próprio as mesmas 
indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o 
estudante acabará por descobrir o uso das indagações e sugestões e, ao fazê-
lo, adquirirá algo mais importante do que um simples conhecimento de um 
fato matemático qualquer”(POLYA.1978,p.81). 
Nos tempos atuais, os nossos alunos estão em um contexto socioeconômico diferente, 
precisamos formar cidadãos críticos, capazes de solucionar todos os tipos de problemas, ou 
seja, formando para a vida, pensando nesses aspectos o PCN´S + , voltado diretamente para o 
ensino médio diz que: 
� Saber se informar, comunicar-se, argumentar, compreender e agir; 
� Enfrentar problemas de diferentes naturezas; 
� Participar socialmente, de forma prática e solidária; 
� Ser capaz de elaborar críticas ou propostas; e, 
� Especialmente, adquirir uma atitude de permanente aprendizado. 
Uma formação com tal ambição exige métodos de aprendizado compatíveis, ou seja, 
condições efetivas para que os alunos possam: 
� Comunicar-se e argumentar; 
� Defrontar-se com problemas, compreendê-los e enfrentá-los; 
26 
 
� Participar de um convívio social que lhes dê oportunidades de se realizarem como 
cidadãos; 
� Fazer escolhas e proposições; 
� Tomar gosto pelo conhecimento, aprender a aprender. 
Com essa idéia dos PCN´S + indica que não é mais interessante ter um professor em 
sala de aula que utiliza apenas de exercícios matemáticos, precisamos de um professor que 
faça seus alunos encontre prazer em aprender, ou seja precisamos de professores 
incentivadores, mediadores do saber, que estão em sala de aula pra auxiliar o crescimento 
acadêmico e pessoal de seus alunos. 
“A solução de problemas matemáticos constitui, ao mesmo tempo, um método 
de aprendizagem e um objetivo do mesmo. É um método de aprendizagem na 
medida em que grande parte do conteúdo da Matemática escolar trata da 
aprendizagem de habilidades, técnicas, algoritmos ou procedimentos 
heurísticos que podem ser usados em diversos contextos (cotidiano, científico, 
etc.). Para alcançar uma aprendizagem significativa desse tipo de técnicas é 
necessário aprender a usá-las no contexto de diversos 
problemas.”(ECHEVER.1998,p.63) 
Se os professores apresentar problemas compatíveis com a realidade de seus alunos, 
muito raramente estes mesmo alunos não terão curiosidade de solucionar o problema 
proposto, isso se dá o nome de contextualização de assuntos da matemática com o cotidiano 
do aluno. 
“É necessário resgatar a Matemática que está inserida na 
codificação de toda uma realidade física e social, vivenciadas pelos 
educandos, e analisar, junto com eles, de forma dialógica, os diferentes 
significados atribuídos e as diferentes formas de pôr ordem na idéias para a 
construção desse conhecimento [...] Interrogar, pois, o que é problema, 
implica não apenas considerar, mas também interrogar o que é realidade 
para as pessoas envolvidas na ação pedagógica”(MEDEIROS.1995,p.40). 
 
27 
 
 Portanto os professores atuais têm que estar em constante busca pelo conhecimento e 
tornando em sala de aula um mediador, pois só há sucesso na didática de resolução de 
problemas se o professor que esta inserido neste contexto estiver suficientemente preparado 
para atuar como mediador do conhecimento. Se não houver este preparo com toda certeza as 
tentativas de resolução de problemas será frustrante para ambos os lados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
28 
 
4 PESQUISA COM ALUNOS DA ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO FUNDAMENTAL E 
MÉDIO RIO URUPÁ 
 Neste capítulo apresentaremos uma pesquisa realizada com alunos do segundo ano 
do ensino médio da Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá, pesquisa 
essa que teve como objetivo presenciar o real interesse dos alunos da faixa etária de 15 a 17 
anos em resoluções de problemas. 
4.1 DADOS E ANÁLISE DA PESQUISA COM ALUNOS DA ESCOLA ESTADUAL 
DE ENSINO FUNDAMENTAL E MÉDIO RIO URUPÁ. 
Esta escola está situada num bairro de classe média, a pesquisa realizada na Escola 
Estadual de Ensino Fundamental e Médio Rio Urupá foi realizada em dois estágios. O 
primeiro estágio foi oferecido problemas matemáticos diversos, tendo a preocupação de se 
elaborar problemas que os alunos tivessem capacidade de resolver levando em conta a série 
dos mesmos. No segundo estágio aplicamos um questionário com três perguntas abertas, estas 
perguntas foram elaboradas para destacar o perfil dos alunos e como eles viam a resolução de 
problema. Efetuo-se tal pesquisa no período do mês de Março a Junho, quando estava 
exercendo as atividades de estágio do ensino médio. 
O objetivo central desta pesquisa é mostrar o real interesse de jovens na faixa etária de 
15 aos 17 anos em relação com a resolução de problemas e tentar destacar quais são as 
principais dificuldades na resolução tomando em relação das quatro etapas da resolução de 
problemas. Esta sala de segundo ano foi escolhida pelo motivo que a professora titular da 
turma deu total apoio a pesquisa realizada, deixando que se adotasse a didática de resolução, 
portanto o trabalho foi feito com o objetivo de apresentar o interesse dos alunos dessa faixa 
etária, a turma apresenta um total de vinte e três alunos, sendo que dezesseis é do sexo 
feminino e sete do sexo masculino. 
 
 
29 
 
Gráfico 1_ Apresentando a diferença de alunos do sexo feminino e sexo 
masculino. 
Meninas
Meninos
 
Fonte:ARAÚJO.2010.UNIR 
 Os problemas que foram propostos pelos alunos do segundo ano do ensino médio estarão 
destacados no anexo deste trabalho, estes problemas foram especialmente escolhidos para que 
pudéssemos discutir as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya e propor 
formas diferenciadas de estudos. 
 Destacaremos a seguir dois dos dez problemas que foram desenvolvidos nesta turma e terá 
destaque algumas características desses alunos que denominaremos com o nome de Adriano, 
Juliana, Patrícia, Ana e Gustavo sendo estes nomes genéricos. 
30 
 
 
Solução do problema das Oito caixas_ ALUNO ADRIANO 
Este problema das oito caixas trata-se de um problema que envolve o raciocínio lógico 
matemático em diversos campos, o aluno que denominamos como Adriano teve êxito nas 
31 
 
quatro etapas de Polya, pois interpretou o problema, desenvolveu um plano, executou o plano 
e fez o retrospecto do plano. 
Em relação à sala o aluno Adriano foi um dos destaques, pois nem todos conseguiram 
alcançar o êxito da solução correta, podemos destacar que a etapa que apresentou maior falha 
foi logo a primeira etapa que consistem em interpretar o problema, muitos alunos tiveram 
dificuldade em entender o que se pede neste problema, exemplo seriam as alunas Juliana e 
Ana. 
O aluno Adriano usou a estratégica de desenhos para a resolução do problema, ou seja, 
ele usou mecanismos usuais para a resolução, portanto percebe-se que no primeiro momento 
ele não consegue visualizar uma resolução imediata por isso que faz uso de desenhos, o 
problema em questão trata do contexto de progressões geométricas, que aplicando a fórmula 
encontraria o resultado imediatamente.No segundo problema que será destacado a seguir o aluno Adriano, também obteve 
sucesso na resolução. 
32 
 
 
Solução do Problema do Pão-Duro_ADRIANO. 
Neste problema o aluno Adriano também teve êxito nas quatro etapas de resolução e 
conseguiu observar que este problema poderia ser solucionado com a fórmula da soma de 
progressões geométricas. Mas vale lembrar que este último problema foi apresentado nas 
últimas aulas que ofereci sobre resolução de problemas, portanto podemos concluir que o 
aluno já tinha adquirido algumas técnicas de resolução. 
33 
 
Mas como toda pesquisa onde envolve resoluções de problemas percebe-se que nem 
todos os alunos atingem êxito na resolução de problemas, as alunas Juliana, Patrícia e Ana 
tiveram dificuldade na mesma etapa que é a primeira que consiste em “Interpretar o 
Problema”, onde se pode afirmar que é a maior dificuldade para alunos que estão iniciando na 
didática de resolução de problemas, pois se não entende o que o problema pede ou ao menos 
no que se trata o problema, fica impossível obter um resultado satisfatório. 
Nas resoluções dos problemas propostos no contexto amplo, podemos destacar que os 
alunos tiveram maior dificuldade na primeira etapa e na última etapa que diz respeito ao 
retrospecto, muitos conseguiam elaborar um plano para resolução mais ficavam tão confiantes 
com o resultado obtido que não faziam conta desta etapa tão importante para se obter uma 
resolução satisfatória. 
Na última etapa da pesquisa elaboramos um questionário com as seguintes perguntas: 
� O QUE É PROBLEMA? 
� VOCÊ GOSTA DE RESOLVER PROBLEMAS?POR QUÊ? 
� COM QUE FREGUÊNCIA VOCÊ RESOLVE PROBLEMAS 
MATEMÁTICOS? 
 
O objetivo da primeira pergunta foi constatar que a maioria dos alunos caracterização 
como problema, só aquilo que necessita cálculos para a resolução, ou seja, associam 
problemas só com a disciplina de Matemática. 
A segunda pergunta foi apresentada para os alunos com objetivo de provar que na 
maioria das vezes o aluno só gosta de fazer aquilo que ele entende, portanto muitos alunos 
têm dificuldade logo na primeira etapa de Polya que é a compreensão do problema. 
A terceira pergunta mostra para os professores que alunos podem sim resolver mais 
problemas, basta ser oferecidos com maior freguência, mas isto ainda não esta sendo tão 
oferecidos para os alunos. 
34 
 
Pode-se descrever que muitos alunos têm um conceito pré estabelecido de resolução 
de problemas ainda distorcido, pois muitos afirmam que problema é só aquilo que envolve a 
disciplina de Matemática, esquecendo que todos enfrentam problemas no cotidiano. Onde 
muitos conseguem resolver estes problemas rotineiros com êxito, pois criam estratégias que 
para o problema que foi apresentado será por vez satisfeita, mas quando se deparam com 
problemas de Matemática muitos dos alunos travam, portanto cabe ao professor mostrar 
mecanismos satisfatórios para a resolução e incutir no aluno o prazer de resolver um problema 
de matemática, atiçando a curiosidade de cada aluno. 
“A Matemática é interessante na medida em que ocupa as nossas faculdades 
de raciocínio e de invenção. Mas nada se aprenderá sobre raciocínio ou 
invenção se a motivação e a finalidade do passo mais notável permanecer 
incompreensível. (POZO. 1998, p.72) 
A seguir serão destacados dois questionários que foram aplicados e notaremos que as 
respostas são totalmente antagônicas, tentaremos analisar tais respostas com bases nos estudos 
deste trabalho. 
35 
 
 
Segundo Questionário_ ALUNA ANA. 
 
Neste questionário a aluna Ana se mostra sem muito interesse na didática de resolução 
de problemas e tem umas características que é comum a muitas pessoas que vêem resolução 
de problemas como algo que envolve só Matemática, e podemos afirmar que essa 
característica esteve presente em alguns alunos onde foi feito este trabalho de resoluções de 
problemas. 
A aluna não consegue contextualizar resolução de problemas no seu dia a dia, 
afirmando que resolve problemas somente na aula de Matemática, e isso fica mais evidente 
quando a aluna define problema como sendo uma conta de Matemática. 
 
36 
 
 
Segundo Questionário_ ALUNO ADRIANO. 
Já o questionário do aluno Adriano se apresenta de forma mais ampla no contexto 
ensino-aprendizagem, o aluno descreve o que é problema de forma mais geral, ou seja, 
consegue fazer conexões do cotidiano que está inserido e a escola. Tratando problema como 
tudo aquilo que precisa criar alguma estratégia para obter uma solução satisfatória. Podemos 
perceber que mesmo tendo uma facilidade em distinguir um problema ele afirma que se 
interessa em resolver problemas apenas que ele consiga responder, em outras palavras 
problemas que ele consegue ter sucesso na primeira etapa que é da compreensão do problema. 
Fazendo uma análise ampla pode-se afirmar que tanto a aluna Ana como o aluno 
Adriano têm dificuldade na primeira etapa de Polya que é o da compreensão do problema, o 
que se pode concluir que os alunos não gostam de resolver aquilo que eles julgam impossível 
de resolver, neste caso essa é uma das etapas que o professores ao adotar a didática de 
resolução de problemas têm que ter um maior cuidado, pois sem ter a capacidade de entender 
o que esta sendo proposto nada valerá do esforço das etapas seguintes. 
37 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Podemos concluir que a didática da resolução de problemas quando utilizada de forma 
bem elaborada desenvolve no aluno um hábito de pensar, pois para se encontrar uma solução 
precisam-se desenvolver vários mecanismos para tal. 
Muitos que não conhecem as quatro etapas de resolução de problemas utilizam-se da 
didática de “tentativa e erro”, o que é muito trabalhoso e nem sempre favorece um resultado 
satisfatório, isso é um dos diversos motivos que muitos alunos encontram dificuldades na 
resolução de problemas. 
A didática de resolução de problemas vem por sua vez facilitar o professor a mediar os 
alunos nessa arte de resolução de problemas, um professor bem preparado que conhece bem 
as quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya, se encontra preparado para adotar 
em sala de aula esta didática diferenciada. Com o objetivo de facilitar o ensino aprendizagem 
dos seus alunos. 
Defendemos a idéia que se o professor utilizar das quatro etapas de resolução de 
problemas segundo Polya o êxito ao se resolver um problema cresce em altas proporções, 
prova disso é os problemas que foram oferecidos para os alunos da Escola Estadual de Ensino 
Fundamental e Médio Rio Urupá, a maioria dos alunos quando conduzido de forma adequada 
mostraram interesse na didática de resolução, portanto é uma didática que pode ser trabalhada 
de forma continua em sala de aula. Assim estaremos formando alunos críticos e capazes de 
pensar com a sua própria cabeça. 
Levando em consideração a pesquisa de campo e toda a parte bibliográfica , deixa 
claro que o professor que estiver interesse de adotar a didática de resolução de problemas, 
ajudará seus alunos no que diz respeito a estar formando cidadãos críticos e ensinando o aluno 
a pensar e criar estratégias para seus problemas no cotidiano, fazendo assim relação entre sala 
de aula e sociedade em que está inserido. 
38 
 
REFERÊNCIAS 
BASTOS, Ana Fanny B. de Oliveira. Metacognição e Resolução de Problemas 
Matemáticos na Formação de Professores das Séries Inicias do Ensino Fundamental. 
Dissertação para obtenção do título de mestre. Cuiabá:UFMT, IE, 2003. 
DANTE. Luiz Roberto. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. Editora 
Ática. São Paulo, nº 9, 2005. 
ECHEVER. Maria Del Puy Pérez. CASTILHO. Jesus Dominguez.CRESPO. Miguel ÁngelGómez. ANGÓN.Yolanda Postilho. Tradução Juan Ignacio Poz. ASolução de Problemas 
(Aprender a Resolver, Resolver para Aprender). Editora Artmed. São Paulo, 1994. 
NACIONAIS. Parâmetros Curriculares. Orientação para o Ensino Médio_PCN +. São Paulo, 
2005 
MATEUS. Antonio Angelo. MATIAS. João Batista de Oliveira. CARNEIRO. Thiago 
Rodrigo Alves. Problemas Matemáticos: Caracterização, importância e estratégias de 
Resolução. São Paulo, USP. Março. 2002. 
MEDEIROS. Kátia Maria de. O Contrato Didático e a Resolução de Problemas 
Matemáticos em Sala de Aula. Pernambuco, 1998. 
MENDES. Renata Moreira. Resoluções de Problemas na Matemática e Leitura de textos em 
Língua Estrangeira. Pernambuco: UFPE, 2004. 
MINUZZI. Itajana. CAMARGO. Mariza. O Ensino-Aprendizagem de Matemática Através 
da Resolução de Problemas. Ijuí-Rio Grande do Sul, Julho.2009. 
MORIN, E. A Cabeça bem Feita: Repensar a Reforma, Reformar o Pensamento. 5ª Ed. 
Rio de Janeiro: Editora Bertrand, 2002. 
POLYA, G. George, 1887. A Arte de Resolver Problemas: Um Novo Aspecto do Método 
Matemático/ G. Polya; tradução Heitor Lisboa de Araújo. Editora Interciência Ltda. Rio de 
Janeiro, nº 2, 1995. 
POZO, J. I. A solução de problemas: aprender a resolver, resolver para aprender. Porto 
Alegre: Editora Artmed, 1998. 
 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Problemas que foram resolvidos em sala de aula com os alunos e as respectivas 
estratégias que foram utilizadas: 
Problema 1. Havia oito caixas de madeira e cada uma dessas caixas é o prêmio que será 
dado ao calculista. As caixas estão enumeradas de um até oito, adotei a ordem crescente, 
não é possível encontrar duas caixas com o mesmo número de moedas. Com as quantias 
distribuídas pelas oito caixas, podemos fazer qualquer pagamento, desde um dinar até o 
número total contido nas caixas. Sabendo que estas caixas, numeradas de um até oito, 
contém dinares em números que não se repetem; sabendo-se também que é possível 
efetuar qualquer pagamento até o número total de moedas, sem abrir nenhuma caixa, 
pergunta-se: 
1º) Quantas moedas contém, respectivamente cada uma das caixas? 
2º) Como determinar, por meio do raciocínio, matematicamente certo, a quantia contida 
em cada caixa? 
Estratégias Utilizadas: 
Qual é a incógnita? Quantidade de moedas _ Quais são os dados? _ Conhece um 
problema correlato? 
Com essas perguntas feitas aos alunos aos poucos eles foram percebendo que este 
problema se tratava de progressões geométricas, e para resolução a maioria utilizou a 
estratégia de desenhos, desenhando cubos e na frente colocando a quantidade possível que 
poderia haver em cada caixa. 
Problema retirado do livro “ O homem que calculava” do autor Malba Tahan. 
 
Problema 2. Um avarento que o povo apelidara de Pão-Duro, movido pela mania mórbida 
de juntar dinheiro, resolveu, certa vez, economizar da seguinte forma: no primeiro dia do 
mês, guardaria num cofre 1 vintém; no segundo dia 2 vinténs; no terceiro dia 4 vinténs, no 
41 
 
quarto dia 8 vinténs e, assim dobrando sucessivamente, durante trinta dias seguidos. 
Quanto teria o Pão-Duro amealhado, desse modo, quando terminasse o mês? Mais de um 
conto de réis? Menos de um conto? 
Estratégias Utilizadas: 
Considere a incógnita?_ Quais são os dados? Eles são suficientes para a 
resolução?.Com essas indagações feitas os alunos foram juntando os dados do problema e 
a primeira coisa a ser notada foi que crescia os vinténs na mesma proporção ao multiplicar 
o valor de todos os vinténs por 2, assim a estratégia utilizada for perceber que eles 
estavam diante de uma progressão geométrica de razão igual a 2. 
Problema retirado do livro “Matemática Divertida e curiosa” do autor Malba Tahan. 
 
Problema 3. Roberto tem 10 bolsos e 44 moedas. Ele quer colocar as moedas nos bolsos, 
mas de tal maneira distribuídas que em cada bolso fique um número diferente de moedas. 
Será possível conseguí-lo? 
Estratégias Utilizadas: 
Se Roberto tivesse muitas moedas, naturalmente não teria nenhuma dificuldade em 
colocar nos bolsos moedas em números diferentes. É possível reformular o problema? 
Qual o menos número de moedas que pode ser colocado nos 10 bolsos, de modo que não 
fiquem dois bolsos com o mesmo número de moedas? 
Problema retirado do livro “A Arte de Resolver Problemas” do autor Polya. 
 
Problema 4. Um capital é aplicado, a juros simples, à taxa de 12% ao mês.Quanto tempo, 
no mínimo, ele deve ficar aplicado, a fim de que seja possível resgatar o quádruplo da 
quantia aplicada? 
42 
 
Estratégias Utilizadas: 
Este problema foi apresentado a turma para que eles pudessem resolver problemas de 
juros simples sem ter a preocupação de decorar fórmulas, pois o problema dá todo suporte 
de resolução sem que necessite de tal fórmulas. 
Problema retirado da apostila, confeccionada pelo Professor Mestre Marcos Leandro 
Ohse. 
 
Problema 5. Para numerar as páginas de um grosso volume o tipógrafo utilizou 2989 
algarismos. Quantas páginas têm o volume? 
Estratégias Utilizadas: 
Eis um problema correlato: Se o livro contiver 9 páginas numeradas, quantos algarismos 
utilizará o tipógrafo? (9, é claro). Eis outro problema correlato; se o livro contiver 
exatamente 99 páginas numeradas, quanto algarismo utilizará o tipógrafo? 
Problema retirado do livro “A Arte de Resolver Problemas” do autor Polya. 
 
Problema 6. Ao escalar uma montanha, um alpinista percorre 256 metros na primeira 
hora, 128 metros na segunda hora, 64 metros na terceira hora, e assim sucessivamente. 
Quando tiver percorrido 496 metros terão passados, quantas horas? 
Estratégias Utilizadas: 
Qual a incógnita? A quantidade de horas percorridas_ Quais são os dados? Todos estão 
explícitos do problema? 
Problema retirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau, 
Elizabeth Soares e Vicente Paz. 
43 
 
Problema 7. Sabe-se que das 520 galinhas de um aviário, 60 não foram vacinadas e, entra 
as vacinadas, 92 morreram. Entre as galinhas vacinadas, qual é a razão do número de 
mortas para o número de vivas? 
Estratégias Utilizadas: 
Este problema estimula o raciocínio lógico matemático, não há nenhuma fórmula pré- 
estabelecida para se obter a resolução, o que deixa o problema mais interessante. 
Problema retirado da apostila confeccionada pelo Professor Mestre Marcos Leandro Ohse. 
 
Problema 8. Se o poder de compra de meu salário é hoje 30% daquele de um ano atrás, 
então para reaver aquele poder de compra, meu salário deve ser reajustado em que 
porcentagem? 
Estratégias Utilizadas: 
Qual a condicionante? Qual a incógnita?_Fazendo essas indagações os alunos 
perceberam que este problema trata-se de porcentagem simples. 
Problema retirado da apostila confeccionada pelo Professor Marcos Leandro Ohse. 
 
Problema 9. Se Maria emagrecesse 10 kg, ela passaria a ter 75% de seu peso atual. Então, 
qual seria seu atual peso? 
Estratégias Utilizadas: 
Problema resolvido com facilidade, pois todos os dados que há no problema é suficiente 
para a sua resolução, levando em consideração que foi um dos primeiros que foi 
apresentado aos alunos. 
44 
 
Problema retirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau, 
Elizabeth Soares e Vicente Paz. 
 
Problema 10. Uma loja vende um refrigerador por R$ 1100,00 à vista. A prazo, vende por 
R$1400,00, sendo R$ 400,00 de entrada e o restante após 6 meses. Nessas condições que 
taxa é cobrada? 
Estratégia Utilizada: 
Qual a incógnita? A taxa_ Todos os dados estão no problema?Sim. Com essas 
indagações fica claro que o problema tem solução possível. 
Problemaretirado do livro do Ensino Médio_Matemática dos autores Antonio Nicolau, 
Elizabeth Soares e Vicente Paz.