caderno do professor

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CadernoDoProfessor_2014_Vol1_Baixa_MAT_Matematica_EM_2S.pdf
2a SÉRIE 
ENSINO MÉDIO
Caderno do Professor
Volume 1
MATEMÁTICA
MATERIAL DE APOIO AO
CURRÍCULO DO ESTADO DE SÃO PAULO
CADERNO DO PROFESSOR 
MATEMÁTICA
ENSINO MÉDIO
2a SÉRIE
VOLUME 1
Nova edição
2014-2017
GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
São Paulo
Governo do Estado de São Paulo
Governador
Geraldo Alckmin
Vice-Governador
Guilherme Afif Domingos
Secretário da Educação
Herman Voorwald
Secretário-Adjunto
João Cardoso Palma Filho
Chefe de Gabinete
Fernando Padula Novaes
Subsecretária de Articulação Regional
Rosania Morales Morroni
Coordenadora da Escola de Formação e 
Aperfeiçoamento dos Professores – EFAP
Silvia Andrade da Cunha Galletta 
Coordenadora de Gestão da 
Educação Básica
Maria Elizabete da Costa
Coordenadora de Gestão de 
Recursos Humanos
Cleide Bauab Eid Bochixio
Coordenadora de Informação, 
Monitoramento e Avaliação 
Educacional
Ione Cristina Ribeiro de Assunção
Coordenadora de Infraestrutura e 
Serviços Escolares
Ana Leonor Sala Alonso
Coordenadora de Orçamento e 
Finanças
Claudia Chiaroni Afuso
Presidente da Fundação para o 
Desenvolvimento da Educação – FDE
Barjas Negri
Senhoras e senhores docentes,
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo sente-se honrada em tê-los como colabo-
radores nesta nova edição do Caderno do Professor, realizada a partir dos estudos e análises que 
permitiram consolidar a articulação do currículo proposto com aquele em ação nas salas de aula 
de todo o Estado de São Paulo. Para isso, o trabalho realizado em parceria com os PCNP e com 
os professores da rede de ensino tem sido basal para o aprofundamento analítico e crítico da abor-
dagem dos materiais de apoio ao currículo. Essa ação, efetivada por meio do programa Educação 
— Compromisso de São Paulo, é de fundamental importância para a Pasta, que despende, neste 
programa, seus maiores esforços ao intensificar ações de avaliação e monitoramento da utilização 
dos diferentes materiais de apoio à implementação do currículo e ao empregar o Caderno nas ações 
de formação de professores e gestores da rede de ensino. Além disso, firma seu dever com a busca 
por uma educação paulista de qualidade ao promover estudos sobre os impactos gerados pelo uso 
do material do São Paulo Faz Escola nos resultados da rede, por meio do Saresp e do Ideb. 
Enfim, o Caderno do Professor, criado pelo programa São Paulo Faz Escola, apresenta orien-
tações didático-pedagógicas e traz como base o conteúdo do Currículo Oficial do Estado de São 
Paulo, que pode ser utilizado como complemento à Matriz Curricular. Observem que as atividades 
ora propostas podem ser complementadas por outras que julgarem pertinentes ou necessárias, 
dependendo do seu planejamento e da adequação da proposta de ensino deste material à realidade 
da sua escola e de seus alunos. O Caderno tem a proposição de apoiá-los no planejamento de suas 
aulas para que explorem em seus alunos as competências e habilidades necessárias que comportam 
a construção do saber e a apropriação dos conteúdos das disciplinas, além de permitir uma avalia-
ção constante, por parte dos docentes, das práticas metodológicas em sala de aula, objetivando a 
diversificação do ensino e a melhoria da qualidade do fazer pedagógico. 
Revigoram-se assim os esforços desta Secretaria no sentido de apoiá-los e mobilizá-los em seu 
trabalho e esperamos que o Caderno, ora apresentado, contribua para valorizar o ofício de ensinar 
e elevar nossos discentes à categoria de protagonistas de sua história. 
Contamos com nosso Magistério para a efetiva, contínua e renovada implementação do currículo.
Bom trabalho!
Herman Voorwald
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
SUMÁRIO
Orientação geral sobre os Cadernos 5
Situações de Aprendizagem 12
Situação de Aprendizagem 1 – O reconhecimento da periodicidade 12
Situação de Aprendizagem 2 – A periodicidade e o modelo da circunferência 
trigonométrica 23
Situação de Aprendizagem 3 – Gráficos de funções periódicas envolvendo 
senos e cossenos 39
Situação de Aprendizagem 4 – Equações trigonométricas 53
Situação de Aprendizagem 5 – Matrizes: diferentes significados 61
Situação de Aprendizagem 6 – Matriz de codificação: desenhando 
com matrizes 75
Situação de Aprendizagem 7 – Sistemas lineares em situações-problema 78
Situação de Aprendizagem 8 – Resolução de sistemas lineares: 
escalonamento x Cramer 85
Orientações para Recuperação 104
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno para 
a compreensão do tema 106
Considerações finais 107
Quadro de conteúdos do Ensino Médio 108
5
Matemática – 2ª série – Volume 1
ORIENTAÇÃO GERAL SOBRE OS CADERNOS
Os temas escolhidos para compor o conteú-
do disciplinar de cada volume não se afastam, 
de maneira geral, do que é usualmente ensina-
do nas escolas, ou do que é apresentado pe-
los livros didáticos. As inovações pretendidas 
referem-se ao enfoque destes temas, sugerido 
ao longo dos Cadernos. Em tal abordagem, 
busca-se evidenciar os princípios norteadores 
do presente currículo, destacando-se a con-
textualização dos conteúdos, as competências 
pessoais envolvidas, especialmente as relacio-
nadas à leitura e à escrita matemática, bem 
como os elementos culturais internos e exter-
nos à Matemática. 
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão 
organizados em oito unidades de extensões 
aproximadamente iguais, que podem corres-
ponder a oito semanas de trabalho letivo. De 
acordo com o número de aulas disponíveis por 
semana, o professor vai poder explorar cada 
assunto com maior ou menor profundidade, 
ou seja, escolherá uma escala adequada para 
tratar do tema. A critério do professor, em cada 
situação específica, o tema correspondente a 
uma das unidades pode ser estendido para mais 
de uma semana, enquanto o de outra unidade 
pode ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor contemple todas 
as oito unidades, uma vez que, juntas, com-
põem o panorama dos conteúdos do volume, e, 
muitas vezes, uma das unidades contribui para 
a compreensão das outras. Insistimos, entre-
tanto, no fato de que somente o professor, com 
base nas circunstâncias específicas de suas tur-
mas, e levando em consideração seu interesse 
e o dos alunos pelos temas apresentados, pode 
determinar com adequação o tempo ideal a ser 
dedicado a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos são apresentadas, 
além de uma visão panorâmica do conteúdo 
do volume, oito Situações de Aprendizagem, 
que pretendem ilustrar a abordagem sugerida, 
orientando o professor em sala de aula. As ati-
vidades são independentes e podem ser explo-
radas pelos professores com maior ou menor 
intensidade, conforme seu interesse e de sua 
turma. Naturalmente, em razão das limita-
ções no espaço dos Cadernos, nem todas as 
unidades foram contempladas com Situações 
de Aprendizagem, mas a expectativa é de que 
a abordagem dos temas seja explicitada nas 
atividades oferecidas.
São apresentados também, em cada Cader-
no, sempre que possível, materiais disponíveis 
(textos, softwares, sites e vídeos, entre outros) 
em sintonia com a abordagem proposta, que 
podem ser utilizados pelo professor para o en-
riquecimento de suas aulas.
O Caderno é ainda composto de algumas 
considerações sobre a avaliação a ser realiza-
da, bem como o conteúdo considerado indis-
pensável ao desenvolvimento das competên-
cias enunciadas no presente volume.
6
Conteúdos básicos do volume
A Trigonometria apresenta a importante 
característica de estabelecer ligação entre o 
eixo “Geometria e medidas” e o eixo “Núme-
ro e funções”.
Geometria e Medidas Trigonometria Números e Funções
O estudo da Trigonometria, ao relacionar 
esses eixos, permite que sejam associadas en-
tre si relevantes ideias matemáticas. No caso 
de Geometria e medidas, o elemento nortea-
dor de todo o trabalho é a proporcionalidade, 
ao passo que os conceitos pertinentes ao se-
gundo eixo, Números e funções, envolvem a 
ideia fundamental da periodicidade de deter-
minados fenômenos, e a possibilidade de mo-
delá-los, isto é, representá-los por intermédio 
de uma equação matemática.
A ideia da proporcionalidade está presen-
te no estudo das relações métricas entre la-
dos do triângulo retângulo e a noção de se-
melhança, base para a aplicação das razões 
trigonométricas seno, cosseno e tangente. 
Assim, o início dos trabalhos sobre esse con-
teúdo inclui a avaliação do conhecimento 
que os alunos desenvolveram anteriormente 
sobre tais conceitos. Caso o professor iden-
tifique que as razões trigonométricas não 
foram apresentadas aos alunos na 8a série/ 
9o ano do Ensino Fundamental e na 1a série do 
Ensino Médio, conforme previsto no presente 
Currículo, será determinante que esse traba-
lho inicial não se restrinja à retomada de con-
ceitos o que exigirá, dessa forma, maior aten-
ção do professor. É fundamental que, para o 
início do estudo das funções trigonométricas, 
a base conceitual da proporcionalidade esteja 
razoavelmente consolidada.
Para estudar a periodicidade observada 
em enorme gama de fenômenos naturais, foi 
preciso criar um modelo matemático. O mais 
adequado, nesse caso, é o modelo em que um 
ponto gira em torno de uma circunferência. 
A percepção de que um modelo tão simples 
como esse permite traduzir por funções mate-
máticas o comportamento de diversos tipos de 
grandezas, amplia e dá movimento à ideia da 
regularidade, da repetição de um determina-
do padrão. As funções trigonométricas, nesse 
contexto, podem ser apresentadas aos alunos 
a partir de experimentos reais ou de pensa-
mento, para que eles, além da motivação in-
trínseca e desejada, percebam a necessidade 
do estudo que ora se inicia. 
Também são abordados as matrizes, deter-
minantes e os sistemas lineares. Assim como os 
demais conteúdos, estes também exigem que 
sejam identificados seus diferentes significa-
dos e estimuladas algumas das várias conexões 
entre esses significados. Todavia, a observação 
dos tópicos abordados com maior frequência 
nos livros didáticos e, portanto, nos cursos de 
7
Matemática – 2ª série – Volume 1
Ensino Médio, evidencia a prioridade atribuída 
a aspectos meramente algébricos, que coloca 
em segundo plano algumas das atuais e impor-
tantes aplicações desses conteúdos, bem como 
a sólida base que deveria ser formada tendo 
em vista a continuidade dos estudos matemá-
ticos. Com esse intuito, valeria enfatizar, por 
exemplo, a formação de imagens nas telas dos 
aparelhos digitais (máquinas, televisores etc.), e 
todo o campo de estudo da Álgebra Linear. Ao 
contrariar essa tendência, julgamos importante 
o professor municiar-se de diferentes contextos 
de Situações de Aprendizagem nas quais trans-
pareçam claramente os dois aspectos aponta-
dos – aplicabilidade e formação conceitual –, a 
fim de que os alunos possam construir alguns 
dos diferentes significados de cada um dos tó-
picos abordados. 
Em relação às matrizes, o professor deve ava-
liar a importância desse conteúdo no volume, 
destinando o tempo necessário à apresentação 
de algumas de suas inúmeras aplicações. Nesse 
sentido, sugerimos que o trabalho se inicie com 
a noção de que uma matriz é, em princípio, um 
quadro de dupla entrada em que seus elemen-
tos assumem posições dadas pelas coordenadas 
de suas linhas e colunas. Além disso, sugerimos 
ainda que os exemplos escolhidos para tal apre-
sentação sejam carregados de significados, a fim 
de que os alunos possam associar as caracterís-
ticas particulares de um elemento qualquer da 
matriz às características gerais pertinentes a to-
dos os elementos e, portanto, à própria matriz. 
A Situação de Aprendizagem 1 contém pro-
posta de duas situações: o movimento aparente 
do Sol e o comprimento das sombras, e as som-
bras longas, nas quais os alunos são convidados, 
inicialmente, a reconhecer a regularidade dos fe-
nômenos envolvidos e, em uma etapa posterior, 
a representar a variação periódica observada 
por intermédio de um gráfico cartesiano. 
Um ponto girando em torno de uma cir-
cunferência é o modelo ideal para analisar a 
periodicidade de determinados fenômenos e 
para expressá-la por intermédio de equações 
matemáticas. Esse modelo, portanto, precisa 
ser compreendido com clareza pelos alunos 
a fim de que eles possam ser apresentados, 
sem sobressaltos, às funções trigonométricas. 
Uma das possibilidades para a introdução do 
modelo consiste em associar o movimento do 
ponto que gira em torno da circunferência a 
algum fenômeno periódico de fácil identifica-
ção, como, por exemplo, o movimento apa-
rente do Sol durante a passagem dos dias. 
Essa foi a associação escolhida para a pro-
posição da Situação de Aprendizagem 2, cuja 
realização, espera-se, permitirá que o aluno, 
por um lado, relacione as razões trigonomé-
tricas do triângulo retângulo às medidas das 
projeções do ponto sobre os eixos coordena-
dos, e, por outro, que perceba a possibilidade 
de esboçar situações reais por meio de equa-
ções que envolvam senos ou cossenos. Ainda 
nessa Situação de Aprendizagem, destacamos 
a importância de os alunos navegarem com de-
senvoltura pela circunferência trigonométrica, 
ao identificarem extremidades finais de arcos 
com medidas entre 0º e 360º, exprimindo-as 
inicialmente em graus e, posteriormente, em 
8
y = cosx e também que avaliem as transfor-
mações sofridas pelos gráficos com a inclusão 
de constantes nas equações. Em outras pala-
vras, após a aplicação da atividade, espera-se 
que os alunos identifiquem as principais ca-
racterísticas dos gráficos de funções do tipo 
y = C + Asenbx ou y = C + Acosbx.
A resolução de equações do tipo sen(ax) = m 
ou cos(bx) = n é um procedimento que pressu-
põe os conhecimentos construídos nesta etapa 
de estudo. A importância dos conceitos trigo-
nométricos justifica a sua abordagem em di-
ferentes contextos, com distintos significados. 
Alguns desses contextos foram adotados na 
elaboração da Situação de Aprendizagem 4, 
na qual os alunos vão entrar em contato com 
situações reais que implicam a resolução de 
equações trigonométricas.
Para uma determinada função f(x), pode 
ou não ser possível estabelecer a relação 
f(x + b) = f(x) + f(b). As funções de 1o grau, por 
exemplo, obedecem a essa relação, enquanto as 
de 2o grau, não. Nas funções trigonométricas, 
especialmente, essa relação não pode ser apli-
cada, embora os alunos normalmente a façam. 
Dessa forma, é necessário dedicar
períodos de 
aula para a apresentação do cálculo de senos e/
ou de cossenos de soma de arcos, o que fica a 
cargo do professor definir a escala que julgar 
adequada à condução dessa atividade. 
Na Situação de Aprendizagem 5 – matri-
zes: diferentes significados, abordamos quatro 
aspectos que destacam importantes signifi-
cados associados à armazenagem de dados 
radianos e que, além disso, associem arcos de 
medidas maiores que 360º aos congruentes na 
primeira determinação positiva.
Uma das formas de tratamento dos con-
teúdos da Trigonometria, normalmente ado-
tada, envolve a apresentação dos gráficos das 
funções y = senx e y = cosx apenas após o es-
tudo das equações, inequações e das relações 
entre as funções. Entendemos que essa manei-
ra de conduzir o estudo restringe a possibili-
dade de agregar significados conceituais, uma 
vez que as equações e as inequações são apre-
sentadas e resolvidas de forma descontextuali-
zada, não associadas a grandezas de natureza 
conhecida dos alunos. A proposta de realizar 
o estudo das funções concomitantemente ao 
dos demais conceitos permite associações 
explícitas entre a periodicidade observada e 
o modelo matemático escolhido, de maneira 
que o estudo pode desenvolver-se sobre con-
textos significativos para os alunos. Por isso, 
já na Situação de Aprendizagem 2 propomos 
que, simultaneamente à apresentação do seno 
e do cosseno de arcos medidos sobre a cir-
cunferência trigonométrica, os alunos sejam 
convidados a construir os gráficos cartesianos 
das funções y = senx e y = cosx. Não se trata, 
porém, de se deter em demasia sobre a aná-
lise dos gráficos neste momento, visto que o 
objetivo principal é que os alunos percebam 
que o formato da “onda” desenhada reflete a 
periodicidade de diversos fenômenos.
A Situação de Aprendizagem 3 vai per-
mitir aos alunos que reconheçam as caracte-
rísticas dos gráficos das funções y = senx e 
9
Matemática – 2ª série – Volume 1
em um quadro de dupla entrada. O primeiro 
aspecto, apresentado na Atividade 1, enfoca 
uma clássica e reconhecida dificuldade dos 
alunos em calcular e associar significado ao 
produto de duas matrizes. Sugerimos que as 
situações-problema propostas sejam apresen-
tadas aos alunos sem qualquer comentário 
anterior sobre como calcular o produto de 
duas matrizes, e que, ao final, as conclusões 
sobre os resultados obtidos sejam utilizadas 
para a introdução do conceito. Ainda sobre 
esta atividade, chamamos a atenção do pro-
fessor para as Atividades 1 e 2, em que abor-
damos a translação de polígonos representa-
dos no plano cartesiano por meio de adições 
entre matrizes, atribuindo, dessa maneira, um 
significado pouco usual à representação e às 
operações matriciais. 
Por fim, nessa Situação de Aprendizagem 
apresentamos a ideia de que cada elemento 
de uma matriz pode revelar explicitamente a 
frequência de um evento, ao mesmo tempo 
que pode, implicitamente, revelar a frequência 
de outro evento, complementar ao primeiro. 
Trata-se das chamadas “matrizes de compen-
sação”, que também podem ser apresentadas 
aos alunos como uma situação-problema, sem 
necessidade de qualquer discussão conceitual 
anterior sobre o tema. 
Na Atividade 3 da Situação de Aprendiza-
gem 5 os alunos poderão tomar contato com o 
conceito de pixel, associando a ideia de matriz 
à da imagem fotografada em uma máquina 
digital. Com intuito de valorizar a exploração 
desse aspecto, sugerimos que os alunos sejam 
estimulados a pesquisar como se formam as 
imagens nos aparelhos de televisão digital 
para ampliar a rede de significados associados 
às matrizes.
A Situação de Aprendizagem 5 encerra-
-se com a Atividade 4, na qual ampliamos o 
significado dos pixels, discutido na atividade 
anterior, ao propor a representação de figuras 
planas obtidas a partir da composição de re-
giões identificadas por comandos matriciais.
A Situação de Aprendizagem 6 aborda a 
possibilidade de as matrizes serem utilizadas 
para codificar sequências de ligações entre pon-
tos do plano com o objetivo de formar deter-
minada imagem. De fato, tal atividade é uma 
adaptação da importante Teoria de Grafos, 
com a qual muitos alunos se defrontarão na 
continuidade dos estudos. A experiência de 
aplicação costuma gerar enorme envolvimen-
to dos alunos na criação de desenhos e de di-
ferentes codificações. Assim, sugerimos que o 
professor destine atenção especial à Atividade 3, 
na qual os alunos são convidados a criar seus 
próprios desenhos. 
A transformação da linguagem cotidia-
na para a linguagem matemática é realizada, 
na maioria das vezes, por intermédio de uma 
equação. Uma situação-problema que pode 
ser resolvida com cálculo mental não exige 
que equações sejam escritas, e não se trata, de 
forma alguma, de priorizar o cálculo mental 
em detrimento do cálculo algébrico. No en-
tanto, são inúmeras as situações-problema em 
que se evidencia a necessidade de escrever e 
10
resolver equações, e não podemos deixar de 
apresentar aos alunos exemplos dessa nature-
za, associados, sempre que possível, a contex-
tos significativos. Na Situação de Aprendiza-
gem 7 são apresentadas várias propostas de 
problemas contextualizados em que equações 
e sistemas lineares convertem-se em importan-
tes ferramentas na busca da solução desejada. 
No entanto, chamamos a atenção do profes-
sor para que situações semelhantes não sejam 
propostas apenas no final do curso, em um 
único bloco, e sim que possam, todo o tempo 
permear a gradativa construção conceitual.
Devemos avaliar com cuidado a importância 
do cálculo dos determinantes associados às ma-
trizes quadradas, no contexto da resolução de 
sistemas lineares. Sabemos que, com frequência, 
os determinantes são utilizados como ferramen-
ta quase única para a resolução e a discussão 
de sistemas lineares por intermédio da regra de 
Cramer. Ressaltamos que a aplicação de regras 
de cálculo, que exigem dos alunos apenas a mo-
bilização da habilidade de memorização, não 
podem ser priorizadas em detrimento de outras 
condutas e outros procedimentos que permitem 
aos alunos exercitarem toda a diversidade de 
estratégias de raciocínio. Nesse sentido, chama-
mos a atenção do professor para que a resolução 
e a discussão de sistemas lineares por intermédio 
do escalonamento sejam, se não o único procedi-
mento apresentado, aquele que priorize a apre-
sentação conceitual. Tais princípios nortearam 
a elaboração da Situação de Aprendizagem 8, 
em que diversos sistemas lineares são apresenta-
dos para que sejam resolvidos e discutidos.
A organização dos conteúdos do Caderno, 
com base nas considerações anteriores, pode 
ser feita nas 16 unidades estabelecidas a seguir. 
Unidade 1 – Reconhecimento e registro da periodicidade.
Unidade 2 – O modelo da circunferência trigonométrica com as medições de senos e de 
cossenos de arcos de 0º a 360º; arcos congruentes; arcos notáveis e simetrias na 
circunferência.
Unidade 3 – Funções trigonométricas: os gráficos das funções y = senx e y = cosx; graus e 
radianos; senos e cossenos de arcos medidos em radianos.
Unidade 4 – Equações e inequações do tipo senx = m ou cosx = k.
Unidade 5 – Funções trigonométricas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou 
y =
C + AcosBx.
Unidade 6 – Equações e inequações do tipo C + AsenBx = m ou C + AcosBx = k.
Quadro geral de conteúdos do volume 1 da 2a série do Ensino Médio
11
Matemática – 2ª série – Volume 1
Unidade 7 – Funções trigonométricas: tangente e cotangente na circunferência. Gráficos de 
y = tgx e de y = cotgx. Equações do tipo tgx = m ou cotgx = k.
Unidade 8 – Adição de arcos e algumas relações entre as funções trigonométricas.
Unidade 9 – Matrizes: apresentação, tipos, igualdade e operações: adição, subtração e mul-
tiplicação por uma constante.
Unidade 10 – Matrizes: diferentes significados; multiplicação entre duas matrizes.
Unidade 11 – Matrizes: operações e equações matriciais.
Unidade 12 – Determinantes: um número associado a uma matriz quadrada; Método de Sarrus.
Unidade 13 – Sistemas lineares: resolução por escalonamento.
Unidade 14 – Sistemas lineares: resolução por escalonamento.
Unidade 15 – Sistemas lineares: discussão de parâmetros.
Unidade 16 – Problemas resolvíveis por intermédio de sistemas lineares.
12
SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 
O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 1
Funções são maneiras que encontramos 
para apresentar a dependência entre grande-
zas. No Ensino Médio, o eixo de conteúdos 
que engloba números e funções é um dos mais 
importantes e amplia, sobremaneira, os estu-
dos realizados nas etapas anteriores da escola-
ridade dos alunos. Com base nessa premissa, 
vale refletir sobre quais são os tipos de funções 
estudados no Ensino Médio, além de identifi-
car os significados que normalmente lhes são 
associados. 
O primeiro grupo de funções com o qual os 
alunos tomam contato no Ensino Médio é o das 
funções polinomiais. Ao começar pelas funções 
polinomiais de 1o grau, o estudo prossegue, ain-
da nas séries iniciais, com as funções polinomiais 
do 2o grau, para, ao fim da 3a série do Ensino 
Médio, complementar-se com a apresentação 
das funções polinomiais de grau qualquer. Há 
uma grande variedade de situações possíveis de 
serem modeladas com funções polinomiais de 
diferentes graus. É comum, no início do traba-
lho com funções, a proposição de situações aos 
alunos que exijam, por exemplo, a análise de 
como o preço da corrida de táxi depende da qui-
lometragem, ou da verificação de que a quan-
tidade de calor que um corpo absorve ocorre 
em função do aumento de sua temperatura ou, 
ainda, o fato de que um corpo em queda livre 
aumenta cada vez mais a distância que percorre 
a cada segundo sucessivo.
Outro grupo de funções analisado no Ensi-
no Médio é aquele que discute o crescimento 
exponencial de uma grandeza em função da 
variação de outra. Nesse grupo, incluem-se, 
além das funções exponenciais propriamente 
ditas, as funções logarítmicas. Enquanto as 
funções exponenciais tratam dos processos 
de crescimento ou decrescimento rápidos, as 
funções logarítmicas modelam fenômenos 
que crescem ou decrescem de modo mais len-
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos de funções periódicas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; 
representar a periodicidade identificada em situações-problema por intermédio de um gráfico 
cartesiano.
Sugestão de estratégias: resolução de situações-problema.
13
Matemática – 2ª série – Volume 1
to. Processos de crescimento populacional e 
também de acumulação financeira constituem 
contextos fecundos para a significação de fun-
ções desse grupo, e normalmente são apresen-
tados em diversos materiais didáticos. Além 
disso, os logaritmos e as exponenciais estão 
presentes ainda na determinação da intensi-
dade dos terremotos, no nível de intensidade 
sonora, e também no cálculo da capacidade 
de armazenagem de informação.
As funções trigonométricas, que constituem 
o terceiro grupo das funções estudadas no 
Ensino Médio, caracterizam-se por permitir 
a modelagem de fenômenos periódicos, isto é, 
fenômenos que se repetem e que mantêm as 
características de dependência entre as gran-
dezas envolvidas. A existência de uma gama 
de fenômenos dessa natureza contrasta com a 
baixa frequên cia com que as funções trigono-
métricas são contextualizadas nos materiais 
didáticos. Na maioria das vezes, o tratamento 
dado aos senos, cossenos e tangentes fica res-
trito ao cálculo de valores para arcos notáveis e 
seus côngruos, e para a relação algébrica entre 
estas funções, sem que a periodicidade, foco 
principal do estudo, seja analisada com a im-
portância merecida. 
Ao partir do princípio de que as funções 
constituem ferramenta fundamental na análise 
da dependência entre grandezas e considerando a 
importância que o grupo das funções trigonomé-
tricas desempenha nessa análise, propomos, neste 
Caderno, algumas Situações de Aprendizagem 
que priorizam, por um lado, o reconhecimento da 
periodicidade em uma série de fenômenos natu-
rais e, por outro, a possibilidade de que sentenças 
que envolvam senos, cossenos e tangentes possam 
ser utilizadas para expressar matematicamente a 
relação entre as grandezas envolvidas.
Para concluir, a maior motivação pelo estudo 
das funções trigonométricas deve ser o reconhe-
cimento de que elas são necessárias para a mo-
delagem de fenômenos periódicos. Nesse sentido, 
antes da apresentação dos conceitos os alunos 
precisam ser sensibilizados para a observação – 
real, virtual ou imaginativa – de uma série de ma-
nifestações naturais de caráter periódico. 
As etapas propostas a seguir para esta 
Situação de Aprendizagem têm por objetivo 
possibilitar aos alunos o reconhecimento da 
periodicidade em diferentes contextos, não 
exigindo, desse modo, nenhum conhecimento 
prévio acerca das funções trigonométricas.
O movimento aparente do Sol e o comprimento das sombras
O fenômeno periódico mais elementar que podemos observar é o movimento aparente do Sol, 
do nascente ao poente, durante a passagem dos dias do ano. O registro dessa periodicidade pode 
ser realizado por intermédio da medição do comprimento da sombra de uma estaca enfiada 
verticalmente no solo. Essa situação pode ter estimulado as pessoas a elaborar os primeiros ca-
lendários e a reconhecer as estações do ano. Vamos imaginar um experimento em que fôssemos 
medir o comprimento da sombra de uma estaca durante a passagem de determinado período 
14
1 Zênite: o ponto em que a vertical de um lugar encontra a esfera celeste acima do horizonte.
ta
m
an
ho
 d
a 
so
m
br
a 
(c
m
)
15
verão
(1o ano)
verão
(2o ano)
outono
(1o ano)
outono
(2o ano)
inverno
(1o ano)
inverno
(2o ano)
primavera
(1o ano)
primavera
(2o ano)
30
45
60
Gráfico do tamanho da sombra da estaca em função das estações do ano
Estações do ano
de tempo, como, por exemplo, dois anos. A figura a 
seguir ilustra aproximadamente essa situação.
Sabemos que o percurso do Sol durante o inverno 
é mais inclinado em relação à linha zenital1 do que o 
percurso similar realizado durante o verão. O com-
primento da sombra da estaca em um determinado 
horário do dia, ao meio-dia, por exemplo, varia du-
rante o ano desde um valor mínimo até um máximo, 
correspondendo às datas que marcam, respectiva-
mente, o início do inverno (21 de junho) e o do verão 
(22 de dezembro), denominados
solstícios. 
A proposta a ser feita aos alunos é a seguinte:
1. Imagine acompanhar o 
comprimento da sombra da 
estaca durante dois anos, e 
que tais comprimentos foram registrados 
em uma tabela. A tarefa agora será imagi-
nar como seria o formato de um gráfico que 
representasse o comprimento da sombra da 
estaca em função da passagem dos dias do 
ano, e desenhar aquilo que se imaginou para 
essa situação.
Professor, o aluno é orientado a desenhar 
um gráfico em espaço reservado no Cader-
no do Aluno, assumindo que o comprimento 
máximo da sombra é 60 cm, e que o compri-
mento mínimo é de 30 cm.
zênite
caminho do
Sol no inverno
caminho do
Sol no verão
VERÃO
sombra
mínima
(solstício 
de verão)
sombra máxi
ma
(solstício de i
nverno)
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
15
Matemática – 2ª série – Volume 1
A discussão sobre os resultados da atividade 
deverá servir para que os alunos reconheçam 
que a periodicidade pode ser traduzida por um 
gráfico cujo formato é, por enquanto, seme-
lhante a uma onda. Assim, estudar movimen-
tos periódicos pode significar estudar as ondas 
e as funções matemáticas a elas associadas.
A observação do gráfico desenhado pode 
ser acompanhada pela seguinte questão:
Como podemos traduzir este tipo de gráfico 
por meio de uma sentença matemática?
A busca da resposta a essa questão nor-
teará todo o estudo da Trigonometria. Es-
pera-se que as questões apresentadas nessa 
primeira atividade sejam desafiadoras aos 
alunos e motivadoras no estudo dos conceitos 
trigonométricos de forma que, no futuro, os 
alunos possam se envolver com um processo 
completo de modelagem de um fenômeno 
natural, conforme discutiremos na Situação 
de Aprendizagem 4.
O professor pode comentar com os alu-
nos que as “ondas” desenhadas são formas 
de gráficos que podem estar associadas tan-
to à função denominada seno como à função 
chamada cosseno. Além disso, tais funções 
estão respectivamente relacionadas com as 
razões trigonométricas seno ou cosseno que 
foram estudadas anteriormente.
O professor poderá aproveitar os gráficos 
desenhados pelos alunos para iniciar a identi-
ficação de conceitos importantes, associados à 
periodicidade da onda. Trata-se dos conceitos 
de período (ou comprimento de onda) e de ampli-
tude. O professor poderá solicitar a cada aluno 
que os identifique no gráfico que desenhou, 
como destacamos no exemplo a seguir.
Gráfico do tamanho da sombra da estaca em função das estações do ano
ta
m
an
ho
 d
a 
so
m
br
a 
(c
m
)
15
verão
(1o ano)
verão
(2o ano)
outono
(1o ano)
outono
(2o ano)
inverno
(1o ano)
inverno
(2o ano)
primavera
(1o ano)
primavera
(2o ano)
30
45
60
Período
1 ano
Amplitude
Estações do ano
16
Vale observar que todos os gráficos pro-
duzidos pelos alunos deverão ter o mesmo 
período de um ano, uma vez que registram a 
mudança das estações do ano. Assim, mais 
do que determinar um valor para a ampli-
tude e outro para o período, a importância 
do trabalho está no reconhecimento de que 
x
765432
A
P
10
1
2
3
4
y
–1
–1
– 2
– 3
– 4
– 2– 3– 4–5– 6–7
 Nesse gráfico aparecem em destaque dois 
conceitos importantes, associados a fenôme-
nos periódicos: a amplitude (A) e o período 
(P). Período é a distância horizontal entre dois 
picos sucessivos da “onda” e amplitude é a 
metade da distância vertical entre dois picos. 
No gráfico que você desenhou na atividade 
anterior, deve ser possível identificar o perío-
do e a amplitude, mesmo que ele não tenha o 
formato semelhante ao do gráfico apresenta-
do nesta atividade. Escreva a seguir o período 
e a amplitude do fenômeno que você registrou 
em seu gráfico. Em seguida, escreva o período 
e a amplitude do gráfico anterior.
 Amplitude do gráfico deste exercício:
 2 – (–2)
2
 = 
4
2
 = 2
 Período do gráfico deste exercício: 3,5 – 1,5 = 2
 Amplitude do gráfico anterior: 
 60 – 30
2
 = 15 cm
 Período do gráfico anterior: 1 ano
é possível associar parâmetros matemáticos 
para a descrição da periodicidade observa-
da nos fenômenos.
2. Observe o gráfico a seguir, em formato 
de onda, obtido pela observação de um 
fenômeno periódico.
17
Matemática – 2ª série – Volume 1
 Imagem (Função 1) = {y D IR | –3 ≤ y ≤ 3}
y
x
0 1
1
2
3
4
3 5 7–1–3
–3
–4
–5–7
–2
–1
FUNÇÃO 1
–6 –4 –2 2 4 6
 Imagem (Função 2) = {y D IR | y ≤ 4}
y
x
0 1
1
2
3
3 4 5 6 7–1–2–3
–3
–4
–4
–5
–5–6–7
–2
–1
FUNÇÃO 2
2
4
3. Imagem de uma função é o conjunto dos 
valores que a função assume, ou, em ou-
tras palavras, é o conjunto dos valores de y 
correspondentes aos valores de x. Observe 
a imagem de cada uma das seguintes fun-
ções representadas em seus gráficos.
18
 Qual é o conjunto imagem do gráfico re-
presentativo do comprimento da sombra 
que você desenhou anteriormente?
{y D IR | 30 ≤ y ≤ 60}
As sombras longas
4. Imagine agora se a mesma estaca fos-
se enfiada verticalmente no solo e a 
variação do comprimento da sombra 
fosse observada durante alguns dias. 
Quando o Sol nasce e lentamente vai se 
elevando no horizonte, o comprimen-
to da sombra da estaca, inicialmente 
muito grande, passa a diminuir até um 
valor mínimo, atingido, provavelmente, 
por volta do meio-dia. 
Comprimento da sombra diminuindo
No período da tarde a sombra da estaca 
muda de lado, e, à medida que o Sol inicia 
sua “descida”, o comprimento da sombra 
aumenta cada vez mais, até tornar-se nova-
mente muito grande e não poder mais ser 
medido.
Comprimento da sombra aumentado 
no sentido oposto ao inicial
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ri
al
19
Matemática – 2ª série – Volume 1
a) Haverá um valor máximo para o com-
primento da sombra? Por quê? 
Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que to-
cam o topo da estaca e produzem a sombra são paralelos ao 
solo onde está a estaca, tornando o comprimento da sombra 
muito extenso, o que impede sua medição.
b) Assuma que o comprimento da sombra é 
positivo pela manhã e negativo à tarde, e 
utilize o sistema de eixos seguinte para re-
presentar, em um gráfico, a variação do 
comprimento da sombra durante dois dias.
Professor, discuta com os alunos a construção deste gráfico e, 
após essa reflexão, utilize o exemplo sugerido a seguir.
c) O gráfico que você desenhou tem um 
"período". Qual é ele? 
Período: 24 horas
Assim, como dissemos inicialmente, as 
atividades que constituem esta Situação de 
Aprendizagem têm por objetivo introduzir 
a ideia de que é possível modelar matemati-
camente fenômenos periódicos com um tipo 
especial de função, denominadas funções 
trigonométricas, que serão estudadas a seguir. 
Caso o professor julgue apropriado deter-se 
um pouco mais na identificação do período 
e da imagem de uma função trigonométrica, 
sugerimos que peça a seus alunos que façam 
isso nos gráficos da atividade 5.
5. Escreva o período, a imagem e a
amplitude 
das funções representadas pelos gráficos 
seguintes:
Comprimento da sombra (m)
Hora do dia
0
1
–1
6h 18h 24h 30h 42h 48h12h 36h
20
a) 
y
x0 1
1
2
3
4
2 3 4 5 6 7
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7
Período = 2; Imagem = {y D IR | –1 ≤ y ≤ 1}; Amplitude = 1
b) y
x0 1
1
2
3
4
2 3 4 5 6 7
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
–5
–5
–6–7
Período = 4; Imagem = {y D IR | –4 ≤ y ≤ 4}; Amplitude = 4
21
Matemática – 2ª série – Volume 1
c) y
x
2
4
6
8
10 12 14
0
–2
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
–10
–10
–12–14 86420
 
Período = 2; Imagem = {y D IR | –3 ≤ y ≤ 3}; Amplitude = 3
6. Uma mola tem comprimento de 
40 cm e está com uma de suas extre-
midades presa ao teto (Figura 1). Na 
extremidade livre da mola é colocado 
um bloco de metal, de tal maneira que a mola 
estique até que seu comprimento total atinja 
60 cm (Figura 2). Se a mola for colocada a 
oscilar, seu comprimento variará entre um va-
lor máximo e um valor mínimo (Figura 3).
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ria
lFigura 1 Figura 2 Figura 3
40 cm 60 cm
20 cm
a) Desenhe um gráfico para representar a 
variação no comprimento da mola, em 
quatro oscilações, começando pelo mo-
mento em que a mola está com seu com-
primento mínimo. Lance os valores de 
comprimento no eixo vertical e coloque 
os valores de tempo no eixo horizontal, 
supondo que cada oscilação completa 
da mola demore dois segundos. 
C
o
m
pr
im
en
to
 d
a 
M
o
la
20
0,0s 2,0s0,5s 2,5s1,0s 3,0s1,5s 3,5s
40
60
4,0s
Tempo
22
b) Complete:
período: 2
amplitude: 20
7. Com base nas duas funções periódicas re-
presentadas a seguir, responda:
a) qual função tem o maior valor de período?
Função 1 (período 8)
b) qual função tem o maior valor de am-
plitude?
Função 2 (amplitude 2)
x
0 1
FUNÇÃO 2
1
2
3
4
2 3 5 7–1
–1
–3–5–7 4 6–6 –4 –2
–2
–3
FUNÇÃO 1
Completadas as etapas de reconhecimen-
to da periodicidade, construção dos gráficos, e 
identificação de alguns elementos importantes, 
encerra-se esta Situação de Aprendizagem. Ao 
dar sequência aos objetivos traçados para todo 
o Caderno, a próxima Situação de Aprendiza-
gem vai apresentar aos alunos o modelo mate-
mático que permitirá estudar a periodicidade. 
Trata-se da circunferência trigonométrica e das 
medidas das projeções sobre os sistemas de eixos 
coordenados. Acreditamos que a compreensão 
das características dos arcos e dos valores de 
suas funções trigonométricas, que os alunos vão 
encontrar a partir da circunferência trigonomé-
trica, tornar-se-á eficaz quando for cumprida 
com qualidade a etapa de reconhecimento da 
periodicidade, que ora se encerra.
Considerações sobre a avaliação
Esta Situação de Aprendizagem tem dois 
objetivos principais. O primeiro diz respeito à 
sensibilização dos alunos quanto à observa-
ção de fenômenos periódicos próximos de sua 
realidade; o segundo refere-se à possibilidade 
de que fenômenos periódicos sejam represen-
tados por gráficos cartesianos que possuem, 
em muitos casos, o formato de uma onda.
Com relação à avaliação, sugerimos que 
o professor considere a realização das ativi-
dades de construção dos gráficos e de reco-
nhecimento de períodos e amplitudes, evi-
denciando principalmente a organização da 
tarefa apresentada.
23
Matemática – 2ª série – Volume 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 
A PERIODICIDADE E O MODELO DA 
CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
Conteúdos e temas: fenômenos periódicos; gráficos cartesianos das funções y = senx e y = cosx; 
medidas de arcos em radianos; correspondência entre radianos e graus; arcos congruentes e 
menor determinação positiva; equações trigonométricas; inequações trigonométricas.
Competências e habilidades: reconhecer a periodicidade presente em alguns fenômenos naturais; 
representar graficamente fenômenos periódicos por meio de gráficos cartesianos; identificar as 
simetrias presentes na circunferência trigonométrica, utilizando-as para a resolução de situa-
ções-problema; localizar na circunferência trigonométrica a extremidade final de arcos dados em 
graus ou em radianos; resolver equações trigonométricas simples.
Sugestão de estratégias: resolução de situações-problema contextualizadas.
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 2
Nesta Situação de Aprendizagem continua-
remos a explorar a ideia do reconhecimento da 
periodicidade de alguns fenômenos e a possibi-
lidade de representá-los graficamente. A dife-
rença, em relação à Situação de Aprendizagem 
anterior, é que agora serão introduzidos os ele-
mentos matemáticos que permitirão o estudo 
completo da periodicidade. Para tanto, vamos 
propor uma espécie de transposição dos expe-
rimentos de pensamento realizados nas ativi-
dades anteriores, com o objetivo de fazer que 
os alunos visualizem mais claramente o mode-
lo da “onda” como uma das formas possíveis 
para a representação cartesiana desejada. 
A periodicidade de determinado fenôme-
no pode ser associada ao movimento de um 
ponto girando sobre uma circunferência. As 
medidas das projeções desse ponto sobre de-
terminados eixos são, como sabemos, valores 
de funções trigonométricas associados a arcos 
percorridos pelo ponto. É preciso, em nossa 
avaliação, que os alunos compreendam clara-
mente os motivos pelos quais apresentamos 
a eles a circunferência trigonométrica. Isso 
pode ser conseguido se valorizarmos o reco-
nhecimento da periodicidade, em detrimento 
da justificativa de podermos calcular senos 
e cossenos de ângulos maiores do que 180º. 
Afinal, a obtenção de valores de funções tri-
gonométricas para ângulos maiores do que 
180º, mais do que ter aplicações na resolução 
de triângulos não retângulos, é uma das exi-
gências do estudo da periodicidade. 
Por essa razão, propomos nesta Situação 
de Aprendizagem um processo de construção 
do modelo da circunferência trigonométrica 
que parte da necessidade de sua criação, por 
conta do reconhecimento da periodicida-
de, e que prossegue para a identificação das 
24
simetrias e das características mais impor-
tantes das funções seno e cosseno de arcos de 
quaisquer medidas.
O modelo do ponto girando em torno de 
uma circunferência centrada na origem do 
sistema cartesiano e a observação das proje-
ções desse ponto sobre os eixos, como sabe-
mos, constitui a base do estudo das funções 
trigonométricas seno e cosseno. A fim de que 
os alunos estabeleçam uma aproximação en-
tre a Matemática e o cotidiano, no nível em 
que se encontram, pode-se apresentar a eles 
uma alegoria que faz referência à ideia de 
acompanhar o comprimento da sombra de 
uma estaca vertical, discutido anteriormente, 
e o modelo da circunferência, conforme des-
crito a seguir.
Construindo o modelo
Retomando o experimento realizado na Si-
tuação de Aprendizagem anterior, vamos 
agora fazer a sobreposição de um sistema 
O comprimento da
sombra é mínimo
no solstício de verão.
O comprimento da
sombra é máximo
no solstício de inverno.
O comprimento
da
sombra nos equinócios
é considerado nulo.
F
ai
xa
 d
e 
va
ri
aç
ão
 d
o
co
m
pr
im
en
to
 d
a 
so
m
br
a
zênite
VERÃO
Fa
ixa
 de
 va
ria
ção
 do
co
mp
rim
en
to 
da
 so
mb
ra caminho do
Sol no inverno
caminho do
Sol no verão
sombra
mínima
(solstício 
de verão)
(solstício de i
nverno)
sombra máxim
a
Extrem
idade final do 
com
prim
ento da som
bra 
nos equinócios
1 Equinócio é o nome que se dá ao dia que marca o início da primavera ou ao dia que marca o início do outono. 
Segundo o dicionário Houaiss, equinócio refere-se ao momento em que o Sol, em seu movimento anual aparente, 
corta o equador celeste, fazendo com que o dia e a noite tenham igual duração. (Instituto Antônio Houaiss).
de eixos cartesianos sobre a linha em que a 
sombra da estaca “caminha”, de maneira 
que a origem do sistema coincida com a ex-
tremidade final do comprimento da sombra 
nos equinócios.1
Em seguida, a fim de acompanhar a 
evolução do comprimento da sombra de 
um solstício a outro, pode-se associar o 
movimento do Sol ao movimento de um 
ponto sobre uma circunferência centra-
da no sistema de eixos cartesianos, de 
maneira que o comprimento da sombra 
seja definido pela distância entre a ori-
gem e a projeção do ponto sobre o eixo 
vertical.
©
 C
on
ex
ão
 E
di
to
ria
l
25
Matemática – 2ª série – Volume 1
Comprimento 
da sombra em 
um dia entre o 
equinócio de 
outono e o 
solstício de 
inverno
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Comprimento 
da sombra no 
solstício de 
inverno
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Comprimento 
nulo da sombra 
no equinócio
de primavera
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Comprimento 
da sombra em 
um dia entre o 
equinócio de 
primavera e o 
solstício de 
verão
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Compri-
mento da 
sombra no 
solstício de 
verão
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Comprimento 
da sombra em 
um dia entre 
o solstício de 
verão e o 
 equinócio de 
 outono
Sentido do 
movimento 
aparente do Sol
Assim, uma volta completa do Sol em 
torno da circunferência corresponderá ao 
período de um ano e, desenhando uma 
escala sobre o eixo vertical, será possível 
associar ângulos de giro do Sol a medidas 
de segmentos. Veja como podemos imple-
mentar uma escala simplificada no eixo 
vertical, medida em frações do raio de cir-
cunferência (R):
–R
R
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
26
1. Imagine uma volta comple-
ta do Sol sobre a circunferên-
cia. Preencha a tabela seguin-
te associando o ângulo de elevação do 
Sol (`) em relação ao eixo horizontal 
com a medida aproximada da projeção 
no eixo vertical. Se achar necessário, uti-
lize um transferidor. 
Ângulo (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Projeção 
(kR)
0 0,5 0,7 0,9 1,0 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1,0 –0,9 –0,7 –0,5 0
A segunda linha dessa tabela contém os va-
lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-
tado e dividido em frações de raio, isto é, um 
número real (k) entre –1 e +1, multiplicado 
pela medida do raio (R).
Chamamos a atenção do professor para o fato 
de que os ângulos notáveis, 30º, 45º e 60º, não pre-
cisam ainda ser assinalados com precisão na cir-
cunferência, mas será importante que os alunos 
percebam especialmente os seguintes aspectos:
 f as medidas das projeções verticais serão 
escritas em frações de raio, como, por 
exemplo, 0,5 R ou 0,85 R.
 f os valores das medidas das projeções 
serão aproximados a décimos. Assim, 
para 45º os alunos vão poder registrar o 
valor correspondente de 0,7, e para 60º, 
o valor de 0,9.
 f a medida do ângulo não é diretamen-
te proporcional à medida da projeção, 
como alguns alunos poderiam supor. 
A fim de esclarecer, basta chamar a 
atenção para o fato de que a projeção 
para 60º não mede o dobro da proje-
ção para 30º.
 f há ângulos que permitem medidas 
iguais para a projeção vertical, como, 
por exemplo, 30º e 150º, ou 45º e 135º, e 
o professor, ao destacar tal fato, estará 
inserindo a caracterização das simetrias 
na circunferência, como se pode perce-
ber nos desenhos a seguir:
–R
R
0,75R
0,5R
`
0,25R
–0,25R
–0,75R
–0,5R
60º
30º
45º90º
27
Matemática – 2ª série – Volume 1
2. Há ângulos que permitem medidas iguais 
para a projeção vertical, como se pode per-
ceber pelas figuras seguintes:
0,75R
`
30º
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R
–R
R
0,25R
_
45º
–0,25R
–0,75R
–0,5R
0,5R
0,75R
–R
R
0,25R
 Quais são as medidas dos ângulos _ e `?
_ = 135o e ` = 150o
 f há pares de ângulos que permitem me-
didas simétricas para os valores da pro-
jeção vertical, como, por exemplo, 30º e 
330º, ou 60º e 300º.
3. Há pares de ângulos que permitem medi-
das simétricas para os valores da projeção 
horizontal, como se pode perceber pelas 
figuras seguintes.
 Quais são as medidas dos ângulos _ e `?
_ = 300o e ` = 330o
Salientamos ainda a importância de que 
os alunos reconheçam a simetria das proje-
ções apresentadas por determinados pares de 
ângulos, pois esse ponto, mais adiante, será 
fundamental na resolução de equações e de 
inequações trigonométricas.
Preenchida a tabela, o professor pode soli-
citar que os alunos representem a dependên-
cia entre as variáveis da tabela por meio de 
um gráfico cartesiano.
`
–0,5R
0,5R
0,75R
30º0,25R
–0,25R
–0,75R
–R
R
R
_
0,5R
60º
–0,75R
–0,25R
–0,5R
0,75R
0,25R
–R
28
4. Adotando a escala de 1 unidade de malha 
equivalente a 15o para a representação de 
valores no eixo horizontal, e de 10 uni-
dades de malha equivalentes a 1R para 
a representação de valores no eixo verti-
cal, desenhe no sistema de eixos a seguir 
o gráfico da projeção vertical em função 
da medida do ângulo de acordo com os 
valores da tabela que você preencheu na 
atividade 1.
 O gráfico a seguir é apenas uma possibilidade, já que as es-
calas podem variar. No entanto, o professor deve salientar o 
fato de o gráfico apresentar o formato de uma onda, agora 
mais preciso do que aquele que os alunos idealizaram na Si-
tuação de Aprendizagem anterior para a variação do compri-
mento da sombra com o passar dos dias do ano.
A construção e a análise do gráfico permi-
tirá que os alunos identifiquem o formato da 
onda, confrontando-a com as formas por eles 
obtidas nos gráficos desenhados na Situação 
de Aprendizagem 1.
Reconhecida a periodicidade envolvida na ob-
tenção da medida da projeção vertical, o profes-
sor pode solicitar que seus alunos reproduzam, de 
forma semelhante, a representação da evolução 
da medida da projeção no eixo horizontal, de 
acordo com o ângulo de elevação do Sol.
y
x
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
R
60º 120º 180º 240º 300º 360º
0
29
Matemática – 2ª série – Volume 1
5. Complete a tabela seguinte as-
sociando a medida do ângulo de 
elevação do Sol com a medida da 
projeção sobre o eixo horizontal. Em se-
guida, desenhe um gráfico cartesiano para 
representar os dados
tabelados. Escolha a 
escala que julgar mais adequada para cada 
um dos eixos cartesianos.
Ângulo (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Projeção 
(kR)
1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
A segunda linha dessa tabela contém os va-
lores da projeção do ponto sobre o eixo orien-
tado e dividido em frações de raio, isto é, um 
número real (m) entre –1 e +1, multiplicado 
pela medida do raio (R).
O gráfico a seguir é apenas uma possibilidade, já que as escalas 
podem variar. O professor pode discutir com seus alunos sobre 
as diferenças e as semelhanças entre os gráficos das duas pro-
jeções, horizontal e vertical, não deixando de salientar o fato 
de que os gráficos são idênticos, se considerarmos a “defasa-
gem de 90o” de um para o outro.
–R R
0,75R
0,5R
0,25R–0,25R
–0,5R
–0,75R
y
x
0,75R
0,5R
0,25R
–0,25R
–0,5R
–0,75R
–R
R
60º 120º 180º 240º 300º 360º
0
30
6. Há pares de ângulos que alternam os valores 
das medidas das projeções horizontal e vertical, 
como é o caso, por exemplo, da projeção verti-
cal do ângulo de 60o, que é igual à medida da 
projeção horizontal do ângulo de 30o. Encon-
tre mais um par de valores nessas condições.
Por exemplo: 210o e 240o
7. Há ângulos que apresentam valores iguais 
para projeções horizontal e vertical, como é o 
caso, por exemplo, do ângulo de 45º. Encon-
tre dois valores de ângulos nessas condições.
Por exemplo: 45o e 225o
t�não existe ângulo que apresente, simultaneamente, medidas 
nulas para as duas projeções. 
t�o formato de onda apresentado no gráfico é de mesma nature-
za da onda desenhada na atividade anterior.
Os gráficos das funções 
y = senx e y = cosx
Identificada a correspondên-
cia que a periodicidade provoca entre a me-
dida do segmento, horizontal ou vertical, e 
o ângulo de giro do ponto sobre a circunfe-
rência, o passo seguinte pode ser desenhar, 
em escala, o modelo apresentado, com o 
objetivo de construir o gráfico cartesiano 
das funções trigonométricas seno e cosseno. 
Vale notar que, até então, a medida do seg-
mento sobre o eixo vertical não foi denomi-
nada seno, pois, para que isso possa ser feito 
com significado, será importante relacionar 
o conhecimento anterior dos alunos sobre 
as razões trigonométricas no triângulo re-
tângulo com o modelo que ora lhes é apre-
sentado, o que pode ser feito neste momen-
to, antecedendo à construção efetiva dos 
gráficos, da seguinte forma:
8. Observe como as razões trigonométri-
cas seno e cosseno podem ser associadas 
ao ângulo de giro de um ponto sobre a 
circunferência.
Raio (R)
Medida da projeção 
vertical
Medida da projeção 
horizontal
mR
kR
Fração do 
 raio (kR)
Fração do raio (mR)
�
�
�
�
��
�
�
sen _ = kRR = k cos _ = 
mR
R = m
Antes de continuar, será importante re-
tomar os valores do seno e do cosseno de 
alguns ângulos, chamados ângulos notáveis: 
São eles: 30º, 45º e 60º.
31
Matemática – 2ª série – Volume 1
 f Para cada item a seguir, calcule o valor 
de x em função de m (Sugestão: utilize o 
Teorema de Pitágoras). 
 f Em seguida, utilizando os valores en-
contrados, calcule o seno e o cosseno 
dos ângulos notáveis.
a) Ângulo de 45º
sen 45º = 
m
m u� 2 2 
 = 
1
2
 = 
2
2
cos 45º = 
m
m u� 2 2 
 = 
1
2
 = 
2
2
m
m
45º
m. √ 
__
 2 
b) e c) Ângulos de 30º e de 60º
sen 60º = 
m u� 3
2
m
 =
 
3
2
cos 60º = 
 
m
2
m
 =
 
1
2
sen 30º =
 
m
2
m
 =
 
1
2
cos 30º = 
m 3
2
m
 =
 
3
2
m
m
m
2
m
2
60º 60º
30º
m √ 
__
 3 
2
Discutida a igualdade entre a medida do 
segmento projetado no eixo vertical e o valor 
do seno do ângulo de giro, e a medida do seg-
mento projetado no eixo horizontal e o cosseno 
do ângulo de giro convém, em seguida, deno-
minar circunferência trigonométrica o sistema 
formado pelo conjunto circunferência-sistema 
de eixos cartesianos. Feito isso, com o objetivo 
de reunir todas as informações anteriores, o 
professor pode pedir que os alunos desenhem 
uma circunferência trigonométrica, para que 
os valores de senos e cossenos dos ângulos no-
táveis e também dos ângulos que dividem os 
quadrantes sejam associados aos valores apro-
ximados, utilizados anteriormente. Toda essa 
etapa pode ser proposta da seguinte maneira:
32
9. Na malha quadriculada, desenhe uma cir-
cunferência trigonométrica de raio 10 uni-
dades e, em seguida, faça o que se pede. 
a) Adotando a escala 1:10 unidades, divi-
da os eixos cartesianos em subunidades, 
como, por exemplo, de 0,1 em 0,1.
b) Assinale sobre a circunferência a ex-
tremidade final dos arcos de 30º, 45º 
e 60º, bem como os simétricos em rela-
ção aos eixos nos demais quadrantes. 
Para essa tarefa, utilize compasso ou 
transferidor.
10. Desenhe os gráficos das funções y = senx e 
y = cosx em um mesmo sistema de eixos carte-
sianos. (Atenção à escala do eixo horizontal!)
Chamamos a atenção do professor para que a tabela des-
te exercício seja completada com os valores exatos dos 
senos e cossenos dos ângulos notáveis, em vez de aproxi-
mações, já utilizadas no momento de completar a tabela 
do exercício anterior. No entanto, será importante que os 
alunos associem os valores exatos a suas devidas aproxi-
mações no momento de assinalarem os senos e cossenos 
na circunferência trigonométrica que construírem.
c) Complete a tabela a seguir, relacionando 
todos os arcos assinalados às medidas 
de seus senos e cossenos, lembrando que 
 √ 
__
 2 
2
  0,7 e que √ 
__
 3 
2
 �0,87.
Ângulo (°) 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 270 300 315 330 360
Seno 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0 − 0,5 − 0,7 − 0,9 − 1 − 0,9 − 0,7 − 0,5 0
Cosseno 1 0,9 0,7 0,5 0 − 0,5 − 0,7 − 0,9 − 1 − 0,9 − 0,7 − 0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
– 0.1
– 0 .1
– 0.2
– 0.3
– 0.4
– 0.5
– 0.6
– 0.7
– 0.8
– 0.9
– 1.0
– 0.2– 0.3– 0.4– 0.5– 0.6– 0.7– 0.8– 0.9– 1.0
y
x
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1 . 0
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
90o
360o
0o
270o
180o
135o
225o
210o
240o
150o
120o 60o
45o
30o
330o
300o
315o
33
Matemática – 2ª série – Volume 1
11. Complete:
a) sen135o = 2
2
b) cos90o = 0
c) sen180o = 0 
d) sen120o = 3
2
e) sen300o = − 3
2
 
f) cos210o = − 3
2
 
12. É verdade que:
a) o seno de 100o é negativo?
Não
b) o cosseno de 350o é positivo?
Sim
c) o seno de 75o é maior que o seno de 60o?
Sim
d) o cosseno de 125o é maior do que o cos-
seno de 100o?
Não
y
x
y = senx
y = cosx
1
 3 
2
1
2
60º 120º 180º 240º 300º 360º0
–1
– 2 2 
– 1
2
Ressaltamos mais uma vez o fato de que não 
se trata ainda de aprofundar o estudo dos gráfi-
cos das funções trigonométricas, aspecto esse que 
será explorado na próxima Situação de Aprendi-
zagem, quando os alunos tiverem contato com 
a identificação de arcos congruentes, quando já 
souberem calcular a menor determinação
positi-
va de qualquer ângulo de medida maior do que 
360º, quando conseguirem determinar a solução 
de algumas equações trigonométricas simples e, 
por fim, trabalharem com facilidade com medi-
das de ângulos expressas não apenas em graus, 
mas também em radianos.
Destacamos que, nesta primeira etapa, os arcos 
foram medidos em graus e não em radianos. Isso 
é aconselhável pelo fato do grau ser a unidade de 
medida de arco familiar aos alunos nesse momen-
to, uma vez que convivem com a ideia de ângulo 
de giro desde a 7a série/8o ano do Ensino Funda-
mental. No entanto, completada a primeira etapa, 
é aconselhável apresentar aos alunos a unidade 
radiano, bem como a relação de conversão entre 
as unidades de medida nesse caso. Para tanto, será 
necessário retomar alguns conceitos e apresentar 
outros, de maneira similar ao que se segue.
 2 
2
– 3 2 
34
O radiano
Um arco de circunferência pode ser medi-
do em graus e também em radiano (rad). Para 
apresentar os radianos a seus alunos, propo-
mos que o professor retome com eles o con-
teúdo, que, em princípio, deve fazer parte dos 
prévios conhecimentos deles:
13. Com base na figura, res-
ponda: 
a) Em uma circunferência, qual e a razão 
entre o comprimento e o diâmetro?
C
D
 = 3,14159... = /D
C
comprimento
diâmetro
 = /� 3,14159
b) Em uma circunferência, qual é a razão 
entre o comprimento e o raio?
comprimento
raio
 = 2/� 6,28318
A razão entre as medidas do compri-
mento e do diâmetro de qualquer cir-
cunferência resulta sempre no mesmo 
valor: o número irracional /  3,14 
14. “Um radiano é a medida de um arco de 
comprimento igual ao do raio da circunfe-
rência.” Observe a imagem a seguir e res-
ponda às questões:
3,14 RAD
1RAD
1RAD
1RAD
R Ro
a) Meia circunferência equivale a, aproxi-
madamente, quantos radianos?
Observando o desenho, meia circunferência equivale a, 
aproximadamente, 3,14 rad.
b) Quantos radianos mede um arco de se-
micircunferência? 
Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferên-
cia, como verificamos no item (a). A medida de meia circun-
ferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad. 
Com base nesses dados, o professor pode 
pedir a seus alunos que resolvam as seguin-
tes situações-problema, com o objetivo de que 
eles identifiquem com destreza arcos de medi-
das iguais a frações inteiras de / radianos.
35
Matemática – 2ª série – Volume 1
15. O arco AB representado na figura a seguir 
mede 1,5 rad, e as três circunferências têm 
centro no ponto O. 
o
A
B
D
F
C
E
 Quanto mede, em radianos, o arco:
a) CD?
b) EF?
Os arcos assinalados nas circunferências têm, em radianos, 
medidas iguais, visto que estão delimitadas por um único 
ângulo central. Assim, os arcos CD e EF medem, cada um, 
1,5 radiano.
16. Na circunferência da figura a seguir estão 
assinalados dois ângulos centrais: um de 
medida 60º e outro de medida 120º. 
N
M
Q
120°
0
P 60°
 Quanto mede, em radianos e no sentido in-
dicado, o arco:
a) MP
O arco MP mede aproximadamente 3,14 radianos, ou, preci-
samente, / radianos.
b) MQ?
O arco MQ é delimitado pelo ângulo central de 60o, que cor-
responde à terça parte de 180o. Assim, o arco MQ mede a 
terça parte de /, ou /
3
 radianos.
c) MN?
O arco MN é delimitado pelo ângulo central de 120°, que é igual 
ao dobro de 60o. Portanto, o arco MN mede 2/
3
 radianos.
17. A circunferência do desenho apresenta-se 
dividida em 8 partes iguais pelos pontos 
A, B, C, D, E, F, G e H. 
D
C
A
H
G
F
B
`
E
a) Quanto mede, em graus, o ângulo central ` ? 
b) Quanto mede, em radianos, no sentido 
indicado no desenho, cada um dos arcos 
AB, AC, AD, AF e AH?
Como a circunferência foi dividida em oito partes iguais, 
cada arco correspondente a uma parte mede 1
8
 de 2/ rad, 
isto é, mede /
4
 rad.
a) O ângulo central ` mede a oitava parte de 360o, isto é, 
mede 45o.
b) Os arcos medem:
AB = /
4
 rad AC = 2/
4
 = /
2 
rad
AD = 3/
4
 rad AF = 5/
4
 rad
AH = 7/
4
 rad
36
ção de radianos, o professor pode ajudá-los a 
estabelecer a relação entre 180º e / radianos 
para que sejam capazes, na atividade a seguir, 
de assinalar as extremidades finais dos arcos 
correspondentes aos valores notáveis e seus 
correspondentes nos demais quadrantes.
19. Considerando os giros no sentido anti-ho-
rário, assinale nas circunferências a medida 
em radianos do arco que tem extremidade 
inicial em O e extremidade final em cada 
ponto, de A a R.
F
G H
E
O45º
B
C D
A
O
30º
J
L M
I
60º O
18. Observe a circunferência do desenho a se-
guir. A medida do arco AB é igual à medi-
da do raio da circunferência. 
B
D
C A
r
r
Responda:
a) quantas vezes o arco AC é maior que o 
arco AB?
A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a 
medida do arco AB.
b) quantas vezes o arco AD é maior que o 
arco AB?
O arco AD mede 3/
2
 radianos, medida essa que é, aproxi-
madamente, 4,7 radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 
vezes maior que o arco AB.
c) quantos arcos de medida igual a AB po-
dem ser justapostos, são necessários para 
se completar uma volta da circunferência?
Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2/ rad, 
ou, aproximadamente, 6,28 rad. Assim, são necessários cerca 
de 6,28 arcos de medida igual à do arco AB para completar 
uma volta da circunferência.
Depois da resolução dessas atividades, em 
que os alunos tomaram contato com a defini-
37
Matemática – 2ª série – Volume 1
Ao completar a Situação de Aprendi-
zagem, após a apresentação dos senos e 
cossenos dos arcos notáveis e de seus cor-
respondentes nos demais quadrantes, o pro-
fessor pode pedir que seus alunos resolvam 
algumas equações trigonométricas, do tipo 
senx = k ou cosx = m, definidas em R e 
também em intervalos definidos, como, por 
exemplo, [0, 2/], [0,4/], [2/, 6/], etc. Para 
não ressaltar apenas o aspecto algébrico 
envolvido na resolução de equações dessa 
natureza, o professor pode pedir que os 
alunos também as resolvam graficamente, 
como, por exemplo, neste caso:
20. Observe o gráfico da função y = 
= senx, desenhado no intervalo 
[0, 4/]. Neste gráfico, estão assi-
nalados quatro valores de x, que são solu-
ções de equação senx = − 
1
2 
no intervalo 
considerado.
 Quais seriam as outras soluções dessa equação no caso dos intervalos a seguir:
b) [0, 8π]?
31/
6
 + 2/ = 43/
6
35/
6
 + 2/ = 47/
6
a) [0, 6π]?
19/
6
 + 2/ = 31/
6
23/
6
 + 2/ = 35/
6
P
Q R
N
36º O
A: /
6
 B: 5/
6
 C: 7/
6
D: 11/
6
 E: /
4
 F: 3/
4
G: 5/
4
 H: 7/
4
 I: /
3
J: 2/
3
 L: 4/
3
 M: 5/
3
 N: /
5
P: / − /
5
 = 4/
5
 Q: / + /
5
 = 6/
5
R: 2/ − /
5
 = 9/
5
x
y
�1,0
/ 2/ 3/ 4/
1,0
 1 __ 2 
� 1 __ 2 
0
 7π �
�
 11π �
�
 19π �
6
 23π �
6
38
21. Consultando o gráfico da atividade ante-
rior, encontre a solução de cada equação 
no intervalo [0, 4π]:
a) senx = 1
/
2
 e 5/
2
b) senx = 1
2
/
6
 , 5/
6
 ,
13/
6
 e 17/
6
c) senx = 3
2
/
3
 , 2/
3
 , 7/
3
 e 8/
3
d) senx = 0
0, /, 2/, 3/ e 4/
Apesar de não propormos nesta Situação 
de Aprendizagem que os alunos sejam apre-
sentados a arcos com extremidades finais 
negativas, produzidos com base de giros no 
sentido horário na circunferência trigonomé-
trica, julgamos importante que eles saibam 
da existência desses tipos de arcos e que, ao 
menos, desenhem uma circunferência e nela 
assinalem os arcos com extremidade final na 
primeira volta negativa.
Considerações sobre a avaliação
O modelo da circunferência trigonométrica 
precisa ser compreendido para que o estudo de 
conceitos relacionados a ela possa ser realiza-
do com qualidade. Ao fim desta Situação de 
Aprendizagem, é importante que o professor 
avalie se os alunos são capazes de:
 f identificar a posição da extremidade 
final de um arco medido em graus;
 f identificar a posição da extremidade fi-
nal de um arco medido em radianos;
 f converter para radianos uma medida de 
arco expressa em graus;
 f obter a menor determinação positiva de 
um arco qualquer;
 f reconhecer as diferenças e as semelhan-
ças entre os gráficos das funções y = senx 
e y = cosx;
 f resolver equações trigonométricas simples.
As diversas propostas de atividades apre-
sentadas neste Caderno podem servir de 
exemplo para a elaboração de questões a fim 
de avaliar os alunos. Nesse sentido, destaca-
mos a importância do professor priorizar 
questões de caráter conceitual, em detrimento 
daquelas que exigem passagens algébricas ou 
formalizações além do necessário. De qual-
quer maneira, será importante que todos os 
itens de conteúdo listados anteriormente se-
jam contemplados de alguma forma nas ava-
liações do período, sejam elas individuais ou 
em grupos, com consulta ou não etc.
Finalizada essa etapa de apresentação do 
modelo da circunferência trigonométrica e 
da construção dos gráficos das funções seno 
e cosseno, o passo a seguir, que será discu-
tido na próxima Situação de Aprendizagem, 
envolve a mobilização de todos esses conteú-
dos na representação da periodicidade de um 
fenômeno por meio de um gráfico cartesiano.
39
Matemática – 2ª série – Volume 1
Roteiro para aplicação da Situação 
de Aprendizagem 3
Fenômenos periódicos ocorrem regular-
mente mantendo suas características básicas, 
isto é, se repetem sempre da mesma maneira. 
Há uma enorme gama de fenômenos dessa 
natureza, e alguns deles serão analisados na 
Situação de Aprendizagem 4, que, assim como 
esta, tem como objetivo o estudo das funções 
matemáticas que modelam a periodicidade.
Um processo completo de modelagem 
de determinado fenômeno envolve a observação 
da ocorrência deste, a tomada de dados, que nor-
malmente exige a representação cartesiana dos 
dados obtidos, e, finalmente, exige a obtenção de 
uma sentença matemática que se ajusta aos da-
dos experimentais. Por consequência, a sentença 
obtida poderá ser aplicada a novas situações, que 
venham a ocorrer em condições semelhantes às 
observadas durante o experimento realizado.
Vários fenômenos periódicos podem ser 
modelados por intermédio de uma função 
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 
GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO 
SENOS E COSSENOS
trigonométrica cuja representação algébri-
ca é composta de senos e/ou cossenos. Para 
que seja possível aos alunos compreender 
em profundidade o significado da mode-
lação de um fenômeno por meio de uma 
sentença que envolva senos ou cossenos, 
é necessário que saibam, de um lado, de-
senhar gráficos de funções desse tipo com 
base em suas representações algébricas, e, 
de outro, que consigam escrever a sentença de 
um gráfico. Com esse objetivo, propomos, nes-
ta Situação de Aprendizagem, que os alunos 
construam os gráficos e reconheçam as pro-
priedades de funções do tipo y = C + AsenBx 
e y = C + AcosBx, comparando-as com as 
funções elementares y = senx e y = cosx, com 
que já tiveram contato anterior. Nesse percur-
so, poderão avaliar as transformações que as 
constantes A, B e C impõem aos gráficos das 
funções elementares.
Para compreender a importância do estudo 
que ora propomos, podemos analisar o processo 
que normalmente desenvolvemos ao apresentar 
as funções de 2º- grau para nossos alunos.
Conteúdos e temas: gráficos de funções do tipo y = C + AsenBx ou y = C + AcosBx; período 
e amplitude de uma função trigonométrica; gráficos de funções seno ou cosseno em depen-
dência com o tempo.
Competências e habilidades: construir o gráfico de uma função trigonométrica dada a equa-
ção que a representa; identificar alguns parâmetros importantes do modelo ondulatório para a 
descrição matemática de fenômenos periódicos; determinar a equação da função representada 
por um gráfico dado.
Sugestão de estratégias: construção de gráficos e identificação das constantes, avaliando 
significados; utilização de software auxiliar para a construção de gráficos.
40
O gráfico cartesiano que tem formato de 
uma parábola com o eixo de simetria na verti-
cal, como sabemos, é a representação de uma 
função do tipo y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. Ao 
observarmos uma sentença desse tipo, com co-
eficientes numéricos, identificamos se a concavi-
dade da parábola é voltada para cima ou para 
baixo, e somos capazes de avaliar se a parábola 
tem ou não raízes reais, e prevemos a posição do 
vértice da parábola. A partir daí, conseguimos 
não apenas dese nhar o gráfico da função, como 
também analisar todas suas propriedades (sime-
trias, imagem, domínio, sinal, etc.).
Assim como fazemos com as parábolas, iden-
tificando e significando os coeficientes da repre-
sentação algébrica da função e representando-a 
cartesianamente, também devemos ser capazes 
de fazer com os demais grupos de funções que 
estudamos no Ensino Médio, ou seja, relacionar 
a variação de seus coeficientes com as mudan-
ças gráficas correspondentes. Com as funções 
trigonométricas não poderia ser diferente, dada 
a enorme quantidade de situações contextuali-
zadas em que se detecta sua presença.
Discutiremos, nesta Situação de Aprendi-
zagem, apenas os gráficos das funções seno 
ou cosseno, deixando para segundo plano os 
gráficos das demais funções (tangente, cotan-
gente, secante e cossecante). Acreditamos que 
o professor, decerto, vai avaliar a pertinência 
de apresentar a seus alunos também os demais 
gráficos, dependendo das condições de sua tur-
ma e do tempo disponível.
A Situação de Aprendizagem será desen-
volvida sobre três percursos, que o professor 
poderá trilhar total ou parcialmente, a seu cri-
tério. No primeiro percurso, propomos a cons-
trução dos gráficos por meio de uma tabela de 
valores especialmente escolhidos. No segundo 
percurso, sugerimos que o professor utilize um 
 software de construção de gráficos para auxiliar a 
compreensão dos alunos e imprimir maior ve-
locidade às conclusões. Por fim, no terceiro per-
curso, sugerimos que o professor discuta com os 
alunos sobre gráficos trigonométricos em que o 
seno e o cosseno variam em função do tempo, 
isto é, gráficos expressos por sentenças do tipo 
y = C + A.senB.t, com t escrito em segundos, ou 
em minutos, ou em horas etc.
Construção do gráfico a partir de 
tabela de valores
Para motivar os alunos a se envolverem com 
a construção e análise de gráficos trigonomé-
tricos o professor pode discutir o fato de que o 
modelo ondulatório está presente na explicação 
de uma série de fenômenos próximos ao dia a 
dia dos alunos, como, por exemplo, as trans-
missões radiofônicas ou televisivas. Para tanto, 
o professor pode comentar que a frequência