A5 CADERNO DE QUESTÕES CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A UMA

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CADERNO DE QUESTÕES – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A UMA 
VARIÁVEL 
AULA TEÓRICA 05 
 
 
1. Calcule �( 3�� + 2� + 5)
� 
 
Resolução: aplicando as propriedades e regras de integração, temos: 
�( 3�� + 2� + 5)
� 
3��
3 +
2��
2 + 5� + 
 
�� + �� + 5� + 
 
 
 
2. Calcule �( cos(�) + sen(�))
� 
 
Resolução: aplicando as propriedades e regras de integração, temos: 
�( cos(�) + sen(�))
� 
sen(�) − cos(�) + 
 
 
 
3. Calcule �( �� + √�)
� 
 
Resolução: aplicando as propriedades e regras de integração, temos: 
�( �� + ��/�)
� 
�� + �
��
32
+ 
 
�� + 23 ��/� + 
 
 
 
 
 
4. Calcule � �(2�� + 1)�
��� 
 
Resolução: nesse caso precisamos realizar uma troca de variáveis para resolvermos 
essa integral. 
Fazendo a troca de 2�� + 1 = �. Derivando ambos os lados da equação, temos 
� (2�� + 1) =
� (�) 
4� = 
�
� 
4� ∗ 
� = 
� 
�
� = 
�4 
Analisando os limites de integração de � para �: 
 Se � = 1 então � = 2 ∗ (1)� + 1 = 3 
Se � = 2 então � = 2 ∗ (2)� + 1 = 9 
Finalmente, substituindo os resultados acima na integral original: 
� � ∗ (2�� + 1)�
�
�
�
 
� (2�� + 1)� ∗ �
�
�
�
 
� (�)� ∗ 
�4
!
�
 
Integrando 
1
4 ∗ "
�#
6 %�
!
 
1
4 ∗ "
9#
6 −
3#
6 % = 22,113 
 
 
 
 
 
 
 
5. Calcule � '��(
' 
 
Resolução: nesse caso precisamos utilizar a fórmula da integração por partes: 
� �
) = �) − � )
� 
Fazendo � = '� e 
) = �(
' então vamos obter 
� e ): 
' (�) =
' ('�) 
�
' = 2' 
� = 2'
' 
� 
) = � �(
' 
) = �( 
Finalmente, substituindo os resultados acima na fórmula da integral por partes: 
� �
) = �) − � )
� 
� '��(
' = '��( − � �(2'
' 
 = '��( − 2 � '�(
' (∗) 
A integral � '�(
' também deve ser feita via integração por partes, então iremos aplicar a 
fórmula uma segunda vez. Fazendo � = ' e 
) = �(
' então vamos obter 
� e ): 
' (�) =
' (') 
�
' = 1 
� = 
' 
� 
) = � �(
' 
) = �( 
Finalmente, substituindo os resultados acima na fórmula da integral por partes: 
� �
) = �) − � )
� 
� '�(
' = '�( − � �(
' 
= '�( − �( 
Esse resultado deve ser substituído na equação (∗) 
 = '��( − 2 � '�(
' (∗) 
= '��( − 2('�( − �() 
= �(('� − 2' + 2)