Apostila - Estatística - release7

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INSTITUTO POLITÉCNICOINSTITUTO POLITÉCNICOINSTITUTO POLITÉCNICOINSTITUTO POLITÉCNICO
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Apostila de Estatística
Prof. Jorge Bitencourt
MsC. em Engenharia Elétrica
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A NATUREZA DA ESTATÍSTICA
Panorama Histórico
 Todas as ciências têm suas raízes na história do homem.
 A matemática, que é considerada “a ciência que une à clareza do raciocínio a
síntese da linguagem”, originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter
prático, utilitário e empírico.
 A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante.
 Desde a antigüidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de
nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social, distribuíam
terras ao povo e cobravam impostos por processos que hoje chamaríamos de “estatísticas”.
 Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou
bélicas.
 A partir do século XVI começaram a surgir as primeiras análises sistemáticas de
fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e
tabelas e os primeiros números relativos.
 No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição
verdadeiramente científica. Godofredo Achenwall batizou a nova ciência de Estatística,
determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências.
 As tabelas tornaram-se mais complexas, surgiram as representações gráficas e o
cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados
numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo
(população), partindo da observação de partes desse todo (amostras).
 Atualmente o público leigo (leitor de jornais e revistas) posiciona-se em dois
extremos divergentes e igualmente errôneos quanto à validade das conclusões estatísticas:
ou crê em seus cálculos ou afirma que eles nada provam. Os que assim pensam ignoram os
objetivos, o campo e o rigor do método estatístico; ignoram a Estatística, quer teórica quer
prática, ou a conhecem superficialmente.
 Podemos dizer, então, que:
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos
na tomada de decisões.
 A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística
Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da
Estatística Indutiva ou inferencial.
 Em geral, as pessoas, quando referem ao termo estatística, o fazem no sentido da
organização e descrição dos dados (estatística do Ministério da Educação, estatística dos
acidentes de tráfego etc.), desconhecendo que o aspecto essencial da estatística é o de
proporcionar métodos que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos
inicialmente.
 Concluindo a análise e a interpretação dos dados estatísticos torna, possível o
diagnóstico de uma empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus
problemas (condições de funcionamento, produtividade), a formulação de soluções
apropriadas e um planejamento objetivo de ação.
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ÍNDICE
1- Introdução.
2- Método Estatístico.
3- Tabelas de freqüências.
4- Confecção de histogramas e polígonos de freqüência.
5- Cálculos dos parâmetros estatísticos.
6- Separatrizes.
7- Medidas de Assimetria.
8- Grau de Assimetria – Coeficiente de Pearson (As ou SK).
9- Coeficiente de variação
10- Curtose
11- Árvore de decisão probabilística
12- Árvore de decisão financeira
13- Árvore de decisão de produção
14- Apêndices
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1 - INTRODUÇÃO.
Há três ramos principais da Estatística: Estatística Descritiva, que descreve os
aspectos importantes de um conjunto de características observadas e envolve a organização
e a sumarização de dados; a teoria da Probabilidade, que proporciona uma base racional
para lidar com situações influenciadas por fatores relacionados com o acaso, assim como
estimar erros; e a teoria da Inferência, que envolve análise e interpretação de amostras.
A Estatística, de modo geral, constitui um valioso instrumento para tomada de
decisões. De um modo prático seria a ferramenta que possibilita a escolha de uma decisão
certa num mundo de incertezas. Uma das suas características é o uso de modelos. Estes
são formas simplificadas de algum problema ou situação real. A característica fundamental
dos modelos é o fato de reduzirem situações complexas a formas mais simples e mais
compreensíveis.
A base dos estudos estatísticos está intimamente ligada aos fenômenos de
populações que apresentam uma mesma característica. Entende-se, por população qualquer
conjunto de fenômenos estudados ou a serem estudados, tais como objetos, pessoas ou
acontecimentos.
Essa população pode ser dividida em dois grupos: População finita ou população
infinita. Quando nos referirmos a uma parte de população usaremos o termo AMOSTRA. O
processo de obtenção de amostras é chamado de amostragem.
A partir dos valores obtidos na amostra, começa-se a descreve-la para se poder
pensar em caracterizar a população como um todo, generalizando para a população o dado
proveniente da amostra. As atividades exploratórias das informações obtidas caracterizam a
chamada estatística descritiva, a qual se ocupa da descrição, da organização e do resumo
das observações obtidas, para proporcionar discernimento entre o comportamento de uma
população e o comportamento de uma amostra.
Generalizar para a população aquilo que se observou na amostra caracteriza a
inferência estatística.
"Milhões de aplicativos de software nos EUA são capazes de entender apenas
códigos de área de três algarismos e números de telefone de sete algarismos. Atualizar
todos esses aplicativos seria trabalhoso e caro. A estimativa é precisar adaptar cerca de 25
milhões de softwares."
 "O objetivo é que a amostra seja representativa do total de eleitores. Dessa forma, os
resultados obtidos na pesquisa podem se'; estatisticamente, ampliados para os milhões de
eleitores no Brasil (ou, no caso desta pesquisa, os eleitores de cada estado pesquisado)."
A palavra inferência é utilizada em Estatística com dois significados:
• Conclusões tiradas a partir de valores ou de evidências;
• Processo utilizado para se chegar a essas conclusões.
Necessitamos de um número que indica a chance (possibilidade) de determinada
situação acontecer. Como as informações provêm de um conjunto menor que a população,
cometem-se erros ao se fazer uma inferência. Esses erros são quantificados por um valor
numérico, denominado probabilidade, o qual, além de lidar com situações influenciadas por
fatores não controlados pelo analista, proporciona um modelo racional para lidar com a
variabilidade inerente à natureza, bem como com situações relacionadas com o acaso. O
conhecimento das probabilidades associadas a uma situação fornece a base para o
desenvolvimento das técnicas da tomada de decisão, explica o funcionamento dessas
5
técnicas e indica de que modo as conclusões podem ser apresentadas e interpretadas
corretamente.
É importante enfatizar que a estatística descritiva e as probabilidades são ferramentas
para a inferência estatística, a qual interpreta de duas maneiras os resultados obtidos a partir
das amostras retiradas de uma população: ou fazendo uma estimação a respeito de uma
característica da população cujo valor se desconhece, ou realizando um teste sobre essa
característica, da qual se afirma ter um determinado valor.
Em resumo, a Estatística pode ser entendida como sendo constituída das três
seguintes áreas: a estatística descritiva, o cálculo das probabilidades e a inferência
estatística. Uma visão sistêmica do que se estuda naquilo que se conhece por Estatística
está na Figura 1.
Figura 1 - Visão sistêmica da Estatística.
Podemos dizerque, o estudo dos métodos estatísticos descritos como métodos
científicos para se operar com números objetivos se resume na obtenção analítica e
conclusões para, a partir daí, se basear nas decisões a serem tomadas, isto quando for
possível obter informações. Caso contrário, ou seja, quando não dispomos de dados a serem
estudados, a Estatística prevê princípios racionais e técnicas, que nos indicam quando e
como podemos decidir estas informações parciais e incompletas. Generalizando, podemos
dividir a Estatística em dois grupos:
a) Estatística Descritiva,
b) Estatística Analítica (Inferência Estatística).
A Primeira destina-se à coleta e à demonstração dos dados através de tabulações,
tabelas, gráficos, enquanto a segunda fica destinada à interpretação, conclusões e a tomada
de decisão. Na inferência estatística usamos o cálculo de probabilidades para estimar
possíveis erros.
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2 - MÉTODO ESTATÍSTICO
Podemos defini-lo em fases, sendo estas um processo utilizado para coletar, apresentar,
descrever, interpretar e até mesmo prever os aspectos quantitativos dos fenômenos
analisados, desde que eles possam conseguir a forma de contagem ou medida.
As fases do método estatístico são: COLETA DE DADOS, APURAÇÃO DE DADOS,
APRESENTAÇÃO DE DADOS, ANÁLISE, INTERPRETAÇÃO E CONCLUSÃO DE DADOS.
A coleta de dados pode ser feita de duas maneiras: direta ou indireta. A escolha de
técnicas para isso pressupõe certo conhecimento e questionamento acerca da população a
ser investigada, indagando-se sobre a adequação ou não de determinados métodos e
técnicas de pesquisa. Após a formulação e definição do problema a ser tratado na pesquisa.
As técnicas de coleta de dados são instrumentos de conhecimento; contudo, quando
não são tomadas as devidas precauções, podem apontar para resultados pouco confiáveis.
Quando utilizamos amostras os tipos de amostragens mais utilizados são:
1) Amostragem casual ou aleatória ― Este tipo de amostra consiste no sorteio das
pessoas, o que determina chance igual para todas.
2) Amostragem não-casual: Trata-se da seleção de um número de pessoas
proporcional à importância das categorias que elas representam na população.
3) Amostragem por aglomerados: É aquela que se parte de uma seleção aleatória de
pessoas representativas do grupo em estudo com potencial para fornecer
informações confiáveis sobre a população em estudo.
Depois dos dados coletados e apurados ou tabulado, eles podem ser apresentados
sob a forma de tabelas, quadros ou gráficos. As tabelas em Estatística são denominadas
Séries Estatísticas, as mais utilizadas são: Série Geográfica ou territorial, Série Histórica
ou cronológica, Série Específica e a distribuição de freqüências, que é uma maneira de
ordenar os dados estatísticos em linhas ou colunas, tornando possível a sua leitura, tanto no
sentido horizontal quanto no vertical.
Os gráficos estatísticos mais conhecidos são: Colunas ou barras, Linha, Curva,
Setores, Pictogramas, Histograma e Polígono de Freqüências.
3 - TABELAS DE FREQUÊNCIAS
Os dados coletados, quando apresentados desordenadamente, são denominados
DADOS BRUTOS. Quando estes estiverem ordenados (crescente ou decrescentes),
denominamos ROL.
Para ordená-los, é aconselhável a elaboração de tabelas de freqüências. As tabelas
de freqüências podem ser classificadas em:
1) Tabelas de freqüências para dados não agrupados ou não tabulados em classe.
2) Tabelas de freqüências para dados agrupados ou tabulados em classe (Método
com Limites de Classe).
Convém apresentarmos a seguir algumas definições.
Chamamos de FREQUÊNCIA ABSOLUTA, o número de vezes que um dado se
repete no ROL. O somatório das freqüências absolutas é chamado FREQUÊNCIA TOTAL. A
razão entre a freqüência absoluta de um elemento (ou classe) e a freqüência total é
denominada FREQUÊNCIA RELATIVA (Fri) do elemento ou da classe. Quando esta
freqüência é multiplicada por 100 é denominada Freqüência percentual FR%=100.Fri
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4 - CONFECÇÃO DE HISTOGRAMAS E POLÍGONOS DE FREQÜÊNCIAS.
Procedimentos:
A) Destaque a Quantidade de Classes dada no problema.
B) Faça os Limites de Classes.
Regra:
b1) selecione o maior número da tabela.
b2) selecione o menor número da tabela.
b3) faça a conta: maior número menos o menor número mais 1 (“b1” – “b2” + 1).
b4) divida o resultado encontrado em “b3” pela quantidade de classes dada no problema
(item A).
b5) arredonde o resultado dessa divisão SEMPRE (só se o resultado for fracionado) para
o número inteiro seguinte.
b6) com o resultado de “b5”, selecione o maior número da tabela e faça os limites de
classes, de baixo para cima.
C) Faça a Freqüências das classes.
D) Faça as Marcas das Classes.
E) Faça o HISTOGRAMA.
F) Faça o POLÍGONO DE FREQÜÊNCIA.
G) Tire as primeiras conclusões sobre os Gráficos.
Veja a seguir o Exemplo Prático resolvido:
8
EXEMPLO 1
Em uma certa cidade, foram examinados os registros de óbito de 105 indivíduos, anotando-
se a idade dos mesmos por ocasião do falecimento. Os resultados obtidos são dados na
tabela 1 mostrada a seguir. É desejável reorganizar os dados de modo que eles retratem
mais claramente a situação. Reorganize esses dados através de um histograma e de um
polígono de freqüências. Utilize 12 classes.
Tabela 1
79 75 67 74 81
69 67 79 66 80
64 57 67 65 90
64 77 80 68 62
73 70 46 58 71
91 78 67 68 62
73 71 78 72 76
43* 84 47 81 69
65 72 76 87 65
53 75 66 83 62
95 68 90 76 73
72 78 69 78 65
74 70 77 75 74
99** 78 62 77 71
78 62 73 88 76
66 73 71 92 58
74 82 53 66 76
73 93 80 74 77
72 69 82 75 77
74 69 71 73 64
51 71 73 84 72
Nesse exemplo, serão usadas 12 classes. Tendo decidido quanto ao número de classes,
devemos especificar a sua construção. Primeiramente, observe que o maior (b1) e o
menor (b2) números dentre os que aparecem são 99 e 43, respectivamente. Há 57 inteiros
entre 43 e 99, inclusive (99 – 43 + 1) (b3). Assim sendo, as classes devem ser especificadas
de modo a cobrir a extensão de 57 unidades (anos). Como vão ser usadas 12 classes, isso
significa que cada classe deve conter, 57/12 = 4,75 anos (b4). É conveniente que cada
classe contenha um número inteiro de anos, de modo que especificaremos que cada classe
contenha 5 anos(arredondado para o maior inteiro)(b5) .
Escolheremos então o ponto de partida (o maior número começando de baixo para cima)(b6)
 40 – 44 70 – 74
45 – 49 75 – 79
50 – 54 80 – 84 
55 – 59 85 – 89
60 – 64 90 – 94
65 – 69 95 – 99 ↑ início
9
Observe que cada idade enquadra-se exatamente em uma dessas classes. Note também
que cada classe é especificada pelo menor e pelo maior dos valores que podem ser
alcançados por membros da classe. Esses valores denominam-se limites de classe. Por
exemplo, os limites de classe para a terceira classe são 50 e 54.
Agora que as classes estão construídas, podemos distribuir os dados por elas. O número de
valores da dados enquadrados numa classe em particular chama-se freqüência de classe.
A freqüência de classe é indicada por “ f ” (“ f ” é a quantidade de vezes que o número
aparece na amostra).
Note que, como é natural, a soma das freqüências de classe deve ser igual a quantidade de
números dados na amostra (neste caso, 105). Este fato pode ser usado como um meio de
verificar a correção das freqüências atribuídas.
Tabela 2
 Limites de Freqüência
Classes Classe Marcadoresde Contagem de Classe
 1 40 – 44 I 1
 2 45 – 49 II 2
 3 50 – 54 III 3
 4 55 – 59 III 3
 5 60 – 64 IIII III 8
 6 65 – 69 IIII IIII IIII IIII 20
 7 70 – 74 IIII IIII IIII IIII IIII II 27
 8 75 – 79 IIII IIII IIII IIII II 22
 9 80 – 84 IIII IIII 10
 10 85 – 89 II 2
 11 90 – 94 IIII 5
 12 95 – 99 II 2
 ______________________________________________ 105_______
A tabela 2 é conhecida como tabela de freqüência ou de distribuição de freqüência da
amostra. Note como a observação da tabela 2 permite mais informação e uma melhor
compreensão dos dados do que a tabela 1.
Prosseguindo com nossa organização dos dados, escolhemos um número que seja
representativo de cada classe. O número mais comumente usado é o ponto médio da classe
ou seja, a média entre os valores dos limites de classe. A tabela 3 mostra o cálculo das
marcas de classe.
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Tabela 3
 Limites de Marcas
Classes Classe Freqüência de Classe
 1 40 – 44 1 42
 2 45 – 49 2 47
 3 50 – 54 3 52
 4 55 – 59 3 57
 5 60 – 64 8 62
 6 65 – 69 20 67
 7 70 – 74 27 72
 8 75 – 79 22 77
 9 80 – 84 10 82
 10 85 – 89 2 87
 11 90 – 94 5 92
 12 95 – 99 2 97
 105
Cálculo das marcas de classes:
Para a primeira classe: 1 = (40 + 44) / 2 = 42 e assim por diante.
O histograma dos dados deste exemplo é obtido da maneira seguinte:
1) Ao longo do eixo horizontal (eixo de “X”) marcamos, em escala, os limites de classes.
2) Sobre o eixo vertical (eixo de “Y”)marcamos as freqüências de classe.
A tabela 4 nos dá uma nítida apresentação dos dados da amostra. Por exemplo, ela mostra
claramente que a maioria dos indivíduos da amostra morreu aproximadamente entre os 59 e
85 anos de idade, como demonstrado no 1º gráfico chamado Histograma.
Tabela 4
�������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���� � �� ��� ���� � �� ��� ���� � �� ������� � �� ��� ���� � �� ��� ���� � �� ��� ���� �
4 4 4 9 5 4 5 9 6 4 6 9 7 4 7 9 8 4 8 9 9 4 9 9
0 0
0 5
10
15
2 0
2 5
3 0
N
úm
er
o 
de
 In
di
ví
du
os
Id ad e p or oc as ião d a m orte
H is to g ram a
11
O segundo gráfico chama-se polígono de freqüência. É semelhante ao histograma, com a
diferença de que no eixo horizontal são lançadas as marcas de classe, no eixo vertical na
altura correspondente são lançadas as respectivas freqüências de classe (o nível da
freqüência de classe representada pela respectiva marca de classe). Finalmente os pontos
são ligados.
Tabela 5
P o lígo no de F reqüência
00
05
10
15
20
25
30
37,0 42 47 52 57 62 67 72 77 82 87 92 97 102,0
Idade por oc as ião da morte
N
úm
er
o 
de
 in
di
ví
du
os
12
1º Trabalho Prático
Em cada um dos problemas que se seguem, proceda como no exemplo 1 para se obter:
1) tabela de freqüência completa;
2) histograma;
3) polígono de freqüência
1) O presidente de uma companhia telefônica determinou que fosse feito um estudo sobre o
número de chamadas telefônicas recebidas pela mesa telefônica da companhia através da
confecção de um histograma e um polígono de freqüências. (Use 10 classes)
44 54 52 47 44
44 39 54 52 39
53 48 58 51 59
48 56 49 36 42
53 48 56 44 47
42 56 46 49 47
62 42 49 46 38
49 47 49 51 55
38 41 51 58 58
48 53 46 46 47
43 45 72 41 48
57 48 45 51 57
35 51 43 42 37
51 51 38 45 54
51 53 50 45 53
57 46 33 56 49
44 50 61 39 59
50 49 60 53 49
39 66 46 54 43
62 58 72 63 59
54 55 55 37 65
49 53 41 56 49
58 43 55 45 53
42 57 58 56 43
Resp: primeiro limite 33 a 72 “ f “= 3, 9, 18, 22, 23, 23, 14, 4, 2, 2
2) Foi aplicado um teste de aptidão escolar a uma amostra de 50 estudantes de 2º grau. As
notas obtidas pelos 50 estudantes foram as seguintes: (Use 7 classes)
70 85 69 86 67
59 70 68 97 67
83 86 71 65 78
73 45 59 75 99
84 70 71 64 77
75 83 77 81 42
90 47 87 73 68
76 81 94 68 53
79 69 89 65 100
71 98 82 78 77
Resp: primeiro limite: 38 a 100 “ f ”= 2, 2, 3, 17, 12, 9, 5
13
3) O administrador de uma cidade está interessado em analisar o número de acidentes por
mês em um certo cruzamento. De um arquivo especializado ele obtém o número de
acidentes por mês durante os últimos meses. Os resultados são: (Use 9 classes)
2 5 4 3 2
2 1 5 5 1
5 3 3 4 6
3 6 4 1 2
5 3 3 2 3
2 5 3 4 3
8 2 3 3 1
4 3 4 4 5
1 2 4 6 6
3 5 3 3 3
2 2 12 2 3
6 3 2 1 6
0 4 2 2 1
4 4 1 2 5
4 5 4 2 5
Resp: primeiro limite –5 a 12 “ f “ = 0, 0, 1, 24, 31, 17, 1, 0, 1
4) O proprietário de um posto de combustível está interessado em analisar os intervalos de
tempo entre as chegadas de fregueses ao posto, durante o período mais folgado do dia.
Durante vários dias, ele mede o tempo (desprezando as frações de minuto) entre as
chegadas de fregueses. Os resultados são os seguintes: (Use 12 classes)
1 8 6 2 1 1 0 7 6 0
7 3 3 5 13 3 10 3 0 1
7 3 2 1 3 1 7 2 4 3
 19 1 3 2 0 4 3 3 5 8
0 1 5 12 13 3 7 2 2 3
1 2 42 1 3 11 3 2 5 11
0 5 1 1 0 5 5 0 2 8
5 6 4 2 7 11 2 0 10 3
1 4 16 0 13 4 3 15 7 4
0 25 2 8 1 19 12 39 20 14
7 9 9 0 23 4 7 1 9 3
 12 1 9 2 7
Resp: primeiro limite -5 a 42 “ f “ = 0, 41, 35, 20, 10, 2, 3, 2, 0, 0, 0, 2
14
5) Um meteorologista está estudando padrões de temperatura no Arizona, durante os meses
de março e abril. As temperaturas máximas diárias [º Fh] durante o período de 2 meses são
as seguintes: (Use 5 classes)
73 69 73 67 72
70 73 72 71 84
73 66 73 70 73
71 76 83 77 72
76 75 85 77 72
76 75 85 67 77
86 82 85 72 64
84 81 83 81 79
85 82 83 82 79
80 81 77 70 80
86 91 85 83 78
95 82 90 80 78
94 84 85 84 77
Resp.: primeiro limite 61 a 95 “ f “ = 4, 17, 20, 20, 4
5 -CÁLCULOS DOS PARÂMETROS ESTATÍSTICOS
Os Parâmetros Estatísticos mais importantes são as medidas de tendência central e as de
dispersão (Espalhamento). Os mais utilizados são : a média aritmética, a mediana, a moda e
o desvio padrão.
5.1. Medidas da Tendência Central
Iremos a seguir apresentar algumas definições de parâmetros estatísticos. As médias se
caracterizam por ser medidas de tendência central de uma amostragem. Normalmente se
utiliza a média aritmética, pois a maioria dos casos a característica do conjunto é a soma de
seus elementos. A média aritmética é útil para quantidades que seguem uma progressão
aritmética.
5.1.1. MÉDIA ARITMÉTICA – No Excel – função MÉDIA
N
X
X
N
i
i∑
=
=
1
5.1.2. MÉDIA PONDERADA – No Excel – função SOMARPRODUTOÉ a média resultante de um conjunto de valores, no qual alguns valores têm importância (ou
quantidade de ocorrência) maior que os outros.
∑
∑
=
=
= N
i
i
N
i
ii
P
P
XP
X
1
1
15
Aplicações: cálculo de inflação, ranking, avaliações
5.1.3. MÉDIA GEOMÉTRICA – No Excel – função MÉDIA.GEOMÉTRICA
É a raiz do produtório dos itens de um conjunto. Ë apropriada para utilização em quantidades
que seguem leis de crescimento, progressões geométricas ou leis exponenciais.
n
nG xxxxX ...321=
É fácil verificarmos que o valor de GX envolve o cálculo de produtos que facilmente chegam
a resultados com valores muito elevados. Assim, é preferível se calcular o logaritmo da
média geométrica do que o seu valor diretamente:
 )log(
n
1)log(
n
1i
∑
=
= iG xX
5.1.4. MÉDIA HARMÔNICA – No Excel – função MËDIA.HARMÔNICA
É o recíproco da média aritmética dos recíprocos dos valores envolvidos. É apropriada para
lidar taxas, preços e velocidades, ou quando se apresenta uma relação inversa entre duas
variáveis ( quando uma cresce, a outra decresce).
∑
=
== n
i i
h
x
nXH
1
1
5.1.5. RAIZ MÉDIA QUADRÁTICA
É apropriada para valores que incluem números negativos.
n
x
RMQ
n
i
i∑
=
=
1
2
5.1.6. MEDIANA – No Excel –função MED
É o valor do meio, isto é, divide a população em duas metades tal que a metade dos
elementos possuem tamanho não menor do que a mediana, e a outra metade não mais que
a mediana. É apropriada para distribuições que exibem valores extremos muito fortes. Não é
afetada pelos valores extremos. Se a amostra tem um número par de observações, a
mediana é obtida através da média do valor do parâmetro n/2 e para (n/2)+1.
5.1.7. MODA – No Excel – Função MODO
É o valor que mais ocorre. É o valor de maior freqüência. É apropriada quando se deseja
excluir a precisão aritmética deliberadamente em favor da apresentação de um resultado
típico. Não é afetada pelos valores extremos. Geralmente é uma boa medida da tendência
central, pois depende do agrupamento arbitrário dos dados em classes ou células (é sempre
possível construir uma amostra onde a mais alta freqüência ocorre mais de uma vez).
Entretanto, a moda pode ser usada na indústria para definir tamanhos de alguns produtos
(como sapatos, camisas, calças, etc.).
5.2. Comparação dos Valores Centrais
Cada observação pode ser vista como tendo uma massa unitária, neste caso, o ponto de
equilíbrio é o centro de gravidade que é obtido pela fórmula da média aritmética. Assim, a
média aritmética de uma amostra é o ponto de equilíbrio dos dados da amostra, atingindo
numa distribuiçã assimétrica uma posição à direita da mediana.
5.2.1. Distribuições Simétricas
O centro de gravidade está no eixo de simétria, todos os valores centrais coincidem.
5.2.2. Dis
Se o espalhame
média também ir
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1
M oda=M édia=M ediana
Fr
eq
uê
nc
ia
o 
16
tribuições Assimétricas
nto for maior para a direita, a mediana cai à direita da moda. Neste caso, a
á cair à direita da moda e da mediana.
0
20
40
60
80
100
120
Fr
eq
uê
nc
ia
17
5.3. Medidas de Dispersão
Um parâmetro característico de uma amostra, além do valor central é a variação das
observações das amostra, isto é, o quanto elas estão espalhadas.
5.3.1. Intervalo
Também conhecido como Amplitude Total. É simplesmente a distância entre o maior e
o menor valor da amostra. Não informa nada de uma distribuição exceto suas
extremidades, que podem não ser confiáveis.
5.3.2. Desvio Médio Absoluto – Mean Absolute Deviation – No Excel – função
DESV.MÉDIO
Ë determinado calculando-se o desvio de cada valor observado em relação à média
(xi – iX ); esses desvios são somados e divididos por n. Como os desvios positivos
sempre irão ser cancelados pelos desvios negativos (produzindo um valor zero), os
desvios devem ser tomados sempre em valores absolutos, evitando-se assim, o
problema de sinal, entretanto o inconveniente é a função módulo:
∑
=
−=
n
i
i Xxn
DMA
1
1
5.3.3. Desvio Médio Quadrático – Mean Squared Deviation – No Excel – função
DESVQ
Utiliza o valor quadrado dos desvios, ao invés de valores absolutos (que são
matematicamente intratáveis), resolvendo desta maneira o problema do sinal:
2
1
)(1 Xx
n
DMQ
n
i
i∑
=
−=
Para dados agrupados:
∑
=



−=
m
i
i XxDMQ
1
i2
n
f
)(
5.3.4. Variância e Desvio Padrão
Dois pontos x1 e X fornecem um única distância Xx −1
Três pontos fornecem duas distâncias: Xx −1 e Xx −2
 n pontos fornecem (n – 1) distâncias:
Então, numa amostra, para tornar o desvio médio quadrático um estimador não
tendencioso do espalhamento, utiliza-se o divisor (n – 1) ao invés de n na fórmula do
desvio médio quadrático. Esta medida será chamada de variância amostral e é
denotada pela letra latina s2.
18
5.3.4.1. Variância de uma amostra – No Excel – função VAR
2
1
2 )(
1
1 Xx
n
S
n
i
i −
−
= ∑
=
Para dados agrupados:
i
n
i
i fXxn
S 2
1
2 )(
1
1
−
−
= ∑
=
5.3.4.2. Variância da população finita – No Excel – função VARP1
A variância da população finita é denotada pela letra grega σσσσ elevada ao quadrado – j
σσσσ2 e é calculada por:
∑
=
−
=
N
i
i
N
x
1
2
2 )( µµµµσσσσ
onde:
µ  média da população finita
N  número toal de valores da população finita.
5.3.4.3. Desvio padrão da amostra – No Excel – função DESVPAD
Para se compensar o fato das medidas estarem elevadas ao quadrado, o que altera
as unidades das observações, emprega-se a raiz quadrada da variância que é
denominada de desvio padrão. Desta maneira s é reduzido para as mesmas unidades
das observações através de:
1
)(
1
2
−
−
=
∑
=
n
Xx
S
n
i
i
5.3.4.4. Desvio padrão da população finita – No Excel – função DESVPADP
∑
=
−
=
N
i
i
N
x
1
2)( µµµµ
σσσσ
Em resumo, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
 
1 No nosso curso iremos utilizar a variância e o desvio padrão da população finita no método em linha
19
5.4. Métodos de obtenção dos Parâmetros Estatísticos
Existem 3 tipos de soluções distintas para o cálculo dos Parâmetros Estatísticos, são eles:
• Cálculo dos parâmetros pelo Método em Linha;
• Cálculo dos parâmetros pelo Método por Distribuição de Freqüências e
• Cálculo dos parâmetros pelo Método com Limites de Classes.
! 1º Método - MÉTODO EM LINHA.
Exemplo resolvido (MODÊLO):
Numa família de 7 pessoas (pai, mãe, quatro filhos e avó), a variável X representa as idades
em anos completos dessa família. As idades são: 45, 44, 21, 18, 16, 10 e 70.
a) MÉDIA ARITMÉTICA
Denominamos média de X, e indicamos por X , a média aritmética dos valores observados.
No exemplo temos:
X = 45+44+21+18+16+10+70 = 224 = 32
 7 7
Isso significa que “cada membro da família tem, em média, 32 anos”. Na verdade, nenhum
deles tem 32 anos. A interpretação que devemos dar é que, “se as sete pessoas tivessem a
mesma idade, para dar a soma observada, que foi de 224 anos, logo X = 32 anos.
b) MEDIANA
Denominamos mediana de X, e indicamos por Md, ao termo central de seqüência formada
pelos valores observados, quando colocado x em ordem crescente.
No exemplo, ordenando os valores em ordem crescente, temos a seqüência:
 (10, 16, 18 21, 44, 45, 70)
 três termo três
 termos central termos
O termo central vale 21, portanto Md = 21 anos.
Casotenhamos uma quantidade par de termos, consideramos como mediana a média
aritmética dos termos centrais. Assim, por exemplo, na seqüência:
 (0, 1, 1, 2 2, 3 4, 4, 5, 8)
 quatro termos quatro
 termos centrais termos
os termos centrais são (2+3)/2, logo a Md é 2,5.
Podemos interpretar a mediana dizendo que “em metade da população os valores
observados são menores ou iguais à mediana, na outra metade eles são maiores ou iguais à
mediana”.
c) MODA
Denominamos Moda e indicamos por Mo, o número que aparece mais vezes na
amostragem. No nosso exemplo de idades de uma família, a nossa sequência é amodal já
que não há repetição de nenhum deles.
20
d) O DESVIO PADRÃO
Para calcularmos o Desvio Padrão, temos antes que calcular o “desvio” e a “variância”
• Desvio
Chamamos desvio de um valor de uma variável X à diferença entre esse valor e a
média aritmética.
No exemplo da família de 7 pessoas, os desvios das idades observadas abaixo são:
(45 – 32), (44 – 32), (21 – 32), (18 – 32), (16 – 32), (10 – 32) e (70 – 32)
logo:
 +13 +12 -11 -14 -16 -22 +38.
Os desvios indicam o quanto cada valor está acima ou abaixo da média, conforme seja o
sinal positivo ou negativo, respectivamente. A avó tem 38 anos mais que a média, enquanto
o filho mais novo está 22 anos abaixo da média. A soma dos desvios é zero, o que acontece
sempre.
• Variância
Denominamos variância de X, e indicaremos por “ V ” , a média aritmética dos quadrados dos
desvios.
No exemplo, temos:
V = (13)2 + (12)2 + (-11)2 + (-14)2 + (-16)2 + (-22)2 + (38)2 = 2814 = 402
7 7
Note que, nesse exemplo, os desvios são medidos em anos; logo, os quadrados dos desvios
são dados em (anos)2.
Finalmente:
Chamamos Desvio Padrão de X, e indicamos por σ ou “ DP “ a raiz quadrada da variância
de X.
No exemplo temos:
DP = V = 402 ≅ 20
Note que DP é dado na mesma unidade dos desvios, logo DP = 20 anos.
Como os desvios indicam afastamentos dos valores em relação à média, podemos
interpretar a soma dos quadrados dos desvios como uma medida da dispersão total dos
valores observados e, dessa forma, a variância representa uma média da dispersão dos
valores. Isso significa que, entre dois conjuntos da mesma média, o de menor variância,
portanto, de menor Desvio Padrão é aquele cujos elementos são “mais próximos” da média,
ou mais concentrados em torno da média.
21
Exemplos Resolvidos:
1. As notas de um aluno em cinco provas foram 1, 2, 5, 8 e 9. Assim temos:
 __
 Média: X = 1 + 2 + 5 + 8 + 9 = 25 = 5
 5 5
 Desvios: (1 – 5), (2 – 5), (5 – 5), (8 – 5), (9 – 5)
 - 4 - 3 0 3 4
 Variância: V = (- 4)2 + (- 3)2 + 02 + 32 + 42 = 50 = 10
 5 5
 Desvio Padrão: DP = 10 ≅ 3,2
- Nas mesmas cinco provas, outro aluno tirou 3, 4, 5, 6 e 7. Para este temos:
 __
 Y = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 = 5
 5 5
 Desvios: (3 – 5), (4 – 5), (5 – 5), ( 6 – 5), (7 – 5)
 - 2 - 1 0 1 2
 Variância: V = (- 2)2 + (- 1)2 + 02 + 12 + 22 = 10 = 2
 5 5
 Desvio Padrão: σσσσ = DP = 2 ≅ 1,4
Ambos tiveram a mesma média, mas o primeiro aluno teve notas mais dispersas, portanto
variância e desvio padrão maiores que os do segundo aluno. Este teve notas mais próximas,
mais concentradas em torno da média.
Na prática deseja-se obter sempre Desvio Padrão pequeno, pois como foi visto, implica em
uma homogeneização de comportamento.
2º Trabalho Prático
6) Na tabela abaixo estão as quantidades de telefonemas recebidos por um médico durante
uma semana.
Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão da variável X = número de chamadas
por dia recebidas pelo médico naquela semana.
Dia N.º de Chamadas
Seg. 14
Ter. 8
Qua. 13
Qui. 17
Sex. 12
Sáb. 8
Dom. 5
7) As idades dos 6 jogadores de uma equipe de vôlei são: 28, 27, 28, 31, 25 e 28 anos.
Calcule a média, a mediana, a moda e o desvio padrão dessa variável.
22
8) Mediram-se os tempos de reflexos de 10 motoristas diante de uma situação de
emergência, obtendo-se os seguintes resultados:
0,7 0,9 0,8 1,0 0,7 0,6 0,9 0,7 0,8 0,9
Calcule o tempo médio de reflexo , a mediana , a moda e o desvio padrão.
9) As estaturas de bebês ao nascerem são, em centímetros: 48, 52, 53 e 54.
a) Calcule a estatura média e o desvio padrão.
b) Se após um mês cada bebê cresceu exatamente 3 cm, qual será a nova média e o
novo desvio padrão?
10) Pesquisei o preço de um artigo em 6 lojas e obtive os seguintes valores em moeda
nacional:
210.000 260.000 240.000 300.000 270.000 e 340.000.
a) Calcule o preço médio e o desvio padrão.
b) dividindo os preços dos artigos agora por 10.000, qual será a nova média e o
novo desvio padrão ?
Respostas:
 __ __ __
6) X = 11 7) X = 27,83 8) X = 0,8
 Md = 12 Md = 28 DP = 0,11
 DP = Mo = 28 Md = 0,8
 Mo = 8 Mo = 0,7 e 0,9
 __ __ __
9) a) X = 51,75 b) X = 54,75 10) a) X = 270.000
 DP = 2,27 DP = 2,27 DP = 41.633
 __
 b) X = 27
 DP = 4,16
! 2º Método - MÉTODO POR DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA
Exemplo resolvido (MODÊLO):
Numa classe de 25 alunos, há 2 que não tem irmãos, 8 que tem 1 irmão cada um, 11 que
tem 2 irmãos cada um, 2 que tem 3 irmãos cada um, um com 4 irmãos e um com 5 irmãos.
A distribuição de freqüência da variável X = número de irmãos
Montando a tabela padrão para esse caso:
X f X * f D = X – X d 2 d 2 * f
0
1
2
3
4
5
 2
 8
11
 2
 1
 1
 0
 8
22
 6
 4
 5
-1,8
-0,8
0,2
1,2
2,2
3,2
3,24
0,64
0,04
1,44
4,84
 10,24
6,28
5,12
0,44
2,88
4,84
 10,24
∑ 25 45 29,80
23
 _
a) Média: X = 45 = 1,8
 25
b) Variância: V = 29,80 ≅ 1,19
 25
c) Desvio Padrão: DP = 19,1 ≅ 1,1
d) mediana:
Como n = 25, a mediana é o 13º termo da seqüência que colocando os valores
observados em ordem crescente verifica-se que há dois valores iguais a zero, oito
iguais a 1 e depois vem onze iguais a 2. Portanto, o 13º termo será igual a 2.
(0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 4, 5)
portanto: Md = 2 irmãos.
e) Moda - Denominamos moda o valor de x que se apresenta maior freqüência.
No exemplo: Mo = 2 irmãos.
3º Trabalho Prático
11) Nos primeiros jogos de um campeonato paulista, o Corínthians marcou as seguintes
quantidades de gols:
0, 1, 0, 4, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 5, 3, 4, 5, 4, 0, 3, 0
Agrupe esses dados numa tabela de freqüências e calcule a média, a mediana, a moda e o
desvio padrão da variável X = número de gols por jogo.
12) As notas dos alunos de uma classe que valia 4 pontos foram:
3, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 4, 3, 2, 3, 3, 4, 1, 1, 2, 2, 2, 0, 4, 1, 2, 3, 3, 3, 3, 1, 4, 0, 2, 2, 4, 3, 0, 2
Faça a tabela de distribuição de freqüências e calcule a média, a mediana, a moda e o
desvio padrão das notas onde X é a nota dos alunos.
13) Numa empresa de grandíssimo porte a distribuição dos saláriosé a seguinte:
n.º de empregados salários
 12 8.000
 5 12.000
 3 20.000
a) Qual é o salário médio dos empregados dessa empresa?
b) A empresa vai contratar um diretor geral e não gostaria de que a nova média
salarial superasse o maior salário atual. Qual é o salário máximo que ela pode
oferecer ao diretor?
14) Num feriado prolongado, desceram para as praias do litoral paulista 200 000 carros. Se
10% dos carros tinham só o motorista, 20% tinham 2 pessoas, 20% tinham 3 pessoas, 30%
tinham 4 pessoas e 20% tinham 5 pessoas, em média quantas pessoas havia por carro?
15) Numa classe, 45% dos alunos são rapazes, que pesam em média 52 Kg. Sabendo que
as moças pesam em média 42 Kg, qual o peso médio de todos os alunos da classe?
24
 __ __
Respostas: 11) X = 1,94 12) X = 2,2
 Md = 1,5 Md = 2
 DP = 1,86 DP = 1,23
 Mo = 0 Mo = 2
 __ __
 13) a) X = 10.800 nº14) X = 3,3
 b) X ≤ 204.000
 15) 46,5 Kg
! 3º Método - MÉTODO COM LIMITES DE CLASSE
Exemplo resolvido (MODÊLO):
Consideremos a tabela abaixo e vamos calcular a média, a mediana, a moda e o desvio
padrão da variável X = peso em gramas de cada criança
Construa a tabela padrão para o caso de limites de classes:
Classe de peso Ponto médio X Freqüência “f“ % X * f d = X – X d 2 d 2 * f
2460 – 2580
2580 – 2700
2700 – 2820
2820 – 2940
2940 – 3060
3060 – 3180
3180 – 3300
3300 – 3420
2.520
2.640
2.760
2.880
3.000
3.120
3.240
3.360
 2
 5
 7
10
12
 6
 5
 3
 4
10
14
20
24
12
10
 6
 5.040
13.200
19.320
28.800
36.000
18.720
16.200
10.080
-430
-310
-190
 -70
 50
170
290
410
184.900
 96.100
 36.100
 4.900
 2.500
 28.900
 84.100
168.100
369.800
480.500
252.700
 49.000
 30.000
173.400
420.500
504.300
∑ 50 100 147.360 2.280.200
 __ __
a) Média: X = ∑ (xf) = 147.360 = 2.947,2 ⇒ X ≅ 2.950 g
 ∑ f 50
b) Variância: V = ∑ (d2f) ≅ 2.280.200 ⇒ V ≅ 45.604g2
 ∑ f 50
c) Desvio Padrão: DP = V ≅ raiz quadrada de 45.604⇒ DP ≅ 213,55g
d) Mediana
Para calcular a mediana, recorremos ao histograma. Devemos procurar um ponto no eixo
das abscissas, pelo qual uma reta vertical divide a área total do histograma ao meio. A
abscissa desse ponto é a mediana da distribuição, uma vez que 50% dos valores observados
estarão abaixo dela e 50% estarão acima dela.
25
 24%
20%
2%
14% 12%
10% 10%
4% 6%
Somando as porcentagens nas primeiras classes, obtemos 4% + 10% + 14% + 20% = 48%
Precisamos de mais 2% para chegar aos 50%. Na classe 5 há 24%. Então, a mediana está
na 5ª classe, entre 2940g e 3060. Divida este intervalo em duas partes, sendo o
comprimento da primeira igual a 2/24 do comprimento total. Agora aplique a Fórmula
fundamental da mediana:
Fórmula fundamental da Mediana:
Mediana – Patamar Inferior = F * (Patamar Superior – Patamar Inferior)
 B
F = % de quanto falta para chegar a 50%.
B = % da barra de trabalho (a barra que possui o 50%)
Logo:
(Md – 2.940) = 2 (3.060 – 2.940)
 24
Md = 2.950g.
Conclui-se que 50% dos pesos são menores ou iguais a 2.950g, e 50% são maiores ou
iguais a 2.950g. Note que a mediana praticamente coincidiu com a média, cujo valor exato
era X = 2.947,2g, mas isso não ocorre sempre.
Cálculo da moda:
Pegue a coluna de maior “ f ” e aplique a fórmula:
Mo = l + L Mo = 2.940 + 3.060 = 3.000
 2 2
4º Trabalho Prático
16) O professor de estatística de uma faculdade experimentou dar uma prova sem limite de
tempo para os alunos. Os alunos presentes gastaram os tempos indicados na tabela:
 Tempo n.º de alunos
100 – 120 12
120 – 140 20
140 – 160 16
160 – 180 14
180 – 200 8
200 – 220 6
220 – 240 4
Soma = 50%
 2460 2580 2700 2820 2940 3060 3180 3300 3420
l = Limite Inferior da Barra de Trabalho
L = Limite Superior da Barra de Trabalho
26
Calcule a média e o desvio – padrão dessa distribuição.
a) Faça o histograma, indicando as porcentagens de cada classe.
b) Calcule a mediana.
Respostas:
a) X = 155 b) Md = 150
 DP = 33,69
Exercício Resolvido Importante
Calcule Md (Mediana) e DP (Desvio Padrão) da amostragem abaixo. (Use 9 classes)
18 13 95 101
121 38 8 3
55 62 18 54
62 18 93 91
84 43 20 54
1º Passo: Faça a conta n.º maior da amostragem – n.º menor da amostragem + 1
 121 – 3 + 1= 119
2º Passo: Dividir n.º encontrado pelo n.º de classes, ou seja, por 9 (nove) 119 : 9 = 13,22
3º Passo: Arredondar o n.º encontrado para o inteiro seguinte, ou seja, para 14
4º Passo: Fazer a tabela padrão
Classe Limites f x x * f d= x – x d 2 d 2 * f
1 - 5 -------- 9 2 2 4 - 50,15 2.515,02 5.030,04
2 10 -------- 23 5 16,5 82,5 - 35,65 1.270,92 6.354,60
3 24 -------- 37 0 30,5 0 - 21,65 468,72 0
4 38 -------- 51 2 44,5 89 - 7,65 58,52 117,04
5 52 -------- 65 5 58,5 292,5 6,35 40,32 201,6
6 66 -------- 79 0 72,5 0 20,35 414,12 0
7 80 -------- 93 3 86,5 259,5 34,35 1.179,92 3.539,76
8 94 -------- 107 2 100,5 201 48,35 2.337,72 4.675,44
9 108 --------121 1 114,5 114,5 62,35 3.887,52 3.887,52
∑ 20 1.043 23.806
 
27
Onde:
- f é quantidade de vezes que o número se repete na amostragem, dentro da classe
(parâmetro).
- x é a média aritmética entre o patamar superior e inferior de cada classe, ou seja, soma-
se os dois patamares e divide-se por dois.
- x * f é a multiplicação ente os dois
5º Passo: Fazer o Cálculo de x
Cálculo de x
 x = Σxf 
 Σf
 x = 1.043
 20
 x = 52,15
6º Passo: Fazer o Cálculo do Desvio Padrão (DP) e da Variância (V)
Cálculo da Variância (V) Cálculo do DP (Desvio Padrão)
V = Σ d2f
 Σ f
V = 23.806
 20
V = 1.190,3
DP = V
DP = 1.190,3
DP = 34,50
7º Passo: Fazer o Cálculo das porcentagens de cada barra, para colocação no Histograma.
- Utilizar a seguinte fórmula f * 100
 Σ f
 f * 100
 Σ f
 2 * 100
 20
 10%
 f * 100
 Σ f
 5 * 100
 20
 25%
 f * 100
 Σ f
 0 * 100
 20
 0%
 f * 100
 Σ f
 2 * 100
 20
 10%
 f * 100
 Σ f
 2 * 100
 20
 25%
 f * 100
 Σ f
 0 * 100
 20
 0%
 f * 100
 Σ f
 3 * 100
 20
 15%
 f * 100
 Σ f
 2 * 100
 20
 10%
 f * 100
 Σ f
 1 * 100
 20
 5%
28
8º Passo: Fazer o Histograma
 Barra de Trabalho
5 25% 25%
4
3 15%
2 10% 10% 10%
1 5%
0 0% 0%
-6 9 23 37 51 65 79 93 107 121
 Na classe consta – 5 subtrair sempre 1 para que as barras fiquem do mesmo tamanho.
9º Passo: Fazer o Cálculo da Mediana (Md)
Mediana – Patamar Inferior = F * (Patamar Superior – Patamar Inferior)B
Onde:
- Patamar Inferior é o menor número da Barra de Trabalho.
- Patamar Superior é o maior número da Barra de Trabalho.
- Barra de Trabalho é a barra onde estiver incluso 50%
- B é a percentagem da Barra de Trabalho
- F é a percentagem que faltou para chegar a 50% na barra anterior à Barra de Trabalho
Md - 51 = 5 * (65 - 51)
 25
Md - 51 = 0,2 * 14
Md - 51 = 2,8
Md = 2,8 + 51
Md = 53,8
R E S P O S T A
Mediana (Md) = 53,8
Desvio Padrão (DP) = 34,5
6 -AS SEPARATRIZES
Como vimos, a mediana caracteriza uma série de valores devido à sua posição central. No
entanto, ela apresenta uma outra. característica, tão importante quanto a primeira: ela
separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de valores.
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas
individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana
relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em sua posição na série.
Essas medidas – os quartis, percentis e os decis – são juntamente com a mediana,
conhecidas pelo nome genético de separatrizes.
29
6.1. OS QUARTIS
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais.
Há portanto, três quartis:
a) O primeiro quartil (Q1) – valor situado de tal modo na série que uma Quarta parte
(25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são
maiores.
b) O segundo quartil (Q2) – evidentemente, coincide com a mediana (Q2 = Md).
Parâmetro esse que já sabemos calcular através da utilização do histograma
(visto no capítulo anterior)
c) O terceiro quartil (Q3) – valor situado de tal modo que as três quartas partes
(75%) dos termos são menores que ele e uma Quarta parte (25%) é maior.
AS FÓRMULAS:
h
f
F
f
IQ
ANT 



−
+=
∑
)(
1
4
h
f
F
f
IQ
ANT 



−
+=
∑
)(
3
4
3
onde:
l = limite inferior da linha de trabalho
F (ant) = F acumulado da linha anterior a linha de trabalho
f = freqüência da linha de trabalho
h = subtração entre os limites superiores e inferior da linha de trabalho
OBS: Q4 = É o último número da amostragem ( não é necessário fórmula para o seu
cálculo).
6.1.1. CÁLCULO DA LINHA DE TRABALHO PARA Q1
1) Faça a coluna de “F” acumulados;
2) Some as freqüências e divida por 4;
3) Com o valor encontrado em 2, vá na coluna dos F acumulados e veja entre quais
limites de classes está situado esse valor (pegue a linha de baixo);
4) Essa linha será a linha de trabalho.
Obs.:
a) Para o cálculo da LT para Q3 no passo 2 faça o somatório das freqüências
multiplicado por três e dividido por 4.
b) Para o cálculo da LT para os percentis faça o número do percentil multiplicado pelo
somatório das freqüências dividido por 100.
30
Exemplo: Calcule Q1 e Q3 da tabela abaixo.
Tabela
ESTATURAS (CM) f F
150 – 154
154 – 158
158 – 162
162 – 166
166 – 170
170 - 174
4
9
11
8
5
3
 4
 13 ← (Q1)
24
 32 ← (Q3)
 37
 40
∑ 40
Primeiro Quartil Terceiro Quartil
Localizar L T Localizar L T
Temos: Temos:
 ∑ f = 40 = 10 3∑ f = 3 X 40 = 30
 4 4 4 4
Q1 = 154 + (10 – 4) 4 = Q3 = 162 + (30 – 24) 4 =
 9 8
Q1 = 154 + 24 = Q3 = 162 + 24 =
 9 8
Q1 = 154 + 2,66 = 156,66 Q3 = 162 + 3 = 165
Q1 = 156,7 cm Q3 = 165 cm
6.2. Os Percentis
Denominamos percentis os noventa e nove valores que separam uma série em 100 partes iguais.
Indicamos:
P1, P2, ...,P32, ......,P99.....
É evidente que:
P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3
O cálculo de um percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, a fórmula
 ( ∑ f )/2
será substituída por:
(K∑ f )/100
31
Sendo k o n0 de ordem do percentil.
Exemplo: Considerando a tabela anterior calcule o oitavo percentil:
K = 8 ⇒ 8∑ f1 = 8 x 40 = 3,2 ( com esse valor vá a coluna de "F" acumulado
 100 100 e descubra a linha de trabalho)
Logo:
P8 = 150 + (3,2 – 0) 4 = 150 + 12,8 = 150 + 3,2 = 153,2
 4 4
 P8 = 153,2 cm
6.3. Gráfico “ Quartis X Percentis”
(fornece valores de “Q’ e “P” graficamente)
F acumulado = eixo y
 limites de classes
 = eixo x
 a a a a a
! Para a elaboração do eixo x, basta ordenar os limites de classes em ordem crescente
 respeitando o espaço entre os limites de classes com a mesma unidade. (dimensão a).
! Para a elaboração do eixo y, pegue o F acumulado total e divida-o por 4. Esse valor
chame de A.
Eixo Y terá sempre 5 pontos.
Faça:
Y
4A (1º ponto) = 100%
3A (2º ponto) = 75%
2A (3º ponto) = 50%
A (4º ponto) = 25%
F = 0 (5º ponto) = 0%
! Trace retas paralelas passando por esses 5 (cinco) pontos ao eixo X.
! Trace retas perpendiculares ao eixo X passando pelos limites de classes.
32
! Marque os F acumulados referentes a cada limite de classe (considere o limite
superior), na reta perpendicular traçada no item anterior.
- Ligue os pontos.
F total = A
 F acumulado 4
 Q4
 Q2(Md) Q3
 Q1
 150 160 170 180
1º Corte com paralela dá Q1
2º Corte com paralela dá Q2
3º Corte com paralela dá Q3
Obs.: A obtenção das separatrizes pelo método gráfico gera um erro de cerca de 10% no
valor encontrado devido as imperfeições de desenho e escala utilizados. O cálculo de
separatrizes pelo método convencional ( por fórmulas) não gera erro.
Exercício resolvido:
Calcule Q1, Q2, Q3, P10 e P90 graficamente da tabela apresentada anteriormente de
estaturas de pessoas.
5º Trabalho Prático
17) Calcule o primeiro e o terceiro quartis dos 2 quadros abaixo:
 Quadro 1 Quadro 2
I) Notas f II) Salários(R$) F
0 –2 15 500 – 700 18
2 – 4 28 700 – 900 31
4 – 6 34 900 – 1100 15
6 – 8 40 1100 – 1300 3
8 – 10 57 1300 –1500 1
1500 –1700 1
1700–1900 1
Respostas:
I)Q1 = 4,03 II) Q1 = 694
 Q3 = 8,47 Q3 = 946
33
18) Calcule o 10º, o 1º, o 23º, o 15º, e o 90º percentis nas tabelas a seguir:
a) Salários b) Pesos
 (R$) f (Kg) f
 500 – 700 18 145 – 151 10
 700 – 900 31 151 – 157 9
 900 – 1.100 15 157 – 163 8
 1.100 – 1.300 3 163 – 169 6
 1.300 – 1.500 1 169 – 175 3
 1.500 – 1.700 1 175 – 181 3
 1.700 – 1.900 1 181 – 187 1
 Respostas:
 P10 = 577,77 P10 = 147,4
 P1 = 507,77 P1 = 145,24
 P23 = 678,88 P23 =150,52
 P15 = 616,66 P15 = 148,60
 P90 = 1.086,66 P90 = 175
19) Complete com (V) ou (F)
( ) 8º deciI = 88º percentil
( ) 2º quartil = 25º percentil
( ) 25º decil = 1º quartil
( ) 4º quartil = 1000º percentil
( ) 33º percentil = 3,03º decil
( ) 75º decil = 3º quartil
( ) Mediana = 5º percentil
( ) 10º percentil = 1º decil
( ) 7,5º decil = 3º quartil
( ) 2º quartil = 50º percentil
20) Calcule na tabela a seguir os valores de Q1, Md , P31 e D9.
Meses Dados Meses Dados
Janeiro 9 Julho 32
Fevereiro 15 Agosto 25
Março 23 Setembro Zero
Abril 29 Outubro 18
Maio 17 Novembro 14
Junho 13 Dezembro 30
Respostas: Q1 =3,31 Md =6,2 P31 = 3,78 D9 = 11,25
34
21)DADOS OS CONJUNTOS:
A= (10,11,12,13)
B= (9, 11, 8, 15)
C= (6, 8, 10,12)
PEDE-SE:
a) Qual o conjunto que possui maior desvio padrão? Qual é esse valor?
 Resposta: Conjunto B valor = 2,68
b) Se aumentarmos cada elemento do conjunto “A” de 2 unidades, os de “B “ de 1 unidade e
o conjunto “C “ permanecendo fixo, qual deles terá a menor variância? Qual é esse valor?
 Resposta: Conjunto “A” valor = 1,25
c) Tomamos todos os números dos conjuntos “A”, “B “ e “C “ e formando um único conjunto,
qual será a mediana e a moda? Resposta: Md = 10,5 Mo = 8,10, 11 e 12
22) Uma indústria com funcionários tem suas faixas salariais conforme tabela abaixo:
Nº de empregados salários
10 ---------------------------------------- 500,00
15----------------------------------------- 650,00
14----------------------------------------- 810,00
04-----------------------------------------1.200,00
A empresa deseja contratar dois gerentes (produção e Administrativo), pagando salários
iguais para ambos, mas quer que a média de sua folha de pagamento não ultrapasse o maior
salário pago atualmente na empresa. Qual deve ser o salário oferecido para os gerentes?
 Resposta: R$ 11 .555,00
23)Aplicou-se uma prova de estatística em certa turma onde a média final foi 6,5. Sabendo-
se que a média dos rapazes foi 4,5 e das moças foi 8,0, pergunta-se:
Qual a percentagem de moças que fizeram a prova? Resposta: 57.14%
24) Fui informado que o edifício Palace lI, possuía 20 aptos com 4 quartos, 35 com 3 quartos,
40 com 2 quartos e 85 com apenas 1 quarto.
Calcule a média, a moda, a mediana e o desvio padrão da situação acima, considerando
“X” = nº de quartos. Resposta: X = 1,94 Mo = 1
25) Uma empresa dividiu seus funcionários em classes de idade, onde o intervalo de cada
classe era de 4 anos. Sabendo-se que o mais jovem possuía 21 anos e o mais velho 60 anos
e a freqüência de classes da menor idade para maior idade era 3, 8, 4, 6, 10, 5, 3, 8, 4, 1
Calcule:
a) A Mediana Resposta = 38
b) O Desvio Padrão Resposta = 9,91
35
7 - MEDIDAS DE ASSIMETRIA
Embora as distribuições de frequência possam tomar praticamente qualquer forma, a maioria
das distribuições que encontramos na prática podem ser descrita satisfatoriamente por
alguns tipos-padrão. De suma importância é a distribuição que se aproxima da forma de um
sino exibida na figura abaixo, conhecida como distribuição simétrica
(Moda=Média=Mediana).
Figura 7-1. Distribuição em forma de sino – Simétrica
Entretanto, a maioria das distribuições não são simétricas, portanto são denominadas de
distribuições assimétricas. São de 2 tipos: Assimétrica Positiva e Assimétrica Negativa.
1º tipo: Assimétrico à direita ou negativo – o gráfico está tombado para o lado direito.
Figura 7-2. Distribuição negativamente assimétrica
Média ( X ) < Mediana
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Moda=Média=Mediana
Fr
eq
uê
nc
ia
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fr
eq
uê
nc
ia
36
2º tipo: Assimétrico à esquerda ou positivo – o gráfico está tombado para o lado direito do
gráfico
Figura 7-3. Distribuição positivamente assimétrica
Média ( X ) > Mediana
Podemos utilizar a relação entre a média e mediana para definir uma medida relativamente
simples de assimetria, chamada coeficiente de assimetria de Pearson, que é dado por SK
ou As.
σ
−
=
)(3 MedianaXSK
Como vamos necessitar dos valores da Média, Mediana e do Desvio-Padrão para obtermos
o coeficiente de Pearson, faremos uma Revisão do Cálculo da Média Aritmética e Moda Sem e
Com Limites de Classes
 CÁLCULO DA MÉDIA ARITMÉTICA
SEM Limite de Classe 
Exemplo: Calcule a Média da tabela abaixo:
x F f * x
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
∑ = 34 ∑ = 78
Aplique a Fórmula:
0
20
40
60
80
100
120
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Fr
eq
uê
nc
ia
37
 x = ∑ x f x = 78 x = 2,29
 ∑ f 34
COM Limite de Classe
Exemplo: Calcule a média da tabela abaixo
Estaturas (cm) F x f * x
150—154 4 152 608
154-—158 9 156 1.404
158—162 11 160 1.760
162—166 8 164 1.312
166—170 5 168 840
170—174 3 172 516
∑∑∑∑ 40 6.440
Aplique a mesma Fórmula:
∑
∑
=
f
xf
X = 6440/40 = 161
CÁLCULO DA Mo (MODA)
SEM limite de classe
Nº de meninos F
0 2
1 6
2 10
3 12
4 4
Imediato: Quem tiver maior “f ”, será a moda.
Mo = 3
COM limite de classe
Fórmula:
Mo = (l + L)/2
l = Limite inferior da linha de trabalho
L = Limite superior da linha de trabalho
Exemplo: Calcule a moda da tabela a seguir:
Estaturas (cm) F
150—154 4
154—158 9
158—162 11
162—166 8
166—170 5
Mo = (158 + 162)/2 = 160
Mo = 3
Linha de
Trabalho
(maior f)
38
6º Trabalho Prático
30.Diga para as distribuições A, B e C a seguir, se são:
" Assimétrica Negativa
" Assimétrica Positiva
Distribuição A Distribuição B Distribuição C
Pesos (kg) F Pesos (kg) f Pesos (kg) f
2 – 6 6 2 – 6 6 2 – 6 6
 6 – 10 12 6 – 10 12 6 – 10 30
10 – 14 24 10 – 14 24 10 – 14 24
14 – 18 12 14 – 18 30 14 – 18 12
18 – 22 6 18 – 22 6 18 – 22 6
∑ 60 ∑ 78 ∑ 78
8 - CÁLCULO DO GRAU DE ASSIMETRIA
Fórmula Fundamental:
σ
−
=
)(3 MedianaXSK
Se: SK ≤ 0,15 gráfico simétrico
 0,15 < SK ≤1 assimétrico moderado
 SK > 1 assimétrico forte
SK é conhecido como Coeficiente de Pearson2, os valores de SK situam-se entre –3 e
3. Se a média for menor que a mediana a assimetria é negativa e quando a média for maior
que a mediana teremos assimetria positiva.
Revisão do cálculo da mediana (Md) e Desvio Padrão (DP) sem e com limites de
classes
CÁLCULO DA Md (MEDIANA)
Sem limites de classe
1. Calcule 
2
∑ f
2. Com o valor encontrado em 1, vá na coluna do “f” acumulado e ache a posição que o
engloba (pegue a linha de baixo).
Exemplo: Calcule a mediana da tabela a seguir:
 
2 A divisão pelo desvio-padrão torna SK independente da unidade de medida.
39
Idades Número de pessoas(y) F acumulado
0
1
2
3
4
2
6
10
12
4
2
8
18
30
34
∑ 34
 
2
∑ f = 34/2 = 17
a maior freqüência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da
variável, sendo este o valor mediano. Logo:
Md = 2 meninos
b) Com limites de classes
Aplique a Fórmula:
h
f
F
f
IQM
ANT
D



−
+==
∑
)(
2
2
Onde:
l = limite inferior da linha de trabalho
F (ant) = f acumulado anterior da linha de trabalho
h = diferença dos limites de classe da linha de trabalho
f = freqüência da linha de trabalho
Exemplo: Calcule a mediana da tabela abaixo
Estruturas (cm) f F acumulado
150—154 4 4
154—158 9 13
158—162 11 24 LT
162—166 8 32
166—170 5 37170—174 3 40
∑ 40
Localizando a linha de trabalho:
2
∑ f = 40/2 = 20 vá com esse valor na coluna dos F acumulados
Localizada a linha de trabalho, aplique a fórmula:
40
54,160
11
413
2
40
158 =


−
+=DM
ou poderia ter sido feito pelo uso do histograma e a fórmula específica para esse caso.
CÁLCULO DO σσσσ (DESVIO-PADRÃO)
a) SEM limites de classe
Aplique a Fórmula:
2
2



−==σ
∑
∑
∑
∑
f
xf
f
fx
DP
Exemplo: Calcule o DP da tabela abaixo:
X F x f x 2f
0 2 0 0
1 6 6 6
2 12 24 48
3 7 21 63
4 3 12 48
∑ 30 63 165
Logo:
2(63/30)-
30
165 ==σ DP = 1,044
b) COM intervalos de classes.
Exemplo: Calcule o DP do quadro abaixo:
I Estaturas (cm) f x f * x f * x 2
1 150—154 4 152 608 92.416
2 154—158 9 156 1.404 219.024
3 158—162 11 160 1.760 281.600
4 162—166 8 164 1.312 215.168
5 166—170 5 168 840 141.120
6 170—174 3 172 516 88.752
∑ 40 6.440 1.038.080
Logo:
 ( ) 567,531259212595240/6440
40
1038080 2
==−=−=DP
Agora podemos aplicar a fórmula do coeficiente de assimetria, já que fizemos uma revisão do cálculo
de Md e σ .
41
σ
−
=
)(3 MedianaXSK
Exemplo: Determine o grau de assimetria da tabela abaixo:
Pesos (Kg) x x * f f * x2 Número de alunos F acum.
50 a 58 Kg 54 540 29.160 10 10
58 a 66 Kg 62 930 57.660 15 25
66 a 74 Kg 70 1750 122.500 25 50LT
74 a 82 Kg 78 1872 146.016 24 74
82 a 90 Kg 86 1376 118.336 16 90
90 a 98 Kg 94 940 88.360 10 100
∑ 7408 562.032 100
a) Cálculo de x = 7408 = 74,08
 100
b) Cálculo de Md
Localizando LT de Md
100 = 50
 2
h
f
F
f
IQM
ANT
D



−
+==
∑
)(
2
2
( ) 74
25
)6674(2550662 =
−−
+== QMD
c)Cálculo de DP
12,2
100
7408
100
562032
2
=


−==σ DP
SK = 3(74,08 – 74)/2,12 = 0,11 o gráfico é simétrico pois SK < 0,15.
42
9 - COEFICIENTE DE VARIAÇÃO - CV
Fornece a percentagem de afastamento de um ponto de um gráfico para outro em média.
DP = desvio padrão
X = média
Utilizado quando se deseja comparar produtos no tocante a variações de medidas e
desempenho.
Exemplo: Tomemos os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo
grupo de indivíduos:
 x DP
Estaturas 175 cm 5,0 cm
Pesos 68 Kg 2,0 Kg
Temos:
CVE = 5 x 100 = 0,0285 x 100 = 2,85%
 175
CVP = 2 x 100 = 0,0294 x 100 = 2,94%
 68
Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que as
estaturas.
Exercício resolvido:
Calcule o CV das distribuições abaixo:
a) Massa de alunos:
80 – 76 – 45 – 39 – 62 – 70 – 82 – 55
b) Altura de alunos
1,55 – 1,71 – 1,80 – 1,93 – 1,74 – 1,51 – 1,65 – 1,77
Solução de a:
a)CV = DP x 100
 x
 Cálculo de x
x = ∑ y = 80 + 76 + 45 + 39 + 62 + 70 + 82 + 55 → x = 63,63
 n 8
100.
X
DPCV =
43
 Cálculo de DP
V = √ ( 16,38 )2 + ( 12,37 )2 + ( 18,63 )2 +( 24,63 )2 + ( 1,63 )2 + ( 6,37 )2 + ( 18,37 )2 + ( 8,63 )2 = √1.830,20
8 8
→ √228,78 → = 15,13 DP é a raiz quadrada da variância, logo: raiz quadrada de 228,76 é igual a 15,13.
Logo:
CV = 15,13 x 100 = 23,77% Resposta: Pontos afastados em 23,77%
 63,63
Solução de b:
Cálculo de x
x = ∑ y = 1,55 + 1,71 + 1,80 + 1,83 + 1,74 + 1,51 + 1,65 + 1,77 = 13,66 → x = 1,7075
 n 8 8
Cálculo de DP
V = √ ( 0,1575 )2 + ( 0,0025 )2 + ( 0,0925 )2 + ( 0,2225 )2 + ( 0,0325 )2 + ( 0,1975 )2 + ( 0,05 )2 + ( 0,0625 )2 =
8
 → √ 0,13015 → √ 0,0161679 → V = 0,127549
 8
DP é a raiz quadrada da variância, logo: raiz quadrada de 0,0161679 é igual a 0,127549
Logo:
 CV = 0,127549 x 100 = 7,46%
 1,7075
Resposta: Pontos afastados em 7,46%
Exemplo prático:
Sucessivas medidas do diâmetro de um mancal, efetuadas com um micrômetro, acusaram
média de 2,49 mm e desvio-padrão de 0,012mm; e várias medidas de comprimento natural
de uma mola (não-distendida) efetuadas com outro micrômetro acusaram média de 0,75 “, e
desvio-padrão de 0,012”. Qual dos dois é relativamente mais preciso?
Solução:
Calculando os dois coeficientes de variação, obtemos:
%27,0%100
75,0
002,0
%48,0%100
49,2
012,0
==
==
CV
CV
O segundo micrômetro é mais preciso, por apresentar medidas relativamente menos
variáveis. Como ambos os coeficientes de variação são inferiores a 1% , ambos revelam alta
precisão.
44
10 - CURTOSE
Mede o grau de achatamento de uma distribuição.
São de 2 tipos:
1º Tipo: LEPTOCÚRTICO (Distribuição Fechada) – Gráfico Alto e Fino
2º Tipo: PLATICÚRTICO(Distribuição Aberta) - Gráfico Baixo e Gordo
Fórmula Fundamental:
)(2 1090
13
PP
QQ
C
−
−
=
Já que sabemos todos os elementos acima
Se:
C ≤ 0,263 curva leptocúrtica (gráfico alto e fino)
C > 0,263 curva platicúrtica (gráfico baixo e gordo)
Exemplo numérico resolvido:
Calcule o coeficiente de curtose a analise a distribuição quanto ao seu achatamento.
Salários (R$) x Y
500 – 700 17
700 – 900 32
900 – 1100 16
1100 – 1300 4
1300 – 1500 12
1500 – 1700 23
1700 – 1900 31
Solução
Cálculo de Q1
1) Cálculo dos “y” acumulados
Salários (R$) Y y acumulados
500 – 700 17 17 (P10)
700 – 900 32 49 (Q1)
900 – 1100 16 65
1100 – 1300 4 69
1300 – 1500 12 81
1500 – 1700 23 104 (Q3)
1700 – 1900 31 135 (P90)
∑ 135
2) ∑ y = 135 = 33,75 localizo a linha de trabalho
 4 4
45
2) Aplico a fórmula:
Q1 = l + ∑ y - y (ant.) * h
 4
 y
Q1 = 700 + (33,75) - 17 x 200 = Q1 = 804,67
 32
Cálculo de Q3
Localização da linha de trabalho
3∑ y = 3 x 33,75 = 101,25 localizo a linha de trabalho
 4
Aplicando a fórmula:
Q3 = 1500 + (101,25 - 81) x 200 = Q3 = 1.676,08
 23
Cálculo de P10
Localização da linha de trabalho (L.T)
K ∑ y = 10 x 135 = 13,5 localizo a linha de trabalho
100 100
Fórmula:
PK = l + K ∑ f - F (ant) * h
 100
 y
P10 = 500 + 10 x 135 - 0 * 200 = 658,82
 17
Cálculo de P90
K ∑ y = 90 x 135 = 121,5 localizo a linha de trabalho
100 100
Aplicando a fórmula:
90,1812
31
104)200-(90x135 1700P10 =+=
46
Cálculo de curtose
)(2 1090
13
PP
QQ
C
−
−
=
C = 1.676,08 – 804,69 = C = 0,3775
 2*(1.812,90 – 658,82)
Como 0,3775 é > 0,263 é curva PLATICÚRTICA (baixa e gorda)
7º Trabalho Prático
31.Considere as seguintes medidas, relativas a três distribuições de freqüência:
Distribuições Q1 Q3 P10 P90
A 814 935 772 1.012
B 63,7 80,3 55,0 86,6
C 28,8 45,6 20,5 49,8
Calcule os respectivos graus de curtose.
Faça seus gráficos.
Respostas:
A) Leptocúrtica = 0,252
B) Leptocúrtica = 0,2626
C) Platicúrtica = 0,287
47
Tabela de gráficos estatísticos
Gráficos
Nome
CCL
(Reta / Parábola /
Espalhado)
(Sempre ≤ 1.0)
AS
(Coeficiente de assimetria)
(Simétrico / Assimétrico)
 __
X – Mo
(Cálculo do
tombamento)
C
(curtose)
(Alto / Fino)
(Baixo / Gordo)
1
Retas
Ascendentes
0.6 1.0
______________________ ___________ ________________
2
Retas
Descendentes
-0.6 -1.0
______________________ ___________ ________________
3 Espalhado
00.3
______________________ ___________ ________________
4
Simétrico
Padrão
0.3 0.6
AS ≤ 0.15
___________
C = 0.263
5
Simétrico
Alto – fino
0.3 0.6
AS ≤ 0.15
___________ C < 0.263
6
Simétrico
Baixo – gordo
0.3 0.6
AS ≤ 0.15
___________
C > 0.263
7
Assimétrico
Moderado
Esq. Baixo-gordo 0.3 0.6
AS
 0.15 1.0
- C > 0.263
8
Assimétrico
Forte
Esq. Baixo-gordo 0.3 0.6
AS
 1.0
- C > 0.263
9
Assimétrico
Moderado
Dir. Baixo–gordo 0.3 0.6
AS
 0.15 1.0
+ C > 0.263
10
Assimétrico
Forte
Dir. Baixo-gordo 0.3 0.6
AS
 1.0
+ C > 0.263
11
Assimétrico
Moderado
Esq. Alto-fino 0.3 0.6
AS
 0.15 1.0
- C ≤ 0.263
12
Assimétrico
Forte
Esq. Alto-fino 0.3 0.6
AS
 1.0
- C ≤ 0.263
13
Assimétrico
Moderado
Dir. Alto-fino 0.3 0.6
AS
 0.15 1.0
+ C ≤ 0.263
14
Assimétrico
Forte
Dir. Alto-fino 0.3 0.6
AS
 1.0
+ C ≤ 0.263
Bolinha aberta – Não considera o número Bolinha fechada – Considera o número
48
Exercícios de Revisão
32) Obedecendo a nomenclatura apresentada anteriormente para os 14 gráficos estatísticos
existentes (de “1” até “14”), preencha os parênteses com o número correspondente as
situações descritas.
T a b e l a
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x - Mo + + - - + - + + + -
AS 0,4 0,08 0,17 1,2 0,12 - 3,4 - 1,43 0,84 4,3 - 2,2
Curtose 0,202 0,89 0,104 0,369 0,263 0,17 0,555 1,101 5,4 0,100
CCL 0,59 0,4 0,4 0,59 0,35 0,3 0,51 -0,2 0,29 0,8
33)Calcule o coeficiente de Pearson da tabela a seguir, onde é mostrado a evolução do
número de alunos que concluíram o curso de Antropologia ao longo dos anos no Brasil.
(utilize 2 casas decimais) Resposta: SK = 5,22%
Anos Formandos
1950 24
1958 33
1965 18
1971 55
1974 60
1983 11
1987 15
1995 36
1996 42
34)Determine o tipo de assimetria da tabela abaixo, pelo método estatístico da moda e seu
grau de assimetria. Faça seu gráfico. Resposta : assimétrico à direita e SK = - 0,58
Pesos dos alunos Nº de Alunos
50 – 58 quilos 10
58 – 66 quilos 12
66 – 74 quilos 17
74 – 82 quilos 20
82 – 90 quilos 25
90 – 98 quilos 34
EXERCíCIO
Observações importantes:
a) TODOS os itens respondidos abaixo devem possuir memória de cálculo, caso contrário o
item será zerado.
b) Ao inventar seus dados, promova uma parábola assimétrica.
49
35) Enunciado do trabalho:
Invente dados estatísticos com 9 limites de classes e responda as seguintes perguntas:
a) Qual a média aritmética?
b) Qual o desvio padrão?
c) Qual a mediana?
d) Qual a moda?
e) A tabela possui formato de um reta, parábola ou espalhada? Atenção: tem que ser
parábola, caso contrário o trabalho não será corrigido.
f) A parábola é tombada para direita ou para esquerda?
g) A parábola é do tipo: simétrica, assimétrica moderada ou assimétrica forte? Atenção: tem
que ser assimétrica, caso contrário o trabalho não será corrigido.
h) É do tipo: leptocúrtica ou platicúrtica?
i) Esboce seu gráfico final, levando em consideração todos os itens relevantes acima.
j) Qual o percentual da defasagem dos pontos?
Veja a solução do exercício tipo “molde” a seguir:
Macanduba do Norte é uma pequena cidade do interior, cuja população absoluta constitui-se
de apenas 60 pessoas. Visando analisar a faixa etária dos habitantes da cidade, a prefeitura
de Macanduba do Norte realizou um censo, no mês de Maio de 1998, obtendo os seguintes
resultados:
• 13,3% da população têm entre 0 e 20 anos;
• 6,7% da população têm entre 20 e 40 anos;
• 41,7% da população têm entre 40 e 60 anos;
• 16,7% da população têm entre 60 e 80 anos;
• 21,6% da população têm entre 80 e 100 anos;
A partir dos valores descrito, a prefeitura da cidade montou a seguinte tabela:
Idade Nº de
Habitantes
0 – 20 8
20 – 40 4
40 – 60 25
60 – 80 10
80 – 100 13
Total 60
Cálculos e Tabelas
Tabela para resolução das letras “a”, “b”, “c”, e “d”.
Idade x y x * y x2 * y y ant
0 – 20 10 8 80 800 8
20 – 40 30 4 120 3600 12
40 – 60 50 25 1250 62500 37
60 – 80 70 10 700 49000 47
80 –100 90 13 1170 105300 60
∑ 250 60 3320 221200
50
a) Média de amostragem:
x = ∑ x * y → 3.320 → x = 55,33
 ∑ y 60
b) Desvio Padrão:
DP = √ ∑ x2 * y - ∑ x * y 2
 ∑ y ∑ y
 DP = √ 221.200 - 3.320 2 → √ 3.686,66 – 3061,4 → √ 625,26 → DP = 25,00
60 60
c) Mediana:
 Md = l + ∑ y - y (ant) * h → 40 + 60 - 12 * 20 → 40 + 360 →
 2 2 25
 y 25
→ 40 + 14,4 = 54,4 → Md = 54,4
d) Moda:
 Mo = 40 + 60 = 50 → Mo = 50
 2
 Tabela para resolução da letra “e”
Idade x y x * y x2 y2
0 – 20 10 8 80 100 64
20 – 40 30 4 120 900 16
40 – 60 50 25 1250 2500 625
60 – 80 70 10 700 4900 100
80 –100 90 13 1170 8100 169
∑ 250 60 3320 16500 974
Cálculo de x – Mo = 55,33 – 50 = 5,33 positivo ( tombado para a direita)
g)Coeficiente de Assimetria:
SK = 3 * (x – Md) = 3 * (55,33 – 54,4) = 3* (0,93) = 3 * 0,037 = 0,17 é assimétrico - ok
 DP 25 25
Tabela para resolução da letra “h”
Idade Y y ant.
 00 – 20 8 8(P10)
20 – 40 4 12
40 – 60 25 37(Q1)
60 – 80 10 47(Q3)
80 – 100 13 60(P90)
∑ 60
51
Curtose
• L.T de Q1 : ∑ y = 60 = 15
4 4
Q1 = l + ∑ f - y (ant.) * h = 40 + ( 15 – 21 ) * (40 – 20)
 y 25
 Q1 = 40 + 3 * 20 = 40 + 60 = 40 + 2,4 = 42,4
 25 25
• L.T de Q3 : 3 * ∑ y = 3 * 60 = 180 = 45
 4 4 4
 Q3 = l + 3 * ∑ y - y (ant.) * h = 60 + ( 45 – 37 ) *( 80 – 60)
 4 10
 y
 Q3 = 60 + 8 . 2 = 60 + 16 = 76
• L.T de P10 : 10 * ∑ y = 10 * 60 = 600 = 6
 100 100 100
 P10 = l + 10 * ∑ y - y (ant.) * h = 0 + ( 6 – 0 ) * (20 – 0) = 120 = 15
 100 8 8
 y
• L.T do P90 : 90 * ∑ y = 90 * 60 = 5.400 = 54
 100 100 100
P90 = l + 90 * ∑ y - y (ant.) * h = 80 + ( 54 – 47 ) * ( 100 – 80 )
 100 13
 y
P90 = 80 + 7 * 20 = 80 + 140 = 80 + 10,76 = 90,76
 13 13
Curtose = ==
−
−
=
)76,75(2
6,33
1576,90(2
4,4276
)P - 2(P
Q - Q
1090
13 0,22
i) Gráfico de Amostragem:
• Curtose = 0,22 < 0,263 Alta e fina é o gráfico “13” da tabela
• SK= 0,17 > 0,15 Assimétrico
• x – Mo = + Tombado para direita
52
j) Coeficiente de variação de amostragem:
CV = DP * 100 = 25 * 100 = 0,45 * 100 = 45 Os pontos estão afastados em 45%.
 x 55,33
36) Calcule o coeficiente de curtose e esboce o seu gráfico da tabela abaixo. (utilizar 2 casas
decimais) Resposta: 0,325 - Platicúrtica
Salários (R$) f
50 – 58 quilos 10
58 – 66 quilos 12
66 – 74 quilos 17
74 – 82 quilos 20
82 – 90 quilos 25
90 – 98 quilos 34
11 – ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
11.1. Espaço Amostral
É o conjunto de todos os resultados possíveis