circuitos_eletricos_1_corrente_continua_e_alternada

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FIEL
FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA
ENGENHARIA ELÉTRICA
Grandezas Elétricas			Unidade 		Símbolo
Corrente				Ampère		A
Potencial Elétrico ou 
Tensão Elétrica			Volt			V
Resistência Elétrica			Ohm			Ω
Energia, Trabalho			Joule			J
Energia Elétrica			Watt-hora		Wh ou kWh
Carga Elétrica 				Coulomb		C
Condutância Elétrica			Siemens		S ou 1/ Ω
Indutância Elétrica			Henry			H
Capacitância Elétrica			Faraday		F
Freqüência Elétrica			Hertz			Hz
Potência Elétrica			Watt			W
Fluxo Magnético			Weber			Wb
Campo de Indução Magnética (B)	Weber/m2		Wb/m2	
Campo Eletromagnético (H)		Ampère/ m		A/ m
Múltiplos e Submúltiplos
 Giga					10 9			G
Mega					10 6			M
Quilo					10 3			k
Centi					10 -2			c
Mili					10 – 3			m
Micro					10 -6			μ
Nano					10 – 9			n
Pico					10 – 12			p
Dispositivos Elétricos
RESISTOR
	Resistor é um dispositivo conversor/consumidor de energia. Recebe a energia da fonte de alimentação, que não pode ser devolvida e transforma em potência dissipada (P = R i2).
	Todos os dispositivos elétricos que consomem energia devem ter resistência em seus modelos de circuitos. É um elemento passivo, conversor de energia e descrito por equações algébricas.
	Dispositivo Resistor ( ) Propriedade Resistência Elétrica e Símbolo Ω 
1ª. Lei de Ohm
Existe uma proporcionalidade entre a tensão aplicada e a corrente que passa pelo elemento passivo.
INDUTOR
	Um indutor (propriedade indutância) é um elemento do circuito que armazena energia no campo eletromagnético. Normalmente armazena energia num certo período e devolve em outro, de tal modo que a potência média é nula.
	Dispositivo Indutor ( ) Propriedade Indutância e Símbolo H
	Tensão no Indutor: 
	Corrente no Indutor: 
	Reatância Indutiva X = j w L = j 2 π f L (Ω)
CAPACITOR
	Sua estrutura tem a habilidade de armazenar energia na forma de um campo elétrico e é igual à quantidade de carga que pode ser armazenada, dividida pela tensão aplicada às placas.
	Dispositivo Capacitor ( ) Propriedade Capacitância e Símbolo C.
	A capacitância de um capacitor depende da área das placas condutoras, da distância entre as placas e da constante dielétrica do material isolante.
	
 onde εo = constante dielétrica do ar ou vácuo = 8,85 x 10 -12 F / m
Tensão no capacitor: 
Corrente no Capacitor: 
Reatância Capacitiva X = 
 
Associação Série de Resistores
Associação Paralela de Resistores
Associação Série de Capacitores
Associação Paralela de Capacitores
Associação Série de Indutores
Associação Paralela de Indutores
Transformação Estrela – Delta (Υ – Δ)
Sejam Ra, Rb e Rc os valores dos resistores ligados em estrela. Os valores dos resistores ligados em delta valem:
Ou seja, R eq. é igual ao produto duas a duas dividido pela oposta.
Para a transformação Delta – Estrela (Δ – Υ)
Ou seja, Req. É igual ao produto dos Resistores adjacentes dividido pela soma.
2ª. Lei de Ohm
 onde R = Resistência Elétrica (Ω), L é o comprimento (m), S é a Secção
 (m2) e ρ é a resistividade do material.
Lei da Conservação da Carga ou 1ª. Lei de Kirchhoff
	A soma das intensidades de corrente que se afasta de um ponto (nó) do circuito é igual à soma algébrica das intensidades de corrente que chegam ao mesmo ponto (nó).
	
Σ correntes que entram = Σ correntes que saem
Lei da Conservação de Energia ou 2ª. Lei de Kirchhoff
	A soma algébrica de todas as quedas de tensões tomadas numa direção especificada, em um circuito fechado é nula.
– Va + V1 + Vb + V2 + V3 = 0 ou 
– Va + I R1 + Vb + I R2 + I R3 = 0
Va – Vb = ( R1 + R2 + R3 ) I 
Generalização da Lei das Malhas ou Método de Maxwell
	A tensão entre os pontos a e b de um circuito é dada pela somatória das quedas de tensão nos resistores, subtraindo-se as f.e.m. existentes nos trechos. 
	Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?)
Obs.: A interrogação é para chamar a atenção quanto às polaridades (Ɛ) e o sentido da corrente (R i).
	Se a malha for fechada Vab = 0 e, portanto, Σ Ɛ (?) = Σ R i (?). 
Aplicação;
Dado o circuito da figura, calcular as correntes em cada resistor e as tensões Vbc por vários caminhos.
Equacionando:
84 = 18 I1 - 6 I2		84 = 18 I1 - 6 I2
 - 21 = 9I2 - 6 I1 	 - 63 = - 18 I1 + 27 I2
Somando, membro a membro, teremos:
21 = 21 I2 
I2 = 1 A; 
substituindo o v alor de I2 em qualquer das equações acima, obteremos:
I1 = 5 A
Aplicando a equação de malha aberta: 
Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?), teremos:
Vab = 12 x 5 – 0 = 60 V
Vbc (1) = 6 ( I1 - I2) = 6 x 4 = 24 V
Vbc (2) = 12 ( - I1 ) - ( - 84) = 12 x (- 5) + 84 = 24 V
Vbc (3) = 3 ( I2 ) - ( - 21) = 3 x 1 + 21 = 24 V
Vca = 0 - (84) = - 84 V
Vbd = 3 x 1 = 3 V
Vcd (1) = 0 - 21 = - 21 V
Vcd (2) = 6 (I2 – I1) + 3 I2 = 6 (-4) + 3 = - 21 V
Solução de Circuito pelo Método das Tensões Nodais
 Σ i (nó 1) = 0 
�� EMBED Equation.3 
V1 - 84 + 2 V1 + 4 (V1 - 21) = 0 V1 + 2 V1 + 4 V1 = 84 + 84
7 V1 = 168 V1 = 24 V
Valores das Correntes:
Verificar que a soma das correntes no nó 1 é igual a zero, ou seja, está chegando 5A e está saindo 5A.
Solução de Circuito pelo Método das Correntes de Laço
84 = 18 I1 + 12 I2
84 - 21 = 15 I2 + 12 I1
Resolvendo o sistema tem-se: I1 = 4 A e I2 = 1 A
A corrente no resistor de 12 Ω é igual a I1 + I2 = 4 + 1 = 5 A.
Teorema da Superposição
	O teorema afirma que numa rede com duas ou mais fontes, a corrente (ou a tensão) para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando individualmente (separadamente).
	Todos os componentes precisam ser lineares e bilaterais.
Linear: a corrente e a tensão obedecem à lei de Ohm.
Bilateral: a corrente não muda de valor se a fonte de tensão for invertida.
	Empregando o método da superposição, calcular a corrente em cada resistor. A corrente (ou a tensão) para qualquer componente é a soma algébrica dos efeitos produzidos por cada fonte atuando separadamente.
1º. Passo: Calcular as correntes devido apenas às fontes de tensão V1, anulando o efeito da tensão V2. Anular o efeito da fonte de tensão significa substituí-la por um curto-circuito. 
2º. Passo: Calcular as correntes devido apenas à fonte de tensão V2, anulando o efeito da tensão V1.
 
3º. Passo: Somando as parcelas individuais devido às fontes V1 e V2, teremos as corrente totais:
	I1 = 2,0 – 1,5 = 0,5 A
	I2 = 3,0 – 1,0 = 2,0 A
	I3 = 1,0 + 1,5 = 2,5 A
Teoremas de Thévènin e Norton
O teorema de Thévènin afirma que é possível substituir parte de um circuito linear por uma fonte de tensão VTH em série com uma resistência equivalente RTH e o teorema de Norton permite a substituição por uma fonte de corrente IN, em paralelo com uma resistência RN.
Considere que o circuito possa ser separado em 2 partes A e B
Obtenção do Circuito Equivalente
	R TH e R N são iguais e são obtidas calculando-se a resistência equivalente do circuito A, anulando-se os efeitos das fontes de tensão.
	V RH é igual à tensão em vazio (sem o circuito B) entre os pontos a e b. IN é igual à corrente de curto-circuito entre os pontos a e b.
 
 Como os circuitos equivalentes de Thévènin e Norton representam o mesmo circuito A, ambos se relacionam por:
				R TH = R N = V TH / I N
Aplicação:
Obter os circuitos equivalentes de Thévènin e NortonCálculo do R TH = R eq
 
Cálculo do V TH = V ab
Vab = Σ R i (?) - Σ Ɛ (?) ou Σ R i (?) = Σ Ɛ (?) 
9 I1 = 20 + 10 			 I1 = 30 / 9 = 10 / 3 A
V ab (1) = 6 x 10 / 3 - 10 = 10 V e V ab (2) = 3 ( - 10 /3) – ( - 20 ) = 10 V
Portanto, o Thévènin equivalente é:
Norton Equivalente:
Cálculo de IN = I2
20 + 10 = 9 I1 - 6 I2 30 = 9 I1 - 6 I 2 60 = 18 I 1 - 12 I2 
 - 10 = 9 I2 - 6 I1 - 10 = - 6 I1 + 9 I2 -30 = -18 I1 + 27 I2 
30 = 15 I 2 I2 = 2 A
2) Calcular I3 por Thévènin
		
Tensão entre os pontos a e b → V TH = ?
V 1 - V 2 = 2 I 3 – 4.5 = 2 I → I = - 0,75 A
V ab = V TH = 1 ( - 0,75) - ( 3 ) = - 3,75 V
Ou considerando o sentido correto de I = 0,75 A
V ab ( 1 ) = V TH = 1 x 0,75 - ( - 3 ) = - 3,75 V
V ab ( 2 ) = V TH = 1 x ( - 0,75) - ( - 4 ,5 ) = 3,75 V
Obs.: Escolher o caminho que não dê margem a dúvidas.
Portanto,
I 3 = 
�� EMBED Equation.3 
3) Calcular a corrente IL utilizando Norton
			
Cálculo do Req 
				
Cálculo de IN
		IN = 10 / 4 = 2.5 A
Portanto, I L = 
 A
Máxima Transferência de Potência
	Em várias aplicações, é desejável obter a máxima potência que uma fonte de tensão pode fornecer a uma carga, A transferência máxima ocorre quando a resistência de carga RL for igual à resistência interna da fonte, ou seja, RL = Ri.
	A potência máxima na carga é:
	PL = R L I2 onde I = 
Para o circuito da figura em que V = 10 V, Ri = 5 Ω e RL = 5 Ω
I = 
 P L = R L x I 2 = 5 x 1 2 = 5 W
 Ri
	RL (Ω)
	I (A)
	P (W)
	4,5
	1,053
	4,986
	5,0
	1
	5,000
	5,5
	0,952
	4,989
 (Resist. Interna)
 V Fonte R L
 (Resist. Carga)
Exercício
Calcular as tensões V1, V2, V3 e as correntes em cada ramo.
O nó g (ground) foi tomado como referência.
Equacionando:
Nó 1: 
Nó 2: 
Nó 3: 
A resolução por qualquer método dá como solução: V1 = 1,0 V; V2 = 2,0 V e V3 = 3,0 V.
As correntes que passam nos resistores de 1 Ω, 2 Ω, 3 Ω e 4 Ω valem, respectivamente: 2,0 A; 0,5 A; 0,333 A; 0,50 A e 0,6 A. Comprove se a Σ das correntes em cada nó é igual a 0. 
Exercício
Calcular a corrente no resistor de 23 Ω do circuito, através de transformações sucessivas
Cálculo da corrente no resistor de 23 Ω através de divisor de corrente:
I 23 Ω = 
 . 
Obs. Você pode checar o valor por outro método qualquer.
CORRENTE ALTERNADA MONOFÁSICA
	A corrente alternada (CA) é uma corrente elétrica cuja magnitude e direção variam ciclicamente, ao contrário da corrente contínua cuja direção permanece constante e com pólos positivo e negativo definidos. Sua forma usual é uma onda senoidal por ser a forma de transmissão de energia mais eficiente.
	A corrente alternada foi adotada para transmissão de energia elétrica a longas distâncias devido à facilidade de ter seus valores elevados ou abaixados através de transformadores. No entanto as primeiras experiências e transmissões foram feitas em corrente contínua (C.C.).
	Seja uma onda senoidal do tipo: v (t) = Vmax sen (wt + φ)
onde 
	v(t) = é a função tensão no domínio do tempo,
	Vmax é a amplitude ou módulo, valor máximo ou valor de pico da onda.
	w é a freqüência angular em radianos por segundo
	t é o tempo em segundos
	φ é o ângulo de fase, em graus.
Vmax = Vp = Vpico = 
Veficaz; Vpp = V pico a pico = 2 Vpico e Vm = Vmédio = Vmax /2. Valor eficaz (Vef ou Vrms é o valor quadrático médio da onda ( em inglês root mean square ou rms).
	A tensão senoidal é produzida por um gerador (alternador) quando uma espira condutora gira através de um campo magnético criado por um íma ou excitatriz e intercepta linhas de força para gerar uma tensão alternada através de seus terminais.
Freqüência da onda: É o número de ciclos por segundo, expresso em Hertz (Hz); por exemplo 60 Hz ou 60 ciclos por segundo.
Período T: é o intervalo de tempo para que um ciclo se complete. Comprimento de onda (λ) é o comprimento de um ciclo completo.
onde f é a freqüência em Hz e v é velocidade da luz = 3 x 10 8 m/s.
Ex.: O canal 2 de T.V. opera na freqüência de 60 MHz e seu comprimento de onda λ é na faixa de 5 metros.
Circuito Resistivo
Seja v(t) = Vm senwt a tensão da fonte que alimenta o circuito resistivo. A corrente que passa pelo circuito é dada por:
	i (t) = 
Conclusão: A tensão e a corrente estão em fase, com amplitudes diferentes.
	Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tensão e da corrente estão em fase. A figura mostra o diagrama fasorial da tensão e da corrente de um circuito puramente resistivo.
�� INCLUDEPICTURE "http://www.eletronica24h.com.br/Curso%20CA/aparte1/figuras/circuito_Resistivo1.JPG" \* MERGEFORMATINET 
 Circuito puramente resistivo – Diagrama fasorial de um circuito resistivo
Circuito Indutivo
Seja uma corrente i = Im sen (wt) alimentando um circuito puramente indutivo onde L é a indutância (Henry = H).
A tensão na bobina (indutor) é dada por: vL = L 
�� EMBED Equation.3 
	 vL = wL Im cos (wt) = XL Im sen (wt + 90º.)
	
onde XL = w L = 2 
 reatância indutiva
	Com L especificado em Henries (H), f em Hertz (Hz), XL é dado em Ohms (
.
Partindo-se de i = Im sen wt chegamos a vL = XL Im sen (wt + 90º.).
	A tensão em uma bobina (indutor) está avançada em relação à corrente (o que equivale a dizer que a corrente em um indutor está atrasada em relação à tensão).
   Para um indutor ideal ( que não existe) não tem resistência ôhmica (R); a corrente está atrasada de 90° em relação à tensão e a fase da tensão foi considerada arbitrariamente igual a )°, conforme mostra a figura.
	
	
	 (a)
	 (b)
	
 Circuito puramente indutivo - (a) circuito (b) diagrama fasorial 
Conclusão: As amplitudes das ondas são diferentes e a tensão na bobina (indutor) está avançada de 90º. Em relação à corrente.
 Circuito Capacitivo
Para o circuito puramente capacitivo da figura, aplicamos uma tensão Vg = Vm senwt.
A corrente que passa pelo circuito é dada por:
	Se um capacitor ideal (não tem resistência de perdas) for ligado a uma tensão alternada senoidal, a corrente estará 90° adiantada em relação à tensão. A figura mostra o circuito, o diagrama fasorial e as formas de onda. 
 ( a )
( b )   
Circuito puramente capacitivo – (a) Circuito; b) Diagrama fasorial ( A corrente Ic está adiantada de 90° em relação à tensão Vc)
 Reatância Capacitiva 
  É a medida da oposição oferecida pelo capacitor à passagem da corrente  alternada é calculada por:   
                         IMPORTANTE !!!                 
com    C em  Farads (F),   f   em Hertz (Hz)    resultando   XC em Ohms ()
Para calcularmos  o módulo da corrente no circuito poderemos usar a lei de Ohm, isto é : 
Conclusão: As amplitudes são diferentes e a corrente está avançada de 90º. em relação à tensão.
Em corrente alternada V= Z. i onde Z é chamada Impedância do circuito (Ω).
A reatância indutiva (XL) é responsável pelo avanço da tensão em relação à corrente no circuito indutivo e a reatância capacitiva (XC) é responsável pelo atraso da tensão em relação à corrente no circuito capacitivo.
	
	Portanto, para um circuito indutivo teremos:
Z = R + j X L = R + jw L = Z │θ =
 │θ = arc tg XL / R
	Para um circuito capacitivo teremos:Z = R - j X C = R - j / wC = Z │- θ =
 │θ = arc tg - X C/ R
	Para um circuito RLC série ( resistivo, indutivo e capacitivo) teremos:
Z = R + j X L - j X C = R + j (X L - j X C ) = 
=
│θ = arc tg (XL – XC) / R
Revisão de Números Complexos
e jθ = cos θ + j sen θ → A e jθ = A (cos θ + j sen θ ) 
Analogamente, A e jw = A (cos wt + j sen wt) 
V = │V│ e jφ = │V│ (cos φ + j sen φ) = │V│cos φ + j │V│ sen φ) que é chamada notação retangular de V.
 V = │V│ e jφ é a notação polar da tensão, representada por │V│ │φ (V) 
Se V1 = │V1│ e jφ1 e V2 = │V2│ e jφ2 → V1 . V2 = │V1│ e jφ1 . │V2│ e jφ2 = 
= │V1││V2│ e j (φ1 + φ2) ( Produto dos módulos e soma das fases)
Para 
�� EMBED Equation.3 ( divisão dos módulos e subtração das fases)
Ex.; Z1 = 5 - j 2 ( Ω) e Z2 = -3 - j 8 ( Ω) → Z1 + Z2 = 2 - j 10 ( Ω) 
 Z1 = 2 + j 3 ( Ω) e Z2 = - 3 - j 3 ( Ω) → Z1 . Z2 = 7 - j 9 =
 
 = 11, 402│ │- 52,15º. (Ω) 
 
Se Z = x + j y ou Z = r e j θ → Z* (conjugado da impedância) = x - j y ou Z = r e - j θ 
Raiz Quadrada de um Número Complexo
 = 
=
Ex.: 
�� EMBED Equation.3 
Obs.
	Excitando-se um circuito RL com Z = R + jw L onde v = Vm cos wt, a solução é do tipo:
if = 
 = Im cos ( wt - tan – 1 wL/R )
Se excitarmos com V = Vm e jwt (excitação complexa), a resposta será:
i 1 =
e j ( wt - φ) = Im e j( wt - tan – 1 wL/R ) =
i 1 = Im cos ( wt - tan – 1 wL/R ) + j sen ( wt - tan – 1 wL/R ) 
if = à parte real de i1
Re V = Vm cos wt → produz Re i1 = if
Vm cos (wt + θ ) = Re ( Vm e j ( wt + θ) ) = Re Vm e j θ e j wt
Vm cos (wt + θ ) = Re V e j w t onde V = Vm e j θ = │ Vm ││ θ 
Aplicações:
v - 10 cos (4 t +30º.) = 10 │ 30º. 
b) i = 2 │ 15º. com w = 6 rad/s → i = 2 cos ( 6 t + 15)
c) v = 8 sem ( 3 t + 30º.) = 8 cos ( 3 t + 30º. - 90º.) = 8 cos (3 t - 60º.) = 
 = 8 │- 60 º.
Lembrar que sen θ = cos (θ - 90º.)
Aplicações:
Seja um circuito RL em que a tensão da fonte vale v = cos wt = 120│0o. (V), R = 50 Ω e XL = 70 Ω. Calcular:
 
A impedância Z em módulo e fase (polar) e retangular.
A corrente do circuito.
A tensão em R e a tensão na bobina.
 a) R + j X L = 50 + j 70 = Z │θ = 86,023 │54,46º. (Ω)
 b) 
c) VR = R i = 
 VL = j X L i 
 
Verificação:
V = Z x i = 
Dado o circuito RC em que v = 100│0º. (V), R = 10,0 k Ω e C = 0,10 μF, calcular;
A reatância capacitiva (Xc)
A impedância Z = R – j Xc = 
 
A corrente i
As tensões em R (VR) e C ( VC)
Solução:
a) Reatância Capacitiva X c =
 = 
 
 XC = 26 525,824 │- 90º
 
b) Z = R – j Xc = 10 000 – j 26 525,824 = 28 348, 181 │- 69,34º. (Ω)
c) 
 = 
d) VR = R i = 10 000 x 3, 528 x 10 -3 │ 69,34º. (V) = 35,280 │ 69,34º. (V)
 VC = j XC i = 26 525,824 │- 90º. x 3,528 x 10 -3 │ 69,34º. = 93,583 │- 20,66º. (V)
Verificação:
Vfonte = Z x i = ( R - j Xc x i ) = R x i - j Xc x i 
 = 35,280 │ 69,34º + 93,583 │- 20,66º. (V)
 = 12, 448 + j 33,011 + 87, 565 - j 33, 018 = 100, 013 - j 0,007 
100,000│0º. (V)
3. Dado o circuito RLC série em que v(t) = 100,0 cos wt = 100│0º. (V), R = 3,3 kΩ, L = 10,0 H e C = 0,47 μF, Calcular:
 a) A impedância Z e as reatâncias indutivas e capacitivas
 b) A corrente do circuito
 c) As tensões em R (VR), em L (VL) e em C (VC)
 d) Fazer a verificação, ou seja: A soma vetorial de (VR), (VL) e (VC) tem que ser
 igual à da fonte.
a) Z = R + j XL - JXC = 3300,0 + j 2 π 60 x 10 - 
=
Z = 3300,0 + j 3 769,911 - j 5 643,792 = 3300,0 - j 1873, 881 = 3 794,922│- 29,59º. (Ω)
XL = j 3769, 911 = 3769, 911 │90º. ( V) 
XC = - j 5643, 792 = 5643, 792 │- 90,0º. (V)
b) i = 
 = 0,0264│ 29,59º (A)
 
V = Z . i = ( R + j XL - JXC ) . i = R . i + j XL x i - j XC x i =
VR = R i = 3300,0 x 0,0264│ 29,59º (V) = 87,120 │ 29,59º (V)
VL = j XL x i = 3769,911 │90º. x 0,0264│ 29,59º = 99,526│ 119,59º (V)
VC = - j 5643, 792 = 5644,0 │- 90,0º. x 0,0264│ 29,59º = 148, 996│- 60,41º (V)
Verificação: VR + VL + VC = 87,120 │ 29,59º + 99, 526│ 119,59º + 148, 996│- 60,41º = 
 75,758 + j 43, 019 - 49,145 + j 86, 546 + 73, 573 - j 129,564 = 100, 186 - j 0,001 
 100│0º. (V).
Observar que a tensão no capacitor pode superar a tensão da fonte, em módulo, mas a soma vetorial tem quem ser igual à da fonte.
Exercício
Dados dois elementos em série em que i = 10 cos (5000t - 23,13º.) e v = 50 cos (5000 t + 30º.), identificar o circuito e os componentes.
Z = 
( (Ω)
= 3,0 + j4,0 onde R = 3,0 Ohms e 4,0 é a reatância indutiva já que se trata de um indutor pois o ângulo de Z é positivo. Ainda, │XL│ = w L = 2π 60 L = 4,0. Logo, a indutância L vale aproximadamente 0,8 mH.
POTÊNCIA EM CORRENTE ALTERNADA MONOFÁSICA
Em corrente alternada tem-se 3 tipos de potência.
Potência Ativa, real ou potência útil (P); aquela que realiza trabalho ( W, kW, MW, etc)
Potência reativa ou de magnetização (Q); necessária para magnetizar o material ou gerada por efeito capacitivo (Var, kVAr, MVAr, etc)
Potência total ou aparente; resultante das outras duas ( VA, kVA, MVA, etc)
Matematicamente:
Definindo-se S, potência aparente ou total por V I * (produto da tensão pelo conjugado da corrente ) = onde V = │V│
 e I = │I│e - j φ e, portanto, I * = │I│e j φ 
S = V I * = │V│ 
 │I│e j φ = │V││I│ e j φ = │V││I│ (cos φ + j sen φ) = 
= P + j Q, onde:
P = │V││I│ cos φ = R│I│2
Q = │V││I│ sen φ = X│I│2
 cos φ = é chamado fator de potência do circuito ou da instalação e por legislação tem que ser ≥ 0,92. Se < 0,92 implica em multa na conta de energia.
Fator de potência em atraso → I atrasada da tensão → circuito indutivo
Fator de potência em avanço → I avançada da tensão → circuito capacitivo
Aplicação:
1) Um motor de indução consome 1500,0 W e 7,5 A de uma linha de 220 V, 60 Hz. Qual o fator de potência da instalação e qual a capacitância de um capacitor em paralelo com o motor para que o fator de potência seja igual a 0,92.
 P = │V││I│ cos φ ; cos φ = 
	Q = 1500,0 tan 24,6°. = 1500,0 x 0,458 = 687,000 VAr
	S = 
	
	Cálculo dos reativos necessários para o fator de potência 0,92 
	Q2 = P tan 23,07º = 638, 876
	Δ Q = Q - Q2 = 687, 000 - 638, 876 = 48, 124 VAr
	Δ Q = 
 → 
2) Uma carga Z é alimentada por uma tensão v = 150,0 cos (wt + 10º.) e a corrente que passa pela carga vale i = 5,0 cos (wt – 50º.). Calcular:
A impedância Z do circuito
As potências P, Q e S
S = VI* = = 
 │ 10,0º + 
│+ 50,0º = 106, 066│ 10,0º x 3,536│+ 50,0º 
S = 375,049 │+ 60,0º = 187, 525 + j 324, 802 (VA) = P + j Q 
Z = 
15,0 + j 25,981 (Ω)
Ou
P = R │I│2 = 15,0 (
15,0 x 3,536 2 = 187, 549 W
Q = Xc │I│2 = 25, 981 x 3,536 2 = 324, 848 VAr
3) Uma carga Z é alimentada por uma tensão v = 99,0 cos (6000t + 30º.); a potência dissipada é de 940,0 W e o fator de potência é 0,707 avançado ( I avançado de V). Calcular:
a) A impedäncia Z do circuito
b) A corrente do circuito.
A tensão eficaz vale aprox.De P = │V││I│ cos φ → 940,0 = 
 x │I│ x 0,707 → │I│ = 18,994 A
De 
 e, 
portanto, Z = 
 
4) Dado o circuito da figura, calcular a corrente que passa pelo aquecedor (ramo central) de 100,0 Ohms, a tensão em seus terminais e a potência dissipada.
Equacionando:
220,0 │ 0,0º = ( 6,0 + j 8,0) i 2 + (-100,0 i1) + 100,0 i 2
- 127,0 │30,0º = (3,0 - j 5,0) i 1 - 100,0 i2 + 100,0 i 1
220,0 │ 0,0º = (106,0 + j 8,0) i 2 - 100,0 i1 
- 127,0 │30,0º = (103,0 - j 5,0) i 1 - 100,0 i2 
220,0 │ 0,0º = 106,30 │4,32º i 2 - 100,0 i1
- 127,0 │30,0º = 103,121 │- 2,78º i 1 - 100,0 i2 
100 i 1 = 106,30 │4,32º i 2 - 220,0 │ 0,0º 
i 1 = 1, 063 │4, 32º - 2, 200 │0, 0º 
- 127,0 │30,0º = 103,121 │- 2,78º [ i 1 = 1, 063 │4, 32º - 2, 200 │0, 0º ] - 100,0 i 2 
�� EMBED Equation.3 
0,821 - j 0,084 = 
Tensão no Aquecedor:
VAB = 
Potência Dissipada no Aquecedor:
P = R x i 2 = 100,0 x 0,826 2 = 68,228 W.
5) O circuito da figura é alimentado por uma tensão v(t) = 100,0 sen (100 t + 50), com R = 300,0 Ω, L = 0,5 H e C = 10,0 µF. Calcular:
As reatâncias indutiva (XL) e a capacitiva (XC).
A impedância Z eq
As correntes em cada ramo e a corrente total.
Cuidado: v(t) = 100,0 cos (100t + 50º. – 90º.) = 100,0 cos (100t – 40º.) = 
(V) 
 
XL = j w L = j100,0 x 0,5 = 50, 0 │90, 0º Ω
 XC = 
b) 
Zeq = 
Ou, ainda: 
c) 
 
 
 
 
�� EMBED Equation.3 +
+
0,255 – j0,214 – 1, 286 – j1,532 + 0,064 + j0,077 = - 0,967 – j 1,669 
 = 1,929 │-120,09º
Zeq = 
�� EMBED Equation.3 
6) O circuito é alimentado por uma tensão v (t) = 100 cos wt = 100,0 │0º (V).
Calcular as correntes i1 e i2.
 100,0 │0º = ( 5 + 10) i 1 + j wL i 1 - 10 i 2 - j w L i 2
 0 = 20 i 2 + j w L i 2 - j w L i 1 
 100 = 15 i 1 + j w L ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j w L ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1
 100 = 15 i 1 + j w L ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j w L ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1
 100 = 15 i 1 + j 2 π 60 x 2 ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j 2 π 60 x 2 ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1
 100 = 15 i 1 + j 753, 982 ( i 1 - i 2 ) - 10 i 2 
 0 = 20 i 2 + j 753, 982 ( i 2 - i 1 ) - 10 i 1
 
DISCIPLINA: CIRCUITOS ELÉTRICOS I
TÓPICOS: CORRENTE CONTÍNUA E COR. ALTERNADA MONOFÁSICA
 
Professor ALCINDO ANTONIAZZI
LIMEIRA - SP
2014
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