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Luís Caldas de Oliveira
Sinais e Sistemas
Representação de Sinais Periódicos em
Séries de Fourier
Luís Caldas de Oliveira
lco@ist.utl.pt
Instituto Superior Técnico
Sinais e Sistemas – p.1/34 Luís Caldas de Oliveira
Resumo
Resposta de SLITs a exponenciais complexas
Série de Fourier de sinais contínuos (CFS)
Convergência da série de Fourier
Propriedades da CFS
Série de Fourier de sinais discretos (DFS)
Propriedades da DFS
A série de Fourier e os SLITs
Filtragem
Sinais e Sistemas – p.2/34
Luís Caldas de Oliveira
Objectivo
Problema: precisamos uma forma eficaz de determinar a
saída de um SLIT quando na sua entrada tem um sinal
periódico.
Solução: vamos começar por estudar a resposta do SLIT
a exponenciais complexas.
Sinais e Sistemas – p.3/34 Luís Caldas de Oliveira
Função Própria de um Sistema
p(t) será uma função própria de um sistema caracterizado
pela transformação T (·) se:
T (p(t)) = P p(t)
neste caso P é o valor próprio associado à função própria
p(t).
Sinais e Sistemas – p.4/34
Luís Caldas de Oliveira
Funções Próprias dos SLITs
Os sinais exponenciais complexos são funções
próprias dos SLITs
x(t) = est −→ y(t) =
∫ +∞
−∞
h(τ)es(t−τ)dτ = est
∫ +∞
−∞
h(τ)e−sτdτ︸ ︷︷ ︸
H(s)
ou seja:
y(t) = H(s)est
em que H(s) é o valor próprio associado à função própria
est.
Sinais e Sistemas – p.5/34 Luís Caldas de Oliveira
Função de Transferência
H(s) =
∫ +∞
−∞
h(t)e−stdt
No caso geral, H(s) pode ser um valor complexo:
H(s) = HR(s) + jHI(s)
= |H(s)|e j∠H(s)
Sinais e Sistemas – p.6/34
Luís Caldas de Oliveira
Soma de Exponenciais Complexas
Para analisar SLITs é útil decompor o sinal de entrada em
termos de uma soma de funções próprias:
x(t) =
∑
k
ake
skt
Neste caso, a saída poderá ser obtida através de:
y(t) =
∑
k
akH(sk)eskt
Sinais e Sistemas – p.7/34 Luís Caldas de Oliveira
Combinação Linear de Exponenciais
Conjunto das funções de base exponenciais
complexas harmonicamente relacionadas:
φk(t) = e jkω0t = e jk(2pi/T )t, k ∈ š
Todas estas exponenciais têm período T (embora não
sendo o período fundamental).
A combinação linear destas exponenciais tem
também período T :
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0t =
+∞∑
k=−∞
ake
jk(2pi/T )t
Sinais e Sistemas – p.8/34
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua (CFS)
À representação de um sinal periódico pela combinação
linear de exponenciais complexas harmonicamente
relacionadas dá-se o nome de série de Fourier:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0t
Sinais e Sistemas – p.9/34 Luís Caldas de Oliveira
Determinação dos Coeficientes
x(t)e− jnω0t =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0te− jnω0t
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt =
∫ T
0
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0te− jnω0tdt
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt =
+∞∑
k=−∞
ak
[∫ T
0
e j(k−n)ω0tdt
]
∫ T
0
x(t)e− jnω0tdt = anT
Sinais e Sistemas – p.10/34
Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Contínua
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0t
ak =
1
T
∫
T
x(t)e− jkω0tdt
Sinais e Sistemas – p.11/34 Luís Caldas de Oliveira
Condições de Dirichlet
O somatório da série de Fourier converge se se
verificarem as seguintes condições:
Condição 1: x(t) tem de ser absolutamente integrável
num período: ∫
T
|x(t)|dt < ∞
Condição 2: x(t) tem um número finito de máximos e
mínimos em cada período.
Condição 3: x(t) tem um número finito de
discontinuidades num intervalo de tempo finito e
essas discontinuidades são finitas.
Sinais e Sistemas – p.12/34
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Linearidade
Se
x(t) −−−→
CFS
ak
e
y(t) −−−→
CFS
bk
então:
Ax(t) + By(t) −−−→
CFS
Aak + Bbk
Sinais e Sistemas – p.13/34 Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(t − t0) −−−→
CFS
ake
− jkω0t0
x(t)e jlω0t −−−→
CFS
ak−l
O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes
da CFS. O seu módulo mantém-se inalterável.
Sinais e Sistemas – p.14/34
Luís Caldas de Oliveira
Inversão Temporal
x(t) −−−→
CFS
ak
x(−t) −−−→
CFS
a−k
A inversão temporal resulta na inversão da sequência dos
coeficientes de Fourier.
Sinais e Sistemas – p.15/34 Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Multiplicação
x(t) −−−→
CFS
ak
y(t) −−−→
CFS
bk
x(t)y(t) −−−→
CFS
∑+∞
l=−∞ albk−l
Sinais e Sistemas – p.16/34
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades do Conjugado
x∗(t) −−−→
CFS
a∗
−k
x∗(−t) −−−→
CFS
a∗k
Sinais e Sistemas – p.17/34 Luís Caldas de Oliveira
Propriedades de Simetria
ℜ[x(t)] −−−→
CFS
ake =
1
2
[ak + a∗−k]
jℑ[x(t)] −−−→
CFS
ako =
1
2
[ak − a∗−k]
xe(t) = 12[x(t) + x
∗(−t)] −−−→
CFS
ℜ[ak]
xo(t) = 12[x(t) − x
∗(−t)] −−−→
CFS
jℑ[ak]
Sinais e Sistemas – p.18/34
Luís Caldas de Oliveira
Relação de Parseval
A relação de Parseval para sinais periódicos contínuos
vale:
1
T
∫
T
|x(t)|2dt =
+∞∑
k=−∞
|ak|
2
A relação de Parseval afirma que a potência média de um
sinal periódico é igual à soma da potência média das com-
ponentes harmónicas.
Sinais e Sistemas – p.19/34 Luís Caldas de Oliveira
Sequências Periódicas
x(n) é uma sequência periódica de período N:
x(n + N) = x(n)
A série de Fourier é uma soma pesada de exponenciais
complexas harmónicas:
x(n) =
∑
k=<N>
ake
j 2piN kn
Sinais e Sistemas – p.20/34
Luís Caldas de Oliveira
Exponenciais Complexas Discretas
e j
2pi
N (k)n = e j
2pi
N (k+lN)n
N=8
N
2pi
1
N
N−1∑
n=0
e j
2pi
N kn =
{
1 se k = mN,
0 no caso contrário.
Sinais e Sistemas – p.21/34 Luís Caldas de Oliveira
Série de Fourier Discreta (DFS)
Análise: ak =
1
N
N−1∑
n=0
x(n)e− j 2piN kn
Síntese: x(n) =
N−1∑
k=0
ake
j 2piN kn
x(n) −−−−→
DFS
ak
Sinais e Sistemas – p.22/34
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Linearidade
Se
x(n) −−−−→
DFS
ak
e
y(n) −−−−→
DFS
bk
então:
Ax(n) + By(n) −−−−→
DFS
Aak + Bbk
Sinais e Sistemas – p.23/34 Luís Caldas de Oliveira
Propriedade do Deslocamento
x(n − m) −−−−→
DFS
ake
− j 2piN km
x(n)e j 2piN nl −−−−→
DFS
ak−l
O deslocamento temporal só afecta a fase dos coeficientes
da DFS. O seu módulo mantém-se inalterável.
Sinais e Sistemas – p.24/34
Luís Caldas de Oliveira
Propriedades do Conjugado
x∗(n) −−−−→
DFS
a∗
−k
x∗(−n) −−−−→
DFS
a∗k
Sinais e Sistemas – p.25/34 Luís Caldas de Oliveira
Propriedades de Simetria
ℜ[x(n)] −−−−→
DFS
ake =
1
2
[ak + a−k]
jℑ[x(n)] −−−−→
DFS
ako =
1
2
[ak − a−k]
xe(n) = 12[x(n) + x
∗(−n)] −−−−→
DFS
ℜ[ak]
xo(n) = 12[x(n) − x
∗(−n)] −−−−→
DFS
jℑ[ak]
Sinais e Sistemas – p.26/34
Luís Caldas de Oliveira
Propriedade da Multiplicação
x(n) −−−−→
DFS
ak
y(n) −−−−→
DFS
bk
x(n)y(n) −−−−→
DFS
∑
l=<N> albk−l
Sinais e Sistemas – p.27/34 Luís Caldas de Oliveira
Relação de Parseval
A relação de Parseval para sinais periódicos discretos:
1
N
∑
n=<N>
|x(n)|2dt =
∑
k=<N>
|ak|
2
A relação de Parseval afirma que a potência média de um
sinal periódico é igual à soma da potência média das com-
ponentes harmónicas.
Sinais e Sistemas – p.28/34
Luís Caldas de Oliveira
SLITs Contínuos
Se o sinal de entrada contínuo estiver representado na
forma de uma série de Fourier, a saída de um SLIT pode
ser calculada por:
x(t) =
+∞∑
k=−∞
ake
jkω0t =⇒ y(t) =
+∞∑
k=−∞
akH( jkω0)e jkω0t
em que H( jω) é a resposta em frequência do sistema
com resposta impulsiva h(t):
H( jω) =
∫ +∞
−∞
h(t)e− jωtdt
Sinais e Sistemas – p.29/34 Luís Caldas de Oliveira
SLITs Discretos
No caso dos SLITs discretos, se o sinal de entrada estiver
representado na forma de uma série de Fourier, podemos
determinar a sua saída com:
x(n)
=
∑
k=<N>
ake
jkω0n =⇒ y(n) =
∑
k=<N>
akH(e jkω0)e jkω0n
em que H(e jω) é a resposta em frequência do sistema
com resposta impulsiva h(n):
H(e jω) =
+∞∑
n=−∞
h(n)e− jωn
Sinais e Sistemas – p.30/34
Luís Caldas de Oliveira
Filtragem
Tipos de filtros
Filtros de balanceamento em frequência: servem
para moldar o espectro de um sinal (por exemplo, o
controle de graves e agudos de um amplificador)
Filtros selectivos em frequência: seleccionam ou
removem componentes em frequência do sinal (por
exemplo, o ruído de 50 Hz).
Sinais e Sistemas – p.31/34 Luís Caldas de Oliveira
Filtros selectivos
6
ff -- ff
H( jω)
1
Passagem RejeiçãoRejeição
ωc−ωc 0
H( jω) =
{
1, |ω| ≤ ωc
0, |ω| > ωc
Os filtros selectivos apresentam bandas de passagem e
bandas de rejeição.
Sinais e Sistemas – p.32/34
Luís Caldas de Oliveira
Tipos de Filtros Selectivos
Passa-baixo: deixam passar as componentes com
frequência abaixo de um dado valor.
Passa-alto: deixam passar as componentes com
frequência acima de um dado valor.
Passa-banda: deixam passar as componentes com
frequência dentro de uma dada gama.
Rejeita-banda: rejeitam as componentes com
frequência dentro de uma dada gama.
Sinais e Sistemas – p.33/34 Luís Caldas de Oliveira
Conclusões
A série de Fourier decompõe uma sequência
periódica numa combinação linear de exponenciais
complexas com frequências harmónicas.
As exponenciais complexas são funções próprias dos
SLITs
Os coeficientes da série de Fourier do sinal à saída
de um SLIT podem ser obtidos multiplicando os
coeficientes do sinal de entrada pela resposta em
frequência do SLIT.
Os filtros são SLITs com uma resposta em frequência
apropriada para remoção ou alteração de
componentes em frequência do sinal de entrada.
Sinais e Sistemas – p.34/34
	Resumo
	Objectivo
	Função Própria de um Sistema
	Funções Próprias dos SLITs
	Função de Transferência
	Soma de Exponenciais Complexas
	Combinação Linear de Exponenciais
	Série de Fourier Contínua (CFS)
	Determinação dos Coeficientes
	Série de Fourier Contínua
	Condições de Dirichlet
	Propriedade da Linearidade
	Propriedade do Deslocamento
	Inversão Temporal
	Propriedade da Multiplicação
	Propriedades do Conjugado
	Propriedades de Simetria
	Relação de Parseval
	Sequências Periódicas
	Exponenciais Complexas Discretas
	Série de Fourier Discreta (DFS)
	Propriedade da Linearidade
	Propriedade do Deslocamento
	Propriedades do Conjugado
	Propriedades de Simetria
	Propriedade da Multiplicação
	Relação de Parseval
	SLITs Contínuos
	SLITs Discretos
	Filtragem
	Filtros selectivos
	Tipos de Filtros Selectivos
	Conclusões