gabarito Lista 01

Prévia do material em texto

En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
aUniversidade Federal da ParaíbaCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia de ProduçãoDisciplina: Engenharia Econômica I - 2017.1
Professor: Jonas Alves de Paiva
Gabarito Lista 01
1. Dados do problema
Aplicando o principal na taxa 1
P = 10.000,00
i1 =15% a.a
n1 =?
Mudando para a taxa 2
i2 = 18% a.a
n2 =?
F = 13.450,00
n1 + n2 = 24 meses
Como as taxas atuam apenas sobre o principal P, monta-se o fluxo de caixa do problema.
?Inv
6F
n1
24
n2
Montando as equações:
n1 + n2 = 24 ∴ n1 = 24− n2 (equação 1)
F = P + P · n1 · i1 + P · n2 · i2 ∴ F = P · (1 + n1 · i1 + n2 · i2) ∴
n1 · i1 + n2 · i2 = FP − 1 (equação 2)
Substituindo a equação (1) em (2), tem-se:
(24− n2) · i1 + n2 · i2 = FP − 1 ∴ 24 · i1 − i1 · n2 + n2 · i2 = FP − 1 ∴
n2(i2 − i1) = FP − 1− 24 · i1 ∴
n2 =
F
P − 1− 24 · i1
(i2 − i1) =
13.450
10.000 − 1− 24 · 18%12
(15%12 − 15%12 )
= 18meses
n1 = 24− n2 = 24− 18 = 6meses
2. Resposta:
Primeira aplicação
P=?
F1 = 13.800,00
n1 = 12 meses
?
P
6
F1
0
12
Segunda aplicação P2 = 1, 2 · P
J2 = 1.440, 00
n2 = 8 meses
?
1, 2 · P
6
F2
0
8
1
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
aConsiderando que as taxas da primeira e segunda aplicação são iguais, obtém-se as seguintesequações:F1 = P · (1 + n1 · i) (equação 1), e;J2 = F2 − 1, 2 · P = 1, 2 · P · (1 + n2 · i)− 1, 2 · P ∴
J2 = 1, 2 · P n2 · i ∴ P = J21,2·n2·i (equação 2)
Substituindo 2 em 1, obtém-se:
F1 =
J2
1, 2 · n2 · i .(1 + n1 · i) =
j2
1, 2 · n2 · i +
J2 · n1 · i
1, 2 · n2 · i
i =
J2
(1, 2 · n2 · F1 − J2 · n1)
i = 1, 25%am
Substituindo o valor de i na equação 1 e isolando P, obtém-se:
P = 12.000, 00
3. RESPOSTA:
Analisando os três investimento obtém-se:
Investimento 1
P1 = 10.000, 00
i1 = 3%am
n1 = 4meses
F1 = P1 · (1 + i1)n1 = 10.000, 00 · (1 + 3%)4 = 11.255, 09
Investimento 2
P2 = 8.000, 00
n2 = 6meses
F2 = 8.580, 00
i2 =
(
F
P
)1/n2
− 1 =
(
8.580, 00
8.000, 00
)1/6
− 1 = 1, 17%
Investimento 2
P3 = 9.000, 00
i3 = 2, 5%am
F3 = 10.560, 00
n3 =
(
ln(F3P3 )
ln(1 + i3)
)
=
(
ln(10.560,009.000,00 )
ln(1 + 2, 5%)
)
= 6, 47
a) J3 = F3−P3 = 1.560, 00 ; J2 = F2−P2 = 580, 00 ; J1 = 11.255, 00− 10.000, 00 = 1.255, 00
b) Investidor 03. n3 = 6, 47
c) Investidor 01. Maior taxa de juros, i1 = 3%am
4. RESPOSTA: P = 3.000, 00
i = 1, 5%am
Ptv = 3.000, 00
Opção n = 24 parcelas
U = 155, 00
Sempre observe a equivalência dos fluxos de caixa. Na verdade se quer saber qual a taxa de
juros cobrada pela loja para que o pagamento em 24 parcelas de 155,00 seja equivalente a
3.000,00 hoje. Só que o consumidor tem a opção da taxa de 1,5%. Transformando o valor
presente de 3.000,00 numa série uniforme de 24 parcelas remunerados a uma taxa de 1,5%
obtém-se:
U = P ·
[
(1 + i)n − 1
(1 + i)n · i
]
= 3.000, 00 ·
[
(1 + 1, 5%)24 − 1
(1 + 1, 5%)24 · 1, 5%
]
= 149, 77
Como a prestação da loja é maior, então ela cobra uma taxa de juros superior à 1,5% am,
portanto é mais vantajoso pagar à vista.
2
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
a5. RESPOSTA:Idade = 35 anosF = 3.000.000, 00
Idade final = 65 anos
Período de investimento = 65-35 = 30 anos 360 meses
i = 0, 65%am
Salário = 10.000,00
O poupador quer saber o valor da parcela a depositar
U = F ·
[
(1 + i)n − 1
i
]
= 3.000.000, 00 ·
[
(1 + 0, 65%)360 − 1
0, 65%
]
= 2.096, 12
O percentual do salário a poupar será:
Perc =
2.096, 12
10.000, 00
= 20, 96%
Terá que poupar 20,96% do salário
6. RESPOSTA:
Sistema SAC Saldo devedor= 350.000,00
n= 200 meses
i= 3,5% am
Se a dívida de 35.000,00 deve ser paga em 200 meses no sistema SAC, então a amortização a
cada mês deverá ser de:
AM =
350.000, 00
200
= 1.750, 00
Como foram pagas 7 meses, então o saldo devedor é de:
SD7 = 350.000, 00− 7 · 175 = 337.750, 00
A parcela será de :
P8 = AM + J8 = 1.750 + 3, 5%x337.750, 00 = 13.571, 253
A parcela é de R$ 13.571,25
Resolvendo pela tabela do SAC, temos:
n= 200
Taxa= 3,50%
Período Saldo Devedor Juros Prestação Amortização
0 350.000,00
1 348.250,00 12.250,00 14.000,00 1.750,00
2 346.500,00 12.188,75 13938,75 1.750,00
3 344.750,00 12.127,50 13.877,50 1.750,00
4 343.000,00 12.066,25 13.816,25 1.750,00
5 341.250,00 12.005,00 13.755,00 1.750,00
6 339.500,00 11.943,75 13.693,75 1.750,00
7 337.750,00 11.882,50 13.632,50 1.750,00
8 336.000,00 11.821,25 13.571,25 1.750,00
7. RESPOSTA:
Como ele pagou nove parcelas, o saldo devedor ao final do nono mês foi de:
SD9 = 350.000, 00− 9 · 1.750, 00 = 334.250, 00
Como ele não pagou nenhuma parcela da data 10 até a data 15, tem-se que:
SD15 = 334.250, 00 ∗ (1 + 3, 5%)6 = 410.878, 60
3
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
aNegociando este saldo em 200 parcelas iguais, temos que:U = 410.878, 60 · [ (1 + 3, 5%)200 − 1(1 + 3, 5%)200 · 3, 5%] = 14.395, 55
J16 = 3, 5% · 410.878, 60 = 14.380, 75
AM16 = U − J16 = 14.395, 55− 14.380, 75 = 14, 80
a) R$ 14.395,55
b) R$ 14,80
c) R$ 14.380,75
8. RESPOSTA:
Quer vender produtos com parcelas iguais no preço à vista. n=10 parcelas mensais i= 2,3%
am
Se a empresa parcelar o preço à vista atual, ela estará perdendo dinheiro, pois deixará de
ganhar um valor P hoje, para ganhar uma série uniforme de 10 parcelas iguais. Portanto, ela
deve chegar em um preço P2 que seja igual à soma das parcelas mensais e que tenha embutido
a taxa de juros.
P2 = U · n = 10 · U ∴ U = P2
10
U será a série uniforme equivalente ao valor P remuneradona taxa de juros i.
U = P ·
[
(1 + i)n · i
(1 + i)n − 1
]
=
P2
10
∴ P2 = 10 · P ·
[
(1 + i)n · i
(1 + i)n − 1
]
P2 = P · 10 ·
[
(1 + 2, 3%)10 · 2, 3%
(1 + 2, 3%)10 − 1
]
= P · 1, 1308 = P · (1 + 13, 08%)
Tem que ser dado um aumento de 13,08%
9. RESPOSTA:
P= 100.000,00
n=12 meses
im = 1,5 % am
Deve ser pago em
12 parcelas mensais uniformes de valor U e;
duas parcelas semestrais que são iguais a 3U.
O fluxo de caixa para o problema acima é dador por:
?100.000,00
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6
0
U
3U
2 4 6 8 10 12
Como há fluxos de caixa mensais e semestrais, então vamos calcular a taxa semestral equiva-
lente.
(1 + is) = (1 + im)
6 ∴ is = (1 + 1, 5%)6 − 1 = 9, 34%as
Então a equivalência é dada por:
P = U ·
[
(1 + 1, 5%)12 − 1
(1 + 1, 5%)12 · 1, 5%
]
+ 3U ·
[
(1 + 9, 34%)2 − 1
(1 + 9, 34%)2 · 9, 34%
]
= 100.000, 00
U = 6.188, 01
A prestação é de R$ 6.188,01
4
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
a10. RESPOSTA:ia = 12% aaComo a taxa dada é capitalizada mensalmente, então a taxa anual é nominal. Vamos calcular
a taxa efetiva mensal.
im =
ia
12
= 1%am
Mês Fluxo A Fluxo B
0 0 0
1 0 0
2 200 300
3 200 300
4 200 200
5 300 200
6 300 200
Calculando os valores presentes, chega-se a:
V PA = 200 ·
[
(1 + 1%)3 − 1
(1 + 1%)3 · 1%
]
· (1 + 1%)−1 + 300 ·
[
(1 + 1%)2 − 1
(1 + 1%)2 · 1%
]
· (1 + 1%)−4
V PB = 300 ·
[
(1 + 1%)2 − 1
(1 + 1%)2 · 1%
]
· (1 + 1%)−1 + 200 ·
[
(1 + 1%)3 − 1
(1 + 1%)3 · 1%
]
· (1 + 1%)−3
Os valores presenta são VPA=1.150,43 e VPB= 1.156,16
11. RESPOSTA:
Aplicações de P no regime de juros simples a i1 = 10% aa e i2 = 12% aa.
Determinar o valor de n para que F2 − F1 = 10% · P .
F1 = P (1 + n · i1) e F2 = P (1 + n · i2)
∴ 10% · P = P (1 + n · i2)− P (1 + n · i1)
10% = (1 + n · i2)− (1 + n · i1) ∴ n = 10%
i2 − i1 =
10%
12%− 10% = 5anos
Após 5 anos
12. RESPOSTA:
Rendas % IRPF
R1= 1.868,22 Isento
R2= 2.799,66 7,50%
R3= 3.733,19 15,00%
R4= 4.664,68 22,50%
R5= 27,50%
Salário de R$ 5.500,00
IR = (5.500− 4.664, 68) · 27, 50% + (4.664, 68− 3.733, 19) · 22, 50%+
+(3.733, 19− 2.799, 66) · 15, 00% + (2.799, 66− 1.868, 22) · 7, 50%
O imposto pago será de R$ 649,185755
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
a13. RESPOSTA:O investidor fez três aplicações sequenciais. A primeira aplicação durou 2 meses a i1 = 20%am, a segunda durou 4 meses 25% do valor resgatado a 20% am, 15% do valor a 25% am e o
restante a 18% am. Ao final de todo o período os juros foram de 8.420,00.
Montando as equações: Deve-se começar calculando o valor resgatado na data 2.
F2 = P (1 + 20%)
2
Esta valor foi desmembrado para se chegar ao valor resgatado na data 6
F6 = 25%F2(1 + 20%)
4 + 15%F2(1 + 25%)
4 + 50%F2(1 + 18%)
4
Logo:
J = F6 − P = 25%F2(1 + 20%)4 + 15%F2(1 + 25%)4 + 50%F2(1 + 18%)4 − P
J = 25%P (1+20%)2(1+20%)4+15%P (1+20%)2(1+25%)4+60%P (1+20%)2(1+18%)4−P = 8.420, 00
P (25%(1+20%)2(1+20%)4+15%(1+20%)2(1+25%)4+60%(1+20%)2(1+18%)4−1) = 8.420, 00
P =
8.420, 00
(25%(1 + 20%)2(1 + 20%)4 + 15%(1 + 20%)2(1 + 25%)4 + 60%(1 + 20%)2(1 + 18%)4 − 1)
P=4.320,289
14. RESPOSTA:
Dívida total = 15.000,00 + 20.000,00 + 23.000,00 + 32.000,00 + 40.000= 130.000,00
n= 5 trimestres
i= 20% aa
Negociação
n=10 quadrimestres
Primeira parcela após 4 meses
taxa nominal de 24%
Calculando a taxa efetiva iq =
ia
3 = 8%. Este cálculo é válido se a capitalização efetiva for
quadrimestral. o valor da parcela será:
U = Dívida ·
[
(1 + iq)
10 · iq
(1 + iq)10 − 1
]
= 130.000, 00 ·
[
(1 + 8%)10 · 8%
(1 + 8%)10 − 1
]
= 19.373, 83
O valor da parcela será 19.373,83
15. RESPOSTA:
U= ?
n=60 meses
F60 = 1.000.000, 00
i=2% am
U = F60 ·
[
(1 + i)60 − 1
i
]
= 1.000.000, 00 ·
[
(1 + 2%)60 − 1
2%
]
= 8.767, 97
16. RESPOSTA:
Entrada de 20.000,00 com 20 parcelas mensais de 1.200,00, mais seis parcelas semestrais
8.500,00, que inicia no terceiro mês. Taxa de 2,7% am. Qual o valor à vista?
O fluxo de caixa desta compra é dada por:
?20.000,00
6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6
6 6 6 6 6 6
0
1.200,00
8.500,00
2 4 6 8 10 12 14 16 18 2014 27 33
6
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
aO valor presente que representa este fluxo de caixa é:V P = 20.000 + Um · [ (1 + im)20 − 1(1 + im)20 · im]+ Us · [(1 + is)6 − 1(1 + is)6 · is ] · (1 + is)3
is = (1 + im)
6 − 1 = 17, 33%
V P = 20.000+1.200, 00·
[
(1 + 2, 7%)20 − 1
(1 + 2, 7%)20 · 2, 7%
]
+8.500, 00·
[
(1 + 17, 33%)6 − 1
(1 + 17, 33%)6 · 17, 33%
]
·(1+17, 33%)3
V P = 71.119, 60
17. RESPOSTA:
Construindo o fluxo de caixa do problema
?350.000,00
6
45.000,00
Hoje
6
130.000,00 6
85.000,00
0
1 2 3 4 5 10
Qual o pagamento no final do 5 mês, com taxa de juros de 2% am.
P7 = 85.000, 00 · (1 + 2%)−3 = 80.097, 40
18. Resposta:
Financiamento = 500.000,00
n=4 meses
Taxa máxima = 62% aa
Conseguiu 350.000,00 a 67% aa. Qual a taxa máxima para os outros 150.000,00?
Tem-se que o valor de 350.000,00 corresponde a
350.000,00
500.000,00 = 60% do valor financiado, portanto
os 150.000,00 correspondem a 40%. Calculando a Taxa média obtém-se:
TM = 60% · 67% + 40% ·X = 62% ∴ X = (62%− 60% · 67%)
40%
= 54, 5%aa
19. Resposta:
Sistema SAC Financiamento = 100.000,00; 40 parcelas; taxa de juros 3%.
a)
AM =
SD
n
=
100.000, 00
40
= 2.500, 00
b) Após 24 parcelas, saldo devedor é de
SD24 = 100.000− 24 ·AM = 100.000, 00− 24 · 2.500, 00 = 40.000, 00
J25 = SD24 · i = 40.000, 00 · 3% = 1.200, 00
c) Valor da última prestação
P40 = J40+AM = SD39·i+AM = (100.000, 00−39·2.500, 00)·3%+2.500 = 75+2.500, 00 = 2.570, 00
d)
SD20 = 100.000− 20 · 2.500, 00 = 50.000, 00
7
En
ga
.
Ec
on
ôm
ic
a20. Resposta:P=600,00i=2% amP1 = 150,00; P2 = 159,00; P3 = 206,00; P4 =?
Trazendo todos os valores para a data 4 atualizados pela taxa de juros, temos:
600 · (1 + 2%)4 = 150 · (1 + 2%)3 + 150 · (1 + 2%)3 + 150 · (1 + 2%)1 + P4
P4 = 114, 73
8