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LISTA 01 – LIMITES PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO LIMITES COM O ESTUDO DA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA QUESTÃO 01: Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Observando a figura a seguir, determine: . . . QUESTÃO 02: Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete: . . ESTIMANDO O VALOR DE UM LIMITE COM O AUXÍLIO DE UMA TABELA QUESTÃO 03 – 04: Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). QUESTÃO 03: , QUESTÃO 04: , LIMITES E SUAS PROPRIEDADES QUESTÃO 05: Dado que: Encontre, se existir, o limite. Caso não exista, explique por quê. a) . b) . c) √ . d) . e) . f) QUESTÃO 06 – 14: Calcule o limite se existir. QUESTÃO 06: . QUESTÃO 07: . QUESTÃO 08: . QUESTÃO 09: . QUESTÃO 10: . QUESTÃO 11: √ . QUESTÃO 12: . QUESTÃO 13: . QUESTÃO 14: Se , determine QUESTÃO 15: Determine as assíntotas verticais de 16 – 50: CALCULE O LIMITE CASO EXISTA. JUSTIFIQUE SE NÃO EXISTIR: QUESTÃO 16: √ . QUESTÃO 17: . QUESTÃO 18: . QUESTÃO 19: | | . QUESTÃO 20: | | . QUESTÃO 21: . QUESTÃO 22: √ √ . QUESTÃO 23: . QUESTÃO 24: . QUESTÃO 25: . QUESTÃO 26: √ . QUESTÃO 27: . QUESTÃO 28: √ . QUESTÃO 29: . QUESTÃO 30: √ – √ . QUESTÃO 31: . QUESTÃO 32: . QUESTÃO 33: . QUESTÃO 34: . QUESTÃO 35: . QUESTÃO 36: √ . QUESTÃO 37: . QUESTÃO 38: √ . QUESTÃO 39: √ √ . QUESTÃO 40: √ . QUESTÃO 41: √ √ . QUESTÃO 42: ( ). QUESTÃO 43: . QUESTÃO 44: . QUESTÃO 45: √ √ . QUESTÃO 46: ( ) . QUESTÃO 47: Sabendo que , determine . QUESTÃO 48: Demonstre confeccionando o gráfico que | | não existe. QUESTÃO 49: Sabendo que , determine . QUESTÃO 50: Demonstre confeccionando o gráfico que | | não existe. 51 – 60: Determine se possível, o limite das seguintes funções, caso o limite não exista, justifique: QUESTÃO 51: ( ). QUESTÃO 52: . QUESTÃO 53: √ √ . QUESTÃO 54: √ . QUESTÃO 55: . QUESTÃO 56: { . QUESTÃO 57: { √ . QUESTÃO 58: Para cada valor real de a expressão seguinte define uma função real de variável real, . { | | a) Determine de modo que exista . b) Calcule de modo que . QUESTÃO 59: Determine de modo que exista , com definida por { √ . QUESTÃO 60: Investigue a existência de limde de quando tende a e a . { . LIMITES INFINITOS/ LIMITES INFINITOS NO INFINITO 61 – 80: Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique: QUESTÃO 61: . QUESTÃO 62: √ . QUESTÃO 63: √ . QUESTÃO 64: . QUESTÃO 65: √ . QUESTÃO 66: √ . QUESTÃO 67: . QUESTÃO 68: . QUESTÃO 69: . QUESTÃO 70: . QUESTÃO 71: . QUESTÃO 72: √ . QUESTÃO 73: √ . QUESTÃO 74: √ . QUESTÃO 75: . QUESTÃO 76: . QUESTÃO 77: ( √ ). QUESTÃO 78: ( √ ). QUESTÃO 79: √ . QUESTÂO 80 (CESGRANRIO 2010 – ENGENHEIRO DE PETRÓLEO): O valor de a) 0. b) – 1. c) – 3. d) – 4. e) 1. QUESTÃO 81: { }. QUESTÃO 82: . QUESTÃO 83: . QUESTÃO 84: . QUESTÃO 85: √ . LIMITES NO INFINITO 86 - 50: Calcule o limite, se existir. Caso contrário, justifique. QUESTÃO 86: . QUESTÃO 87: . QUESTÃO 88: . QUESTÃO 89: . QUESTÃO 90: . QUESTÃO 91: √ . QUESTÃO 92: √ . QUESTÃO 93: √ . QUESTÃO 94: . QUESTÃO 95: . QUESTÃO 96: . QUESTÃO 97: . QUESTÃO 98: . QUESTÃO 99: √ . QUESTÃO 100: √ . QUESTÃO 101: √ . QUESTÃO 102: √ . CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS QUESTÃO 101: A população (em milhares) de uma colônia de bactérias t minutos após a introdução de uma toxina é dada por: { a) Quanto tempo levará para a colônia se extinguir? b) Existe algum instante em que a população varia abruptamente ou esta variação se dá de modo contínuo ao longo do tempo? QUESTÃO 102: O raio da Terra tem aproximadamente 6 400 Km e um corpo situado a Km do centro da Terra pesa Kg, onde: { ⁄ e que A e B são constantes positivas. Qual deve ser a relação entre e para que seja contínuapara qualquer valor de ? QUESTÂO 103: Considere a função { . Calcule os limites laterais de em . é contínua em ? Justifique. QUESTÃO 104: Se e forem funções contínuas, com e , determinar . QUESTÃO 105: Usando a definição, verifique se a função é contínua nos reais. { . QUESTÃO 106: Determine a ralação entre e de modo que a função { Seja contínua em . QUESTÃO 107: Dada a função: { . Determine o valor para que exista . QUESTÃO 108: Seja: { √ . Determine que torna contínua em . QUESTÃO 109: Seja { . Determine os valores de e tais que seja contínua em . QUESTÂO 110: Dada a função definida por { , assinale a opção que apresenta o valor de de modo que exista. a) – 8. b) – 2. c) 3. d) 6. e) 8. QUESTÂO 111: Suponha que a temperatura é e que a velocidade do vento é (em milhas/h). Neste caso, a temperatura corrigida é dada pela função: { √ . a) Suponha que . Qual é a temperatura corrigida quando ? E quando ? b) Suponha que . Que velocidade do vento corresponde a temperatura corrigida de ? c) A função é contínua em seu domínio? CONTINUIDADE 112 – 115: Classifique a função quanto à continuidade em . QUESTÃO 112: quando . QUESTÃO 113: { , quando . QUESTÃO 114: { ⁄ ⁄ , quando ⁄ . QUESTÃO 115: { , quando . 116 – 122: Classifique quanto à continuidade no seu domínio. QUESTÃO 116: QUESTÃO 117: { QUESTÃO 118: { ⁄ QUESTÃO 119: { QUESTÃO 120: Determine o parâmetro real de modo que seja contínua a função definida por: { | | QUESTÃO 121: Prove que a equação tem pelo menos, uma raiz real. QUESTÃO 122: Se e forem funções contínuas, com e , determinar . 123 – 126: USE A DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE E PROPRIEDADES DOS LIMITES PARA MOSTRAR QUE A FUNÇÃO É CONTÍNUA EM UM DADO NÚMERO . QUESTÃO 123: √ , . QUESTÃO 124: , . QUESTÃO 125: , . QUESTÃO 126: Verifique a continuidade de no intervalo . 127 – 131: EXPLIQUE POR QUE A FUNÇÃO É DESCONTÍNUA NO NÚMERO DADO . ESBOCE O GRÁFICO DA FUNCÃO. QUESTÃO 127: | | . QUESTÃO 128: { . QUESTÃO 129: { . QUESTÃO 130: { . QUESTÃO 131 (APLICAÇÕES À FISICA): Uma pedra é abandonada de uma altura de 64 m. Se s for a altura da pedra t segundos após ter iniciado a queda, então . a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo? b) Com que velocidade a pedra atinge o solo? TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO QUESTÃO 132: Prove que a equação tem pelo menos, uma raiz real. QUESTÃO 133: Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação tem, no máximo, duas raízes reais. QUESTÃO 134: Prove que tem, no mínimo, uma raiz real. QUESTÃO 135: Mostre que a função possui exatamente uma raiz real. QUESTÃO 136: Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação √ no intervalo . TEOREMA DO CONFRONTO 137 – 140: USE O TEOREMA DO CONFRONTO PARA ENCONTRAR: QUESTÂO 137: ( ). QUESTÃO 138: | | √ . QUESTÃO 139: √ . QUESTÃO 140: Se para todo , encontre LISTA 02 – DERIVADAS PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO O CÁLCULO DA DERIVADA EMPREGANDO LIMITES 01 – 04: Encontre uma equação da reta tangente à curva, dado o valor de : QUESTÃO 01: , . QUESTÃO 02: , . QUESTÃO 03: √ , . QUESTÃO 04: , . 05 – 10: Determine : QUESTÃO 05: QUESTÃO 06: QUESTÃO 07: √ QUESTÃO 08: QUESTÃO 09: QUESTÃO 10: √ QUESTÃO 11: Sendo , calcule QUESTÃO 12: Sendo , determine . QUESTÃO 13: Para , calcule – . QUESTÃO 14: Sendo , calcule a razão entre QUESTÃO 15: Dada a função Determinar: . QUESTÃO 16: Dada a função – , determinar à equação da reta tangente a curva representada por esta função quando QUESTÃO 17: Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. a) b) – QUESTÃO 18: Encontrar a equações da reta tangente e normal à curva no ponto QUESTÃO 19: Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) para o dado valor de x: – . 3 4 )( x xf . 1 )( 2 x x xf . QUESTÃO 20: Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de no ponto para o valor de e determine o domínio de : 3 4 )( x xf . 1 )( 2 x x xf . QUESTÃO 21 – 36: Derive a função. QUESTÃO 21: . QUESTÃO 22: . QUESTÃO 23: QUESTÃO 24: ⁄ . QUESTÃO 25: √ . QUESTÃO 26: . QUESTÃO 27: √ . QUESTÃO 28: . QUESTÃO 29: √ √ . QUESTÃO 30: . QUESTÃO 31: . QUESTÃO 32: . QUESTÃO 33: . QUESTÃO 34: . QUESTÃO 35: . QUESTÃO 36: √ . QUESTÃO 37 – 40: Encontre uma equação para a reta tangente â curva no ponto dado. QUESTÃO 37: √ . QUESTÃO 38: . QUESTÃO 39: . QUESTÃO 40: . QUESTÃO 41 – 42: Encontre a primeira e a segunda derivada da função: QUESTÃO 41: QUESTÃO 42: QUESTÃO 43: A equação de movimento de umapartícula é + 1, em que está em metros e em segundos. a) A velocidade e a aceleração com funções de t. b) A aceleração depois de 2s. c) A aceleração quando a velocidade for 0. QUESTÃO 44: Determine os pontos sobre a curva onde a tangente é horizontal. QUESTÃO 45: Mostre que a curva não tem reta tangente com a inclinação 4. QUESTÃO 46: Encontre uma equação para a reta tangente à curva √ que seja paralela à reta . QUESTÃO 47: Em qual ponto sobre a curva a reta tangente é paralela à reta ? QUESTÃO 48 – 49: Encontre a n-ésima derivada de cada função calculando algumas das primeiras derivadas e observando o padrão – regularidade – que ocorre. QUESTÃO 48: . QUESTÃO 49: . QUESTÃO 50: Encontre uma função de grau três (cúbica) cujo gráfico tenha tangentes horizontais nos pontos (-2, 6) e (2,0). QUESTÃO 51: Encontre uma função parábola com a equação que tenha inclinação 4 em x = 1, inclinação – 8 em x = -1 e passe pelo ponto (2,15). QUESTÃO 52: Determine o valor de a e b a reta é tangente à parábola quando x = 2? QUESTÃO 53: Encontre a parábola com equação cuja reta tangente em (1,1) tem equação . QUESTÃO 54: Encontre a derivada de de duas maneiras: usando a Regra do Produto e fazendo primeiro a multiplicação. As respostas são iguais? QUESTÃO 55 – 65: Derive a função. QUESTÃO 55: . QUESTÃO 56: . QUESTÃO 57: √ . QUESTÃO 58: . QUESTÃO 59: . QUESTÃO 60: . QUESTÃO 61: . QUESTÃO 62: . QUESTÃO 63: ( ) . QUESTÃO 64: . QUESTÃO 65 – 68: Encontre e . QUESTÃO 65: . QUESTÃO 66: . QUESTÃO 67: ⁄ . QUESTÃO 68: . QUESTÃO 69 – 70: Encontre uma equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado. QUESTÃO 69: QUESTÃO 70: TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO: PRODUTO, QUOCIENTE E CADEIA QUESTÃO 71 – QUESTÃO 80: Usando as técnicas de derivação designada Regra da Cadeia, bem como as propriedades de derivadas, derive as funções abaixo: QUESTÃO 71: ⁄ . QUESTÃO 72: √ . QUESTÃO 73: √ . QUESTÃO 74: √ √ . QUESTÃO 75: √ . QUESTÃO 76: . QUESTÃO 77: . QUESTÃO 78: . QUESTÃO 79: √ . QUESTÃO 80: ( ) . TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA QUESTÃO 81 – QUESTÃO 88: Usando as técnicas de derivação implícita, bem como as propriedades de derivadas, determine a derivada das funções abaixo: QUESTÃO 81: . QUESTÃO 82: √ . QUESTÃO 83: . QUESTÃO 84: . QUESTÃO 85: . QUESTÃO 86: √ . QUESTÃO 87: . QUESTÃO 88: √ . QUESTÃO 89 – QUESTÃO 90: Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. QUESTÃO 89: . Ponto: . QUESTÃO 90: . Ponto: . TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO: FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS QUESTÃO 91 – QUESTÃO 100: Usando as técnicas de derivação, bem como as propriedades de derivadas, determine a derivada das funções abaixo: QUESTÃO 91: . QUESTÃO 92: . QUESTÃO 93: . QUESTÃO 94: . QUESTÃO 95: . QUESTÃO 96: √ . QUESTÃO 97: . QUESTÃO 98: . QUESTÃO 99: . QUESTÃO 100: √ . TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO: FUNÇÕES LOGARÍTMICAS QUESTÃO 101 – QUESTÃO 110: Usando as técnicas de derivação, bem como as propriedades de derivadas, determine a derivada das funções abaixo: QUESTÃO 101: . QUESTÃO 102: √ . QUESTÃO 103: ( ). QUESTÃO 104: . QUESTÃO 105: . QUESTÃO 106: . QUESTÃO 107: . QUESTÃO 108: . QUESTÃO 109: . QUESTÃO 110: . TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO: DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA QUESTÃO 111 – QUESTÃO 120: Usando as técnicas de derivação, bem como as propriedades de derivadas, determine a derivada das funções abaixo: QUESTÃO 111: . QUESTÃO 112: . QUESTÃO 113: . QUESTÃO 114: ⁄ . QUESTÃO 115: ⁄ . QUESTÃO 116: √ . QUESTÃO 117: . QUESTÃO 118: . QUESTÃO 119: . QUESTÃO 120: . LISTA ESPECIAL DE ATIVIDADES D0 SEGUNDO BIMESTRE QUESTÃO 121: Derive a função definida por: QUESTÃO 122: Encontre, no intervalo , os pontos sobre o gráfico da função , onde a reta tangente é horizontal. QUESTÃO 123: Obtenha uma equação da reta tangente à curva , no pontos em que . QUESTÃO 124: Obtenha uma equação para a reta tangente à curva , no ponto em que . QUESTÃO 125: Determine sendo: QUESTÃO 126: Determine a derivada da função . [Sugestão: Use a regra da cadeia]. QUESTÃO 127: Use diferenciação logarítmica para achar a derivada da função . QUESTÃO 128: Encontre um equação da reta tangente à curva , no ponto ( ). QUESTÃO 129: Usando a diferenciação logarítmica, calcule , sendo: √ QUESTÃO 130: Usando a diferenciação logarítmica, derive a função abaixo: QUESTÃO 131: Se (√ ), determine , sendo . QUESTÃO 132: Sabendo que a equação define implicitamente com função de , pergunta-se: Existe algum ponto sobre a curva no qual a reta tangente é paralela à reta ? QUESTÃO 133: Encontre as assíntotas horizontais e verticais da curva: √ QUESTÃO 134: Encontre a derivada da função abaixo: √ QUESTÃO 135: Determine as equação das reta tangente e normal no ponto indicado: QUESTÃO 136: Determine as equação das reta tangente e normal no ponto indicado: . QUESTÃO 137: Determine uma equação da reta tangente à curva √ no ponto . QUESTÃO 138: Derive a função definidas por: QUESTÃO 139: Derive a função definidas por: ( ) QUESTÃO 140 (AMAN – RJ): O gráfico da função admite em dois pontos distintos, tangentes geométricas paralelas ao eixo das abscissas. As ordenadas de tais pontos são: a) e . b) e . c) e . d) e . e) e . QUESTÃO 141 – 150: Calcule o valor do limite, caso exista. Caso contrário, justifique. QUESTÃO 141: . QUESTÃO 142: . QUESTÃO 143: . QUESTÃO 144: . QUESTÃO 145: . QUESTÃO 146: . QUESTÃO 147: . QUESTÃO 148: . QUESTÃO 149: . QUESTÃO 150:.
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