Sistema de primeira e segunda ordem

Ana´lise de resposta transito´ria para
sistemas de primeira e segunda ordem
Controle I
Paulo Roberto Brero de Campos
0.1 Introduc¸a˜o
Nesta apostila sera˜o estudadas as respostas transito´rias de sistemas de primeira e segunda
ordem, analisadas no domı´nio do tempo.
No estudo dos sistemas de controle, as equac¸o˜es diferenciais lineares de primeira ordem
e segunda ordem sa˜o muito importantes, porque os sistemas de ordem mais elevadas podem
ser aproximados para estes tipos de sistemas.
0.2 Sistemas de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte func¸a˜o de transfereˆncia:
C(s)
R(s)
= 1
Ts+1
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
R(s) - 1
Ts+1
-C(s)
Figura 1: Diagrama em blocos
Uma maneira de se analisar uma func¸a˜o de transfereˆncia e´ aplicar um degrau unita´rio na
entrada e observar a resposta na sa´ıda. Sendo o degrau unita´rio R(s) = 1
s
, a resposta sera´
dada por:
C(s) = 1
Ts+1
R(s) = 1
Ts+1
1
s
Separando em frac¸o˜es parciais, obte´m-se:
C(s) = A
Ts+1
+ B
s
= −T
Ts+1
+ 1
s
= 1
s
− 1
s+ 1
T
Calculando a transformada inversa, obte´m-se:
c(t) = 1− e− tT para t ≥ 0
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
1
0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
1.5
t
c(
t)
Substituindo t por valores mu´ltiplos da constante de tempo, tem-se:
para t = 0, c(t) = 0
para t = T , c(t) = 0, 632
para t = 2T , c(t) = 0, 865
para t = 3T , c(t) = 0, 950, que e´ a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
para t = 4T , c(t) = 0, 982, que e´ a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
para t = 5T , c(t) = 0, 993, que e´ a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
0.3 Definic¸a˜o da constante de tempo
Ja´ foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau e´
dada por:
c(t) = 1− e− tτ
O valor de t que torna o expoente de e igual a −1 e´ definido como uma Constante de
tempo.
Assim: −t
τ
= −1 enta˜o t = τ . Assim τ =constante de tempo.
A partir da func¸a˜o de transfereˆncia:
G(s) = 1
τs+1
=
1
τ
s+ 1
τ
Na func¸a˜o de transfereˆncia, observa-se que τ =constante de tempo e quando se isola o
termo em s, obtem-se 1
τ
=po´lo. Enta˜o o po´lo e´ o inverso da constante de tempo.
Exemplo: Considerando a func¸a˜o de transfereˆncia G(s) = 100
s+20
:
a) Calcule o valor do po´lo: o po´lo e´ o valor de s que faz a func¸a˜o tender ao infinito, enta˜o
po´lo=s=-20 rad/s.
b) Calcule a constante de tempo: pela definic¸a˜o, constante de tempo = τ = 1
20
= 0, 05s
2
c) Calcule o valor final da sa´ıda, aplicando o Teorema do Valor final:
f(∞) = lim
t→∞ f(t) = lims→0 sF (s) = lims→0 s
100
s+ 20
1
s
= 5
d) Calcule o valor final de sa´ıda, pela resposta no tempo: separando em frac¸o˜es parciais,
obte´m-se:
C(s) = 100
s+20
1
s
= A
s
+ B
s+20
= 5
s
− 5
s+20
Calculando a anti-transformada de Laplace:
c(t) = 5− 5e−20t
Para t =∞, obtem-se c(s) = 5.
e) Calcule o valor de c(t) para uma constante de tempo: a constante de tempo e´ obtida
como: −20t = −1 e t = τ = 0, 05. Substituindo este valor de t na equac¸a˜o do item anterior,
c(t) = 3, 16.
Exerc´ıcio: Considere a resposta de um sistema desconhecido. A partir da resposta no
tempo obtenha a func¸a˜o de transfereˆncia.
Figura 2: Exerc´ıcio
0.4 Sistemas de segunda ordem
A equac¸a˜o diferencial padronizada de um sistema de segunda ordem e´ dada por:
d2y(t)
dt2
+ 2ξωn
dy(t)
dt
+ ωn
2y(t) = ωn
2x(t)
A constante ξ e´ chamada Coeficiente de amortecimento (ou raza˜o de amortecimento)
A constante ωn e´ chamada frequeˆncia natural na˜o amortecida.
A transformada de Laplace com condic¸o˜es iniciais nulas e´ dada por:
Y (s)s2 + 2ξωnsY (s) + ωn
2Y (s) = ωn
2X(s)
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
G(s) = Y (s)
X(s)
= ωn
2
s2+2ξωns+ωn2
Os po´los da func¸a˜o sa˜o dados por:
s = −ξωn ± ωn
√
ξ2 − 1
O coeficiente de amortecimento (ξ) fornece indicac¸o˜es de como sera´ a resposta transito´ria
do sistema:
3
1. Se ξ > 1, o sistema possui dois po´los reais e distintos
2. Se 0 ≤ ξ < 1, o sistema possui po´los complexos conjugados, localizados em: s =
−ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
3. Se ξ = 1, o sistema possui duas ra´ızes reais iguais.
onde: σ = taxa de decaimento
ωd = frequeˆncia natural amortecida
Resumo:
a)0 ≤ ξ < 1 – sistema sub-amortecido (amortecimento sub-cr´ıtico)
b) ξ = 1 – amortecimento cr´ıtico
c) ξ > 1 – sistema super-amortecido (amortecimento super-cr´ıtico)
0 10 20 30 40 50
0
0.5
1
t
c(
t)
ξ < 1
ξ = 1
ξ > 1
Para ξ < 1 o lugar geome´trico dos po´los e´ mostrado na figura 3.
-
6
@
@
@I
.
.
.
+jωd
−jωd-
−σ
*
*
θ θ = cos−1ξ
. . ....
.. .
...
.
.
s = −σ + jωd
s = −σ − jωd
Figura 3: Plano s
0.5 Definic¸a˜o de constante de tempo para sistemas de
segunda ordem, com ξ < 1
Neste caso os po´los sa˜o complexos conjugados:
4
s = −ξωn ± jωn
√
1− ξ2 = −σ ± jωd
A func¸a˜o de transfereˆncia e´ dada por:
F (s) = ω
2
n
(s+σ+jωd)(s+σ−jωd)
No tempo, calculando a anti-transformada de Laplace, obte´m-se:
f(t) = A1e
(−σ−jωd)t + A2e(−σ+jωd)t = Ae−σtsen(ωdt+ φ)
O termo e−σt e´ denominado taxa de decaimento.
Pela definic¸a˜o de constante de tempo, vista na parte inicial da apostila: −σt = −1,
t = 1
σ
= τ , desta forma:
τ = 1
σ
= 1
ξωn
0 20 40 60 80 100 120
−0.5
0
0.5
1
t
c(
t)
Ae(−σt)sen(ωdt+ φ)
e(−σt)
Exerc´ıcio: desenhe as regio˜es para: ξ,ωn, ωd, σ constantes.
0.5.1 Exemplo
Analise o sistema abaixo, sendo ξ = 0, 5 e ωn = 10rad/s:
E(s)- ω2n
s(s+2ξωn)
-i C(s)-+R(s)
- 6
Figura 4: Diagrama em blocos
a) Calcule os po´los em malha fechada:
b) Calcule a frequeˆncia natural amortecida:
c) Calcule a constante de tempo do sistema
d) Determine o tio de resposta que o sistema exibe
5
0.6 Especificac¸o˜es de Resposta transito´ria para siste-
mas de segunda ordem
As caracter´ısticas de desempenho desejadas de sistemas de controle sa˜o especificadas em
termos de grandezas no domı´nio do tempo.
Sistemas com armazenamento de energia na˜o podem responder instantaneamente e tera˜o
respostas transito´rias sempre que sujeitos a alterac¸o˜es na entrada ou sujeitos a perturbac¸o˜es.
Frequentemente as caracter´ısticas de desempenho de um sistema de controle sa˜o especi-
ficadas em termos da resposta transito´ria para uma entrada em degrau unita´rio, pois esta
entrada e´ fa´cil de gerar e e´ suficientemente severa.
As seguintes informac¸o˜es sa˜o usadas para especificar a resposta no tempo:
1) Tempo de atraso (delay) – td
2) tempo de subida (rise time) – tr
3) Instante de pico – tp
4) Sobressinal ma´ximo – Mp
5) tempo de acomodac¸a˜o – ts
Figura 5: Resposta de um sistema de segunda ordem
1) Tempo de atraso (td) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar pela primeira
vez a metade do valor final.
2) Tempo de subida (tr) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta passar de 10% a 90%, de
6
5% a 95% ou de 0 a 100%. Normalmente usa-se de 10% a 90%.
3) Instante de pico (tp) – e´ o tempo necessa´rio para a resposta alcanc¸ar o primeiro pico
do sobressinal.
4) Sobressinal Ma´ximo ( Mp em valor percentual) – e´ o valor de pico da curva de resposta
medido a partir do valor unita´rio, para a sa´ıda padronizada.
Se o valor final do regime estaciona´rio de resposta difere da unidade, enta˜o normalmente
se usa o ma´ximo sobressinal percentual:
Mp(%) = c(tp)−c(∞)
c(∞) 100%
O valor do sobressinal ma´ximo (percentual) fornece indicac¸o˜es da estabilidade relativa
do sistema.
5) Tempo de estabilizac¸a˜o (acomodac¸a˜o) (ts) – e´ o tempo necessa´rio para a curva de
resposta alcanc¸ar e permanecer dentro de uma faixa em torno do