Petrobras - Controle Contínuo

Prévia do material em texto

Apostila de Controle 1 
CONTEÚDO 
CAPÍTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................... 6 
1.1 - INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 6 
1.2 - NOÇÕES BÁSICAS DE SISTEMAS ..................................................................................... 6 
1.3 - O PROBLEMA DO CONTROLE........................................................................................... 7 
1.4 - TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................................... 7 
CAPÍTULO 2 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS ......................... 10 
2.1 - MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS .......................................................................... 10 
2.2 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM .................................................................................. 10 
2.2.1 - Circuito RC série .............................................................................................................. 10 
2.2.2 - Tanque de nível ............................................................................................................... 11 
2.2.3 - Sistema térmico com uma massa ................................................................................... 12 
2.3 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM .................................................................................. 13 
2.3.1 - Sistema massa-mola-amortecedor ................................................................................. 13 
2.3.2 - Circuito RLC paralelo ....................................................................................................... 14 
2.3.3 - Sistemas com dois tanques ............................................................................................. 15 
CAPÍTULO 3 REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ......................... 17 
3.1 - DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE........................................................ 17 
3.2 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................... 17 
3.2.1 - Linearidade ..................................................................................................................... 17 
3.2.2 - Diferenciação real ........................................................................................................... 17 
Apostila de Controle 2 
3.2.3 - Integração real ................................................................................................................ 18 
3.2.4 - Limite do valor final ........................................................................................................ 18 
3.2.5 - Translação real ................................................................................................................ 18 
3.2.6 - Translação complexa ...................................................................................................... 18 
3.2.7 - Mudança na escala do tempo ......................................................................................... 18 
3.2.8 - Transformada da convolução ......................................................................................... 18 
3.3 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNÇÕES SIMPLES ........................................ 19 
3.4 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ....................................................................................... 22 
3.5 - PÓLOS E ZEROS.................................................................................................................. 24 
CAPÍTULO 4 DIAGRAMA DE BLOCOS ................................................................................... 28 
4.1 - CONCEITO DE DIAGRAMA DE BLOCOS ....................................................................... 28 
4.2 - MANIPULAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS ............................................................. 30 
4.3 - SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES............................... 33 
CAPÍTULO 5 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO ............................................................... 39 
5.1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 39 
5.2 - FUNÇÕES DESCONTÍNUAS NO TEMPO ........................................................................ 39 
5.2.1 - Função degrau unitário ................................................................................................... 39 
5.2.2 - Função impulso unitário ................................................................................................. 40 
5.2.3 - Função rampa ................................................................................................................. 40 
5.3 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM .................................................................................. 40 
5.3.1 - Resposta ao degrau ......................................................................................................... 41 
5.3.2 - Resposta ao impulso unitário ......................................................................................... 42 
Apostila de Controle 3 
5.3.3 - Resposta à rampa unitária .............................................................................................. 42 
5.4 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM .................................................................................. 44 
5.4.1 - Resposta ao degrau ......................................................................................................... 44 
5.4.2 - Resposta ao impulso unitário ......................................................................................... 48 
5.4.3 - Resposta à rampa ........................................................................................................... 50 
5.5 - ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE ................. 52 
5.5.2 - Sistemas de ordem superior ........................................................................................... 61 
CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE ........................................................................... 63 
6.1 - O CONCEITO DE ESTABILIDADE ................................................................................... 63 
6.2 - O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ............................................ 71 
6.3 - ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA ..................................................................... 75 
CAPÍTULO 7 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE .......................................................... 83 
7.1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 83 
7.2 - ERRO ESTACIONÁRIO ...................................................................................................... 83 
7.3 - ERRO ATUANTE ESTACIONÁRIO .................................................................................. 84 
7.3.1 - Entrada degrau ............................................................................................................... 85 
7.3.2 - Entrada rampa ................................................................................................................ 85 
7.3.3 - Entrada parábola............................................................................................................. 86 
CAPÍTULO 8 CONTROLE CLÁSSICO DE SISTEMAS .......................................................... 89 
8.1 - DEFINIÇÕES ........................................................................................................................ 89 
8.2 - CONTROLE ON-OFF........................................................................................................... 89 
8.3 - CONTROLADORES PROPORCIONAIS (P) ...................................................................... 91 
Apostilade Controle 4 
8.4 - CONTROLADORES INTEGRAIS (I) ................................................................................. 91 
8.5 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ..................................................... 92 
8.6 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD) ............................................... 93 
8.7 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) ........................ 94 
8.8 - COMENTÁRIOS: ................................................................................................................. 95 
CAPÍTULO 9 EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE ........................................................... 96 
9.1 - SISTEMAS COM ERRO EM REGIME PERMANENTE ................................................... 96 
9.1.1 - Ação de controle proporcional (P) .................................................................................. 96 
9.1.2 - Ação de controle integral (I) ........................................................................................... 97 
9.1.3 - Ação de controle proporcional-integral (PI) ................................................................... 98 
9.2 - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO NATURAL........................................................... 99 
9.2.1 - Ação de controle proporcional ....................................................................................... 99 
9.2.2 - Ação de controle proporcional-derivativo (PD) ............................................................ 100 
9.2.3 - Considerações finais ..................................................................................................... 100 
9.3 - SISTEMAS SUBMETIDOS A PERTURBAÇÕES ........................................................... 101 
9.3.1 - Controlador proporcional (P) ........................................................................................ 102 
9.3.2 - Controlador proporcional-integral (PI) ......................................................................... 103 
9.4 - CONTROLADORES PID ................................................................................................... 104 
CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA ............................................... 108 
10.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 108 
10.2 - CONCEITOS INICIAIS DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA ....................................... 108 
10.2.1 - Resposta em freqüência de sistemas de lineares ....................................................... 108 
Apostila de Controle 5 
10.2.2 - Gráfico de resposta em freqüência: ........................................................................... 110 
10.3 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL .............................................................. 111 
10.4 - RELAÇÃO DE AMPLITUDES E FASE DE SISTEMAS BÁSICOS ............................. 112 
10.4.1 - Sistema de 1ª ordem .................................................................................................. 112 
10.4.2 - Sistema de 2ª ordem .................................................................................................. 112 
10.5 - O DIAGRAMA DE BODE ............................................................................................... 114 
10.5.1 - Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos ............................................................. 114 
10.5.2 - Diagrama de Bode de fatores básicos ........................................................................ 115 
10.5.3 - Margem de ganho de margem de fase ....................................................................... 119 
 
Apostila de Controle 6 
CAPÍTULO 1 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1.1 - INTRODUÇÃO 
O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia e da 
ciência. Além de sua extrema importância em veículos espaciais, pilotos automáticos de aviões e 
mísseis, robôs e outros sistemas complexos, o controle automático tornou-se uma parte importante 
dos modernos processos industriais e de manufatura, principalmente nas operações industriais de 
controle de pressão, temperatura, umidade, viscosidade e fluxo. 
A engenharia de controle é baseada nos fundamentos da teoria da realimentação e na análise 
de sistemas lineares. Esta base teórica faz com que a engenharia de controle não seja limitada a 
nenhuma disciplina específica da engenharia. Por exemplo, muitas vezes um sistema de controle 
inclui componentes elétricos, mecânicos e químicos. Além disso, à medida que aumenta a nossa 
compreensão dos sistemas políticos, sociais e financeiros, a possibilidade de controlar tais sistemas 
também aumenta. 
1.2 - NOÇÕES BÁSICAS DE SISTEMAS 
 Sistemas são conjuntos de componentes que atuam juntos realizando determinada finalidade. 
Um sistema pode ser constituído de subsistemas, e pode também ser parte de um sistema maior. 
 Sistemas dinâmicos são sistemas cujo comportamento, quando submetidos a perturbações, 
varia no tempo, segundo leis físicas que podem ser modeladas matematicamente. 
 Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito 
de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos: 
 Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora 
representativos das características mais importantes; 
 Modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por 
meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças). Pode-se 
prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou 
matemático. 
Como exemplo de um sistema dinâmico, considere o mostrado na Figura 1-1 abaixo, 
composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este 
sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A 
equação matemática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da 
massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na Figura 1-1. 
Apostila de Controle 7 
 
Figura 1-1: Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a 
suspensão de um veículo. 
1.3 - O PROBLEMA DO CONTROLE 
 Especificações de desempenho são descrições do comportamento a ser apresentado pelo 
sistema, conforme solicitação do usuário. 
 Controle é a ação de fazer com que um sistema atenda às especificações de desempenho 
determinadas a priori. 
 Planta é também um conjunto de componentes, ou parte de uma máquina, ou uma 
máquina como um todo, com a finalidade de desempenhar uma determinada operação. 
Este é o componente do sistema a ser controlado. 
 Problema de Controle é determinar uma forma de afetar um dado sistema físico para 
que ele atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas. 
 Sistema de Controle é o conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador 
com uma configuração tal que gere uma resposta desejada. 
 Variável manipulada (normalmente a entrada do sistema) é a quantidade ou condição 
que é variada de modo a afetar o valor da variável controlada da maneira desejada. 
 Variável controlada normalmente é a saída do sistema, ou seja, a quantidade ou 
condição que é medida e controlada. 
 Perturbações são sinais que tendem a afetar de maneira adversa o valor da saída do 
sistema, normalmente de maneira não previsível e fora do controle do sistema. Um 
exemplo clássico de perturbações são os sinais de ruído. 
 
Figura 1-2: Exemplo de planta Sistema de aquecimento de água. 
1.4 - TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
Um sistema em controle em malha aberta geralmente utiliza apenas um atuador para obter 
a resposta desejada, como mostrado na Figura 1-3. O atuador é responsável pela conversão e 
compatibilização de grandezas físicas e pela elevação do nível de potência necessário para excitar 
diretamente a planta. 
Apostilade Controle 8 
 
 
Figura 1-3: Exemplo de sistema de controle em malha aberta. 
Um exemplo de sistema de controle em malha aberta é a torradeira elétrica doméstica. 
Em contraste com um sistema de controle em malha aberta, um sistema de controle em 
malha fechada utiliza uma medida da saída efetiva para compará-la com a saída desejada. A 
medida do sinal de saída, obtida por um sensor, é chamada sinal de realimentação. Um sistema de 
controle realimentado em malha fechada simples é mostrado na Figura 1-4. 
Um sistema de controle realimentado tende a manter a relação desejada de uma variável do 
sistema com outra, por comparação dessas variáveis e utilização da diferença como mecanismo de 
controle. A diferença entre o sinal de saída e o valor desejado para o sinal é o sinal de erro, ou 
simplesmente erro. 
A necessidade de sistemas de controle de malha fechada aparece principalmente nos 
sistemas sujeitos a perturbações. 
 
 
Figura 1-4: Exemplo de um sistema de controle em malha fechada. 
Apostila de Controle 9 
A introdução da realimentação permite controlar a saída desejada e pode melhorar a 
precisão, mas requer atenção quanto aos aspectos de estabilidade da resposta: é bem conhecido o 
fato que o “controlador” humano, quando dirigindo o carro, é propenso a acidentes em 
determinadas situações. 
Um exemplo de sistema em malha fechada é uma pessoa dirigindo um automóvel: os olhos 
“medem” a posição do carro na rua e o motorista atua para fazer as eventuais correções necessárias. 
Os sistemas de controle são, às vezes, divididos em duas classes: 
 regulador quando o objetivo do sistema de controle é manter uma variável física em 
algum valor constante na presença de distúrbios ou perturbações. Ex.: o sistema biológico 
do corpo humano, que mantém a sua temperatura em aproximadamente 36,5°C, mais ou 
menos, independentemente do metabolismo do corpo ou da temperatura ambiente. 
 servomecanismos quando o objetivo do sistema de controle no qual uma variável física 
deve seguir ou acompanhar alguma outra variável física ou uma função do tempo 
desejada. Ex.: um sistema de posicionamento de antena de satélite, onde sua posição deve 
ser permanentemente ajustada para apontar diretamente para o satélite. 
Exemplo 1.1 - Questões de concursos públicos 
Petroquimica Suape – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – Julho/2009 
 
Resposta: Letra A. 
 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Resposta: Letra C. 
Apostila de Controle 10 
CAPÍTULO 2 
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
2.1 - MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
Sistemas lineares invariantes no tempo (parâmetros constantes) são descritos 
matematicamente por equações diferenciais ordinárias, na forma: 
𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏𝑛−1
𝑑𝑚−1𝑥
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑏0𝑥 
onde x(t) é conhecido como entrada do sistema, ou então por termo forçante, y(t) constitui a saída 
do sistema ou variável de estado e ai (i = 1, 2, … n) e bj (j = 1, 2, … m) são constantes. 
2.2 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
Sistemas de primeira ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de primeira ordem, ou seja: 
𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦(𝑡) = 𝑏0𝑥(𝑡) 
Dividindo-se a equação acima por 𝑎0, tem-se: 
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) =
𝑏0
𝑎0
𝑥(𝑡) 
que pode ser reescrita na forma: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑥(𝑡) 
sendo 𝐾 o ganho DC do sistema e 𝜏 a sua constante de tempo. 
2.2.1 - Circuito RC série 
Como exemplo de sistema de primeira ordem, podemos apresentar o circuito RC série, 
mostrado na Figura 2-1. 
 
Figura 2-1: Diagrama esquemático de um circuito RC série 
O circuito RC é composto de uma fonte de tensão, 𝑣𝑖 𝑡 , em série com um resistor R e um 
capacitor C. 
Apostila de Controle 11 
A corrente no capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão através do capacitor, 
matematicamente: 
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
 
sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. 
Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o 
que leva à expressão: 
𝑣𝑖 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑡 − 𝑣𝑐 𝑡 = 0 
Realizando as devidas substituições, surge uma equação diferencial de primeira ordem: 
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣𝑖 𝑡 
onde a função forçante é a tensão 𝑣𝑖 𝑡 e a variável é a tensão 𝑣𝑐 𝑡 . 
2.2.2 - Tanque de nível 
Para o sistema da Figura 2-2 abaixo, deseja-se determinar a relação entre 𝑄𝑜 e 𝑄𝑖 
 
Figura 2-2: Tanque aberto cuja variável de entrada é a vazão 𝑄𝑖 
Como temos apenas um tanque sob temperatura constante, aplicaremos somente a Lei da 
Conservação da Massa e uma única vez. Assim: 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄𝑜 = 𝑚 𝑇 
Da Mecânica dos Fluidos, temos que: 
𝑃 = 𝜌𝑔𝑕 
Podemos relacionar a massa 𝑚𝑇 com a altura 𝑕, assim como a vazão 𝑄𝑜 com a pressão 𝑃, 
isto é: 
𝑚𝑇 = 𝜌𝐴𝑕 
𝑃 = 𝑅𝑓𝑄𝑜 
Fazendo as substituições, tem-se: 
𝑚𝑇 = 𝜌𝐴
𝑃
𝜌𝑔
=
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄𝑜 ⟹ 𝑚 𝑇 =
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄 𝑜 
Ou seja, 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄𝑜 =
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄 𝑜 
Apostila de Controle 12 
𝐴𝑅𝑓
𝜌𝑔
𝑑𝑄𝑜
𝑑𝑡
+ 𝑄𝑜 = 𝑄𝑖 
2.2.3 - Sistema térmico com uma massa 
Para o sistema da Figura 2-3, determinar a relação entre 𝑇𝑜 e 𝑇𝑖 
 
Figura 2-3: Sistema térmico com uma capacitância térmica. 
Como temos somente uma capacitância térmica (um corpo com capacidade de armazenar 
energia), então aplicaremos a Lei da Conservação de Energia apenas uma vez. Assim: 
𝑞1 = 𝐶𝑡𝑇 𝑜 
Da Figura 2-3 vemos que: 
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜 = 𝑅𝑡𝑞1 
Substituindo-se, temos que: 
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅𝑡
= 𝐶𝑡𝑇 𝑜 
ou 
𝑅𝑡𝐶𝑡
𝑑𝑇𝑜
𝑑𝑡
+ 𝑇𝑜 = 𝑇𝑖 
O modelo acima pode ser também o modelo de um termômetro de bulbo, Figura 2-4, se 
considerarmos as seguintes hipóteses: 
A temperatura 𝑇𝐿 do líquido que envolve o termômetro é uniforme. 
A parede do bulbo na armazena energia e entre o líquido e o mercúrio há somente uma 
resistência térmica. 
A variação de massa de mercúrio no bulbo é desprezível. 
Da equação acima, podemos escrever diretamente o modelo: 
𝑅𝑡𝐶𝑡
𝑑𝑇𝑚𝑒𝑑
𝑑𝑡
+ 𝑇𝑚𝑒𝑑 = 𝑇𝐿 
em que: 
 𝑇𝑚𝑒𝑑 ≜ temperatura medida (temperatura do mercúrio); 
 𝑇𝐿 ≜ temperatura do líquido; 
Apostila de Controle 13 
 
Figura 2-4: Esquema para modelagem dinâmica de um termômetro de bulbo. 
Neste caso, verificamos que: 
𝑅𝑡 ≜ 1 𝑈𝐴 
𝐶𝑡 ≜ 𝑀𝐶 
em que: 
 𝑀 ≜ massa de mercúrio no bulbo; 
 𝐶 ≜ calor específico do mercúrio; 
 𝑈 ≜ coeficiente de transferência de calor total; 
 𝐴 ≜ área da superfície de transferência de calor; 
2.3 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Sistemas de segunda ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de segunda ordem, ou seja: 
𝑎2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
Dividindo-se a equação acima por 𝑎0, tem-se: 
𝑎2
𝑎0
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
𝑏0
𝑎0
𝑥 
que pode ser reescrita na forma: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾𝑥 
sendo 𝐾 o ganho DC, 𝜔𝑛 a freqüência natural não amortecida e 𝜉 o coeficiente de amortecimento 
do sistema. 
2.3.1 - Sistema massa-mola-amortecedor 
Como exemplo de sistema de segunda ordem mecânico, podemos apresentar a suspensão de 
um veículo, que pode ser representada, de forma simplificada, por: 
 uma massa M (Kg) suportada pela roda; 
 um conjunto de molas representado pela mola ideal com constante Km (N/m); e 
 um amortecedor representado pelo sistema de absorção B (Ns/m). 
Este sistema massa-mola-amortecedor é mostrado na Figura 2-5. 
Apostila de Controle 14 
 
Figura 2-5: Modelo simplificado de uma suspensão de automóvel. 
Conforme eixos coordenados, o sistema está em repouso quando na posição 𝑦 = 0 e com 
velocidade 𝑦 = 0. A suspensão é submetida a uma força externa 𝑓 𝑡 , dependente do terreno, da 
carga e da velocidade do veículo. As forças e respectivas direções de referência estão indicadas naFigura 2-5. 
De acordo com a lei de Newton, a soma das forças que atuam no sistema deve igualar a 
massa vezes a aceleração: 
 𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0 
ou seja, 
𝑓 𝑡 − 𝐹𝑀 − 𝐹𝐵 − 𝐹𝐾 = 0 
Aplicando agora as equações constitutivas dos elementos: 
𝑓 𝑡 − 𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
− 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝐾𝑚𝑥 = 0 
Finalmente, tem-se o modelo dado por: 
𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = 𝑓 𝑡 
onde a função forçante é a força 𝑓 𝑡 e a variável é o deslocamento 𝑥 𝑡 . 
2.3.2 - Circuito RLC paralelo 
Como exemplo de sistema de segunda ordem elétrico, podemos apresentar o circuito RLC 
paralelo mostrado na Figura 2-6. 
 
Figura 2-6: Circuito RLC paralelo. 
Aplicando a lei de Kirchoff dos nós: 
𝑖𝑐 𝑡 + 𝑖𝑟 𝑡 + 𝑖𝑙 𝑡 = 𝑖(𝑡) 
Apostila de Controle 15 
Aplicando agora as equações constitutivas dos elementos: 
𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝑅
𝑣 𝑡 +
1
𝐿
 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡) 
Ou seja: 
𝐶
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
1
𝑅
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
2.3.3 - Sistemas com dois tanques 
Como exemplo de sistema de segunda ordem hidráulico, podemos apresentar o sistema de 
dois tanques em série, mostrado na Figura 2-7. 
 
Figura 2-7: Sistema com dois tanques, com entrada de vazão 𝑄𝑖 no tanque 1. 
Neste sistema, temos dois tanques, portanto, a Lei de Conservação da Massa será aplicada 
duas vezes. Assim: 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄1 = 𝑚 1 
𝜌𝑄1 − 𝜌𝑄𝑜 = 𝑚 2 
Da Figura 2-7 vemos que: 
 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑅𝑓1𝑄1 
𝑃2 = 𝑅𝑓2𝑄𝑜 
𝑃1 = 𝜌𝑔𝑕1 
𝑃2 = 𝜌𝑔𝑕2 
𝑚1 = 𝜌𝐴1𝑕1 
𝑚2 = 𝜌𝐴2𝑕2 
Combinando as equações acima, obtemos: 
𝑄1 =
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 
𝑄𝑜 =
1
𝑅𝑓2
 𝜌𝑔𝑕2 
Fazendo-se as devidas substituições: 
𝑄𝑖 −
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 = 𝐴1𝑕 1 
Apostila de Controle 16 
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 −
1
𝑅𝑓2
 𝜌𝑔𝑕2 = 𝐴2𝑕 2 
Organizando vem: 
𝐴1
𝑑𝑕1
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕1 −
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕2 = 𝑄𝑖 
−
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕1 + 𝐴2
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝜌𝑔 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 = 0 ⟹ 𝑕1 =
𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 
Logo: 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝐴2
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝜌𝑔 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 −
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓2
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓2
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1𝑅𝑓2
𝜌2𝑔2
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑕2 =
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
𝑄𝑖 
ou seja, 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1𝑅𝑓2
𝜌2𝑔2
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 
𝐴1𝑅𝑓1
𝜌𝑔
+
𝐴1𝑅𝑓2
𝜌𝑔
+ 𝐴2
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑕2 =
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
𝑄𝑖 
Apostila de Controle 17 
CAPÍTULO 3 
REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
3.1 - DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace é um operador funcional (isto é, que opera e transforma funções) 
que modifica as funções no tempo f(t), passando a representá-las em função de uma variável s 
conhecida como freqüência complexa s. 
Por convenção, representa-se a dinâmica em função do tempo com letras minúsculas (y(t), 
x(t), g(t), f(t)), e suas transformadas por letras maiúsculas (Y(s), X(s), G(s), F(s)). 
A transformada de Laplace é definida como: 
𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 ≜ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0−
 
A transformada de Laplace é muito útil para resolver, de forma sistemática, equações 
diferenciais lineares que representam sistemas dinâmicos. 
O operador da transformada de Laplace pode ser invertido, obtendo-se a transformada 
inversa de Laplace: 
𝑓 𝑡 = L−1 𝐹 𝑠 =
1
2𝜋𝒋
 𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡
𝜍+𝒋𝜔
𝜍−𝒋𝜔
 
onde j é a base dos números complexos (𝒋 = −1 ). 
3.2 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace apresenta diversas propriedades que são úteis na sua aplicação. 
Porém estas propriedades não serão demonstradas aqui, e algumas delas sequer serão apresentadas. 
O leitor deverá buscar na bibliografia material adicional para complementar este estudo. Menciona-
se, contudo, que as demonstrações seguem diretamente da definição fornecida acima. 
As propriedades mais importantes são: 
3.2.1 - Linearidade 
Se 𝐹1 𝑠 = L(𝑓1(𝑡) e 𝐹2 𝑠 = L(𝑓2(𝑡), isto é, se a transformada de Laplace de f1(t) for 
F1(s), e se a transformada de f2(t) for F2(s), então 
L 𝛼1𝑓1 𝑡 + 𝛼2𝑓2 𝑡 = 𝛼1𝐹1 𝑠 + 𝛼2𝐹2 𝑠 
3.2.2 - Diferenciação real 
A diferenciação real permite obter a transformada da derivada temporal de uma função. Esta 
propriedade é muito importante porque permite a construção da equação característica a partir da 
equação de derivadas, como será visto adiante. Supondo que 𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , a diferenciação real 
resulta em 
L 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 = L 𝑓 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−) 
Apostila de Controle 18 
sendo que 𝑓(0−) é o resultado da avaliação de f(t), com t tendendo a 0 negativamente (pela 
esquerda). O conceito de diferenciação real pode ser estendido para derivadas de maior ordem, 
resultando 
L 
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑡𝑛
 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 0− − ⋯− 𝑠
𝑑𝑛−2𝑓
𝑑𝑡𝑛−2
 0− −
𝑑𝑛−1𝑓
𝑑𝑡𝑛−1
 0− 
Nota-se que a função f e suas derivadas temporais, quando avaliadas no instante 0−, 
representam as condições iniciais do sistema. 
3.2.3 - Integração real 
A integração real permite obter a transformada de Laplace da integral da função f(t). Se 
𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , a integração real leva ao resultado 
L 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹(𝑠)
𝑠
+
1
𝑠
 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 
𝑡=0−
 
3.2.4 - Limite do valor final 
O limite do valor final permite estabelecer uma correspondência entre o comportamento do 
sistema em regime permanente (isto é, conforme t tende ao infinito), e o valor da transformada de 
Laplace da função avaliada conforme s tende a zero, isto é: 
lim
𝑡→∞
𝑓 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠) 
3.2.5 - Translação real 
Uma translação no domínio do tempo consiste em adicionar ou subtrair uma constante ao 
tempo. Corresponde, portanto, a um atraso ou a uma antecipação de um evento. Então, se 
 𝐹 𝑠 = L(𝑓(𝑡), a transformada de Laplace da translação real (isto é, no domínio do tempo) vale: 
L 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝟏 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹 𝑠 
onde a é uma constante real. Na translação real é necessário introduzir a função degrau 
unitário 1(t) para evitar que a função f assuma valores diferentes de zero quando t for menor do que 
a. 
3.2.6 - Translação complexa 
Na translação complexa adiciona-se ou subtrai-se uma constante na função transformada. 
Novamente, se 𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , então a translação complexa afirma que 
𝐹 𝑠 − 𝑎 = L 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 
onde a é uma constante complexa. 
3.2.7 - Mudança na escala do tempo 
Se a transformada de Laplace de f(t) for F(s), ou 𝐹 𝑠 = L(𝑓(𝑡), então 
L 𝑓 𝑡 𝛼 = 𝛼𝐹 𝛼𝑠 
3.2.8 - Transformada da convolução 
A convolução de duas funções do tempo f1(t) e f2(t) é definida: 
𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ≜ 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏
∞
0
 
onde o símbolo “*” indica a convolução de f1 e f2 por definição. 
Apostila de Controle 19 
A transformada de Laplace da convolução de f1 e f2 vale então 
L 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠 
Exemplo 3.1 - Questões de concursos públicos 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Solução 
Resposta: A. 
 
Termoaçu - Engenheiro de Processamento Júnior – Janeiro/2008 
 
Solução 
 Vazão: 1000 mL/min=1000cm3/min 
 Volume da linha da amostragem: 
500cmx0,5cm2=250cm3 
 Tempo necessário para o líquido atravessar a 
linha: 
250cm3/1000cm3/min=0,25min 
Resposta: C. 
 
3.3 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNÇÕES SIMPLES 
A manipulação de sistemas dinâmicos e o projeto de sistemas de controle são facilitados 
quando se trabalha no domínio da transformada de Laplace. É freqüente que os problemas sejam 
elaborados no domínio do tempo, resolvidos no domínio da Transformada de Laplace e, a seguir, 
transformados de volta ao domínio do tempo. 
Embora existam infinitas funções matemáticas, o comportamento dinâmico de sistemaslineares é governado por apenas uma pequena fração destas funções. Por isso, a aplicação da 
transformada de Laplace em sistemas dinâmicos comuns levou a um número restrito de exemplos 
que podem ser relacionados sem a necessidade de se efetuar a transformação a cada novo problema. 
Apostila de Controle 20 
Em outras palavras, a quase totalidade de problemas encontrados pode ser resolvida por um 
pequeno conjunto de transformadas que já se encontram tabeladas. Portanto, na grande maioria das 
vezes não é necessário efetuar cálculos para se obter uma transformada de Laplace, mas tão 
somente aplicar as tabelas de transformadas. A Tabela 3-1 apresenta a Transformada de Laplace das 
principais funções utilizadas em sistemas lineares. 
Tabela 3-1: Transformadas de Laplace das principais funções: 
f(t) F(s) 
Função impulso – 𝛿(𝑡) 1 
Função Degrau unitário – 1(t) 
1
𝑠
 
Função rampa – t 
1
𝑠2
 
𝑡𝑛 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠 + 𝑎
 
𝑡𝑛𝑒−𝑎𝑡 
𝑛!
 𝑠 + 𝑎 𝑛+1
 
1
𝑏 − 𝑎
 𝑒−𝑎𝑡 − 𝑒−𝑏𝑡 
1
 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑏 
 
1
𝑎2
 𝑎𝑡 − 1 + 𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠2 𝑠 + 𝑎 
 
sin 𝜔𝑡 
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
 
cos 𝜔𝑡 
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
 
𝑒−𝑎𝑡 sen 𝜔𝑡 
𝜔
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 
𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 
𝑠 + 𝑎
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 
Apostila de Controle 21 
Exemplo 3.2 - Questões de concursos públicos 
REFAP/2007– Eng. de Processamento Júnior 
 
Resposta: Da tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝑡 =
1
s2
 
Letra C. 
Prominp/2008 – Área Química – Processos 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝟏 =
1
𝑠
 
Letra A. 
Transpetro/2006 – Processamento 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝐴 =
𝐴
𝑠
 
Letra D. 
Petrobras/2006 – Processamento Júnior 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝐴 =
𝐴
𝑠
 
Letra D. 
Apostila de Controle 22 
Termoaçu/2008 – Engenheiro de Processamento Júnior 
 
Resposta: Da própria definição de sistemas de primeira 
ordem. 
Letra B. 
3.4 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
Considere um sistema dinâmico regido por uma equação diferencial linear a coeficientes 
constantes na variável y(t), tal que x(t) é a função forçante: 
𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏𝑛−1
𝑑𝑚−1𝑥
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑏0𝑥 
Supondo agora que seja conhecida a transformada de Laplace de ambas as funções, isto é 
L(y(t)) = Y(s) e L(x(t)) = X(s), então ao aplicar-se a transformada na equação diferencial, tem-se: 
L 𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
 + ⋯ + L 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 + L 𝑎0𝑦 = L 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
 + ⋯ + L 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + L 𝑏0𝑥 
Aplicando a seguir a propriedade de diferenciação real, resulta que: 
𝑎𝑛 𝑠
𝑛𝑌 𝑠 − 𝑠𝑛−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑛
𝑖=1
 + 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1𝑌 𝑠 − 𝑠𝑛−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑛−1
𝑖=1
 + ⋯
+ 𝑎1 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0
− + 𝑎0𝑌 𝑠 
= 𝑏𝑚 𝑠
𝑚𝑋 𝑠 − 𝑠𝑚−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑚
𝑖=1
 
+ 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1𝑋 𝑠 − 𝑠𝑚−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑚−1
𝑖=1
 + ⋯ + 𝑏1 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0
− + 𝑏0𝑋 𝑠 
Agrupando os termos em Y(s) e X(s), a equação fica 
 𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 𝑌 𝑠 − 𝑎𝑛 𝑠
𝑛−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)
𝑛
𝑖=1
− 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− − ⋯ − 𝑎1𝑦 0
− 
𝑛−1
𝑖=1
= 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 𝑋 𝑠 − 𝑏𝑚 𝑠
𝑚−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)
𝑚
𝑖=1
− 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− − ⋯− 𝑏1𝑥 0
− 
𝑚−1
𝑖=1
 
Isolando agora o termo Y(s), tem-se que: 
Apostila de Controle 23 
𝑌 𝑠 =
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
𝑋 𝑠 
+
𝑎𝑛 𝑠
𝑛−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)𝑛𝑖=1 + 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− + ⋯ + 𝑎1𝑦 0
− 𝑛−1𝑖=1
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
−
𝑏𝑚 𝑠
𝑚−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)𝑚𝑖=1 + 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− + ⋯ + 𝑏1𝑥 0
− 𝑚−1𝑖=1
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
 
Considerando-se condições iniciais todas nulas, ou seja, que y(t) e todas as suas derivadas 
temporais até a ordem n são nulos, então se pode obter a resposta do sistema às condições iniciais 
nulas: 
𝑌𝑦 0 =0 𝑠 =
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
𝑋 𝑠 
Condições iniciais nulas significam que no início da contagem do tempo (t = 0), o sistema 
encontra-se em equilíbrio e em repouso. 
Num sistema mecânico isto corresponde a posição e velocidades iniciais nulas. Num sistema 
elétrico, estas condições significam que os capacitores e indutores estão descarregados e a corrente 
inicial é nula. 
Com base na resposta do sistema às condições iniciais nulas define-se a função de 
transferência G(s) do sistema, dada por: 
𝐺 𝑠 =
𝑌𝑦 0 =0 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
=
𝑁𝑈𝑀 𝑠 
𝐷𝐸𝑁 𝑠 
 
A função de transferência traduz o comportamento do sistema com relação a uma dada 
excitação aplicada pelo termo forçante. Em outras palavras, a função de transferência corresponde à 
transformada de Laplace da saída apresentada pelo sistema, Y(s), com relação à transformada da 
entrada, X(s), sob condições iniciais nulas. 
Exemplo 3.3 - Obter a função de transferência do circuito RC da Figura 2-1 
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣𝑖 𝑡 
Solução: A transformada de Laplace da tensão 𝑣𝑖 𝑡 é 𝑉𝑖 𝑠 , enquanto que a transformada 
da tensão 𝑣𝑐 𝑡 é 𝑉𝑐 𝑠 . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se com 
L 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = L 𝑣𝑖 𝑡 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
𝑅𝐶L 
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
 + L 𝑣𝑐 𝑡 = L 𝑣𝑖 𝑡 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
𝑅𝐶 𝑠𝑉𝑐 𝑠 − 𝑣𝑐 0
− + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
Apostila de Controle 24 
𝑅𝐶𝑠𝑉𝑐 𝑠 + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 ⟹ 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 
e a função de transferência fica 
𝐺 𝑠 =
𝑉𝑐 𝑠 
𝑉𝑖 𝑠 
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
 
Exemplo 3.4 - Obter a função de transferência do sistema da Figura 2-5 
𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = 𝑓 𝑡 
Solução: A transformada de Laplace da força 𝑓 𝑡 é 𝐹 𝑠 , enquanto que a transformada do 
deslocamento 𝑥 𝑡 é 𝑋 𝑠 . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se 
com 
L 𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = L 𝑓 𝑡 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
𝑀L 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 + 𝐵L 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + 𝐾𝑚L 𝑥 = L 𝑓 𝑡 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
𝑀 𝑠2𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0− −
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0−) + 𝐵 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0− + 𝐾𝑚𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
𝑀𝑠2𝑋 𝑠 + 𝐵𝑠𝑋 𝑠 + 𝐾𝑚𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⟹ 𝑀𝑠
2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 
e a função de transferência fica 
𝐺 𝑠 =
𝑋 𝑠 
𝐹 𝑠 
=
1
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚
=
1
𝐾𝑚
𝐾𝑚
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚
 
Exemplo 3.5 - Obter a função de transferência do sistema elétrico da Figura 2-6: 
Aplicando-se a Transformada de Laplace, tem-se: 
𝐶𝑠𝑉 𝑠 +
1
𝑅
𝑉 𝑠 +
1
𝐿
𝑉(𝑠)
𝑠
= 𝐼(𝑠) 
Logo: 
𝐺 𝑠 =
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)
=
𝑅𝐿𝑠
𝑅𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
 
3.5 - PÓLOS E ZEROS 
Os zeros do sistema são valores de s que anulam a sua função de transferência, ou seja, são 
as raízes do numerador da função de transferência. 
Os pólos do sistema são os valores de s que tornam a sua função de transferência infinita, ou 
seja, são as raízes do denominador da função de transferência. 
Um sistema com: 
 com n pólos é designado por sistema de ordem n; e 
Apostila de Controle 25 
 com l pólos na origem (ou seja, em s=0) é denominado por sistema do tipo l. 
Uma função de transferência que possui: 
 mais pólos que zeros finitos, i.e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) =0 é denominada estritamente própria; 
 tantos pólos quanto zeros finitos, i,e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) = 𝐶 < ∞, é denominada própria; e 
 mais zeros finitos que pólos, i.e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) = ∞ é denominada imprópria.. 
Por fim, um sistema é dito causal se a sua resposta não depende de valores futuros dos 
sinais de entrada. De modo a garantir a causalidade do sistema, o grau do polinômio do 
denominador deverá ser maior ou igual ao grau do polinômio do numerador, i.e., 𝒏 ≥ 𝒎. 
A causalidade está intimamente ligada à existência física do sistema. Desta forma, a maior 
parte dos sistemas físicos é modelável por funções estritamente próprias. 
Para exemplificar estes conceitos, considere a seguinte função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 2 (𝑠 + 10)
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 5 (𝑠 + 15)2
 
Esta função possui 2 zeros finitos e 5 pólos, portanto é de 5ª ordem, estritamente própria. 
Os dois zeros finitos são simples e encontram-se em 𝑠 = −2 e 𝑠 = −10. 
Possui três pólos simples que se encontram em 𝑠 = 0 (portanto é do tipo 1), 𝑠 = −1 e 
𝑠 = −5 e um pólo duplo em 𝑠 = −15. 
Caso 𝑠 ⟶ ∞, então tem-se: 
lim
𝑠⟶∞
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠3
= 0 
Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a função passa a ter 5 zeros (o mesmo 
número de pólos), tendo um zero de 3ª ordem em 𝑠 = ∞. 
Apostila de Controle 26 
Exemplo 3.6 - Questões de concursos públicos 
Petrobrás/2008 – Engenheiro Júnior: Automação 
 
 
Resposta: A equação diferencial é: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝑦 𝑡 = 2
𝑑2𝑢(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 14
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
+ 20𝑢 𝑡 
Aplicando-se a Transformada de Laplace, tem-se: 
 𝑠2 + 4𝑠 + 3 ∙ 𝑌(𝑠) = 2𝑠2 + 14𝑠 + 20 ∙ 𝑅(𝑠) 
Logo: 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
2𝑠2 + 14𝑠 + 20
𝑠2 + 4𝑠 + 3
 
Letra C. 
Apostila de Controle 27 
Transpetro/2006 – Automação 
 
Resposta: Fazendo-se as devidas substituições: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 10 −𝐾𝑦 𝑡 + 𝑟(𝑡) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 10𝐾𝑦 𝑡 = 10𝑟(𝑡) 
Logo: 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10
𝑠2 + 5𝑠 + 10𝐾
 
Letra C. 
 
Apostila de Controle 28 
CAPÍTULO 4 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
4.1 - CONCEITO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Funções de transferência de sistemas dinâmicos podem ser representadas graficamente por 
meio de diagrama de blocos. 
Estes diagramas permitem compor funções de transferência complexas a partir do 
agrupamento de outros diagramas mais simples, ou mesmo de blocos contendo as equações 
elementares. 
A representação gráfica de um bloco é mostrada na Figura 4-1, e a relação que ele 
representa, no domínio da transformada de Laplace (variável complexa) é: 
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠) 
Ou seja, a função de transferência de um bloco, G(s), traduz a relação entre a transformada 
de Laplace da sua saída, Y(s), e a transformada de Laplace da entrada, X(s). 
De outra forma, a saída de um bloco é igual ao produto da entrada pela função de 
transferência que o bloco abriga. Quando o conteúdo de um bloco (ou seja, sua função de 
transferência) for uma constante, denomina-se então esta constante de ganho do bloco. 
 
Figura 4-1: Representação de uma função de transferência G(s) por meio de diagrama de blocos 
As ligações entre os blocos são necessariamente orientadas, indicando qual sinal é a saída e 
qual sinal é a entrada. Logo, toda e qualquer ligação entre blocos deve ser orientada, caso contrário 
não se consegue definir qual é a entrada e qual é a saída do bloco. 
A grande vantagem dos diagramas de blocos é a composição de vários blocos e, igualmente, 
a simplificação de vários blocos em somente um, o que permite obter a função de transferência total 
do sistema. Considerando, por exemplo, a composição de dois blocos cujas funções de transferência 
são G1(s) e G2(s) em série, como mostrado na Figura 4-2, resulta: 
𝑌 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝑋 𝑠 
𝑋 𝑠 = 𝐺2 𝑠 𝑈(𝑠) 
Substituindo a segunda equação na primeira, para eliminar a variável X(s), tem-se que: 
𝑌 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝑋 𝑠 
de onde tira-se que a função de transferência de dois blocos em série é dada por: 
𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
ou seja, a função de transferência equivalente de dois blocos arranjados em série é dada pelo 
produto das funções de transferência dos blocos. 
Apostila de Controle 29 
 
Figura 4-2: Combinação de dois blocos arranjados em série 
As ligações entre blocos podem sofrer um número qualquer de derivações, isto é, o sinal 
transportado por elas pode ser inserido em um ou mais blocos, como ilustra a Figura 4-3. 
 
Figura 4-3: Derivações das ligações entre blocos 
Dois sinais que transitam por ligações distintas podem ser combinados por meio de adição 
ou subtração, indicada por um bloco com o formato de um círculo, conhecido como somador, como 
mostrado na Figura 4-4. 
Se y(t) e x(t) forem sinais combinados num somador, então a saída apresentada pelo 
somador será y(t)+x(t) ou então y(t)-x(t). A adição ou subtração é indicada ao lado do somador, 
como mostra as Figura 4-4(a) e Figura 4-4(b), ou então dentro do somador, como indica Figura 
4-4(c). 
 
Figura 4-4: Bloco somador: adição (a), subtração (b) e outra forma de representação gráfica (c). 
É bastante comum que sistemas exibam uma realimentação do sinal, formando assim uma 
malha fechada ou um loop, como mostrado na Figura 4-6 (a). 
Neste sistema define-se: 
𝐺 𝑠 ⟹ função de transferência do ramo direto (FTRD) 
𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 ⟹ função de transferência de malha aberta (FTMA) 
𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) ⟹ função de transferência de malha fechada (FTMF) 
Considerando a malha fechada mostrada na, tem-se as relações do somador e do bloco que 
integram a malha: 
 𝐸
 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)𝐻 𝑠 
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝐸(𝑠)
 ⟹ 𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 𝐶(𝑠)𝐻(𝑠) 
logo: 
Apostila de Controle 30 
𝐶 𝑠 =
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
𝑅 𝑠 
Nota-se que este resultado indica que a malha fechada pode ser substituída por um bloco 
equivalente cuja função de transferência é dada por: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
⟹ 𝐹𝑇𝑀𝐹 =
𝐹𝑇𝑅𝐷
1 + 𝐹𝑇𝑀𝐴
 
como indicado na Figura 4-5 (b). 
 
Figura 4-5: Diagrama com uma função de transferência com uma malha de realimentação negativa 
(a), e seu bloco equivalente (b). 
No caso de a realimentação ter 𝐻 𝑠 = 1, ela é chamada de realimentação unitária 
negativa e é representada como na Figura 4-6: 
 
Figura 4-6: Representação em diagrama de blocos de uma realimentação unitária negativa (a), e 
seu bloco equivalente (b). 
Tendo por função de transferência equivalente: 
𝐶 𝑠 
𝑅(𝑠)
=
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺(𝑠)
 
4.2 - MANIPULAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Diagramas de blocos podem ser sempre simplificados e reduzidos a um único bloco, desde 
que se conheça qual é a entrada e qual é a saída do diagrama. O processo de redução é realizado 
aplicando-se as definições das operações realizadas pelos blocos, de maneira semelhante àquela 
realizada na Seção 4.1 -. 
Algumas configurações são, contudo bastante típicas (ocorrem com freqüência num grande 
número de diagramas), e isto torna mais eficiente manter uma tabela das simplificações e 
equivalências do que obter esta equivalência a cada novo problema. Relacionam-se na Tabela 4-1, 
portanto, as situações mais comuns e suas respectivas equivalências. 
Apostila de Controle 31 
Tabela 4-1: Equivalências entre diagramas de blocos 
Transformação Diagrama original Diagrama equivalente 
Combinar blocos em série 
(cascata) 
 
Combinar blocos em paralelo 
 
 
Mover um somador para 
antes do bloco 
 
Mover um somador para 
depois do bloco 
 
Mover uma derivação para 
antes do bloco 
 
Mover uma derivação para 
depois do bloco 
 
Eliminar um laço 
realimentado 
 
 
Além de sintetizar a dinâmica e facilitar o projeto de sistemas de controle, os diagramas de 
blocos podem também ser utilizados na obtenção da função de transferência de plantas 
razoavelmente complexas. 
Para obter a função de transferência de um sistema por meio de diagramas de blocos, basta 
seguir algumas regras simples: 
 definir as variáveis necessárias para escrever as equações decada elemento da planta, 
com base em regras de continuidade e equilíbrio de forças; 
 construir blocos com as equações funcionais de cada elemento; 
 construir blocos adicionais para cada condição de continuidade e equilíbrio; 
 garantir que a entrada de pelo menos um bloco seja a própria entrada do sistema; 
 garantir que um bloco apresente como saída a própria saída da planta; 
 construir o diagrama de blocos fazendo ligações entre eles; e 
 simplificar o diagrama para obter a função de transferência. 
Apostila de Controle 32 
Exemplo 4.1 - Simplificação de diagramas de blocos 
O diagrama de blocos de um sistema de controle com múltiplos laços de realimentação é 
mostrado na Figura 4-7. 
É interessante notar que o sinal de realimentação H1C é positivo; por isso, o laço 
G3(s)G4(s)H1(s) é chamado de laço de realimentação positiva. 
 
Figura 4-7: Diagrama de blocos do Exemplo 4.1 - . 
O procedimento de redução do diagrama de blocos é baseado nas transformações da Tabela 
4-1, principalmente a que permite eliminar laços realimentados. As outras transformações são 
utilizadas para modificar o diagrama, de forma a deixá-lo em um formato adequado à eliminação de 
laços realimentados. 
 
Figura 4-8: Redução do diagrama de blocos da Figura 4-7. 
A seqüência de transformações aplicada ao diagrama está indicada na Figura 4-8. Foram 
feitas as seguintes operações: 
 Mover H2 para depois do bloco G4. 
 Eliminar o laço com realimentação H1. 
 Eliminar o laço com realimentação H2/G4. 
 Eliminar o laço com realimentação H3. 
Apostila de Controle 33 
É interessante notar a forma do numerador e do denominador da função de transferência em 
malha fechada final: 
 o numerador é composto pelo cascateamento da função de transferência dos elementos 
que conectam em sentido direto a entrada R(s) com a saída C(s); 
 o denominador é composto de 1 menos a soma das funções de transferência de cada um 
dos laços. O sinal G3G4H1 é positivo porque se trata de um laço de realimentação 
positiva, enquanto os laços G1G2G3G4H3 e G2G3H2 são laços de realimentação negativa. 
4.3 - SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES 
No sistema representado na Figura 4-9, temos dois sinais de entrada: a própria entrada do 
sistema X(s) e uma perturbação N(s). 
 
Figura 4-9: Representação de um sistema em malha fechada sujeito a perturbações. 
Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente 
as respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-
las resultando na resposta completa. 
Para o sistema mostrado, considere que: 
𝐶 𝑠 = 𝐶𝐷 𝑠 + 𝐶𝑅(𝑠) 
Onde: 
 C(s) é a resposta completa do sistema; 
 CD(s) é a resposta do sistema devido à entrada D(s) (distúrbio); e 
 CR(s) é a resposta do sistema devido à entrada R(s) (referência, set-point ou entrada 
principal). 
Manipulando este diagrama de blocos, tem-se: 
𝐶𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
 
𝐶𝑅(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
 
Ou seja: 
𝑅(𝑠) =
𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 
𝐷(𝑠) +
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 
𝑅(𝑠) 
Se 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1, então: 
 
𝐶𝐷 𝑠 ≈ 0
𝐶𝑅 𝑠 ≈
1
𝐻 𝑠 
𝑅(𝑠)
 ⟹ 𝐶 𝑠 ≈
𝑅(𝑠)
𝐻(𝑠)
 
Apostila de Controle 34 
Com isto, concluí-se que: 
 Se o ganho G1(s)H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na 
resposta do sistema, são desprezados. 
 Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das 
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). 
 Se o ganho da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a 
igualar a saída com a entrada. 
Exemplo 4.2 - Questões de concursos públicos 
 
Resposta: 
Manipulando o diagrama, temos: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
1 +
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
× 10
=
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
1 +
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
× 10
∙
𝑠 𝑠 + 3 
𝑠 𝑠 + 3 
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
𝑠 𝑠 + 3 + 50
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
𝑠2 + 3𝑠 + 50
 
Letra A. 
xxxxxxxxxx 
 
Resposta: 
A equação característica deste sistema é: 
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3 + 𝐾 𝑠 + 10 = 0 
Se 𝑠 = −6 é um pólo, então, tem-se que, 
(−6) −6 + 2 −6 + 3 + 𝐾 −6 + 10 = 0 
 −6 −4 −3 + 4𝐾 = 0 
Ou seja, 𝐾 = 18. 
Letra D. 
Apostila de Controle 35 
Prominp - Área: Elétrica – 2006 Petrobras 2006 – Eng. de Proc. Júnior 
 
Resposta: 
A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
10
𝑠(𝑠 + 2)
×
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠 + 𝑝
1 +
10
𝑠(𝑠 + 2)
×
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠 + 𝑝
 
=
10𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑝)
1 +
10𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑝)
=
10𝐾
𝑠2 + 𝑠𝑝 + 10𝐾
 
Logo os pólos são: 
𝑠1,2 =
−𝑝 ± 𝑝2 − 4 × 1 × 10𝐾
2
= −4 ± 𝒋5 
Da equação acima, conclui-se que p=8. 
Dessa forma: 
 82 − 4 × 1 × 10𝐾
2
= 5𝒋 
Elevando ao quadrado: 
82 − 4 × 1 × 10𝐾
4
= −25 
64 − 40𝐾 = −100 
−40𝐾 = −100 − 64 
Logo K=4,1. 
Letra A. 
 
Resposta: Se 
𝐺𝐴 =
𝐺1𝐺𝑐2
1 + 𝐺1𝐺𝑐2𝐻2
 
e 
𝐺𝐵 = 𝐺2𝐺3 
então, tem-se que: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐺𝑐1𝐺𝐴𝐺𝐵
1 + 𝐺𝑐1𝐺𝐴𝐺𝐵𝐻1
 
Letra E. 
Apostila de Controle 36 
Petrobrás 2008 – Engenharia Química 
 
Resposta: 
Manipulando, tem-se: 
𝜀 = 𝑆𝑝 − 𝑉𝑐 
𝑉𝑐 =
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
𝑆𝑝 
𝜀 = 𝑆𝑝 −
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
𝑆𝑝 = 𝑆𝑝 1 −
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
 
Se fizermos em função de Vc: 
𝐾1𝐾2𝜀 = 𝑉𝑐 
𝜀 =
𝑉𝑐
𝐾1𝐾2
 
Letra C, mas o gabarito diz que é a letra D. 
xxxxxxxxxx 
 
Resposta 
Considerando dois tanques de primeira ordem com a 
mesma constante de tempo, tem-se que a funções de 
transferência são: 
𝑄1 𝑠 
𝑄 𝑠 
=
𝑄2 𝑠 
𝑄1 𝑠 
=
1
𝜏𝑠 + 1
 
Logo: 
𝑄2 𝑠 
𝑄 𝑠 
= 
1
𝜏𝑠 + 1
 
2
 
Letra B. 
 
Apostila de Controle 37 
Prominp 2007 – Área: Químicap REFAP 2007 - Engenheiro de Proc. Júnior 
 
 Resposta: Neste exercício, podemos considerar que a malha direta fica 
sendo G3, H1 e H2, e a realimentação fica sendo Gc, G1 e G2. Logo: 
𝐵
𝑈2
=
𝐺3𝐻1𝐻2
1 + 𝐺
 
Onde: 
𝐺 = 𝐺𝑐𝐺1𝐺2𝐺3𝐻1𝐻2 
Letra B 
 
Resposta: Da simplificação de diagrama de blocos, tem-se que: 
𝐺𝐴 =
𝐺1𝐺𝑐2
1 + 𝐺1𝐺𝑐2𝐻2
 
Letra E. 
Apostila de Controle 38 
Eletronorte – Engenharia Eletrônica ou Eletro-Eletrônica – 2006 
 
Resposta: Da fórmula de Função de Transferência em 
Malha Fechada, tem-se: 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙ 𝑅(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙
𝑠(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 3)
∙ 𝑅(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
2
𝑠2 + 3𝑠 + 2
∙ 𝑅(𝑠) 
e 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙ 𝑊(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙
𝑠(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 3)
∙ 𝑊(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
𝑠
𝑠2 + 3𝑠 + 2
∙ 𝑊(𝑠) 
logo, a resposta é: 
Letra E. 
Termoaçu - Engenheiro de Processamento Júnior – Janeiro/2008 
 
Resposta: Da fórmula de Função de Transferência em 
Malha Fechada, tem-se: 
𝐹(𝑠) =
𝐺2 ∙ 𝐺3
1 + 𝐺𝑐 ∙ 𝐺1 ∙ 𝐺2 ∙ 𝐺3 ∙ 𝐻1 ∙ 𝐻2
∙ 𝑉1(𝑠) 
Letra B. 
Apostila de Controle 39 
CAPÍTULO 5 
ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO 
5.1 - INTRODUÇÃO 
O comportamento dinâmico de sistemas dinâmicos quando sujeito a tais ações pode ser visto 
sob duas perspectivas diferentes e complementares: o comportamento num curto período, logo após 
a aplicação da ação, e o comportamento no longo período, quando sua dinâmica torna-se estável (ou 
não, dependendo do sistema) ou repetitiva. 
O comportamento de curto período é conhecido como resposta transitória, transiente de 
resposta ou simplesmente transiente. 
O comportamento após o estabelecimento de condições perenes é conhecido resposta em 
regime permanente. 
Considerando a analogia que existe entre os sistemas mecânicos, elétricos e hidráulicos (e 
também térmicos), pode-se restringir a análise realizada apenas a um deles, uma vez que nos 
sistemas análogos o comportamento dinâmico é idêntico. 
Melhor ainda, a análise da resposta pode ser feita tendo como base a função de transferência 
dos sistemas maiscomuns, de 1ª e 2ª ordem, ou seja, nos quais o polinômio do denominador é de 1ª 
ordem ou 2ª ordem, sem se preocupar se o sistema é mecânico ou elétrico. 
Sistemas de 3ª ordem ou maior possuem um comportamento dinâmico que pode ser 
analisado com base nas respostas de sistema de ordem menor. 
Neste capítulo será analisada a resposta transitória de sistemas dinâmicos quando 
submetidos a alguma entrada de excitação. 
5.2 - FUNÇÕES DESCONTÍNUAS NO TEMPO 
Na solução de problemas dinâmicos, é freqüente encontrar-se situações nas quais um 
sistema sofre um impacto, ou uma ação descontínua no tempo, ou um impulso. Exemplos de tais 
ações são: 
o choque entre duas bolas (impulso) no qual a força exercida no contacto é alta e a duração 
da ação é curta; e 
o brusco acionamento de um sistema elétrico ao ligar-se a chave de alimentação. 
Tais ações são consideradas descontínuas no tempo, pois assumem valores diferentes em 
instantes de tempo muito próximos entre si. 
No mundo real macroscópico, contudo, não existem descontinuidades, pois a cada instante 
pode ser determinado o valor exato da ação. Porém, é conveniente considerá-las descontínuas, uma 
vez que é muito difícil estabelecer quais os limites do impulso e da duração do evento. 
Definem-se, com isso, algumas funções típicas que caracterizam eventos descontínuos no 
tempo. Estas funções são: a função degrau, a função impulso e a função rampa. 
5.2.1 - Função degrau unitário 
A função degrau unitário corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma 
determinada condição, ou variável, de um sistema, tais como: 
 a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num capacitor; 
Apostila de Controle 40 
 a vazão em uma tubulação; 
 o início da ação de uma força por exemplo. 
A função degrau unitário é definida como: 
𝟏 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
1, para 𝑡 ≥ 0
 
 
5.2.2 - Função impulso unitário 
A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um 
intervalo infinitesimal de tempo. Esta função é representada matematicamente pela função “delta de 
Dirac”. 
Na função impulso unitário, a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém 
a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito 
pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. 
Um bom exemplo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes 
mecânicas. A função impulso unitário é definida como: 
𝛿 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
lim
∆𝑡→0
1
∆𝑡
, para 0 ≤ 𝑡 < ∆𝑡
0, para 𝑡 ≥ ∆𝑡
 
 
5.2.3 - Função rampa 
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma 
ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. 
Quando o tempo tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. 
Na prática isto não ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. 
A função rampa é definida por: 
𝜌 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
𝑡, para 𝑡 ≥ 0
 
 
5.3 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
Sistemas de primeira ordem possuem função de transferência na forma 
𝐺 𝑠 =
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
onde C(s) é a transformada de Laplace da saída e R(s) é a transformada da entrada (referência). 
Apostila de Controle 41 
5.3.1 - Resposta ao degrau 
Sua resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa s é: 
𝐶𝑑𝑢 𝑠 =
𝐾
𝑠(𝜏𝑠 + 1)

Decompondo Cdu(s) em frações parciais, tem-se: 
𝐶𝑑𝑢 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
1
𝑠 + 1 𝜏 
 
cuja transformada inversa de Laplace vale 
𝑐𝑑𝑢 𝑡 = 𝐾 1 − 𝑒
−𝑡 𝜏 
Pela equação acima, verifica-se que o sistema tende para o valor 𝐾 em regime permanente, 
razão pela qual este parâmetro do sistema é chamado de ganho DC. 
A Figura 5-1 mostra a resposta de um sistema de primeira ordem para uma entrada degrau 
unitário para o caso de 𝐾 = 1. 
A resposta parte de cdu(0) = 0 e aproxima-se do valor unitário (relativo ao degrau), 
conforme avança o tempo, atingido 63,2% de seu valor de regime permanente quando 𝑡 = 𝜏, pois: 
𝑐𝑑𝑢 𝜏 = 1 − 𝑒
−1 ≅ 0,632 
Ou seja, o sistema responde mais rapidamente quanto menor for o valor de 𝜏, razão pela qual 
este parâmetro do sistema é chamado de constante de tempo. 
 
Figura 5-1: Resposta de um sistema de primeira ordem ao degrau unitário. 
Quando t=4, o erro de resposta (isto é, a diferença entre o valor de referência e a resposta 
do sistema) é menor que 2%. 
Admite-se, para fins práticos, que se a resposta ficar confinada dentro de um erro de 2% o 
sistema atingiu o regime permanente. 
Ao contrário, se o sistema ainda não estabilizou o suficiente, então ele encontra-se no 
regime transitório ou transiente. Não faz sentido definir o regime permanente com base em um 
erro nulo, uma vez que teoricamente o sistema leva um tempo infinito para atingir o valor unitário. 
Como o pólo dos sistemas de primeira ordem se localiza em 𝑠 = − 1 𝜏 , quanto mais 
afastado do eixo imaginário estiver o pólo, mais rapidamente o sistema estabilizará, conforme pode 
ser verificado na Figura 5-2. 
Apostila de Controle 42 
 
Figura 5-2: Influência da constante de tempo no tempo de estabilização 
5.3.2 - Resposta ao impulso unitário 
Sua resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa s é: 
𝐶𝑖𝑢 𝑠 =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
=
𝐾
τ
∙
1
𝑠 + 1 𝜏 

cuja transformada inversa de Laplace vale 
𝑐𝑖𝑢 𝑡 =
𝐾
τ
𝑒−𝑡 𝜏 
 
Figura 5-3: Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso unitário. 
5.3.3 - Resposta à rampa unitária 
A resposta à rampa unitária de um sistema de primeira ordem no domínio do tempo pode ser 
calculada a partir da solução da seguinte E.D.O: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑡 
considerando condições iniciais nulas. 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução é: 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑕 𝑡 + 𝑦𝑝(𝑡) 
em que: 
 𝑦𝑕 𝑡 ≜ solução da equação diferencial homogênea; 
 𝑦𝑝 𝑡 ≜ solução particular, da mesma natureza da entrada 𝑥(𝑡); 
Solução da homogênea: 
A equação diferencial homogênea é: 
Apostila de Controle 43 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 0 
que tem a equação característica: 
𝜏 ∙ 𝑟 + 1 = 0 
A raiz desta equação é: 
𝑟 = −
1
𝜏
 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕(𝑡) = 𝐶𝑒
−𝑡 𝜏 
onde 𝐶 é uma constante que depende das condições iniciais. 
Solução particular: 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução particular é um polinômio de grau 
igual a um, pois é da mesma natureza da entrada. 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐴1𝑡 + 𝐵1 
Substituindo na E.D.O. vem: 
𝜏𝐴1 + 𝐴1𝑡 + 𝐵1 = 𝐾𝑡 
Da identidade entre os coeficientes do polinômio temos: 
 
𝐴1 = 𝐾
𝐵1 = −𝐾𝜏
 
Portanto: 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾 𝑡 − 𝜏 
Agora, combinando as duas soluções temos que: 
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒−𝑡 𝜏 + 𝐾 𝑡 − 𝜏 
Considerando C.I. nulas: 
𝑦 0 = 0 = 𝐶 − 𝐾𝜏 ⟹ 𝐶 = 𝐾𝜏 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾𝜏 𝑒−𝑡 𝜏 +
𝑡
𝜏
− 1 
que é a resposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa unitária, tendo como condição 
inicial o repouso. 
Considerando que: 
lim
𝑡→∞
𝑦𝑕(𝑡) = 0 
temos que: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = 𝐾 𝑡 − 𝜏 
que é a solução particular. 
Apostila de Controle 44 
 
Figura 5-4: Resposta de um sistema de primeira ordem à rampa unitária. 
5.4 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Sistemas de segunda ordem possuem no denominador um polinômio do segundo grau na 
variável complexa s, na forma 
𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
𝑏0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2
𝑠2 +
𝑎1
𝑎2
𝑠 +
𝑎0
𝑎2
 
possuindo, então, dois pólos localizados em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1 𝑎2 
2
±
 𝑎1 𝑎2 
2 − 4 𝑎0 𝑎2 
2
= −
𝑎1
2𝑎2
± 
𝑎1
2𝑎2
 
2
−
𝑎0
𝑎2
= −
𝑎1
2𝑎2
± 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2
4 𝑎2 2
 
5.4.1 - Resposta ao degrau 
Sua resposta ao degrau unitário é: 
𝑌 𝑠 =
1
𝑠
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
 
O valor em regime permanente da resposta ao degrau deste sistema poder ser obtido através 
do Teorema do Valor Final. 
𝑦∞ = lim
𝑡⟶∞
𝑦(𝑡) = lim
𝑠⟶0
𝑠𝑌 𝑠 = lim𝑠⟶0
𝑠
1
𝑠
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=
𝑏0
𝑎0
 
Ou seja, pode-se definir o ganho DC do sistema como sendo: 
𝐾 =
𝑏0
𝑎0
 
Desta forma, podem-se verificar três situações diferentes: 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 < 0 – dois pólos complexos conjugados; 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 = 0 – um pólo real duplo; e 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 > 0 – dois pólos reais e distintos. 
Apostila de Controle 45 
a) Sistema sub-amortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 < 0: 
Neste caso, têm-se dois pólos complexos conjugados localizados em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1
2𝑎2
± 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑗 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝑎0
𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝑎0
𝑎2
𝑠 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
Que pode ser reescrito na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
−
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
𝑌 𝑠 = 𝐾
 
 
 
 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
−
𝑎1
2𝑎2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
 
 
 
 
Da Tabela 3-1, sabe-se que: 
L
−1 
𝑠 + 𝑎
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 = 𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 
L
−1 
𝜔
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 = 𝑒−𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾
 
 
 
1 − 𝑒
−
𝑎1
2𝑎2
𝑡
 
 
 
 
cos 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑡 +
𝑎1
2𝑎2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
sin 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 𝑎1 = 0, tem-se um sistema cuja resposta ao degrau unitário é: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 − cos 𝑎0 𝑎2 𝑡 
Apostila de Controle 46 
Ou seja, caso o sistema tenha 𝑎1 = 0, sua saída para uma entrada degrau unitário é um 
movimento oscilatório de freqüência 𝑎0 𝑎2 , podendo-se então definir este parâmetro do sistema 
como sua freqüência natural não-amortecida 𝝎𝒏, ou seja: 
𝜔𝑛 = 𝑎0 𝑎2 
Se 𝑎1 ≠ 1, a freqüência de oscilação do sistema é chamada de freqüência natural 
amortecida 𝝎𝒅, que é dada por: 
𝜔𝑑 = 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
= 
𝑎0
𝑎2
 1 −
 𝑎1 2
4𝑎0𝑎2
 = 𝜔𝑛 1 −
 𝑎1 2
4𝑎0𝑎2
 
Verifica-se que 𝜔𝑑 < 𝜔𝑛 , ficando cada vez menor quanto maior for 𝑎1, que está associado 
ao amortecimento do sistema. 
Se ocorrer que 𝑎1 
2 = 4𝑎0𝑎2, verifica-se que não haverá mais oscilação. Este valor é 
chamado de amortecimento crítico, ou seja: 
 𝑎1 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2 𝑎0𝑎2 
Define-se então o coeficiente de amortecimento 𝝃 como: 
𝜉 =
𝑎1
 𝑎1 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
=
𝑎1
2 𝑎0𝑎2
 
Usando-se as definições acima, a resposta fica: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 − 𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 +
𝜉
 1 − 𝜉2
∙ sin 𝜔𝑑𝑡 
onde: 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜉2 
Verifica-se uma resposta oscilatória devida a um baixo valor do amortecimento, razão pela 
qual é chamado de sistema sub-amortecido. 
b) Sistema criticamente amortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 = 𝟎: 
Neste caso, têm-se um pólo real duplo e negativo localizado em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1
2𝑎2
= − 
𝑎0
𝑎2
= −𝜔𝑛 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
1
𝑠 + 𝜔𝑛
−
𝜔𝑛
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Apostila de Controle 47 
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace: 
L
−1 𝑌(𝑠) = 𝐾 1 − 𝑒−𝜔𝑛 𝑡 − 𝜔𝑛𝑡𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 
Logo: 
𝑦(𝑡) = 𝐾 1 − 𝑒−𝜔𝑛 𝑡 1 + 𝜔𝑛𝑡 
c) Sistema superamortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 > 0: 
Neste caso, têm-se dois pólos reais e negativos localizados em: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
= 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 𝑠1 + 𝑠2 𝑠 + 𝑠1𝑠2
 
onde: 
𝑠1,2 = −𝑝1,2 = 𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾𝜔𝑛
2 
1
𝑠1𝑠2
∙
1
𝑠
+
1
𝑠2 − 𝑠1
 
1
𝑠1
∙
1
𝑠 + 𝑠1
−
1
𝑠2
∙
1
𝑠 + 𝑠2
 
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace: 
L
−1 𝑌(𝑠) = 𝐾 
𝜔𝑛
2
𝑠1𝑠2
+
𝜔𝑛
2
𝑠2 − 𝑠1
 
𝑒−𝑠1𝑡
𝑠1
−
𝑒−𝑠2𝑡
𝑠2
 
e considerando que: 
𝑠1𝑠2 = 𝜔𝑛
2 e 𝑠2 − 𝑠1 = 2𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
conclui-se que: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 +
𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 
𝑒−𝑠1𝑡
𝑠1
−
𝑒−𝑠2𝑡
𝑠2
 
que pode ser escrita na forma mais completa como: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 +
1
2 𝜉2 − 1
 
𝑒−𝜔𝑛 𝜉+
 𝜉2−1 𝑡
𝜉 + 𝜉2 − 1
−
𝑒−𝜔𝑛 𝜉−
 𝜉2−1 𝑡
𝜉 − 𝜉2 − 1
 
Verifica-se uma resposta não oscilatória devido a um grande amortecimento. Por isso este 
sistema é chamado de sobre-amortecido ou superamortecido. 
Podem-se resumir as três possíveis situações para um sistema de segunda ordem: 
Apostila de Controle 48 
Coeficiente de 
amortecimento 
Nome Pólos Resposta ao degrau 
𝜉 < 1 Sub-amortecido 
2 pólos complexos 
conjugados 
Oscilatória 
𝜉 = 1 Criticamente amortecido 1 pólo real duplo Não oscilatória 
𝜉 > 1 Superamortecido 2 pólos reais distintos Não oscilatória 
A Figura 5-5 mostra as diversas respostas de um sistema de segunda ordem a uma entrada 
degrau unitário, em função da constante de amortecimento 𝜉 e com 𝐾 = 1. 
 
 
Figura 5-5: Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unitário, para diferentes valores 
da constante de amortecimento 𝜉. 
5.4.2 - Resposta ao impulso unitário 
A partir de agora, tendo demonstrado o significado de 𝐾 (ganho DC), 𝜔𝑛 (freqüência 
natural não amortecida) e 𝜉 (coeficiente de amortecimento), podemos escrever a função de 
transferência de um sistema de segunda ordem sempre na sua forma canônica. 
𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
= 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
 
que possui seus pólos localizados em: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Sua resposta ao impulso unitário é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
∙ 1 
a) Sistema sub-amortecido 
Neste caso, o sistema possui dois pólos complexos conjugados: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 1 − 𝜉2𝑗 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑑𝑗 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
Apostila de Controle 49 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝜔𝑑
𝜔𝑑
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 = 𝐾
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝜔𝑑
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 sin 𝜔𝑑𝑡 
b) Sistema criticamente amortecido 
Neste caso, o sistema possui um pólo real duplo: 
𝑝1,2 = −𝜔𝑛 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾𝜔𝑛
2𝑡𝑒−𝜔𝑛 𝑡 
c) Sistema superamortecido 
Neste caso, o sistema possui dois pólos reais distintos: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
=
𝐾𝜔𝑛
2
𝑠2 − 𝑠1
 
1
 𝑠 + 𝑠1 
−
1
 𝑠 + 𝑠2 
 
sendo: 
𝑠1,2 = −𝑝1,2 = 𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Ou seja: 
𝑌 𝑠 =
𝐾𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 
1
 𝑠 + 𝑠1 
−
1
 𝑠 + 𝑠2 
 
Logo: 
𝑦 𝑡 =
𝐾𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 𝑒−𝜔𝑛 𝜉−
 𝜉2−1 𝑡 − 𝑒−𝜔𝑛 𝜉+
 𝜉2−1 𝑡 
Apostila de Controle 50 
 
Figura 5-6: Resposta de um sistema de segunda ordem ao impulso unitário. 
5.4.3 - Resposta à rampa 
A resposta à rampa de um sistema de segunda ordem no domínio do tempo pode ser 
calculada a partir da solução da seguinte E.D.O: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾𝐴𝑡 
considerando condições iniciais nulas. 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução é: 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑕 𝑡 + 𝑦𝑝(𝑡)em que: 
 𝑦𝑕 𝑡 ≜ solução da equação diferencial homogênea; 
 𝑦𝑝 𝑡 ≜ solução particular, da mesma natureza da entrada 𝑥(𝑡); 
a) Solução da homogênea: 
A equação diferencial homogênea é: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 0 
que tem a equação característica: 
1
𝜔𝑛2
𝑟2 +
2𝜉
𝜔𝑛
𝑟 + 1 = 0 ⟹ 𝑟2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑟 + 𝜔𝑛
2 = 0 
As raízes desta equação são: 
𝑟 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Logo, a solução da homogênea tem três formas diferentes, dependendo do valor de 𝜉: 
Sistema sub-amortecido 
Neste caso, a equação característica possui duas raízes complexas conjugadas: 
Apostila de Controle 51 
𝑟1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 1 − 𝜉2𝑗 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑑𝑗 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝑒
−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝐶1sen 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2cos 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema criticamente amortecido 
Neste caso, a equação característica possui uma raiz real dupla: 
𝑟1,2 = −𝜔𝑛 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2𝑡 𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema superamortecido 
Neste caso, a equação característica possui duas raízes reais distintas: 
𝑟1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜔𝑛 𝜉− 𝜉2−1 𝑡 − 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛 𝜉+ 𝜉2−1 𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
b) Solução particular: 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução particular é um polinômio de grau 
igual a um, pois é da mesma natureza da entrada. 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐴1𝑡 + 𝐵1 
Substituindo na E.D.O. vem: 
2𝜉
𝜔𝑛
𝐴1 + 𝐴1𝑡 + 𝐵1 = 𝐾𝐴𝑡 
Da identidade entre os coeficientes do polinômio temos: 
 
𝐴1 = 𝐾𝐴
𝐵1 = −𝐾
2𝜉
𝜔𝑛
𝐴
 
Portanto: 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
Agora, combinando as duas soluções temos que: 
Sistema sub-amortecido 
𝑦 𝑡 = 𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝐶1sen 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2cos 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema criticamente amortecido 
Apostila de Controle 52 
𝑦 𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2𝑡 𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema superamortecido 
𝑦 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜔𝑛 𝜉− 𝜉2−1 𝑡 − 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛 𝜉+ 𝜉2−1 𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Considerando que: 
lim
𝑡→∞
𝑦𝑕(𝑡) = 0 
temos que: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
que é a solução particular. 
 
Figura 5-7: Resposta de um sistema de segunda ordem à rampa unitária. 
5.5 - ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE 
Em geral a análise do desempenho ou das características de um sistema é realizada com base 
na resposta deste sistema a uma excitação qualquer. 
Como o degrau unitário permite diferenciar bem o comportamento dinâmico dos diversos 
sistemas, ele é normalmente escolhido como a excitação de referência, embora o impulso unitário 
possa igualmente desempenhar este papel. 
Como visto, a resposta de um sistema de 2ª ordem maior não atinge a referência 
imediatamente, mas apresenta um transiente amortecido até atingir o regime estacionário (ou 
permanente). 
Uma resposta típica destes sistemas ao degrau unitário é a mostrado na Figura 5-8, com 
uma ou outra alteração. Com base neste comportamento, podem-se definir alguns parâmetros 
Apostila de Controle 53 
importantes para caracterizar o desempenho de um sistema dinâmico. Os parâmetros mais 
importantes são: 
Tempo de atraso de resposta td – é o intervalo no qual o sistema atinge pela primeira vez 
50% do seu valor final (estacionário). 
Tempo de subida tr – é o tempo que o sistema leva para passar de 0 a 100% do seu valor 
final, ou então de 5% a 95%, ou ainda de 10% a 90%. 
Tempo de pico ou instante de pico ou instante de máxima resposta tp – é o intervalo de 
tempo necessário até que o sistema atinja seu primeiro sobre-sinal. 
Sobre-sinal máximo (ou overshoot) Mp – é a diferença entre a resposta no instante de pico e 
o valor da resposta em regime permanente. Pode ser mostrado que o sobre-sinal máximo relaciona-
se com a estabilidade do sistema. 
Tempo de assentamento ts – é o intervalo que o sistema leva até que a resposta caia dentro 
de uma faixa de valores centrada no valor final do regime permanente. Esta faixa é geralmente 
escolhida entre 2% a 5%, dependendo dos objetivos do projeto. 
O tempo de assentamento é maior do que todos os outros intervalos definidos aqui. Admite-
se, para fins práticos, que após o tempo de assentamento o sistema tenha atingido o regime 
permanente. 
Em sistemas sobre-amortecidos o instante de pico e o sobre-sinal máximo não são definidos. 
A Figura 5-8 representa estes parâmetros, sendo que o tempo de subida está representado 
considerando-se o intervalo de 0 a 100%. 
 
Figura 5-8: Caracterização da resposta de um sistema dinâmico. 
Apostila de Controle 54 
Exemplo 5.1 - Questões de concursos públicos 
Petroquimica Suape Julho/2009 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior 
 
Resposta: 
Este sistema possui uma constante de tempo de 11s, logo o 
sistema alcançará 99,33% da variação total, após um 
intervalo de tempo igual a 55s, descontado o seu atraso de 
resposta que é de 7s. 
Logo o tempo total é de 62s. 
Letra D. 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
 
Resposta: Da própria solução de sistemas de primeira ordem 
ao degrau, letra D. 
Equipamentos Júnior - 2008 
 
Resposta: Da própria definição de sobre-elevação, letra B. 
Apostila de Controle 55 
Petrobras – Eng. de Proc. Júnior 2001 
 
Resposta: 
1. Errado. O comportamento da perturbação de entrada é 
modelado por uma função que o representa. É o sistema que 
é modelado por meio de uma equação diferencial de primeira 
ordem. 
2. Certo. Se reescrevermos a equação, tem-se: 
𝐴
𝑑𝑕
𝑑𝑡
+
𝑕
𝑅
= 𝐹𝑒 
que é um equação diferencial de primeira ordem, cuja entrada 
é a vazão de entrada no tanqe e a saída é a altura de 
líquido. 
3. Certo. Verifica-se pela própria definição de constante de 
tempo. 
4. Errado. Cosntituem sistemas de segunda ordem ou mais, 
dependendo do número de processos. 
5. Errado. Sistemas superamortecidos possuem resposta não 
oscilatória. 
 
Empresa de Pesquisa Energética 2006 
 
Resposta: A função de transferência deste sistema é 
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
=
10𝑠
𝑠2 + 14𝑠 + 100
 
Logo, tem-se que: 
𝜔𝑛 = 10 𝑟𝑑/𝑠 
e que: 
2𝜉𝜔𝑛 = 14 𝑟𝑑/𝑠 
Logo: 
𝜉 = 0,7 
Letra C. 
Apostila de Controle 56 
Prominp – Área Química – Processos 2008 
 
Resposta: Pode-se fazer através da comparação de 
unidades: 
 Constante de tempo é s (segundos); 
 Volume é m3; 
 Vazão volumétrica é m3/s; e 
 Concentração é kg/m3 
Desta forma: 
 a letra A dá s-1; 
 as letras B e C dão s-1.kg/m3; 
 a letra D dá s; e 
 a letra E dá kg/m3. 
Portanto, a resposta é a letra D. 
Petrobras – Processamento Júnior – 2004 
 
Resposta: 156V, 157V, 158F, 159V, 160V 
 
Apostila de Controle 57 
Petroquimica Suape Julho/2009 – Eng. de Proc. Júnior 
 
Resposta: 
São dois sistemas de primeira ordem conectados em série. 
A Função de Transferência final é da forma: 
𝐺 𝑠 =
𝐾1
𝜏1𝑠 + 1
∙
𝐾2
𝜏2𝑠 + 1
 
qué um sistema de segunda ordem, mas com dois pólos 
reais, distintos ou não. 
Portanto, a combinação de sistemas de primeira ordem resulta 
em um sistema de ordem maior, mas que possui somente 
pólos reais, ou seja, com resposta não oscilatória ao degrau. 
Portanto, 
Letra E. 
Apostila de Controle 58 
Prominp 2009 – Área Elétrica 
 
Resposta: Se o sobre-sinal é de 25%, é porque tem-se: 
𝑒
−
𝜉𝜋
 1−𝜉2 = 0,25 =
1
4
 
ln
 
𝑒
−
𝜉𝜋
 1−𝜉2 = ln
1
4
= − ln 4 
−
𝜉𝜋
 1 − 𝜉2
= − ln 4 
𝜉2𝜋2
1 − 𝜉2
= ln 4 2 
𝜉2𝜋2 = 1 − 𝜉2 ∙ ln 4 2 
𝜉2𝜋2 + 𝜉2 ln 4 2 = ln 4 2 
𝜉2 =
 ln 4 2
𝜋2 + ln 4 2
 
𝜉 =
ln 4 
 𝜋2 + ln 4 2
 
Letra C. 
Prominp - Área: