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Máquina a vapor da E strada de F erro Madeira–M amoré: calo r transform ado em ene rgia mecâni ca Casas de farinha representam sustento familiar efonte de renda para o homem do interior •• Matemática – Progressões pg. 02 •• Matemática – Trigonometria no triângulo pg. 04 •• Física – Movimentos de projéteis pg. 06 •• Física – Trabalho e Energia pg. 08 •• Literatura – Realismo e Naturalismo I pg. 10 Progressões 1. Progressão aritmética ( P.A.) Definição Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16). Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma: 4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2 Seqüências como esta são denominadas progres- sões aritméticas (PA). A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2. Podemos, então, dizer que: Progressão aritmética é a seqüência numérica onde, a partir do primeiro termo, todos são obtidos somando uma constante chamada razão. Notação Considere a P.A. ( a1, a2, a3, a4, ...., an) Onde: a1= primeiro termo an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo n = número de termos(se for uma PA finita) r = razão Classificação Quanto à razão: • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5. Toda PA de razão positiva (r > 0) é crescente. • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3. Toda PA de razão negativa (r < 0) é decrescente. • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0. Toda PA de razão nula (r = 0) é constante ou estacionária. Quanto ao número de termos: • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10. Toda PA de n.° de termos finito é limitada. • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2. Toda PA de n.° de termos infinito é ilimitada. Propriedades: • Numa PA, qualquer termo, a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor. • Numa PA qualquer de número ímpar de termos, o termo do meio (médio) é a média aritmética do primeiro termo e do último termo. Exemplo: Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12. Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último, ou seja: 3 + 21––––––– = 122 • A soma de dois termos eqüidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos. Exemplo: Consideremos a PA (3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31). Termo Geral Uma PA de razão r pode ser escrita assim: PA(a1, a2, a3, a4, ...., an–1 an) Portanto, o termo geral será: an = a1 + (n – 1)r, para n ∈∈ N* Soma dos Termos de uma PA finita Consideremos a seqüência (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20). Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18, 20). Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso, precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe: a1+a10 = 2 + 20 = 22 a2+a9 = 4 + 18 = 22 a3+a8 = 6 + 16 = 22 a4+a7 =8 + 14 = 22 a5+a6 = 10 + 12 = 22 Note que a soma dos termos eqüidistantes é constante (sempre 22) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo, devemos, em vez de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 (soma dos 10 termos). E agora, se fosse uma progressão de 100 termos, como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), como faríamos? Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai-se repetir 50 vezes (metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050. Então, para calcular a soma dos n termos de uma PA, somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim, podemos escrever: nSn = (a1 + an) ––––2 Aplicações 01. (FGV) Verifique se 31/20 é termo da sucessão. 1+3nan = ––––––2n a) décimo termo; b) quarto termo; c) sexto termo; d) oitavo termo; e) n.d.a. Solução: 1+3n 31an = –––––– e an = –––2n 20 31 1+3n––– = ––––– e ⇒ 62n = 20 + 60n20 2n 2n = 20 ⇒ n = 10 (n ∈∈ IN) 02. (MACK) Determine o valor de x para que os números log28, log2(x+9) e log2(x+7) estejam, nessa ordem, em PA a) x = 5 b) x = 3 c) x = -3 d) x = -5 e) n.d.a. Solução: (log28, log2(x+9) e log2(x+7)) PA 2log2(x+9) = log28 + log2(x+7) log2(x+9) 2=log28(x+7)⇒ x 2+18x+81= 8x+56 x2+ 10x+25 = 0 ⇒ x = –5 03. (UFAM) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por 5? a) 15 números b) 20 números c) 25 números d) 30 números e) n.d.a. Solução: (0, 5, 10,..................., 95) PA a1 = 0; an = 95; r = 5 an = a1 + (n–1).r ⇒ 95 = 0 + (n–1).5 95 = (n–1).5 ⇒ 19 = n – 1 ⇒ n = 20 Portanto a quantidade de termos é igual a 20. 04. (UNIP) Numa PA crescente de 6 termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 27, e a soma dos termos de ordem par é 36. Escreva essa PA Solução: (x–5r, x–3r, x–r, x+r, x+3r, x+5r) P.A. x–5r + x–r + x+3r=27 ⇒ 3x–3r=27 ⇒ x–r=9 x–3r + x+r + x+5r=36 ⇒ 3x+3r=36 ⇒ x+r=12 Logo a PA é dada por: (3, 6, 9, 12, 15, 18) P.A. 05. (UEA) O perímetro de um triângulo retângulo mede 24cm. Calcule as medidas dos lados, sabendo-se que elas estão em P.A. 2 Ao ingressar na Universidade do Estado do Amazonas, o aluno tem acesso a um rico acervo bibliográfico. Em cinco anos, o número de títulos disponíveis cresceu mais de 700%. Em 2001, eram 3.661 títulos e 8.235 exemplares. Em 2006, já são 29.058 títulos e 95.180 exemplares. A esse acervo, soma-se o material didático disponível em todos os 61 municípios do interior do Amazonas disponível para os alunos dos cursos ministrados pela UEA pelo Sistema Presencial Mediado (Proformar, Ciência Política e Licenciatura em Matemática). A rede de serviços é composta por uma Biblioteca Central, nove bibliotecas setoriais, nove bibliotecas de núcleos e 37 mini- bibliotecas. A Biblioteca da UEA é informatizada e utiliza o sistema Pergamun, que permite ao aluno pesquisar e fazer reservas e renovações de títulos via Internet. O Pergamun já é utilizado em cerca de 48 instituições de nível superior do País, o que possibilita aos alunos da UEA consulta ao acervo dessas instituições. Todo esse sistema de informatização utiliza 68 computadores. Além disso, professores, pesquisadores, alunos e funcionários da UEA têm acesso à produção científica mundial atualizada por meio do Portal de Periódicos da Capes. Trata-se de uma biblioteca virtual, de fácil acesso, oferecida pelo governo federal e mantida pela Capes. O acervo do Portal compreende mais de 9,5 mil periódicos completos, 507 revistas científicas e bases de dados brasileiros de acesso gratuito, 105 bases de dados referenciais e, ainda, seis bases de dados de patentes com cobertura internacional e outras fontes de informações acadêmicas. O foco da coleção do Portal são as publi- cações periódicas. Completando essa coleção, estão incluídos importantes sítios com textos completos, destacando-se: Biblioteca Nacional; Escola Paulista de Medicina; Domínio Público (Ministério da Educação), entre outros. Os usuários autorizados para o acesso às coleções são professores permanentes, temporários e visitantes, estudantes de graduação, pós-graduação e extensão, funcionários permanentes e temporários vinculados oficialmente às instituições participantes do Portal. Com o objetivo de qualificar equipes técnicas para o usos e a divulgação do Portal, são desenvolvidos treinamentos em todas as Unidades Acadêmicas da UEA, por meio de bibliotecárias capacitadas pela Capes, bem como treinamento por representantes das editoras credenciadas. Acervo de bibliotecas registra crescimentode 700% Matemática Professor CLÍCIO a) 5cm, 9cm e 10cm b) 4cm, 6cm e 10cm c) 4cm, 5cm e 15cm d) 5cm, 6cm e 13cm e) n.d.a. Solução: (x–r, x, x+r)P.A. x–r + x + x+r = 24 ⇒ 3x = 24 ⇒ x = 8 8–r, 8, 8+r representam os lados de um triângulo retângulo. (8–r)2 + 82 = (8+r)2 64 –16r + r2 + 64 = 64 + 16r + r2 32r = 64 ⇒ r = 2 Logo os lados são 6cm, 8cm e 10cm. 06. (FGV) Ache a progressão aritmética em que S10 = –65 e S20 = 170. a) (-20, -17, -14,..........) b) (-20, -15, -10,..........) c) (-10, -17, -24,..........) d) (-20, -17, -14,..........) e) n.d.a Solução: (a1 + a10).10S10=–65 ⇒ –––––––––––– = –65 ⇒ a1+a10=–132 (a1 + a20).10S20=170 ⇒ –––––––––––– = 170 ⇒ a1+a20=172 Logo a P.A. é dada por (-20, -17, -14,..........) 2. Progressão geométrica( PG) Definição Entenderemos por progressão geométrica – PG – como qualquer seqüência de números reais ou complexos, onde cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão. Exemplos: (1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) PG de razão 2 (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) PG de razão 1 (100, 50, 25, ... ) PG de razão 1/2 (2, –6, 18, –54, 162, ...) PG de razão –3 Fórmula do termo geral Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , an, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja, o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever: a2= a1 . q a3= a2 . q = (a1 . q).q = a1 . q 2 a4= a3 . q = (a1 . q 2).q = a1 . q 3 ................................................ ................................................ Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . q n-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG. Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . q j-k Exemplos: a)Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo. Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja, a10, vem pela fórmula: a10 = a1 . q 9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024 b)Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20, e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG? Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q 8–4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2. Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como: (x/q, x, xq), onde q é a razão da PG. Propriedades principais • Em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior. Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G) Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F, etc. • O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante. Exemplo: PG (A, B, C, D, E, F, G) Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2 Soma dos n primeiros termos de uma PG Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...). Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar o que segue: Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an Multiplicando ambos os membros pela razão q, vem: Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q . Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como: Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn – a1. Logo, substituindo, vem: Sn . q = Sn – a1 + an . q Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma: an . q – a1Sn = ––––––––––q – 1 Se substituirmos an = a1 . q n-1, obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja: qn – a1Sn = a1 –––––––q – 1 Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos: a1S ∞ = ––––––q – 1 Aplicações 01. (UFMG) Dados os números 1, 3 e 4, nesta ordem, determine o número que se deve somar a cada um deles para que se tenha uma progressão geométrica. a) –5 b) –6 c) –7 d) –8 e) n.d.a. Solução: (x+1, x+3, x+4) P.G. (x+3)2 = (x+1).(x+4) x2 + 6x + 9 = x2 + 5x + 4 ⇒ x = –5 02. (UEA) Numa P.G., o primeiro termo é 4 e o quarto termo é 4000. Qual é a razão dessa P.G. a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) n.d.a. Solução: a1 = 4 e a4 = 4000 a4 = a1.q 3 ⇒ 4000 = 4. q3 q3 = 1000 ⇒ q = 10 03. (UFPA) Numa progressão geométrica, a diferença entre o 2.° e o 1.° termo é 9 e a diferença entre o 5.° e o 4.° termo é 576. Calcule o primeiro termo dessa progressão. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) n.d.a. Solução: 04. (UFAM) Inserindo- se quatro meios geométricos entre a e 486, obtém-se uma P.G. de razão igual a 3. Qual o valor de a? a) a = –2 b) a = 2 c) a = –3 d) a = 3 e) n.d.a. Solução: (a,................, 486) P.G. q = 3 a6 = a1.q 5 ⇒ 486 = a. 35 ⇒ a = 2 05. (FGV) Resolva a equação: 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650, sabendo que os termos do 1.° membro estão em P.G. a) x = -3 b) x = 3 c) x = 4 d) x = -4 e) n.d.a. Solução: (10x, 20x, ................, 1280x) P.G. 1280x = 10x.2n–1 128 = 2n-1 ⇒ n = 8 10x + 20x + 40x + .............+ 1280x = 7650 10x.(28 – 1)––––––––––– = 7650 ⇒ x = 32 – 1 3 01. Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f (n + 1) = 2.f(n) + 1, então o valor de f(4) é: a) 4 b) 7 c) 15 d) 31 e) 42 02. O trigésimo primeiro termo de uma P. A. de 1.° termo igual a 2 e razão 3 é: a) 63 b) 65 c) 92 d) 95 e) 102 03. O primeiro termo de uma progressão aritmética, com a7 = 12 e razão igual a 5 é: a) –18 b) 18 c) 42 d) –42 e) 2 04. Três números positivos estão em progressão aritmética. A soma deles é 12 e o produto 18. O termo do meio é: a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3 05. A soma dos múltiplos de 3 compreendidos entre 100 e 200 é: a) 5000 b) 3950 c) 4000 d) 4950 e) 4500 06. Um cinema possui 20 poltronas na primeira fila, 24 poltronas na Segunda fila, 28 na terceira fila, 32 na quarta fila e as demais fileiras se compõem na mesma seqüência. Quantas filas são necessárias para a casa ter 800 lugares? a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 07. Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada: a) decrescente b) crescente c) constante d) alternante e) singular 08. Em uma progressão geométrica, o quinto termo é 24 e o oitavo termo é 3. A razão entre o sexto termo e o décimo é: a) 4 b) 8 c) 1/8 d) 16 e) 1/16 09. Sabendo que a sucessão (x – 2, x + 2, 3x – 2,...) é uma P.G. crescente, então o quarto termo é : a) 27 b) 64 c) 32 d) 16 e) 54 10. Dada a progressão geométrica 1, 3, 9, 27,..., se a sua soma é 3280, então ela apresenta: a) 9 termos b) 8 termos c) 7 termos d) 6 termos e) 5 termos Desafio Matemático Trigonometria no triângulo 1. Trigonometria: Trigonometria do Triângulo Retângulo A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade, já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns. Algumas aplicações da trigonometria são: Determinação da altura de um certo prédio. Os gregos determinaram a medida do raio da Terra, por um processo muito simples. Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria isso torna simples. Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos. Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio,etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa. Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo. Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°. Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares. Lados de um triângulo retângulo Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos. Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações: Nomenclatura dos catetos Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C. Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as proprieda- des geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso. Propriedades do triângulo retângulo Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complemen- tares. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base. Funções trigonométricas básicas As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x. Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo. 2. Relações Trigonométricas Relação fundamental Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação: cos²(x) + sen²(x) = 1 Fórmulas derivadas das fundamentais Já sabemos as cinco fórmulas fundamentais da Trigonometria, a saber: Dado um arco trigonométrico x, temos: Fórmula I – Relação Fundamental da Trigonometria. sen2x + cos2x = 1 [o mesmo que (senx)2 + (cosx)2 = 1] Fórmula II – Tangente. senx 1tgx = ––––– = –––––– , com cosx ≠ 0cosx cotgx Fórmula III – Co-tangente. cosx 1cotgx = ––––– = ––––, com senx ≠ 0senx tgx Fórmula IV – Secante. 1secx = ––––––, com cosx ≠ 0cosx 4 Desafio Matemático 01. Considere o triângulo retângulo representado na figura abaixo, onde AB = 3 e AC = 4. O valor de cos C^ é: a) 4/5 b) 3/5 c) 5/3 d) 5/4 e) 3/4 02. Se um cateto e a hipotenusa de um triângulo medem a e 3a, respectiva- mente, então o cosseno do ângulo oposto ao menor lado é: a) b) c) d) e) 03. Duas rodovias A e B encontram-se em O, formando um ângulo de 30°. Na rodovia A existe um posto de gasolina que dista 5km de O. O posto dista da rodovia B: a) 5Km b) 10Km c) 2,5Km d) 15Km e) 1,25Km 04. Um retângulo com lados adjacentes medindo sen α e cos α, com 0<α<π/2, tem perímetro igual a . A área desse retângulo é: a) 1/4 b) 3/5 c) 4/5 d) 5/4 e) 4 05. Sendo sen a + cos a = m, então sen a . cos a é igual a: m – 1 m2 – 1 m2+1 a) ––––– b) –––––– c) –––––– 2 2 2 m+1 m d) ––––– e) –––– 2 2 06. Sabendo-se que cos x = 1/4 e que x é um arco do 4.° quadrante, pode-se afirmar que o valor real positivo de y= [sec2x – secx . cos secx].[1 – cotgx]–1é: a) 132 b) 16 c) 49 d) 1253 e) 43 07. Se um ângulo é igual ao seu comple- mento, então o seno deste ângulo é igual a: a) b) c) d) 1 e) 08. O valor de k que verifica simultanea- mente sec x = k/2 e tgx= é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Matemática Professor CLÍCIO Fórmula V – Co-secante. 1cosecx = ––––––, com senx ≠ 0senx Nota – Considere, nas fórmulas acima, a impossibilidade absoluta da divisão por ZERO. Assim, por exemplo, se cosx = 0, não existe a secante de x; se sen x = 0, não existe a cosec x. Para deduzir duas outras fórmulas muito importantes da Trigonometria, vamos partir da fórmula I acima, inicialmente dividindo ambos os membros por cos2 x ≠ 0. Teremos: sen2 x cos2x 1––––––– + –––––– = –––––– cos2x cos2x cos2x Das fórmulas anteriores, concluiremos inevitavel- mente a seguinte fórmula que relaciona a tan- gente e a secante de um arco trigonométrico x: tg2x + 1 = sec2x Se em vez de dividirmos por cos2x, dividíssemos ambos os membros por sen2x, chegaríamos a: cotg2x + 1 = cosec2x As duas fórmulas anteriores são muito importantes para a solução de exercícios que comparecem nos vestibulares; merecem, por isto, uma memorização. Aliás, as sete fórmulas anteriores têm necessariamente de ser memorizadas, e isso é apenas o início! A Trigonometria, infelizmente, depende de memorizações de fórmulas, mas, se você souber deduzi-las, como estamos tentando mostrar aqui, as coisas ficarão muito mais fáceis! Portanto fique tranqüilo(a). Arapuca (UEA) Sendo sena + cosa = m, então sena.cosa é igual a: a) (m-1)/2 b) (m + 1)/2 c) m/2 d) (2m-1)/2 e) n.d.a. Solução: sena + cosa = m (sena + cosa)2 = m2 sen2a + 2sena.cos.a + cos2a = m2 (sen2a + cos2a) + 2sena.cos.a = m2 1 + 2sena.cos.a = m2 sena.cosa = (m2 – 1)/2 (FGV) Simplificar a expressão: senx cosx–––––––––– + –––––––– .1 + cotgx 1 + tgx 1a) ––––––––––––senx + cosx 1b) ––––––––––––senx – cosx 1c) –––––– senx 1c) –––––– cosx e) n.d.a. Solução: 4. Lei dos Senos Considere a figura abaixo, em que se vê um triângulo ABC inscrito numa circunferência de raio R. Observe que também podemos dizer que a circunferência está circunscrita ao triângulo ABC. Na figura acima, temos: AH = diâmetro da circunferência = 2R (R = raio) AO = OH = raio da circunferência = R Medidas dos lados do triângulo ABC: AB = c, BC = a e AC = b. Para deduzir o teorema dos senos, vamos iniciar observando que os ângulos H e B são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida, pois ambos estão inscritos no mesmo arco CA. Além disso, podemos afirmar que o ângulo ACH é reto (90°), pois AH é um diâmetro. Portanto o triângulo ACH é um triângulo retângulo. Podemos então escrever: sen H = sen B = cateto oposto/hipotenusa = AC / AH = b/2R. Logo, fica: senB = b/2R e, portanto, b/senB=2R. Analogamente, chegaríamos às igualdades c/senC = 2R e a/senA = 2R Como essas três expressões são todas iguais a 2R, poderemos escrever finalmente: A B C–––––– = –––––– = ––––– = 2RsenA senB senC Essa expressão mostra que as medidas dos ladosde um triângulo qualquer são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a esses lados, sendo a constante de proporcionalidade igual a 2R, onde R é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. 5. Lei dos Co-senos Considere o triângulo ABC na figura abaixo: AH = altura do triângulo em relação à base CB. Medidas dos lados: AC = b, AB = c e CB = a. Podemos escrever no triângulo AHB: AH2 + HB2 = c2 (Teorema de Pitágoras). Analogamente, podemos aplicar o teorema de Pitágoras no triângulo AHC: b2 = CH2 + AH2 Mas CH = CB – HB = a – HB Portanto: b2 = (a - HB)2 + AH2 b2 = a2 – 2.a.HB + HB2 + AH2 Observe que HB2 + AH2 = AB2 = c2 Então fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.HB No triângulo retângulo AHB, podemos escrever: cosB = cateto adjacente/hipotenusa = HB/c Daí, HB = c.cosB Substituindo, fica: b2 = a2 + c2 – 2.a.c. cosB Da fórmula acima, concluímos que num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produto das medidas desses lados pelo co- seno do ângulo que eles formam. Analogamente, poderemos escrever: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC Em resumo: a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC Caiu no vestibular (UEA) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm formam entre si um angulo de 60°. Qual a medida do outro lado? a) b) c) d) e) n.d.a. Solução: Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos: x2 = 42 + 82 – 2.4.cos60° = 16 + 64 – 8.(1/2), já que cos60° = 1/2. x2 = 16 + 64 – 4 = 76 x = cm 5 Desafio Matemático 01. Sendo O o centro da circunferência de raio unitário, então x = BC vale: a) 1 b) 0,8 c) 0,6 d) 0,5 e) 0,4 02. O valor de k, para o qual (cosx + senx)2 + k .senx. cos x – 1=0 é uma identidade , é: a) –1 b) –2 c) 0 d) 1 e) 2 03. Simplificando a expressão , encontramos: a) E = 1 + senx b) 1 c) E = sen2x – cos2x d) E = 1 – senx cosx e) E = ––––––––– 1+senx 04. Na figura abaixo, determinar o valor de AB. a) 65 b) 45 c) 75 d) 25 e) 67 05. Na figura abaixo, tem-se representado o losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm. A medida do lado desse losango, em cm, é: a) b) 6 c) d) 4 e) Movimentos de projéteis Corpos que se movimentam nas imediações da superfície terrestre, sem contato com o solo e sujeitos apenas à atração gravitacional (força peso), estão submetidos à mesma aceleração: a da gravidade (g). 1. QUEDA LIVRE (MUV acelerado em trajetória vertical). Equações: origem no ponto inicial (S0 = 0); velocidade inicial nula (v0 = 0); resistência do ar nula. As proporções de Galileu A área de cada triângulo da figura abaixo é numericamente igual ao deslocamento d. Conclusão: Em tempos iguais e consecutivos, um móvel em queda livre percorre distâncias cada vez maiores, na proporção dos ímpares consecutivos: no primeiro segundo, o móvel cai uma distância d; no segundo seguinte, percorre 3d; no terceiro segundo, 5d, e assim por diante. Caiu no vestibular (UEA) A expressão popular que afirma que o gato tem “sete vidas” justifica-se pelo fato de eles conseguirem se sair bem de algumas situações difíceis. No caso de uma queda, por exemplo, eles podem atingir o chão, sem se machucar, se a velocidade final for cerca de 8m/s. De que altura máxima eles podem cair, sem o perigo de perder uma de suas “vidas”? a) 2,0m b) 2,5m c) 3,2m d) 4,0m e) 4,5m Solução: Procuremos o tempo: v = vo + gt ∴ 8 = 0 + 10t ∴ t = 0,8s Consideremos g = 10m/s2 e calculemos a altura: gt2 10.(0,8)2 S= –––– ∴ S= –––––––– ∴ S=3,2m 2 2 Arapuca (UEA) Um corpo é abandonado em queda livre de uma determinada altura. Observa-se que, nos dois primeiros segundos de seu movimento, ele cai x metros. Já nos dois segundos seguintes, o corpo desloca-se y metros. A razão x/y vale, portanto: a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2 e) 3 Solução: O intervalo é de 4s. Pelas proporções de Galileu, o móvel percorre em 1s, 2s, 3s e 4s, respectivamente: d, 3d, 5d e 7d. Então: x = d + 3d = 4d y = 5d + 7d = 12d x A razão ––– vale: y x 4d 1 ––– = –––– = –––– y 12d 3 2. LANÇAMENTO VERTICAL Equações: origem no ponto de lançamento (S0 = 0); trajetória orientada no sentido do movimento. Caiu no vestibular (UEA) Se uma pedra é lançada verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial vo = 30m/s, ela atingirá uma altura máxima h, antes de voltar ao solo. Desprezando o atrito com o ar e fazendo g = 10m/s2, o valor de h será: a) 45m b) 35m c) 20m d) 10m e) 5m Solução: Na altura máxima, o móvel pára (v = 0). Então: v = vo + gt ∴ 0 = 30 + 10 . t ∴ t = 3s A altura máxima atingida: gt2 10.32 S= vo.t – ––– ∴ S= 30.3 – –––––– ∴ S=45m 2 2 Arapuca Um objeto de 2kg é lançado verticalmente para baixo, com velocidade inicial de 20m/s. Atinge o solo 4s após o lançamento. De que altura o corpo foi lançado? Com que velocidade ele atinge o solo? Solução: A altura do lançamento: gt2 10.16 S= vo.t – ––– ∴ S= 20.4 – –––––– ∴ S=160m 2 2 A velocidade ao chegar ao solo: v = vo + gt ∴ 20 + 10 . 4 ∴ v = 60m/s Importante: observe que a massa do corpo (2kg) não interferiu na resposta. 3. LANÇAMENTO HORIZONTAL A partir de um ponto situado a uma altura h, acima do solo, o móvel é lançado horizontalmente e percorre uma trajetória parabólica, que pode ser construída utilizando- se a composição de dois movimentos independentes: a) Movimento horizontal – Nesse movimento, o corpo percorre espaços iguais (designados por L, na Figura 2) em tempos iguais: movimento uniforme (velocidade constante). b)Movimento vertical – Nessa direção, o móvel está em queda livre (MUV acelerado) a partir do repouso. Os deslocamentos verticais obedecem às Proporções de Galileu: 1d, 3d, 5d, ..., (2n – 1)d. 6 Física Professor CARLOS Jennings 01. (UFSC) Duas bolinhas, A e B, partem ao mesmo tempo de uma certa altura H acima do solo, sendo que A em queda livre e B com velocidade vo na direção horizontal. Podemos afirmar que: a) A chega primeiro ao solo. b) B chega primeiro ao solo. c) A ou B chega primeiro, dependendo da altura. d) A ou B chega primeiro, dependendo da velocidade inicial vo de B. e) As duas chegam juntas. 02. (UFPR) Uma bola rola sobre uma mesa horizontal de 1,225m de altura e vai cair num ponto situado à distância de 2,5m, medida horizontalmente a partir da beirada da mesa. Qual a velocidade da bola, em m/s, no instante em que ela abandonou a mesa? (g = 9,8m/s2). a) 5m/s b) 10m/s c) 15m/s d) 20m/s e) 25m/s 03. Um corpo de 2kg deve ser lançado horizontalmente do alto de uma rampa de altura 45m, devendo atingir um buraco a 20m do pé da rampa. Qual deve ser o valor da velocidade de lançamento? a) 12m/s b) 10,5m/s c) 8m/s d) 7,6m/s e) 6,6m/s 04. Um jogador chuta uma bola com uma velocidade inicial de 20m/s, sob um ângulo de 60° com a horizontal. Calcule a altura máxima que a bola irá atingir. a) 5m b) 10m c) 15m d) 20m e) 25m 05. (Fuvest-SP) Um gato, de um quilograma, dá um pulo, atingindo uma altura de 1,25m e caindo a uma distância de 1,5m do local do pulo (g = 10m/s2). A componente vertical da velocidade inicial e a velocidade horizontal do gato valem, respectivamente. a) 5m/s e 1,5m/s b) 1,5m/s e 5m/s c) 5m/s e 15m/s d) 0,5m/s e 1,5m/s e) 5,5m/s e 1m/s 06. Uma bola rola sobre uma mesa de 80cm de altura, com velocidade cons- tante de 5m/s. Ao abandonar a mesa (g = 10m/s2), a bola cai, tocando osolo no ponto situado, em relação à mesa: a) 3m b) 2m c)1m d) 0,5m e) 1,5m 07. Uma pedra de 4kg é lançada verticalmente de baixo para cima, com uma velocidade inicial de 80m/s. qual a altura máxima alcançada pela pedra? a) 320m b) 220m c) 120m d) 20m e) Nenhuma é correta. Desafio Físico Importante: para corpos lançados da mesma altura, o tempo de queda é o mesmo, independente das massas dos corpos e de suas velocidades horizontais de lançamento (desprezando-se os efeitos do ar). Aplicação Uma bolinha rola por toda a extensão de uma mesa horizontal de 5m de altura e a abandona com uma velocidade horizontal de 12m/s. Calcule o tempo de queda e a distância do pé da mesa ao ponto onde cairá a bolinha (g = 10m/s2). Solução: Calculemos, inicialmente, o tempo de queda, considerando apenas o movimento vertical (queda livre – MUV acelerado): gt2 10 H = ––– ∴ 5= ––– t2 ∴ 5= 5t2 ∴ t=1s 2 2 Considerando agora o movimento horizontal (uniforme), teremos: SHvH = ––– ∴ SH = vH.t = 12 . 1 =12mt (o corpo cairá a 12m do pé da mesa). 4. LANÇAMENTO OBLÍQUO A velocidade de lançamento forma com a horizontal um ângulo distinto de 0° e de 90°. A velocidade Vo pode ser decomposta em duas componentes: Vox (componente da velocidade no eixo dos x) e Voy (componente da velocidade no eixo dos y): Vox = vo . cos θθ Voy = vo . sen θθ O lançamento oblíquo resulta da composição de dois movimentos independentes: a) Movimento horizontal – Esse movimento é uniforme, uma vez que Vox é constante (desprezando-se a resistência do ar). b)Movimento vertical – Nesse movimento, a velocidade é variável, pois o corpo está sujeito à aceleração da gravidade: na subida, o movimento é retardado (velocidade e aceleração têm sentidos contrários); na descida, o movimento é acelerado (velocidade e aceleração têm sentidos iguais). Importante: o alcance é o mesmo para diferentes corpos, lançados com a mesma velocidade inicial e com ângulos de lançamento complementares (aqueles cuja soma vale 90°). Arapuca Um objeto é lançado obliquamente com uma velocidade inicial de 100m/s, que forma com a horizontal um ângulo de 60°. Calcule a altura máxima atingida pelo móvel e a distância do ponto de lançamento ao ponto em que o móvel toca o solo. Solução: As componentes da velocidade valem: vox=vo . cos θ =100 . cos 60°=100.0,5 =50 m/s voy = vo . sen θ = 100 . sen 60°= 100 . 0,866 = 86,6m/s Calculemos o tempo de subida, usando a expressão da velocidade vertical. No ponto mais alto, vy = 0: gt2 vy = voy – –––– ∴ 0 = 86,6 – 10t ∴ t= 8,66s2 A altura atingida pelo móvel (MUV retardado): gt2 10 . (8,66)2 h = voy – ––– = 86,6 . 8,66 – ––––––––– = 375m 2 2 Calculemos o alcance (distância horizontal percorrida em MU). O tempo é o de subida mais o de descida (8,66s + 8,66s): Sh = vox . t = 50 . 17,32 = 866m Exercícios 01. (PUC-RJ) Uma pedra é lançada verticalmente para cima. No ponto mais alto da trajetória, pode-se dizer que a sua velocidade v e a sua aceleração a têm os seguintes valores, em módulo: a) v = 0 e a = 0 b) v = g e a = 0 c) v = a d) v = 0 e a = g e) v = 0 e a = g/2 02. De um ponto a 20m do solo, lança-se, verticalmente para cima, um objeto com velocidade inicial de 10m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2. Considere as afirmativas: I. A altura máxima atingida é de 25m, em relação ao solo. II. O objeto atinge o solo com velocidade de 10m/s, em módulo. III. O tempo, do lançamento até o retorno ao solo, é de 2s. São corretas: a) Apenas a I. b) Apenas a II. c) Apenas a III. d) I e II. e) II e III. 03. (Udesc-SC) Um jogador de basquete arremessa uma bola verticalmente para cima, com velocidade inicial de 15m/s. Sabendo-se que a bola subiu durante 1,5s, calcule, em metros, a altura máxima que ela atingiu a partir do seu ponto de lançamento, desprezando a resistência do ar. a) 10,5m b) 11,25m c) 12,5m d) 13m e) 14,4m 7 01. (PUC–SP) Você atira um corpo de 200g verticalmente para cima, a partir do solo, e ele atinge uma altura de 3m antes de começar a cair. Considerando a aceleração da gravidade 9,8m/s2 e nula a resistência do ar, a velocidade de lançamento foi de: a) 7,67m/s b) 8,76m/s c) 6,76m/s d) 7m/s e) 6m/s 02. Um pára-quedista, quando a 120m do solo, deixa cair uma bomba, que leva 4s para atingir o solo. Qual a veloci- dade de descida do pára-quesdista? a) 1m/s b) 2m/s c) 5m/s d) 8m/s e) 10m/s 03. Um buriti cai do alto de um buritizeiro e, entre 1s e 2s, percorre 4,5m. As distâncias percorridas durante o terceiro e o quarto segundos de queda são, respectivamente: a) 5,5m e 6,5m b) 6,5m e 7,5m c) 7,5 e 10m d) 7m e 10,5m e) 7,5m e 10,5m 04. Um corpo em queda livre sujeita-se à aceleração gravitacional de 10m/s2. Ele passa por um ponto A com velocidade de 10m/s e por um ponto B com velocidade de 50m/s. A distância entre os pontos A e B é de: a) 100m b) 120m c) 140m d) 160m e) 240m 05. (FESP–PE) Do alto de um edifício, abandona-se uma bola de ferro que durante o último segundo percorre 25m. A altura do edifício vale, em metros: a) 45 b) 40 c) 35 d) 80 e) 125 06. Um ouriço de castanha desprendeu-se do alto de uma castanheira de 20m. O tempo de queda e a velocidade do ouriço ao chegar ao solo são, respectivamente: a) 2s e 20m/s b) 20s e 2m/s c) 3s e 30m/s d) 4s e 40m/s e) 5s e 50m/s 07. Do alto de uma torre, um garoto deixa cair uma pedra, que demora 2s para chegar ao solo. Qual a altura dessa torre? a) 10m b) 20m c) 30m d) 40m e) 50m 08. Uma pedra é arremessada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30m/s. Calcule a altura máxima que ela atinge? a) 15m b) 25m c) 35m d) 45m e) 55m Desafio Físico Trabalho e Energia O conceito científico de trabalho nem sempre coincide com o que se pensa vulgarmente sobre trabalho (geralmente tido como “qualquer esforço do corpo ou da mente”). Para a Física, Trabalho é a medida das transfor- mações de energia causadas por uma força sobre um sistema. Energia é um conceito muito abran- gente e, por isso mesmo, muito abstrato e difícil de ser definido de um modo preciso. Usando apenas a experiência do nosso cotidiano, podería- mos conceituar energia como algo que é capaz de originar mudanças no mundo. Podemos dizer que a presença de energia num dado sistema físico encerra a possibilidade de que se produza movimento. Por exemplo: a energia armazenada por uma pessoa, a partir dos alimentos, permite que ela se movimente e mova outros corpos. Trabalho (ττ) de uma força constante – Se uma força →→ F constante atua em uma partícula, produzindo um deslocamento → d. O trabalho realizado por essa força é dado por: ττ =F.d.cos θθ F = módulo da força aplicada ao corpo; d = módulo do deslocamento; θθ = ângulo entre → F e → d. Unidade de trabalho (SI) – O joule: trabalho realizado por uma força de 1 newton, ao deslocar um corpo por 1 metro (1J = 1N . 1m). Dependendo do valor de θ, o trabalho de uma força pode ser: a) Positivo (trabalho motor) – A força “contribui” com o deslocamento. b)Negativo (trabalho resistente) – A força atua em oposição ao deslocamento. c) Nulo – A força é perpendicular ao sentido do deslocamento do corpo. Importante: o trabalho de uma força perpen- dicular ao deslocamento é sempre nulo. Aplicação Um corpo movimenta-se por 10m sobre uma superfície horizontal sob a ação das forças constantes indicadas na figura. Calcule o trabalho de cada uma das forças atuantes no corpo. Dados:P = 100N; F = 50N; Fat = 10N; cos 60° = 0,5; cos 90° = 0; cos 180° = −1. Solução: a) → P e → N são perpendiculares ao deslocamento (θ = 90º): τP = P.d.cos90° = 100.10.0 = 0 τN = N.d.cos90° = 0 b) Trabalho de → F (θ = 60°): τF = F.d.cos60° = 50. 10. 0,5 = 250J (trabalho motor); c) Trabalho de → Fat (θ = 180°): τ Fat = Fat.d.cos180° = 10.10.(−1) = −100J (trabalho resistente). Energia Mecânica – Chamamos de Energia Mecânica a todas as formas de energia relacionadas com o movimento de corpos ou com a capacidade de colocá-los em movimento ou deformá-los. É dada pela soma das energias cinética e potencial: Em = Ec + Ep Energia Cinética – Energia associada ao movi- mento. É uma grandeza escalar que depende da massa e do quadrado da velocidade do corpo: mv2 Ec = –––––– 2 Energia Potencial Gravitacional – Energia armazenada associada à posição do corpo; pode permanecer armazenada indefinidamente, ou ser utilizada a qualquer momento na produção de movimento, ou seja, pode ser transformada, no todo ou em parte, em energia cinética: Ep = m.g.h Energia Potencial Elástica É a energia armazenada em uma mola comprimida ou distendida. Matematicamente: kx2 Epe = –––––, onde k é a constante elástica e x é2 a deformação da mola (quanto a mola foi compri- mida ou distendida). Teorema da Energia Cinética – O trabalho da força resultante é igual à variação de energia cinética: ττ = ∆∆Ec = Efinal −− Einicial Princípio da Conservação da Energia Mecânica – Uma força é chamada conservativa, quando pode devolver o trabalho realizado para vencê-la. Desse modo, o peso de um corpo e a força elástica são exemplos desse tipo de força. No entanto a força de atrito cinético, que não pode devolver o trabalho realizado para vencê- la, é uma força não-conservativa, ou dissipativa (degrada energia mecânica). Em um sistema no qual só atuam forças conser- vativas (sistema conservativo), a energia mecânica se conserva, isto é, mantém-se com o mesmo valor em qualquer momento, alternando-se nas suas formas cinética e potencial (gravitacional ou elástica). Aplicação Uma pedra de 2kg é abandonada de uma altura de 8m em relação ao solo. Calcule a energia cinética e a velocidade de que estará dotada a pedra ao atingir o solo? (Despreze a resistência do ar e considere g = 10m/s2). Solução: a) Ec = Ep ∴ Ec = mgh = 2.10.8 = 160J (ao atingir o solo, a pedra terá uma energia cinética que corresponde à energia potencial que tinha quando iniciou a queda). mv2 2.v2 b) Ec = –––– ∴ 160 = –––– ∴v = =12,6m/s2 2 IMPULSO E MOMENTO LINEAR Um corpo recebe um impulso ( → I ) quando é solicitado por uma força durante um certo intervalo de tempo. Impulso de uma força constante: →→ I = →→ F∆∆t – É uma grandeza vetorial (possui módulo, direção e sentido). – Tem módulo proporcional ao módulo de → F (quanto maior a força, maior o impulso). – Tem sempre direção e sentido iguais aos de → F. 8 O Sol ocupa uma posição central no mosaico energético da Terra. A energia dele emanada induz a formação de todas as outras formas de energia, exceto a nuclear. A energia solar dá causa aos movimentos dos ventos e das águas, que são formas de energia mecânica. Essa energia alimenta as usinas e os moinhos para a geração de energia elétrica que chega às nossas casas, a qual, por seu turno, é transformada em energia térmica (no chuveiro), em energia mecânica (no movimento do liquidificador), em energia luminosa (nas lâmpadas), etc. É pela energia de radiação provinda do Sol que se formam os ventos e se aquecem os rios, realizando-se, assim, o ciclo da água, que vai propulsionar usinas as hidroelétricas. Como se não bastassem todas as formas de energia que derivam do Sol, a energia de radiação ainda pode ser usada diretamente para produzir energia elétrica, por meio das células fotoelétricas, e também como energia termoelétrica, por meio do calor. Utilizar energia solar como fonte de energia elétrica pode resolver muitos problemas da vida moderna, em que, indiscriminadamente, fabricam-se equipamentos e máquinas movidos a eletricidade. A utilização de células fotoelétricas para a produção de energia elétrica também pode representar uma alternativa em regiões de difícil acesso como a Amazônia, onde o fornecimento de energia solar é abundante o ano inteiro. Física Professor CARLOS JenningsAnota Aí! Aplicação Sob a ação de uma força resultante constante de intensidade 20N, um corpo, de 1,0kg, parte do repouso no instante t = 0. Calcule o módulo do impulso da resultante, desde t = 0 até t = 5,0s, e a velocidade final. Solução: → I = → F∆t ⇒ I = 20.5 = 100Ns Para calcular a velocidade, lembre-se de que v = vo + at, sendo vo = 0 e a = F/m: F 20 v = ––– .t = ––– . 5= 100m/s m 1 Momento linear ( → Q) – Também chamado de momentum ou quantidade de movimento, o momento linear é uma grandeza vetorial dada pela expressão: →→ Q = m. →→v – Tem módulo proporcional ao módulo de → v. – É uma grandeza instantânea (depende da definição da velocidade vetorial instantânea). – Tem sempre direção e sentido iguais aos de → v. Relação entre Energia Cinética e Momento Linear mv2 Ec = ––––– (I)2 Q Q = mv ∴∴ v = ––– (II) m Substituindo (II) em (I): Q2 Ec = ––––2m Teorema do Impulso → F = m → a ( I ) ∆→v →v – →vo→a = ––– = ––––––– (II) ∆t ∆t Substituindo (II) em (I): ( → v – → vo)→F = ––––––– ∴ → F∆t = m→v – m→vo∆t → Itotal = → Qfinal – → Qinicial O impulso total exercido em um sistema durante um certo tempo corresponde à variação do momento linear desse sistema durante o intervalo de tempo considerado. Atenção! Do Teorema do Impulso, pode-se constatar que impulso e momento linear são grandezas físicas de mesma espécie, pois a primeira é dada pela variação da segunda. Por isso, possuem as mesmas dimensões e podem ser traduzidas nas mesmas unidades. Aplicação Para bater um pênalti, um jogador aplica um chute na bola, de massa 0,4kg, comunicando- lhe uma velocidade horizontal de módulo 4,0m/s. Sabendo-se que, inicialmente, a bola estava em repouso e que o chute teve duração de 1,0.10−2s, calcular a intensidade média da força aplicada pelo pé à bola. Solução: Considerando a força aplicada pelo pé como a resultante paralela ao movimento, pelo Teorema do Impulso: Itotal = Qfinal – Qinicial Como a bola estava inicialmente em repouso, tem-se Qinicial = 0: Itotal = Qfinal = mvfinal (I) No caso, Itotal pode ser calculado por: Itotal = Fm∆t (II) Comparando (I) e (II): m.vfinal 0,4 . 4,0Fm∆t = m.vfinal ∴ Fm=–––––– = ––––––––=160N∆t 1,0 . 10–2 Princípio da Conservação do Momento Linear – Um dos mais relevantes da Mecânica; pode ser assim enunciado: – Num sistema físico isolado de forças externas (aquele em que a resultante das forças externas que nele agem é nula), o momento linear total permanece constante. Então: → Qtotal = constante ou → Qfinal = → Qinicial ⇒ ∆ → Qtotal = → 0 Aplicação Antônio Farias, pescador do Cambixe, está com sua canoa no lago dos Reis. Inicialmente, tanto a canoa como o pescador repousam em relação à água que, por sua vez, não apresenta qualquer movimento em relação à Terra. Atritos da canoa com a água são desprezíveis e, no local, não há ventos. Num determinado instante, o pescador atira horizontalmente a sua zagaia de massa 2,0kg que sai com velocidade de 10m/s. Calcule o módulo da velocidade do conjunto pescador/canoa, de massa igual a 150kg, imediatamente após o disparo. Solução: Sendo o sistema fisicamente isolado: → Qfinal = → Qinicial ∴ → Qfinal = → 0 → Qzagaia + → Qconjunto = → 0 ∴ → Qzagaia = − → Qconjunto Em módulo: Qzagaia = Qconjunto mzagaiavzagaia= mconjuntovconjunto 2,10 = 150.vconjunto vconjunto = 0,13m/s Exercícios 01. Um astronauta, tendo em suas mãos um pequeno objeto, encontra-se em repouso, em uma região do espaço onde não existe nenhuma atração gravi- tacional. Nesta situação, ele arremessa o objeto, aplicando-lhe um impulso de 12N.s. Considere o sistema astronauta+ objeto e assinale, entre as afirmativas seguintes, aquela que está errada: a) O astronauta recebe, do objeto, um impulso de módulo igual a 12N.s. b) O objeto passa a se deslocar com uma quantidade de movimento de 12kg.m/s. c) O módulo da quantidade de movimento adquirida pelo astronauta é menor do que 12kg.m/s. d) A quantidade de movimento do sistema, antes de o objeto ser arremessado, era nula. e) A quantidade de movimento do sistema, depois de o objeto ser arremessado, é nula. 02. (UFMG-MG) Suponha que o motor de um carro, durante a aceleração, exerça no veículo uma força constante de 1500N. Admitindo que o carro parta do repouso e que a força atue durante 6,0s, sendo de 900kg a massa do carro, a velocidade adquirida no fim desse tempo será: a) 10m/s b) 10km/h c) 36m/s d) 30m/s e) 15km/h 9 01. Uma partícula de 20kg parte do repouso e, sob a ação única da força constante → F de intensidade de 100N, atinge a velocidade de 72km/h. Determine: a) a aceleração da partícula; b) o deslocamento da partícula; c) o trabalho realizado pela força → F. 02. Um bloco é lançado com uma velocidade inicial v0 sobre uma superfície horizontal e, após percorrer uma distância d, atinge o repouso. Nessas condições: a) Houve ou não realização de trabalho? b) Em caso positivo, que forças realizaram trabalho? Esse trabalho é positivo ou negativo? 03. Um corpo de massa 2kg move-se horizontalmente com uma velocidade de 3m/s. Num dado instante, passa a atuar nele uma força F, passando a mover-se, em 3s, com uma velocidade de 7m/s. Qual foi o trabalho realizado pela força sobre o corpo? (Sugestão: utilize o Teorema da Energia Cinética). 04. (Fuvest-SP) Uma bola de 0,2kg é chutada para o ar. Sua energia mecânica em relação ao solo vale 50J. Qual é a sua velocidade quando está a 5m do solo? Dado: g = 10m/s2. 05. Na questão anterior, a que altura em relação ao solo estaria a bola, se tivesse a velocidade de 10m/s. 06. Uma pedra de 0,10kg é lançada verticalmente para cima com energia cinética de 20J. Qual é a altura máxima atingida pela pedra, sabendo-se que g = 10m/s2? (Sugestão: utilize o Princípio da Conservação da Energia Mecânica). 07. (Unicamp-SP) Uma metralhadora dispara balas de massa 80g com velocidade de 500m/s. O tempo de duração de um disparo é 0,01s. a) Calcule a aceleração média que uma bala adquire durante um disparo. b) Calcule o impulso médio exercido sobre uma bala. 08. Sobre o impulso de uma força, podemos afirmar que: a) é igual à variação da energia cinética; b) é uma grandeza escalar; c) é uma grandeza termodinâmica; d) é igual ao produto da força pela velocidade; e) tem a mesma dimensão de quantidade de movimento. Desafio Físico 10 Realismo e Naturalismo I 1. ASPECTOS GERAIS a) Duração no Brasil – 1881 a 1893. b) Obra inauguradora do Realismo: Memórias Póstumas de Brás Cubas (romance,1881), de Machado de Assis. c) Obras inauguradoras do Naturalismo: 1. O Coronel Sangrado (romance, 1877), de Inglês de Sousa. 2. O Mulato (romance,1881), de Aluísio Azevedo. d) Mistura – Realismo e Naturalismo mistu- ram-se na literatura brasileira. Não há coincidência apenas de datas; os temas, derivados da filosofia de Tobias Barreto, são comuns às obras dos dois períodos. e) Guerra ao Romantismo – Realismo e Naturalismo opõem-se radicalmente ao Romantismo. 2. ASPECTOS HISTÓRICO-CULTURAIS a) A burguesia substitui a aristocracia no poder. b) A Revolução Industrial traz avanços no campo da ciência e da tecnologia. c) A ciência é exaltada; apregoa-se a idéia de que ela é capaz de resolver todos os problemas da humanidade. d) As idéias de Darwin (As Origens das Es- pécies, 1859) são impostas: o meio con- diciona todos os seres vivos, deixando viver apenas os mais fortes. O meio am- biente é capaz de interferir na formação da matéria e do espírito. e) A teoria do evolucionismo (ou darwinismo) repercute na Economia, na Filosofia, na Política e na Literatura. f) O Positivismo nasce na França: prega o apego aos fatos, rejeitando qualquer teo- ria metafísica para a existência e a atua- ção do homem no mundo. g) O mundo torna-se materialista, suplan- tando o subjetivismo pregado no período romântico. h) As Cartas Filosóficas de Voltaire atacam as instituições do clero e da monarquia. Isso provoca a mudança da liderança his- tórica da aristocracia para a burguesia. 3. SITUAÇÃO BRASILEIRA a) O Positivismo encontra ressonâncias na Faculdade de Direito do Recife. b) A abolição dos escravos provoca um cres- cimento urbano inesperado, favorecendo as atividades artísticas, entre elas a Lite- ratura. c) Os primeiros imigrantes europeus (prin- cipalmente italianos) chegam ao brasil para substituir a mão-de-obra escrava. d) A decadência da lavoura açucareira vira realidade. A lavoura cafeeira toma impul- so, favorecendo o aparecimento de novas comunidades e o aumento dos bens de consumo. e) A comunicação brasileira experimenta a revolução do telégrafo. f) Os jornais, agora com periodicidade regu- lar, fixam-se nos centros culturais. 4. CARACTERÍSTICAS DO REALISMO/NATURALISMO a) Apego à objetividade – Não há mais es- paço para uma literatura com textos pro- lixos, com descrições exaltadas de paisa- gens e de personagens. c) Crença na razão – A emoção cede lugar à razão, sugerindo frieza (às vezes crue- za) nas relações amorosas. d) Materialismo – A literatura passa a exibir uma visão materialista da vida, do homem e da sociedade, negando a relação com Deus. e) Cientificismo – A defesa de que a vida e as ações dos homens são determinadas pela ciência é postura radical do Natura- lismo. f) Determinismo – O Naturalismo constrói personagens cuja conduta obedece a três variáveis: a hereditariedade (que explica as tendências, os caracteres e as patolo- gias), o meio (capaz de determinar o com- portamento) e o momento histórico (res- ponsável pelas ideologias). g) Problemas patológicos – A literatura pas- sa a retratar temas que chocam a socieda- de: homossexualismo, lesbianismo, inces- to, taras sexuais, loucura, adultério, racis- mo, prostituição. 4. AUTORES E OBRAS MACHADO DE ASSIS Origem humilde – O pai é mulato, pintor de paredes do Morro do Livramento, no Rio de Janeiro. A mãe (portuguesa) lava roupa para ajudar nas despesas de casa. Infância paupérrima – Machado tem uma infância paupérrima, de menino do morro, com as dificuldades comuns de uma família pobre. Órfão – O pai, a mãe e a irmã logo morrem. Maria Inês, a madrasta, dá-lhe carinhos de mãe e é quem o alfabetiza, auxiliada por um padre da Igreja de Lampadosa. Escola: sonho distante – Maria Inês traba- lha na cozinha de uma escola dirigida por senhoras. Graças a essa atividade, o meni- no Machado de Assis pode ali se matricular. A disciplina inclui palmatória e castigos cor- porais, mas Machado é aluno exemplar, ávi- do por conhecimento. Vendedor de balas e doces – No período em que não está na escola, o garoto pobre, magro, franzino vende balas e doces (fabri- cados pela madrasta) nas ruas de São Cris- tóvão. Francês na padaria – A proprietária da padaria do bairro (São Cristóvão) logo simpatiza com Machado de Assis. Começa, então, a dar-lhe aulas de francês. A evolução é espantosa: Machado domina rapidamente a nova língua. No futuro, vale-se desses conhecimentos para ser revisor de provas na Imprensa Nacional. Primeiro emprego – Machado de Assis, já rapaz, precisaa trabalhar.A Livraria e Tipogra- fia Paula Brito é a mais famosa da época, no Rio de Janeiro. Ali Machado vai atrás do seu primeiro emprego. Não sabe fazer nada, mas quer estar em contato com livros e escritores. Aprendiz de tipógrafo – Depois de uma certa experiência, é admitido na Imprensa Literatura Professor João BATISTA Gomes 01. Os itens seguintes contêm caracterís- ticas de períodos literários brasileiros. Qual deles foi caracterizado errada- mente? a) Romantismo: nacionalismo extremado, valorização do índio e da natureza. b) Arcadismo: linguagem culta, rebuscada, com antíteses e hipérbatos. c) Parnasianismo: apego à rima, à métrica, à perfeição; poesia descritiva, com ausência de emoções. d) Realismo: o importante não era a trama, o enredo em si, mas a profundidade com que as personagens eram analisadas. e) Realismo: análise da realidade sem o prisma da fantasia e do sonho. 02. Um dos itens seguintes não pode ser atrelado ao surgimento do Realismo- Naturalismo no Brasil. Identifique-o. a) A cieência e a tecnologia passaram a influenciar a visão do escritor. b) A valorização do materialismo, numa atitude clara de combate ao subjetivismo e ao misticismo. c) O crescimento urbano motivou a formação de uma casta intelectual e, conseqüentemente, o consumo de livros. d) Valorização do conhecimento empírico. e) Tentativa de atrelar o comportamento humano à hereditariedade e ao meio. 03. (Desafio do Rádio) O homossexualis- mo virou tema de obras literárias no Realismo-Naturalismo. Isso se pode comprovar no romance: a) Dom Casmurro; b) O Mulato; c) Memórias Póstumas de Brás Cubas; d) A Normalista; e) O Bom Crioulo. 04. (Desafio da TV) Ambientados em pe- quenas e desconhecidas cidades da Amazônia, os romances de Inglês de Sousa não despertaram a atenção dos leitores do Sul, onde foram publicados. Os leitores ainda se deleitvam com fan- tasias, fugindo à realidade nua e crua de uma região ainda inexplorada na literatura brasileira. Cronologicamente, Inglês de Sousa inaugurou o Naturalis- mo no Brasil, em 1877, com o roman- ce: a) O Bom Crioulo; b) O Coronel Sangrado; c) Dona Guidinha do Poço; d) O Missionário; e) O Mulato. Desafio literário Nacional como Aprendiz de Tipógrafo. Às vezes, deixa de fazer o seu trabalho para entregar-se a leituras. Os colegas logo o denunciam ao diretor da casa. Nasce, assim, a amizade com Manuel Antônio de Almeida, o festejado autor de Memórias de um Sargento de Milícias. Revisor – Com a idade de 19 anos, Machado já tem fama de intelectual e estudioso: é contratado por Paula Brito para atuar como revisor de provas na livraria e editora. Além de dominar o francês, Machado dá provas de conhecer em profundidade a língua portuguesa. Contos e Crônicas em jornais – Conhecido no meio intelectual carioca, Machado come- ça a colaborar em vários jornais e revistas do Rio de Janeiro, escrevendo contos, crôni- cas e críticas literárias. Primeiro livro – Com vinte e cinco anos de idade, Machado publica o seu primeiro livro: um volume de poemas intitulado Crisálidas. A fama, aos poucas, vai-se espalhando – gra- ças à intensa atividade literária registrada nos jornais e nas revistas. Funcionário Público – Em 1867, ingressa no funcionalismo público, ocupando um cargo no Diário Oficial. Já goza, então, da admira- ção e do respeito do público. Já tem fama de escritor. É conhecido no Rio de Janeiro como homem sério, inteligente e esforçado. Primeira e única namorada – Machado co- nhece Carolina. Moça branca, já na casa dos trinta, livre de compromissos amorosos, re- cém-chegada de Portugal, conquista imedia- tamente o coração do escritor. A paixão tem o aval do irmão de Carolina, o poeta Xavier de Novais, mas esbarra no preconceito da família branca: Machado é mulato. Vitória do amor – Machado e Carolina casam- se no fim do ano de 1869. Não têm filhos. Vivem 35 anos um para o outro. Quando ela morre, em 1904, Machado dedica-lhe um so- neto. Veja-o na íntegra: À Carolina Querida, ao pé do leito derradeiro, Em que descansas desta longa vida, Aqui venho e virei, pobre querida, Trazer-te o coração do companheiro. Pulsa-lhe aquele afeto verdadeiro Que, a despeito de toda a humana lida, Fez a nossa existência apetecida, E num recanto pôs o mundo inteiro. Trago-te flores, – restos arrancados Da terra que nos viu passar unidos E ora mortos nos deixa separados. Que eu, se tenho nos olhos malferidos Pensamentos de vida formulados São pensamentos idos e vividos. Fama ainda em vida – Diferentemente de outros mulatos da literatura brasileira, Macha- do não precisa morrer para tornar-se célebre. A despeito da origem humílima, da cor, da doença (era epiléptico), vence o talento. Tan- to a carreira de escritor, como a de funcioná- rio público, quanto a literária evoluem vertigi- nosamente. Numa época em que o escritor não ganha dinheiro, machado sabe dosar a atividade profissional com a vocação literária. Além de escritor festejado, torna-se o primei- ro presidente da Academia Brasileira de Le- tras, sem dúvida uma das maiores glórias do escritor ainda em vida. Escritor completo – Poucos autores na litera- tura brasileira são tão ecléticos quanto Macha- do. Faz incursões pela prosa (romance, conto, crônica, teatro, crítica literária e social) e pela poesia, com sucesso em ambos. Tudo o que Machado escreve faz sucesso. Mas é, sem dúvida, no romance e no conto que o escri- tor torna-se mestre. Ainda vivo, é aclamado por todos como o maior escritor da literatura brasileira – título que perdura até hoje. OBRAS ROMÂNTICAS 1. Crisálidas (1864, poesias) 2. Falenas (1870, poesias) 3. Americanas (1875, poesias) 4. Ressurreição (1872, romance) 5. A Mão e a Luva (1874, romance) 6. Helena (1876, romance) 7. Iaiá Garcia (1878, romance) 8. Contos Fluminenses (1870, contos) 9. Histórias da Meia-Noite (1873, contos) OBRAS REALISTAS 1. Ocidentais (1901, poesia) 2. Memórias Póstumas de Brás Cubas (1881, romance) 3. Quincas Borba (1891, romance) 4. Dom Casmurro (1899, romance) 5. Esaú e Jacó (1904, romance) 6. Memorial de Aires (1908, romance) 7. Papéis Avulsos (1882, contos) 8. Histórias Sem Data (1884, contos) 9. Várias Histórias (1896, contos) 10. Relíquias da Casa Velha (1906, contos) CONTOS FAMOSOS 1. O Alienista 2. A Cartomante 3. Um Apólogo 4. A Missa do Galo 5. Cantiga de Esponsais 6. Noite de Almirante 7. A Igreja do Diabo 8. O Segredo do Bonzo 9. Teoria do Medalhão POEMAS FAMOSOS 1. Suave Mari Magno 2. À Carolina 3. Círculo Vicioso 4. A Mosca Azul 5. Soneto de Natal Círculo vicioso Bailando no ar, gemia inquieto vagalume: “Quem me dera que eu fosse aquela loira estrela Que arde no eterno azul, como uma eterna vela!” Mas a estrela, fitando a lua, com ciúme: “Pudesse eu copiar-te o transparente lume, Que, da grega coluna à gótica janela, Contemplou, suspirosa, a fronte amada e bela” Mas a lua, fitando o sol com azedume: “Mísera! Tivesse eu aquela enorme, aquela Claridade imortal, que toda a luz resume”! Mas o sol, inclinando a rútila capela: “Pesa-me esta brilhante auréola de nume... Enfara-me esta luz e desmedida umbela... Por que não nasci eu um simples vagalume?” 11 Caiu no vestibular 01. (FGV) Leia: Então, no fundo da floresta, troou um estampido horrível, que veio reboando pelo espaço; dir-se-ia o trovão, correndo pelas quebradas da serrania. Era tarde. Não havia tempo para fugir; a água tinha soltado o seu primeiro bramido, e, erguendo o colo, precipitava-se, furiosa, invencível, devorando o espaço como um monstro do deserto. Peri tomou a resolução pronta que exigia a iminência do perigo: em vez de ganhar a mata suspendeu-se a um dos cipós, e, galgando o cimo da palmeira, aí abrigou-se com Cecília. A menina, despertada violentamente e procurando conhecer o que se passava,interrogou seu amigo. – A água!... respondeu ele apontando para o horizonte. José de Alencar, O Guarani Sobre o fragmento acima, afirma-se que: 1. Enaltece a força da natureza brasileira. 2. Exalta a coragem do silvícola. 3. Refere um símbolo da fusão dos valores nativos e europeus. 4. “Pronta” (4.o parágrafo), no texto, signifi- ca “preparada”. 5. “Monstro do deserto” (3.o parágrafo) e “A água!” (6.o parágrafo) são duas me- táforas. Assinale a alternativa que contém duas afirmações INCORRETAS. a) 1 e 2. d) 1 e 5. b) 2 e 3. e) 4 e 5. c) 3 e 4. 02. (FGV) Publicados quase simultanea- mente, Memórias Póstumas de Brás Cubas e O Mulato, ambos os roman- ces praticamente inauguram dois mo- vimentos literários no Brasil. Num deles, predomina a profundidade da análise psicológica e, no outro, a preocupa- ção com as leis da hereditariedade e a influência do ambiente sobre o ho- mem. Esses movimentos foram: a) O Modernismo e o Pós-modernismo. b) O Futurismo e o Surrealismo. c) O Barroco e o Trovadorismo. d) O Romantismo e o Ultra-romantismo. e) O Realismo e o Naturalismo. Desafio literário ALVARENGA, Beatriz et al. Curso de Física. São Paulo: Harbra, 1979, 3v. ÁLVARES, Beatriz A. et al. Curso de Física. São Paulo: Scipicione, 1999, vol. 3. BIANCHINI, Edwaldo e PACCOLA, Herval. Matemática. 2.a ed. São Paulo: Moderna, 1996. BONJORNO, José et al. Física 3: de olho no vestibular. São Paulo: FTD, 1993. CARRON, Wilson et al. As Faces da Física. São Paulo: Moderna, 2002. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, 2000. GIOVANNI, José Ruy et al. Matemática. São Paulo: FTD, 1995. Grupo de Reelaboração do Ensino de Física (GREF). Física 3: eletromagne- tismo. 2.a ed. São Paulo: Edusp, 1998. PARANÁ, Djalma Nunes. Física. Série Novo Ensino Médio. 4.a ed. São Paulo: Ática, 2002. RAMALHO Jr., Francisco et alii. Os Fundamentos da Física. 8.a ed. São Paulo: Moderna, 2003. TIPLER, Paul A. A Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 2000, 3v. DESAFIO MATEMÁTICO (p. 3) 01. D; 02. D; 03. B; 04. B; 05. C; 06. A; 07. C; 08. A; 09. E; 10. A; DESAFIO MATEMÁTICO (p. 4) 01. A; 02. C; 03. A; 04. A; 05. E; 06. E; 07. C; 08. A; DESAFIO MATEMÁTICO (p. 5) 01. D; 02. B; 03. B; 04. B; 05. A; 06. A; 07. D; 08. C; DESAFIO FÍSICO (p. 7) 01. D; 02. C; DESAFIO FÍSICO (p. 8) 01. a) 90N e b) 2,5m/s2; DESAFIO FÍSICO (p. 9) 01. E,C e C; 02. a) 3m/s2 e b) 15N ; 03. V, V, V, V, V e F; 04. a) 1,6m/s2, b) 16m/s e c)O móvel continuará em MRU; DESAFIO GRAMATICAL (p. 10) 01. C; 02. E; 03. D; 04. E; PERSCRUTANDO O TEXTO (p. 10) 01. C; 02. E; 03. B; 04. D; 05. A; 06. B; 07. C; 08. B; 09. D; 10. A; CAIU NO VESTIBULAR (p. 11) 01. E; 02. D; 03. A; 04. C; Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo Gonçalves Pró-Reitor de Planejamento e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir Albuquerque Coordenadora Geral Munira Zacarias Coordenador de Professores João Batista Gomes Coordenador de Ensino Carlos Jennings Coordenadora de Comunicação Liliane Maia Coordenador de Logística e Distribuição Raymundo Wanderley Lasmar Produção Aline Susana Canto Pantoja Renato Moraes Projeto Gráfico – Jobast Alberto Ribeiro Antônio Carlos Aurelino Bentes Heimar de Oliveira Mateus Borja Paulo Alexandre Rafael Degelo Tony Otani Editoração Eletrônica Horácio Martins Encarte referente ao curso pré-vestibular Aprovar da Universidade do Estado do Amazonas. Não pode ser vendido. Este material didático, que será distribuído nos Postos de Atendimento (PAC) na capital e Escolas da Rede Estadual de Ensino, é base para as aulas transmitidas diariamente (horário de Manaus), de segunda a sábado, nos seguintes meios de comunicação: • TV Cultura (7h às 7h30); sábados: reprise às 23h Postos de distribuição: • Amazon Sat (21h30 às 22h) • RBN (13h às 13h30) reprise: 5h30 e 7h (satélite) • PAC São José – Alameda Cosme Ferreira – Shopping São José • Rádio Rio Mar (19h às 19h30) • PAC Cidade Nova – Rua Noel Nutles, 1350 – Cidade Nova I • Rádio Seis Irmãos do São Raimundo • PAC Compensa – Av. Brasil, 1325 – Compensa (8h às 9h e reprise de 16h às 16h30) • PAC Porto – Rua Marquês de Santa Cruz, s/n.° • Rádio Panorama de Itacoatiara (11h às 11h30) armazém 10 do Porto de Manaus – Centro • Rádio Difusora de Itacoatiara (8h às 8h30) • PAC Alvorada – Rua desembargador João • Rádio Comunitária Pedra Pintada de Itacoatiara Machado, 4922 – Planalto (10h às 10h30) • PAC Educandos – Av. 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