Integral tripla aula 1

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 Engenharias Cálculo IV 
 4° Sem. Apostila 2018 
Aula 1- Cálculo da Integral Tripla 
A região T é delimitada inferiormente pelo gráfico da 
função z = ℎ1(𝑥, 𝑦) e superiormente pelo gráfico z = 
ℎ2(x,y), onde ℎ1e ℎ2 são funções contínuas sobre a 
região R do plano xy, como mostra a figura. 
 
Representação 
∭ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑇 𝑑𝑉 
∭ ∫ ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝑑𝑧𝑑𝑦𝑑𝑥
ℎ(𝑥,𝑦)
ℎ(𝑥,𝑦)
𝑓2(𝑥)
𝑓1(𝑥)
𝑏
𝑎𝑇
 
Exemplo 1: Calcular I = ∭ 𝑥𝑑𝑉𝑇 , onde T é o sólido 
delimitado pelo cilindro x²+y²=25, pelo plano x+y+z=8 e 
pelo plano xy. 
 
Exemplo 2: Calcular I = ∭ 𝑦𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região 
delimitada pelos planos coordenados e pelo plano 
𝑥
3
+
𝑦
2
+ 𝑧 = 1. 
 
Exemplo 3: Expressar na forma de uma integral iterada 
tripla a integral I = ∭ 𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região delimitada 
por x²+y²+z²=4 e x²+y²=3z. 
 
Exemplo 4: Calcular I = ∭ (𝑥 − 1)𝑑𝑉𝑇 , sendo T a região 
do espaço delimitada pelos planos y=0, z=0, y+z= 5 e pelo 
cilindro parabólico z = 4 – x². 
 
Exercícios 
Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada: 
1)∭ 𝑥𝑦𝑧²𝑑𝑉𝑇 , onde T é o paralelepípedo retângulo 
[0,1]x[0,2]x[1,3]. Resp. 
26
3
 
 
 
 
2 
2) ∭ 𝑥𝑦𝑇 𝑑𝑉, onde T é a região delimitada por y=0, x=0, 
z=0, z=4-x² e y= 2. Resp. 
272
3
 
3) ∭ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑉𝑇 , onde T é o cilindro x²+y²≤1, onde 
0≤ 𝑧 ≤ 4. Resp. 2𝜋 
4) ∭ 𝑑𝑇 V, onde T é a região do primeiro octante 
limitado por x=4-y², y=z, y=0 e z=0. 
Resp. 4 – primeiro octante x> 0; y> 0; z > 0 
5) ∭ 𝑥𝑦𝑑𝑉𝑇 , sendo T a região acima do plano xy 
delimitada por z=4-x², y=0 e y = 4. Resp. 0 
 
2- Calcular ∭ √𝑥² + 𝑦²𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região limitada 
por z=x²+y²-4 e z=4-x²-y². 
3- Calcular ∭ 𝑥𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região interior às 
superfícies z=
1
4
(x²+y²) e x²+y²+z²=5. 
4- Calcular ∭ 𝑧𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região interior às 
superfícies z=-
1
4
(x²+y²) e x²+y²+z²=5. 
5- Calcular ∭ 𝑦𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região interior às 
superfícies z=
1
4
(x²+y²) e x²+y²+z²=5. 
6- Calcular ∭ 𝑧𝑑𝑉𝑇 , onde T é a região interior às 
superfícies z=
1
4
(x²+y²) e x²+y²+z²=5. 
7- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2)𝑑𝑉𝑇 , onde T é a esfera 
x²+y²+z²≤ 9. 
8- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior à esfera x²+y²+z²=9 e exterior ao cone z=√𝑥² + 𝑦². 
9- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior ao cone z=√𝑥² + 𝑦² e à esfera x²+y²+z²=9. 
10- Calcular ∭ (𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²)𝑇 𝑑𝑉 , sendo T a região 
interior à esfera x²+y²+z²=9 e ao cone x²+y²=z².