[Aula] Teoria da Decisão e Testes de hipóteses

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Universidade Federal de Uberlândia 
Faculdade de Engenharia Química 
Prof.ª: Camila Silveira Lamanes dos Santos. 
Uberlândia-MG 
Teoria da Decisão- 
Teste de Hipóteses 
Introdução 
• Na teoria da estimação, o objetivo é “estimar” o valor desconhecido 
de uma determinada característica em uma população; 
o Por exemplo, estimar a média µ da população. A estimativa é 
baseada na média 𝑥 de elementos com a característica, 
calculada a partir de uma amostra casual simples de tamanho n. 
• Entretanto, se o objetivo for saber se o valor observado de 
𝒙 nessa amostra, dá ou não suporte a uma conjectura sobre o valor 
de µ , trata-se de testar hipóteses. 
• O teste de hipóteses é uma regra de decisão para aceitarmos ou 
rejeitarmos uma hipótese estatística com base nos dados amostrais. 
 
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• Estimação e teste de hipóteses (ou significância) são os aspectos 
principais da Inferência Estatística 
 
 
• ESTIMAÇÃO 
• Estimar um parâmetro qualquer da população 
 
 
• TESTE DE HIPÓTESES 
• Decidir se determinada afirmação sobre um parâmetro populacional 
é, ou não, apoiada pela evidência obtida de dados amostrais 
 
Introdução 
Testes de hipóteses 
Objetivo 
 
• O objetivo da decisão estatística é utilizar ferramentas para 
verificar a validade de uma determinada hipótese. Para isso 
utilizam-se dados da amostra. 
o Geralmente, formulamos uma hipótese inicial de trabalho sobre 
um determinado parâmetro populacional (, , p, etc.) ou sobre 
o comportamento dos dados (O atributo X segue a distribuição 
normal; o atributo X segue a binomial; etc.) 
 
 
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Testes de hipóteses 
Definições 
 
• Hipóteses estatística: trata-se de uma suposição quanto ao valor de um 
parâmetro populacional, ou quanto à natureza da distribuição de 
probabilidade de uma variável populacional. 
o Exemplos: 
 O tratamento A apresenta melhores resultados do que o tratamento B. 
 A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 50%. 
• Sempre testa-se uma hipótese inicial (chamada na estatística de hipótese nula 
(Ho)) que será uma igualdade, contra uma hipótese alternativa (H1) que será 
uma desigualdade. 
o H0 é a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional. 
o H1 é a afirmação que deve ser verdadeira se a hipótese nula for falsa. 
 
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Exemplos 
 
 O tratamento A apresenta melhores resultados do que o 
tratamento B. 
Ho: pA = pB (proporção de curados de A é igual a proporção 
de curados de B) 
H1: pA > pB (proporção de curados de A é maior que de B) 
 A proporção de caras em lançamentos de moedas é de 0,50. 
Ho: p = 0,5 (proporção de caras é de 0,50) 
H1: p 0,5 (proporção de caras é diferente de 0,50) 
 A altura das plantas da nova variedade é inferior a 200 cm. 
Ho:  = 200 
H1:  < 200 
 
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Testes de hipóteses 
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O teste de hipótese pode ser: 
 bilateral: quando na H1 usamos o sinal “diferente”; 
 unilateral à direita: quando usamos o sinal “maior que” 
na hipótese alternativa; 
 unilateral a esquerda: quando usamos o sinal “menor 
que” na hipótese alternativa. 
 
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Testes de hipóteses 
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• Regiões de aceitação e de rejeição da hipótese Ho 
 
Com base na hipótese alternativa H1 e no valor obtido na tabela (Z,t,X², F) ao 
nível de significância α, define-se a região de rejeição de H0, conhecida como 
região crítica. 
 
 
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Testes de hipóteses 
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Testes de hipóteses 
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• Regiões de aceitação e de rejeição da hipótese Ho 
 
• Região de aceitação de H0 (RAH0): 
É a região, no gráfico da distribuição amostral, na qual aceitamos a 
hipótese H0. Esta região será determinada em função do tipo de teste 
que será realizado (bilateral ou unilateral). 
 
• Região Crítica (RC) ou Região de Rejeição de H0 (RRH0) 
É a região que nos levará a rejeição da hipótese H0 
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Testes de hipóteses 
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• Regiões de aceitação e de rejeição da hipótese Ho 
 
 Teste bilateral 
• H1 é a hipótese de que o parâmetro populacional é  de 
determinado valor; 
• Existem duas regiões de rejeição da hipótese Ho ( < 1 e  > 2) 
 
RRHo 
RAH0 
(1-) 
RRHo 
1 
2 
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Testes de hipóteses 
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• Regiões de aceitação e de rejeição da hipótese Ho 
 Teste unilateral 
• Existe apenas uma região de rejeição da hipótese H0 
 < 1 (unilateral a esquerda) 
θ> 1 (unilateral a direita) 
• A figura a seguir mostra o teste unilateral a direita. Para o unilateral 
a esquerda a RRH0 fica a esquerda. 
 RAH0 
(1-) 
RRHo 
1 12 
Testes de hipóteses 
• Unilateral à esquerda 
 
 
 
• Unilateral à direita 
 
 
 
• Bilateral 
 
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Testes de hipóteses 
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• Probabilidades envolvidas em um teste de hipóteses 
1. Erro tipo I 
 É a probabilidade de se rejeitar a hipótese H0 quando esta é 
verdadeira. Chamamos de  a probabilidade do erro tipo I. 
 O valor de  é, geralmente, um valor estipulado pelo 
pesquisador (geralmente 5% ou 1%) e é também chamado de nível de 
significância. 
 
2. Erro tipo II 
 É a probabilidade de não rejeitar H0 quando ela é falsa, a qual 
é indicada por , sendo que 1-  indica a eficácia. 
 
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Testes de hipóteses 
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• Probabilidades envolvidas em um teste de hipóteses 
 
• Poder de um teste (Eficácia) 
É a probabilidade de rejeitar H0 quando esta é falsa. 
Poder = 1 -  
• Coeficiente de confiança 
É a probabilidade com que se aceitará H0 , quando H0 é verdadeira. 
C= 1 -  
 
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Testes de hipóteses 
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Testes de hipóteses 
• Algoritmo para a realização de um teste de hipóteses 
1. Estabelecer a hipótese nula Ho 
2. Estabelecer a hipótese alternativa H1 
3. Escolher o nível de significância () 
4. Selecionar a estatística adequada 
5. Estabelecer a Região Crítica 
6. Calcular a estatística 
7. Conclusão: Rejeite H0 se a estatísticaestiver na região 
crítica, em caso contrário, aceitar H0 . 
 
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Testes de hipóteses 
Ho ESTATÍSTICA H1 R. CRITICA 
Uma Média 
=o POPULAÇÃO NORMAL OU AMOSTRAS 
GRANDES (n>30) 
Z
X
n
O
x

 
 /
 
<o 
>o 
 
o
 
Z<-z 
z>z 
z<-z/2 e z>z/2 
 
=o 
AMOSTRA PEQUENA (n<30) E 
VARIÂNCIA DESCONHECIDA 
t
X
S n
O
x

 
/
 
V=n-1 
<o 
>o 
 
o
 
t<-t 
t>t 
t<-t/2 e t>t/2 
 
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Testes de hipóteses 
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Ho ESTATÍSTICA H1 R. CRITICA 
Diferença entre duas médias 
 1 2  dO
 AMOSTRAS GRANDES (n1 e n2 >30) 
Z
X X
n n

  

( ) ( )
/ /
1 2 1 2
1
2
1 2
2
2
 
 
 
1-2<do 
1-2>do 
 
1 2
  d
o
 
Z<-z 
z>z 
z<-z/2 e z>z/2 
 
 1 2  dO
 
AMOSTRAS PEQUENAS (n1 e/ou n2<30) E 
VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E 
ESTATISTICAMENTE IGUAIS t
X X
s n n
v n n
s
n s n s
n n
p
p

  

  

  
 
( ) ( )
/ /
( ) ( )
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2
2 2
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 
 
1-2<do 
1-2>do 
 
1 2
  d
o
 
t<-t 
t>t 
t<-t/2 e t>t/2 
 
 1 2  dO
 
AMOSTRAS PEQUENAS (n1 e/ou n2<30) E 
VARIÂNCIAS DESCONHECIDAS E 
ESTATISTICAMENTE DESIGUAIS 
 t
X X
s n s n
v
s n s n
s n
n
s n
n

  






( ) ( )
/ /
( / / )
( / ) ( / )
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 
 
1-2<do 
1-2>do 
 
1 2
  d
o
 
t<-t 
t>t 
t<-t/2 e t>t/2 
D=do 
Amostras dependentes ( antes x 
depois) 
nS
dD
t
D
O
/


 v = n-1 
 
D<do 
D>do 
od
 
t < -t 
t > t 
t<-t/2 e t>t/2 
 
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Testes de hipóteses 
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Uma variância 
Ho ESTATÍSTICA H1 R. CRITICA 
2=O
2
 
2
2
2 1



S)n( 
2<O
2 
2>O
2 
2O
2
 
2<21- 
2>2 
2<21-/2 E 
2
>2/2 
Duas variâncias 
1
2=2
2 
f
s
s
v n
v n

 
 


2
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2
1
2
2
2
1 1
2 2
1
1
 
21<
2
2 
 
 
 
21>
2
2 
 
 
2
2
1
2   
f<
),(
1
12 vvf
 
 
f>f(v1,v2) 
 
f<
),(
1
12
2
vvf
 e f>
),( 21
2
vvf
 
 
 
 
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Duas proporções 
Ho ESTATÍSTICA H1 R. CRITICA 
p1-p2=po 
Z
p p p p
p q
n
p q
n

  

(   ) ( )
   
1 2 1 2
1 1
1
2 2
2
 p1-p2<po 
p1-p2>po 
p p p
o1 2
 
 
z<-z 
z>z 
z<-z/2 e z>z/2 
Uma proporção 
p=po 
n
qp
pp
Z O
^^
^


 p<po 
p>po 
p p
o

 
z<-z 
z>z 
z<-z/2 e z>z/2 
 
Testes de hipóteses 
21 
Exemplos 
1. O tempo médio do efeito anestésico em humanos tem 
sido de 50 minutos com um desvio padrão de 10 
minutos. Um novo anestésico está sendo testado. 
Neste novo método retirou-se uma amostra de 12 
pessoas, que apresentou tempo médio de 52 minutos 
e um desvio padrão de 11,9 minutos. Teste a hipótese 
de que a média populacional no novo anestésico é 
maior do que 50. Use significância de 5%. 
 
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Exemplos 
2. Um tratamento A é aplicado a 42 plantas. Um segundo 
grupo de 50 plantas recebeu o tratamento B. Os 
resultados de produção de matéria seca (g/planta) dos 
dois tratamentos são apresentados no quadro a seguir. 
Determine se há diferença entre as médias de 
produção dos dois tratamentos. Use significância de 
5%. 
 
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Exemplos 
3. Para duas amostras de espécie de cana de açúcar obteve-se os 
seguintes resultados de diâmetro a altura do peito (DAP), em cm: 
Amostra A: n= 15; DAP médio = 35 cm; desvio padrão = 5 cm; Amostra 
B: n = 13; DAP médio = 32 cm; desvio padrão = 3 cm . 
a. Teste a hipótese que a variância de B é maior que 15 cm2, com 
significância de 5%. 
b. Teste a hipótese de que a variância de A é maior que a variância de B, 
com uma significância de 1%. 
c. Utilizando as informações do item anterior verifique se o diâmetro a 
altura do peito (DAP), de A é estatisticamente igual ao de B. Use 
significância de 1%. 
 
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Exemplos 
4. Um pesquisador faz uma suposição que não existe 
diferença significativa entre a opinião de dois grupos 
independentes de pessoas com relação a um 
determinado assunto. Ele realiza uma experiência com 
50 pessoas do grupo A e com 70 pessoas do grupo B, 
obtendo o seguinte números de respostas favoráveis: 
35 para A e 55 para o grupo B. Utilizando significância 
de 1%, o pesquisador está correto? 
 
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25 
Exemplos 
5. Para verificar o efeito de um determinado tipo de 
treinamento no reflexo de cães, seis animais foram 
avaliados antes e após o tratamento. Os resultados de 
tempo de reação foram: 
 
 
 
Com base nesta amostra, pode-se dizer que o tempo de 
reação diminuiu? Use significância de 5%. 
 
 
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