Lista de Exercícios Gravitação, Oscilações

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO 
SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO 
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP 
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
Lista de Exercícios – Física Geral II 
Gravitação, Oscilações e Ondas 
 
 
 
 
A lei da gravitação: Toda partícula no universo atrai as outras partículas com uma força 
gravitacional cujo módulo é dado por: 
 
�⃑� = 𝐺 
𝑚1𝑚2
𝑟2
 
(Lei da gravitação de Newton) 
Onde m1 e m2 São as massas das partículas, r é a distância entre elas e G (= 6,67 x 10
-11 N 
m2/kg²) é a constante gravitacional (Figura 1). 
 
 
Figura 2. No caso de duas esferas homogêneas a distância a ser considerada, para a aplicação 
da Lei da Gravitação Universal, é entre os centros de massa das esferas. 
 
 
 
 
 
Figura 1. A galáxia de Andrômeda. 
Situada a2,3 x 106 anos-luz da Terra 
e fracamente visível a olho nu. 
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Planetas e satélites: As leis de Kepler 
 
1. Lei das órbitas: Todos os planetas se movem em orbitas elíptica, com o sol em um dos 
focos (Figura 3). 
2. Lei das áreas: A reta que liga um planeta ao sol varre áreas iguais no plano da órbita do 
planeta em intervalos de tempos iguais (Figura 4). 
3. Lei dos períodos: O quadrado do período de qualquer planeta é proporcional ao cubo do 
semieixo maior da órbita. 
𝑇2 = (
4𝜋2
𝐺𝑀
) 𝑟3 
Ou 
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 =
𝑇2
𝑅3
 
 
 
 
Figura 3. Planeta de massa m em órbita elíptica em torno do Sol. O Sol, de massa M, está em 
um foco F da elipse. O outro foco é F’, que está localizado no espaço vazio. O semieixo menor 
da Elipse, o periélio (mais próximo do Sol) Distância Rp, e o afélio (mais distante Do Sol) 
distância Ra, também são mostrados. 
Onde: 
T = Período (Anos) 
r = Raio médio ou semieixo maior/excentricidade (m) 
M = Massa do corpo central o qual o planeta gira (kg) 
G = Constante Gravitacional (Nm²/kg²) 
 
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Figura 4. No instante Δt, o segmento de reta r que liga o planeta ao sol se desloca um ângulo 
Δθ, varrendo uma área ΔA (sombreada). 
 
 
1) Calcule a distância entre uma partícula de massa 5,2 kg e outra de 2,4 kg para que a força de 
atração gravitacional entre elas seja igual a 2,3 x 10-12 N. (r = 19m). 
2) Talvez existam miniburacos negros no universo, produzidos logo após o big bang. Se um 
desses objetos, com uma massa de 1 x 1011 kg (e um raio de 1 x 10-16 m) se aproximasse da 
Terra, a que distância da sua cabeça a força gravitacional do miniburaco seria igual à da Terra? 
(r= 0,8). 
3) Aplicação Biológica. Algumas pessoas pensam que os astronautas no ônibus espacial a 400 
km de altura, se tornam “sem peso” porque eles ficam além do alcance da gravidade da Terra. 
Isto é completamente incorreto. Calcule o valor de g na altura da órbita do ônibus espacial. 
Explique por que e os astronautas no ônibus espacial ficam flutuando “sem peso”. 
4) Quando paramos para observar a beleza das estrelas no céu noturno, dificilmente temos a 
sensação de que a Terra está se movendo. Aliás, mesmo durante o dia, enquanto estamos 
ocupados com as nossas atividades cotidianas, é difícil imaginar que o planeta se encontra em 
constante movimento. Não percebemos que o sistema solar está em movimento, e que a nossa 
galáxia está em movimento no universo. Esses movimentos geram uma velocidade combinada 
de aproximadamente 800 Km/s. Faça um esquema do descolamento do sistema solar dentro da 
Via Láctea. 
Ref: “Mega Curioso”, Você tem ideia de com qual velocidade estamos viajando pelo universo? 
(https://www.youtube.com/watch?v=UYlHJI_uPU0). 
5) Na Figura 5, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas m1 = 
5,00 g, m2 = 3,00 g, m3 = 1,00 g e m4 = 5,00 g. Em notação de vetores unitários, qual é a força 
gravitacional resultante exercida por elas sobre uma esfera central com massa m5 = 2,50 g? (F 
= 1, 18×10−14 N �̂� + 1, 18×10−14 N 𝒋̂). 
 
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Figura 5. Exercício 5. 
6) Na Figura 6, duas partículas puntiformes estão mantidas sobre um eixo x e separadas por uma 
distância d. A partícula A possui massa mA e a partícula B possui massa 3,00 mA. Uma terceira 
partícula C, de massa 75,0 mA, deve ser colocada sobre o eixo x, próxima das partículas A e B. 
Em termos da distância d, em que valor da coordenada x deveria C ser colocada de modo que 
a força gravitacional resultante exercida pelas partículas B e C sobre a partícula A fosse nula? 
(x = -0,5d) 
 
 
Figura 6. Exercício 6. 
 
7) Na Figura 7, três partículas puntiformes estão fixas em um plano xy. A partícula A possui massa 
mA, a partícula B possui massa 2,00mA, e a partícula C possui massa 3,00mA. Uma quarta 
partícula D, com massa 4,00mA, deve ser colocada nas proximidades das outras três. Em termos 
da distância d, em que valores das coordenadas (a) x e (b) y a partícula D deveria ser colocada 
de modo que a força gravitacional resultante exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula 
A fosse nula? ((a) x = 0.716d; (b) y = −1.07d.) 
 
 
Figura 7. Exercício 7. 
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8) Um satélite é colocado em orbita em torno da terra com raio igual a metade do raio da Lua. 
Qual o período de revolução desse satélite em meses lunares (um mês lunar é o período de 
revolução da lua). 
9) (a) Qual a energia potencial gravitacional do sistema de duas partículas do exercício 1? Se você 
triplica a distância entre as partículas, qual o trabalho realizado (b) pela força gravitacional 
entre as partículas e (c) por você? (a) 4,4x10-11 J (b) 2,9x10-11 J (c)2,9x10-11 J. 
10) (a) Que velocidade linear um satélite da Terra deve ter para estar em órbita circular 160 Km 
acima da superfície da Terra? (b) Qual é o período da revolução? (a) v = 7,82x103 m/s (b) 
5,25x103 s. 
11) Um satélite é colocado em órbita circular em torno da terra, com um raio igual a metade do 
raio da órbita da lua. Qual seu período de revolução em meses lunares? (Um mês lunar é o 
período de revolução da lua). Ts=0,35. 
12) Fobos, um satélite de Marte, se move em uma órbita aproximadamente circular com 9,4x106 
metros de raio e um período de 7h 39min. Calcule a massa de Marte a partir dessas 
informações? Não entendi como fazer, a resposta 6,5x1023. (M = 6,25x1023 kg). 
13) O Sol, que está a 2,2x1020 do centro da Via Láctea, completa uma revolução em torno deste 
centro a cada 2,5x108 anos. Supondo que todas as estrelas da galáxia possuem uma massa igual 
a massa do Sol de 2,0x1030, que as estrelas estão distribuídas uniformemente em torno do centro 
da galáxia e que o Sol se encontre na borda dessa esfera, estime o número de estrelas na 
Galáxia. (5,1x1010). 
14) Um satélite colocado em órbita elíptica, cujo ponto mais distante está a 360 km da superfície 
da Terra e cujo ponto mais próximo está 180 km da superfície. Calcule o semieixo maior e a 
excentricidade da órbita. (6,64x106m e 0,0136) 
 
Oscilações 
 
15) Um objeto sujeito a um movimento harmônico simples leva 0,25s para ir de um ponto de 
velocidade zero até o próximo ponto onde isso ocorre. A distância entre esses pontos é de 36 
cm. a) Calcule o período do movimento. b) Calcule a frequência do movimento. c) Calcule a 
amplitude do movimento. (a) T = 0,50 s (b) f = 2,0 Hz (c) 18 cm 
16) Um corpo de massa 0,12 Kg executa um Movimento Harmônico Simples (MHS) com 
amplitude de 8,5 cm e período de 0,20 s. (a) Qual o módulo da força máxima agindo sobre ele? 
(b) Se for uma mola, qual a constante elástica? (a) Fmáx = 10 N e (b) k = 118,3 N/m. 
17) Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm, e 
uma frequencia de 6,60 Hz? a= 37,8 m/s2 
18) Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser consideradocomo estando 
apoiado em quatro molas iguais. As molas de um certo carro são ajustadas de tal forma que as 
oscilações têm uma frequência de 3,00 Hz. (a) Qual é a constante elástica de cada mola se a 
massa do carro é 1450 kg e está igualmente distribuída pelas molas? (b) Qual será a frequência 
de oscilação se cinco passageiros pesando, em média. 73,0 kg entrarem no carro e a distribuição 
de massa continuar uniforme? (a) k = 1,29x105 N/m (b) f = 2.68 Hz. 
19) Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para a frente e para trás por uma distância de 2,00 
mm em MHS, com uma frequência de 120 Hz. Encontre (a) a amplitude, (b) a velocidade 
máxima da lâmina e (c) a intensidade da aceleração máxima da lâmina. (a) 6,28x105 rad/s (b) 
1,59x10-3 m. 
 
 
 
 
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20) Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x(t) é da forma x = 
xm cos (ωt + ϕ)? A escala do eixo vertical é definida por xs = 6,0 cm. ϕ = +1,91 rad ou -4,37 
rad. 
 
 
21) Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função velocidade v(t) aparece na figura 
abaixo se a função posição x(t) é da forma x = xm cos (ωt + ϕ)? A escala do eixo vertical é 
definida por vs = 4,0 cm/s. ϕ = 0,927 rad ou +5,36 rad. 
 
 
Referencias: 
 
Ref: “Física”, Tipler & Mosca (6a ed.). 
 
Ref: “Fund. De Física”, Halliday (9a ed.). 
 
Ref: “Mega Curioso”, Você tem ideia de com qual velocidade estamos viajando pelo universo? 
https://www.youtube.com/watch?v=UYlHJI_uPU0. Acessado 21/04/2017.