CIRCUITOS C.A 01

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1 
CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA 
 
 
Seja uma função senoidal no domínio do tempo v(t): 
 
  )1(.cos.)(   tVtv m 
 
Vm : amplitude máxima da onda; ω : freqüência angular em radianos/segundo; 
 
ϕ : ângulo de fase; 
Hz
T
FsegradF
1
/2   
 
 
 
Se o ângulo de fase ϕ for igual a zero tem-se: 
 
 
 2 
 
Seja agora duas funções: z = cos ( x) e y = sin ( x ): 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
    senje j .cos  
 
    senje j .cos  
 
    )2(
2
cos
 jj ee   
 
Fazendo: 
 
 
).(   t 
 
 
 
Substituindo a eq. ( 2 ) na eq. ( 1 ) tem-se: 
 3 
   
]..[.
2
1
)(
])..(.).([.
2
1
)(
]..[.
2
1
)(
..
..
..
tjtj
tjj
m
tjj
m
tj
m
tj
m
eVeVtv
eeVeeVtv
eVeVtv









Esta última equação representa uma função senoidal através da metade da soma de 
dois complexos conjugados, denominados fasores girantes:. 
 
tjtj eVeV .. .;.   
 
 
 
 
 
 
 
Num instante determinado instante denominado t = 0 teremos: 
 
 
 
V.e j wt 
V*.e - j wt 
 
Real 
Imaginário 
 4 
 
 
 
 
 
 
 
)(cos. VVR  
 
 
Considere agora um circuito que não contem fontes independentes (circ. Morto) 
energizado por uma fonte de tensão v(t) = V.e j.w.t (fasor girante): 
V 
Real 
Imaginário 
VR 
VJ 
ϴ 
V
 
V
* 
 
Real 
Imaginário 
 5 Circuito
“ Morto “
+
v(t)
-
i(t) v(t) e i(t) são fasores girantes;
v(t) = V . e j wt
i(t) = I . e j wt
 
 
 
Se o elemento (equivalente) do circuito for um resistor: 
 
 
R Ω
+ v(t) -
i(t)
v(t) = R . i(t)
V . e j wt = R. I . e j wt 
V = R . I
R = ZR = V / I Ω
 
 
Considerando: ZR = 4 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ), a tensão será: v(t) = 4.cos ( w.t ) 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
 
 
A impedância Z, por definição, é a relação entre um FASOR TENSÂO e um FASOR 
CORRENTE, cuja unidade é ohm ( Ω ). Em uma impedância puramente resistiva 
tensão e corrente estão em fase. 
 
Se o elemento do circuito for um indutor: 
 
 6 
 
+ v(t) -
i(t)
L h
 
 
 
td
eId
LeV
td
tid
Ltv
twj
twjL
L
.
.)()( 
 
 
 
   Lwj
I
V
ZeIwjLeV L
twjtwj .. 
 
Considerando: ZL = j 2 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ); v(t) = 2.cos ( w.t + 90
0 ) 
 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
 
 
 
 
Em uma impedância puramente indutiva, a corrente está atrasada da tensão de 
um ângulo igual a 900. 
 
 
 
 
 
 7 
Se o elemento do circuito for um capacitor: 
 
 
+ v(t) -
i(t)
C f
 
 
 
 
 
td
eVd
CeI
td
tvd
Cti
twj
twjc
c
.
.)()( 
 
 
 
  
CwjI
V
ZeVwjCeI C
twjtwj 1;
 
 
 
Considerando: ZL = j 2 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ); v(t) = 2.cos ( w.t - 90
0 ) 
 
 
0 2 4 6 8 10 12 14
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
 
 
 
Em uma impedância capacitiva pura a corrente está adiantada da tensão de 900 
 
 
 
 8 
 
Componente Impedância Z = V / I Ω 
 
Resistor 
RZR 
 
Indutor 
0
L 90)Lw(LwjZ 
 
Capacitor 
0
C 90
Cw
1
Cw
j
Cwj
1
Z 


 
 
Admitância Y = 1 / Z 
 
 
 
 
 
X
R
|Z|
ϴ
B
G
|Y|
ϴ
Z = R + j.X Y = G + j.B
 
 
 
 
 
ϴ é o ângulo do fator de potencia, ou o ângulo da impedância equivalente vista 
pela fonte. 
 
O fator de potencia é igual ao cos(ϴ), que poderá ser indutivo ou capacitivo 
(atrasado ou adiantado). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 9 
DIAGRAMAS FASORIAIS ELEMENTARES: resistor; indutor; capacitor. 
 
Admitindo o fasor corrente I como referência, isto é: I = I / 00 
 
 
 
+ vR(t) - + vL(t) - + vC(t) -
iR(t)
iL(t) iC(t)
VR
Real
j
IR
VL
IL Real
j
90
0
VC
j
IC
Real
- 90
0
Tensão em fase 
com a corrente
Corrente está 
atrasada da tensão 
de 90
0
 , em um 
indutor puro
Corrente está adiantada 
da tensão de 90
0
 , em um 
capacitor puro
 
 
 
 
Para o circuito abaixo, considerando a freqüência do sistema w = 2 rad/seg e I0 = 2 / 0
0
, por 
diagrama fasorial determinar a valor da fonte E1(t). 
 
E1(t)= ?
6 Ω 2 H 1/16 F
i0(t)
 
 
 
 
 
 
 
Representando o circuito acima no domínio da freqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10 
 
ZR = 6 Ω; ZL = j.w.L = j 4 Ω; Z C = - j / ( WC) = - j 8 Ω 
 
j 4 Ω6 Ω
- j 8 ΩE1
I0
+
VC
-
+ VL -+ VR -
+
-
 
 
 
 
VR = 12/ 00 IR = 2 /0
0
VL = 8 / 900
VC = 16 / - 900
VL + VC
E1 = E1 / - θ
- ϴ
 
 
 
 
 
 
 11 
109 Para o circuito abaixo determinar V0 e i0 
 
 
 
240 80
j 240- j 800.2 / 0
0 A
+
V0
-
i0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 12 
110 Determinar a tensão da fonte VG e a corrente IG, conhecendo ia e i1. 
R: VG = ( 7,3 + j 4,1 ) volts ; IG = ( 100 + j 100 ) mA 
 
 
25
160
120
j 40 - j 80
VG
ia
i1
ia = 40 / 00 mA; i1 = ( 40 + j 80 ) mA.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13 
 
111 Dado Ia = - j 5, determinar a impedância Z. 
R: Z = ( 7,5 – j 2,5 ) 
 
 
j 2
- j 8
j 5
- j 5
6
60 / 00
ia
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14 
112 Determinar a impedância Z para se obter potencia máxima de saída. 
( | Z | = 14,5 Ω ) 
 
12
- j 12
87 / 003
12
12
12
j 12
Z
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
113 Determinar a tensão V0. R: V0 = 96 + j 128 = 160 / 53,13
0 
 
 
20
j 12
- j 20
- j 100
500 / 00
80
+
V0
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16 
114 Determinar a tensão V0. 
R: V0 = j 10 
 
5
 - j 5
+
V0
-
j 12
j 3
- j 3
5 A
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
115 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) usando: Teorema de Thevenin; 
equação de nó; equação de malha; R: v0(t) = 1,96 cos (10 t – 81,3
0 ). 
 
 
10cos(10t + 20
0
)
1/2
1/5 H
1/2
1/10 H
1/10 F
1
+
v0(t)
-
+
-
 
 
 
Representação no domínio da freqüência: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
116 Determinar a impedância de entrada para o circuito abaixo. 
R: Zi = 3 – j 7,5 = 8,08 / - 68,2
0 
 
- j 1 Ω
- j 2 Ωj 4 Ω
j 1 Ω
1 Ω
2 Ω
Z i
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19 
117 Determinar as tensões V1, V2 e V3 e as correntes I1 e I2. VF = 150 / 0
0 . 
R: V1 = ( 78 –j 104 ); V2 = ( 72 + j 104 ); V3 = ( 150 – j 130 ) 
I1 = ( - 26 – j 52 ); I2 = ( - 2 + j 6 ); I3 = ( - 24 – j 58 ) 
 
 1 Ω j2 Ω 1 Ω
j3 Ω
 12 Ω
- j16 Ω
VF
39.Ia V Ia
I2
I1 + V0 -V120 
118 Determinar as Correntes Ia , Ib e Ix 1 Ω j 2 Ω 5 Ω
10 Ω
10,6/0
0
20.Ix
- j 5 Ω
Ix
Ib
Ia
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21 
119 Determinar V1 e V2 usando equações de nó. 
 R: V1 = 5,13 / 47,3
0 ; V2 = 8,18 / 157
0 
 
 0,25 - j 0,2
20 / 15
0
0,230 /40
0
0,4
15 /20
0
V2V1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22 
120 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) usando o T. Thevenin. 
R: Eoc = - 2,24 / 26,50 ; Zth = j 1 Ω 
 
 
 
1 / - 90
0+
-
1
1
- j 1
1
+
V0
-
I2 = 2 I1
I1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23 
 
121 Determinar a tensão v0(t) para o circuito abaixo sabendo que: 
E1(t) = 3 + 10 cos (t) + 3 cos ( 3t + 30
0 ). 
 
R: v0(t) = 1 / 3 + 1.cos( t – 36,9
0 ) + ( 1 / 6).cos( 3t - 600 ) 
 
E1(t)
+
v0(t)
-
1 F
1/2
4
1 H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
122 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) se e1(t) = 10 cos ( 2t + 30
0 ). 
Usar equações de malha e equações de nó. R: V0 = - 2,6 / - 18
0 ; I0 = - 0,26 / - 18
0 
 
 
e1(t)
2 H 2 H
2 Ω1/2 F
1/2 F
1 Ω +
v0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
123 Determinar a tensão e0(t) usando Thevenin 
 
- j 40 Ω
12 120
60
120 /0
0
10 Vx
+
Vx
-
10
+
e0(t)
-
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 26 
124 Determinar v0(t) para o circuito abaixo por equações de malha e de nó: 
i1(t) = sen ( 2t ); i2( t ) = 3 sen (2t ) 
 
R: V0 = 2.√ 2 cos ( 2t - 135
0 ); para referencia seno: v0(T) = 2. √2 sem ( 2t – 45
0 ) 
 
1 Ω
+
v0(t)
-
2
1
i1(t)
i2(t)
1/4 F
1/4 F
2 H
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
 
125 Determinar a corrente io(t) para o circuito abaixo: i1 (t) = 2.cos ( 2t) ; 
 e3(t) = 2. i2(t) R: I 0 = 0,357 / - 116,5
0 
 
 
2 H 3 Ω
1
1+ e3 (t) -
i0(t)
1/2 F
i1(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 28 
126 Determinas a tensão v0(t) para o circuito abaixo, por equação de nó, equação 
de malha e pelo T. Thevenin. e1(t)= 10 cos(2t + 30) R: V 0 = 20 / 30
0 
 
 
 e1(t)
1/4 F1/2 F
1/4 F 1
1/2 H
2
+
e2(t)
-
+
v0(t)
-
+
-
3 Ω
i3(t) = 2.e2(t)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 29 
 
127 Determinar o valor de C para se obter potencia máxima em R0. 
E1 = 10.cos 2t
1 Ω
R0 = 1 Ω
½ H
C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
128 Para que valor de C0 a corrente em R0 será máxima? R : C0 = 4 / 5 F. 
 
C0
2 F
 e3(t) = 3.i1(t) 
- +
R0
1/2
1/2
i1(t)
+
e1(t)
-
e1(t) = √2.cos( 2t – 45
0 )
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
129 Determinar o fasor E0 por diagrama fasorial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R3
L3
R4
L4
R2
R1
+ -
E0
EF
EA
EB
EC
ED
E1
E2
IF I1
IA
Real
j
90
0
ED
EBEA
E0
E2E1
IA
I1
θ
 32 
130 Usar equações de malha para determinar a corrente I2 no resistor de 6 ohms. 
R: I2 = 3,62 / - 45,8
0 
 
j 10 Ω
- j 8 Ω- j 12 Ω
16
100 / 20
0+
-
8
6
I1
I3
I2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 33 
 
131 Determinar as correntes de malha: 
- j 18 Ω
5
i3
- j 8 Ω
j 6 Ω j 4 Ω
j 8 Ω
5,83 / - 31
0
4,12 / 14
0
- j 4 Ω
5
8
10
3
+
-
+
-
i1 i2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 34 
 
132 Determinar o circuito de Thevenin equivalente entre os pontos A e D. 
VF = 120 / 0
0
 
 
63,2 Ω
j 2,4 Ω
12 Ω
j 4 Ω
- j
 4
 Ω
3,
2 
Ω
- j
 2
,4
VF
8 Ω
- j 2,4 Ω
A
B
 
 
 
 35 
Zc
ZbZa
Z1
Z2 Z3
a
b
c
 
Transformação: ∆ → Y 
 
 
.
1
Za Zb
Z
Za Zb Zc

 
 .
2
Za Zc
Z
Za Zb Zc

 
 
 
.
3
Zb Zc
Z
Za Zb Zc

 
 
 
 
Transformação Y → ∆ 
 
1. 2 1. 3 2. 3
3
Z Z Z Z Z Z
Za
Z
 
 
 
 
1. 2 1. 3 2. 3
2
Z Z Z Z Z Z
Zb
Z
 
 
 
1. 2 1. 3 2. 3
1
Z Z Z Z Z Z
Zc
Z
 

 
 
 36 
POTENCIA INSTANTANEA 
 
Potência gerada, absorvida ou fornecida por um circuito em um instante de 
tempo t. É definida como o produto da tensão pela corrente. 
 
p(t) vs(t)is(t) 
 
Exemplo: Dado um circuito RL onde 
 
R
L
vs(t)
vL(t)
vR(t)
is(t)
 
 
 
vs(t ) Vm cos (w t ) i(t) Im cos(wt ϴ ) w = 2. . f = 2. / T ; 
 
ϴ = V I (ϴ ângulo entre a tensão e a corrente, ou ângulo da 
 
impedância equivalente vista pela fonte ) 
 
 
Potência gerada pela fonte: 
 
pg (t) vs(t). is(t) Vm cos(wt) Im cos(wt  ϴ ) 
 
sendo: cos(a). cos(b) = { cos(a + b) + cos(a – b) } / 2 

pg (t) Vm[ Im / 2 ].[ cos(2wt - ϴ ) cos( ϴ ) ] 

 
Z( jw) R jwL Z2 R2 (wL) 2 Z ϴ tan1 (wL / R)




 37 

Potência absorvida pelo resistor 


pR (t) vR (t) i(t) Ri
2
 (t) R Im
2
 ) / 2 x [cos ( 2wt ϴ ) + 1 ] 
 
cos
2(α) [1cos(2 α)] / 2 
 
 
 
Potência absorvida pelo indutor 

pL (t) = vL (t) i(t) 
 
vL (t) w..L Im cos(wt ϴ 90) 
 
 
pL (t) w.L.I m cos(wt ϴ 90).Im cos(wt ϴ ) 
 
 
pL (t) w.L.Im cos(wt ϴ 90) . Im cos(wt  ϴ ) 
 
 
pL (t) = w.L.Im
2
.[ cos( 2wt ϴ 90) ] / 2 
 
 
 
Potência média 
 
Por definição: 
 

Tt
t
med dttp
T
dttp
tt
p
0
21
.)(.
1
.)(.
1 2
1

onde T é o período da onda senoidal. 
 
para o circuito RL série calculamos a potência gerada por uma fonte senoidal 
 
 
Cálculo da Potência média gerada para o mesmo circuito 
 
 
 
 38 
 
T
MM
med dtt
IV
T
p
0
)].cos()2cos([.
2
.
.
1 




T
MM
med t
tsen
T
IV
p
0
)cos(.
.2
)2(
.
.2
.








 



 
 
 
 )cos(.
2
. MMmed
IV
p  

Potencia média absorvida pelo resistor: 

watts
IRV
p
RR
med
2
.
2
22
 
 
 
Potencia média absorvida pelo indutor: 0 watts. 
 
 
Valoreficaz de uma onda periódica 
 
 
 
T T
med dt
R
tv
T
dttiR
T
p
0 0
2
2 )(
.
1
)(..
1 
 39 
R
V
IRdtti
T
Rp RMSRMS
T
med
2
2
0
2
.)(.
1
. 





  


Como a corrente é uma onda periódica senoidal: 

 
 
 
T
M
T
RMS dttI
T
dtti
T
I
0
22
0
2
)(cos..
1
)(.
1 



2
.
2
])2cos(1[
..
1
0
2 MAX
T
MRMS
I
dt
t
I
T
I 

 



2
MAX
RMS
V
V  
 
 
 
POTENCIA COMPLEXA 
 
 
 ( ) 2. .cosrmsv t V wt  
 
 
 
 ( ) 2. .cosrmsi t I wt     
 
 
 40 
. ; .rms rmsV V V I I I          
 
 
. . 2.V I V I    
 
Como as potencias ativa (P) e reativa (Q) não dependem do ângulo de fase Ф 
admitido para a tensão, o produto V.I não é uma grandeza significativa. Para se 
evitar a dependência indesejável do ângulo Ф considera-se então: 
 
   . . .V I V I V I       
 
. . .cos . . .V I V I j V I sen    
 
: . .Potencia complexa V I P j Q  
 
Q
P
S
θ
 .S V I 
 
 
 
 
 
 
133 Para a carga no circuito abaixo, as tensões são de 200 V eficazes. Determinar 
a potencia total real e reativa fornecida à carga e as leituras de cada watímetro. 
 
 41 
W1
W2
a
b
c
+
Vab
-
+
Vbc
-
-
Vca
+
10 Ώ
10 Ώ
10 Ώ
- j10 Ώ
J 10 Ώ
I3
I1
I2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 42 
134 Determinar a potencia média consumida por cada uma das duas impedâncias 
de carga e as leituras de cada watímetro. 
 
 
Za = 10/60
o
Zc = 10/60
o
W3
W1
Ic
Ib
Ia+
E2
-
+
E1
-
+
E3
-
E1 = 120 /0
o
 E2 = 120 /120
o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 43 
 
135 Determinar o fasor de corrente Ia. 
 
 
3 Ώ j 4 Ώ
3 Ώ j 4 Ώ
3 Ώ j 4 Ώ
1.200 W e f.p 
0,8 atrasado
Ia
a
b
c
E1 = 100 /0
E2= 100 /120
+
E3=
-
+
-
+
-
I2
I1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
 
136 Determinar a tensão entre os pontos A e B usando Thevenin 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 45 
FATOR DE POTENCIA 
 
 
Porque as companhias de energia elétrica se preocupam com o fator de 
potência? De que forma o consumidor pode controlar o fator de potência? 
 
Exemplo: VRMS = 220 V, P = 1 kW, fp = c0s (ϴ) = 0,5 indutivo, 
 
Rlinha = 5 Ω 
 
09,9
5,0220
1

x
kw
I RMS
 
 
Perdas na linha para fp = 0,5: P = R x I
2
 = 5 x (9,09)
2
 = 413 Watts 
 
Se fp = 1: IRMS = 1000/220 = 4,54 Perdas = 5 x (4,54)
2
 = 103 Watts 
 
É interesse da concessionária de energia elétrica que o consumidor mantenha o 
fator de potência próximo de 1 para diminuir as perdas na transmissão. (preços 
maiores para baixo fp) 
 
 
Assim, quanto menor o fp maior a corrente fornecida pela concessionária de 
energia elétrica e maior será a perda na transmissão. 
 
Exemplo: VRMS = 220 V, P = 1 kW, fp = c0s (ϴ) = 0,5 indutivo, 
 
Rlinha = 5 Ω 
 
09,9
5,0220
1

x
kw
I RMS
 
 
Perdas na linha: P = R x I
2
 = 5 x (9,09)
2
 = 413 Watts para fp = 0,5 
 
Se fp = 1: IRMS = 1000/220 = 4,54 Perdas = 5 x (4,54)
2
 = 103 Watts 
 
É interesse da concessionária de energia elétrica que o consumidor mantenha o 
fator de potência próximo de 1 para diminuir as perdas na transmissão. (preços 
maiores p/ baixo fp) 
 
 
 46 
137 
A tensão da fonte é 220 V, 60 Hz. A carga A consome 24 kW com um f.p. 0,6 
atrasado e a carga B consome 8 kW com f.p. 0,8 adiantado. Determinar a 
potencia e a corrente fornecidas pela fonte e o f.p. visto pela fonte. 
 
 
A BV
I
 
 
 
 
CARGA P (Kw) Q (Kvar) N (Kva) f.p. (cos (ϴ) ϴ 
A 24 0,6 atr 
B 8 0,8 adi 
A + B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
138 
Deseja-se corrigir o fator de potencia para o problema anterior para 0,9 atrasado sem 
aumentar a potencia consumida. Determinar o valor do capacitor para que isto ocorra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 47 
139 
Tensão V2 é de 2.300 V. As impedâncias das linhas:Z1 = Z2 = ( 4 + j 2 ) Ω e as três cargas são 
descritas como: 
 
A: 10 kW; f.p. = 0,707 atrasado; 
B: 10 kVA; f.p. = 0,9 adiantado; 
C: 18 kW; f.p. = 0,6 atrasado; 
 
De3terminar: a tensão, a corrente, o f.p. e a potencia fornecida pela fonte. 
 
 
A B CV
Z1
Z2
+
V2
-
 
 
 
CARGA P (Kw) Q (Kvar) N (Kva) f.p. (cos (ϴ) ϴ 
A 10 0,707 atr 
B 10 0,9 adi 
C 18 0,6 atr 
A+B+C 
Z1 + Z2 
TOTAL 
 
 
 
Deseja-se corrigir o f.p. para 0,95 atrasado ( ϴ = 18,20 ), determinar o capacitor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 48 
140 
As três cargas no circuito abaixo são: S1 = (5 + j2) kVA, S2 = (3,75 + j21,5) kVA e 
S3 = (8 + j0) kVA. A) calcular a potencia complexa associada a cada fonte de tensão, VG1 e 
VG2; b ) verificar se o total das potencias ativa e reativa fornecido pela fonte é igual ao total 
absorvido pelas cargas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 49 
141 
Uma fábrica absorve 1.800 kW, com um f.p. 0,6 atrasado. Uma carga adicional de f.p. 
variável deve ser instalada na fábrica. A nova carga absorverá 600 kW. O f.p da carga 
adicionada deve ser ajustado de modo que o f.p. global da fábrica seja de 0,96 atrasado. a) 
especificar a potencia reativa associada à carga adicionada; b) a carga adicionada absorve ou 
fornece reativo? c) qual o f.p. da carga adicional? d) admita que a tensão de entrada na fábrica 
seja 4.800 V. Qual é o valor eficaz da corrente que alimenta a fábrica antes da adição da 
carga? e) qual o valor desta corrente após a adição da carga? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 50 
142 
Suponha que a fábrica descrita no problema anterior seja alimentada por uma L.T. cuja 
impedância é (0,02 + j0,16) Ω, e a tensão seja mantida em 4.800 V. a) determinar a perda de 
potencia média na L.T. antes e depois da adição da carga; b) determine o valor da tensão no 
inicio da L.T. antes e depois da adição da carga. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 51 
143 
Um grupo de pequenos eletrodomésticos em um sistema de 60 Hz absorve 25 kVA, com um 
f.p. 0,96 atrasado com uma tensão de 125 V. A impedância do cabo que alimenta os 
eletrodomésticos é (0,006 + j0,048) Ω. Se a tensão nos terminais da carga é mantida em 125 
V: a) qual é a tensão na outra extremidade do cabo (da fonte); b) qual é a perda de potencia 
média no cabo? c) qualé o valor do capacitor ( μF ) a ser instalado nos terminais da acrga 
para corrigir o f.p. da carga para o valor unitário? d) após a instalação do capacitor qual é o 
valor da tensão na fonte? e) qual é a perda de potencia média no cabo para o item d?