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1 CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Seja uma função senoidal no domínio do tempo v(t): )1(.cos.)( tVtv m Vm : amplitude máxima da onda; ω : freqüência angular em radianos/segundo; ϕ : ângulo de fase; Hz T FsegradF 1 /2 Se o ângulo de fase ϕ for igual a zero tem-se: 2 Seja agora duas funções: z = cos ( x) e y = sin ( x ): 0 2 4 6 8 10 12 14 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 senje j .cos senje j .cos )2( 2 cos jj ee Fazendo: ).( t Substituindo a eq. ( 2 ) na eq. ( 1 ) tem-se: 3 ]..[. 2 1 )( ])..(.).([. 2 1 )( ]..[. 2 1 )( .. .. .. tjtj tjj m tjj m tj m tj m eVeVtv eeVeeVtv eVeVtv Esta última equação representa uma função senoidal através da metade da soma de dois complexos conjugados, denominados fasores girantes:. tjtj eVeV .. .;. Num instante determinado instante denominado t = 0 teremos: V.e j wt V*.e - j wt Real Imaginário 4 )(cos. VVR Considere agora um circuito que não contem fontes independentes (circ. Morto) energizado por uma fonte de tensão v(t) = V.e j.w.t (fasor girante): V Real Imaginário VR VJ ϴ V V * Real Imaginário 5 Circuito “ Morto “ + v(t) - i(t) v(t) e i(t) são fasores girantes; v(t) = V . e j wt i(t) = I . e j wt Se o elemento (equivalente) do circuito for um resistor: R Ω + v(t) - i(t) v(t) = R . i(t) V . e j wt = R. I . e j wt V = R . I R = ZR = V / I Ω Considerando: ZR = 4 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ), a tensão será: v(t) = 4.cos ( w.t ) 0 2 4 6 8 10 12 14 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 A impedância Z, por definição, é a relação entre um FASOR TENSÂO e um FASOR CORRENTE, cuja unidade é ohm ( Ω ). Em uma impedância puramente resistiva tensão e corrente estão em fase. Se o elemento do circuito for um indutor: 6 + v(t) - i(t) L h td eId LeV td tid Ltv twj twjL L . .)()( Lwj I V ZeIwjLeV L twjtwj .. Considerando: ZL = j 2 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ); v(t) = 2.cos ( w.t + 90 0 ) 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Em uma impedância puramente indutiva, a corrente está atrasada da tensão de um ângulo igual a 900. 7 Se o elemento do circuito for um capacitor: + v(t) - i(t) C f td eVd CeI td tvd Cti twj twjc c . .)()( CwjI V ZeVwjCeI C twjtwj 1; Considerando: ZL = j 2 Ω e i(t) = 1.cos ( w.t ); v(t) = 2.cos ( w.t - 90 0 ) 0 2 4 6 8 10 12 14 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 Em uma impedância capacitiva pura a corrente está adiantada da tensão de 900 8 Componente Impedância Z = V / I Ω Resistor RZR Indutor 0 L 90)Lw(LwjZ Capacitor 0 C 90 Cw 1 Cw j Cwj 1 Z Admitância Y = 1 / Z X R |Z| ϴ B G |Y| ϴ Z = R + j.X Y = G + j.B ϴ é o ângulo do fator de potencia, ou o ângulo da impedância equivalente vista pela fonte. O fator de potencia é igual ao cos(ϴ), que poderá ser indutivo ou capacitivo (atrasado ou adiantado). 9 DIAGRAMAS FASORIAIS ELEMENTARES: resistor; indutor; capacitor. Admitindo o fasor corrente I como referência, isto é: I = I / 00 + vR(t) - + vL(t) - + vC(t) - iR(t) iL(t) iC(t) VR Real j IR VL IL Real j 90 0 VC j IC Real - 90 0 Tensão em fase com a corrente Corrente está atrasada da tensão de 90 0 , em um indutor puro Corrente está adiantada da tensão de 90 0 , em um capacitor puro Para o circuito abaixo, considerando a freqüência do sistema w = 2 rad/seg e I0 = 2 / 0 0 , por diagrama fasorial determinar a valor da fonte E1(t). E1(t)= ? 6 Ω 2 H 1/16 F i0(t) Representando o circuito acima no domínio da freqüência: 10 ZR = 6 Ω; ZL = j.w.L = j 4 Ω; Z C = - j / ( WC) = - j 8 Ω j 4 Ω6 Ω - j 8 ΩE1 I0 + VC - + VL -+ VR - + - VR = 12/ 00 IR = 2 /0 0 VL = 8 / 900 VC = 16 / - 900 VL + VC E1 = E1 / - θ - ϴ 11 109 Para o circuito abaixo determinar V0 e i0 240 80 j 240- j 800.2 / 0 0 A + V0 - i0 12 110 Determinar a tensão da fonte VG e a corrente IG, conhecendo ia e i1. R: VG = ( 7,3 + j 4,1 ) volts ; IG = ( 100 + j 100 ) mA 25 160 120 j 40 - j 80 VG ia i1 ia = 40 / 00 mA; i1 = ( 40 + j 80 ) mA. 13 111 Dado Ia = - j 5, determinar a impedância Z. R: Z = ( 7,5 – j 2,5 ) j 2 - j 8 j 5 - j 5 6 60 / 00 ia Z 14 112 Determinar a impedância Z para se obter potencia máxima de saída. ( | Z | = 14,5 Ω ) 12 - j 12 87 / 003 12 12 12 j 12 Z 15 113 Determinar a tensão V0. R: V0 = 96 + j 128 = 160 / 53,13 0 20 j 12 - j 20 - j 100 500 / 00 80 + V0 - 16 114 Determinar a tensão V0. R: V0 = j 10 5 - j 5 + V0 - j 12 j 3 - j 3 5 A 17 115 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) usando: Teorema de Thevenin; equação de nó; equação de malha; R: v0(t) = 1,96 cos (10 t – 81,3 0 ). 10cos(10t + 20 0 ) 1/2 1/5 H 1/2 1/10 H 1/10 F 1 + v0(t) - + - Representação no domínio da freqüência: 18 116 Determinar a impedância de entrada para o circuito abaixo. R: Zi = 3 – j 7,5 = 8,08 / - 68,2 0 - j 1 Ω - j 2 Ωj 4 Ω j 1 Ω 1 Ω 2 Ω Z i 19 117 Determinar as tensões V1, V2 e V3 e as correntes I1 e I2. VF = 150 / 0 0 . R: V1 = ( 78 –j 104 ); V2 = ( 72 + j 104 ); V3 = ( 150 – j 130 ) I1 = ( - 26 – j 52 ); I2 = ( - 2 + j 6 ); I3 = ( - 24 – j 58 ) 1 Ω j2 Ω 1 Ω j3 Ω 12 Ω - j16 Ω VF 39.Ia V Ia I2 I1 + V0 -V120 118 Determinar as Correntes Ia , Ib e Ix 1 Ω j 2 Ω 5 Ω 10 Ω 10,6/0 0 20.Ix - j 5 Ω Ix Ib Ia 21 119 Determinar V1 e V2 usando equações de nó. R: V1 = 5,13 / 47,3 0 ; V2 = 8,18 / 157 0 0,25 - j 0,2 20 / 15 0 0,230 /40 0 0,4 15 /20 0 V2V1 22 120 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) usando o T. Thevenin. R: Eoc = - 2,24 / 26,50 ; Zth = j 1 Ω 1 / - 90 0+ - 1 1 - j 1 1 + V0 - I2 = 2 I1 I1 23 121 Determinar a tensão v0(t) para o circuito abaixo sabendo que: E1(t) = 3 + 10 cos (t) + 3 cos ( 3t + 30 0 ). R: v0(t) = 1 / 3 + 1.cos( t – 36,9 0 ) + ( 1 / 6).cos( 3t - 600 ) E1(t) + v0(t) - 1 F 1/2 4 1 H 24 122 Para o circuito abaixo determinar a tensão v0(t) se e1(t) = 10 cos ( 2t + 30 0 ). Usar equações de malha e equações de nó. R: V0 = - 2,6 / - 18 0 ; I0 = - 0,26 / - 18 0 e1(t) 2 H 2 H 2 Ω1/2 F 1/2 F 1 Ω + v0(t) - 25 123 Determinar a tensão e0(t) usando Thevenin - j 40 Ω 12 120 60 120 /0 0 10 Vx + Vx - 10 + e0(t) - 26 124 Determinar v0(t) para o circuito abaixo por equações de malha e de nó: i1(t) = sen ( 2t ); i2( t ) = 3 sen (2t ) R: V0 = 2.√ 2 cos ( 2t - 135 0 ); para referencia seno: v0(T) = 2. √2 sem ( 2t – 45 0 ) 1 Ω + v0(t) - 2 1 i1(t) i2(t) 1/4 F 1/4 F 2 H 27 125 Determinar a corrente io(t) para o circuito abaixo: i1 (t) = 2.cos ( 2t) ; e3(t) = 2. i2(t) R: I 0 = 0,357 / - 116,5 0 2 H 3 Ω 1 1+ e3 (t) - i0(t) 1/2 F i1(t) 28 126 Determinas a tensão v0(t) para o circuito abaixo, por equação de nó, equação de malha e pelo T. Thevenin. e1(t)= 10 cos(2t + 30) R: V 0 = 20 / 30 0 e1(t) 1/4 F1/2 F 1/4 F 1 1/2 H 2 + e2(t) - + v0(t) - + - 3 Ω i3(t) = 2.e2(t) 29 127 Determinar o valor de C para se obter potencia máxima em R0. E1 = 10.cos 2t 1 Ω R0 = 1 Ω ½ H C 30 128 Para que valor de C0 a corrente em R0 será máxima? R : C0 = 4 / 5 F. C0 2 F e3(t) = 3.i1(t) - + R0 1/2 1/2 i1(t) + e1(t) - e1(t) = √2.cos( 2t – 45 0 ) 31 129 Determinar o fasor E0 por diagrama fasorial R3 L3 R4 L4 R2 R1 + - E0 EF EA EB EC ED E1 E2 IF I1 IA Real j 90 0 ED EBEA E0 E2E1 IA I1 θ 32 130 Usar equações de malha para determinar a corrente I2 no resistor de 6 ohms. R: I2 = 3,62 / - 45,8 0 j 10 Ω - j 8 Ω- j 12 Ω 16 100 / 20 0+ - 8 6 I1 I3 I2 33 131 Determinar as correntes de malha: - j 18 Ω 5 i3 - j 8 Ω j 6 Ω j 4 Ω j 8 Ω 5,83 / - 31 0 4,12 / 14 0 - j 4 Ω 5 8 10 3 + - + - i1 i2 34 132 Determinar o circuito de Thevenin equivalente entre os pontos A e D. VF = 120 / 0 0 63,2 Ω j 2,4 Ω 12 Ω j 4 Ω - j 4 Ω 3, 2 Ω - j 2 ,4 VF 8 Ω - j 2,4 Ω A B 35 Zc ZbZa Z1 Z2 Z3 a b c Transformação: ∆ → Y . 1 Za Zb Z Za Zb Zc . 2 Za Zc Z Za Zb Zc . 3 Zb Zc Z Za Zb Zc Transformação Y → ∆ 1. 2 1. 3 2. 3 3 Z Z Z Z Z Z Za Z 1. 2 1. 3 2. 3 2 Z Z Z Z Z Z Zb Z 1. 2 1. 3 2. 3 1 Z Z Z Z Z Z Zc Z 36 POTENCIA INSTANTANEA Potência gerada, absorvida ou fornecida por um circuito em um instante de tempo t. É definida como o produto da tensão pela corrente. p(t) vs(t)is(t) Exemplo: Dado um circuito RL onde R L vs(t) vL(t) vR(t) is(t) vs(t ) Vm cos (w t ) i(t) Im cos(wt ϴ ) w = 2. . f = 2. / T ; ϴ = V I (ϴ ângulo entre a tensão e a corrente, ou ângulo da impedância equivalente vista pela fonte ) Potência gerada pela fonte: pg (t) vs(t). is(t) Vm cos(wt) Im cos(wt ϴ ) sendo: cos(a). cos(b) = { cos(a + b) + cos(a – b) } / 2 pg (t) Vm[ Im / 2 ].[ cos(2wt - ϴ ) cos( ϴ ) ] Z( jw) R jwL Z2 R2 (wL) 2 Z ϴ tan1 (wL / R) 37 Potência absorvida pelo resistor pR (t) vR (t) i(t) Ri 2 (t) R Im 2 ) / 2 x [cos ( 2wt ϴ ) + 1 ] cos 2(α) [1cos(2 α)] / 2 Potência absorvida pelo indutor pL (t) = vL (t) i(t) vL (t) w..L Im cos(wt ϴ 90) pL (t) w.L.I m cos(wt ϴ 90).Im cos(wt ϴ ) pL (t) w.L.Im cos(wt ϴ 90) . Im cos(wt ϴ ) pL (t) = w.L.Im 2 .[ cos( 2wt ϴ 90) ] / 2 Potência média Por definição: Tt t med dttp T dttp tt p 0 21 .)(. 1 .)(. 1 2 1 onde T é o período da onda senoidal. para o circuito RL série calculamos a potência gerada por uma fonte senoidal Cálculo da Potência média gerada para o mesmo circuito 38 T MM med dtt IV T p 0 )].cos()2cos([. 2 . . 1 T MM med t tsen T IV p 0 )cos(. .2 )2( . .2 . )cos(. 2 . MMmed IV p Potencia média absorvida pelo resistor: watts IRV p RR med 2 . 2 22 Potencia média absorvida pelo indutor: 0 watts. Valoreficaz de uma onda periódica T T med dt R tv T dttiR T p 0 0 2 2 )( . 1 )(.. 1 39 R V IRdtti T Rp RMSRMS T med 2 2 0 2 .)(. 1 . Como a corrente é uma onda periódica senoidal: T M T RMS dttI T dtti T I 0 22 0 2 )(cos.. 1 )(. 1 2 . 2 ])2cos(1[ .. 1 0 2 MAX T MRMS I dt t I T I 2 MAX RMS V V POTENCIA COMPLEXA ( ) 2. .cosrmsv t V wt ( ) 2. .cosrmsi t I wt 40 . ; .rms rmsV V V I I I . . 2.V I V I Como as potencias ativa (P) e reativa (Q) não dependem do ângulo de fase Ф admitido para a tensão, o produto V.I não é uma grandeza significativa. Para se evitar a dependência indesejável do ângulo Ф considera-se então: . . .V I V I V I . . .cos . . .V I V I j V I sen : . .Potencia complexa V I P j Q Q P S θ .S V I 133 Para a carga no circuito abaixo, as tensões são de 200 V eficazes. Determinar a potencia total real e reativa fornecida à carga e as leituras de cada watímetro. 41 W1 W2 a b c + Vab - + Vbc - - Vca + 10 Ώ 10 Ώ 10 Ώ - j10 Ώ J 10 Ώ I3 I1 I2 42 134 Determinar a potencia média consumida por cada uma das duas impedâncias de carga e as leituras de cada watímetro. Za = 10/60 o Zc = 10/60 o W3 W1 Ic Ib Ia+ E2 - + E1 - + E3 - E1 = 120 /0 o E2 = 120 /120 o 43 135 Determinar o fasor de corrente Ia. 3 Ώ j 4 Ώ 3 Ώ j 4 Ώ 3 Ώ j 4 Ώ 1.200 W e f.p 0,8 atrasado Ia a b c E1 = 100 /0 E2= 100 /120 + E3= - + - + - I2 I1 44 136 Determinar a tensão entre os pontos A e B usando Thevenin 45 FATOR DE POTENCIA Porque as companhias de energia elétrica se preocupam com o fator de potência? De que forma o consumidor pode controlar o fator de potência? Exemplo: VRMS = 220 V, P = 1 kW, fp = c0s (ϴ) = 0,5 indutivo, Rlinha = 5 Ω 09,9 5,0220 1 x kw I RMS Perdas na linha para fp = 0,5: P = R x I 2 = 5 x (9,09) 2 = 413 Watts Se fp = 1: IRMS = 1000/220 = 4,54 Perdas = 5 x (4,54) 2 = 103 Watts É interesse da concessionária de energia elétrica que o consumidor mantenha o fator de potência próximo de 1 para diminuir as perdas na transmissão. (preços maiores para baixo fp) Assim, quanto menor o fp maior a corrente fornecida pela concessionária de energia elétrica e maior será a perda na transmissão. Exemplo: VRMS = 220 V, P = 1 kW, fp = c0s (ϴ) = 0,5 indutivo, Rlinha = 5 Ω 09,9 5,0220 1 x kw I RMS Perdas na linha: P = R x I 2 = 5 x (9,09) 2 = 413 Watts para fp = 0,5 Se fp = 1: IRMS = 1000/220 = 4,54 Perdas = 5 x (4,54) 2 = 103 Watts É interesse da concessionária de energia elétrica que o consumidor mantenha o fator de potência próximo de 1 para diminuir as perdas na transmissão. (preços maiores p/ baixo fp) 46 137 A tensão da fonte é 220 V, 60 Hz. A carga A consome 24 kW com um f.p. 0,6 atrasado e a carga B consome 8 kW com f.p. 0,8 adiantado. Determinar a potencia e a corrente fornecidas pela fonte e o f.p. visto pela fonte. A BV I CARGA P (Kw) Q (Kvar) N (Kva) f.p. (cos (ϴ) ϴ A 24 0,6 atr B 8 0,8 adi A + B 138 Deseja-se corrigir o fator de potencia para o problema anterior para 0,9 atrasado sem aumentar a potencia consumida. Determinar o valor do capacitor para que isto ocorra. 47 139 Tensão V2 é de 2.300 V. As impedâncias das linhas:Z1 = Z2 = ( 4 + j 2 ) Ω e as três cargas são descritas como: A: 10 kW; f.p. = 0,707 atrasado; B: 10 kVA; f.p. = 0,9 adiantado; C: 18 kW; f.p. = 0,6 atrasado; De3terminar: a tensão, a corrente, o f.p. e a potencia fornecida pela fonte. A B CV Z1 Z2 + V2 - CARGA P (Kw) Q (Kvar) N (Kva) f.p. (cos (ϴ) ϴ A 10 0,707 atr B 10 0,9 adi C 18 0,6 atr A+B+C Z1 + Z2 TOTAL Deseja-se corrigir o f.p. para 0,95 atrasado ( ϴ = 18,20 ), determinar o capacitor. 48 140 As três cargas no circuito abaixo são: S1 = (5 + j2) kVA, S2 = (3,75 + j21,5) kVA e S3 = (8 + j0) kVA. A) calcular a potencia complexa associada a cada fonte de tensão, VG1 e VG2; b ) verificar se o total das potencias ativa e reativa fornecido pela fonte é igual ao total absorvido pelas cargas. 49 141 Uma fábrica absorve 1.800 kW, com um f.p. 0,6 atrasado. Uma carga adicional de f.p. variável deve ser instalada na fábrica. A nova carga absorverá 600 kW. O f.p da carga adicionada deve ser ajustado de modo que o f.p. global da fábrica seja de 0,96 atrasado. a) especificar a potencia reativa associada à carga adicionada; b) a carga adicionada absorve ou fornece reativo? c) qual o f.p. da carga adicional? d) admita que a tensão de entrada na fábrica seja 4.800 V. Qual é o valor eficaz da corrente que alimenta a fábrica antes da adição da carga? e) qual o valor desta corrente após a adição da carga? 50 142 Suponha que a fábrica descrita no problema anterior seja alimentada por uma L.T. cuja impedância é (0,02 + j0,16) Ω, e a tensão seja mantida em 4.800 V. a) determinar a perda de potencia média na L.T. antes e depois da adição da carga; b) determine o valor da tensão no inicio da L.T. antes e depois da adição da carga. 51 143 Um grupo de pequenos eletrodomésticos em um sistema de 60 Hz absorve 25 kVA, com um f.p. 0,96 atrasado com uma tensão de 125 V. A impedância do cabo que alimenta os eletrodomésticos é (0,006 + j0,048) Ω. Se a tensão nos terminais da carga é mantida em 125 V: a) qual é a tensão na outra extremidade do cabo (da fonte); b) qual é a perda de potencia média no cabo? c) qualé o valor do capacitor ( μF ) a ser instalado nos terminais da acrga para corrigir o f.p. da carga para o valor unitário? d) após a instalação do capacitor qual é o valor da tensão na fonte? e) qual é a perda de potencia média no cabo para o item d?
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