CADERNO DE QUESTOES E RESPOSTAS MATEMATICA AULA 5

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M a t e m á t i c a
A u t o r i a : C a r l o s H
e n r i q u e D i a s
Te m a 0 5
F u n ç ã o E x p o n e n c i a l
T e m a 0 5
F u n ç ã o E x p o n e n c i a l
A u t o r i a : C a r l o s H e n r i q u e D i a s
C o m o c i t a r e s s e d o c u m e n t o :
D I A S , C a r l o s H e n r i q u e . M a t e m á t i c a : F u n ç ã o E x p o n e n c i a l . C a d e r n o d e A t i v i d a d e s . A n h a n g u e r a P u b l i c a ç õ e s : V a l i n h o s , 2 0 1 4 .
Í n d i c e
‹ � � � � � � $ Q K D Q J X H U D � ( G X F D F L R Q D O � � 3 U R L E L G D � D � U H S U R G X o m R � ¿ Q D O � R X � S D U F L D O � S R U � T X D O T X H U � P H L R � G H � L P S U H V V m R � � H P � I R U P D � L G r Q W L F D � � U H V X P L G D � R X � P R G L ¿ F D G D � H P � O t Q J X D �
S R U W X J X H V D � R X � T X D O T X H U � R X W U R � L G L R P D �
P á g . 1 8
P á g . 1 9 P á g . 2 0
P á g . 1 9
P á g . 1 5P á g . 1 4
A C O M P A N H E N A W E B
P á g . 3
C O N V I T E À L E I T U R A
P á g . 4
P O R D E N T R O D O T E M A
3
C o n t e ú d o 
N e s t a a u l a , v o c ê e s t u d a r á :
‡ � F a t o r m u l t i p l i c a t i v o p a r a a u m e n t o e r e d u ç ã o p o r c e n t u a l .
‡ � M o d e l a g e m d e p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s .
‡ � C a r a c t e r i z a ç ã o d a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l .
‡ � * U i ¿ F R V � G H � I X Q o } H V � H [ S R Q H Q F L D L V �
‡ � 8 W L O L ] D o m R � G D � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D � S D U D � R S H U D o } H V � G H � S R W H Q F L D o m R �
H a b i l i d a d e s
$ R � ¿ Q D O � � Y R F r � G H Y H U i � V H U � F D S D ] � G H � U H V S R Q G H U � D V � V H J X L Q W H V � T X H V W } H V �
‡ � C o m o d e t e r m i n a r o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o p a r a a u m e n t o o u r e d u ç ã o p o r c e n t u a l ?
‡ � C o m o c o n s t r u i r u m m o d e l o a p a r t i r d e p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s ?
‡ � C o m o d e t e r m i n a r s e u m a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l é c r e s c e n t e o u d e c r e s c e n t e ?
‡ � & R P R � U H D O L ] D U � R S H U D o } H V � G H � S R W H Q F L D o m R � X W L O L ] D Q G R � D � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D "
C o n t e ú d o 
C O N V I T E À L E I T U R A
4
F u n ç ã o E x p o n e n c i a l
I n t r o d u ç ã o
O m o d e l o d e f u n ç ã o e x p o n e n c i a l é m u i t o u t i l i z a d o e m E c o n o m i a e F i n a n ç a s , j á q u e q u a l q u e r c á l c u l o q u e e n v o l v a 
j u r o s c o m p o s t o s é u m m o d e l o e x p o n e n c i a l . A u t i l i d a d e d e s s e t i p o d e f u n ç ã o t a m b é m a p a r e c e n o c á l c u l o d a d e p r e c i a ç ã o 
d e m á q u i n a s e e q u i p a m e n t o s , c á l c u l o m u i t o i m p o r t a n t e p a r a a c o n t a b i l i d a d e d e u m a e m p r e s a . 
A n t e s d e i n i c i a r o e s t u d o d o c o n c e i t o d e f u n ç ã o e x p o n e n c i a l , s e r á a p r e s e n t a d o o c á l c u l o d o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e u m a 
p o r c e n t a g e m .
P o r c e n t a g e m e F a t o r M u l t i p l i c a t i v o
A r e p r e s e n t a ç ã o d e u m n ú m e r o e m p o r c e n t a g e m é e q u i v a l e n t e a u m a r e p r e s e n t a ç ã o d e c i m a l , p o r e x e m p l o , 5 % 
= 
1 0 0
5
 = 0 , 0 5 o u 3 2 % = 
1 0 0
2 3
 = 0 , 3 2 . D e s t e m o d o , p a r a c a l c u l a r a p o r c e n t a g e m d e u m n ú m e r o b a s t a m u l t i p l i c á - l o p e l o 
e q u i v a l e n t e d e c i m a l , p o r e x e m p l o , 5 % d e R $ 2 3 0 , 0 0 é :
P a r a o s c á l c u l o s q u e e n v o l v e m a u m e n t o p o r c e n t u a l d e u m a g r a n d e z a , n o e n t a n t o , p o d e - s e t a m b é m d e s c o b r i r u m f a t o r 
m u l t i p l i c a t i v o p a r a a u m e n t o , p o r e x e m p l o , s e u m p r o d u t o q u e c u s t a R $ 2 0 0 , 0 0 s o f r e r u m a u m e n t o d e 1 2 % t e r á u m v a l o r 
¿ Q D O � G H �
C o l o c a n d o o v a l o r 2 0 0 e m e v i d ê n c i a ( p r o c e s s o i n v e r s o d a d i s t r i b u t i v i d a d e ) :
F u n ç ã o E x p o n e n c i a l
P O R D E N T R O D O T E M A
5
O b s e r v e q u e o f a t o r 1 , 1 2 a u m e n t a a g r a n d e z a e m 1 2 % . I s s o a c o n t e c e p o r q u e 1 , 1 2 p o d e s e r e s c r i t o c o m o :
P o r t a n t o , p a r a a u m e n t a r u m a g r a n d e z a e m 1 2 % , b a s t a m u l t i p l i c á - l a p o r 1 , 1 2 .
A n a l o g a m e n t e , n o s c á l c u l o s q u e e n v o l v e m r e d u ç ã o p o r c e n t u a l , e x i s t e t a m b é m u m f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o . P o r 
H [ H P S O R � � V H � X P � S U R G X W R � T X H � F X V W D � 5 � � � � � � � � � V R I U H U � X P � G H V F R Q W R � G H � � � � � � W H U i � X P � Y D O R U � ¿ Q D O � G H �
C o l o c a n d o o v a l o r 2 0 0 e m e v i d ê n c i a ( p r o c e s s o i n v e r s o d a d i s t r i b u t i v i d a d e ) :
A s s i m , o f a t o r 0 , 8 8 , q u a n d o m u l t i p l i c a d o , d i m i n u i o v a l o r d o p r o d u t o e m 1 2 % . I s s o a c o n t e c e p o r q u e 0 , 8 8 p o d e s e r e s c r i t o 
c o m o :
P o r t a n t o , p a r a r e d u z i r u m v a l o r e m 1 2 % , b a s t a m u l t i p l i c a r p o r 0 , 8 8 .
D e m a n e i r a g e r a l , d a d a u m a p o r c e n t a g e m , p a r a d e s c o b r i r o f a t o r d e a u m e n t o , b a s t a e n c o n t r a r a r e p r e s e n t a ç ã o e m 
d e c i m a l d a p o r c e n t a g e m e s o m a r o r e s u l t a d o a o n ú m e r o 1 . J á , p a r a d e s c o b r i r o f a t o r d e r e d u ç ã o , b a s t a s u b t r a i r d o 
n ú m e r o 1 a r e p r e s e n t a ç ã o d e c i m a l d a p o r c e n t a g e m .
E x e m p l o 5 . 1 : E n c o n t r e o f a t o r d e a u m e n t o p a r a a s p o r c e n t a g e n s 3 7 % e 5 %
R e s o l u ç ã o :
- P a r a 3 7 % : o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 3 7 % = 1 + 0 , 3 7 = 1 , 3 7
- P a r a 5 % : o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 5 % = 1 + 0 , 0 5 = 1 , 0 5
 
P O R D E N T R O D O T E M A
6
E x e m p l o 5 . 2 : E n c o n t r e o f a t o r d e r e d u ç ã o p a r a a s p o r c e n t a g e n s 4 8 % e 3 %
R e s o l u ç ã o :
- P a r a 4 8 % : o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o = 1 – 4 8 % = 1 – 0 , 4 8 = 0 , 5 2
- P a r a 3 % : o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o = 1 – 3 % = 1 – 0 , 0 3 = 0 , 9 7
E x e m p l o P r á t i c o I
C o n s i d e r e a s i t u a ç ã o e m q u e u m a e m p r e s a t o m a e m p r e s t a d o d e u m b a n c o R $ 5 0 . 0 0 0 , 0 0 . P a r a e s t e e m p r é s t i m o , 
o b a n c o c o b r a u m a t a x a d e j u r o s d e 2 % a o m ê s . A e m p r e s a p r e t e n d e p a g a r a d í v i d a a p ó s t r ê s m e s e s e m u m a ú n i c a 
p a r c e l a .
P a r a c a l c u l a r a e v o l u ç ã o d a d í v i d a d e s s e e m p r é s t i m o , p r i m e i r a m e n t e s e c a l c u l a o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o , p o i s 
a d í v i d a a u m e n t a r á m ê s a m ê s . E nt ã o :
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 2 % = 1 + 0 , 0 2 = 1 , 0 2
A s s i m , a c a d a m ê s , a d í v i d a e v o l u i :
‡ � A p ó s u m m ê s e r e p r e s e n t a n d o a d í v i d a p o r D ( 1 ) :
D ( 1 ) = ( v a l o r d o e m p r é s t i m o ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o )
D ( 1 ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
D ( 1 ) = 5 1 0 0 0 , 0 0 r e a i s .
‡ � A p ó s d o i s m e s e s e r e p r e s e n t a n d o a d í v i d a p o r D ( 2 ) :
D ( 2 ) = ( d í v i d a d o m ê s a n t e r i o r ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o )
D ( 2 ) = D ( 1 ) . 1 , 0 2
D ( 2 ) = 5 1 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
D ( 2 ) = 5 2 0 2 0 , 0 0 r e a i s .
P O R D E N T R O D O T E M A
7
‡ � A p ó s t r ê s m e s e s e r e p r e s e n t a n d o a d í v i d a p o r D ( 3 ) :
D ( 3 ) = ( d í v i d a d o m ê s a n t e r i o r ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o )
D ( 3 ) = D ( 2 ) . 1 , 0 2
D ( 3 ) = 5 2 0 2 0 , 0 0 1 , 0 2
D ( 3 ) = 5 3 0 6 0 , 4 0 r e a i s .
P o r t a n t o , a d í v i d a a s e r p a g a p e l a e m p r e s a a p ó s t r ê s m e s e s é d e R $ 5 3 . 0 6 0 , 4 0 .
E n t r e t a n t o , D ( 3 ) = 5 3 0 6 0 , 4 0 p o d e r i a s e r o b t i d o d i r e t a m e n t e p e l a c o n t a :
O u s e j a , 
' � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ĺ � ' � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
3
 p o r p r o p r i e d a d e d e p o t e n c i a ç ã o , p o i s 1 , 0 2
3
 = 1 , 0 2 . 1 , 0 2 . 1 , 0 2 .
A f o r m u l a ç ã o a p r e s e n t a d a t o r n a - s e m a i s s i m p l e s , p o i s p e r m i t e c a l c u l a r d i r e t a m e n t e a d í v i d a a p ó s q u a l q u e r p e r í o d o 
F R Q V L G H U D G R � � 3 R U � H [ H P S O R � � V H � D � H P S U H V D � G H F L G L V V H � S D J D U � D � G t Y L G D � D S y V � T X D W U R � P H V H V � � D � G t Y L G D � ¿ F D U L D �
D ( 4 ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
4
D ( 4 ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 8 2 4 3 2 1 6
D ( 4 ) = 5 4 1 2 1 , 6 1 r e a i s .
P O R D E N T R O D O T E M A
8
D e m a n e i r a g e r a l , s e o p r a z o d e p a g a m e n t o d o e m p r é s t i m o f o s s e n m e s e s , a f u n ç ã o d í v i d a s e r i a :
D ( n ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
n
C h a m a m o s e s s e t i p o d e f u n ç ã o , e m q u e a v a r i á v e l a p a r e c e n o e x p o e n t e , d e f u n ç ã o e x p o n e n c i a l .
2 � J U i ¿ F R � G H � X P D � I X Q o m R � H [ S R Q H Q F L D O � p � D S H Q D V � F U H V F H Q W H � R X � D S H Q D V � G H F U H V F H Q W H � � $ � ) L J X U D � � � � � L O X V W U D � R � J U i ¿ F R � G D � G t Y L G D �
d a e m p r e s a :
F i g u r a 5 . 1 � * U i ¿ F R � G D � G t Y L G D � G D � H P S U H V D �
P O R D E N T R O D O T E M A
9
2 � J U i ¿ F R � G D � ) L J X U D � � � � � p � D S H Q D V � G H � X P D � U H S U H V H Q W D o m R � L O X V W U D W L Y D � G D � H Y R O X o m R � G D � G t Y L G D � G D � H P S U H V D � � & R P R � D � G t Y L G D � p �
c a p i t a l i z a d a � D S H Q D V � D R � ¿ Q D O � G R � P r V � � R � J U i ¿ F R � Q m R � S R G H U L D � V H U � X P D � O L Q K D � F R Q W t Q X D �
E x e m p l o P r á t i c o I I
C o n s i d e r e a s i t u a ç ã o e m q u e u m a m á q u i n a s o f r e u m a d e p r e c i a ç ã o d e 4 % a o a n o . S e a m á q u i n a c u s t a R $ 7 0 . 0 0 0 , 0 0 , 
q u a l s e r á o v a l o r d a m á q u i n a a p ó s t r ê s a n o s .
I n i c i a l m e n t e , p a r a r e s o l v e r e s t e p r o b l e m a , d e v e - s e d e t e r m i n a r o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o q u e é :
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o = 1 – 4 % = 1 – 0 , 0 4 = 0 , 9 6 .
A s s i m , a c a d a a n o o v a l o r d a m á q u i n a s e r á :
‡ � A p ó s 1 a n o e r e p r e s e n t a n d o o v a l o r d a m á q u i n a p o r V ( 1 ) :
V ( 1 ) = ( v a l o r d a m á q u i n a ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o )
V ( 1 ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
V ( 1 ) = 6 7 2 0 0 , 0 0 r e a i s .
‡ � A p ó s 2 a n o s e r e p r e s e n t a n d o o v a l o r d a m á q u i n a p o r V ( 2 ) :
V ( 2 ) = ( v a l o r n o a n o a n t e r i o r ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o )
V ( 2 ) = V ( 1 ) . 0 , 9 6
V ( 2 ) = 6 7 2 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
V ( 2 ) = 6 4 5 1 2 , 0 0 r e a i s .
‡ � A p ó s 3 a n o s e r e p r e s e n t a n d o o v a l o r d a m á q u i n a p o r V ( 3 ) :
V ( 3 ) = ( v a l o r n o a n o a n t e r i o r ) . ( f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o )
V ( 3 ) = V ( 3 ) . 0 , 9 6
V ( 3 ) = 6 4 5 1 2 , 0 0 . 0 , 9 6
V ( 3 ) = 6 1 9 3 1 , 5 2 r e a i s .
P O R D E N T R O D O T E M A
1 0
P o r t a n t o , a p ó s 3 a n o s , a m á q u i n a t e r á u m v a l o r d e m e r c a d o d e R $ 6 1 . 9 3 1 , 5 2 . 
E n t r e t a n t o , V ( 3 ) p o d e r i a s e r o b t i d o d i r e t a m e n t e p e l a c o n t a :
O u s e j a , 
9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ĺ � 9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
3
 p o r p r o p r i e d a d e d e p o t e n c i a ç ã o , p o i s 0 , 9 6
3
 = 0 , 9 6 . 0 , 9 6 . 0 , 9 6 .
E s s a f o r m u l a ç ã o p e r m i t e c a l c u l a r d i r e t a m e n t e a d í v i d a a p ó s q u a l q u e r p e r í o d o c o n s i d e r a d o . P o r e x e m p l o , o v a l o r d a 
m á q u i n a a p ó s q u a t r o a n o s s e r á :
V ( 4 ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
4
V ( 4 ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 8 4 9 3 4 6 5 6
V ( 4 ) = 5 9 4 5 4 , 2 6 r e a i s .
D e m a n e i r a g e r a l , a f u n ç ã o q u e m o s t r a o v a l o r d a m á q u i n a a p ó s n a n o s s e r á :
V ( n ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
n
N o v a m e n t e , c o m o a v a r i á v e l a p a r e c e n o e x p o e n t e , a f u n ç ã o é c h a m a d a d e e x p o n e n c i a l .
$ � I X Q o m R � G H S U H F L D o m R � p � G H F U H V F H Q W H � � M i � T X H � R � Y D O R U � G D � P i T X L Q D � G L P L Q X L � F R P � R � W H P S R � � 2 � J U i ¿ F R � G D � ) L J X U D � � � � � L O X V W U D � H V W D �
s i t u a ç ã o :
P O R D E N T R O D O T E M A
1 1
F i g u r a 5 . 2 � * U i ¿ F R � G D � G H S U H F L D o m R � G D � P i T X L Q D �
1 R Y D P H Q W H � � F R P R � D F R Q W H F H X � F R P � R � J U i ¿ F R � G D � ) L J X U D � � � � � � R � J U i ¿ F R � G D � ) L J X U D � � � � � p � X P D � U H S U H V H Q W D o m R � L O X V W U D W L Y D � G D �
H Y R O X o m R � G D � G H S U H F L D o m R � G D � P i T X L Q D � � & R P R � D � G H S U H F L D o m R � R F R U U H � D � F D G D � D Q R � H � D R � ¿ Q D O � G H � X P � S H U t R G R � � R � J U i ¿ F R � Q m R �
p o d e r i a s e r u m a l i n h a c o n t í n u a .
C a r a c t e r i z a ç ã o d a F u n ç ã o E x p o n e n c i a l
U m a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l é f ( x ) = b . a
x
� � F R P � D � ! � � � � D �  � � � � E �  � � �
2 � F R H ¿ F L H Q W H � E � U H S U H V H Q W D � R � Y D O R U � G D � I X Q o m R � T X D Q G R � [ � � � � � R X � V H M D � � I R U Q H F H � R � S R Q W R � H P � T X H � D � F X U Y D � F R U W D � R � H L [ R � \ �
\� � I � � � � � E � D
0
� � � \ � � E � � � � � ĺ � \ � � E
P O R D E N T R O D O T E M A
1 2
N o s d o i s p r o b l e m a s p r á t i c o s a n t e r i o r e s , o v a l o r b r e p r e s e n t o u a s i t u a ç ã o i n i c i a l . P o r e x e m p l o , n o e m p r é s t i m o f e i t o p e l a 
e m p r e s a , o v a l o r b r e p r e s e n t o u a q u a n t i a i n i c i a l e m p r e s t a d a . J á n o e x e m p l o d a d e p r e c i a ç ã o , o v a l o r b r e p r e s e n t o u o 
v a l o r i n i c i a l d a m á q u i n a .
2 � F R H ¿ F L H Q W H � D � G H W H U P L Q D � V H � D � I X Q o m R � I � [ � � � E � D
x
 é c r e s c e n t e o u d e c r e s c e n t e . Q u a n d o a > 1 , a f u n ç ã o é c r e s c e n t e ; s e 0 
< a < 1 , a f u n ç ã o é d e c r e s c e n t e . P o r e x e m p l o :
D ( n ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
n
, a = 1 , 0 2 f u n ç ã o c r e s c e n t e .
V ( n ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
n
, a = 0 , 9 6 f u n ç ã o d e c r e s c e n t e .
8 V R � G D � & D O F X O D G R U D � & L H Q W t ¿ F D
2 V � F i O F X O R V � G D V � S R W H Q F L D o } H V � G R V � S U R E O H P D V � D Q W H U L R U H V � S R G H P � V H U � I H L W R V � S R U � P H L R � G R � X V R � G H � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D � �
P o r e x e m p l o , n o e x e m p l o p r á t i c o I I , n a c o n t a V ( 4 ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
4
, d e v e - s e p r i m e i r o d e t e r m i n a r o r e s u l t a d o d e 0 , 9 6
4
 
a n t e s d e r e a l i z a r a m u l t i p l i c a ç ã o p o r 7 0 0 0 0 , 0 0 . 
$ � ) L J X U D � � � � � P R V W U D � H V W H � F i O F X O R � H P � G X D V � Y H U V } H V � F R P X Q V � G H � F D O F X O D G R U D V � F L H Q W t ¿ F D V �
) L J X U D � � � � � & i O F X O R � H P � G X D V � Y H U V } H V � G L V W L Q W D V � G H � F D O F X O D G R U D V � F L H Q W t ¿ F D V �
P O R D E N T R O D O T E M A
1 3
O b s e r v e q u e a d i f e r e n ç a e n t r e o u s o d a p o t e n c i a ç ã o e m a m b a s c a l c u l a d o r a s é a p e n a s o s í m b o l o d a t e c l a p o t e n c i a ç ã o 
^ e y
x
. A p ó s d e t e r m i n a r o v a l o r d e 0 , 9 6
4
 ( q u e é 0 , 8 4 9 3 4 6 5 6 ) , b a s t a m u l t i p l i c a r p o r 7 0 0 0 0 , 0 0 e v o c ê t e r á o r e s u l t a d o d e 
V ( 4 ) = 7 0 0 0 0 , 0 0 . 0 , 9 6
4
, q u e é d e 5 9 4 5 4 , 2 6 r e a i s .
O m e s m o p r o c e s s o p o d e s e r f e i t o p a r a o c á l c u l o d e o u t r o s v a l o r e s . P o r e x e m p l o , d e D ( 3 ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
3
. V e j a a 
F i g u r a 5 . 4 :
F i g u r a 5 . 4 C á l c u l o d o v a l o r d e 1 , 0 2
3
.
A n a l o g a m e n t e , a p ó s d e t e r m i n a r o v a l o r d e 1 , 0 2
2
 ( q u e é 1 , 0 6 1 2 0 8 ) , b a s t a m u l t i p l i c a r p o r 5 0 0 0 0 , 0 0 e v o c ê t e r á o r e s u l t a d o 
d e D ( 3 ) = 5 0 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 2
3
, q u e é d e 5 3 0 6 0 , 4 0 r e a i s .
P O R D E N T R O D O T E M A
1 4
M u n d o E d u c a ç ã o
‡ � A c e s s e o s i t e M u n d o E d u c a ç ã o . C o n t é m u m a b r e v e e x p l i c a ç ã o s o b r e f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s e 
X P � H [ H P S O R � T X H � H Q Y R O Y H � R � X V R � G H V V D � I X Q o m R � H P � P D W H P i W L F D � ¿ Q D Q F H L U D �
D i s p o n í v e l e m : < h t t p : / / w w w . m u n d o e d u c a c a o . c o m / m a t e m a t i c a / f u n c a o - e x p o n e n c i a l - m a t e m a t i c a - f i n a n c e i r a . h t m > . 
A c e s s o e m 5 m a i . 2 0 1 4 .
B r a s i l E s c o l a
‡ � A c e s s e o s i t e B r a s i l E s c o l a . C o n t é m e x e m p l o s a p l i c a d o s q u e e n v o l v e m a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l , 
S U L Q F L S D O P H Q W H � H [ H P S O R V � H P � ¿ Q D Q o D V �
D i s p o n í v e l e m : < h t t p : / / w w w . b r a s i l e s c o l a . c o m / m a t e m a t i c a / a p l i c a c o e s - u m a - f u n c a o - e x p o n e n c i a l . h t m > . A c e s s o 
e m : 5 m a i . 2 0 1 4 .
B i b l i o t e c a V i r t u a l d a A n h a n g u e r a
‡ � A c e s s e o s i t e d a B i b l i o t e c a V i r t u a l d a A n h a n g u e r a . N o c a m p o p a r a p e s q u i s a , d i g i t e f u n ç õ e s . 
A p a r e c e r ã o v á r i a s p r o d u ç õ e s a c a d ê m i c a s c o m a p l i c a ç õ e s d a s f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s .
D i s p o n í v e l e m : < h t t p : / / w w w . a n h a n g u e r a . c o m / b i b l i o t e c a s / b i b l i o t e c a - v i r t u a l / c u r s o / e a d / a d m i n i s t r a c a o > . A c e s s o 
e m : 5 m a i . 2 0 1 4 .
I M E C C – U N I C A M P
‡ � A c e s s e o s i t e � G R � , 0 ( & & � ± � 8 1 , & $ 0 3 � � $ S U H V H Q W D � X P � S U R E O H P D � H P � ¿ Q D Q o D V � T X H � X W L O L ] D � D � I X Q o m R �
H [ S R Q H Q F L D O � � ³ - R V p � D F D E D � G H � V H U � S D L � H � T X H U � J X D U G D U � G L Q K H L U R � S D U D � R � V H X � ¿ O K R � I D ] H U � X P D � I D F X O G D G H �
T X D Q G R � ¿ F D U � P R o R � � / L J D � S D U D � R � J H U H Q W H � G R � E D Q F R � � 0 D X U R � � T X H � R � D M X G D � D � I D ] H U � X P D � E R D � H V F R O K D �
d e i n v e s t i m e n t o . ”
D i s p o n í v e l e m : < h t t p : / / m 3 . i m e . u n i c a m p . b r / r e c u r s o s / 1 0 9 2 > . A c e s s o e m : 5 m a i . 2 0 1 4 .
A C O M P A N H E N A W E B
1 5
I n s t r u ç õ e s :
A g o r a , c h e g o u a s u a v e z d e e x e r c i t a r s e u a p r e n d i z a d o . A s e g u i r , v o c ê e n c o n t r a r á a l g u m a s q u e s t õ e s d e m ú l t i p l a 
H V F R O K D � H � G L V V H U W D W L Y D V � � / H L D � F X L G D G R V D P H Q W H � R V � H Q X Q F L D G R V � H � D W H Q W H � V H � S D U D � R � T X H � H V W i � V H Q G R � S H G L G R � � ' H V H Q Y R O Y D �
o s c á l c u l o s l i n h a a l i n h a , s e m p u l a r e t a p a s . N a r e s o l u ç ã o d e s t e c o n j u n t o d e q u e s t õ e s , f a ç a u s o d a c a l c u l a d o r a e 
u t i l i z e n o m í n i m o q u a t r o c a s a s d e c i m a i s .
A G O R A É A S U A V E Z
Q u e s t ã o 1
P e s q u i s e e m s i t e s d e b a n c o s a t a x a d e j u r o s d e e m p r é s t i m o p e s s o a l . E m s e g u i d a , u t i l i z a n d o p e l o m e n o s t r ê s t a x a s d e j u r o s 
d i f e r e n t e s , e n c o n t r e o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o d a s t a x a s d e j u r o s d e c a d a b a n c o . 
E l e v a n d o c a d a u m d o s f a t o r e s m u l t i p l i c a t i v o s à q u a r t a p o t ê n c i a ( e l e v a n d o a q u a t r o ) , v o c ê d e s c o b r i r á p o r q u a l v a l o r a d í v i d a s e r á 
m u l t i p l i c a d a a p ó s q u a t r o m e s e s . C o m p a r e o s r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s e p e r c e b a c o m o a d í v i d a c o m u m b a n c o p o d e t o r n a - s e 
m u i t o m a i o r q u e c o m o u t r o .
Q u e s t ã o 2
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o a p l i c a d o a u m a q u a n t i a p a r a c a l c u l a r 1 6 7 % é :
a ) 1 6 7 .
b ) 1 6 , 7 .
c ) 1 , 6 7 .
d ) 0 , 1 6 7 .
e ) 0 , 0 1 6 7 .
1 6
A G O R A É A S U A V E Z
Q u e s t ã o 3
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o a p l i c a d o a u m a q u a n t i a p a r a u m a u m e n t o d e 1 8 , 5 % é :
 a ) 1 8 , 5 .
b )1 , 8 5 .
c ) 1 , 1 8 5 .
d ) 0 , 1 8 5 .
e ) 0 , 1 1 8 5 .
Q u e s t ã o 4
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o a p l i c a d o a u m a q u a n t i a p a r a u m d e s c o n t o ( r e d u ç ã o ) d e 2 8 , 7 % é :
a ) 7 1 , 3 .
b ) 2 8 , 7 .
c ) 7 , 1 3 .
d ) 2 , 8 7 .
e ) 0 , 7 1 3 .
1 7
A G O R A É A S U A V E Z
Q u e s t ã o 5
U m a e m p r e s a f a z u m e m p r é s t i m o d e R $ 2 5 . 0 0 0 , 0 0 q u e s e r á c o r r i g i d o a u m a t a x a d e 4 , 3 % a o m ê s . A f u n ç ã o e x p o n e n c i a l q u e 
r e p r e s e n t a o m o n t a n t e M d e s s a d í v i d a a p ó s n m e s e s é :
a ) M ( n ) = 1 , 0 4 3
n
b ) M ( n ) = 2 5 0 0 0 , 0 0
n
c ) M ( n ) = 1 , 0 4 3 . 2 5 0 0 0 , 0 0
n
d ) M ( n ) = 2 5 0 0 0 , 0 0 . 4 , 3
n
e ) M ( n ) = 2 5 0 0 0 , 0 0 . 1 , 0 4 3
n
A t e n ç ã o : A s Q u e s t õ e s 6 e 7 d e v e m s e r r e s p o n d i d a s c o m b a s e n o e n u n c i a d o a s e g u i r :
U m t o r n o C N C t e m s e u v a l o r d a d o p e l a f u n ç ã o V ( x ) = 2 5 0 0 0 0 . 0 , 9 2
x
, e m q u e x r e p r e s e n t a o a n o a p ó s a c o m p r a d o t o r n o e x = 0 
r e p r e s e n t a o a n o e m q u e f o i c o m p r a d o o t o r n o .
Q u e s t ã o 6
4 X D O � R � Y D O R U � G R � W R U Q R � D S y V � W U r V � D Q R V � G D � F R P S U D " � 8 W L O L ] H � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D �
Q u e s t ã o 7
Q u a l o v a l o r d o t o r n o n a d a t a d a c o m p r a ? Q u a l o p o r c e n t u a l d e d e p r e c i a ç ã o q u e e s s a m á q u i n a t e m p o r a n o ?
1 8
A t e n ç ã o : A s Q u e s t õ e s 8 e 9 d e v e m s e r r e s p o n d i d a s c o m b a s e n o e n u n c i a d o a s e g u i r :
U m a m á q u i n a , a p ó s a c o m p r a , t e m s e u v a l o r d e p r e c i a d o a u m a t a x a d e 1 4 , 5 % a o a n o . O v a l o r p o d e s e r e x p r e s s o p o r u m a f u n ç ã o 
e x p o n e n c i a l , e o v a l o r d a m á q u i n a n a c o m p r a é d e R $ 9 5 . 0 0 0 , 0 0 .
Q u e s t ã o 8
O b t e n h a a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l q u e r e p r e s e n t a o v a l o r V d a m á q u i n a c o m o f u n ç ã o d o s a n o s n a p ó s a c o m p r a d a m á q u i n a .
Q u e s t ã o 9
$ � S D U W L U � G D � H [ S U H V V m R � R E W L G D � Q D � 4 X H V W m R � � � � G H W H U P L Q H � R � Y D O R U � G D � P i T X L Q D � D S y V � F L Q F R � D Q R V � G D � F R P S U D � � 8 W L O L ] H � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D � �
c o m a p r o x i m a ç ã o d e c i n c o c a s a s d e c i m a i s .
Q u e s t ã o 1 0
U m a p e s s o a f e z u m e m p r é s t i m o d e R $ 2 . 0 0 0 , 0 0 a u m a t a x a d e 3 % a o m ê s . S e e s s a p e s s o a o p t a r p o r p a g a r o e m p r é s t i m o e m 
u m a ú n i c a p a r c e l a a p ó s x a n o s , d e t e r m i n e :
a ) A e x p r e s s ã o q u e r e p r e s e n t a o m o n t a n t e M d a d í v i d a a p ó s x m e s e s d a d a t a d o e m p r é s t i m o .
b ) O p o r c e n t u a l d e j u r o s a c u m u l a d o s s e a d í v i d a f o i p a g a e m q u a t r o m e s e s .
A G O R A É A S U A V E Z
N e s t e t e m a , v o c ê a p r e n d e u a d e t e r m i n a r o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o p a r a o a u m e n t o o u a r e d u ç ã o p o r c e n t u a l . A l é m i s s o , 
v o c ê a p r e n d e u a m o n t a r f u n ç õ e s a p a r t i r d e p r o b l e m a s q u e e n v o l v a m f u n ç õ e s e x p o n e n c i a i s . V o c ê t a m b é m a p r e n d e u 
V R E U H � D � F D U D F W H U L ] D o m R � G D V � I X Q o } H V � H [ S R Q H Q F L D L V � � 3 R U � ¿ P � � Y R F r � D S U H Q G H X � D � X W L O L ] D U � D � F D O F X O D G R U D � F L H Q W t ¿ F D � S D U D � U H V R O Y H U �
o p e r a ç õ e s d e p o t e n c i a ç ã o .
b ) O p o r c e n t u a l d e j u r o s a c u m u l a d o s s e a d í v i d a f o i p a g a e m q u a t r o m e s e s .
N e s t e t e m a , v o c ê a p r e n d e u a d e t e r m i n a r o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o p a r a o a u m e n t o o u a r e d u ç ã o p o r c e n t u a l . A l é m i s s o , 
F I N A L I Z A N D O
1 9
0 8 5 2 / 2 � � $ I U k Q L R � & D U O R V � � % 2 1 ( 7 7 2 � � * L i F R P R � � M a t e m á t i c a A p l i c a d a a A d m i n i s t r a ç ã o , E c o n o m i a e C o n t a b i l i d a d e . 2 . e d . S ã o P a u l o : 
& H Q J D J H � / H D U Q L Q J � � � � � � �
7 $ 1 � � 6 R R � 7 D Q J � � M a t e m á t i c a A p l i c a d a à A d m i n i s t r a ç ã o e E c o n o m i a . 5 . e d . S ã o P a u l o : P i o n e i r a , 2 0 0 1 .
R E F E R Ê N C I A S
C a p i t a l i z a ç ã o : a d i ç ã o d e j u r o s a u m c a p i t a l . P o d e s e r s i m p l e s o u c o m p o s t a .
D e p r e c i a ç ã o : d e s v a l o r i z a ç ã o o u p e r d a d e v a l o r q u e u m p r o d u t o s o f r e c o m o u s o o u c o m o p a s s a r d o t e m p o .
7 $ 1 � 6 R R 7 D Q J � M a t e m á t i c a A p l i c a d a à A d m i n i s t r a ç ã o e E c o n o m i a . 5 . e d . S ã o P a u l o : P i o n e i r a , 2 0 0 1 .
C a p i t a l i z a ç ã o : a d i ç ã o d e j u r o s a u m c a p i t a l . P o d e s e r s i m p l e s o u c o m p o s t a .
G L O S S Á R I O
2 0
G A B A R I T O
Q u e s t ã o 1
R e s p o s t a : S u g e s t ã o d e r e s p o s t a : o s i t e d a R e v i s t a E x a m e c o n t é m a r e l a ç ã o d e a l g u n s b a n c o s : < h t t p : / / e x a m e . a b r i l . c o m .
b r / s e u - d i n h e i r o / n o t i c i a s / v e j a - a s - t a x a s - d e - j u r o s - d e - e m p r e s t i m o s - d e - c a d a - b a n c o - e m - m a i o / > . A c e s s o e m : 5 m a i . 2 0 1 4 .
P o r e x e m p l o :
% D Q F R � G R � % U D V L O � ĺ � � � � � � � D � P �
% U D G H V F R � ĺ � � � � � � � D � P �
& D L [ D � ĺ � � � � � � � D � P �
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o p a r a c a d a b a n c o :
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 4 , 2 7 % = 1 + 
1 0 0
4 , 2 7
 = 1 + 0 , 0 4 2 7 = 1 , 0 4 2 7
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 6 , 1 9 % = 1 + 
1 0 0
6 , 1 9
 = 1 + 0 , 0 4 2 7 = 1 , 0 6 1 9
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 3 , 5 1 % = 1 + 
1 0 0
3 , 5 1
 = 1 + 0 , 0 3 5 1 = 1 , 0 3 5 1
A p ó s 4 m e s e s :
% D Q F R � G R � % U D V L O � ĺ � 1 , 0 4 2 7
4 
= 1 , 1 8 2 0 5 .
% U D G H V F R � ĺ � 1 , 0 6 1 9
4
 = 1 , 2 7 1 5 5
& D L [ D � ĺ � 1 , 0 3 5 1
4 
= 1 , 1 4 7 9 7
O b s e r v e q u e o f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o d a t a x a d e j u r o s d o b a n c o B r a d e s c o , a p ó s q u a t r o m e s e s , é a p r o x i m a d a m e n t e 
� � � � P D L R U � T X H � D � G R � E D Q F R � & D L [ D � � , V V R � V L J Q L ¿ F D � T X H � � D S y V � T X D W U R � P H V H V � � D � G t Y L G D � F R P � X P � E D Q F R � V H U i � � � � � P D L R U � T X H � D �
c o m o o u t r o b a n c o . P e r c e b a q u e p o d e r e p r e s e n t a r u m a d i f e r e n ç a g r a n d e . P o r e x e m p l o , s e v o c ê t o m o u u m e m p r é s t i m o 
d e R $ 1 0 . 0 0 0 , 0 0 , i s s o r e p r e s e n t a r i a u m a d i f e r e n ç a d e R $ 1 . 0 0 0 , 0 0 a p ó s 4 m e s e s .
2 1
Q u e s t ã o 2
R e s p o s t a : A l te r n a t i v a C .
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o = 
1 0 0
1 6 7
 = 1 , 6 7
Q u e s t ã o 3
R e s p o s t a : A l t e r n a t i v a C .
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 1 8 , 5 % = 1 + 
1 0 0
1 8 , 5
 = 1 + 0 , 1 8 5 = 1 , 1 8 5 .
Q u e s t ã o 4
R e s p o s t a : A l t e r n a t i v a E .
O f a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o = 1 - 2 8 , 7 % = 1 - 
1 0 0
2 8 , 7
 = 1 - 0 , 2 8 7 = 0 , 7 1 3 .
Q u e s t ã o 5
R e s p o s t a : A l t e r n a t i v a E .
U m a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l t e m a f o r m a f ( x ) = b . a
x
. P a r a o p r o b l e m a c o n s i d e r a d o , e l a t e r á a f o r m a M ( n ) = b . a
n
.
& R P R � H [ S O L F D G R � Q D � W H R U L D � � R � F R H ¿ F L H Q W H � b r e p r e s e n t a a s i t u a ç ã o i n i c i a l . N e s s e p r o b l e m a , a s i t u a ç ã o i n i c i a l é o v a l o r d o 
H P S U p V W L P R � 5 � � � � � � � � � � � � � 2 � F R H ¿ F L H Q W H � a r e p r e s e n t a o f a t o r d e a u m e n t o o u d e r e d u ç ã o . N e s t e p r o b l e m a , t r a t a - s e d e 
u m f a t o r d e a u m e n t o , p o i s a d í v i d a a u m e n t a c o m o p a s s a r d o t e m p o . A s s i m :
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 4 , 3 % = 1 + 
1 0 0
4 , 3
 = 1 + 0 , 0 4 3 = 1 , 0 4 3
P o r t a n t o , a f u n ç ã o s e r á M ( n ) = 2 5 0 0 0 0 . 1 , 0 4 3
n
.
Q u e s t ã o 6
R e s p o s t a : A p ó s t r ê s a n o s , o v a l o r d o t o r n o C N C s e r á :
V ( 3 ) = 2 5 0 0 0 0 . 0 , 9 2
3
� ĺ � 9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ĺ � 9 � � � � � � � � � � � � U H D L V �
2 2
Q u e s t ã o 7
R e s p o s t a : U m a f u n ç ã o e x p o n e n c i a l t e m a f o r m a f ( x ) = b . a
x
� � & R P R � H [ S O L F D G R � Q D � W H R U L D � � R � F R H ¿ F L H Q W H � b r e p r e s e n t a a 
V L W X D o m R � L Q L F L D O � � - i � R � F R H ¿ F L H Q W H � a r e p r e s e n t a o f a t o r d e a u m e n t o o u d e r e d u ç ã o .
P a r a o p r o b l e m a c o n s i d e r a d o , a f u n ç ã o é V ( x ) = 2 5 0 0 0 0 . 0 , 9 2
x
� � $ V V L P � � R � F R H ¿ F L H Q W H � E � � � � � � � � � � H � D � � � � � �
3 R U W D Q W R � � R � Y D O R U � G D � P i T X L Q D � Q D � G D W D � G D � F R P S U D � p � G H � 5 � � � � � � � � � � � � � � - i � R � F R H ¿ F L H Q W H � D � � � � � U H S U H V H Q W D � R � I D W R U �
m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o . 
P a r a d e s c o b r i r o p o r c e n t u a l d e d e p r e c i a ç ã o ( o p o r c e n t u a l d e d e s v a l o r i z a ç ã o d a m á q u i n a ) , u t i l i z a - s e o s e g u i n t e r a c i o c í n i o :
C o m o o f a t o r d e r e d u ç ã o é 0 , 9 2 , e n t ã o 0 , 9 2 = 
1 0 0
2 9
� � � � � � � R � T X H � V L J Q L ¿ F D � T X H � � S R U � D Q R � � V R E U D P � D S H Q D V � � � � � G R � Y D O R U � G D �
m á q u i n a . A s s i m , d e s v a l o r i z a - s e 8 % d o v a l o r d a m á q u i n a ( 1 0 0 % - 9 2 % = 8 % ) . 
P o r t a n t o , a m á q u i n a d e p r e c i a 8 % a o a n o .
Q u e s t ã o 8
R e s p o s t a : � 2 � F R H ¿ F L H Q W H � b r e p r e s e n t a a s i t u a ç ã o i n i c i a l . N e s s e p r o b l e m a , a s i t u a ç ã o i n i c i a l é d e R $ 9 5 . 0 0 0 , 0 0 . O 
F R H ¿ F L H Q W H � a r e p r e s e n t a o f a t o r d e a u m e n t o o u d e r e d u ç ã o . N e s s e p r o b l e m a , t r a t a - s e d e u m f a t o r d e r e d u ç ã o , p o i s o 
v a l o r d a m á q u i n a é d e p r e c i a d o . A s s i m :
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e r e d u ç ã o = 1 - 1 4 , 5 % = 1 - 
1 0 0
1 4 , 5
 = 1 - 0 , 1 4 5 = 0 , 8 5 5
P o r t a n t o , a f u n ç ã o s e r á V ( n ) = 9 5 0 0 0 . 0 , 8 5 5
n
.
Q u e s t ã o 9
R e s p o s t a : P a r a n = 5 , o v a l o r s e r á :
V ( 5 ) = 9 5 0 0 0 . 0 , 8 5 5
5
� ĺ � 9 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ĺ � 9 � � � � � � � � � � � � � U H D L V
2 3
Q u e s t ã o 1 0
R e s p o s t a : 
D � � 2 � F R H ¿ F L H Q W H � b r e p r e s e n t a a s i t u a ç ã o i n i c i a l . N e s s e p r o b l e m a , a s i t u a ç ã o i n i c i a l é d e R $ 2 . 0 0 0 , 0 0 � � 2 � F R H ¿ F L H Q W H � a 
r e p r e s e n t a o f a t o r d e a u m e n t o o u d e r e d u ç ã o . N e s s e p r o b l e m a , t r a t a - s e d e u m f a t o r d e a u m e n t o .
F a t o r m u l t i p l i c a t i v o d e a u m e n t o = 1 + 3 % = 1 + 
1 0 0
3
 = 1 + 0 , 0 3 = 1 , 0 3
P o r t a n t o , a f u n ç ã o s e r á M ( x ) = 2 0 0 0 . 1 , 0 3
x
.
b ) P a r a x = 4 , e n t ã o :
M ( 4 ) = 2 0 0 0 . 1 , 0 3
4
� ĺ � 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 E V H U Y H � T X H � R � Y D O R U � � � � � � V H U i � P X O W L S O L F D G R � S R U � � � � � � � � � � � � � Y D O R U � H V W H �
q u e r e p r e s e n t a o s j u r o s e m q u a t r o m e s e s . C o m o 1 , 1 2 5 5 0 8 8 1 r e p r e s e n t a u m f a t o r d e a u m e n t o , p o d e s e r e s c r i t o c o m o :
1 , 1 2 5 5 0 8 8 1 = 1 + 0 , 1 2 5 5 0 8 8 1 = 1 + 
1 0 0
1 2 , 5 5 0 8 8 1
 = 1 + 1 2 , 5 5 0 8 8 1 %
P o r t a n t o , o s j u r o s a c u m u l a d o s e m q u a t r o m e s e s s ã o d e a p r o x i m a d a m e n t e 1 2 , 5 5 % .