TEORIA DOS JOGOS 15

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Teoria dos jogos 
AULA 15: BEM PÚBLICO II 
TEORIA DOS JOGOS 
Aula 15: Bem público II 
Teoria dos jogos 
AULA 15: BEM PÚBLICO II 
Provisão de bens públicos 
Exemplo 
 
2 indivíduos (1 e 2) – colegas de apartamento 
 
•Riqueza individual: w1 e w2; 
•Pagamento pela TV: g1 e g2; 
•Sobra para outros bens: x1 e x2; 
•Custo da TV: c (c = g1 + g2); 
•RO: x1 + g1 = w1 
 x2 + g2 = w2 
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Provisão de bens públicos 
• Funções de utilidade 
 
 
 
 
• Preços de reserva: 
TV com 1 
TV sem 0 
),( ),( 2211


G
G
GxuGxu
)0,( )1,(
)0,( )1,(
:que tais
22222
11111
wurwu
wurwu


 e 21 rr
(1) 
(2) 
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Provisão de bens públicos 
• Alocações possíveis 
 
 
 
• melhor no sentido de Pareto se: 
),,( 21 Gxx
)1,( )1,(
)1,( )0,(
)1,( )1,(
)1,( )0,(
222222
2222
111111
1111
gwurwu
xuwu
gwurwu
xuwu




)1,,()1,,(
)0,,(
212211
21
xxgwgw
ww

)1,,( 21 xx
De (1) 
 
 
 
De (2) 
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Provisão de bens públicos 
Como a utilidade é crescente com o consumo de bens, temos: 
222222
222222
111111
111111
 
)1,( )1,(
 
)1,( )1,(
grgwrw
gwurwu
grgwrw
gwurwu




(3) 
 
 
 
 
(4) 
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Provisão de bens públicos 
Portanto: 
 
 
Condição necessária para a eficiência de Pareto com a 
 compra do BP: 
 
 
 
Como , a condição suficiente é: 
 
22
11
gr
gr


)0,()1,(
)0,( )1,(
2222
1111
wuxu
wuxu

 cggrr  2121
(3) 
 
(4) 
cgg  21
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Provisão de bens públicos 
Conheço a alocação eficiente do BP, mas como é a decisão 
conjunta? 
 
Se e , o indivíduo 1 pode mentir para 
pegar carona (declara ). 
 
Mas o indivíduo 2 também pode mentir... 
crcr  21 
01 r
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Provisão de bens públicos 
• Condição de eficiência para o BP 
 
 
• TMSi : propensão marginal a pagar por unidade adicional do BP. 
 
A soma das propensões marginais a pagar pelo BP iguala seu custo marginal. 
• Se essa soma exceder tal custo, será eficiente prover mais do BP. 
• Se essa soma for menor do que tal custo, será eficiente prover menos 
do BP. 
)( 21 GCMaTMSTMS 
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Provisão de bens públicos 
 Condição de eficiência para um bem privado: 
 
 
• Cada pessoa consome sua quantidade, e todos atribuem o mesmo 
valor na margem. 
 Condição de eficiência para um bem público: 
 
 
• Todos consomem a mesma quantidade e podem atribuir diferentes 
valores na margem. 
)( 21 xCMaTMSTMS 
)( 21 GCMaTMSTMS 
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Provisão de bens públicos 
Exemplo 1 









0 7,0 3,0
1000 
 7,0 3,01 
7,0
 
3,0
1 
1
7,0
 
1
3,0
)( 
)ln()ln(7,0),( e 
),ln()ln(3,0),( , )(
21
21
21
21
21
21
222
111
Gxx
Gxx
Gxx
G
x
G
x
x
G
x
G
GCMaTMSTMS
xGxGu
xGxGuGGc
A escolha de G depende da renda 
dos indivíduos. 
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Exemplo 1 
G eficiente depende da 
renda dos indivíduos. 



















08,323
92,376
300 )
54,261
46,638
100 )
3,1
7,11000
0 7,0 3,0
1000 
1
2
1
2
2
1
21
21
G
x
xii
G
x
xi
x
x
Gxx
Gxx
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Provisão de bens públicos 
Exemplo 2 
1 ,699300 )
1 ,899100 )
999 1000 
11 
1
1 
1
7,0
 
1
3,0
)( 
)ln(7,0),( e 
, )ln(3,0),( , )(
12
12
2121
21
222
111







Gxxii
Gxxi
xxGxx
G
G
GG
GCMaTMSTMS
GxxGu
GxxGuGGc
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Provisão de bens públicos 
Exemplo 2 
1 ,699300 )
1 ,899100 )
999 1000 
11 
1
1 
1
7,0
 
1
3,0
)( 
)ln(7,0),( e 
, )ln(3,0),( , )(
12
12
2121
21
222
111







Gxxii
Gxxi
xxGxx
G
G
GG
GCMaTMSTMS
GxxGu
GxxGuGGc
G eficiente independe 
da renda dos indivíduos. 
Funções de utilidade 
quase lineares 
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Provisão de bens públicos 
A provisão do BP por uma pessoa tende a reduzir a provisão de outras. 
Em geral, o mercado competitivo gera pouca provisão (oferta) de bens 
públicos. 
 
Mecanismos de oferta de bens públicos 
 
• Mecanismo de comando; 
• Sistema de votação; 
• Mecanismos de incentivo para revelação da preferência por BP. 
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Provisão de bens públicos 
Mecanismos de incentivo 
Objetivo: revelação correta por parte das pessoas quanto a suas 
preferências pelo BP – processo de leilão (que requer preferências 
quase lineares). 
Revelação da demanda 
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS? 
 
 
Externalidade negativa; 
 
Caso do poluidor-pagador. 
AVANCE PARA FINALIZAR 
A APRESENTAÇÃO.