Modelos de Adsorção e Transferência de Massa

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1 Introdução
1.1 Modelos de Adsorção
1.1.1 Modelo de Langmuir
Θ =
KP
1 +KP
(1)
1.1.2 Modelo BET(
na
nam
)
=
c (P/P0)
(1− P/P0) (1− P/P0 + cP/P0) (2)
(P/P0)
na (1− P/P0) =
1
namc
+
(
c− 1
namc
)
(P/P0) (3)
onde:
P: pressão parcial do adsorbato.
P0: pressão de saturação do adsorbato.
na: quantidade adsorvida.
nam: quantidade adsorvida para formar uma monocamada.
c: parâmetro dependente da diferença entre o calor de adsorção para formar a primeira
camada e o calor latente de condensação.
c = exp
{
E1 − El
RT
}
(4)
El: Entalpia de adsorção a partir da segunda camada, corresponde ao calor latente
de condensação.
E1: Entalpia de adsorção para formação da primeira camada.
2 Resistência à Transferência de Massa Externa
2.1 Fluxo mássico desprezando convecção
NAz =
DAB
δ
(CA0 − CAs) (5)
NAz = kc (CA0 − CAs) (6)
Sendo kc o coeficiente de transferência de massa, que pode ser calculado por correla-
ções envolvendo o fator de Chilton-Couborn (JD):
JD =
Sh
Sc1/3Re
(7)
Sendo:
1
Sh =
kcdp
DAB
(8)
Sc =
µ
ρDAB
(9)
Correlação típica:
JD = 1, 66Re
−0,51 (10)
2.2 Fluxo mássico considerando convecção
NAz =
kc (CA0 − CAs)
YfA
(11)
Sendo:
YfA =
(1− δAyA)− (1− δAyAs)
ln 1−δAyA1−δAyAs
(12)
δj =
∑
νk
νj
(13)
Observação:
Em estado estacionário temos na superfície do catalisador:
(−rA)′′′ = ksCAs = kca(CA − CAs)
YfA
(14)
2.3 Critério de Mears
A diferença entre a concentração no seio do fluido e próximo à superfície do sólido será
desprezível (de forma a dar um desvio menor que 5% na taxa observada) se:
(−rA)rp
CAkc
<
0, 15
n
(15)
3 Resistência à Transferência de Massa Interna
Equação geral para geometria genérica:
1
rs
d
dr
(
rs
dy
dr
)
= φ2ym (16)
Condições de contorno:
2
dy
dr
∣∣∣∣
r=0
= 0
dy
dr
∣∣∣∣
r=1
= Bim(1− y)
onde:
φ2 =
kvC
m−1
A0 R
2
DAe
Bim =
kcR
DAe
3.1 Resolução Analítica da Difusão em Ausência de Resistência Ex-
terna
3.1.1 Geometria Plana
Neste caso:
d2y
dr2
− φ2y = 0 (17)
Que tem como solução:
y =
cosh(φr)
cosh(φ)
(18)
O fator de efetividade será:
η =
senh (φ)
φ cosh(φ)
=
tanh(φ)
φ
(19)
3.1.2 Geometria Cilíndrica
Neste caso:
1
r
d
dr
(
r
dy
dr
)
− φ2y = 0 (20)
r2
d2y
dr2
+ r
dy
dr
− φ2yr2 = 0 (21)
Que tem como solução:
y =
I0(φr)
I0(φ)
(22)
O fator de efetividade será:
3
η =
2I1(φ)
φI0(φ)
(23)
3.1.3 Geometria Esférica
Neste caso:
1
r2
d
dr
(
r2
dy
dr
)
− φ2y = 0 (24)
Que tem como solução:
y =
senh (φr)
rsenh (φ)
(25)
O fator de efetividade será:
η =
3 [φ coth (φ)− 1]
φ2
(26)
3.2 Resolução Analítica Difusão com Resistência Externa
1
rs
d
dr
(
rs
dy
dr
)
= φ2y (27)
Condições de contorno:
dy
dr
∣∣∣∣
r=0
= 0
dy
dr
∣∣∣∣
r=1
= Bim (1− y)
(28)
3.2.1 Geometria Plana
Neste caso:
d2y
dr2
− φ2y = 0 (29)
y =
Bim cosh(φr)
φsenh (φ) +Bim cosh(φ)
(30)
O fator de efetividade global será:
ηg =
Bimsenh (φ)
φ [φsenh (φ) +Bim cosh(φ)]
(31)
1
ηg
=
φ
tanh(φ)
+
φ2
Bim
=
1
η
+
φ2
Bim
(32)
4
3.2.2 Geometria Cilíndrica
Neste caso:
1
r
d
dr
(
r
dy
dr
)
− φ2y = 0 (33)
y =
BimI0(φr)
φI1(φ) +BimI0(φ)
(34)
O fator de efetividade será:
ηg =
2BimI1(φ)
φ2I1(φ) +BimφI0(φ)
(35)
1
ηg
=
φ2
2Bim
+
φI0(φ)
2I1(φ)
=
1
η
+
φ2
2Bim
(36)
3.2.3 Geometria Esférica
Neste caso:
1
r2
d
dr
(
r2
dy
dr
)
− φ2y = 0 (37)
Que tem como solução:
y =
Bimsenh (φr)
r [φ cosh(φ) + (Bim − 1)senh (φ)] (38)
O fator de efetividade será:
ηg =
3Bim [φ− tanh(φ)]
φ2 [φ+ (Bim − 1) tanh(φ)] (39)
1
ηg
=
φ2
3Bim
+
φ2
3 [φ coth(φ)− 1] =
1
η
+
φ2
3Bim
(40)
3.3 Critérios para Avaliar a Resistência a Transferência de Massa In-
terna
Critério de Wagner & Weisz:
Φ = ηφ2 =
ηkvR
2
De
=
kv,ap.R
2
De
(41)
Por outro lado (por exemplo para geometria esférica):
Φ = ηφ2 = 3 [φ coth (φ)− 1] (42)
5
4 Reatores de Lama
Ci
RA
=
1
kbAb
+
1
m
(
1
kcac
+
1
ηk
)
= rb +
1
m
rcr (43)
Para um CSTR:
V =
FA0X
(−rA) (44)
V Ci
FA0X
=
Ci
(−rA) = rb +
1
m
rcr (45)
5 Reatores Não Ideais
A função distribuição do tempo de residência E(t) é definida como:
E(t) =
C(t)∫∞
0 C(t)dt
(46)
Sendo:
C(t): concentração do traçador na saída do reator para um injeção em pulso.
A concentração de traçador na saída do reator pode ser relacionada com a entrada
pela integral de convolução:
Csai(t) =
∫ t
0
Cent
(
t− t′
)
E(t
′
)dt
′
(47)
5.1 Distruibuição Interna do Tempo de Residência
E(α) = − d
dα
[τI(α)] (48)
5.2 A Distribuição do Tempo de Residência para Reatores Ideais
5.2.1 Distribuição do Tempo de Residência para Reatores Batelada e Plug
Flow
E(t) = δ(t− τ) (49)
5.2.2 CSTR Simples
E(t) =
exp (−t/τ)
τ
(50)
6
5.2.3 Reator de Fluxo Laminar
E(t) = 0 para t <
τ
2
(51)
E(t) =
τ2
2t3
para t ≥ τ
2
(52)
5.2.4 Função Distribuição do Tempo de Residência para Séries de PFR/CSTR
Ideais
A função distribuição do tempo de residência para um CSTR e um PFR em série é:
E(t) = 0 para t < τp (53)
E(t) =
exp
(
− t−τpτs
)
τs
para t ≥ τp (54)
5.3 Modelos com Zero Parâmetros
5.3.1 Modelo de Segregação
X =
∫ ∞
0
X(t)× E(t)dt (55)
Cada glóbulo vai se comportar como um reator batelada individual. O tempo de
reação em cada um destes glóbulos é igual ao tempo em que este ficou no reator. Então,
a conversão X(t) pode ser calculada pela expressão do balanço de massa em um reator
batelada. Assim, para uma reação de primeira ordem temos:
X(t) = 1− exp (−kt) (56)
5.3.2 Modelo de Máxima Antecipação da Mistura
dX
dλ
=
rA
CA0
+
E(λ)
1− F (λ)X (57)
Condição de contorno:
CA = CA0 para λ→∞ (58)
7
6 Equações Diferenciais
Equação Diferencial Solução
Separação de variáveis
f1(x)g1(y)dx+ f2(x)g2(y)dy = 0
∫ f1(x)
f2(x)
dx+
∫ g2(y)
g1(y)
dy = c
Equação linear de primeira ordem
dy
dx
+ P (x)y = Q(x) ye
∫
Pdx =
∫
Qe
∫
Pdxdx+ c
Equação de Bernoulli
dy
dx
+ P (x)y = Q(x)yn y1−ne(1−n)
∫
Pdx = (1− n) ∫ Qe(1−n) ∫ Pdxdx+ c
Equação Exata
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
onde ∂M/∂y = ∂N/∂x
∫
M∂x+
∫ (
N − ∂
∂y
∫
M∂x
)
dy = c
Equação Homogênea
dy
dx
= F
(y
x
)
lnx =
∫ d ( yx)
F ( yx)− ( yx)
Equação linear homogênea de 2a ordem
d2y
dx2
+ a
dy
dx
+ by = 0 Sejam m1 e m2 as raízes de m2 + am+ b = 0.
Então existem 3 casos:
Caso 1: m1 e m2 reais e distintas
y = c1e
m1x + c2e
m2x
Caso 2: m1 e m2 reais e iguais
y = c1e
m1x + c2xe
m1x
Caso 3: m1 = p+ qı e m2 = p− qı
y = epx [c1 cos(qx) + c2sen (qx)]
onde p = −a/2 e q = √b− a2/4
Equação de Bessel
x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
+
(
λ2x2 − n2) y = 0 y = c1Jn(λx) + Yn(λx)
Equação de Bessel modificada
x2
d2y
dx2
+ x
dy
dx
− (λ2x2 + n2) y = 0 y = c1In(λx) + Kn(λx)
Equação de Legendre
(1− x2)d
2y
dx2
− 2xdy
dx
+ n (n+ 1) y = 0 y = c1Pn(λx) + Qn(λx)
8
7 Integração Numérica
7.1 Regra do trapézio∫ X1
X0
f(X)dX =
h
2
[f(X0) + f(X1)] (59)
onde:
h = X1 −X0 (60)
7.2 Regra de Simpson (1/3)∫ X2
X0
f(X)dX =
h
3
[f(X0) + 4f(X1) + f(X2)] (61)
onde:
h =
X2 −X0
2
(62)
7.3 Regra de Simpson (3/8)∫ X3
X0
f(X)dX =
3h
8
[f(X0) + 3f(X1) + 3f(X2) + f(X3)] (63)
onde:
h =
X3 −X0
3
(64)
7.4 Regra de Simpson (5 pontos)∫ X4
X0
f(X)dX =
h
3
[f(X0) + 4f(X1) + 2f(X2) + 4f(X3) + f(X4)](65)
onde:
h =
X4 −X0
4
(66)
7.5 Regra de Simpson (N+1 pontos - N/3 é um inteiro)∫ XN
X0
f(X)dX =
3h
8
[f(X0) + 3f(X1) + 3f(X2) + 2f(X3) + 3f(X4) + 3f(X5) + 2f(X6) + · · ·
+3f(XN−1) + f(XN )]
(67)
onde:
h =
XN −X0
N
(68)
9
7.6 Regra de Simpson (N+1 pontos - N/2 é um inteiro)∫ XN
X0
f(X)dX =
h
3
[f(X0) + 4f(X1) + 2f(X2) + 4f(X3) + 2f(X4) + · · ·
+4f(XN−1) + f(XN )]
(69)
onde:
h =
XN −X0
N
(70)
10