Lista de Integrais definidas

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DISCIPLINA: CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PROFESSOR: GISLAN SILVEIRA SANTOS
CURSO: SEMESTRE: 2015-1
ALUNO (a):
2ª Lista de Exerc´ıcios
1. Calcule as integrais definidas:
(a)
∫ 5
2
3 dx
(b)
∫ 2
−1
6 dx
(c)
∫ 2
−2
√
5 dx
(d)
∫ −2
5
2 dx
(e)
∫ 4
1
(
√
2t+
3
√
t)dt
(f)
∫ pi
2
0
cos (x)
[1 + sen (x)]3
dx
(g)
∫ 5
1
√
2t− 1dt
(h)
∫ 1
0
xex
2−1dx
2. Calcule as integrais definidas usando os seguintes resultados:
∫ 2
−1
x2dx = 3,
∫ 2
−1
dx =
3
2
,∫ pi
0
sen (x) dx = 2,
∫ 2
−1
x2dx = 3,
∫ pi
0
cos (x)dx = 0,
∫ pi
0
sen 2(x)dx =
pi
2
.
(a)
∫ 2
−1
(2x2 − 4x+ 5)dx
(b)
∫ 2
−1
(
2− 5x+ x
2
2
)
dx
(c)
∫ −1
2
(2x+ 1)2dx
(d)
∫ −2
−1
(x− 1)(2x+ 3)dx
(e)
∫ pi
0
(2 sen (x) + 3 cos (x) + 1)dx
(f)
∫ pi
0
( cos (x) + 4)2dx
3. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ 3
−1
4dx
(b)
∫ 2
0
(x3 + 3x− 1)dx
(c)
∫ 3
0
(3x2 − 4x+ 1)dx
(d)
∫ 6
3
(x2 − 2x)dx
(e)
∫ 5
−2
|x− 3|dx
(f)
∫ pi
8
0
sen (2x)dx
(g)
∫ 2
1
1
x2
dx
(h)
∫ −1
−2
(
1
x2
+ x
)
dx
(i)
∫ 1
−1
e2xdx
(j)
∫ 4
1
(5x+
√
x)dx
(k)
∫ 1
0
1
x+ 1
dx
(l)
∫ pi
4
0
sec 2xdx
(m)
∫ 2
1
(x− 2)5dx
(n)
∫ 1
0
3
√
5− xdx
(o)
∫ 0
−1
x
√
x+ 1dx
(p)
∫ 1
0
1
(x+ 1)5
dx
(q)
∫ 1
0
x2
1 + x3
dx
(r)
∫ 1
0
x2
(1 + x3)2
dx
(s)
∫ pi
3
0
cos (2x)dx
4. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ pi
2
pi
4
cos (x) ln( sen(x)) dx
(b)
∫ 1
0
x5x dx
(c)
∫ 3√pi
0
x5 cos
(
x3
)
dx
(d)
∫ pi
3
0
tg(x) sec3(x) dx
(e)
∫ 1
0
ekt
k
dt , k 6= 0
(f)
∫ 1
0
x√
(x2 + 4)
5
dx
(g)
∫ 2
0
dx√
x2 + 4x+ 8
(h)
∫ ln(3)
0
et
√
9− e2t dt
(i)
∫ a
0
x
√
a2 − x2
a2 + x2
dx
(j)
∫ 1
0
x2
(x+ 1)
3 dx
(k)
∫ 2
1
dx
4x2 + 12x− 7 dx
(l)
∫ 4
2
2x2 + 1
(x+ 1)
2
(x+ 2)
dx
5. Se f for cont´ınua e
∫ 4
0
f(x) dx = 10, encontre
∫ 2
0
f (2x) dx.
6. Se f for cont´ınua e
∫ 9
0
f(x) dx = 4, encontre
∫ 3
0
xf
(
x2
)
dx.
7. Se f for cont´ınua em R, demonstre que∫ b
a
f (x+ c) dx =
∫ b+c
a+c
f (x) dx.
8. Se a e b forem nu´meros positivos, mostre que∫ 1
0
xa (1− x)b dx =
∫ 1
0
xb (1− x)a dx.
9. Calcule as seguintes derivadas:
(a)
d
dx
(∫ x
0
(
t2 + 1
) 1
3 dt
)
(b)
d
dx
(∫ x
0
t sen(t) dt
)
(c)
d
dx
(∫ ex
x
√
1 + t2 dt
)
(d)
d
dx
(∫ x3
0
t√
1 + t3
dt
)
(e)
d
dx
(∫ x4
0
cos
(
t2
)
dt
)
(f)
d
dx
(∫ senx
1
1− t2
1 + t4
dt
)
(g)
d
dx
(∫ x
√
x
et
t
dt
)
(h)
d
dx
(∫ 3x+1
2x
sen
(
t4
)
dt
)
10. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em [a, b] e suponha que
∫ x
a
f(t) dt = x, para todo x ∈ [a, b]. Determine
f e a.
11. O nu´mero
µ =
1
b− a
∫ b
a
f(x) dx
e´ chamado valor me´dio da func¸a˜o f no intervalo [a, b].
Calcule o valor me´dio das func¸o˜es nos intervalos indicados:
(a) f(x) = sen2(x); [0, pi]
(b) f(x) = 2 + 5 cos(x); [−pi, pi]
(c) f(x) = ln(x); [1, 2]
(d) f(x) =
x
1 + x2
; [0, 1]
(e) f(x) =
cos(x)√
sen(x)
;
[
0,
pi
2
]
(f) f(x) = x2ex; [0, 1]
12. Se f for uma func¸a˜o cont´ınua tal que∫ x
0
f(t) dt = xe2x +
∫ x
0
e−tf(t) dt
para todo x, ache uma fo´rmula expl´ıcita para f(x).
13. Suponha que h seja uma func¸a˜o tal que h(1) = −2 , h′(1) = 2 , h′′(1) = 3 , h(2) = 6 , h′(2) =
5 , h′′(2) = 13 , e h′′ seja cont´ınua em toda parte. Calcule
∫ 2
1
h′′(u) du.
14. Se f for cont´ınua em [a, b], mostre que
2
∫ b
a
f(x)f ′(x) dx = [f(b)]2 − [f(a)]2
15. Encontre lim
h→0
1
h
∫ 2+h
2
√
1 + t3 dt.
16. Se f for cont´ınua em [0, 1], demonstre que
∫ 1
0
f(x) dx =
∫ 1
0
f (1− x) dx.
17. Esboce o gra´fico de f(x) =
∫ x
0
2te−t
2
dt.
18. Calcule a a´rea da regia˜o limitada pelos gra´ficos das func¸o˜es:
(a)

y = x2 − 4x
y = 0
x = 1
x = 4
(b)

y = x2 − 4x
y = x
y = x3
(c)
{
y = x2
y = x3
(d)
{
y = (x+ 1) (x− 1) (x+ 2)
y = 0
(e)
{
y = x2 − x
eixo Ox
(f)

y = x2
y = 0
x = 1
x = 2
(g)

y = (x/5) (x− 2) (x− 4)
y = 0
x = −1
x = 3
(h)
{
y = 6x− x2
y = x2 − 2x
(i)
{
y = x2
y = −x2 + 18
(j)
{
y2 = 8x
2x− 3y + 8 = 0
(k)
{
y2 = 2x+ 1
x− y − 1 = 0
(l)
{
y = 2x− x2
y = x2
(m)
{
y2 = 2x
x− y = 4
(n)

y = x2 + 1
y = 3− x2
x = −2
x = 2
(o)

y =
1
x
y = 0
x = −5
x = −1
(p)
{
y = x2
y = 3− 2x
(q)
 y = −
2x
3
y = x− 5
(r)

y = senx
y = cosx
x = 0
x = pi
19. A regia˜o delimitada pelo eixo-x, pelo gra´fico da equac¸a˜o y = x2 + 1 e pelas retas x = 1 e x = −1 gira
em torno do eixo-x. Determine o volume do so´lido resultante.
20. A regia˜o delimitada pelo eixo-x, e pelos gra´ficos de y = x3, y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo-y.
Determine o volume do so´lido resultante.
21. A regia˜o delimitada pelos gra´ficos das equac¸o˜es x2 = y − 2 e 2y − x − 2 = 0 e pelas retas verticais
x = 0 e x = 1, gira em torno do eixo-x. Determine o volume do so´lido resultante.
22. Calcule o volume do so´lido gerado pela superf´ıcie compreendida entre as curvas x2+y2 = 25 e 3x2 = 16y.
23. Calcular o volume gerado pela superf´ıcie de rotac¸a˜o entre as curvas y = 8x2 e y = 8 ao girar em torno
do eixo-y.
24. Dada a para´bola y = 2− x2 e a reta y = −x, ache o volume gerado pela rotac¸a˜o da a´rea compreendida
entre a para´bola e a reta ao redor da reta y = 0.
25. Achar o volume gerado pela revoluc¸a˜o em torno do eixo-y da a´rea limitada pelas curvas
{
x · y = 4
x+ y = 5
.
26. Encontre o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o, em torno do eixo-x, da regia˜o limitada pelas curvas
y = x3, x = 0 e x = 2.
27. Calcular o volume do so´lido gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o, compreendida entre os gra´ficos, em torno do
eixo indicado:
(a)
{
x = y2
x− y = 2 em torno do eixo-y.
(b)

y = x
x+ y = 4
x = 0
em torno do eixo-x.
(c)
{
y2 = x
2y = x
em torno do eixo-y.
28. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para encontrar o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o
limitada pelas curvas dadas em torno do eixo-x.
(a) x = 1 + y2 , x = 0 , y = 1 , y = 2
(b) x =
√
y , x = 0 , y = 1
(c) y = x3 , y = 8 , x = 0
(d) x = 4y2 − y3 , x = 0
(e) x = 1 + (y − 2)2 , x = 2
(f) x+ y = 3 , x = 4− (y − 1)2
29. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para achar o volume gerado pela rotac¸a˜o da regia˜o limitada pelas
curvas dadas em torno do eixo especificado.
(a) y = x2 , y = 0 , x = 1 , x = 2; em torno de x = 1
(b) y =
√
x , y = 0 , x = 1; em torno de x = −1
(c) y = 4x− x2 , y = 3; em torno de x = 1
(d) y = x2 , y = 2− x2; em torno de x = 1
(e) y = x3 , y = 0 , x = 1; em torno de y = 1
(f) y = x2 , x = y2; em torno de y = −1
30. Determine se a integral impro´pria e´ convergente ou divergente; se for convergente, determine seu valor.
(a)
∫ ∞
2
dx
(x− 1)2
(b)
∫ ∞
2
dx
x− 1
(c)
∫ 1
−∞
ex dx
(d)
∫ ∞
−∞
dx
1 + x2
(e)
∫ ∞
1
dx
3
√
x2
(f)
∫ ∞
1
dx
x4
(g)
∫ 8
0
dx
3
√
x
(h)
∫ 1
−3
dx
x2
(i)
∫ pi/2
0
sec2(x) 3
√
x dx
(j)
∫ 4
0
dx
3
√
(3− x)2
(k)
∫ 4
2
x− 2
x2 − 5x+ 4 dx
(l)
∫ ∞
−∞
x · ex2 dx
31. Se f(t) e´ cont´ınua para t ≥ 0, a Transformada de Laplace de f e´ a func¸a˜o F definida por
F(s) =
∫ ∞
0
f(t)e−st dt
e o domı´nio de F e´ o conjunto de todos os nu´meros s para os quais a integral converge. Calcule a
Transformada de Laplace das seguintes func¸o˜es:
(a) f(t) = 1 (b) f(t) = et (c) f(t) = t