Erros e Propagação - Explicação e Exercícios

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UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PERNAMBUCO
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
MÉTODOS NUMÉRICOS
Prof. Fernando Bertino
1. ERRO
1.1 EXISTÊNCIA
A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico.
Os dados, em si, não são exatos;
As operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados.
Os métodos numéricos buscam resultados o mais próximo possível do que seriam os valores exatos.
1.1.1 NOÇÕES FUNDAMENTAIS: 
Toda medida é um intervalo e não um número exato, decorrente do:
Do processo de medição;
Do erro do medidor;
Da incerteza do valor.
Exemplo:
Um medida de comprimento de 45,7cm é possivelmente, (45,7(0,1)cm, isto é, algo no intervalo 45,6cm a 45,8cm.
Quando se opera com um valor, carrega-se sua incerteza para o resultado das operações. Chama-se a esse processo, propagação de erro.
Os métodos numéricos, freqüentemente iterativos, se propõem a obter resultados aproximados, diminuindo o erro a cada iteração, num processo de aproximação sucessiva.
O computador ao representar números reais com um número finito de dígitos, será forçado a aproximá-los quando os números reais exigirem mais dígitos.
Exemplo:
Ao representarmos o número exato (.
1.1.2 ALGUMAS OBSERVAÇÕES:
Quando se representa um valor tem-se (m ( (); para ( > 0 e ( << m, para uma medida bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de (.
A medida 23.537m ( 2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m. Essa medida teria sido feita com boa precisão; embora com certa margem de erro, como sempre.
Porém, um comprimento de 10m ( 5m, logo sabe muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 5m até 15m. Essa medida não tem boa precisão.
Chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de (;
Chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação
onde, abs(m) é o valor absoluto de m.
1.2 PROPAGAÇÃO
Vamos aos exemplos:
Dados a = 50 ( 3 e b = 21 ( 1, calcular a soma (a + b), a subtração (a – b) e o produto (a x b).
a pode variar de 47 a 53 e b de 20 a 22.
Assim o menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75. 
(a + b) = (50 + 21 ) ( 4 = 71 ( 4, variando de 67 a 75.
Menor valor da subtração seria 47 - 22 = 25 e o maior valor da subtração seria 
53 - 20 = 33.
(a – b) = (50 – 21) ( 4 = 29 ( 4, variando de 25 a 33.
Na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável.
Menor valor do produto seria 47 x 20 = 940.
e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166.
(a x b) = (50 (3) x (21 ( 1) ( 1050 ( (3 x 21 + 50 x 1) (a x b) ( 1050 ( 113.
Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de
(3 x 21 + 50 x 1 ) = 113.
Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1x3, considerado desprezível,
Quando efetuamos operações sobre números sujeitos a erros, esses se propagam aos resultados das operações, que vão refletir a incerteza dos números que compõem a operação. Assim:
(a ( ea) + (b ( eb) = a + b ( (ea + eb)
(a ( ea) - (b ( eb) = a - b ( (ea + eb)
(a ( ea) x (b ( eb) ( a x b ( (a.eb + b.ea)
Estamos admitindo a, b, ea , eb sempre positivos.
Se negativos tomaremos (– a ), (– b ) etc.
Analisando os erros relativos dessas operações.
Erro relativo da soma ( Esoma
Erro relativo da subtração ( Esub
Erro relativo do produto ( Eprod
Erro relativo de a ( Ea
Erro relativo de b ( Eb
Erro Relativo da Soma:
Soma: esoma = ea + eb
Multiplicando e dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:
Assim, o erro relativo da soma é a soma dos erros relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma.
Exemplo:
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. A soma a + b = 71 ± 4
Erro relativo de a: Ea = 3/50 = 0,06;
Erro relativo de b: Eb = 1/21 = 0,05
Erro relativo de (a + b):
Esoma = 0,06 x 50/71 + 0,05 x 21/71 = 0,057 ( 4/71
Erro Relativo da Subtração:
Subtração: esub = ea + eb
Multiplicando de dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:
Assim o erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.
Exemplo:
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1.
A subtração (a – b) = 29 ± 4
Erro relativo de a: Ea = 3/50 = 0,06.
Erro relativo de b: Eb = 1/21 = 0,05
Erro relativo de (a – b):
Esub = 0,06 . 50/29 + 0,05 . 21/29 = 0,14 ( 4/29
Erro Relativo do Produto:
Produto: prod
(a ± ea) x (b ± eb) ( a x b ± (a x eb + b x ea)
eprod = a x eb + b x ea
Assim o erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.
Exemplo:
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1.
O produto (a x b) = 1050 ± 113
Erro relativo de a: Ea = 3/50 = 0,06;
Erro relativo de b: Eb = 1/21 = 0,05
Erro relativo de (a x b): 
Epro = 0,06 + 0,05 = 0,11 ( 113/1050
Divisão
Analisando incialmente a fração: 1/( b ± eb)
1/( b ± eb) = 1/b.(1 ± eb/b) = 1/b . 1/(1 ± eb/b)
Por outro lado, a série binomial (1+x)-1 é dada por:
(1+x)-1 ( 1 - x + x2 - x3 + x4 -… abandonando-se os termos em x2, x3, x4..., temos:
Divisão
Erro Relativo da Divisão: div
Assim o erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.
Exemplo:
Sendo a = 50 ± 3 e b = 21 ± 1. 
A divisão estará entre 47/22 = 2,14 e 53/20 = 2,65.
A divisão a/b = 2,38 ± (3/21 + 1x50/(21x21)) 
a/b = 2,38 ± 0,26, isto é,
entre 2,12 e 2,64.
Erro relativo de a/b:
 Ediv = 0,06 + 0,05 = 0,11
Ediv ( 0,26/2,38
RESUMO
Propagação de Erros
Erro relativo da soma é a soma dos erros relativos de cada parcela, ponderada pela participação da parcela no total da soma.
Erro relativo da subtração é a soma dos erros relativos do minuendo com o erro relativo do subtraendo, ponderados pela participação de cada um no resultado da subtração.
Erro relativo do produto é a soma dos erros relativos dos fatores.
Erro relativo da divisão é a soma dos erros relativos do dividendo e do divisor.
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