Faculdade Eng FICHA 1 MN

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Faculdade Engenharias 
Departamento de Electrotecnia, Civil, Mecânica e Química. Ano lectivo de 2020 Semestre: 2° 
Curso (s): Todos Cursos 
Unidade Curricular: Métodos Numéricos 
Nome do (s) docente (s) (Regente): Zacarias Mutombene 
Nome do (s) Docente (s) (Assistente): Manuel Cumbe 
Regime: Laboral e Pós-Laboral 
 
Capítulo 1: Cálculo com Números Aproximados 
 
Tema 1: Noções básicas sobre erros 
 
I. De onde vem os erros? 
 
Os erros em geral podem vir dos instrumentos ou observações. 
Por exemplo: 
 Quando se usa instrumentos para medir as grandezas o erro pode vir: 
• Do próprio instrumento. 
• Do método usado para fazer as medições. 
• Dos cálculos. 
 
 
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1. Erros de instrumentos 
Os instrumentos são sempre fabricados com alguns erros. Este tipo é chamado de 
ERRO DE INSTRUMENTO e tem um critério para o determinar: 
 
CRITÉRIO 
O erro de dados obtidos através das observações ou medições não deve ser superior 
a metade da mínima grandeza do instrumento utilizado. 
 
Exemplo: 
Se usar-se uma régua graduada em milímetros, o erro de uma medição não é 
superior a 0.5mm. 
 
2. Erro calculável 
As vezes calculam fazendo arredondamentos dos resultados finais. Se o cálculo 
conduz a utilizar os valores irracionais tais como π, e, √3, sin 1 , 𝑒𝑡𝑐. Então num 
cálculo só pode usar-se um valor aproximado desses irracionais, por exemplo, em 
vez de usar-se π=3.14159… usa-se π≈3.14, esse tipo de erro chama-se ERRO 
CALCULÁVEL. 
 
 
3. Erro do método (algoritmo) 
Alguns problemas de matemática não têm métodos exactos para se resolverem. As 
vezes existem os métodos exactos mas estes são complexos. Se substituírem esses 
métodos por um método aproximado, encontra-se um erro do método. 
 
Exemplo: 
Existem muitos métodos exactos para resolver o sistema de equações lineares 
algébricas 
 𝐴𝑥 = 𝐵 
Sendo A uma matriz, se a dimensão do sistema for grande, o método directo que 
usa determinantes leva a calcular um número muito grande de operações 
aritméticas. Para fixar a ideia, tomamos que a dimensão sejaigual a 10. Precisamos 
calcular 11 determinantes de ordem 10x10. 
 
 
4. Conclusão 
A análise feita diz que é necessário estabelecer alguns critérios que permitam fazer 
o estudo de como os erros não influenciam nos resultados finais. 
Há 2 critérios mais importantes: Erro Absoluto e Erro Relativo. 
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II. ErroAbsoluto 
 
1. Erro absoluto. 
Definição: 
 Seja 𝑵 o número considerado como exacto, e�̅�um valor aproximado de 𝑵. Chama-
se erro absoluto de �̅�, designado por 𝜀 a grandeza 𝜺 = 𝑵 − �̅�. 
 
Comentário 
Apesar de não ser possível calcular o valor exacto do erro absoluto 𝜀, pode se 
calcular o limite superior de|𝜺|, que é ∆= 𝒎𝒂𝒙|𝜺| 
Considera-se∆como erro absoluto de �̅�. 
 
 
Exemplo: 
Considere o valor exacto 
𝑒 = lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
, 𝑒 = 2.7182818 … 
 
Se usar o valor �̅�com 3 dígitos decimais : �̅� = 2.718, o erro absoluto será: 
𝜀 = 2.71818 … . −2.718 = 0.0002818 … . . < 0.0003 
 
Logo |𝜺|<0.0003. 
Tomando ∆= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑 Diz-se que o erro absoluto de �̅�é∆= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑. 
 
2. Notação dos valores aproximados 
Para indicar o valor aproximado �̅�com o seu erro absoluto ∆, pode se usar a 
notação: 
�̅� ± ∆ 
Essa fórmula é sempre usada nos resultados finais. 
 
III. Erro Relativo 
 
1. Erro relativo 
Definição: 
 Chama-se erro relativo do valor aproximado 𝑁de𝑁 a grandeza 𝑅 =
|𝜀|
|�̅�|
 . 
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Se 𝜀for pequeno, isto é, 𝑁é muito aproximado de 𝑁 usa-se 𝑅 =
|∆|
|�̅�|
. Esta segunda 
fórmula é a mais utilizada a qualquer aplicação com R. 
 
 
2. Significado do erro relativo 
O erro relativo duma grandeza explica o erro absoluto que cada unidade de valor 
comete. 
 
Exemplo: 
 Resultado da medição da altura da sala de aulas: 
4.50m ± 0.05m 
𝑁 = 4.50 
∆ = 0.05 
𝑅 =
|∆|
|𝑁|
=
0.05
4.50 
= 0.011 
O número 0.011 (erro relativo) diz que cada metro da altura está com o erro 
absoluto de 0.011m. 
NOTA: 
É de notar que o erro relativo é um escalar (sem dimensão) enquanto o erro absoluto é sempre com 
dimensão. 
 
IV. Comparação de exactidão dos números aproximados 
 
CRITÉRIO: 
 Diz-se que o número A é mais exacto que o número B, se e só se𝑅𝐴 < 𝑅𝐵. 
V. Fórmula fundamental de erros 
Consideramos uma função de 2 variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦). Caso a função tenha mais ou menos 
variáveis a questão é semelhante. 
Na matemática tem-se: 
 
∆𝑓 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥 , 𝑦 + ∆𝑦) − 𝑓(𝑥, 𝑦) 
Onde: 
 ∆𝑥é o erro absoluto de x. 
 ∆𝑦é o erro absoluto de y. 
 ∆𝑓é o erro absoluto de f. 
 
5 
 
∆𝑓 = 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
∆𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
∆𝑦 
|∆𝑓| ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| |∆𝑥| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| |∆𝑦| 
Seja D o domínio bidimensional [𝑥 ± ∆𝑥] x [𝑦 ± ∆𝑦]e 
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
𝑀
= max
𝐷
|
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| ,|
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|
𝑀
= max
𝐷
|
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| , 
|∆𝑓| ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
𝑀
|∆𝑥| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|
𝑀
|∆𝑦| 
Esta última expressão é a base matemática para calcular os erros, e tem o nome de Fórmula 
fundamental dos erros. 
Se a função tiver 3 variáveis 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧), 
|∆𝑓| ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
𝑀
|∆𝑥| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|
𝑀
|∆𝑦| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑧
|
𝑀
|∆𝑧| 
 
(*) Alguns casos importantes 
Caso 1: Erro absoluto de uma soma algébrica (adição e subtracção) 
Considere a função: f = f(x,y) = x±y 
 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 1 , |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| = 1 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= ±1 , |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| = 1 
|∆𝑓| ≤ |
𝜕𝑓
𝜕𝑥
| |∆𝑥| + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
| |∆𝑦| 
|∆𝑓| ≤ 1 ∗ |∆𝑥| + 1 ∗ |∆𝑦| 
|∆𝑓| ≤ |∆𝑥| + |∆𝑦| 
➢ O erro absoluto de uma soma é inferior ou igual a soma dos erros absolutos de cada 
variável. 
 
 
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Exemplo: 
˳A_________________˳B__________________________C˳ 
 Há 3 cidades A, B, C; a distância AB é de 150±3 𝑘𝑚, a distância BC é de 
200±4 𝑘𝑚. 
Qual é a distância AC via B 
|𝐴𝐶| = |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| = 150km + 200km = 350 km, com erro absoluto: ∆𝐴𝐶 ≤ 3 +
4 = 7 (𝑘𝑚) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Exercícios Propostos 
1. Dê alguns exemplos de números exactos e de números aproximados. 
 
2. Seja dado 𝜋 = 3.14159… Calcular o erro absoluto do valor 3.14 aproximado de𝜋. 
 
3. Seja o valor de 𝜋 com 15 casas decimais𝜋 = 3.141592653589793 
Faça o arredondamento até 5 dígitos decimais e calcule o erro absoluto ∆𝜋. 
 
 
4. Seja o valor de e (a base do algoritmo natural) com 15 casas decimais𝑒 =
2.718281828459045 
Faça o arredondamento até 6 dígitos decimais e calcule o erro relativo Re. 
 
 
5. Seja as seguintes grandezas: 
a) A temperatura máxima em Maputo de hoje é 25℃ ± 2℃ 
b) A velocidade de um veículo é 70 ± 2 km por hora 
c) A distancia de Maputo a Beira é 1340 ± 10 Km 
Determinar os valores aproximados, erro absoluto e erro relativo respectivo de cada 
grandeza. 
 
6. Seja 𝐴 = 115.3 ± 0.5 e 𝐵 = 10376 ± 50. Que valor é mais exacto? 
 
7. Ordenar os seguintes valores pela ordem crescente de exactidão: 
𝐴 = −123.43 ± 0.13𝐵 = 15632 ± 50𝐶 = 0.9342 ± 0.0001 
 
8. Ordenar os seguintes valores e fazendo arredondamento até 3 casas decimais pela ordem 
decrescente de exactidão: 
𝜋 = 3.141592653589793 
 𝑒 = 2.718281828459045 
𝑠𝑒𝑛(1.0) = 0.84147098480 
√2 = 1.414213562 
 
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9. Sejam as três cidades A, B e C. Sabem se que a distância AB = 127 ± 0.5 (km), AC = 321 
± 2 (km). Calcule a distância BC. 
⃝------------------------------------⃝-----------------------------------------------⃝ 
 A B C 
 
 
10. Determinar a fórmula de erro absoluto quando calcular a área de um jardim rectangular 
medindo a sua largura X e o seu comprimento Y. 
 
11. Determinar a área de um trapézio ABCD e erro absoluto respectivo, Sejam as medições 
𝑋 = 𝐶𝐷 = 5 ± 1𝑌 = 𝐴𝐵 = 15 ± 2𝐻 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 = 10 ± 1 
 C DA E B 
 
12. Determina o erro absoluto ∆𝑁 ao calcular o valor (A+B)*C sendo 
𝐴 = −21.34 ± 0.002,𝐵 = 3.75 ± 0.005, 𝐶 = 12.002 ± 0.004 
 
13. Determina o erro absoluto∆𝑁 ao calcular o Valor ( A+B ) ( C-D ) sendo 
A = −21.134 ± 0.002 B = 3.75 ± 0.005 
C = 12.002 ± 0.004D = −2.12 ± 0.004 
 
14. Determinar o valor aproximado e o erro absoluto respectivo∆𝑁 para o valor 
N =
𝑋𝑌
𝑋 + 𝑌
 
a) Sendo X= 12.34 ± 0.02 e Y= -7.68± 0.001 
b) Sendo X= -12.34±0.02 𝑒 𝑌 = 7.68 ± 0.01 
 
15. Demonstrar as fórmulas de erros para as seguintes funções: 
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( designa se ∆𝑋- erro absoluto deX, 𝛿𝑥 -erro relativo de x ) 
a) F ( x,y ) =𝑥 ± 𝑦|∆𝐹| ≤ ∆𝑥| + |∆𝑦| 
b) F(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∗ 𝑦𝛿𝐹 ≤ 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 
c) F ( x,y )= 𝑥/𝑦 𝛿𝐹 ≤ 𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 
d) F ( x ) = √𝑥 𝛿𝐹 ≤
𝛿𝑋
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