CAP. 5 SISTEMA DE COORDENADAS

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CAP. 5 – SISTEMA DE COORDENADAS
Professor: LUÍS HENRIQUE GONÇALVES COSTA, MSc.
DISCIPLINA: AAM 0031 – TOPOGRAFIA
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 Um dos principais objetivos da Topografia é a
determinação de coordenadas relativas de pontos. Para
tanto, é necessário que estas sejam expressas em um
sistema de coordenadas.
 São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para
definição unívoca da posição tridimensional de pontos:
sistemas de coordenadas cartesianas e sistemas de
coordenadas esféricas.
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Necessários para expressar a posição de pontos sobre a
superfície (elipsóide, esfera, plano).
 Para o Elipsóide, empregamos o Sistema de
Coordenadas Cartesiano e Curvilíneo: PARALELOS E
MERIDIANOS.
 Para o Plano,
empregamos o
Sistema de
Coordenadas
Cartesianas X e Y.
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SISTEMAS DE COORDENADAS
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
 Latitude: Posição angular tomada no sentido norte-sul em
relação a Linha do Equador.
• É o ângulo entre a reta normal à superfície do elipsoide
passando pelo ponto e o plano do Equador.
Varia de -90°(S) a +90°(N)
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SISTEMAS DE COORDENADAS
COORDENADAS GEOGRÁFICAS
 Longitude: Posição angular tomada no sentido leste-oeste
em relação ao Meridiano de Greenwich.
• É o ângulo do diedro definido pelo plano meridional
passando pelo ponto e o plano meridional de
Greenwich.
Varia de 0°a -180°(W)
ou 0°a +180°(E).
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COORDENADAS GEOGRÁFICAS
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COORDENADAS GEOGRÁFICAS
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 Quando se posiciona um ponto, nada mais está se
fazendo do que atribuindo coordenadas ao mesmo.
Estas coordenadas por sua vez deverão estar
referenciadas a um sistema de coordenadas.
 Existem diversos sistemas de coordenadas, alguns
amplamente empregados em Geometria e
Trigonometria, por exemplo. Estes sistemas
normalmente representam um ponto no espaço
bidimensional ou tridimensional.
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
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 No espaço bidimensional, um sistema bastante utilizado
é o sistema de coordenadas retangulares ou
cartesianas. Este é um sistema de eixos ortogonais no
plano, constituído de duas retas orientadas X e Y,
perpendiculares entre si. A origem deste sistema é o
cruzamento dos eixos X e Y.
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SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
 Um ponto é definido neste sistema através de uma
coordenada denominada abscissa (coordenada X) e
outra denominada ordenada (coordenada Y). Uma das
notações P(x, y) ou P= (x, y) é utilizada para denominar
um ponto P com abscissa x e ordenada y.
 A coordenadas da origem são O (0,0), e os pontos
A(10,10), B(15,25) e C(20,-15).
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 Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares
no espaço tridimensional é caracterizado por um
conjunto de três retas (X, Y, Z) denominadas de eixos
coordenados, mutuamente perpendiculares, as quais se
interceptam em um único ponto, denominado de origem.
A posição de um ponto neste sistema de coordenadas é
definida pelas coordenadas cartesianas retangulares (x,
y, z).
 Conforme a posição da direção positiva dos eixos, um
sistema de coordenadas cartesianas pode ser
dextrógiro ou levógiro (GEMAEL, 1981).
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 Um sistema dextrógiro é aquele onde um observador
situado no semi-eixo OZ vê o semi-eixo OX coincidir
com o semi-eixo OY através de um giro de 90° no
sentido anti-horário.
 Um sistema levógiro é aquele em que o semi-eixo OX
coincide com o semieixo OY através de um giro de 90°
no sentido horário.
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SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
COORDENADAS CARTESIANAS (XYZ)
– ORIGEM CENTRO DA TERRA:
 Os eixos X e Y pertencem ao plano do Equador e o
eixo Z coincide com o centro da Terra, passando por
Greenwich.
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SISTEMAS DE COORDENADAS ESFÉRICAS
Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado
de forma unívoca, pelo afastamento r entre a origem do
sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado
entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre
o plano xy e pelo ângulo α que a projeção do segmento
OR sobre o plano xy forma com o semieixo OX. As
coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por
(r, α, β)
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SISTEMAS DE COORDENADAS
TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
Esférica (r, α, β) para Cartesianas (X, Y, Z):
X = r . cos β . cos α
Y = r. cos β . sen α
Z = r. sen β
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-
se modelos para a sua representação, mais simples,
regulares e geométricos e que mais se aproximam da
forma real para efetuar os cálculos. Cada um destes
modelos tem a sua aplicação, e quanto mais complexa a
figura empregada para a representação da Terra, mais
complexos serão os cálculos sobre esta superfície.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
 MODELO ESFÉRICO - Em diversas aplicações a Terra
pode ser considerada uma esfera, como no caso da
Astronomia. Um ponto pode ser localizado sobre esta
esfera através de sua latitude e longitude. Tratando-se
de Astronomia, estas coordenadas são denominadas
de latitude e longitude astronômicas.
• Latitude Astronômica (ϕ): é o arco de meridiano
contado desde o equador até o ponto considerado,
sendo, por convenção, positiva no hemisfério Norte e
negativa no hemisfério Sul.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA – ESFÉRICO
• Longitude Astronômica (Λ): é o arco de equador
contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até
o meridiano do ponto considerado. Por convenção a
longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de
Greenwich e de 0º a -180º por oeste de Greenwich.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA – ESFÉRICO
 Dois pontos numa mesma linha de longitude e
separados por um grau de latitude estão distantes:
• 1 grau de latitude representa 1/360 da
circunferência da terra = cerca de 111km
• 1 minuto de latitude corresponde a 1,86 KM que
também define 1 milha náutica
• 1 segundo de latitude corresponde a 30 metros
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA – ESFÉRICO
 Distância entre dois pontos
Desta forma o comprimento deste arco entre dois
pontos de dois grandes círculos numa terra de raio R
é dado por:
• R*cos-1[sen1*sen2 + cos1*cos 2*cos(1 - 2)]
• Ex.: A distância de um ponto no Equador a longitude 90E (no
oceano índico entre Sri Lanka e Sumatra) e o Pólo Norte é
aplicar a esta equação acima os valores 1=0, 1=90; 2=90,
2=90, com raio R=6378Km é 10.018Km (ou perto de
10.000km).
• Obs.: A França originalmente definiu o sistema métrico no
século XVIII como 1/10.000.000 da distância do Equador ao
Pólo Norte.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
 MODELO ELIPSOIDAL - A Geodésia adota como
modelo o elipsóide de revolução. O elipsóide de
revolução ou biaxial é a figura geométrica gerada pela
rotação de uma semi-elipse (geratriz) em torno de um
de seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o
menor tem-se um elipsóide achatado. Mais de 70
diferentes elipsóides de revolução são utilizados em
trabalhos de Geodésia no mundo.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA – ELIPSOIDAL
 Um elipsóide de revolução fica definido por meio de
dois parâmetros, os semieixos a (maior) e b (menor).
Em Geodésia é tradicional considerar como
parâmetros o semieixo maior a e o achatamento f,
expresso pela equação.
a: semi-eixo maior da elipse
b: semi-eixo menor da elipse
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA – ELIPSOIDAL
 No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro
(SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico
para as AméricaS) adota o elipsóide de revolução
GRS80 (Global Reference System 1980), cujos
semieixo maior e achatamento são:
• a = 6.378.137,000 m
• f = 1/298,257222101
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
 MODELO GEOIDAL - é o que mais se aproxima da
forma da Terra. É definido teoricamente como sendo o
nível médio dos mares em repouso, prolongado
através dos continentes. Não é uma superfície regular
e é de difícil tratamento matemático.
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SUPERFÍCIES DE REFERÊNCIA
 MODELO PLANO – Considera a porção da Terra em
estudo com sendo plana. É a simplificação utilizada
pela Topografia. Esta aproximação é válida dentro de
certos limites e facilita bastante os cálculos
topográficos. Face aos erros decorrentes destas
simplificações, este plano tem suas dimensões
limitadas. Tem-se adotado como limite para este plano
na prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 13133
(Execução de Levantamento Topográfico) admite um
plano com até aproximadamente 80 km.
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 MODELO PLANO.
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SISTEMA DE COORDENADA UTM
 PROJEÇÃO MERCATOR
• Transforma latitude/longitude em coordenadas (x,y)
no sistema cartesiano.
• Trabalha com meridianos retos e equidistantes e
paralelos retos.
• Cada projeção de mapa pode ser representada
como um par de função matemática: x = f( , ), e
y = g( , )
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 PROJEÇÃO MERCATOR
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SISTEMA DE COORDENADA UTM
 A projeção de Mercator divide a terra em 60 fusos com
6 graus de longitude cada.
 Cada fuso possui um meridiano central.
 Quando o meridiano central de cada fuso cruza o
equador este tem o valor de 500.000 m. E, com
distâncias em sentido leste/oeste e para o Equador
10.000.000m para o hemisfério sul e 0 m para o
hemisfério norte.
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SISTEMA DE COORDENADA UTM
 Um ponto localizado a sul do Equador tem sua
distância em metros subtraída de 10 000 000. Se o
ponto for localizado a norte do Equador sua distância
em relação ao equador é somada a 0m.
 O sistema UTM permite a utilização de distância na
escala métrica facilitando a localização em mapas
topográficos. Atualmente os aparelhos de GPS já
fornecem a localização de pontos em UTM.
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SISTEMA DE COORDENADA UTM
 Um ponto localizado a sul do Equador tem sua
distância em metros subtraída de 10 000 000. Se o
ponto for localizado a norte do Equador sua distância
em relação ao equador é somada a 0m.
 O sistema UTM permite a utilização de distância na
escala métrica facilitando a localização em mapas
topográficos. Atualmente os aparelhos de GPS já
fornecem a localização de pontos em UTM.