4 SISTEMAS DE COORDENADAS

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SISTEMA DE COORDENADAS 
 
a) Um dos objetivos da Topografia é a determinação de coordenadas relativas de pontos. 
 
COORDENADAS ABSOLUTAS x COORDENADAS RELATIVAS 
Origem: a mesma do plano 
cartesiano. 
 
Origem: qualquer ponto no 
espaço. 
 
 
b) São utilizados basicamente dois tipos de sistemas para definição unívoca da posição tridimensional de pontos: 
_ sistemas de coordenadas cartesianas e 
_ sistemas de coordenadas esféricas. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
a) Sistemas de Coordenadas Cartesianas ou Retangulares; 
 
_ Estes sistemas normalmente representam um ponto no espaço bidimensional ou tridimensional. 
 
 
 
_ Um ponto é definido neste sistema através de uma 
coordenada denominada abscissa (coordenada X) e 
outra denominada ordenada (coordenada Y). 
_ Uma das notações P(x, y) ou P= (x, y) é utilizada para 
denominar um ponto P com abscissa x e ordenada y. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
a) Sistemas de Coordenadas Cartesianas ou Retangulares; 
 
_ EXERCÍCIO: Represente graficamente os seguintes pontos em um sistema de coordenadas. 
 
a) A = (10,4) 
b) B = (14,0) 
c) C = (16,10) 
d) D = (20,6) 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
a) Sistemas de Coordenadas Cartesianas ou Retangulares; 
 
_ EXERCÍCIO: Represente graficamente os seguintes pontos em um sistema de coordenadas. 
 
a) A = (10,4) 
b) B = (14,0) 
c) C = (16,10) 
d) D = (20,6) 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
a) Sistemas de Coordenadas Cartesianas ou Retangulares; 
 
_ Um sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço tridimensional é caracterizado por um conjunto 
de três retas (X, Y, Z). 
 
_ denominadas de eixos coordenados; 
_ mutuamente perpendiculares; 
 _ se interceptam em um único ponto, 
 denominado de origem. 
 
 _A posição de um ponto neste sistema é 
coordenadas é definida pelas coordenadas cartesianas 
 (x, y, z). 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
b) Sistemas de coordenadas esféricas. 
 
_ Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca: 
 pelo afastamento r entre a origem do sistema e o ponto R considerado; 
 pelo ângulo b formado entre o segmento OR e a projeção 
ortogonal deste sobre o plano xy. 
 pelo ângulo a que a projeção do segmento OR sobre o 
plano xy forma com o semi-eixo OX. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
b) Sistemas de coordenadas esféricas. 
 
_ As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por (r, a, b). 
_ Podemos transformar as coordenadas esféricas em cartesianas, através da seguinte fórmula: 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
b) Sistemas de coordenadas esféricas. 
 
_ EXERCÍCIO 
* Transforme as coordenadas dos pontos abaixo em coordenadas esféricas. 
a) A = (5, 10, 5) 
b) B = (6, 2, 5) 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
b) Sistemas de coordenadas esféricas. 
 
_ EXERCÍCIO 
* Transforme as coordenadas dos pontos abaixo em coordenadas esféricas. 
a) A = (5, 10, 5) 
 
 
𝑟 = 52 + 102 + 52 𝑟 = 150 𝑟 = 12,25 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
5
12,25
) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (0,41) 𝜃 = 65,91° 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan (
10
5
) 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan (2) 𝜑 = 63,43° 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
b) Sistemas de coordenadas esféricas. 
 
_ EXERCÍCIO 
* Transforme as coordenadas dos pontos abaixo em coordenadas esféricas. 
a) B = (6, 2, 5) 
 
 
𝑟 = 62 + 22 + 52 𝑟 = 65 𝑟 = 8,06 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (
5
8,06
) 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos (0,62) 𝜃 = 51,67° 
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan (
2
6
) 𝜑 = 𝑎𝑟𝑐 tan (0,33) 𝜑 = 18,43° 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
c) Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
_ se estrutura através de linhas imaginárias, traçadas paralelamente entre si nos sentidos norte-sul e leste-oeste, 
medidas em graus. 
_ Essas linhas imaginárias são chamadas de paralelos e meridianos, e suas medidas em graus são, 
respectivamente, as latitudes e as longitudes. 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
c) Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
_O principal paralelo é a Linha do Equador, pois representa a faixa da Terra que se encontra a uma igual distância 
dos polos norte e sul. 
_ O principal meridiano é o de Greenwich e foi escolhido a partir de uma convenção, realizada na cidade de 
Washington D.C., nos Estados Unidos, no ano de 1884. 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
c) Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
_ Latitude: é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado, sendo, por convenção, 
positiva no hemisfério Norte e negativa no hemisfério Sul. 
_ Longitude: é o arco de paralelo (Equador) contado desde o meridiano de origem (Greenwich) até o meridiano do 
ponto considerado. Por convenção a longitude varia de 0º a +180º no sentido leste de Greenwich e de 0º a -180º 
por oeste de Greenwich. 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
c) Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
c) Sistema de Coordenadas Geográficas. 
 
_ o sistema de coordenadas geográficas surge a partir da combinação entre as latitudes e longitudes da 
superfície terrestre, com o auxílio da orientação dos paralelos e meridianos. Desse modo, cada ponto, por menor 
que seja, encontra-se localizado em uma latitude específica e em uma longitude, de forma que esses números 
(mesmo que fracionários, com muitas casas decimais) indicam a sua correta posição no globo. 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
A = (-20°; -60°) 
B = (-40°; 0°) 
C = (-20º; 90°) 
D = (0º; 0°) 
 
 
 
 
 
 
E = (40°; 120°) 
 
 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
 Devido às irregularidades da superfície terrestre, utilizam-se modelos para a sua representação, 
mais simples, regulares e geométricos e que mais se aproximam da forma real para efetuar os cálculos. Esse 
modelos são chamados de Superfícies de Referência. 
 
 
 
• GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Esférico; 
 
• Em diversas aplicações a Terra pode ser 
considerada uma esfera, como no caso da 
Astronomia. 
• Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera 
através de sua latitude e longitude. 
• Tratando-se de Astronomia, estas coordenadas 
são denominadas de latitude e longitude 
astronômicas. 
 
 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Elipsoidal; 
 
a) A Geodésia adota como modelo o elipsóide de revolução. 
 
b) O elipsóide de revolução ou biaxial é a figura 
geométrica gerada pela rotação de uma semi-
elipse (geratriz) em torno de um de seus eixos 
(eixo de revolução). Mais de 70 diferentes elipsóides 
de revolução são utilizados em trabalhos de 
Geodésia no mundo. 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Elipsoidal; 
 
a) Um elipsóide de revolução fica definido por meio de dois parâmetros, os semi-eixos a (maior) e b (menor). 
b) Em Geodésia é tradicional considerar como 
parâmetros o semi-eixo maior a e o achatamento f. 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Elipsoidal; 
a) As coordenadas geodésicas elipsoidais de um ponto sobre o elipsóide ficam assim definidas: 
_ Latitude Geodésica: ângulo que a normal forma 
com sua projeção no plano do equador, sendo 
positiva para o Norte e negativa para o Sul. 
 
_ Longitude Geodésica: ângulo diedro formado pelo 
meridiano geodésico de Greenwich (origem) e do 
ponto P, sendo positivo para Leste e negativo para 
Oeste. 
 
_A normal é uma reta ortogonal ao elipsóide que 
passa pelo ponto P na superfície física. 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_Modelo Elipsoidal; 
a) No Brasil, o atual Sistema Geodésico Brasileiro (SIRGAS2000 - SIstema de Referência Geocêntrico para as 
AméricaS) adota o elipsóide de revolução GRS80 (Global Reference System 1980), cujos semi-eixo maior e 
achatamento são: 
a = 6.378.137,000 m 
f = 1/298,257222101: 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Geoidal; 
a) O modelo geoidal é o que mais se aproxima da forma da Terra. 
b) É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em 
repouso, prolongado através dos continentes. 
c) Não é uma superfície regular e é de difícil tratamento matemático. 
d) O geóide é uma superfície equipotencial do campo da gravidade. 
e) As linhas de força ou linhas verticais são perpendiculares a essas 
superfícies equipotenciais e materializadas, por exemplo, pelo fio de 
prumo de um teodolito nivelado, no ponto considerado. 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo Geoidal; 
e) A reta tangente à linha de força em um ponto simboliza a direção do vetor gravidade neste ponto, e também é 
chamada de vertical. 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo plano; 
• a) O Plano Topográfico considera a 
porção da Terra em estudo com sendo 
plana. É a simplificação utilizada pela 
Topografia. Esta aproximação é válida 
dentro de certos limites e facilita bastante 
os cálculos topográficos. Face aos erros 
decorrentes destas simplificações, este 
plano tem suas dimensões limitadas. Tem-
se adotado como limite para este plano na 
prática a dimensão de 20 a 30 km. A NRB 
13133 (Execução de Levantamento 
Topográfico) admite um plano com até 
aproximadamente 80 km. 
 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Modelo plano; 
EIXO Z: materializado pela vertical do lugar (linha materializada pelo fio de prumo); 
 
EIXO Y: definido pela meridiana (linha norte-sul magnética ou verdadeira); 
 
EIXO X: forma 90º com o eixo y, na direção leste. 
 
 
Em alguns casos, o eixo Y pode ser definido por uma direção notável do terreno, como o alinhamento de uma rua, 
por exemplo. 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 • EXERCÍCIOS; 
 
- Numere as colunas abaixo: 
 
( 1 ) Longitude ( ) É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado 
através dos continentes. 
( 2 ) Latitude ( ) A Geodésia adota-o como modelo matemático para realizar todos os cálculos. 
( 3 ) Geoide ( ) É a simplificação utilizada pela Topografia. 
( 4 ) Elipsoide ( ) Origem: qualquer ponto no espaço. 
 
( 5 ) Plano ( ) é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado. 
( 6 ) Modelo Esférico ( ) é o arco de paralelo contado desde o meridiano de origem até o meridiano do ponto 
considerado. 
( 7 ) Coordenadas Absolutas ( ) Origem: a mesma do plano cartesiano 
( 8 ) Coordenadas Relativas ( ) Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 • EXERCÍCIOS; 
 
- Numere as colunas abaixo: 
 
( 1 ) Longitude ( 3 ) É definido teoricamente como sendo o nível médio dos mares em repouso, prolongado 
através dos continentes. 
( 2 ) Latitude ( 4 ) A Geodésia adota-o como modelo matemático para realizar todos os cálculos. 
( 3 ) Geoide ( 5 ) É a simplificação utilizada pela Topografia. 
( 4 ) Elipsoide ( 8 ) Origem: qualquer ponto no espaço. 
 
( 5 ) Plano ( 2 ) é o arco de meridiano contado desde o equador até o ponto considerado. 
( 6 ) Modelo Esférico ( 1 ) é o arco de paralelo contado desde o meridiano de origem até o meridiano do ponto 
considerado. 
( 7 ) Coordenadas Absolutas ( 7 ) Origem: a mesma do plano cartesiano 
( 8 ) Coordenadas Relativas ( 6 ) Um ponto pode ser localizado sobre esta esfera através de sua latitude e longitude. 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria; 
 
 
 
 
GEOIDE E ELIPSÓIDE 
 
_ Efeito da Curvatura na Distância e Altimetria; 
 
 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
d) SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA - SGR. 
_ A base do controle geodésico de um país é formada por um SGR ou Geodetic Reference System (GRS). Daí a 
importância da definição e da materialização, desse SGR, apresentarem como resultado final um conjunto de 
coordenadas bem definidas e estimadas. 
 
_ Um SGR traduz a natureza física e geométrica da superfície da Terra. Se a origem estiver em repouso ou em 
movimento retilíneo uniforme (que percorre espaços e tempos iguais) tem-se um referencial inercial. 
 
_ Esta ideia conceitual caracteriza um sistema geodésico de referência ideal, que é imprescindível nas atividades 
que envolvem posicionamento geodésico, ou informações georreferenciadas. 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
d) SISTEMA GEODÉSICO DE REFERÊNCIA - SGR. 
_ Quando a origem do sistema está no centro do planeta Terra, temos um SGR denominado de geocêntrico. 
 
_ Quando a origem do sistema está em algum lugar do planeta Terra, temos um SGR denominado de 
topocêntrico ou não geocêntrico. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
e) SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB. 
_ Um SGR definido e materializado no Brasil é conceituado pelo IBGE por Sistema Geodésico Brasileiro (SGB). 
 
_ Na prática, a atuação do IBGE, [...], caracteriza-se pela implantação e manutenção do Sistema Geodésico 
Brasileiro (SGB), formado pelo conjunto de estações, materializadas no terreno, cuja posição serve como 
referência precisa a diversos projetos de engenharia - construção de estradas, pontes, barragens, etc. -, 
mapeamento, geofísica, pesquisas científicas, dentre outros. 
 
_ A realização do SGB ocorre através de pontos, com coordenadas geodésicas, determinados na superfície 
terrestre dentro do território brasileiro. Esses pontos são utilizados para conectar os posicionamentos realizados 
na superfície da Terra ao SGB. 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
e) SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB. 
 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
e) SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB. 
_ O processo de construção de um SGB teve duas fases diferentes, tendo como divisor o desenvolvimento dos 
sistemas de posicionamento por satélites. Dentre os sistemas de referência associados ao SGB desde o seu 
estabelecimento, estão: o Sistema Córrego Alegre; o SAD 69; e o SIRGAS2000. 
 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
e) SISTEMA GEODÉSICO BRASILEIRO - SGB. 
_ O processo de construção de um SGB teve duas fases diferentes, tendo como divisor o desenvolvimento dos 
sistemas de posicionamento por satélites. Dentre os sistemas de referência associados ao SGB desde o seu 
estabelecimento, estão: o Sistema Córrego Alegre; o SAD 69; e o SIRGAS2000.