sistemas de numeração

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Sistemas de Numeração 
Introdução 
 
 Um sistema de numeração é um sistema que permite a 
representação de números através da utilização de certos 
símbolos (algarismos/dígitos). 
 
 Algarismos Arábicos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 
 
 
 
 Os sistemas de numeração são úteis aos sistemas 
computacionais, servindo para questões de 
representação de endereçamento, armazenamento, 
processamento e transmissão de dados. 
 
 
 
 
 Bit (simplificação para dígito binário, "BInary digiT" 
em inglês) – menor unidade de dados que um 
computador pode processar, armazenar ou transmitir. 
 0 ou 1 
 
 Nibble – conjunto de 4 bits 
 
 Byte – conjunto de 8 bits. 
Algumas Bases 
 
Binária (2) 
0, 1 
Octal (8) 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 
Decimal (10) 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 
Hexadecimal (16) 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
 
 Os computadores digitais trabalham internamente com 
dois níveis de tensão, e o sistema de numeração binário é 
adequado para representá-los. 
 
 As bases Octal e Hexadecimal (múltiplos de 2 e… 8) são 
também especialmente interessantes aos Sistemas 
Computacionais, pois permitem uma representação mais 
compacta dos números tratados. 
 
 
 1011012 - 101101 na base 2 (binária) 
 7528 - 752 na base 8 (octal) 
 651 - 651 na base 10 (decimal) 
 Quando não é indicada a base, a base é decimal. Mas poderia 
ser representado como: 65110 
 42316 - 423 na base 16 (hexadecimal) 
 
Representação nas bases 
 
 
 
 7484 
 7484 = 7 x 1000 + 4 x 100 + 8 x 10 + 4 
 7484 = 7 X 103 + 4 X 102 + 8 X 101 + 4 X 100 
 
 Representação em polinômio genérico 
 Número = dn10
n + dn-110
n-1 + ... d110
1 + d010
0 
 
Base Decimal (10) 
 
 
 Representação de binário na base 10 
 11010012 
 11010012 = 1 x 2
6 + 1 x 25 + 0 x 24 + 1 x 23 + 
 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 
 11010012 = 64 + 32 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 
 11010012 = 10510 
 
 Representação em polinômio genérico 
 Número = bn2
n + bn-12
n-1 + ... b12
1 + b02
0 
 
Base Binária (2) 
 
 Representação de octal na base 10 
 546218 
 546218 = 5 x 8
4 + 4 x 83 + 6 x 82 + 2 x 81 + 
 1 x 80 
 546218 = 20480 + 2048 + 384 + 16 + 1 
 546218 = 2292910 
 
 Representação em polinômio genérico 
 Número = on8
n + on-18
n-1 + ... o18
1 + o08
0 
 
Base Octal (8) 
 
 Representação de hexadecimal na base 10 
 3974116 
 3974116 = 3 x 16
4 + 9 x 163 + 7 x 162 + 4 x 161 + 
 1 x 160 
 3974116 = 196608 + 36864 + 1792 + 64 + 1 
 3974116 = 23532910 
 Representação em polinômio genérico 
 Número = hn16
n + hn-116
n-1 + ... h116
1 + h016
0 
 
Base Hexadecimal (16) 
 715 |_2_ 
 1 357 |_2_ 
 1 178 |_2_ 
 0 89 |_2_ 
 1 44 |_2_ 
 0 22 |_2_ 
 0 11 |_2_ 
 1 5 |_2_ 
 1 2 |_2_ 
 0 1 |_2_ 
 1 0 
715 = 10110010112 
Conversão Decimal  Binário 
 
715 |_8_ 
 3 89 |_8_ 
 1 11 |_8_ 
 3 1 |_8_ 
 1 0 
715 = 13138 
Conversão Decimal  Octal 
 
715 |_16_ 
 11 44 |_16_ 
 12 2 |_16_ 
 2 0 
715 = 2CB16 
Hexadecimal 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 
A=10 , B=11 , C=12 , D=13 , E=14 , F=15 
Conversão Decimal  Hexadecimal 
 
10110010112 
 1 x 20 = 1 
 1 x 21 = 2 
 0 x 22 = 0 
 1 x 23 = 8 
 0 x 24 = 0 
 0 x 25 = 0 
 1 x 26 = 64 
 1 x 27 = 128 
 0 x 28 = 0 
 1 x 29 = 512 
= 1+2+0+8+0+0+64+128+0+512 = 715 
Conversão Binário  Decimal 
 
 
 
 13138 
 3 x 80 = 3 
 1 x 81 = 8 
 3 x 82 = 192 
 1 x 83 = 512 
 
 
 
= 3+8+192+512 = 715 
Conversão Octal  Decimal 
 
 
 2CB16 
 B x 160 = 11 x 160 = 11 
 C x 161 = 12 x 161 = 192 
 2 x 162 = 512 
 
 
= 11+192+512 = 715 
Conversão Hexadecimal  Decimal 
Outras Conversões 
 Binário  Octal; 
 Binário  Hexadecimal; 
 Octal  Binário; 
 Hexadecimal  Binário; 
 Octal  Hexadecimal; 
 Hexadecimal  Octal. 
 
 
 
1 011 001 0112 
 
 
 
 
Conversão Binário  Octal 
 
1 x 20 = 1 
1 x 21 = 2 
0 x 22 = 0 
10110010112 
1 x 20 = 1 
0 x 21 = 0 
0 x 22 = 0 
1 x 20 = 1 
1 x 21 = 2 
0 x 22 = 0 
1 x 20 = 1 
1 + 2 + 0 = 3 
1 + 2 + 0 = 1 
1 + 2 + 0 = 3 
1 + 0+ 0 = 1 
13138  
Conversão Binário  Hexadecimal 
 
 Segue o mesmo princípio da conversão de binário 
para octal, só que agora agrupando de quatro em 
quatro bits. 
10110010112 
10 1100 1011 
8 + 0 + 2 + 1 = 11 8 + 4 + 0 +0 = 12 0 + 0 + 2 + 0 = 2 
2 C B 
16 
Conversão Octal  Binário 
 Simplesmente pega-se cada algarismo na base Octal e 
converte-se seu valor decimal para a base Binária, 
representado-se cada um dos algarismos da base Octal 
com três bits, mantendo-se a ordem original (operação 
inversa à conversão de Binário para Octal): 
 
 
 
 
 
13138  1 011 001 0112 
Conversão Hexadecimal Binário 
 Da mesma forma, simplesmente pega-se cada 
algarismo na base Hexadecimal e converte-se seu valor 
decimal para a base Binária, só que agora 
representado-os com quatro bits (operação inversa à 
conversão de Binário para Hexadecimal): 
2CB16  10 1100 10112 
Demais Conversões 
 
 Octal  Hexadecimal; 
 Hexadecimal  Octal. 
 
 Fica como Exercício… 
 
 Dica: é necessária a conversão intermediária para uma 
base comum, binária, ou decimal… Escolha a mais 
simples… 
 
Exercícios