AULA3-TOPOGRAFIA

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Medida Indireta de Distâncias
Prof. Dra. Cecília de Castro Bolina
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Medida Indireta de Distâncias
 Segundo DOMINGUES (1979) diz-se que o processo de
medida de distâncias é indireto quando estas distâncias são
calculadas em função da medida de outras grandezas, não
havendo, portanto, necessidade de percorrê-las para
compará-las com a grandeza padrão.
 Os equipamentos utilizados na medida indireta de distâncias
são, principalmente:
 Teodolito e;
 Nível
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Equipamentos: Teodolito
 o teodolito é utilizado na leitura de ângulos horizontais e
verticais e da régua graduada.
Transit, fabricado por DF Vasconcellos (mecânico e leitura externa); ótico
(prismático e leitura interna); e eletrônico (leitura digital).
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Equipamentos: Nível
Níveis: mecânico, ótico e laser (linear simples, em cruz e rotativo).
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 entre os acessórios mais comuns de um teodolito ou nível 
estão:
 o tripé (serve para estacionar o aparelho)
Equipamentos: Acessórios
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 é uma régua de madeira, 
alumínio, invar, fibra de vidro 
ou PVC, graduada em m, dm, 
cm e mm.
 utilizada na determinação de 
distâncias horizontais e 
verticais entre pontos.
 a figura ilustra parte de uma 
régua de 4 m de comprimento 
e as respectivas divisões do 
metro: dm, cm e mm.
Equipamentos: Mira ou Régua graduada
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 Nível de cantoneira: já 
mencionado na medida direta 
de distâncias, tem a função de 
tornar vertical a posição da 
régua graduada.
 Baliza: já mencionada na 
medida direta de distâncias, é 
utilizada com o teodolito para 
a localização dos pontos no 
terreno e a medida de ângulos 
horizontais.
Equipamentos: Nível de cantoneira e Baliza
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 a estádia do teodolito é 
composta de:
 3 fios estadimétricos 
horizontais (FS, FM e FI)
 1 fio estadimétrico vertical
 Ao processo de medida 
indireta de distâncias
denomina-se Estadimetria ou 
Taqueometria
 é através do retículo ou 
estádia do teodolito que são 
obtidas as leituras dos 
ângulos verticais e horizontais 
e da régua graduada, para o 
posterior cálculo das 
distâncias horizontais e 
verticais.
Estadimetria ou Taqueometria
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 A figura a seguir (GARCIA, 
1984) ilustra um teodolito 
estacionado no ponto P e a 
régua graduada no ponto Q.
 Do ponto P visa-se o ponto Q
com o círculo vertical do 
teodolito zerado, ou seja, com 
a luneta na posição horizontal.
 Procede-se a leitura dos fios 
estadimétricos inferior (FI), 
médio (FM) e superior (FS).
 A distância horizontal entre os 
pontos será deduzida da 
relação existente entre os 
triângulos a'b'F e ABF, que 
são semelhantes e opostos 
pelo vértice.
Distância Horizontal - Visada Horizontal
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 f = distância focal da objetiva
 F = foco exterior à objetiva
 c = distância do centro ótico do 
aparelho à objetiva
 C = c + f = constante do instrumento
 d = distância do foco à régua 
graduada
 H = AB = B - A = FS - FI = diferença 
entre as leituras
 M = FM = leitura do retículo médio
Distância Horizontal - Visada Horizontal
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 C é a constante de 
Reichembach, que 
assume valor 0cm para 
equipamentos com lunetas 
analáticas e valores que 
variam de 25cm a 50cm 
para equipamentos com 
lunetas aláticas.
Distância Horizontal - Visada Horizontal
C100.HDH 
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 Neste caso, para visar a régua 
graduada no ponto Q há 
necessidade de se inclinar a 
luneta, para cima ou para 
baixo, de um ângulo (a) em 
relação ao plano horizontal.
 A distância horizontal poderá 
ser calculada através:
Distância Horizontal - Visada Inclinada
C100.H.cosDH 2  a
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 A diferença de nível ou 
distância vertical entre dois 
pontos será calculada pela 
relação:
 Interpretação do resultado:
 Esta equação pode ser usada
para visadas ascendentes ou
descendentes, bastando
entrar com o ângulo vertical
(a) com o sinal adequado,
ascendente (+) ou
descendente (-).
 se DN for positivo (+) significa
que o terreno, no sentido da
medição, está em ACLIVE.
 se DN for negativo (-)
significa que o terreno, no
sentido da medição, está em
DECLIVE.
 Onde:
 I: altura do instrumento
Distância Vertical ou Diferença de Nível ( DN )
FMI50.H.sen(2DN  )a
)a50.H.sen(2
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Erros nas Medidas Indiretas de Distâncias: leitura da Mira
 relativo à leitura errônea dos fios estadimétricos inferior,
médio e superior, provocados:
 Pela distância entre o teodolito e a mira (muito longa ou muito
curta).
 Pela falta de capacidade de aproximação da luneta.
 Pela espessura dos traços do retículo.
 Pelo meio ambiente (refração atmosférica, ventos, má
iluminação).
 Pela maneira como a mira está dividida e pela variação do seu
comprimento.
 Pela falta de experiência do operador.
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 leitura de ângulos: ocorre
quando se faz a leitura dos
círculos vertical e/ou
horizontal de forma errada,
por falha ou falta de
experiência do operador.
 verticalidade da baliza: ocorre
quando não se faz uso do
nível de cantoneira.
 A figura ilustra a maneira
correta de posicionamento da
baliza nos levantamentos, ou
seja, na vertical e sobre a
tachinha do piquete.
Erros nas Medidas Indiretas de Distâncias
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 verticalidade da mira: assim
como para a baliza, ocorre
quando não se faz uso do
nível de cantoneira.
 pontaria: no caso de leitura
dos ângulos horizontais,
ocorre quando o fio
estadimétrico vertical do
teodolito não coincide com a
baliza (centro).
Erros nas Medidas Indiretas de Distâncias
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 erro linear de centragem do
teodolito: este erro se verifica
quando a projeção do centro
do instrumento não coincide
exatamente com o vértice do
ângulo a medir, ou seja, o
prumo do aparelho não
coincide com o ponto sobre o
qual se encontra estacionado.
 erro de calagem ou
nivelamento do teodolito:
ocorre quando o operador, por
falta de experiência, não
nivela o aparelho
corretamente.
Erros nas Medidas Indiretas de Distâncias
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Passar no quadro
Exercícios
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Ângulos Horizontais
Profa. Dra. Cecília de Castro Bolina
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Ângulos Horizontais Internos
 A relação entre os ângulos horizontais internos de uma poligonal
fechada é dada por:
 n representa o número de pontos ou estações da poligonal.
 Os ângulos horizontais internos variam de 0° a 360°.
  )2(180 n.Hzi
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Ângulos Horizontais Externos
 A relação entre os ângulos horizontais externos de uma
poligonal fechada é dada por:
 n representa o número de pontos ou estações da poligonal.
 Os ângulos horizontais externos variam de 0° a 360°.
  )2(180 n.Hze
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Deflexão
 A deflexão é o ângulo horizontal que o prolongamento do
alinhamento à ré forma com o alinhamento à vante.
 A deflexão varia de 0° a 180°.
 Pode ser positivo, ou à direita, se o sentido de giro for horário;
negativo, ou à esquerda, se o sentido de giro for anti-horário.
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Deflexão
 A relação entre as deflexões de uma poligonal fechada é dada
por:
 A relação entre as deflexões (D) e os ângulos horizontais
internos (Hzi) de uma poligonal fechada é dada por:
 360ed DD
)180(180
)180(180


iid
iie
HzHzD
HzHzD
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 Azimute de uma direção é o
ângulo formado entre o
meridiano de origem que
contém os Pólos, magnéticos
ou geográficos, e a direção
considerada.
 É medido a partir do Norte, no
sentido horário e varia de 0º a
360º.
 Azimute Magnético
 É o ângulo horizontal que a
direção de um alinhamento
faz com o meridiano
magnético.
 Este ângulo é obtidoatravés
de uma bússola.
 Azimute Geográfico ou
Verdadeiro
 É o ângulo horizontal que a
direção de um alinhamento
faz com o meridiano
geográfico.
 Este ângulo pode ser
determinado através de
métodos astronômicos e,
atualmente, através do uso
de receptores GPS de
precisão.
Azimute
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Azimute
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28/26
Azimute
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29/26
 Rumo é o menor ângulo
formado pelo meridiano que
materializa o alinhamento
Norte Sul (Verdadeiro ou
Magnético) e a direção
considerada.
 Varia de 0º a 90º, sendo
contado do Norte ou do Sul
para leste ou oeste.
 Este sistema expressa o
ângulo em função do
quadrante em que se
encontra.
 Além do valor numérico do
ângulo acrescenta-se uma
sigla (NE, SE, SW, NW) cuja
primeira letra indica a origem
a partir do qual se realiza a
contagem e a segunda indica
a direção do giro ou
quadrante.
Rumo
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Rumo
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31/26
Conversão entre Azimutes e Rumos
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 Converta os seguintes rumos 
em azimute e vice versa.
a)
c)
R: a) Az=149°35’ b) Az=321°45’ 
c) R=33°43’ NE d) R=53°40’ SW
b)
d)
Exercícios
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 Sua empresa foi contratada para
montar quatro painéis de transmissão
em uma antena de telefonia celular
com as seguintes características:
 Painel 01 rumo = 45º 15’ NE
 Painel 02 rumo = 24º 30’ SE
 Painel 03 rumo = 40º 25’ SW
 Painel 04 rumo = 25º 20’ NW
 A bússola disponível na empresa
só apresenta a orientação em
forma de azimute.
 Como você faria para transformar
os rumos dados em azimute?
Represente o resultado
graficamente.
 Em uma poligonal percorrida no
sentido horário, determine a deflexão
correspondente ao ângulo horizontal
interno de 133°45’06”. Esta deflexão é
à direita ou à esquerda do
alinhamento?
(R: Dd=46°14’54” à direita)
Exercícios
R: AzP1=45°15’ AzP2=155°30’ 
AzP3=220°25’ AzP4=334°40’
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35/26CAPITAIS LATITUDE LONGITUDE DECLINAÇÃO
Aracajú-SE 06°00'S 37°00'O 22°O
Belém-PA 01°30'S 48°30'O 20°O
Belo Horizonte-MG 20°00'S 44°00'O 21°O
Boa Vista-RR 03°00'N 62°00'O 13°O
Brasília-DF 16°00'S 48°00'O 19°O
Campo Grande-MS 20°30'S 54°30'O 15°O
Cuiabá-MT 15°30'S 56°00'O 15°O
Curitiba-PR 25°30'S 49°00'O 17°O
Florianópolis-SC 27°30'S 48°30'O 17°O
Fortaleza-CE 03°30'S 38°30'O 21°O
Goiânia-GO 16°40’43” S 49°15’14” O 20°03’ O
João Pessoa-PB 07°00'S 35°00'O 22°O
Macapá-AP 02°00'N 51°00'O 18°O
Maceió-AL 10°00'S 36°00'O 23°O
Manaus-AM 03°00'S 60°00'O 14°O
Natal-RN 06°00'S 35°00'O 22°O
Palmas-TO 10°00S 48°00'O 20°O
Porto Alegre-RS 30°00'S 51°00'O 15°O
Porto Velho-RO 09°00'S 64°00'O 10°O
Recife-PE 08°00'S 35°00'O 23°O
Rio Branco-AC 10°00'S 68°00'O 7°O
Rio de Janeiro-RJ 23°00'S 43°00'O 22°O
Salvador-BA 13°00'S 38°30'O 23°O
São Luis-MA 02°30'S 44°00'O 21°O
São Paulo-SP 23°30'S 46°30'O 19°O
Teresina-PI 05°00'S 43°00'O 21°O
Vitória-ES 20°30'S 40°00'O 23°O
Declinação magnética (ângulo formado
entre o meridiano verdadeiro e o
magnético) nas capitais brasileiras.
Em Goiânia, valor atualizado em
18/03/10, com variação de 0°6’ (W) por
ano.
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Levantamento Planimétrico
Profa. Dra. Cecília de Castro Bolina
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Levantamento Planimétrico – Processamento dos Dados
 O processamento dos dados inclui:
 fechamento dos ângulos horizontais;
 transporte dos azimutes;
 fechamento das distâncias horizontais;
 transporte das coordenadas e
 cálculo da área.
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Levantamento Planimétrico – Processamento dos Dados
 Erro de fechamento angular (e)
 Se as relações acima não se verificarem, haverá um erro de 
fechamento (e).
 O erro não pode ser maior que a tolerância angular ().
 360D  )2(180 n.Hzi   )2(180 n.Hze
e
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Erro de fechamento angular - critérios
 A tolerância angular () depende do aparelho utilizado e da
precisão necessária no levantamento. Dentre alguns critérios
utilizados pode-se citar:
 Cintra (2005)
 r representa o valor da menor divisão de leitura
do teodolito.
 n representa o número de vértices da poligonal
nr..5,2
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 Spartel (1978)
 n representa o número de vértices da poligonal
Erro de fechamento angular – Distribuição do erro
Classe Tipo de levantamento 
1 Levantamento expedito 1’√n a 2’√n
2 Levantamento extenso, locação de ferrovias e rodovias 1’√n
3 Áreas urbanas 15”√n a 30”√n
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Erro de fechamento angular – Distribuição do erro
 Critérios:
 A correção devida ao erro de fechamento angular pode ser
proporcional ao ângulo medido na estação e é dada pela
seguinte equação:
 Ou pode ser proporcional ao número de estações e é dada pela
seguinte equação:
 Os valores de correção encontrados para cada ângulo
devem ser somados ou subtraídos aos mesmos, conforme o
erro seja para menos ou para mais, respectivamente.
e
D
D
C
i
i .


n
e
C 
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Levantamento Planimétrico – Transporte do azimute
 De posse do azimute do primeiro alinhamento da poligonal
(medido ou calculado), faz-se o transporte para os demais
alinhamentos:
 Para checar se o transporte do azimute foi processado
corretamente, o azimute de chegada encontrado deve ser igual
ao azimute de saída.
nnn DAzAz  1
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Coordenadas Planas
Profa. Dra. Cecília de Castro Bolina
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Cálculo de Coordenadas Parciais
 As variações em X e Y (X e Y), chamadas de
coordenadas parciais, de cada estação da poligonal são
calculadas através das seguintes relações:
)(cos. AzDHY 
)(. AzsenDHX 
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Cálculo de Coordenadas Parciais
 Exemplo:
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Cálculo de Coordenadas Parciais - Fechamento linear
 O fechamento linear de uma 
poligonal é feito através das 
seguintes relações:
 Caso os somatórios não 
sejam iguais a zero, haverá 
um erro planimétrico (e) ou 
erro de fechamento linear.
 O erro planimétrico pode ser 
decomposto em uma 
componente na direção X (ex) 
e outra na direção Y (ey).
00   YeX
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Coordenadas Planas: Erro e Precisão do levantamento
 O erro planimétrico ou erro de fechamento linear () pode
ser determinado pela relação:
 É necessário verificar se este erro está abaixo de uma
determinada tolerância linear ou precisão linear (M).
 Normalmente esta é dada em forma de escala (1:M ou 1/M).
Este valor deve ser inferior a 1:1000 para que o levantamento
seja considerado de topográfico.
 Onde: P é o perímetro da poligonal
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yx ee 

P
M 

P
M :1:1 
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Coordenadas Planas: Distribuição do Erro Linear
 As correções devido ao erro de fechamento linear são
proporcionais às projeções cartesianas e são dadas pelas
relações:
 onde:
 Cxn: correção para a coordenada x, na estaca n
 |X(n-1, n)|: coordenada parcial x, entre a estaca n e a de ré (n-1)
 Σ|X|: somatório das coordenadas parciais x, em módulo
 ex: componente do erro linear na direção x
 Os valores de correção encontrados para cada variação em X e Y
devem ser somados ou subtraídos, conforme os erros sejam para
menos ou para mais.
x
nn
n e
X
X
Cx
 


 ),1(
y
nn
n e
Y
Y
Cy
 


 ),1(
50
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Coordenadas Planas: Transporte das Coordenadas
 De posse das coordenadas X e Y (locais ou UTM) do
primeiro ponto da poligonal, faz-se o transporte para os
demais pontos através das relações:
 Para checar se o transporte das coordenadas foi processado
corretamente, os valores de X e Y de chegada encontrados devem ser
iguais aos valores de X e Y de saída.
 Com os valores de coordenadas encontrados procede-se o cálculo da
área e desenho da planta.
),1(1
),1(1nnnn
nnnn
YYY
XXX




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Coordenadas Planas
Estação X Y
OPP 0,00 0,00
1 40,00 39,98
2 99,99 49,99
3 90,03 -9,97
4 50,02 10,01
OPP 0,00 0,00